O Problema dos Números Congruentes: Três versões equivalentes
|
|
- Sonia Benedita Franco Regueira
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Proceeding Series of he Brazilian Sociey of Applied and Compuaional Mahemaics Vol 5 N Trabalho apresenado no CNMAC Gramado - RS 016 Proceeding Series of he Brazilian Sociey of Compuaional and Applied Mahemaics O Problema dos Números Congruenes: Três versões equivalenes Jaime Edmundo Apaza Rodriguez 1 Deparameno de Maemáica UNESP Ilha Soleira SP Nair Rodrigues de Souza Insiuo Federal de Mao Grosso do Sul IFMS Três Lagoas MS Resumo A procura dos números ineiros n que represenem áreas de riângulos reângulos e cujos lados sejam números racionais é conhecido como o Problema dos Números Congruenes Ese problema apareceu pela primeira vez nos manuscrios arabes por vola de 900 AC Em 1983 J B Tunnell deu uma resposa conjecural a ese problema provando que se exise um riângulo com área n (seja ese par ou ímpar) enão o número de soluções pares é igual ao número de soluções ímpares (para ceras equações Diofaninas) Recenemene o Problema dos Números Congruenes veio a ona de novo com a descobera da sua fore conexão com a Ariméica da Curvas Elípicas um assuno muio discuido nas úlimas décadas Nese rabalho apresenamos rês versões equivalenes do Problema dos Números Congruenes: A versão original a versão riangular e a versão com Curvas Elípicas Palavras-chave Números Congruenes Curvas Elípicas Equações Diofaninas 1 Inrodução O problema dos Números Congruenes foi declarado pelo maemáico persa Al-Karaji ( ) Sua versão não considerava riângulos mas a expressava em ermos de números quadrados números que são quadrados de números ineiros: os quadrados de números racionais: 5/9 49/ /5 ec A quesão indagada por ele era: Se para qualquer número ineiro n exise um quadrado a enão a n e a + n são ambém quadrados? Quando iso for verdade n é dio número congruene O nome vem do fao de que exisem rês quadrados que são congruenes módulo n Al-Karaji foi foremene influenciado pela radução árabe das obras do maemáico grego Diofano (10 90) o qual já esudava e elaborava problemas similares Houve um cero progresso nos mil anos seguines Em 15 Fibonacci demonsrou que os números 5 e 7 são congruenes e conjecurou que o número 1 não é congruene A prova foi fornecida por Ferma em 1659 Em 1915 os números congruenes menores do que 100 já foram deerminados e em 195 Kur Heegner inroduziu profundas écnicas maemáicas sobre ese assuno e mosrou que odos os números primos na sequência 1 jaime@mafeisunespbr nairsouza@ifmsedubr DOI: / SBMAC
2 Proceeding Series of he Brazilian Sociey of Applied and Compuaional Mahemaics Vol 5 N são congruenes No enano aé 1980 haviam ainda alguns casos de números menores do que 1000 que não foram resolvidos Em 198 J B Tunnell da Universidade Rugers fez progressos significaivos via a conexão (Heegner foi o primeiro em usar) enre os números congruenes e as curvas elípicas Ele enconrou uma simples fórmula para deerminar se um número n é ou não congruene Iso permiiu que os primeiros mil casos fossem rapidamene resolvidos A quesão é que a oal validade da sua fórmula depende da veracidade de um caso paricular que é um dos problemas pendenes na maemáica conhecido como a Conjecura de Birch e Swinneron-Dyer Esa conjecura é um dos See Problemas do Milênio apresenados pelo Insiuo Clay de Maemáica com um prêmio de um milhão de dólares As duas primeiras versões do problema Segundo um manuscrio árabe do século X o principal objeivo dos riângulos reângulos racionais é a seguine quesão: Problema dos Números Congruenes: Versão I: Dado um número ineiro posiivo n enconrar um racional quadrado a (a Q ) al que a ± n sejam ambos racionais quadrados Definição 1 Um ineiro n é um número congruene se exisir um racional quadrado a al que a ± n sejam ambos racionais quadrados Exemplo 1: (1) 5 é um número congruene pois exise a = 41 1 ( ) 41 5 = 1 ( ) 31 1 al que ( ) = 1 ( ) 49 1 () 6 é um número congruene pois exise a = 5 al que ( ) 5 6 = ( ) 1 ( ) = ( ) 7 (3) 7 é um número congruene pois exise a = ( ) = 10 ( ) al que ( ) = 10 ( ) Definição Um riângulo reângulo é dio racional se seus lados e hipoenusa são odos números racionais DOI: / SBMAC
