SIMULAÇÃO DA DINÂMICA E IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS EM UMA MESA XY DE MÁQUINA-FERRAMENTA

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1 Revisa Iberoamericana de Ingeniería Mecánica. Vol., N.º, pp. 57-7, 6 SIMULAÇÃO DA DINÂMICA E IDENIFICAÇÃO DE PARÂMEROS EM UMA MESA XY DE MÁQUINA-FERRAMENA VALDEMIR MARIANO, JOSÉ FELICIO DA SILVA, JOÃO BOSCO DE AQUINO SILVA, JOSÉ FÁBIO DE LIMA NASCIMENO, JOÃO CARLOS BARBOSA DA SILVA Cenro Federal de Educação ecnológica de Pernambuco (CEFE PE/UNED Pesqueira) Curso de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica Cenro de ecnologia, UFPB Campus I CEP: , João Pessoa, PB, Brasil Deparameno de ecnologia Mecânica (Recibido 6 de abril de 4, revisado 5 de noviembre de 4, para publicación de enero de 5) Resumo A proposa dese rabalho é modelar, simular a dinâmica e esimar os parâmeros de uma mesa XY aplicada em máquinas-ferramena convencionais para permiir o conrole usando esraégias adapaivas. Para iso, o modelo dinâmico será simulado aravés do méodo de Newmark e a esimação dos parâmeros, parâmeros modais e sinal de exciação será desenvolvida por rês méodos: mínimos quadrados clássico (LS), mínimos quadrados recursivo (RLS) e mínimos quadrados esendido (ELS), para efeio de análise e comparação da performance dos resulados de esimação. Palavras chave Idenificação, máquina ferramena, modelagem dinâmica, méodo numérico.. INRODUÇÃO No âmbio das máquinas-ferramena, a busca crescene por flexibilidade, rapidez e exaidão de fabricação para alcançar meas de qualidade e compeiividade indusrial, ainge principalmene os sisemas de posicionameno. As mesas XY esão presenes em diversos ipos de máquinas-ferramena e em a função de posicionar adequadamene a peça para o rabalho de usinagem. Diversos rabalhos em sido publicados focalizando aspecos de projeo e conrole de mesas XY aplicadas em máquinas-ferramena objeivando aingir melhores requisios de exaidão, rapidez e confiabilidade [] [] [3]. Uma boa exaidão de posicionameno somene é possível se a dinâmica da mesa for bem conhecida, bem como, as fones de erro auanes, o que sem dúvida fornecerá informações que permiirão um bom desempenho do sisema de conrole. Um posicionador de mesa XY é formado por diversos componenes mecânicos como fuso, porca, mancais, guias, enre ouros, porém, as caracerísicas dinâmicas dese conjuno nem sempre podem ser medidas ou fornecidas pelos fabricanes. O comporameno dinâmico do posicionador é influenciado por cada um de seus componenes. Porano, os parâmeros de um posicionador, dependem dos componenes uilizados, e somene podem ser alerados por subsiuição deses componenes. Para que se possa esudar um posicionador sob o aspeco de sua dinâmica é necessário que se enha um modelo que o descreva suficienemene bem. Na modelagem deve-se maner um compromisso enre a fidelidade do modelo ao sisema real e a complexidade do cálculo. A descrição do comporameno dinâmico pode ser feia no domínio do empo ou no domínio da freqüência. Para descrever um sisema no domínio do empo, modela-se o sisema, escreve-se as leis físicas perinenes, e a parir dessas, a equação diferencial que relaciona a grandeza de saída à grandeza de enrada. Aplicando-se uma exciação como enrada à equação governane da dinâmica do processo e solucionando-a, obém-se a expressão da resposa do sisema em função do empo. Pode-se ambém deerminar experimenalmene o comporameno dinâmico de um sisema real ou de um proóipo, aplicando-se sinais de exciação emporais à sua enrada, medindo e/ou regisrando-se o comporameno da saída. É possível descrever o comporameno dinâmico de um posicionador de mesa XY aravés de uma equa-

2 58 V. Mariano, J. F. da Silva, J. B. de Aquino Silva, J. F. de Lima Nascimeno, J. C. Barbosa da Silva Fig.. Mesa XY. ção diferencial e por meio de méodos de inegração numérica ober a solução do sisema para um deerminado sinal de exciação e condições iniciais. Conhecendo-se os sinais de enrada e saída resulanes do processo de simulação e aplicando-se écnicas de idenificação de parâmeros pode-se esimar os parâmeros desconhecidos do modelo e aé mesmo a fone de perurbação [4] auane aravés de méodos de esimação clássico e recursivo. Nese rabalho, será feia a modelagem dinâmica via equação diferencial e o méodo de Newmark [5] será uilizado para a simulação. O sinal de enrada