HEURÍSTICAS PARA O PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES NÃO-CAPACITADO COM ATRASO

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1 Pesquisa Operacional e o Desenvolvimeno Susenável HEURÍSICAS PARA O PROBLEMA DE DIMENSIONAMENO DE LOES NÃO-CAPACIADO COM ARASO João Paulo Duare Casaroi Insiuo de Ciências Maemáicas e de Compuação Universidade de São Paulo-USP Caixa Posal São Carlos SP Brasil jopa@grad.icmc.usp.br Franklina Maria Bragion de oledo Insiuo de Ciências Maemáicas e de Compuação Universidade de São Paulo-USP Caixa Posal São Carlos SP Brasil fran@icmc.usp.br Guilerme Pimenel elles Insiuo de Ciências Maemáicas e de Compuação Universidade de São Paulo-USP Caixa Posal São Carlos SP Brasil gp@icmc.usp.br Resumo. O problema de dimensionameno de loes abordado nese rabalo envolve o planejameno da produção de um único iem em períodos de um orizone de empo finio. O objeivo é enconrar um plano de produção de cuso mínimo capaz de aender a demanda do iem com ou sem araso. Ese problema deve ser resolvido várias vezes durane a solução de problemas mais complexos, como, por exemplo, o dimensionameno de loes com múliplos iens e resrições de capacidade. Nese rabalo, são proposas rês eurísicas eficienes baseadas na represenação do problema como um problema de roeameno de veículos. O desempeno compuacional das eurísicas é analisado e proposas fuuras são apresenadas. Palavras-cave: eurísicas; dimensionameno de loes; roeameno de veículos. Absrac. e lo sizing problem sudied in is work involves e producion planning of one iem in periods of a finie orizon. e objecive is o find a minimal cos producion planning a saisfies e demand, allowing backlogging. is problem as o be solved many imes wile solving more complex problems, as e muli-iem capaciaed lo sizing problem. In is work, we propose ree efficien eurisics based on e represenaion of e problem as a veicle rouing problem. e analysis of compuaional ess sows e efficiency of e eurisics and proposals for fuure researc are presened. Keywords: eurisics; lo sizing; veicle rouing.. Inrodução O problema de dimensionameno de loes consise em, dadas ceras demandas de iens que devem ser produzidos ao longo de um número finio de períodos fuuros, definir como produzir esses iens com cuso oal de produção mínimo. Esse problema pode envolver a produção de um ou mais iens e pode ou não er resrições de capacidade, ou seja, os recursos disponíveis para produção dos iens, ais como mão-de-obra, maéria-prima e capacidade produiva da fábrica, podem ser limiados em cada um dos períodos. Nese rabalo, apresenamos eurísicas eficienes para o problema de dimensionameno de loes com um único iem sem resrições de capacidade (PDL), cuja demanda pode ser aendida com ou sem araso (backlogging). O cuso oal de produção é composo pela soma dos cusos de preparação, de produção, de esoque e de araso no aendimeno da demanda. Boas revisões podem ser enconradas em Braimi e al. [26] e Wolsey [995].

