HEURÍSTICAS PARA O PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES CAPACITADO COM ATRASO

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1 HEURÍSTICAS PARA O PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES CAPACITADO COM ATRASO João Paulo Duare Casaroi Insiuo de Ciências Maemáicas e de Compuação Universidade de São Paulo-USP Caixa Posal São Carlos-SP Brasil jopa@grad.icmc.usp.br Orienador Franklina Maria Bragion de Toledo Insiuo de Ciências Maemáicas e de Compuação Universidade de São Paulo-USP Caixa Posal São Carlos SP Brasil fran@icmc.usp.br Guilherme Pimenel Telles Insiuo de Ciências Maemáicas e de Compuação Universidade de São Paulo-USP Caixa Posal São Carlos SP Brasil gp@icmc.usp.br Resumo. O problema de dimensionameno de loes abordado nese rabalho envolve o planejameno da produção de um único iem em períodos de um horizone de empo finio, os quais possuem resrições de capacidade. O objeivo é enconrar um plano de produção de cuso mínimo capaz de aender à demanda do iem com ou sem araso. Sabe-se que ese problema é, no caso geral, NP-difícil, o que jusifica o uso de heurísicas. São proposas heurísicas eficienes baseadas na represenação do problema como um problema de roeameno de veículos, com duas possíveis eapas de melhoria a serem aplicadas após as mesmas. O desempenho compuacional das heurísicas e proposas fuuras são apresenados. Palavras-chave: dimensionameno de loes; roeameno de veículos; heurísicas. Oimização Combinaória. Absrac. The lo sizing problem sudied in his work involves he producion planning of one iem in periods of a finie horizon, each of hem wih capaciy consrains. The objecive is o find a minimal cos producion plan ha saisfies he demand, allowing backlogging. This problem is, in is general form, NP-hard, and, herefore, i is difficul o develop an opimal algorihm ha solves i, wha jusifies he use of heurisics. In his work, we propose efficien heurisics based on he represenaion of he problem as a vehicle rouing problem, wih wo possible improvemen sages, which can be applied afer he heurisics. The analysis of compuaional ess shows he efficiency of he heurisics and proposals for fuure research are presened. Keywords: lo sizing; vehicle rouing, heurisics. Combinaorial Opimizaion. [ 2424 ]

2 1. Inrodução O problema de dimensionameno de loes pode ser resumido a deerminar quano deve ser produzido de um iem em cada um dos períodos de um horizone de planejameno visando reduzir os cusos de produção. Esse problema pode envolver a produção de um ou mais iens e pode ou não er resrições de capacidade, ou seja, os recursos disponíveis para produção dos iens, ais como mão-de-obra, maéria-prima e capacidade produiva da fábrica, podem ser limiados em cada um dos períodos. Nese rabalho, resringimos nosso esudo ao problema de dimensionameno de loes com um único iem e com resrições de capacidade (PDLC), cuja demanda pode ser aendida com ou sem araso (backlogging). O cuso oal de produção é composo pela soma dos cusos de preparação, de produção, de esoque e de araso no aendimeno da demanda. Os problemas com um único iem vem sendo esudados desde 1958 (Wagner e Whiin, 1958 e Manne, 1958) e uma grande variedade de novos resulados êm sido apresenados nos úlimos anos (ver Brahimi e al., 2006 e Wolsey, 1995). A complexidade do PDLC com um único iem depende, principalmene, da capacidade ser igual para odos os períodos do horizone de planejameno ou não. De maneira geral, o problema é NP-difícil (Florian e al., 1980 e Biran e Yanasse, 1982). Porano, para o caso geral, orna-se difícil a obenção de um algorimo óimo eficiene que resolva esse problema. Por isso, diversas heurísicas vêm sendo proposas. As heurísicas desenvolvidas nese rabalho baseiam-se em Axsäer (1980) e Casaroi e al. (2005). O primeiro propôs uma represenação do problema sem backlogging e sem resrições de capacidade (PDL) como um problema de roeameno de veículos, o qual é resolvido uilizando a idéia de economias da heurísica de Clarke e Wrigh (1964). Já em Casaroi e al. (2005) foi proposa uma exensão dessa heurísica para o problema em que o araso no aendimeno da demanda (backlogging) é permiido. Na próxima seção, o modelo maemáico relacionado ao PDLC no qual o araso no aendimeno da demanda é permiido será descrio. A abordagem proposa nese rabalho e os resulados compuacionais obidos são apresenados nas Seções 3 e 4, respecivamene. Já na Seção 5, as conclusões e as perspecivas de rabalhos fuuros são apresenadas. 