será o de Schroeder [6] e serão empregadas as écnicas de esimação por mínimos quadrados clássico (LS), mínimos quadrados recursivo (RLS) e mínimos quadrados esendido (ELS). As écnicas de esimação recursivas são basane empregadas nos modelos de conrole adapaivo pela capacidade de esimar parâmeros em empo real. Serão idenificadas a dinâmica, os parâmeros modais e o sinal de exciação. As écnicas de esimação RLS e ELS serão invesigadas na idenificação experimenal da mesa em esudo objeivando a aplicação de écnicas adapaivas no conrole de posição do sisema. Idenificadas as caracerísicas dinâmicas da mesa, ou seja, a plana, é possível projear o conrolador para aender os requisios de desempenho do sisema no que ange a exaidão de posicionameno e velocidade de resposa. Como a dinâmica da mesa é variável com o empo devido a influência de diversos faores como ario, por exemplo, os conroladores adapaivos são uma opção basane araiva nesas aplicações. écnicas de conrole adapaivo já esão em esudo com ese fim e os modelos dinâmicos dos eixos conemplarão efeios de imporanes não-linearidades do processo que não foram considerados nese rabalho.. O MODELO DINÂMICO Posicionadores inegram diversos sisemas mecânicos ais como ornos, fresadoras, cenros de usinagem, máquinas de medição por coordenadas (MMC), enre ouros. A mesa posicionadora em esudo apresena dois eixos e foi pare inegrane de uma máquina fresadora convencional. Sua esruura mosrada na Fig. é composa de guias de escorregameno, bases móveis, fusos, rolamenos, porcas e mancais. Os principais componenes de um eixo da mesa XY em esudo podem ser visos na Fig., incluindo o moor DC e o acoplameno que fazem pare do sisema de acionameno. Cada um dos eixos que formam a mesa coném vários elemenos, os quais possuem caracerísicas mecânicas ais como elasicidade axial e orcional, inércia, ario, folgas, além de esarem sujeios a não-linearidades como deformação érmica, sick-slip e backlash. Para análise dinâmica do eixo da Fig., propõe-se um modelo massa-mola-amorecedor cujo análogo linear se mosra na Fig. 3. Deve-se ressalar que o modelo proposo é simplificado com relação a realidade física da mesa, uma vez que, denre ouras simplificações, considera ão somene a pare mecânica de

3 Simulação da dinâmica e idenificação de parâmeros em uma mesa XY de máquina-ferramena 59 mancal supore de mesa x mancal de supore moor DC guia porca e bloco de supore fuso acoplameno Fig.. Eixo da mesa XY. Fig. 3. Modelo massa-mola-amorecedor do eixo (análogo linear). sua esruura; enreano, iso não inviabiliza a aplicação do modelo para o objeivo em visa. O modelo compleo poderá ser viso em [7]. Em que, B amorecimeno presene no conjuno. K coeficiene de rigidez equivalene do sisema. M represena a inércia conjuna do moor e do fuso, quanificada, para o sisema roaivo, pelo momeno de inércia relaivamene ao eixo X, I. M represena a inércia equivalene da mesa, quanificada, no análogo roaivo, pelo momeno de inércia relaivamene ao eixo X, I. F exciação aplicada que, no sisema roaivo, corresponde à diferença enre o orque do moor m e o orque de carga c. x, x coordenadas de posicionameno das massas do sisema, expressas, no análogo roaivo, pelos deslocamenos angulares do moor e do fuso, respecivamene, θ e θ. A aplicação das leis de equilíbrio no sisema da Fig. 3 fornece a equação maricial, M && x B B x& K K x F M + x + = B B x K K () && & x Fazendo a devida analogia com o sisema roaivo, a equação () fica da seguine forma, I && θ B B & θ K K θ m c I + θ B B + = K K && θ & θ ()

4 6 V. Mariano, J. F. da Silva, J. B. de Aquino Silva, J. F. de Lima Nascimeno, J. C. Barbosa da Silva abela. Dados para o cálculo de D. N κ ω n (rad/s) ω (rad/s) D(s) 48 54,53 5,453 5,66e-4 abela. Dados físicos medidos. Parâmero Valor Unidade Descrição ρ 3,8e-4 m/rad Passo angular do fuso η 5,e- - Rendimeno do fuso Ψ 6,36e-4 m/rad Relação enre orque e força M f 5,8e- kg Massa do fuso R f 8,e-3 m Raio do fuso M r 5,8e- kg Massa do roor R r 7,5e-3 m Raio do roor M m 3,e+ kg Massa da mesa eixo X A equação () é análoga a desenvolvida por [8]. Pode-se aribuir = m para efeio de simplificação. Exise uma relação proporcional enre o deslocameno reilíneo da porca à qual a mesa é fixada e c o deslocameno angular do fuso: x = ρθ, onde ρ é o passo angular do fuso, conforme apresenado na abela. 