2 Pesquisa Operacional e o Desenvolvimeno Susenável Embora o problema esudado seja pouco enconrado de forma direa em ambienes reais, sua resolução é uma imporane ferramena para a solução de problemas reais mais complexos, como, por exemplo, o problema de dimensionameno de loes com resrições de capacidade (PDLC). A solução do PDLC, geralmene, passa pela decomposição do problema em subproblemas menores, como o PDL, os quais podem ser resolvidos de forma exaa pelo algorimo proposo por Zangwill [969]. Como o PDL é resolvido um grande número de vezes para gerar uma solução inicial para o PDLC, se orna ineressane buscar alernaivas mais rápidas para a solução do PDL. Isso nos moivou a esudar eurísicas para ese problema que fossem compuacionalmene mais rápidas que o algorimo óimo e gerassem soluções de boa qualidade. Zangwill [969] foi o primeiro a ressalar a imporância do uso de redes na represenação de alguns problemas de planejameno de produção. O PDL foi represenado como um problema de fluxo de cuso mínimo, numa rede com cuso côncavo nos arcos e uma única fone. O algorimo proposo pelo auor em complexidade O( 2 ), onde represena o número de períodos do orizone de planejameno. Poce e Wolsey [988] propuseram a reformulação do problema e sua solução aravés de planos de cores. Aggarwal e Park [993] e Ferdergruen e zur [993] propuseram algorimos com complexidade O( log ) para a solução do problema. Nese rabalo, desenvolvemos eurísicas baseadas em Axsäer [98] para a solução do PDL. O auor propôs uma represenação do problema sem backlogging como um problema de roeameno de veículos, o qual é resolvido uilizando a idéia de economias da eurísica de Clarke e Wrig [964]. eses compuacionais mosraram que o empo compuacional é, em média, 5% inferior ao algorimo de Wagner e Wiin [958], que enconra uma solução exaa para o PDL sem backlogging, enquano a qualidade das soluções esá em orno de,8% acima do óimo. Na próxima seção, descreveremos o modelo maemáico relacionado ao PDL onde o araso no aendimeno da demanda é permiido. A abordagem proposa nese rabalo e os resulados compuacionais obidos são apresenados, respecivamene, nas seções 3 e 4. Finalmene, na seção 5, apresenaremos as conclusões e as perspecivas de rabalos fuuros. 2. Modelo O problema de dimensionameno de loes quando o araso no aendimeno da demanda é permiido consise em minimizar a soma dos cusos de preparação, de produção, de esoque e de araso. Esse problema pode ser descrio como em Zangwill [969] da seguine maneira: Minimizar sujeio a São dados do problema: ( s y c x I b I ) x I I I I I I I x My x, I, I e I y d.... () (2) (3) (4) {,}.. (5) Parâmeros: s - cuso de preparação no período ; c - cuso uniário de produção no período ; - cuso uniário de esoque no período ; b - cuso uniário referene ao araso no aendimeno da demanda no período ; d - demanda do iem no período ; - número oal de períodos do orizone de planejameno; M - número grande. Pode ser igual a d ; 645

3 Pesquisa Operacional e o Desenvolvimeno Susenável Variáveis: x - quanidade produzida do iem no período ; y - variável binária que assume o valor se x e se x ; I - quanidade do iem em esoque no final do período ; I - - quanidade em fala do iem no final do período. A expressão () é a função objeivo do problema, onde os ermos do somaório represenam, respecivamene, os cusos de preparação, de produção, de esoque e de araso. Já a expressão (2) corresponde à equação de balanço de esoque. Na expressão (3), assumimos que a quanidade inicial e final em esoque é sempre nula. A expressão (4) indica a relação enre x e y, ou seja, x só será nãonulo se y for igual a. Enfim, a expressão (5) garane a não negaividade das variáveis e que a variável y será ou. 3. Abordagem proposa Nossa abordagem foi desenvolvida baseada na eurísica de Axsäer [98], a qual uiliza a idéia de economias proposa por Clarke e Wrig [964] para resolver o problema de roeameno de veículos. A parir do esudo dessas eurísicas, foi possível esender a solução para problemas nos quais o araso no aendimeno da demanda é permiido. A seguir, iremos dealar as idéias ciadas acima e descrever as eurísicas desenvolvidas. 