2. Modelo O PDLC em que o araso no aendimeno da demanda é permiido consise em minimizar a soma dos cusos de preparação, de produção, de esoque e de araso. Esse problema pode ser modelado maemaicamene da seguine forma: Minimizar sujeio a T + ( s y + c x + h I + hb I ) = 1 + x + I 1 + I I + + I0 = I0 = IT = I x C y + x, I, I 0 e 1 T I = 1.. T; = 0 = 1.. T; y + = d ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) { 0, 1} = 1.. T; ( 5) em que: s - cuso de preparação no período ; c - cuso uniário de produção no período ; h - cuso uniário de esoque no período ; hb - cuso uniário referene ao araso no aendimeno da demanda no período ; d - demanda do iem no período ; C - capacidade produiva no período T - número oal de períodos do horizone de planejameno; [ 2425 ]

3 x - quanidade produzida do iem no período ; y - variável binária que assume o valor 1 se x 0 e 0 se x = 0; I + - quanidade do iem em esoque no final do período ; I - - quanidade em fala do iem no final do período. A expressão (1) é a função objeivo do problema, na qual os ermos do somaório represenam, respecivamene, os cusos de preparação, de produção, de esoque e de araso. Já a expressão (2) corresponde à equação de balanço de esoque. Na expressão (3) assume-se, sem perda de generalidade, que a quanidade inicial e final em esoque é sempre nula. A expressão (4) mosra que a produção do iem no período não pode ulrapassar a máxima capacidade produiva nese, bem como indica a relação enre x e y, ou seja, x só será não-nulo se y for igual a 1. Enfim, a expressão (5) garane a não negaividade das variáveis e que a variável y será binária (assumirá os valores 0 ou 1). 3. Abordagem proposa A abordagem apóia-se nas heurísicas proposas em Casaroi e al. (2005), baseadas em Axsäer (1980). Esa uiliza a idéia de economias proposa por Clarke e Wrigh (1964) para o problema de roeameno de veículos para resolver o problema de dimensionameno de loes sem resrições de capacidade e sem backlogging. A parir do esudo dessas heurísicas, foi possível esender a solução para problemas nos quais há resrições de capacidade. A seguir, são descrias as idéias ciadas acima e as heurísicas desenvolvidas O problema de roeameno de veículos (PRV) O problema de roeameno de veículos consise em enconrar um conjuno de roas de cuso mínimo para uma froa homogênea de veículos (veículos idênicos) ou heerogênea (veículos disinos) que precisa levar uma deerminada carga do depósio aé diversos ponos de enrega. Clarke e Wrigh (1964) propuseram uma heurísica para o PRV baseada na idéia de economias. Esa consise em, inicialmene, gerar uma roa direa do depósio aé cada pono de enrega, ou seja, é designado um veículo para sair do depósio, ir ao pono de enrega i e reornar ao depósio, como ilusra o grafo orienado na Figura 1. Nesse grafo, os nós represenam o depósio e os ponos de enrega (0 indica o depósio e 1 a n são os ponos de enrega), e os arcos represenam o rajeo do nó i ao nó j, aos quais esá associado um cuso b ij (considera-se b ij = b ji ). A parir dessa solução, é calculada uma lisa de economias geradas quando são unidas duas roas, como ilusrado na Figura 2. A maior economia desa lisa corresponde à união que é realizada. Figura 1. Solução Inicial de Clarke e Wrigh (1964). [ 2426 ]