3. O PROBLEMA DIREO: SIMULAÇÃO DO SISEMA Enendemos por Problema Direo a simulação do sisema, iso é, o problema que consise em deerminar a resposa do sisema, dados os seus parâmeros e o sinal de exciação. Quesões imporanes devem ser ressaladas no processo de simulação, ais como, a escolha do ipo de sinal de exciação e a seleção do méodo numérico a ser empregado. O méodo de inegração de Newmark foi avaliado por [4] no processo de idenificação de parâmeros e de perurbações exernas em sisemas mecânicos, endo apresenado excelenes resulados quando comparado a ouros méodos de inegração numérica. O algorimo do méodo de Newmark é apresenado no Apêndice. Ese méodo, mesmo sendo um inegrador incondicionalmene esável e apresenando concordância enre os valores máximos e mínimos de ampliudes correspondenes da solução numérica em relação a solução exaa, pode gerar um erro no período de vibração que é função do inervalo de empo de discreização usado. Dado que eses erros podem consiuir problemas cruciais no processo de idenificação de sisemas, um faor por demais imporane que deve ser abordado é a aplicação de um adequado inervalo de empo de discreização. Por seu lado, um criério eficiene permiindo a obenção de um passo de inegração óimo deve conemplar a relevância da dinâmica do sisema [9]. Nese senido, a abela apresena os dados para o cálculo do passo de empo de inegração usando o criério D = ( π Nωn ) κ, onde N é o número (imposo) de ponos de discreização, ω é a freqüência naural do sisema e κ é um coeficiene ineiro a oimizar. n

5 Simulação da dinâmica e idenificação de parâmeros em uma mesa XY de máquina-ferramena 6 abela 3. Valores dos parâmeros. Parâmero Valor Unidade Descrição I,37e-4 kg.m Soma da inércia do moor e do fuso I 6,7e-6 kg.m Inércia equivalene da mesa eixo X B 5,4e-4 N.m.s/rad Amorecimeno do sisema K,76e- N.m/rad Rigidez do sisema Aqui, ω foi deerminada como se explica adiane (Secção 4.3.5), enrando com os valores experimenais n dos parâmeros dinâmicos do sisema que consam na abela 3. O valor de κ foi selecionado após um processo de busca aé se deerminar o melhor valor para D, ou seja, aquele que produz o menor erro de esimação da resposa esacionária do sisema (em ermos de deslocameno, velocidade e aceleração) a uma exciação harmônica pura com freqüência ω = ( ωn κ) = ( π ND ). Nese processo, a simulação da resposa do sisema foi feia com base nos valores dos parâmeros dados na abela O PROBLEMA INVERSO : IDENIFICAÇÃO DO SISEMA O Problema Inverso, em que se faz a idenificação do sisema, consise em, dados o sinal de exciação e a resposa do sisema, deerminar os seus parâmeros dinâmicos. 4.. Valores experimenais de referência para os parâmeros base O modelo coném vários parâmeros cujo conhecimeno é fundamenal nese esudo. Alguns fabricanes de mesas XY como a HOMSON M fornecem valores de inércia, rigidez e amorecimeno dos eixos de movimeno reilíneo, bem como, dos parâmeros eléricos de seus componenes ais como: moores DC e amplificadores. Aqui, houve a necessidade de se deerminar os parâmeros da esruura mecânica da mesa. Porano, considerando o fuso um cilindro homogêneo com massa M f e raio R f, assim como, o roor do moor ouro cilindro homogêneo com massa M r e raio R r, a equação proposa para o cálculo de I é dada por, R f Rr I = M f + M (3) r Agora, considerando M m como sendo a massa da mesa, ρ o passo angular do fuso, ψ = ρ/η como sendo uma consane que relaciona orque e força e η rendimeno (adimensional) do fuso, porano [8], I = Mm. ρψ. (4) Nese caso, os dados da abela apresenam os valores medidos correspondenes a mesa XY em esudo. O cálculo do coeficiene de rigidez K do sisema, o qual depende de diversos faores, ais como: coeficiene de rigidez orcional equivalene devido a elasicidade axial do fuso, coeficiene de rigidez devido a elasicidade orcional do fuso, coeficiene de rigidez orcional do acoplameno, coeficiene de rigidez orcional relaivo a elasicidade axial do mancal do fuso, poderá ser viso em [8]. A esimação do amorecimeno B do sisema seguiu o procedimeno descrio em [] o qual consise basicamene em se deerminar a função de ransferência da plana a parir da resposa do sisema a um sinal do ipo degrau. Em resumo, a abela 3 apresena os valores experimenais medidos para os parâmeros dinâmicos da mesa XY da Fig., omados subseqüenemene como valores de referência.