3.. O problema de roeameno de veículos O problema de roeameno de veículos consise em enconrar um conjuno de roas de cuso mínimo para uma froa omogênea de veículos (veículos idênicos) ou eerogênea (veículos disinos) que precisa levar uma deerminada carga do depósio aé diversos ponos de enrega. Para resolver ese problema, Clarke e Wrig [964] propuseram uma eurísica baseada na idéia de economias. Esa eurísica consise em, inicialmene, gerar uma roa direa para cada pono de enrega, ou seja, é desinado um veículo para sair do depósio, ir ao pono de enrega i e reornar ao depósio, como ilusra o grafo orienado na Figura, onde os nós represenam o depósio e os ponos de enrega ( indica o depósio e a n são os ponos de enrega), e os arcos represenam o rajeo do nó i ao nó j, aos quais esá associado um cuso c ij (considera-se c ij c ji ). A parir desa solução, é calculada uma lisa de economias geradas quando são unidas duas roas, como ilusrado na Figura 2. A maior economia desa lisa corresponde à união que é realizada. Figura. Solução Inicial de Clarke e Wrig [964]. 646

4 Pesquisa Operacional e o Desenvolvimeno Susenável Figura 2. Cálculo das economias. Há dois modos de consruir essa lisa de economias. O primeiro deles, denominado paralelo, avalia odas as uniões possíveis enre quaisquer roas. Enão, oma-se a união que gera a maior economia e ela é realizada. Esse procedimeno é repeido aé que não aja mais nenuma união que gere economia. O segundo modo de consruir essa lisa, denominado seqüencial, consise em omar como base uma roa, camada de roa aual, e calcular as economias obidas ao esender essa roa. Novamene, a união que gerar a maior economia é a realizada. Esse procedimeno é repeido aé que não seja mais possível esender a roa aual, que é subsiuída por uma oura. Nese pono, inicia-se novamene o cálculo das economias como descrio aneriormene A eurísica de Axsäer Axsäer [98] propôs a represenação do PDL aravés de um problema de roeameno de veículos. Para isso, supôs que é necessário enregar uma cera quania de um produo a parir de um depósio para ponos de enrega, que represenam os períodos. Assim, em-se um problema de roeameno de veículos que pode ser represenado como na Figura 3. O camino ao longo do raio é bidirecional e represena o cuso de preparação (parâmero s na formulação, considerado consane para odo ). No enano, apenas os arcos radiais i êm cuso, enquano os i não êm. Os arcos ao longo da circunferência que unem dois períodos consecuivos são unidirecionais, pois não é permiido o aendimeno da demanda com araso. O cuso associado a eses arcos é proporcional à quanidade de iens que passa por eles, pois ele represena o cuso de esoque de um período para o ouro. Dese modo, vê-se que enconrar a solução para o PDL equivale a enconrar o esquema de roas que gera o cuso mínimo no problema de roeameno de veículos. Enreano, no PDL, as uniões enre as roas são resrias a unir dois períodos consecuivos com produção não-nula. Figura 3 - Represenação do PDL como um problema de roeameno de veículos. Da mesma maneira que na eurísica de Clarke e Wrig [964], a eurísica de Axsäer [98] ambém pode ser implemenada de duas maneiras, camadas de seqüencial e de paralela. Na eurísica paralela, calculam-se odas as economias possíveis ao unir dois períodos consecuivos com produção não-nula, para que a produção seja realizada somene no primeiro dos dois 647

