EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 2015

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1 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 05. (Ia 05) Considere as seguines afirmações sobre números reais: I. Se a expansão decimal de x é infinia e periódica, enão x é um número racional. II.. n n0( ) III. ln 3 e log log 9 é um número racional. 3 É (são) verdadeira(s): a) nenhuma. b) apenas II. c) apenas I e II. d) apenas I e III. e) I, II e III.. (Unesp 05) O cálculo aproximado da área da superfície exerna de uma pessoa pode ser necessário para a deerminação da dosagem de algumas medicações. A área A (em cm ) da superfície exerna de uma criança pode ser esimada por meio do seu peso P (em kg) e da sua alura H (em cm) com a seguine fórmula, que envolve logarimos na base 0 : loga 0,5logP 0,75logH,8 (Delafield Du Bois e Eugene Du Bois. A formula o esimae he approximae surface area if heigh and weigh be known, 96. Adapado.) Rafael, uma criança com m de alura e 6 kg de peso, precisa omar uma medicação cuja dose adequada é de mg para cada 00 cm de área exerna corporal. Deermine a dose adequada dessa medicação para Rafael. Adoe nos seus cálculos log 0,30 e a abela a seguir. x x 0 3, , 5 3,5 36 3, ,7 50 3, , (Unicamp 05) Considere a função x x f(x) 0 0, definida para odo número real x. a) Mosre que f(log 0( 3)) é um número ineiro. b) Sabendo que log0 0,3, enconre os valores de x para os quais f(x) 5.. (Fgv 05) Um invesidor aplicou cera quania, em reais, à axa de juro composo de % ao mês. Nese problema, desprezando qualquer ipo de correção moneária devido à inflação, responda as pergunas a seguir. Página de 0

2 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 05 a) Nese invesimeno, após meses, seria possível resgaar o valor aplicado com lucro de R$.00,00. Calcule o valor inicialmene aplicado. b) No invesimeno indicado, é possível resgaar um monane de vezes o capial inicialmene aplicado em 39,3 meses. Caso o cálculo fosse feio adoando-se log 0,30 e log0,305, que são logarimos com apenas 3 casas decimais de aproximação, seria obido um valor aproximado de anos. Chamando de E 39,3 ao erro comeido no cálculo devido ao uso de apenas 3 casas decimais de aproximação nos logarimos indicados, calcule E. 5. (Insper 0) Analisando o comporameno das vendas de deerminado produo em diferenes cidades, durane um ano, um economisa esimou que a quanidade vendida desse produo em um mês (Q), em milhares de unidades, depende do seu preço (P), em reais, de acordo com a relação P Q (0,8). No enano, em Economia, é mais usual, nesse ipo de relação, escrever o preço P em função da quanidade Q. Dessa forma, isolando a variável P na relação fornecida acima, o economisa obeve Q a) P log 0,8. Q b) P log 0,8. 8 c) 0,8 Q P 0,5. d) 0,8 Q P. 8 Q e) P 0,5 log0,8. 6. (Unesp 0) O que era impressão virou esaísica: a cidade de São Paulo esá cada dia mais lena. Quem mosra é a própria CET (Companhia de Engenharia de Tráfego), que concluiu um esudo anual sobre o rânsio paulisano. Os dados de 0 aponam que a velocidade média nos principais corredores viários da cidade foi de, km/h no pico da manhã e de 8,5 km/h no pico da arde. Uma piora de 5% e 0% em relação a 008, respecivamene. Caso a velocidade média do rânsio nos principais corredores viários paulisanos coninue decaindo nos mesmos percenuais pelos próximos anos e sabendo que ln 0,69, ln 3,0, ln 5,6 e ln 9,9, os anos aproximados em que as velocidades médias nos picos da manhã e da arde chegarão à meade daquelas observadas em 0 serão, respecivamene, a) 08 e 09 Página de 0

3 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 05 b) 068 e 00. c) 0 e 07. d) 05 e 08. e) 057 e (Ia 0) Deermine as soluções reais da equação em x, 3 log0 6x logx log x 3 0. log (Fgv 0) Um biólogo inicia o culivo de rês populações de bacérias (A, B e C) no mesmo dia. Os gráficos seguines mosram a evolução do número de bacérias ao longo dos dias. A parir da informação dos gráficos, responda: a) Em que dia o número de bacérias da população C ulrapassou o da população A? b) Qual foi a porcenagem de aumeno da população de bacérias B, enre o final do dia e o final do dia 6? c) Qual foi a porcenagem de aumeno da população oal de bacérias (colônias A, B e C somadas) enre o final do dia e o final do dia 5? Página 3 de 0