6 6 V. Mariano, J. F. da Silva, J. B. de Aquino Silva, J. F. de Lima Nascimeno, J. C. Barbosa da Silva 6 SINAL EXCIAÇÃO ESPECRO DA EXCIAÇÃO 4 Ampliude [N.m] - Ampliude empo [s] Fig. 4. Sinal de exciação..5.5 Frequência [ rad/s].5 3 x 4 Fig. 5. Especro da exciação. 4.. Sinal de exciação usado Uma caracerísica indispensável num sinal de exciação no processo de idenificação de sisemas é a manuenção das condições de exciação persisene. Esa, denre ouras vanagens, pode ser obida pela aplicação do sinal sineizado do ipo periódico com as mesmas propriedades esaísicas de um ruído branco [6]. As Figuras 4 e 5 apresenam respecivamene no empo e em freqüência o sinal de exciação empregado na idenificação. A passagem do sinal do domínio do empo para o da freqüência requer o uso da ransformada de Fourier e pode ser feia numericamene usando o algorimo FF (ransformada Rápida de Fourier), o qual já esá implemenado em diversos sofwares e ferramenas de análise e processameno de sinais [] Esimadores para os parâmeros Formulação base Pode-se ober um modelo em espaço de esados para o sisema de equações () na forma Θ & = AΘ + C. Escolhendo como variáveis de esado os deslocamenos angulares θ e θ, e designando as respecivas velocidades angulares por ω e ω, obém-se o seguine modelo, & θ θ K I B I K I B I ω I & ω = + & } θ θ { Τ & ω K I B I K I B I ω { { { Θ& A A discreização de Euler (ª ordem) da equação maricial diferencial (5) aplicada a uma seqüência de inervalos de empo consecuivos conduz à equação maricial (6) a seguir, que se deduz facilmene da equação de diferenças finias para o inervalo de empo genérico, enre os insanes k e k+, Θ ( k + ) = ( I + AD) Θ( k) + DC Τ( k). Esa equação em a forma maricial b = Λφ, em que: b é uma mariz de ordem Nx4, cujas linhas conêm os vecores Θ, de resposa do sisema, para os insanes k=,..., N+; Λ é uma mariz de ordem Nx5, conendo, em linhas, a resposa do sisema (colunas a 4) e o sinal de exciação (coluna 5), para os insanes k=,..., N; e φ é uma mariz de parâmeros modificada, de ordem 5x4. Θ C (5)

7 Simulação da dinâmica e idenificação de parâmeros em uma mesa XY de máquina-ferramena 63 θ θ θ θ ( ) ω ( ) θ ( ) ω ( ) ( N + ) ω ( N + ) θ ( N + ) ω ( N + ) () ω () θ () ω () ( N ) ω ( N ) θ ( N ) ω ( N ) () ( N ) D = K D I B D I K D I B D I D I D K D I B D I K D I B D I (6) Méodo Direo (LS) Quando oda a seqüência emporal de dados de enrada e saída do sisema, conida nas marizes Λ e b, é conhecida a priori, a esimação dos parâmeros do sisema é feia de uma só vez, ou seja, em baelada, empregando o Méodo Direo ou dos Mínimos Quadrados (LS), aravés da equação [], [], ˆ b φ = ΛΛ Λ (7) Méodos Recursivos (RLS, ELS) Em alernaiva ao Méodo Direo, os veores de esado do sisema podem ser aualizados seqüencialmene numa forma discrea permiindo a esimação recursiva dos parâmeros. As principais vanagens das écnicas recursivas são a possibilidade de se conhecer e moniorar os parâmeros do sisema à medida em que os dados do processo são disponibilizados, além de serem menos susceíveis a problemas de ordem numérica, como por exemplo, a quesão de singularidade da inversão maricial presene na formulação de mínimos quadrados, conforme a Eq. (7). Para isso, a equação (6) começa por ser represenada de maneira recursiva, como a seguir, y () = y ( ) δ + hu () + ε () (8) em que: y () b; y ( ) Λ (sem a úlima coluna); δ φ (sem a úlima linha); ε () veor de erros (ruído branco para RLS ou ruído colorido para ELS); u () () e h= D I. Seguidamene, o esimador por mínimos quadrados é reesruurado de uma forma al que os resulados obidos no empo possam ser usados para a esimação no empo. Muios dos esimadores recursivos, como, por exemplo, mínimos quadrados (RLS) e mínimos quadrados esendido (ELS), podem ser represenados pelas equações genéricas [3], ˆ φ() = ˆ φ( ) + P() ϕ( ) ε() (9) P ( ) ϕ( ) ϕ ( ) P ( ) P () = P ( ) () λ λ+ ϕ ( ) P( ) ϕ( ) onde φ, ϕ, λ e ε são diferenes para os diferenes méodos. Quando há variação na dinâmica do sise-

