Quantização de canal via códigos reticulados provenientes de corpos ciclotômicos Q(ζ 9.2 s)

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1 Trabalho apresenado no DINCON, Naal - RN, Proceeding Series of he Brazilian Sociey of Compuaional and Applied Mahemaics Quanização de canal via códigos reiculados provenienes de corpos cicloômicos Q(ζ 9.2 s) Edson Donizee de Carvalho 1 Deparameno de Maemáica, Unesp, Ilha Soleira, SP Azucena M. Duare Zelaya 2 Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elérica, PUC-Rio, Rio de Janeiro, RJ Jozué Vieira Filho 3 Curso de Engenharia de Telecomunicações, Unesp, S.J.da Boa Visa, SP Resumo. Por meio da eoria algébrica dos números propomos um eficiene méodo baseado na esraégica compue-and-forward para quanização de coeficienes de um canal associado a problemas de codificação em redes. O desenvolvimeno desa écnica é realizado via parição de cadeias de códigos reiculados definidos sobre o anel de ineiros Eisenein-Jacobi, obidos a parir de corpos cicloômicos Q(ζ 9.2 s) com s 2, onde ζ 9.2 s denoa raiz 9.2 s -ésima da unidade. Palavras-chave. Anéis de Ineiros, Códigos Reiculados, Corpos de Números, Quanização de Canal, Técnica Compue and Forward. 1 Inrodução Um ípico problema de ransmissão de informação em uma rede sem fio é de que qualquer recepor não somene capura o sinal a parir de seu ransmissor designado, mas ambém a parir de odos os ouros ransmissores próximos al comporameno é conhecido por inerferência. A inerferência sempre foi visa como um obsáculo na comunicação em redes sem fio, diversos algorímos e proocolos foram desenvolvidos para conornar problemas desa naureza. Recenemene foi proposa uma nova écnica denominada de compue-and-forward [5] que ira proveio da inerferência para ober alas axas enre os ransmissores de uma rede. Cada relé, indexado por m = 1, 2,..., M, observa as combinações ruídosas dos sinais ransmiidos aravés do canal dadas por: 1 edson@ma.feis.unesp.br 2 azucenaduare23@gmail.com 3 jozue@sjbv.unesp.br DOI: / SBMAC

2 2 y m = L h ml x l + z m, (1) l=1 onde y m denoa o sinal recebido, x m denoa o sinal rasmiido, h ml denoa o canal e z m o ruído no canal. Esa écnica permie que os relés decodifiquem equações lineares das mensagens ransmiidas por meio de combinações lineares ruídosas que são fornecidas pelo canal. Após os relés decodificam esas equações lineares, eles enviam esas mesmas aos desinos, os quais para um dado número suficiene de equações lineares é capaz de recuperar as mensagens ransmiidas aravés da quanização dos coeficienes do canal. 