5 Pesquisa Operacional e o Desenvolvimeno Susenável períodos. Aravés desa lisa, oma-se a maior economia e, se essa união for vanajosa, ou seja, se o seu cuso for menor que o cuso de preparação, ela é realizada. Esse procedimeno é enão repeido aé que não aja mais nenuma união que gere economia. Quano à eurísica seqüencial, são consideradas as economias geradas pelas uniões de apenas quaro períodos consecuivos em que a produção seja não-nula: i, j, k e l. São calculadas as economias de unir esses períodos dois a dois, ou seja, as obidas ao unir i a j, j a k, k a l. Caso a economia obida da união enre j e k seja maior que as ouras duas e se essa união for vanajosa, ela é realizada. Casos especiais ocorrem quando i e quando l equivale ao úlimo período com produção não-nula. No primeiro caso, é possível unir i e j ou j e k. No segundo, é possível unir os períodos j e k ou k e l Heurísicas proposas A adapação da idéia de Axsäer [98] para o PDL em que o araso no aendimeno da demanda é permiido é naural, sendo apenas necessário o cálculo de mais algumas economias. Esas correspondem a aender a demanda com araso, fazendo com que o loe que seria produzido num período seja produzido num período poserior a. Essas novas economias a serem calculadas são ilusradas na Figura 4 aravés das linas racejadas. Figura 4. PDL com backlogging como um problema de roeameno de veículos. Baseando-se nessa idéia, implemenamos as versões seqüencial e paralela do algorimo para que seus resulados pudessem ser comparados à solução óima gerada pelo algorimo de Zangwill [969]. Abaixo seguem os algorimos dessas eurísicas. Algorimo Paralelo: Passo. Passo 2. Passo 3. Passo 4. Calcule odas as economias possíveis obidas ao unir dois períodos consecuivos com produção não-nula (considerando a possibilidade de aender a demanda com araso); Se exisirem economias possíveis escola a maior; senão, vá ao Passo 4. Faça a união escolida no Passo 2 e aualize o cuso oal de produção e a quanidade produzida nos períodos envolvidos; Vole ao Passo. Fim do algorimo. 648

6 Pesquisa Operacional e o Desenvolvimeno Susenável Algorimo Seqüencial: Passo. Faça período_aual igual a ; Passo. A parir do período_aual, obena aé quaro períodos consecuivos com produção não-nula; Passo 2. Se ouver uma economia válida ao fazer a união dos períodos, vá para o Passo 3; senão, vá para 4. Passo 3. Faça a união escolida no Passo 2, aualize o cuso oal de produção e a quanidade produzida nos períodos envolvidos e vá para o Passo 4; Passo 4. Se período aual < enão faça período_aual período_aual e vole ao Passo. Senão, se alguma economia foi realizada, faça período_aual igual ao primeiro período com produção e vole ao Passo. Senão, Fim do Algorimo. Esudos preliminares mosraram que o algorimo seqüencial, por considerar um número menor de cálculos, é execuado em menos empo que o algorimo paralelo. No enano, o paralelo apresena melores resulados em se raando do cuso oal de produção. Com base neses resulados, buscamos enconrar um algorimo com cuso próximo ao paralelo e rápido como o seqüencial. Surgiu, enão, a idéia de janela. Uma janela de amano K consise em considerar no algorimo seqüencial a avaliação das economias de K períodos consecuivos com produção não-nula. Pode-se dizer que o algorimo seqüencial em janela de amano quaro, enquano o algorimo paralelo em amano da janela igual ao número oal de períodos no orizone de planejameno. Essa mesma idéia ambém foi aplicada ao caso em que o aendimeno da demanda com araso não é permiido. No algorimo seqüencial com janela, apenas o primeiro passo é diferene do algorimo seqüencial: Algorimo Seqüencial com Janela: Passo. Obena aé K períodos consecuivos com produção não-nula, onde K é o amano da janela; Passos 2 a 4. Iguais ao Algorimo Seqüencial. A complexidade de pior caso das eurísicas proposas é O( 2 ), onde é o número de períodos no orizone de planejameno. No enano, a complexidade de caso médio da eurísica é inferior a O( ln()) (vide Apêndice). 