3 Proceeding Series of he Brazilian Sociey of Applied and Compuaional Mahemaics Vol 5 N Problema dos Números Congruenes: Versão II: Dado um número ineiro posiivo n enconrar um riângulo reângulo al que seus lados sejam números racionais e sua área igual a n As versões I e II do Problema dos Números Congruenes são equivalenes como se mosra a seguir Versão I = Versão II: Seja n número ineiro posiivo e suponha que α β γ são números racionais quadrados cuja diferença comum é n Enão verifica-se que o riângulo reângulo com lados e hipoenusa a = γ α b = γ + α c = β em área n Versão II = Versão I: Reciprocamene suponha que emos um riângulo reângulo racional [a b c] com área n Enão os números ( ) a b ( c ) ( ) a + b formam uma progressão ariméica de 3 números racionais cuja diferença comum é n Exemplo : (1) 5 é a área de um riângulo reângulo racional [ ] () 6 é a área de um riângulo reângulo racional [3 4 5] (3) 7 é a área de um riângulo reângulo racional [ ] Observação 1 Assumimos que n é um ineiro posiivo livre de quadrados (não múliplo de nenhum quadrado) já que se [a b c] é um riângulo reângulo com área n enão [ak bk ck] é ambém um riângulo reângulo com área nk onde k é qualquer número racional Teorema 1 (Ferma) Os números 1 3 não são congruenes Demonsração: Sejam (a b c) números ineiros posiivos dois a dois coprimos al que a + b = c Enão exise um par de ineiros posiivos coprimos (p q) com p + q ímpar al que a = pq b = p q c = p + q Obemos assim um número congruene gerado pela fórmula: n = pq(p + q)(p q) m Agora suponha que 1 seja um número congruene Enão exise um riângulo reângulo com lados ineiros [a b c] com área mínima m = pq(p + q)(p q) DOI: / SBMAC
4 Proceeding Series of he Brazilian Sociey of Applied and Compuaional Mahemaics Vol 5 N Como os 4 faores de m são coprimos enão Assim obemos a equação p = x q = y p + q = u p q = v (u + v) + (u v) = (x) Logo a erna (u + v u v x) forma um riângulo reângulo com menor área y o que é uma conradição pois ínhamos um riângulo reângulo [a b c] cuja área mínima era m = pq(p + q)(p q) Porano 1 não é um número congruene Analogamene se mosra que e 3 não são números congruenes e assim esá mosrado o resulado Corolário 1 (O riângulo reângulo de Ferma) Se n é um quadrado enão n não é um número congruene Observação Embora se enha a fórmula n = pq(p + q)(p q) m para gerar números congruenes ela é pouco eficiene Por exemplo n = 157 é a área de um riângulo reângulo racional cujos caeos e hipoenusa são [Yan] a = b = c = Eses resulados se devem ao maemáico americano D B Zagier Ese fao coloca em evidência mais uma vez que maemáicos não podem ser subsiuídos por compuadores 3 Curvas Elípicas: Terceira versão Definição 31 Uma curva elípica é uma curva algébrica (plana) definida por uma equação cúbica da forma com = 4a 3 + 7b 0 E : y = x 3 + ax + b (a b Z) O número é o discriminane do polinômio cúbico f(x) = x 3 + ax + b e a condição = 0 equivale a dizer que f(x) não em raízes repeidas em C Ese polinômio em 3 raízes reais ou apenas uma (pois as raízes complexas aparecem em pares) Seja E(Q) o conjuno de ponos racionais da curva elípica E ou seja o conjuno de ponos (x y) Q que saisfazem a equação acima juno com o pono O no infinio Ese pono hipoéico O deve ser considerado como um pono que se enconra em ambas as DOI: / SBMAC
5 Proceeding Series of he Brazilian Sociey of Applied and Compuaional Mahemaics Vol 5 N ponas de cada rea verical Uma forma precisa de explicar o pono O é aravés do mergulho da curva afim no seu compleameno que é uma curva projeiva Os seguines dois faos a respeio das curvas elípicas são desacáveis: 1 Uma curva elípica pode ou não er um número infinio de ponos racionais O fao de curvas elípicas erem um número finio de ponos racionais é ainda uma quesão em abero O conjuno E(Q) em uma esruura de grupo abeliano Denoa-se a operação no grupo por (não confundir com a operação de adição em R ) Esa é dada pelo méodo da corda e angene A soma de dois ponos pode ser expliciamene calculada como segue (algebricamene iso não faz diferença mas vamos ilusrar apenas no caso em que x 3 + ax + b em uma única raiz real) Para somar dois ponos P 1 = (x 1 y 1 ) e P = (x y ) de E(Q) inerseamos a rea (corda) L passando por P 1 e P (esa será angene a E em P se P 1 = P = P ) com E A rea cora a cúbica em 3 ponos (onde cona-se o pono O como pono de E e no caso da rea angene a E cona-se o pono de angência como ponos) Seja P 3 = (x 3 y 3 ) o pono de inerseção de E com L Enão P 1 + P = (x 3 y 3 ) O pono no infinio O aua como idenidade já que quasquier ponos de E(Q) que perençam à rea verical serão colineares com O Verifica-se enão que P 1 P E(Q) Deixando de lado os casos riviais quando P 1 = P ou quando pelo menos um deles é igual a O podemos calcular as coordenadas de P 1 + P Para um pono P = (x y) seja x = x(p ) a x-coordenada de P (similarmene para y(p )) e seja L a rea que surge da definição de adição endo por equação y = mx + l Enão m = y 1 y Q x 1 x Subsiuindo na equação da cúbica emos x 3 m x + (a ml)x + b l = 0 Como x 1 x e x 3 são as rês soluções da igualdade acima iso equivale a escrever (x x 1 )(x x )(x x 3 ) = 0 ou na forma expandida x 3 (x 1 + x + x 3 )x + (x 1 x + x x 3 + x 3 x 1 )x x 1 x x 3 = 0 Comparando o coeficienes obemos ( ) x(p 1 + P ) = x 3 = m y1 y (x 1 + x ) = (x 1 + x ) x 1 x Finalmene ( ) [ ( ) y1 y y1 y y(p 1 + P ) = (x 1 + x )] + l x 1 x x 1 x Como l é claramene racional iso mosra que P 1 P em coordenadas racionais Um caso especial de curva elípica é dada por y = x 3 n x com n N n > 1 A conexão enre números congruenes e curvas elípicas esá dada no seguine resulado DOI: / SBMAC