2 Descrição Maemáica do Problema Tunali [5] provou a exisência de cadeias de parições infinias de códigos reiculados aninhados que são simulâneamene bons para problemas de codificação de canal e de quanização. Códigos reiculados aninhados são obidos via a a Consrução A, uma écnica que permie ober reiculados aravés do mergulho de um código linear definido sobre um corpo finio F p em R N ou em C N. Em [5], os auores mosraram a exisência de uma cadeia infinia de códigos reiculados aninhados sobre Z[ω] (o anel de ineiros de Eisenein-Jacobi), garanindo que a écnica compue and forward possa ser aplicada. O que permie que a analise possa ser realizada via um canal equivalene ao anerior induzido pela ransformação módulo Λ. Nese novo modelo de canal virual cada relé analise os ponos reiculados dados por combinações sobre Z[ω] como sendo a ml l sob a ação de um ruído efeivo z eq,m, iso é, y m = L a ml l + z eq,m. (2) l=1 Supomos que ao aplicarmos a ransformação uniária U recebemos o veor (2). Assim, eremos ȳ m = Uy m = L a ml U l + Uz eq,m, (3) l=1 onde z eq,m é um ruído Gaussiano que é circular complexo dado por (3). Agora, analisaremos os veores da forma a ml U l. Por simplicidade de noação, escreveremos da forma x = h U x, (4) DOI: / SBMAC

3 3 onde x = l é o pono reiculado ransmiido pelo considerado usuário e h = a ml é o coeficiene do canal. Podemos reescrever da maneira h h U x = H U x. (5) 0 0 h Nossa mea é a de quanizar a marix diagonal H por uma oura mariz diagonal. Faremos a abordagem maricial dese problema via códigos reiculados e as marizes diagonais que usaremos na quanização será obido como conseguência do procedimeno algébrico que na qual mosraremos que cada mariz geradora M k associado a cada código reiculado da cadeia infinia de parição de códigos reiculados é expressa na forma M k = B k M, onde M é uma mariz geradora de um reiculado da parição e cada B k é mariz diagonal. 3 Formulação e Solução Maemáica do Problema A formulação e resolução do problema em quesão será baseado na eoria algébrica dos números. Nese senido, consideremos uma cadeias de corpos cicloômicos dados por Q L 0 L 1 L 2... L s, saisfazendo a condição de que L 0 = Q(ω), L 1 = L 0 (ζ 9.2 ) e para odo s 2 emos L s = Q(ζ 9.2 s), onde ω = i 3 2 denoam as raízes erceira 9.2 s -ésima da unidade, respecivamene. A cadeia acima ambém pode ser denoada por L s /L s 1 / /L 2 /L 1. Cada corpo L s pode ser viso como um espaço veorial sobre Q ou sobre corpo cicloômico L s 1. Diremos que L s /L s 1 é uma exensão finia de corpos se L s viso como espaço veorial sobre L s em dimensão finia. Associado a cada exensão finia de corpos L s /L s 1, emos como consequência do fao de que ζ9.2 2 s = ζ 9.2 s 1 e L s = L s 1 (ζ 9.2 s) as sequines relações: 1. {1, ζ 9.2 s} é uma base de L s sobre L s 1 endo ζ 9.2 s como raiz do polinômio minimal p s (x) = (x ζ 9.2 s)(x + ζ 9.2 s) e com o grupo de Galois associado a exensão dado por Gal(L s /L s 1 ) = {id, σ s } onde σ s denoa as permuações das raízes do polinômio minimal p s. 2. {1, ζ 9.2 s,..., ζ9.2 s } é uma base de L s sobre K endo ζ 9.2 s como raiz do polinômio minimal µ ζ9.2 s (x) = k=0 (x ζk 9.2 s). As raízes de µ ζ 9.2 s (x) e com o grupo de Galois associado a exensão de corpos L/K é dado por Gal(L/F ) = {σ j : σ j (ζ 9.2 s) = ζ j 9.2 s, j = 0, 1,..., N 1}, onde N = 3.2s 1 se K = Q e N = 3.2 s 2 se K = Q(ω). 