4 Figura 2. Cálculo das economias O PDL como um PRV A represenação do PDL aravés de um PRV foi proposa por Axsäer (1980). Para isso, o auor supôs que é necessário enregar uma cera quania de um produo (quania esa que represena as demandas do mesmo) a parir de um depósio para T ponos de enrega, os quais represenam os períodos. Assim, em-se um problema de roeameno de veículos que pode ser ilusrado pela Figura 3, desconsiderando os arcos ponilhados. O caminho ao longo do raio é bidirecional e represena o cuso de preparação (parâmero s na formulação). No enano, apenas os arcos radiais (0, i) êm cuso, enquano os (i, 0) não êm. Os arcos ao longo da circunferência que unem dois períodos consecuivos são unidirecionais, pois não é permiido o aendimeno da demanda com araso. O cuso associado a eses arcos é proporcional à quanidade de iens que passa por eles, uma vez que ese represena o cuso de esoque de um período para o ouro. Dese modo, vêse que enconrar a solução para o PDL equivale a enconrar o esquema de roas que gera o cuso mínimo no PRV. Enreano, para resolver o PDL, as uniões enre as roas são resrias a unir dois períodos consecuivos com produção não-nula. Casaroi e al. (2005) propuseram uma adapação da idéia de Axsäer (1980) para o PDL em que o araso no aendimeno da demanda é permiido. Nese caso, apenas é necessário o cálculo de mais algumas economias, as quais correspondem a aender a demanda com araso, ou seja, fazer com que o loe que seria produzido num período seja produzido num período poserior a. Essas novas economias a serem calculadas são ilusradas na Figura 3 aravés das linhas racejadas. Figura 3. Represenação do PDL como um PRV Heurísicas proposas A parir das idéias descrias aneriormene, foram desenvolvidas heurísicas para o PDLC. A principal modificação feia para que seja possível resolver o problema capaciado é invalidar algumas economias, ou seja, não permiir a união de dois loes de produção num único período [ 2427 ]

5 caso esa união ulrapasse a capacidade do mesmo. A seguir, as heurísicas serão descrias mais dealhadamene. Inicialmene, verifica-se se o problema é facível. Já que ese permie o aendimeno da demanda com araso, essa verificação é feia simplesmene checando se a soma das demandas é menor que a soma das capacidades ao longo do horizone de planejameno. Em caso afirmaivo, o problema é facível e uma solução inicial é obida aendendo a demanda pela políica loe por loe, ou seja, produzimos onde há demanda. Como a demanda inicial de deerminados períodos pode ulrapassar sua capacidade produiva, é necessária uma eapa de facibilização. Esa é feia disribuindo a demanda excedene de cada período ao longo do horizone de planejameno, enando aendê-la por esoque e/ou por araso, sendo escolhida a opção com menor cuso. Após essa eapa, o algorimo execuado é semelhane à heurísica sem resrições de capacidade, exceo pelas uniões não permiidas, sendo que odas as uniões são avaliadas sem divisão de loes. A implemenação desse algorimo pode ser feia de maneira paralela, seqüencial, ou seqüencial com janela, como apresenado em Casaroi e al. (2005). Enreano, apenas o algorimo da heurísica paralela será apresenado, já que a adapação das ouras é basane semelhane à desa. Algorimo Paralelo Capaciado: Passo 1. Calcule odas as economias possíveis obidas ao unir dois períodos consecuivos com produção não-nula (considerando a possibilidade de aender a demanda com araso e a capacidade dos períodos envolvidos); Passo 2. Se exisirem economias possíveis, enão escolha a maior e vá para o Passo 3; senão, vá ao Passo 4. Passo 3. Faça a união escolhida no Passo 2 e aualize o cuso oal de produção e a quanidade produzida nos períodos envolvidos; vole ao Passo 1. Passo 4. Fim do algorimo. As complexidades de pior caso e de caso médio das heurísicas para o problema capaciado maném-se iguais às do problema sem resrições de capacidade, O(T 2 ) e θ(t log T), respecivamene, onde T é o número de períodos no horizone de planejameno Melhorias sobre a heurísica proposa Depois de execuada a heurísica proposa na seção anerior, é possível realizar uma eapa de melhoria, buscando reduzir o cuso oal de produção. Nessa eapa, é verificado se algum loe de produção pode ser disribuído em ouros períodos com produção não nula e capacidade ociosa. Cada loe disribuído dessa maneira gera a economia de um cuso de preparação, ao cuso de esocar e/ou aender o loe em quesão com araso. Essa eapa pode ser implemenada de duas formas. Em ambos os casos, inicialmene são calculadas as capacidades ociosas acumuladas aé o período em quesão. Esas são diferenes caso seja desejado calcular economias geradas por esoque ou por araso, já que isso é feio parindo do primeiro período para o caso de esoque e parindo do úlimo, para araso. A parir desse pono, as duas implemenações divergem. Na primeira, verifica-se se disribuir o loe do período que esá sendo avaliado no momeno gera ou não economia. Se gerar, a disribuição é realizada. Dese modo, odos os períodos são avaliados seqüencialmene, primeiro enando aender essa produção a ser disribuída por esoque e, depois, por araso, parindo, respecivamene, do úlimo e do primeiro período. O algorimo correspondene a esa implemenação, a qual não alera a complexidade compuacional da heurísica, é descrio a seguir. [ 2428 ]