6 Proceeding Series of he Brazilian Sociey of Applied and Compuaional Mahemaics Vol 5 N Teorema 31 Um número ineiro posiivos n livre de quadrados é número congruene se e somene se a curva elípica E definida por y = x 3 n x em um número infinio de ponos racionais Teorema 3 Para n > 0 exise uma correspondência 1 1 enre os seguines conjunos: {(a b c) : a + b = c 1 ab = n} {(x y) : y = x 3 n x y 0} As correspondências muuamene inversas enre os dois conjunos são dadas por: ( nb (a b c) c a n ) ( x n (x y) nx c a y y x + n ) y Demonsração: Fixemos o número n > 0 As soluções reais (a b c) para cada uma das seguines equações a + b = c 1 ab = n descrevem uma superfície em R 3 Por isso é naural esperar que essas duas superfícies se corem em uma curva Queremos descrever a al curva y = x 3 n x sob a escolha cera de coordenadas Seja c = +a Subsiuindo em a +b = c obemos b = +a ou equivalenemene a = b Como ab = n 0 enão nem a nem b são nulos e assim podemos escrever a = n b e subsiuir em a = b para ober 4n = b ou 4n = b 3 b b Observemos que 0 pois caso conrário eríamos a = c e enão b = 0 Mas lembre-se que ab = n 0 Assim dividindo por 3 obemos 4n = ( ) b 3 b Muliplicando ambos os lados por n 3 conseguimos Finalmene fazendo x = bn = elípica y = x 3 n x Observação 31 ( ) n = ( bn bn c a e y = n ) 3 ( ) bn n = n 0 obemos a equação da curva c a (1) A equação y = x 3 n x em rês soluções racionais riviais para y = 0 : (0 0) (n 0) ( n 0) DOI: / SBMAC
7 Proceeding Series of he Brazilian Sociey of Applied and Compuaional Mahemaics Vol 5 N () A correspondência esabelecida no eorema 3 preserva posiividade Problema dos Números Congruenes: Versão III: Para um número posiivo n enconrar um pono racional com y 0 sobre a curva eĺıpica E n : y = x 3 n x O eorema 3 esabelece a equivalência enre as versões II e III do Problema dos Números Congruenes Porano as versões I II e III são equivalenes Observação 3 O pono de visa da equação y = x 3 n x permie fazer algo marcane: produzir um novo riângulo reângulo racional com área n a parir de dois riângulos conhecidos (pela lei de grupo de ponos sobre curvas elípicas) 4 Conclusões O problema esudado enunciado há mais de mil anos refere-se as áreas dos riângulos reângulos O problema é surprendenemene difícil na hora de deerminar quais são os números ineiros que represenem a área de riângulos reângulos cujos lados sejam números ineiros ou racionais Segundo Brian Conrey Direor do Insiuo Americano de Maemáica eses velhos problemas podem parecer escuros mas geram uma grande quanidade de pesquisas úeis e ineressanes assim como novos desenvolvimenos Nese rabalho observamos que exisem aé rês formas diferenes (equivalenes enre si) de se esudar o problema dos Números Congruenes As duas primeiras são relaivamene mais fáceis de esudar e analisar A erceira forma que requer o esudo de uma classe de curvas cúbicas (curvas elípicas) é muio mais sofisicada Seu uso requer um esudo mais profundo de ópicos da Ariméica das Curvas Elípicas uma grande área de esudo da Geomeria Algébrica Referências [1] M A Benne Lucas s Square Pyramid Problem Revised Aca Arihmeica- Warszawa p [] J S Chahal Congruen Numbers and Ellipic Curves The Mahemaical Associaion of America Vol 113 No 4 Apr 006 [3] J B Tunnell A Classic Diophanine Problem and Modular Forms of Weigh 3/ Inven Mah 7() p [4] L C Washingon Ellipic Curves Number Theory and Crypography CRC Press Taylor and Francis Group Second Ediion 008 [5] P Yan Congruen Numbers and Ellipic Curves mahoksaeedu 014 [6] A rillion riangles New compuer mehods reveal secres of ancien mah problem American Insiue of Mahemaics 009 DOI: / SBMAC
Questão 1. Questão 3. Questão 2. alternativa B. alternativa E. alternativa C. Os números inteiros x e y satisfazem a equação
Quesão Os números ineiros x e y saisfazem a equação x x y y 5 5.Enãox y é: a) 8 b) 5 c) 9 d) 6 e) 7 alernaiva B x x y y 5 5 x ( ) 5 y (5 ) x y 7 x 6 y 5 5 5 Como x e y são ineiros, pelo Teorema Fundamenal
Leia mais35ª Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase
ª Olimpíada rasileira de Maemáica GRITO Segunda Fase Soluções Nível Segunda Fase Pare PRTE Na pare serão aribuídos ponos para cada resposa correa e a ponuação máxima para essa pare será. NENHUM PONTO deverá
Leia maisCAPÍTULO 10 DERIVADAS DIRECIONAIS
CAPÍTULO 0 DERIVADAS DIRECIONAIS 0. Inrodução Dada uma função f : Dom(f) R n R X = (x, x,..., x n ) f(x) = f(x, x,..., x n ), vimos que a derivada parcial de f com respeio à variável x i no pono X 0, (X
Leia mais) quando vamos do ponto P até o ponto Q (sobre a reta) e represente-a no plano cartesiano descrito acima.