4 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 05 x 9 9. (Fuves 0) Sobre a equação (x 3) log x x 0, é correo afirmar que a) ela não possui raízes reais. b) sua única raiz real é 3. c) duas de suas raízes reais são 3 e 3. d) suas únicas raízes reais são 3, 0 e. e) ela possui cinco raízes reais disinas. n / 0. (Ia 0) A soma log 3 n log 8 é igual a a) 8. 9 b). 5 c) 5. 6 d) 7. 8 e). /. (Unifesp 0) A inensidade luminosa na água do mar razoavelmene limpa, que é denoada por I, decresce exponencialmene com o aumeno da profundidade, que por sua vez é denoada por x e expressa em mero, como indica a figura. a) Uilizando as informações da figura e denoando por I 0 a consane que represena a inensidade luminosa na água razoavelmene limpa ao nível do mar, deermine I em função de x, com x sendo um ineiro posiivo. b) A relação empírica de Bouguer-Lamber nos diz que um feixe verical de luz, quando penera na água com inensidade de luz I, 0 erá sua inensidade I de luz reduzida com a μx 0 profundidade de x meros deerminada pela fórmula I I e, com e sendo o número de Euler, e μ um parâmero denominado de coeficiene de absorção, que depende da pureza da água e do comprimeno de onda do feixe. Uilizando a relação de Bouguer-Lamber no esudo da inensidade luminosa na água do mar razoavelmene limpa (dados da figura), deermine o valor do parâmero μ. Adoe nos cálculos finais ln = 0,69.. (Espcex (Aman) 0) Na figura abaixo, esá represenado o gráfico da função y = Iog x. Página de 0

5 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 05 Nesa represenação, esão desacados rês reângulos cuja soma das áreas é igual a: a) Iog + Iog3 + Iog5 b) log30 c) + Iog30 d) + log5 e) + Iog30 3. (Ia 03) Considere as funções f e g, da variável real x, definidas, respecivamene, por x ax b f x e e ax g x ln, 3b em que a e b são números reais. Se f f, enão pode-se afirmar sobre a função composa g f que a) g f ln 3. b) g f 0. c) g f nunca se anula. d) g f esá definida apenas em x : x 0. e) g f admie dois zeros reais disinos.. (Espcex (Aman) 03) Se m é a m a) 6 logam, a log m com a 0, a e m 0, enão o valor de b) c) d) e) 5. (Insper 03) Para combaer um incêndio numa floresa, um avião a sobrevoa acima da fumaça e sola blocos de gelo de uma onelada. Ao cair, cada bloco se disancia da aliude em que foi solo pelo avião de acordo com a lei d 0, em que é o empo em segundos. A massa M do bloco (em quilogramas) varia, em função dessa disância de queda d (em meros), conforme a expressão M log d. Página 5 de 0

6 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 05 Se o bloco deve chegar ao chão oalmene derreido, a aliude mínima em que o avião deve solá-lo e o empo de queda nesse caso devem ser a) meros e 3 segundos. b) meros e 0 segundos. c).000 meros e 3 segundos. d).000 meros e 0 segundos. e).000 meros e 0 segundos. 6. (Insper 03) Se N é o menor número naural para o qual ( N ) N em pelo menos 30 dígios, enão N é (Uilize a aproximação: log = 0,30.) a) 7. b) 8. c) 9. d) 0. e). 7. (Unicamp 03) A superfície de um reservaório de água para abasecimeno público em m de área, formao reangular e um dos seus lados mede o dobro do ouro. Essa superfície é represenada pela região hachurada na ilusração abaixo. De acordo com o Código Floresal, é necessário maner ao redor do reservaório uma faixa de erra livre, denominada Área de Proeção Permanene (APP), como ilusra a figura abaixo. Essa faixa deve er largura consane e igual a 00 m, medidos a parir da borda do reservaório. a) Calcule a área da faixa de erra denominada APP nesse caso. b) Suponha que a água do reservaório diminui de acordo com a expressão V( ) V 0, em que V 0 é o volume inicial e é o empo decorrido em meses. Qual é o empo necessário para que o volume se reduza a 0% do volume inicial? Uilize, se necessário, log0 0, (Fgv 03) A solução da equação log log 3log3 log 0log0 logx é a)!3!!...9! 0 b)!3!!...9! 0! c)!3!!...9! d) e) 0 (0)!3!!...9! (0!)!3!!...9! 9. (Enem 03) Em seembro de 987, Goiânia foi palco do maior acidene radioaivo ocorrido no Brasil, quando uma amosra de césio-37, removida de um aparelho de radioerapia abandonado, foi manipulada inadveridamene por pare da população. A meiavida de um maerial radioaivo é o empo necessário para que a massa desse maerial se Página 6 de 0