6 Eapa de melhoria, versão 1: Passo 1. Calcule as capacidades ociosas acumuladas para aender as demandas por esoque. Passo 2. Calcule as capacidades ociosas acumuladas para aender as demandas com araso. Passo 3. Tome como período aual o úlimo período. Passo 4. Verifique se o cuso de disribuir a produção do período aual nos períodos aneriores com capacidade ociosa gera economia. Se gerar, vá para o Passo 5. Senão, faça o Passo 4 com o período que precede o aual, al que ese enha produção não nula. Caso esse período seja o primeiro, vá para o Passo 6. Passo 5. Faça a disribuição da produção do período aual, aualize o veor de capacidades ociosas acumuladas e ome o período que precede o aual, al que ese enha produção não nula. Caso esse período seja o primeiro, vá para o Passo 6. Caso conrário, vole ao Passo 4. Passo 6. Verifique se o cuso de disribuir a produção do período aual nos próximos períodos com capacidade ociosa gera economia. Se gerar, vá para o Passo 7. Senão, faça o Passo 6 com o período poserior ao aual, al que ese enha produção não nula. Caso esse período seja o úlimo, vá para o Passo 8. Passo 7. Faça a disribuição da produção do período aual, aualize o veor de capacidades ociosas acumuladas e ome o período poserior ao aual, al que ese enha produção não nula. Caso esse período seja o úlimo, vá para o Passo 8. Caso conrário, vole ao Passo 6. Passo 8. Fim do algorimo. Quano à segunda implemenação, o período disribuído é aquele cuja disribuição gera maior economia, seja ela por esoque, seja por araso. Porano, como em oda ieração odos os períodos devem ser verificados novamene, a complexidade da heurísica aumena para O(T 3 ). A seguir, é apresenado o algorimo dessa implemenação. Eapa de melhoria, versão 2: Passo 1. Calcule as capacidades ociosas acumuladas para aender as demandas por esoque. Passo 2. Calcule as capacidades ociosas acumuladas para aender as demandas com araso. Passo 3. Tome o período que, ao ser disribuído (para que sua produção seja aendida por esoque ou com araso), gera a maior economia. Se não houver período que gere economia, vá para o Passo 5. Senão, vá para o Passo 4. Passo 4. Faça a disribuição da produção do período. Caso esa disribuição enha sido gerada por esoque, refaça o Passo 1 e vá para o Passo 3. Se iver sido gerada por araso, refaça o Passo 2 e vá para o Passo 3. Passo 5. Fim do algorimo. 4. Resulados Compuacionais Os algorimos descrios na Seção 3 foram implemenados em linguagem C e os eses foram realizados em um microcompuador Penium IV 3.0 GHz com 2 GB de memória RAM e sisema operacional Windows. Foram gerados 10 problemas para cada uma das 8 classes de ese. Essas classes são geradas pela combinação enre o número T de períodos no horizone de planejameno, com valores 10, 100, 250 e 500, e o ipo de capacidade, aperada (C ) ou folgada (C * 1,20), [ 2429 ]

7 T d = 1 considerada C =, = 1.. T. Os demais parâmeros (demandas, cusos de preparação, de T esoque e de araso) foram gerados de maneira aleaória, como proposo em Trigeiro e al. (1989). Para avaliar os resulados obidos pelas heurísicas, eses foram comparados aos melhores resulados obidos pelo sofware CPLEX 7.5 (execuado numa Sun Sparc Saion ULTRA 60) para os mesmos casos, com um limie de empo de 10 minuos. Essa comparação (gap) é apresenada, em porcenagem, na Tabela 1, na qual os valores nas colunas foram calculados da seguine forma: cusoheurísica cusocplex gap = *100 (1) cuso CPLEX Ainda na Tabela 1, Heurísica 1 corresponde à heurísica sem melhoria, Heurísica 2 inclui a primeira versão da melhoria e Heurísica 3 inclui a segunda versão da