4. Resulados Compuacionais Os algorimos descrios na seção anerior foram implemenados em linguagem C e os eses foram realizados em um microcompuador Penium IV 3. GHz com 2 GB de memória RAM e sisema operacional Windows. Os eses compuacionais foram realizados em rês eapas. Na primeira, foram reproduzidos os eses proposos em Axsäer [98]. Na segunda, avaliou-se o desempeno dos algorimos para problemas gerados de forma aleaória como proposo em rigeiro e al. [989]. Finalmene, foram execuados eses do algorimo com amano de janela variável para o PDL com e sem backlogging. Na primeira eapa de eses, como em Axsäer [98] foram geradas 7 insâncias com períodos, cuso de preparação igual a 5, cuso de esoque igual a.5 e cuso uniário de produção consane ao longo do orizone, podendo ese, porano, ser desconsiderado. As demandas são ineiras e foram geradas randomicamene como uma disribuição uniforme enre e 2. O cuso uniário para aender a demanda com araso não é uilizado pelo auor, já que a abordagem proposa pelo mesmo não permiia o backlogging. Neses eses, esse cuso foi considerado igual ao cuso uniário de esoque. Na segunda eapa de eses, foram geradas 7 insâncias do problema para eses com orizones de planejameno de,, 25 e 5 períodos, num oal de 28 insâncias. Os cusos de 649

7 Pesquisa Operacional e o Desenvolvimeno Susenável preparação, de esoque, de aendimeno da demanda com araso e as demandas foram gerados aleaoriamene como uma disribuição uniforme enre, respecivamene, 5 e 95;,2 e,4;,2 e,4; e e 8 (valores baseados na proposa de rigeiro e al. [989]). O cuso uniário de produção foi, novamene, considerado consane ao longo do orizone. Na abela, os resulados compuacionais das Eapas e 2 são resumidos. Nela, é apresenado o empo médio de execução do algorimo de Zangwill implemenado de forma eficiene [oledo e Siguemoo 25], da eurísica paralela e da eurísica seqüencial. ambém são reporados os gaps médios para as duas eurísicas. O gap para cada insância foi calculado como: cusoheurísica cuso (6) Zangwill gap *. cusozangwill Para problemas com períodos, os rês algorimos apresenam empo de execução basane próximo. No enano, para a Eapa, o gap das eurísicas é significaivo, sendo em média igual a 6%, enquano que, para a Eapa 2, o gap é razoável, sendo em média inferior a 2,5%. Já para os problemas com ou mais períodos, a eurísica se mosrou bem mais rápida que o algorimo exao e apresenou gaps médios em orno de 2,5%. As eurísicas mosraram-se igualmene eficienes, com gaps médios basane próximos. Enreano, a eurísica seqüencial é mais rápida. A grande diferença na qualidade da solução para os problemas da Eapa e da Eapa 2 provavelmene é devida ao ipo de geração de dados, pois para o primeiro grupo os cusos de esoque e de araso são iguais, o que pode er levado as eurísicas a omarem decisões ruins. abela - Resulados das Eapas e 2. Zangwill Heurísica Paralela Heurísica Seqüencial empo Gap Médio empo Gap Médio empo (s) (%) (s) (%) (s) Eapa, x -3 6,, x -3 6,6, x -3,2 x -3 2,25,2 x -3 2,28, x -3 47,52 x -3 2,37,8 x -3 2,37,3 x -3 Eapa 2 25,62 2,55,96 x -3 2,56,27 x ,72 2,63 3,98 x -3 2,63,44 x -3 Na abela 2, é avaliada a eficiência do uso da idéia de janela para as eurísicas proposas, quando aplicada ao problema sem araso e com araso. Foram esados 5 amanos de janela para cada grupo de problemas da Eapa 2: 4, /4, /2, 3*/4 e (exceo para ), sendo que os amanos 4 e das janelas correspondem, respecivamene, às