7 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 05 reduza à meade. A meia-vida do césio-37 é 30 anos e a quanidade resane de massa de um k maerial radioaivo, após anos, é calculada pela expressão M() A (,7), onde A é a massa inicial e k é uma consane negaiva. Considere 0,3 como aproximação para log0. Qual o empo necessário, em anos, para que uma quanidade de massa do césio-37 se reduza a 0% da quanidade inicial? a) 7 b) 36 c) 50 d) 5 e) (Epcar (Afa) 03) No plano caresiano, seja P(a,b) o pono de inerseção enre as curvas x dadas pelas funções reais f e g definidas por f x e gx logx. É correo afirmar que a) a log log a b) a log log a c) a log log a d) a loglog a. (Unicamp 03) Uma barra cilíndrica é aquecida a uma emperaura de 70 C. Em seguida, é exposa a uma correne de ar a 0 C. Sabe-se que a emperaura no cenro do cilindro varia de acordo com a função T T0 TAR 0 TAR sendo o empo em minuos, T 0 a emperaura inicial e T AR a emperaura do ar. Com essa função, concluímos que o empo requerido para que a emperaura no cenro ainja 0 C é dado pela seguine expressão, com o log na base 0: a) log 7 minuos. b) log7 c) log7 minuos. d) log 7 minuos. minuos.. (Insper 03) O número de soluções reais da equação log x(x 3) log x(x ) é a) 0. b). c). d) 3. e). 3. (Fuves 03) O número N de áomos de um isóopo radioaivo exisene em uma amosra diminui com o empo, de acordo com a expressão λ N N e, sendo N 0 o número de áomos dese isóopo em 0 e λ a consane de decaimeno. Abaixo, esá apresenado o 0 Página 7 de 0

8 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 05 gráfico do log 0 N em função de, obido em um esudo experimenal do radiofármaco Tecnécio 99 meaesável ( 99m Tc), muio uilizado em diagnósicos do coração. A parir do gráfico, deermine a) o valor de log 0 N 0 ; b) o número N 0 de áomos radioaivos de 99m Tc ; c) a meia-vida (T / ) do 99m Tc. Noe e adoe: A meia-vida (T / ) de um isóopo radioaivo é o inervalo de empo em que o número de áomos desse isóopo exisene em uma amosra cai para a meade; log0 0,3; log0 5 0,7.. (Ia 03) Se os números reais a e b saisfazem, simulaneamene, as equações a b e ln a b ln 8 ln 5, um possível valor de a b é a). b). c). d). e) 3. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Considere o exo a seguir para responder à(s) quesão(ões) a seguir. As áreas de coberuras a serem aendidas por um serviço de elefonia móvel são divididas em células, que são iluminadas por esações-radiobase localizadas no cenro das células. As células em uma mesma área de coberura possuem diferenes frequências, a fim de que uma célula não inerfira na oura. Porém, é possível reuilizar a frequência de uma célula em oura célula relaivamene disane, desde que a segunda não inerfira na primeira. Cluser é o nome dado ao conjuno de células vizinhas, o qual uiliza odo o especro disponível. Uma configuração muio uilizada esá exemplificada na Figura, que represena um modelo maemáico simplificado da coberura de rádio para cada esação-base. O formao hexagonal das células é o mais práico, pois permie maior abrangência de coberura, sem lacunas e sem sobreposições. A figura ilusra o conceio de reuilização de frequência por cluser, em que as células com mesmo número uilizam a mesma frequência. Página 8 de 0

9 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS (Faec 03) Um modelo da perda (L) de propagação de sinais enre a anena ransmissora e a recepora em espaço livre de obsáculos é, em decibel (db), expressa por L 3, 0 log0 f 0 log0d em que f é a frequência de ransmissão em mega-herz (MHz) e d é a disância enre as anenas de ransmissão e recepção em quilômeros (km). Considerando que um sinal de radiofrequência de 600 MHz é enviado de uma esação-base para uma anena recepora que esá a 0 km de disância, em espaço livre, enão o valor da perda de propagação desse sinal é, em db, aproximadamene, Adoe: log0 0,30 log0 3 0,8 a) 06. b). c) 6. d) 0. e) 58. Página 9 de 0