8 64 V. Mariano, J. F. da Silva, J. B. de Aquino Silva, J. F. de Lima Nascimeno, J. C. Barbosa da Silva. COMPORAMENO DA ESIMAÇAO DE K x -3 COMPORAMENO DA ESIMAÇAO DE B R igidez (N.m /rad).5..5 Real Esimador LS Esimador RLS Esimador ELS Am orecim eno (N.m.s/rad) Real Esimador LS Esimador RLS Esimador ELS n de Ieraçoes n de Ieraçoes Fig. 6. Rigidez K esimada. Fig. 7. Amorecimeno B esimado. 8 x -6 C OMP OR AME N O D A E S IMAÇ AO D E I 4 x -4 COMPORAMENO DA ESIMAÇAO DE I 6 4 Inercia (kg.m²) - -4 Real Esimador LS Esimador RLS Esimador ELS Inercia (kg.m²) - Real Esimador LS Esimador RLS Esimador ELS n de Ieraçoes n de Ieraçoes Fig. 8. Inércia I esimada. Fig. 9. Inércia I esimada. ma, as observações mais recenes precisam ser mais influenes na esimação dos parâmeros uma vez que elas conêm informação mais aualizada. Logo, nese caso, não basa implemenar o esimador de forma recursiva, mas é necessário ponderar de forma diferenciada as observações disponíveis. Esa ponderação diferenciada é aribuída ao faor λ, denominado faor de esquecimeno, o qual caraceriza o esimador recursivo de mínimos quadrados com faor de esquecimeno [] [3]. A íulo ilusraivo, deduz-se no Apêndice a forma paricular que as equações (9) e () assumem no méodo RLS Caso de aplicação Como caso de aplicação dos méodos de esimação por mínimos quadrados LS, RLS e ELS, começou por se resolver o Problema Direo (Secção 3) que consise em calcular a resposa do sisema ao sinal de exciação das Figuras 4 e 5 (Secção 4.), empregando os valores experimenais dos parâmeros do sisema (abela 3). Seguidamene, com os dados de resposa do sisema e do sinal de exciação, resolveu-se o Problema Inverso, empregando as equações (7), (9) e (), respecivamene, dos méodos LS e (RLS, ELS), para esimar os parâmeros do sisema. Os resulados são apresenados na abela 4 e nas Figuras 6, 7, 8 e 9. Nauralmene, para o cálculo dos erros de esimação omaram-se como valores de referência (ou reais) os valores dos parâmeros dinâmicos que consam da abela 3.

9 Simulação da dinâmica e idenificação de parâmeros em uma mesa XY de máquina-ferramena 65 abela 4. Valores esimados dos parâmeros. Parâ- Real Méodo LS Méodo RLS Méodo ELS meros (unid. SI) Esimado Erro (%) Esimado Erro (%) Esimado Erro (%) I I B,37e-4 9,75e-5 5,88e+,37e-4 6,e-9,37e-4 6,4e-5 6,7e-6 6,7e-6,4e-5 6,7e-6 3,6e-3 6,7e-6,8e-8 5,4e-4 4,93e-4 8,68e 5,4e-4,9e- 5,4e-4,55e-5 K,76e-,7e-,37e,76e-,34e-8,76e-,e-5 abela 5. Valores esimados dos parâmeros modais. Parâm. Real Méodo LS Méodo RLS Méodo ELS modais (unid. SI) Esimado Erro (%) Esimado Erro (%) Esimado Erro (%) ω n ω d ζ 5,453e+,9876e+ 8,3657e- 5,4834e+ 5,54e- 5,453e+ 6,44e-9 5,453e+,e-5 3,384e+,3e+,9876e+,3e-8,9876e+,33e-6 7,8738e- 5,88e 8,3657e- 6,37e-9 8,3657e- 3,8e Esimação dos parâmeros modais: méodo e caso de aplicação Subsiuindo-se os valores dos parâmeros (reais ou esimados) na mariz de parâmeros A da equação (5), deerminam-se os auovalores (complexos conjugados) desa mariz, calculando-se as raízes não nulas da equação caracerísica λi A =. Obém-se, assim, ( I I ) ( I I ) ( I I ) λ = B + ± B + 4K + Exprimindo os auovalores nas formulações complexas ζωn ± jωd ou ζωn ± jωn ζ, evidencia-se a sua dependência em relação aos parâmeros modais do sisema, ζ, ωn e ω, designados, respecivamene, por: faor de amorecimeno, freqüência naural e freqüência naural amorecida [4]. Assim, é d fácil