3. O conjuno dos elemenos de L obido como um módulo sobre Z gerado pela base {1, ζ 9.2 s, ζ9.2 2 s,, ζ2s s } é chamado de anel de ineiros de L denoado por O L ou Z[ζ 9.2 s]. Convém, desde que O L ambém pode ser viso como um módulo sobre Z[ω] gerado pela base {1, ζ 9.2 s, ζ9.2 2 s,, ζ2s s }. A parir de uma exensão finia de corpos L/K de grau, podemos definir o raço e a norma relaiva de um elemeno α O L como sendo os ineiros algébricos T r L/K (α) = DOI: / SBMAC

4 4 1 σ i(α) and N L/K (α) = 1 σ i(α), respecivamene. Observe que T r L/K (α) e N L/K (α) perence a O K. Caso L/K/Q seja uma cadeia de exensões finias de corpos, enão para cada elemeno α L vale N L/Q (α) = N K/Q (N L/K (α)). Se α, β L, enão N L/Q (αβ) = N L/Q (α)n L/Q (β). Exemplo Seja α = 1 ω Q(ω) enão N Q(ω)/Q (1 ω) = id(1 ω)σ(1 ω) = 1 ω 2 = 3, onde σ 2 = id e Gal(Q(ω)/Q) = σ = {id, σ}. 2. Seja α = 1 ζ 9.2 s Z[ζ 9.2 s], enão, emos que N Q(ζ9.2 s)/q(9.2 s 1 )(1 ζ 9.2 s) = id(1 ζ 9.2 s)σ r (1 ζ 9.2 s) = (1 ζ 9.2 s)(1 + ζ 9.2 s) = 1 ζ s = 1 ζ 9.2 s 1. Os rabalhos [3] e [4] mosraram maneiras de se ober reiculados algébricos Λ isomorfos a reiculados Z[ω] N via famílias de corpos cicloômicos Q(ζ 9.2 s). A parir de um ideal I O L, podemos ober um reiculado algébrico complexo Λ como consequência dos mergulhos complexos de L em C N definido da seguine maneira σ : L C N, wih σ(x) = (σ 0 (x),, σ (x)), (6) onde σ i Gal(L/Q(ω)), i {0,..., N 1}. Seja {w 0,, w } a base inegral de O L sobre Z[ω], iso é, No caso paricular em que o ideal I = O L, obemos o reiculado complexo associado dado por Λ = {x = λm λ Z[ω] N }, onde M chamada de mariz geradora do reiculado algébrica Λ e é dada por: M = σ 0 (w 0 ) σ (w 0 )..... σ 0 (w ) σ (w ). (7) Por ouro lado, há uma oura mariz associado a um reiculado algébrico que chamamos de mariz Gram e dada por G = M.M, onde M denoa a mariz ransposa conjugada da mariz M. O próximo Proposição 3.1 esabelece a conexão enre reiculados algébricos obidos a parir de um anel de ineiros Z[ζ 9.2 s] e reiculados escalonados da forma Z[ω] N. Proposição 3.1. [3] A mariz geradora M 0 = ( 1 N )M do reiculado algébrico associado a Z[ζ 9.2 s] é uniária e a mariz Gram G = M 0 M 0 = Id, onde N = 3.2 s Consrução de cadeia de reiculados aninhados Dizemos que uma cadeia de reiculados Λ n 1,, Λ 1 esá aninhado no reiculado Λ se Λ n 1 Λ n 2 Λ 1 Λ. Faremos uso da eoria algébrica dos números para consruir expliciamene cadeias de reiculados aninhados. DOI: / SBMAC