melhoria. Tabela 1 - Resulados compuacionais das heurísicas. Capacidade Folgada Capacidade Aperada T Heurísica 1 Heurísica 2 Heurísica 3 Heurísica 1 Heurísica 2 Heurísica ,25 15,50 14,65 22,90 22,90 22, ,36 21,90 21,37 63,53 63,53 63, ,70 24,28 23,37 66,89 66,87 66, ,02 22,89 22,76 84,72 84,71 84,70 Os eses realizados, odos com empo de execução inferior a 1 ms, mosraram que as heurísicas são basane rápidas. Como já era esperado, os gaps são menores para problemas com capacidade folgada. Além disso, é necessário desacar que mesmo os algorimos com melhoria possuem empo de execução baixo, ao passo que conseguem melhorar o gap médio da heurísica em aé 4,6% para problemas com 10 períodos e capacidade folgada. No enano, a fase de melhoria não é eficiene para problemas com capacidade aperada. Para essa classe de problemas, a heurísica é pouco eficiene, pois, para problemas com mais de 10 períodos, o gap é significaivo. 5. Conclusões e rabalhos fuuros Nese rabalho foram proposas heurísicas para a solução do problema de dimensionameno de loes com um único iem, com resrições de capacidade, e cuja demanda pode ser aendida com ou sem araso. O objeivo é enconrar um plano de produção de cuso mínimo que respeie as resrições do problema. O cuso oal da solução é composo pelos cusos de preparação, de produção, de esoque e de araso no aendimeno da demanda. As heurísicas foram desenvolvidas com base nas proposas apresenadas por Casaroi e al. (2005) para o problema sem resrições de capacidade. Nesse rabalho, o problema foi represenado como um problema de roeameno de veículos, como proposo por Axsäer (1980), o qual desenvolveu uma heurísica baseada na idéia de economias de Clarke e Wrigh (1964) para resolvê-lo. Os resulados compuacionais mosraram que as heurísicas são rápidas e geram soluções de boa qualidade. Sabe-se que o PDLC possui empo polinomial apenas em alguns casos específicos, sendo NP-difícil na maioria dos casos. Isso jusifica o uso de heurísicas para resolvê-lo. Assim, as heurísicas apresenadas em Casaroi e al. (2005) para o problema sem resrições de capacidade foram adapadas para resolver o PDLC. Apenas a adapação da heurísica paralela foi apresenada [ 2430 ]

8 pois, a parir desa modificação, as heurísicas seqüencial e seqüencial com janela são facilmene adapadas. Além disso, foram apresenadas duas eapas de melhoria. Os resulados nos levam a propor que as heurísicas desenvolvidas sejam uilizadas na solução de problemas mais complexos, como, por exemplo, o problema de dimensionameno de loes com múliplos iens, resrições de capacidade, permissão do aendimeno da demanda com araso, cusos e empos de preparação e carry-over, pois, embora os gaps sejam significaivos, a heurísica é capaz de gerar uma solução de qualidade razoável de forma rápida. Agradecimenos Os auores agradecem o apoio da Fundação de Amparo à Pesquisa do Esado de São Paulo FAPESP (processo 04/ ) e ao CNPq. Referências Axsäer, S. (1980). Economic lo sizes and vehicle scheduling. European Journal of Operaional Research, 4, Biran, G. R. e Yanasse, H. H. (1982). Compuaional complexiy of he capacied lo size problem. Managemen Science, 28, Brahimi, N., Dauzere-Peres, S., Najid, N. M. e Nordli, A. (2006). Single iem lo sizing problems. European Journal of Operaional Research, 168, Casaroi, J. P. D., Toledo, F. M. B. e Telles, G. P. (2005). Heurísicas para o problema de dimensionameno de loes não-capaciado com araso, XXXVII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Clarke, C. e Wrigh, J.W. (1964). Scheduling of vehicles from a cenral depo o a number of delivery poins. Operaions Research, 12, Florian M., Lensra, J. K e Rinnooy Kan, A. H. G. (1980). Deerminisic producion planning: algorihms and complexiy. Managemen Science, 26, Manne, A. S. (1958) Programming of economic lo sizes. Managemen Science, 4, Trigeiro, W.W., Thomas, L.J. e McClain, J.O. (1989). Capaciaed lo sizing wih seup imes. Managemen Science, 35, Wagner, H. M. e T. M. Whiin (1958). Dynamic version of he economic lo size model. Managemen Science, 5, Wolsey, L. A. (1995). Progress wih single-iem lo-sizing. European Journal of Operaional Research, 86, [ 2431 ]