ATIVIDADE 1 1. Represene, no plano caresiano xy descrio abaixo, os dois ponos (x 0,y 0 ) = (1,2) e Q(x 1,y 1 ) = Q(3,5). 2. Trace a rea r 1 que passa pelos ponos e Q, no plano caresiano acima. 3. Deermine
Leia maisPARTE 12 DERIVADAS DIRECIONAIS
PARTE DERIVADAS DIRECIONAIS. Inrodução Dada uma função f : Dom(f) R n R X = (x, x,..., x n ) f(x) = f(x, x,..., x n ), vimos que a derivada parcial de f com respeio à variável x i no pono X 0, (X 0 ),
Leia maisProfessor: Danilo Dacar
Progressão Ariméica e Progressão Geomérica. (Pucrj 0) Os números a x, a x e a x esão em PA. A soma dos números é igual a: a) 8 b) c) 7 d) e) 0. (Fuves 0) Dadas as sequências an n n, n n cn an an b, e b
Leia maisProfessor: Danilo Dacar
. (Pucrj 0) Os números a x, a x e a3 x 3 esão em PA. A soma dos 3 números é igual a: é igual a e o raio de cada semicírculo é igual à meade do semicírculo anerior, o comprimeno da espiral é igual a a)
Leia maisNOTAÇÕES. x 2y < 0. A ( ) apenas I. B ( ) apenas I e II. C ( ) apenas II e III. D ( ) apenas I e III. E ( ) todas. . C ( ) [ ] 5, 0 U [1, )
NOTAÇÕES C é o conjuno dos números complexos R é o conjuno dos números reais N = {,,,} i denoa a unidade imaginária, ou seja, i = - z é o conjugado do número complexo z Se X é um conjuno, P(X) denoa o
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 20. Palavras-chaves: derivada,derivada direcional, gradiente
Assuno: Derivada direcional UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 20 Palavras-chaves: derivada,derivada direcional, gradiene Derivada Direcional Sejam z = fx, y) uma função e x
Leia maisNotas de aula - profa Marlene - função logarítmica 1
Noas de aula - profa Marlene - função logarímica Inrodução U - eparameno de Maemáica Aplicada (GMA) NOTAS E AULA - CÁLCULO APLICAO I - PROESSORA MARLENE unção Logarímica e unção Eponencial No Ensino Médio
Leia maisModelos Não-Lineares
Modelos ão-lineares O modelo malhusiano prevê que o crescimeno populacional é exponencial. Enreano, essa predição não pode ser válida por um empo muio longo. As funções exponenciais crescem muio rapidamene
Leia maisExercícios sobre o Modelo Logístico Discreto
Exercícios sobre o Modelo Logísico Discreo 1. Faça uma abela e o gráfico do modelo logísico discreo descrio pela equação abaixo para = 0, 1,..., 10, N N = 1,3 N 1, N 0 = 1. 10 Solução. Usando o Excel,
Leia maisExercícios Sobre Oscilações, Bifurcações e Caos
Exercícios Sobre Oscilações, Bifurcações e Caos Os ponos de equilíbrio de um modelo esão localizados onde o gráfico de + versus cora a rea definida pela equação +, cuja inclinação é (pois forma um ângulo
Leia mais4 O Fenômeno da Estabilidade de Tensão [6]
4 O Fenômeno da Esabilidade de Tensão [6] 4.1. Inrodução Esabilidade de ensão é a capacidade de um sisema elérico em maner ensões aceiáveis em odas as barras da rede sob condições normais e após ser submeido
Leia maisAntes de mais nada, é importante notar que isso nem sempre faz sentido do ponto de vista biológico.
O modelo malusiano para empo conínuo: uma inrodução não rigorosa ao cálculo A dinâmica de populações ambém pode ser modelada usando-se empo conínuo, o que é mais realisa para populações que se reproduzem
Leia maisCINÉTICA QUÍMICA LEI DE VELOCIDADE - TEORIA
CINÉTICA QUÍMICA LEI DE VELOCIDADE - TEORIA Inrodução Ese arigo raa de um dos assunos mais recorrenes nas provas do IME e do ITA nos úlimos anos, que é a Cinéica Química. Aqui raamos principalmene dos
Leia mais5 de fevereiro de x 2 y
P 2 - Gabario 5 de fevereiro de 2018 Quesão 1 (1.5). Considere x 2 y g(x, y) = (x, y + x 2 ) e f (x, y) = x 4, se (x, y) = (0, 0) + y2. 0, se (x, y) = (0, 0) Mosre que: (a) f e g admiem odas as derivadas
Leia maisXXXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO
XXXI OLIMPÍ RSILEIR E MTEMÁTI PRIMEIR FSE NÍVEL Ensino Médio RITO RITO NÍVEL 6 E 6 7 7 E 9 9 5 0 E 5 0 E 5 ada quesão da Primeira Fase vale pono. Toal de ponos no Nível 5 ponos. guarde a pulicação da Noa
Leia maisFunções de Várias Variáveis (FVV) UFABC, 2019-Q1
Funções de Várias Variáveis (FVV UFABC, 2019-Q1 Peer Hazard Prova 1 B 19:00hs, 25 de março, Sala A002, Bloco Bea, SBC Duração: 90 minuos Aviso: É erminanemene proibido consular qualquer maerial ou colega,
Leia maisDuas opções de trajetos para André e Bianca. Percurso 1( Sangiovanni tendo sorteado cara e os dois se encontrando no ponto C): P(A) =
RESOLUÇÃO 1 A AVALIAÇÃO UNIDADE II -016 COLÉGIO ANCHIETA-BA PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA ELABORAÇÃO e PESQUISA: PROF. ADRIANO CARIBÉ e WALTER PORTO. QUESTÃO 01. Três saélies compleam suas respecivas
Leia maisO gráfico que é uma reta
O gráfico que é uma rea A UUL AL A Agora que já conhecemos melhor o plano caresiano e o gráfico de algumas relações enre e, volemos ao eemplo da aula 8, onde = + e cujo gráfico é uma rea. Queremos saber
Leia maisCalcule a área e o perímetro da superfície S. Calcule o volume do tronco de cone indicado na figura 1.
1. (Unesp 017) Um cone circular reo de gerariz medindo 1 cm e raio da base medindo 4 cm foi seccionado por um plano paralelo à sua base, gerando um ronco de cone, como mosra a figura 1. A figura mosra
Leia maisObservação: No próximo documento veremos como escrever a solução de um sistema escalonado que possui mais incógnitas que equações.
.. Sisemas Escalonados Os sisemas abaio são escalonados: 7 Veja as maries associadas a esses sisemas: 7 Podemos associar o nome "escalonado" com as maries ao "escalar" os eros ou energar a "escada" de
Leia maisMATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
1º SIMULADO ENEM 017 Resposa da quesão 1: MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Basa aplicar a combinação de see espores agrupados dois a dois, logo: 7! C7,!(7 )! 7 6 5! C7,!5! 7 6 5! C7, 1!5! Resposa da quesão
Leia maisSISTEMAS DE EQUAÇÕES A DIFERENÇAS LINEARES
8//7 SISTEMAS DE EQUAÇÕES A DIFERENÇAS LINEARES Teorema: Considere o seguine sisema de k equações a diferenças lineares de primeira ordem, homogêneo: x a x a x... a x k k x a x a x... a x k k x a x a x...