deduzir que ζ = ( B K ) ( I+ I) e ω n = K. ( I+ I). A abela 5 apresena os resulados de esimação deses parâmeros. () 5. O PROBLEMA INVERSO : IDENIFICAÇÃO DO SINAL DE EXCIAÇÃO O Problema Inverso consise em, dados os parâmeros do sisema, (I, I, K, B), e a sua resposa em ermos dos veores aceleração, && θ, velocidade, & θ, e deslocameno, θ, deerminar o correspondene sinal de exciação,. É fácil consruir um esimador ˆ baseado na equação () [4]. Como caso de aplicação, empregou-se a mesma meodologia da Secção Nese caso, a seguir à resolução do Problema Direo, o Problema Inverso foi resolvido empregando os parâmeros do sisema

10 66 V. Mariano, J. F. da Silva, J. B. de Aquino Silva, J. F. de Lima Nascimeno, J. C. Barbosa da Silva CURVAS DE ESIMAÇAO DA EXCIAÇAO 4 CURVA DE ERRO DA ESIMAÇAO DA EXCIAÇAO Esimador LS 3 Ampliude do Especro Real Esimador LS Esimador RLS Esimador ELS Ampliude [N.m ] W [rad/s] empo [s] Fig.. Esimação da exciação. Fig.. Erro de esimação (LS). Am pliude [N.m ] x -9 CURVA DE ERRO DE ESIMAÇAO DA EXCIAÇAO Esimador RLS empo [s] Am pliude [N.m ] 4 x -5 CURVA DE ERRO DE ESIMAÇAO DA EXCIAÇAO Esimador ELS empo [s] Fig.. Erro de esimação (RLS). Fig. 3. Erro de esimação (ELS). previamene idenificados por cada um dos méodos LS, RLS e ELS, pela resolução do Problema Inverso (abela 4). Na Figura mosram-se os especros de freqüência dos sinais de exciação esimados, que podem ser comparados com o do sinal real (Figura 5). Nas Figuras, e 3 aparecem as evoluções emporais dos respecivos erros em relação ao sinal real, cuja represenação no domínio do empo se mosra na Figura CONCLUSÕES O modelo dinâmico proposo para um eixo de máquina-ferramena foi desenvolvido e a resposa a um sinal com adequada caracerísica de exciação persisene foi obida. Os resulados da simulação em ermos de veores de esado (deslocameno e velocidade) associados com o veor de enrada, foram aplicados em rês écnicas de esimação de parâmeros para o processo de idenificação do sisema, bem como, do próprio sinal de enrada. Os resulados apresenados mosram a clara superioridade das écnicas RLS e ELS sobre a écnica LS, do pono de visa dos erros de esimação, considerando que para esa análise diversas siuações foram simuladas. Pode-se observar ambém uma moderada superioridade do méodo RLS sobre o méodo ELS no que se refere aos erros de esimação dos parâmeros dinâmicos do sisema e

11 Simulação da dinâmica e idenificação de parâmeros em uma mesa XY de máquina-ferramena 67 do sinal de exciação, embora, nalguns casos, o méodo ELS enha uma convergência mais rápida que o méodo RLS. Devido ao reduzido valor do erro de esimação de parâmeros apresenado pelos méodos RLS e ELS, associado às conclusões obidas da lieraura [4] [9], observou-se a influência da seleção de um adequado empo de discreização na performance do méodo de inegração numérica na solução da equação que rege o comporameno dinâmico do sisema. E ainda, ese esudo aprovou o méodo de Newmark para ese ipo de aplicação, aenando-se para a reduzida magniude dos valores dos parâmeros dinâmicos. Em resumo, os méodos de simulação dinâmica e de idenificação da mesa proposos nese esudo demonsraram-se eficazes. BIBLIOGRAFIA [] M.H. Smih, A.M. Annaswamy, A.H. Slocum, Adapive Conrol Sraegies for a Precision Machine ool Axis, Precision Engineering, pp. 9-6, Vol. 7, (995). [] G.A.R. Jesus, Uma Conribuição para o Desenvolvimeno e Conrole de Sisemas de Posicionameno Submicromérico, ese de Douorado, UFSC, 94 p, Sana Caarina, Brazil (999). [3] X. Mei, M. susumi,. Yamazaki, N. Sun, Sudy of he Fricion Error for a High-Speed Precision able, Inernaional Journal of Machine ools & Manufacure, pp , Vol. 4, (). [4] V. Mariano, Avaliação