10 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 05 Gabario: Resposa da quesão : [D] [I] Verdadeira, pois oda dízima periódica admie uma fração gerariz. [II] Falsa. A soma indicada represena uma P.G infinia com a Daí, n n0 3 e a razão q. [III] Verdadeira. 3 log ln e log3 log 9 lne log3 log (racional) Resposa da quesão : Considerando P 6 kg e H 00 cm, emos a seguine equação: log A 0,5 log6 0,75 log00,8 log A 0,5 log 0,75,8 log A 0,5 log,5,8 log A,7 0,3 3,9 log A 3,8 3,8 A 0 A 630 cm Sabemos que Rafael deve omar mg para cada diária de Rafael será dada por: ,mg. 00 Resposa da quesão 3: a) Com efeio, emos x x f(x) Logo, sabendo que 00 cm de seu corpo. Porano, a dose loga b a b, com a e b reais posiivos e a, vem Página 0 de 0

11 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 05 log 0( 3) f(log 0( 3)) 00 log 0( 3) Porano, segue que f(log 0( 3)) 0. b) Tem-se que x f(x) x 0 x x x x log0 5 ou x log0 5. Dado que log0 0,3, vem 0 log0 5 log0 log0 0 log0 0,3 0,7. Porano, os valores de x para os quais f(x) 5 são 0,7 e 0,7. Resposa da quesão : a) Seja C o valor inicialmene aplicado. Tem-se que C ( 0,0) C,00 C R$ 3.90,79 b) Para M C, vem C C ( 0,0) (,0) log log(,0) 0 log log 00 (log0 log0 ) log (log0 log log0) log 0,30,305 0,30 0,30 0,00 50,5. Porano, emos E 50,5 39,3, meses. Resposa da quesão 5: Página de 0

12 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 05 [A] Lembrando que log a b c c logba e logb b, com a, b, c reais posiivos e b, emos P Q P Q (0,8) (0,8) Q log0,8 log 0,8 (0,8) Q P log0,8 Q P log0,8 Q P log 0,8. P Resposa da quesão 6: [B] V m = velocidade média de pico pela manhã V, 0,95 m /,/, 0,95 (0,95) / ln ln(0,95) 9 ln ln ln 0 0 ln ln9 ln ln5 0,69 (,9 0,69,6) 0,69 ( 0,05) 55, , = 067, aproximadamene 068. V T = velocidade média de pico pela arde / VT 8,5 0,9 8,5 / 8,5 0,9 / Página de 0

13 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 05 ln (0,9) ln(0,9) 9 ln ln ln 0 0 ln ln9 ln ln5 0,69 (., 0,69,6) 0,69 ( 0,) 7, ,6 = 039,6 aproximadamene 00. Resposa da quesão 7: log 6x log 6x log 0 log00 6 log 6 log 6x log x log 00 0 Calculando, inicialmene, o valor de Subsiuindo o resulado acima na equação pedida, emos: 3 log x log x 3 log x 0 3 log x log x 6 3log x 0 3 log x 7log x 6 0 Fazendo log x y, emos: 3 3 y 7y 6 0 y y 6y 6 0 y(y ) 6(y ) 0 y(y )(y ) 6(y ) 0 (y )(y y 6) 0 y ou y ou y 3. Logo: log x x log x x 6 log x 3 x 6 S,,6 6 Resposa da quesão 8: a) O número de bacérias da população C cresce com o empo. Logo, do gráfico sabemos 3 que a população C de bacérias aingiu indivíduos, superando, porano, a população A no quaro dia, com exaamene indivíduos. b) A variação percenual pedida é dada por % 500%. 6 Página 3 de 0

14 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 05 c) O resulado é igual a (00 0 ) % ,0%. Resposa da quesão 9: [E] Como x 9 0 para odo x real, vem x 9 (x 3) log x x 0 (x 3)log x x 0 x 3 0 ou x x x 3 ou x x ou x x x 3 ou. (x ou x ) ou (x 0 ou x ) Porano, a equação dada possui 5 raízes reais disinas. Resposa da quesão 0: [D] 5 n n 5 log/ 3 log/ n n 3(n) 3(n ) 3 n (n ) log/ 8 log/ Resposa da quesão : x a) Decrescimeno exponencial: I(x) I0 k, onde x é a profundidade e I a inensidade luminosa na água do mar razoavelmene limpa. I0 I0 k k Logo, x I x I0 b) I() I0 e I0 l() μ Igualando as equações acima, emos: Página de 0