5 5 Caso os reiculados desa cadeia de reiculados sejam códigos reiculados, enão denominamos de cadeia de códigos reiculados aninhados. Uma imporane classe de códigos reiculados podem serem obidos a parir de Z[ω] N. Para iso basa que consideremos o código C como sendo o conjuno de odos as N-uplas de Z[ω] N congruene modulo φ = 1 ω. Nese caso caso, obemos C Z[ω] N /φz[ω] N. Noe que a parir do reiculado complexo Z[ω] N podemos uma cadeia de parição infinia de subreiculados na forma Z[ω] N /φz[ω] N /φ 2 Z[ω] N / Forney [2] mosrou que podemos expressar φ k Z[ω] N por meio de uma fórmula código complexa φ k Z[ω] N = φ k 1 Z[ω] N + φ k 2 C k 1 + C 0, (8) e que eses reiculados complexos φ k Z[ω] N são idenificados por códigos lineares sobre o corpo finio F 3 e que podem serem visos como um ideal primo no anel faorial F 3 [x]/(x N 1) F N 3 O que garane que os códigos reiculados aninhados podem serem caracerizados na forma φ k Z[ω] N. Consideremos uma cadeia de ideais em Z[ζ 9.2 s] roulados por roulados por I k = (α) k Z[ζ 9.2 s], onde α = (1 ζ 9.2 s). Desde que {w 0,..., w } é uma base inegral do anel de ineiros Z[ζ 9.2 s] sobre Z[ω]. Da eoria de reiculados algébricos, emos que {α k w 0,..., α k w } é uma base inegral de ideal I k Z[ζ 9.2 s] viso como um módulo sobre Z[ω], onde w i = ζ9.2 i s i {0, 1,..., N 1}. No caso paricular em que k = 0, obemos ideal rivial I 0 = Z[ζ 9.2 s]. Para ese caso a mariz geradora M 0 do reiculado algébrico Λ 0 descria pela Proposição 3.1. A próxima Observação 3.1 que é baseada nos resulados de [3] e [4] que esabelecem uma imporane conexão enre reiculados algébricos Λ k associados aos ideais I k e a marizes geradoras de reiculados obidos via a forma raço. Observação 3.1. A mariz Gram G = M k M k concide a mariz TL/Q(ω) (αw j αw j ) j=0 para reiculados ideais, iso é reiculados obidos a aravés de ideais gerados por α via forma fórmula raço a parir de famílias de corpos cicloômicos Q(ζ 9.2 s). Assim, mariz Gram do reiculado Λ k é escria na forma G k = M.B k MB k, onde B k = diag(α k, σ(α k ),..., σ (α k )). A noação a denoa o conjugado ransposa de um elemeno a = a 1 + a 2 ω Z[ω] dada por a = a 1 + a 2 ω 2. No senido de fornecermos uma caracerização algébrica explicia dos reiculados obidos por meio da cadeia de ideais I k = (α k )Z[ζ 9.2 s] é que consideraremos a Proposição 3.2. Proposição 3.2. A norma relaiva N Q(ζ9.2 s)/q(ω) aplicada sobre o elemeno 1 ζ 9.2 s dada por N Q(ζ9.2 s)/q(ω)(1 ζ 9.2 s) = 1 ω, s > 2. é Demonsração. 1. para s = 0, segue-se que N Q(ζ9 )/Q(ω)(1 ζ 9 ) = id(1 ζ 9 )σ 3 (1 ζ 9 ) = (1 ζ 9 )(1 + ζ 9 ) = 1 ζ 2 9 = 1 ω. 2. Assumiremos por indução sobre s 1 que N Q(ζ9.2 s 1 )/Q(ω)(1 ζ 9.2 s 1) = 1 ω. DOI: / SBMAC

6 6 Pelo iem (2) do Exemplo 3.1, emos que N Q(ζ9.2 s)/q(9.2 s 1 )(1 ζ 9.2 s) = 1 ζ 9.2 s 1. Pela propriedade de norma relaiva em uma exensão finia de corpos, emos que N Q(ζ9.2 s)/q(ω)(1 ζ 9.2 s) = N Q(ζ9.2 s 1 )/Q(ω)(N Q(ζ9.2 s)/q(9.2 s 1 )(1 ζ 9.2 s)). Porano,concluímos que N Q(ζ9.2 s)/q(ω)(1 ζ 9.2 s) = 1 ω. Proposição 3.3. Seja α = 1 ζ 9.2 s. Para cada reiculado ideal Λ k in C N associado a um ideal I k = (α) k Z[ζ 9.2 s] é isomorfo a um código reiculado (1 ω) k Z[ω] N para odo ineiro k 1. Demonsração. Analisaremos primeiro a mariz Gram marix G = M k M k associada ao reiculado ideal Λ k. Temos que a mariz M k pode ser escria na forma M k = σ α (ζ j 9.2 s) j=0.diag(αk,..., σ k (α k )) e M k = σ(wj )) j=0.diag(αk,..., σ k (α k )) Usando de forma conveniene as propriedades da ransposa conjugada do produo de marizes, podemos expressar a mariz Gram por: G = (σ α (ζ j 9.2 s) j=0 ).