Leia maisRASCUNHO. a) 120º10 b) 95º10 c) 120º d) 95º e) 110º50
ª QUESTÃO Uma deerminada cidade organizou uma olimpíada de maemáica e física, para os alunos do º ano do ensino médio local. Inscreveramse 6 alunos. No dia da aplicação das provas, consaouse que alunos
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática. Primeira Lista de Exercícios MAT 241 Cálculo III
Universidade Federal de Viçosa Cenro de Ciências Exaas e Tecnológicas Deparameno de Maemáica Primeira Lisa de Exercícios MAT 4 Cálculo III Julgue a veracidade das afirmações abaixo assinalando ( V para
Leia mais02 A prova pode ser feita a lápis. 03 Proibido o uso de calculadoras e similares. 04 Duração: 2 HORAS. SOLUÇÃO:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR 9/6/ CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: Prova sem consula
Leia maisINSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o resultado na Folha de Respostas.
SIMULADO DE MATEMÁTICA - TURMAS DO O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - JULHO DE 0. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÕES de 0 a
Leia maisVersão preliminar serão feitas correções em sala de aula 1
Versão preinar serão feias correções em sala de aula 7.. Inrodução Dependendo das condições de soliciação, o maerial pode se enconrar sob diferenes esados mecânicos. Quando as cargas (exernas) são pequenas
Leia maisNovas construções de códigos reticulados via o anel de polinômios generalizados F 2 [x; 1 2 Z 0]
Trabalho apresenado no DINCON, Naal - RN, 015. Proceeding Series of he Brazilian Sociey of Compuaional and Applied Mahemaics Novas consruções de códigos reiculados via o anel de polinômios generalizados
Leia maisSéries de Fourier de Senos e de Cossenos de Índices Ímpares
Séries de Fourier de Senos e de Cossenos de Índices Ímpares Reginaldo J. Sanos Deparameno de Maemáica-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais hp://www.ma.ufmg.br/~regi 26 de seembro de 21 2 Análogo ao
Leia maisPara Newton, conforme o tempo passa, a velocidade da partícula aumenta indefinidamente. ( )
Avaliação 1 8/0/010 1) A Primeira Lei do Movimeno de Newon e a Teoria da elaividade esria de Einsein diferem quano ao comporameno de uma parícula quando sua velocidade se aproxima da velocidade da luz
Leia maisP IBpm = C+ I+ G+X F = = b) Despesa Nacional. PNBpm = P IBpm+ RF X = ( ) = 59549
Capíulo 2 Soluções: Medição da Acividade Económica Exercício 24 (PIB pelaópica da despesa) i. Usando os valores da abela que consa do enunciado, a solução das várias alíneas é imediaa, basando para al
Leia maisTeoremas Básicos de Equações a Diferenças Lineares
Teoremas Básicos de Equações a Diferenças Lineares (Chiang e Wainwrigh Capíulos 17 e 18) Caracerização Geral de Equações a diferenças Lineares: Seja a seguine especificação geral de uma equação a diferença
Leia maisyy + (y ) 2 = 0 Demonstração. Note que esta EDO não possui a variável independente e assim faremos a mudança de variável
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4-018.1 1A VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM - PARTE Nome Legível Turma RG CPF Resposas sem
Leia mais4 Análise de Sensibilidade
4 Análise de Sensibilidade 4.1 Considerações Gerais Conforme viso no Capíulo 2, os algorimos uilizados nese rabalho necessiam das derivadas da função objeivo e das resrições em relação às variáveis de
Leia maisO gráfico que é uma reta
O gráfico que é uma rea A UUL AL A Agora que já conhecemos melhor o plano caresiano e o gráfico de algumas relações enre e, volemos ao eemplo da aula 8, onde = + e cujo gráfico é uma rea. Queremos saber
Leia maisPROVA PARA OS ALUNOS DO 1o. ANO DO ENSINO MÉDIO. 15 a ORMUB/2007 OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA PROVA PARA OS ALUNOS DO 1º ANO DO ENSINO MÉDIO
5 a ORMUB/7 OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA PROVA PARA OS ALUNOS DO º ANO DO ENSINO MÉDIO NOME: ESCOLA: CIDADE: INSTRUÇÕES AVALIAÇÃO Ese caderno coném 5 (cinco) quesões. A solução de cada quesão, bem
Leia maisESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II
ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 2º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema II Inrodução ao Cálculo Diferencial II TPC nº 9 Enregar em 4 2 29. Num loe de bolbos de úlipas a probabilidade de que
Leia maisSeção 5: Equações Lineares de 1 a Ordem
Seção 5: Equações Lineares de 1 a Ordem Definição. Uma EDO de 1 a ordem é dia linear se for da forma y + fx y = gx. 1 A EDO linear de 1 a ordem é uma equação do 1 o grau em y e em y. Qualquer dependência
Leia maisMovimento unidimensional. Prof. DSc. Anderson Cortines IFF campus Cabo Frio MECÂNICA GERAL
Movimeno unidimensional Prof. DSc. Anderson Corines IFF campus Cabo Frio MECÂNICA GERAL 218.1 Objeivos Ter uma noção inicial sobre: Referencial Movimeno e repouso Pono maerial e corpo exenso Posição Diferença