de Méodos Numéricos Aplicada a Idenificação de Parâmeros e de Perurbações Exernas em Sisemas Mecânicos, Disseração de Mesrado, 4 p, UFPB, C. Grande, Brazil (998). [5] K.J. Bahe, E.L. Wilson, Numerical Mehods in Finie Elemen Analysis, Ed. Prenice-Hall, Inc., New Jersey, USA (976). [6] M.R. Schroeder, Synhesis of Low-Peak-Facor Signals and Binary Sequences wih Low Auocorrelaion, IEEE ransacions on Informaion and heory, pp , jan, (97). [7] J.F.L. Nascimeno, J.F. da Silva, J.B.A. Silva, V. Mariano, A.F. Garcia, Idenificação do Modelo de um Eixo do Sisema de Posicionameno de uma Máquina de Elero-Erosão Convencional, XXV CILAMCE (Iberian Lain American Congress on Compuaional Mehods), Recife, Brazil (4). [8] H.B. Lacerda, Um Conrolador de Erros de Conorno para Máquinas CNC de Ala Velocidade, ese de Douorado, 5 p, EESC-USP, São Carlos, Brazil (998). [9] N.V. Oliveira, Conjunção de um Criério Uilizando o eorema de Nyquis para Simulação Dinâmica de Sisemas Mecânicos, Anais do XIV Congresso Brasileiro de Engenharia Mecânica, Bauru, Brazil (997). [] R. Sampaio, E. Caaldo, R. Riquelme, Inrodução à Análise e ao Processameno de Sinais Usando Malab, Laboraório de Vibrações, PUC-Rio, Rio de Janeiro, Brazil, (998). [] L.A. Aguirre, Inrodução à Idenificação de Sisemas: écnicas Lineares e Não-Lineares Aplicadas a Sisemas Reais, Ed. UFMG, 554 p, Belo Horizone, Brazil (). [] L. Ljung, Sysem Idenificaion, heory for he User, Prenice-Hall, New Jersey (987). [3] K.J. Asröm, B. Wienmark, Adapive Conrol, Ed. Addison Wesley, 574 p, nd ed., USA (995). [4] L. Meirovich, Elemens of Vibraion Analysis, McGraw-Hill Kogakusha, okyo (975). APÊNDICE : MÉODO DE INEGRAÇÃO NUMÉRICA DE NEWMARK A equação diferencial genérica represenaiva da resposa dinâmica de um sisema mecânico pode ser dada por, [ M ]{ X& } + [ C]{ X& } + [ K]{ X} = { F} onde [ M ], [ C] e [ K ] represenam as marizes de massa, amorecimeno e rigidez respecivamene, { } X & e { } o veor força de exciação; { X & } &, { } X são os veores aceleração, velocidade e deslocameno do sisema, respecivamene. Para a solução numérica da equação acima o Méodo de Newmark [5] emprega as seguines equações, F é

12 68 V. Mariano, J. F. da Silva, J. B. de Aquino Silva, J. F. de Lima Nascimeno, J. C. Barbosa da Silva { X + } = { X } + ( δ){ X } δ{ X + } + { X + } = { X } + { X } + ( α){ X } + α{ X + } & & && && (a) & && && (b) onde α e δ são parâmeros que deerminam precisão e esabilidade no processo de inegração numérica e é o passo de inegração. O méodo de Newmark originalmene proposo é um algorimo incondicionalmene esável para o caso em que α = /4 e δ = /. O sisema de equações de equilíbrio () escrio no empo + fica, [ I]{ X } + [ B]{ X } + [ K]{ X } = { } && & (c), cada qual em ermos unicamene de deslocamen- Resolvendo a equação (b) para { X && + } em ermos de { X + }, e enão subsiuindo em { X + } quação (a), obém-se equações para { X && + } e { X & + } os { X + }. Esas são depois subsiuídas na equação (c) para se deerminar { X + } mene, aplicado nas equações (a) e (b) para fazer a deerminação de { X && + } e { X & + } && na e-, cujo valor é, final-. O algorimo compleo do méodo de inegração numérica de Newmark é dado na abela (a) para a sua devida implemenação em compuador. APÊNDICE : MÉODO RECURSIVO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - RLS Para ober os esimadores do méodo RLS, a equação (7), do Méodo Direo de Mínimos Quadrados, será reescria em uma forma recursiva []. Seja ˆ( φ ) o esimador por mínimos quadrados baseado em medições. Admia que a mariz Λ Λ é não-singular para odo. Aqui A. Cálculos Iniciais: abela. (a). Solução numérica passo-a-passo usando o Méodo de Newmark.. Monar a mariz de rigidez [ K ], mariz de massa [ M ] e mariz de amorecimeo [ ] &. 