eurísicas seqüencial e paralela. Nos resulados das eurísicas com janela para o PDL onde o araso da demanda não é permiido, o gap para cada insância foi calculado subsiuindo em (6) o cuso Zangwill pelo valor óimo gerado pelo algorimo de Wagner e Wiin [958] (cuso WW ). Para os problemas com apenas períodos, o uso da janela não é significaivo. No enano, para problemas com ou mais períodos, a janela se orna muio ineressane, principalmene para os problemas sem backlogging. Nesse caso, o uso da janela permie ober gaps médios bons como os da eurísica paralela com o bom empo de execução da eurísica seqüencial. emos, porano, a combinação das melores caracerísicas de cada uma das eurísicas. No enano, para os problemas com backlogging, apenas o gano de empo é consaado. 65

8 Pesquisa Operacional e o Desenvolvimeno Susenável 25 5 amano da janela Wagner e Wiin empo (s) abela 2 - Resulados da Eapa 3. Sem Backlogging Heurísica com janela Gap Médio (%) empo (s) Zangwill empo (s) Com Backlogging Heurísica com janela Gap empo Médio (s) (%) 4,7, x -3 2,28, x -3 5,48, x -3 2,32, x -3 7,43, x -3 -,2 x, x 3 2,28, x ,34, x -3 2,26, x -3,34, x -3 2,25, x -3 4,82,2 x -3 2,37, x -3 25,35,24 x -3 2,37,22 x -3,6 x 5,35, x -3 47,52x - 2,37, x ,35,7 x -3 2,37,8 x -3,35,8 x -3 2,37,25 x -3 4,95,2 x -3 2,56,8 x -3 63,36,7 x -3 2,55, x -3,76 x 25,37,94 x -3 2,55,3 x -3, ,36,74 x -3 2,55,58 x -3 25,36,74 x -3 2,55,9 x -3 4,96,6 x -3 2,63,38 x -3 25,38 4,5 x -3 2,63 4,42 x -3 2,92 x 25,38 3,7 x -3 2,63 4,95 x ,72 375,38 2,77 x -3 2,63 4,45 x -3 5,38 3,6 x -3 2,63 4,54 x Conclusões e rabalos fuuros Nese rabalo foram proposas eurísicas para a solução do problema de dimensionameno de loes com um único iem, sem limie de capacidade, e cuja demanda pode ser aendida com ou sem araso. O objeivo é enconrar um plano de produção de mínimo cuso que respeie as resrições do problema. O cuso oal da solução é composo pelos cusos de preparação, de produção, de esoque e de araso no aendimeno da demanda. As eurísicas foram desenvolvidas com base na proposa apresenada por Axsäer [98] para o problema sem backlogging. O auor represenou o problema como um problema de roeameno de veículos e desenvolveu uma eurísica baseada na idéia de economias de Clarke e Wrig [964] para resolvê-lo. Os resulados compuacionais mosraram que a eurísica era rápida e gerava soluções de boa qualidade. A represenação proposa por Axsäer [98] foi esendida para o problema onde o backlogging é permiido. rês eurísicas foram proposas: seqüencial, paralela e com janela. As duas primeiras foram adapadas direamene da proposa do auor. Já a eurísica com janela é o caso geral que engloba as ouras duas. Esa foi implemenada ambém para o problema sem backlogging. Os eses compuacionais foram realizados em rês eapas. Na Eapa, os problemas foram gerados como proposo em Axsäer [98]. Para eses problemas, as eurísicas não são compeiivas, pois o empo compuacional é semelane ao do méodo exao e a eurísica enconra soluções com gap médio em orno de 6%. Os problemas da Eapa 2 foram gerados com base em rigeiro e al. [989], e os eses mosraram que para ou mais períodos a eurísica apresena um gap médio em orno de 2,5% e empo compuacional muio inferior aos do algorimo óimo. Na erceira e úlima eapa, foi esada a aplicação da janela às eurísicas para problemas com e sem backlogging. Especialmene para problemas sem backlogging, os resulados foram muio saisfaórios. A escola adequada do amano 65