Leia maisPROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO
PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3 o ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - JUNHO DE. ELABORAÇÃO: PROFESSORES ADRIANO CARIBÉ E WALTER PORTO. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÃO % dos membros
Leia maisTabela: Variáveis reais e nominais
Capíulo 1 Soluções: Inrodução à Macroeconomia Exercício 12 (Variáveis reais e nominais) Na abela seguine enconram se os dados iniciais do exercício (colunas 1, 2, 3) bem como as soluções relaivas a odas
Leia mais3 Estudo da Barra de Geração [1]
3 Esudo da Barra de eração [1] 31 Inrodução No apíulo 2, raou-se do máximo fluxo de poência aiva e reaiva que pode chear à barra de cara, limiando a máxima cara que pode ser alimenada, e do possível efeio
Leia maisInstituto de Física USP. Física V - Aula 26. Professora: Mazé Bechara
Insiuo de Física USP Física V - Aula 6 Professora: Mazé Bechara Aula 6 Bases da Mecânica quânica e equações de Schroedinger. Aplicação e inerpreações. 1. Ouros posulados da inerpreação de Max-Born para
Leia maisRÁPIDA INTRODUÇÃO À FÍSICA DAS RADIAÇÕES Simone Coutinho Cardoso & Marta Feijó Barroso UNIDADE 3. Decaimento Radioativo
Decaimeno Radioaivo RÁPIDA ITRODUÇÃO À FÍSICA DAS RADIAÇÕES Simone Couinho Cardoso & Mara Feijó Barroso Objeivos: discuir o que é decaimeno radioaivo e escrever uma equação que a descreva UIDADE 3 Sumário
Leia maisTRANSFORMADA DE FOURIER NOTAS DE AULA (CAP. 18 LIVRO DO NILSON)
TRANSFORMADA DE FOURIER NOTAS DE AULA (CAP. 8 LIVRO DO NILSON). CONSIDERAÇÕES INICIAIS SÉRIES DE FOURIER: descrevem funções periódicas no domínio da freqüência (ampliude e fase). TRANSFORMADA DE FOURIER:
Leia maisFormas Quadráticas e Cônicas
Formas Quadráicas e Cônicas Sela Zumerle Soares Anônio Carlos Nogueira (selazs@gmail.com) (anogueira@uu.br). Resumo Faculdade de Maemáica, UFU, MG Nesse rabalho preendemos apresenar alguns resulados da
Leia maisQuantização de canal via códigos reticulados provenientes de corpos ciclotômicos Q(ζ 9.2 s)
Trabalho apresenado no DINCON, Naal - RN, 2015. Proceeding Series of he Brazilian Sociey of Compuaional and Applied Mahemaics Quanização de canal via códigos reiculados provenienes de corpos cicloômicos
Leia maisCapítulo Cálculo com funções vetoriais
Cálculo - Capíulo 6 - Cálculo com funções veoriais - versão 0/009 Capíulo 6 - Cálculo com funções veoriais 6 - Limies 63 - Significado geomérico da derivada 6 - Derivadas 64 - Regras de derivação Uiliaremos
Leia maisVoo Nivelado - Avião a Hélice
- Avião a Hélice 763 º Ano da icenciaura em ngenharia Aeronáuica edro. Gamboa - 008. oo de ruzeiro De modo a prosseguir o esudo analíico do desempenho, é conveniene separar as aeronaves por ipo de moor
Leia maisCinemática em uma dimensão. o Posição, deslocamento velocidade, aceleração. o Movimento com aceleração constante, o Queda livre
Cinemáica em uma dimensão o Posição, deslocameno velocidade, aceleração. o Movimeno com aceleração consane, o Queda livre Mecânica( Dinâmica! é! o! esudo! do! movimeno! de! um! corpo! e! da! relação!dese!movimeno!com!conceios!lsicos!como!força!
Leia maisAula 6 Geração de Grades
Universidade Federal do ABC Aula 6 Geração de Grades EN34 Dinâmica de Fluidos Compuacional TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS Grade de ponos discreos A abordagem de diferenças finias apresenada aé agora, que
Leia maisResolução. Caderno SFB Enem
Caderno SFB Enem COMENTÁRIOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 0. Do enunciado, emos: y x k, onde k é a consane de proporcionalidade. Assim: 6 5 k k 50 Logo: y x 50 y 5 50 y 0. Seja L a quanidade de laranjas ransporadas:
Leia maisCircuitos Elétricos I EEL420
Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuios Eléricos I EEL420 Coneúdo 1 - Circuios de primeira ordem...1 1.1 - Equação diferencial ordinária de primeira ordem...1 1.1.1 - Caso linear, homogênea, com
Leia maisCaracterísticas dos Processos ARMA
Caracerísicas dos Processos ARMA Aula 0 Bueno, 0, Capíulos e 3 Enders, 009, Capíulo. a.6 Morein e Toloi, 006, Capíulo 5. Inrodução A expressão geral de uma série emporal, para o caso univariado, é dada
Leia maisQuestão 1 Questão 2. Resposta. Resposta
Quesão Quesão Dois amigos, Alfredo e Bruno, combinam dispuar a posse de um objeo num jogo de cara coroa. Alfredo lança moedas e Bruno moedas, simulaneamene. Vence o jogo e, conseqüenemene, fica com o objeo,
Leia maisCálculo Diferencial e Integral II - Tagus Park 1o. Semestre 2015/2016 1o. Teste 07/Novembro/2015 JUSTIFIQUE AS SUAS RESPOSTAS. x y 2 x 2 +y 2 (b) lim
Cálculo Diferencial e Inegral II - Tagus Park o. Semesre 5/6 o. Tese 7/Novembro/5 JUSTIFIQUE AS SUAS RESPOSTAS RESOLUÇÃO..5+.5 vals.) Calcule ou mosre que não eise: a) a) + b) + + 4 + + Como, não eise.