3. Selecionar o passo de inegração, D, e os parâmeros numéricos α =.5 e δ =. 5. Calcular os coeficienes numéricos auxiliares: a = ; a = ; a = ; a δ δ 3 = ; a 4 = ; α α α α α. Inicializar { } 5 δ = α X, { X & } e { X & } a ; = ( δ ) 6 ( ) a ; a = δ 4. Calcular a mariz de rigidez efeiva [ ] 5. riangularizar [ K ]: [ K ] = LDL B. Para Cada Inervalo de empo: ˆ ˆ 7. $ : K [ ˆ ] [ K] + a [ M ] + a [ C] K. Calcular a força de exciação efeiva no empo + :. Resolver para os deslocamenos no empo 3. Calcular as acelerações e velocidades no empo =. C. { Fˆ + + } = { F } + [ M ]( a { X } + a { X& } + a { X&& }) [ C] ( a { X } a { X& } a { X&& }) + : { } { } + LDL X F + = ˆ + : { X && + + } = a ({ X X } a { X& } a { X& 3 }) { X& } { } { } { } + X a X a X + = & && &

13 Simulação da dinâmica e idenificação de parâmeros em uma mesa XY de máquina-ferramena 69 Λ() = [ ϕ ()... ϕ ()], com ϕ [ θ ω θ ω ]. Definindo P() como sendo, Segue-se que, Λ Λ ϕ ϕ i= P() = () () = () i () i (a) P = Λ Λ = ϕ i ϕ i () () () () () i= i= = ϕ( i) ϕ ( i) + ϕ( ) ϕ ( ) (b) A equação (7) pode ser reescria como, = P ( ) + ϕ( ) ϕ ( ) ˆ φ = ϕ() i ϕ () i ϕ() i b() i = P() ϕ() i b() i O esimador por mínimos quadrados é dado por, Segue-se das equações (b) e (c) que, i= i= i= i= (c) ˆ φ = P() ϕ() i b() i = P() ϕ() i b() i + ϕ() b() i= i= ϕ ˆ φ ˆ φ ϕ ϕ ˆ φ () ibi () = P ( ) ( ) = P () ( ) () () ( ) A esimação no empo pode agora ser reescria como, ˆ ˆ φ() = φ( ) P() ϕ() ϕ () ˆ φ( ) + P() ϕ() b() ˆ = φ( ) + P( ) ϕ( ) b( ) ϕ ( ) ˆ φ( ) em que, = ˆ( φ ) + K ( ) ε ( ) K () = P () ϕ() ε() = b() ϕ () ˆ φ( ) O resíduo ε () pode ser inerpreado como o erro na predição do sinal b () um passo a frene baseado sobre a esimação ˆ( φ ). Deve-se agora derivar uma equação recursiva para P(). Para iso, o seguine Lema é empregado, Lema: Sejam XY,, e Y + ZX Wmarizes quadradas não singulares. Prova-se que X + WYZ é inverível e ( X + WYZ) = X X W( Y + ZX W) ZX Aplicando o Lema acima para P(), fazendo X P( ), Y I, W ϕ( ) e Z ϕ ( ), e usando a equação (b), em-se que,

14 7 V. Mariano, J. F. da Silva, J. B. de Aquino Silva, J. F. de Lima Nascimeno, J. C. Barbosa da Silva P () = Λ Λ() = Λ ( ) Λ( ) + ϕ() ϕ () ( P ( ) ϕ( ) ϕ ( ) ) = + Porano, pode-se concluir que, = P ( ) P ( ) ϕ( ) I+ ϕ ( P ) ( ) ϕ( ) ϕ ( P ) ( ) K () = P () ϕ() = P ( ) ϕ() I + ϕ () P ( ) ϕ() Fica assim provado o seguine, eorema: Admia que a mariz Λ () em poso compleo, ou seja, Λ () Λ () é não singular, para odo. Sendo dados ˆ( φ ) e P ( ) = Λ ( ) Λ( ), o esimador por mínimos quadrados do méodo RLS para o insane, ˆ( φ ), saisfaz as equações recursivas, ˆ ˆ φ() = φ( ) + K() b() ϕ () ˆ φ( ) K () = P () ϕ() = P ( ) ϕ() I + ϕ () P ( ) ϕ() (e) P () = P ( ) P ( ) ϕ() I+ ϕ () P ( ) ϕ() ϕ () P ( ) = I K( ) ϕ ( ) P( ) Na verdade, as equações (d) e (f) represenam o caso paricular das equações genéricas (9) e () em que ocorre as seguines subsiuições: ϕ( ) por ϕ( ), ϕ ( ) por ϕ ( ) e λ =. (d) (f) DYNAMICS SIMULAION AND PARAMEERS IDENIFICAION IN A XY ABLE OF MACHINE-OOL Absrac he proposal from his work is o model, o simulae he dynamics and o esimae he parameers of a XY able applied in convenional machine-ool o allow he conrol using adapive sraegies. For his, he dynamic model will be simulaed hrough he Newmark mehod and he esimae of he parameers, modal parameers and exciaion signal of he model will be developed by hree mehods: leas squares (LS), recursive leas squares (RLS) and exended leas squares (ELS) for analysis effec and comparison of he performance from he esimaion resuls. Keywords Idenificaion, machine ool, dynamic modelling, numerical mehod.