(σ α(ζ j 9.2 s)) j=0 ) σ i (α k ) σ i (α k ). No enano, emos que M 0 = (σ α (ζ j 9.2 s) j=0 ) e σ i(α) = N Q(ζ9.2 s)/q(ω)(α k ). Pelo Exemplo 3.2, emos N Q(ζ9.2 s)/q(ω)(α) = 1 ω. Assim, obemos N Q(ζ9.2 s)/q(ω)(α) k = (1 ω) k. O que nos permie reescrever G na forma G = (1 ω) k M 0 ((1 ω)) k M 0 M 0 = M0 M 0 = (1 ω) k M 0 (1 ω) k M 0 (9) Desde que M 0 é a mariz geradora do código reiculado Z[ω] N, podemos concluir que (1 ω) k M 0 denoa a mariz geradora do código reiculado (1 ω) k Z[ω] N. Um fao bem conhecido é que a parir da sequência de ideais I k Z[ζ 9.2 s] em Z[ζ 9.2 s], podemos ober uma oura sequência de ideais I k Z[ζ 9.2 s] inversos de I k Z[ζ 9.2 s] em Z[ζ 9.2 s]. Eses ideais são definidos por I k = {x Q(ζ 9.2 s) xi k Z[ζ 9.2 s]} e ambém saisfazem a relação de que O L = I k I k. logo, obemos a próxima Proposição. Proposiion 3.1. Seja α = 1 ζ 9.2 s. Enão para cada reiculado ideal Λ k em C N associado a um ideal I k = (α) k 1 Z[ζ 9.2 s] é isomorfo a um código reiculado Z[ω] N (1 ω) k para odo ineiro negaivo k 1. Demonsração. A demonsração é análoga é realizada na Proposição 3.3. A única diferença é de que nese caso ao desenvolver a mariz Gramm do reiculado Λ k, obemos G = (σ α (ζ j 9.2 s) j=0 ).(σ α(ζ j 9.2 s)) j=0 ) σ i (α) k σ i (α) k. DOI: / SBMAC

7 7 Uilizando o fao de que σ i(α) k = ( σ i(α) k ) 1 = (N Q(ζ9.2 s)/q(ω)(α) k ) 1, obem-se o desejado. 4 Resulados A parir da cadeis de ideais I k = (α k )Z[ζ 9.2 s] para α = 1 ζ 9.2 s e k ineiro, obemos uma cadeia infinia de reiculados complexas... /Λ... /Λ 1 Λ 0 /Λ 1 /..., Λ... que corresponde a uma cadeia infinia de códigos reiculados... /(1 ω) k Z[ω] N /... /(1 ω) 1 Z[ω] N /Z[ω] N /(1 ω)z[ω] N /... /(1 ω) k Z[ω] N /..., onde cada reiculado complexo Λ k é isomorfo a um código reiculado (1 ω) k Z[ω] N. 5 Conclusões Propomos uma novo méodo para aproximar os coeficienes de um canal a parir de cadeias de paricões infinias de códigos reiculados sobre Z[ω]. Agradecimenos Os auores agradecem a Fapesp pelo apoio financeiro, Processo Fapesp 2013/ Referências [1] J.H. Conway and N.J.A. Sloane; Sphere packings, laices and groups, Springer-Verlag, New York, [2] G. D. Forney; Cose Codes - Par I: Inroducion and geomerical classificaion, IEEE Trans. Inform. Theory, 34, , [3] X. Giraud; E. Bouilon and J. C. Belfiore, Algebraic ools o buil modulaion schemes for fading channels, IEEE Trans. Inform. Theory, 43(3), (1997) [4] F. Oggier; Algebraic mehods for channel coding, Phd disseraion École Polyechnique Fédérale de Lausanne, Lausanne, [5] N. E. Tunali; K. R. Narayanan; J. J. Bouros and Y.C. Huang, Laices over Eisenein ineger for compue-and-forward, Fifieh Annual Conference Alleron House, UIUC, Illinois, USA, Ocober 1-5, 2012, pp DOI: / SBMAC