Leia maisUniversidade Federal do Rio de Janeiro
Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuios Eléricos I EEL42 Coneúdo 8 - Inrodução aos Circuios Lineares e Invarianes...1 8.1 - Algumas definições e propriedades gerais...1 8.2 - Relação enre exciação
Leia maisQUESTÕES DISCURSIVAS. Questão 1. Questão 2. Questão 3. Resposta. Resposta
QUESTÕES DISCURSIVAS Quesão a) O piso de uma sala reangular de 00 dm de comprimeno por 0 dm de largura vai ser revesido com placas quadradas, as maiores possíveis. Qual é a área de cada uma? b) Sobre uma
Leia maisMÉTODOS PARAMÉTRICOS PARA A ANÁLISE DE DADOS DE SOBREVIVÊNCIA
MÉTODOS PARAMÉTRICOS PARA A ANÁLISE DE DADOS DE SOBREVIVÊNCIA Nesa abordagem paramérica, para esimar as funções básicas da análise de sobrevida, assume-se que o empo de falha T segue uma disribuição conhecida
Leia maisAplicações à Teoria da Confiabilidade
Aplicações à Teoria da ESQUEMA DO CAPÍTULO 11.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 11.2 A LEI DE FALHA NORMAL 11.3 A LEI DE FALHA EXPONENCIAL 11.4 A LEI DE FALHA EXPONENCIAL E A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 11.5 A LEI
Leia maisAnálise Matemática II
Análise Maemáica II Exame/Tese 3 - de Junho de 5 Licenciaura em Eng. Informáica e de Compuadores Nome: Número: Exame: Todas as pergunas Tese: Pergunas 5, 6, 7, 8 e 9 Indique na erceira coluna da abela
Leia maisDISCIPLINA SÉRIE CAMPO CONCEITO
Log Soluções Reforço escolar M ae máica Dinâmica 4 2ª Série 1º Bimesre DISCIPLINA SÉRIE CAMPO CONCEITO Maemáica 2ª do Ensino Médio Algébrico simbólico Função Logarímica Primeira Eapa Comparilhar Ideias
Leia maisO cliente é a razão do nosso trabalho, a fim de inseri-lo em um novo contexto social de competitividade e empregabilidade.
Sumário nrodução 5 O circuio série em correne alernada 6 A correne em circuios série 6 Gráficos senoidais do circuio série 7 Gráficos fasoriais do circuio série 10 mpedância do circuio série 1 A correne
Leia mais+ 3.. = + + = =
MATEMÁTICA Dois amigos, Alfredo e Bruno, combinam dispuar a posse de um objeo num jogo de "cara ou coroa". Alfredo lança moedas e Bruno moedas, simulaneamene. Vence o jogo e, conseqüenemene, fica com o
Leia maisConfiabilidade e Taxa de Falhas
Prof. Lorí Viali, Dr. hp://www.pucrs.br/fama/viali/ viali@pucrs.br Definição A confiabilidade é a probabilidade de que de um sisema, equipameno ou componene desempenhe a função para o qual foi projeado
Leia mais2.6 - Conceitos de Correlação para Sinais Periódicos
.6 - Conceios de Correlação para Sinais Periódicos O objeivo é o de comparar dois sinais x () e x () na variável empo! Exemplo : Considere os dados mosrados abaixo y 0 x Deseja-se ober a relação enre x
Leia maisCapítulo 2: Proposta de um Novo Retificador Trifásico
30 Capíulo 2: Proposa de um Novo Reificador Trifásico O mecanismo do descobrimeno não é lógico e inelecual. É uma iluminação suberrânea, quase um êxase. Em seguida, é cero, a ineligência analisa e a experiência
Leia maisDefinição 0.1. Define se a derivada direcional de f : R n R em um ponto X 0 na direção do vetor unitário u como sendo: df 0) = lim t 0 t (1)
Cálculo II - B profs.: Heloisa Bauzer Medeiros e Denise de Oliveira Pino 1 2 o semesre de 2017 Aulas 11/12 derivadas de ordem superior/regra da cadeia gradiene e derivada direcional Derivadas direcionais
Leia mais4a. Lista de Exercícios
UFPR - Universidade Federal do Paraná Deparameno de Maemáica Prof. José Carlos Eidam CM4 - Cálculo I - Turma C - / 4a. Lisa de Eercícios Inegrais impróprias. Decida quais inegrais impróprias abaio são
Leia maisA entropia de uma tabela de vida em previdência social *
A enropia de uma abela de vida em previdência social Renao Marins Assunção Leícia Gonijo Diniz Vicorino Palavras-chave: Enropia; Curva de sobrevivência; Anuidades; Previdência Resumo A enropia de uma abela
Leia maisMATEMÁTICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO E LOGÍSTICA. Silvio A. de Araujo Socorro Rangel
MAEMÁICA APLICADA AO PLANEJAMENO DA PRODUÇÃO E LOGÍSICA Silvio A. de Araujo Socorro Rangel saraujo@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br Apoio Financeiro: PROGRAMA Inrodução 1. Modelagem maemáica: conceios
Leia maisCurvas e Superfícies Paramétricas
Curvas e Superfícies araméricas Eemplo de superfícies NURBS Curvas e Superfícies ara aplicações de CG normalmene é mais conveniene adoar a forma paramérica Independene do sisema de coordenadas Represenação
Leia mais3 Metodologia 3.1. O modelo
3 Meodologia 3.1. O modelo Um esudo de eveno em como obeivo avaliar quais os impacos de deerminados aconecimenos sobre aivos ou iniciaivas. Para isso são analisadas as diversas variáveis impacadas pelo
Leia maisF B d E) F A. Considere:
5. Dois corpos, e B, de massas m e m, respecivamene, enconram-se num deerminado insane separados por uma disância d em uma região do espaço em que a ineração ocorre apenas enre eles. onsidere F o módulo
Leia maisIntrodução ao Controle Ótimo: Otimização de funções e funcionais. Otimização paramétrica. Problema de controle ótimo com tempo final fixo.
Inrodução ao Conrole Óimo: Oimização de funções e funcionais. Oimização paramérica. Problema de conrole óimo com empo final fio. Oimização Deerminação de uma ação que proporciona um máimo de benefício,
Leia maisCinemática unidimensional
0.1 Problemas correspondenes ao Capíulo 2 1 0.1 Problemas correspondenes ao Capíulo 2 Cinemáica unidimensional 1. A conclusão de Zeca esá errada. Podemos verificar isso mesmo anes de fazer qualquer cálculo,
Leia maisMotivação. Prof. Lorí Viali, Dr.