9 Pesquisa Operacional e o Desenvolvimeno Susenável da janela permie conciliar duas imporanes caracerísicas das eurísicas paralela e seqüencial: empo de execução e qualidade da solução. Os bons resulados obidos pelas eurísicas nos levam a propor que as mesmas sejam uilizadas na solução dos subproblemas gerados pela decomposição de problemas mais complexos, como, por exemplo, o problema de dimensionameno de loes com múliplos iens e resrições de capacidade. Embora a complexidade de caso médio das eurísicas seja inferior a O( ln()), propomos que o algorimo de Ferdergruen e zur [993] seja implemenado para que possamos avaliar quão mais rápida é a eurísica quando comparada a esse algorimo. Agradecimenos Os auores agradecem o apoio da Fundação de Amparo à Pesquisa do Esado de São Paulo FAPESP (processo 4/283-). Referências Axsäer, S. (98). Economic lo sizes and veicle sceduling. European Journal of Operaional Researc 4, Aggarwal, A. e Park, J.K. (993). Improved algorims for economic lo size problems. Operaions Researc 4, Braimi, N., Dauzere-Peres, S., Najid, N. M. e Nordli, A. (26). Single iem lo sizing problems. European Journal of Operaional Researc 68, -6. Clarke, C. e Wrig, J.W. (964). Sceduling of veicles from a cenral depo o a number of delivery poins. Operaions Researc 2, Federgruen, A. e zur, M. (993). e dynamic lo-sizing model wi backlogging: a simple O(n log n) algorim and minimal forecas orizon procedure. Naval Researc Logisics 4, Poce, Y. e Wolsey, L.A. (988). Lo-size models wi backlogging - srong reformulaions and cuing planes. Maemaical Programming 4, oledo, F.M.B. e Siguemoo, A.L. (25). Lo-sizing problem wi serveral producion ceners, submeido para a revisa Pesquisa Operacional (em revisão). rigeiro, W.W., omas, L.J. e McClain, J.O. (989). Capaciaed lo sizing wi seup imes. Managemen Science 35, Wagner, H.M. e Wiin,.M. (958). Dynamic version of e economic lo size model. Managemen Science 5, Wolsey, L. A. (995). Progress wi single-iem lo-sizing. European Journal of Operaional Researc, 86, Zangwill, W.I. (969). A backlogging model and a muli-ecelon model of a dynamic economic lo size producion sysem a nework approac. Managemen Science 5, Apêndice - Complexidade de caso médio da eurísica A complexidade de caso médio da eurísica esá relacionada ao número oal de uniões feias enre os loes de produção. Para represenar essas uniões, uilizamos uma árvore de decisão que mosra odas as possíveis uniões e em que ordem elas são feias. Sabemos que não necessariamene odos os períodos serão unidos, já que qualquer união só ocorre se ouver uma economia. Um exemplo para um número de períodos igual a 4 é represenado pela Figura 5, na qual a variável corresponde à alura da árvore em cada nível, sendo que essa alura represena o número de uniões aé aquela solução. A represenação uilizada para cada nó consise em: -,..., - períodos; - [] - os colcees indicam quais períodos esão unidos num único loe de produção. 652

10 Pesquisa Operacional e o Desenvolvimeno Susenável 653 Figura 5 - Árvore de uniões possíveis A parir do nível, é fácil noar que o número de filos de cada nó em níveis poseriores é reduzido de uma unidade. Sabendo isso, é possível concluir que o número de nós num nível é dado por: ) (... ) )( ( 2 Uilizando a idéia de que a complexidade da eurísica esá ligada ao número de uniões feias aé que a solução seja enconrada, a complexidade de caso médio pode ser calculada aravés da alura média da árvore, que corresponde ao número médio de junções. Para isso, como represena, além da alura da árvore, o número de junções aé aquele nível, basa muliplicá-lo pelo número de nós em cada nível, somar os resulados para odo e dividir essa soma por, que represena de quanas maneiras é possível unir os períodos aé que seja aingido o úlimo nível da árvore. Ese número,, é igual ao número de folas da árvore. Assim, a alura média da árvore será dada por Enreano: Assim 2 O O O O ln ln ln ln Porano, a complexidade de caso médio do algorimo é menor que O( ln()).