15 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 05 μ I0 μ μ I0 e e lne ln μ ln μ 0,69, Logo, μ,38. Resposa da quesão : [D] 3 3 A A A3 log log 3 3 log5 log log3 log5 log 3 5 log log0 log5 log5. Resposa da quesão 3: [E] Como f( ) f( ), segue que e ( ) a ( ) b e b a ( ) a ( ) b e b a. Logo, e, porano, Assim, a a a 3 b 3. x g(x) n n x n. A função composa g f é dada por x 3x (g f)(x) n (e ) n x 3x n. Para que a função g f enha dois zeros reais e disinos o discriminane da equação x 3x n 0 deve ser um número real posiivo. De fao, como h :, definida por h(x) n x, é uma função crescene, emos que n n 0. Daí, Δ 3 ( n ) n 0 e, por conseguine, g f possui dois zeros reais e disinos. Resposa da quesão : [E] Página 5 de 0

16 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 05 Sabendo que log r p log q q p, para quaisquer reais posiivos p, q e r, com q, vem r 6 loga m logam 6 logam log m a logam 6 logam loga m m a. Porano, Resposa da quesão 5: [A] m a a. a m a a a a Quando o bloco esiver oalmene derreido sua massa será M 0. Deerminando, agora a alura, para M log d 0 50 log d.000 log d d 0 d m Deerminando o empo de queda s Resposa da quesão 6: [D] Se NN ( ) em pelo menos 30 dígios, enão N N 9 N 9 ( ) 0 log log0 N log 9 log0 0,3 N 9 N 96,7 N 0. Porano, o menor valor de N é 0. Resposa da quesão 7: Deerminando as dimensões do reângulo, emos: x.x = Resolvendo a equação, emos: x = 00 e x = 800. Página 6 de 0

17 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 05 a) Considerando A como a área de erra APP. A.A.A.A 3 A π.00. A π A ( π) m b) V( ) V 0,. V =V 0 log log0.log 3 meses log 0,3 3 Resposa: aproximadamene 3 meses e 0 dias. Resposa da quesão 8: [D] Temos log log 3log3 log 0log0 log x 3 0 log log log3 log log0 log x Como 3 0 log 3 0 log x (0!) 3 0 segue-se que 3 0 x ! 3!! 9!, 0 (0!) x.! 3!! 9! Resposa da quesão 9: [E] Queremos calcular para o qual se em M() 0, A. Sabendo que a meia-vida do césio-37 é 30 anos, enconramos Página 7 de 0

18 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 05 A k30 A M(30) A (,7) k 30 (,7). Assim, omando 0,3 como aproximação para log0, vem k M() 0, A A [(,7) ] 0, A log log0 log log0 30 0, , ou seja, o resulado procurado é, aproximadamene, 00 anos. Resposa da quesão 0: [A] x x log x log x x log log x x log log x x log log x log x log x Porano: a log. log a Resposa da quesão : [C] De acordo com os dados do problema, emos: T T0 TAR 0 TAR log0 7 log7 log7 log7 minuos Página 8 de 0

19 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 05 Resposa da quesão : [B] Sabendo que logc a logc b logc ab para a, b e c reais posiivos e c, vem log (x 3) log (x ) log (x 3)(x ) x x x x x 6 x x 6. Porano, x 6 é a única solução real da equação. Resposa da quesão 3: a) No gráfico, log 0 N o = 6. b) log 0 N o = 6 N o= 0 6 = c) N N() o No logn() log logn() logno log logn() 6 0,3 logn() 5,7 Observando o gráfico, logn() = 5,7 = 6 horas. Resposa da quesão : [A] Observando que a e b devem ser reais posiivos, vem a b a b a. 6b Simplificando e subsiuindo, obemos n (a b) n 8 n 5 n 8(a b) n 5 8(a b) 5 5 a b 8 5 b 6b 8 6b 0b 0 b ou b. 8 Página 9 de 0

20 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA LOGARITMOS 05 Porano, como a. b b implica em a e b implica em 8 a, segue que a ou b Resposa da quesão 5: [B] L = 3, + 0. (log 0 + log600) L = 3, + 0. (log + log 0 + log3 +log + log00) L = 3, + 0.,08 L =,0 db Página 0 de 0