Moivação rof. Lorí Viali, Dr. vialli@ma.ufrgs.br hp://www.ma.ufrgs.br/~vialli/ Na práica, não exise muio ineresse na comparação de preços e quanidades de um único arigo, como é o caso dos relaivos, mas
Leia maisCapítulo 2: Conceitos Fundamentais sobre Circuitos Elétricos
SETOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA TE041 Circuios Eléricos I Prof. Ewaldo L. M. Mehl Capíulo 2: Conceios Fundamenais sobre Circuios Eléricos 2.1. CARGA ELÉTRICA E CORRENTE ELÉTRICA
Leia maisestá localizado no cruzamento da i-ésima linha com a j-ésima coluna.
MATRIZES 1. DEFINIÇÕES As marizes são frequenemene usadas para organizar dados, como uma abela indexada. Por exemplo, as noas dos alunos de uma escola podem ser disposas numa mariz cujas colunas correspondem
Leia mais3 Modelos de Markov Ocultos
23 3 Modelos de Markov Oculos 3.. Processos Esocásicos Um processo esocásico é definido como uma família de variáveis aleaórias X(), sendo geralmene a variável empo. X() represena uma caracerísica mensurável
Leia maisSéries de Tempo. José Fajardo. Agosto EBAPE- Fundação Getulio Vargas
Séries de Tempo Inrodução José Faardo EBAPE- Fundação Geulio Vargas Agoso 0 José Faardo Séries de Tempo . Por quê o esudo de séries de empo é imporane? Primeiro, porque muios dados econômicos e financeiros
Leia maisEscola Secundária da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo de 2003/04 Funções exponencial e logarítmica
Escola Secundária da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Maemáica Ano Lecivo de 003/04 Funções eponencial e logarímica - º Ano Nome: Nº: Turma: 4 A função P( ) = 500, 0, é usada para deerminar o valor de um
Leia maisMatemática e suas Tecnologias
Maemáica A. c Seja x o valor pago pelas 79 cabeças de gado. Assim cada uma das 7 cabeças foi vendida por Maemáica e suas Tecnologias Resoluções ENEM x. Meses depois o 7 valor ganho com as 9 cabeças resanes
Leia maisBiofísica II Turma de Biologia FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Biologia de Populações 2 Modelos não-lineares. Modelos Não-Lineares
Modelos Não-Lineares O modelo malhusiano prevê que o crescimeno populacional é exponencial. Enreano, essa predição não pode ser válida por um empo muio longo. As funções exponenciais crescem muio rapidamene
Leia maisIntrodução às Medidas em Física
Inrodução às Medidas em Física 43152 Elisabeh Maeus Yoshimura emaeus@if.usp.br Bloco F Conjuno Alessandro Vola sl 18 agradecimenos a Nemiala Added por vários slides Conceios Básicos Lei Zero da Termodinâmica
Leia maisAPLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES EM DIFERENÇAS NA SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS EM CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS
3 APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES EM DIFERENÇAS NA SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS EM CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS Gusavo Baisa de Oliveira (Uni-FACEF) Anônio Carlos da Silva Filho (Uni-FACEF) INTRODUÇÃO A Renda Nacional,
Leia maisPROVA DE ENGENHARIA GRUPO II
Quesão 34 PROVA DE ENGENHARIA GRPO II Resposa esperada a) (Alernaiva 1) Ober inicialmene o equivalene elérico do corpo umano e depois monar o circuio elérico equivalene do sisema. Assim, pela Figura, noa-se
Leia maisA CONTABILIZAÇÃO DOS LUCROS DO MANIPULADOR 1
16 : CADERNOS DO MERCADO DE VALORES MOBILIÁRIOS A CONTABILIZAÇÃO DOS LUCROS DO MANIPULADOR 1 PAULO HORTA* A esimaiva dos lucros obidos pelo preenso manipulador apresena-se como uma arefa imporane na análise
Leia mais4 Metodologia Proposta para o Cálculo do Valor de Opções Reais por Simulação Monte Carlo com Aproximação por Números Fuzzy e Algoritmos Genéticos.
4 Meodologia Proposa para o Cálculo do Valor de Opções Reais por Simulação Mone Carlo com Aproximação por Números Fuzzy e Algorimos Genéicos. 4.1. Inrodução Nese capíulo descreve-se em duas pares a meodologia
Leia maisExercício Exemplo de Análise Matricial de Estruturas
Exercício Exempo de Anáise Maricia de Esruura Exercício Exempo de Anáise Maricia de Esruuras Dada a esruura abaixo, deermine os desocamenos no nó e as reações de apoio uiizando a anáise maricia de esruuras.
Leia maisAnálise de Projectos ESAPL / IPVC. Critérios de Valorização e Selecção de Investimentos. Métodos Dinâmicos
Análise de Projecos ESAPL / IPVC Criérios de Valorização e Selecção de Invesimenos. Méodos Dinâmicos Criério do Valor Líquido Acualizado (VLA) O VLA de um invesimeno é a diferença enre os valores dos benefícios
Leia maisCircuitos elétricos oscilantes. Circuito RC
Circuios eléricos oscilanes i + - Circuio C Processo de carga do capacior aé V c =. Como C /V c a carga de euilíbrio é C. Como variam V c, i e durane a carga? Aplicando a Lei das Malhas no senido horário
Leia maisx x9 8 + x13 1 cos (t) t f(x) = (a) Manipulando algebricamente a expressão da soma: 8 + x12 (t) dt = 1 t 4 dt 4 ln 1
Turma A Quesão : (3,5 ponos Insiuo de Maemáica e Esaísica da USP MAT455 - Cálculo Diferencial e Inegral IV para Engenharia a. Prova - o. Semesre 3-4//3 (a Obenha uma expressão da série abaixo e o respecivo
Leia mais4 O modelo econométrico
4 O modelo economérico O objeivo desse capíulo é o de apresenar um modelo economérico para as variáveis financeiras que servem de enrada para o modelo esocásico de fluxo de caixa que será apresenado no
Leia maisAPÊNDICE A. Rotação de um MDT
APÊNDICES 7 APÊNDICE A Roação de um MDT 8 Os passos seguidos para a realização da roação do MDT foram os seguines: - Deerminar as coordenadas do cenro geomérico da região, ou pono em orno do qual a roação
Leia mais