Sistemas de 1ª e 2ª Ordem - Resposta em Frequência

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Elias Ferreira
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1 Sistemas de 1ª e ª Ordem - Resposta em Frequência Curso de Engª de Electrotécnica 5/6º Trabalho de Laboratório CONTROLO Preparado por Rogério Largo Revisto em Out/99 Revisto por Carlos Miguel Fernandes em Setembro de Introdução O objectivo deste trabalho consiste na observação da resposta em frequência de sistemas de 1ª e ª ordem e na percepção do modo como os parâmetros que caracterizam as funções de transferência afectam essa mesma resposta. No procedimento experimental serão concebidos, no laboratório, circuitos baseados em amplificadores operacionais (Ampop). Como entrada serão usados sinais provenientes de geradores de funções. A visualização dos sinais será feita num osciloscópio. Nota: Nos esquemas das montagens com ampop é comum, para não sobrecarregar o desenho, não se indicarem as ligações de alimentação, embora as mesmas devam ser feitas. v- v+ +15v V vo v -15V 4 Fig.1 - Identificação dos pinos do Ampop e das alimentações.. Resposta em Frequência Um sistema linear tem a seguinte função de transferência: G() s = C() s R() s.1. Resposta do sistema a uma entrada sinusoidal A função sinusoidal de entrada é definida por: r(t) = R.sen(ωt), t > 0 ; R=Amp. ; ω=πf Então, a saída em regime estacionário do sistema é dada por: TSS Lab 4 1

2 () t = R G( jω ) ( ωt + φ( ω )) c sin, t > 0 ; G(jω)= G(jω).e jφ(ω) Gj ( ω ) = Amp. de c( t) ; φ(ω) = /G(jω) = Diferença de fase entre c(t) e r(t). Amp. de r( t).. Diagramas de Bode Nos diagramas de Bode representa-se o módulo e fase de G(jω) em função de log 10 ω: Módulo: Fase: G(jω) db = 0.log 10 G(jω) φ(ω) = arg G(jω) = /G(jω) Notar o andamento logarítmico do eixo da frequência (ω). 3. Sistema de 1ª ordem 1ª Parte Um sistema de 1ª ordem sem zeros tem apenas um pólo e tem como função de transferência a seguinte expressão: 1 Gs ()= Ts + 1 ; Gj 1 ( ω) = jωt Montagem Experimental R vi R1 - + C vo Fig. - Sistema de 1ª ordem 1) No circuito da fig., fazendo R1=R=R, verifica-se a seguinte relação: V o 1 () s = Vi () s CRs + 1 ) Determine a frequência do pólo assumindo para os elementos os seguintes valores: R=4,7 kω; C=47 nf. TSS Lab 4

3 3) Trace os diagrama de Bode teóricos (módulo e fase) em aproximação assimptótica. (Use papel semi-logarítmico). Nota: ignore o sinal negativo da função de transferência e na montagem experimental inverta o sinal de saída. 4) Monte o circuito na régua de montagem. (Não se esqueça de alimentar o Ampop). 5) Aplique na entrada um sinal sinusoidal e ajuste a frequência até que a saída e a entrada coincidam. (Ganho=1, diferença de fase nula). Isto ocorrerá nas baixas ou nas altas frequências? Registe os valores de amplitude e frequência: V i = V; f= Hz. 6) Mantendo V i constante, e fazendo variar a frequência, faça medidas do ganho e do diferença de fase que lhe permitam traçar os diagramas de Bode experimentais. Nota: Organize os dados numa tabela e escolha valores de frequência 1,, 5 em cada década. Se possível use frequências até duas décadas afastadas do pólo, para cada lado. V i (V) f (khz) V o (V) /G ( o ) G G db : : : : : : 7) Trace os diagramas de Bode experimentais sobre as aprox. assimptóticas que traçou no ponto 3. 8) Comente os resultados. Obtenha o valor experimental do pólo a partir dos gráficos. TSS Lab 4 3

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5 TEORIA DOS SINAIS E SISTEMAS Curso de Engª de Automação, Controlo e Instrumentação (º Ano - 1º Semestre) 4º Trabalho de Laboratório Sistemas de 1ª e ª Ordem - Resposta em Frequência Preparado por Rogério Largo Revisto em Out/99 Revisto por Carlos Miguel Fernandes em Setembro de 00 ª Parte 4. Sistema de ª ordem vi R1 R C C1 + - R3 R4 vo Vo ( s) = G V ( s) i V Ra + Rb G = 0 0 =, Ganho estacionário V Rb i o s 1 RC 3 Go + s RC + 1 RC Fig.3 - Sistema de ª ordem 1) Na montagem experimental da fig.3, fazendo R1=R=R e C1=C=C, obtém-se a função de transferência indicada. ) Compare esta expressão com a forma canónica da função de transferência e determine a frequência natural e o factor de amortecimento em função dos parâmetros do circuito (Go,R,C). ω n = ζ= 4.1. Situação 1 1) Usando R=4,7kΩ; C=47nF; R3=5.6kΩ; R4=10kΩ, calcule G o =, ω n = rad/s, ζ=. Determine a posição dos pólos. Se existir ressonância calcule ω r e o pico de ressonância M r. ) Trace os diagramas de Bode teóricos (aprox. assimptótica). TSS Lab 4 5

6 3) Monte o circuito. 4) Repita os procedimentos seguidos nos pontos 5, 6 e 7 da secção 3. Anote, junto às curvas experimentais, o valor de ζ correspondente. V i (V) f (khz) V o (V) /G ( o ) G G db : : : : : : 4.. Situação 1) Altere o circuito fazendo R3=15KΩ. ) Repita os procedimentos da situação 1. Nota 1 - Trace as curvas destas duas situações sobre o mesmo papel para mais facilmente as comparar. Nota - Na vizinhança da ressonância as medidas devem ser menos espaçadas porque as grandezas variam rapidamente com a frequência. Q) Que conclui tendo em conta a posição dos pólos e o amortecimento nas duas situações. TSS Lab 4 6

7 3) Obtenha, a partir dos gráficos, valores experimentais para a frequência de ressonância ω r = rad/s, e para o pico de ressonância: M r =. Compare-os com os valores teóricos. TSS Lab 4 7

8 APÊNDICE - Notas sobre a medição experimental da fase 0 a vi b vo T t Observe a figura 4, em que se mostra um aspecto dos sinais de entrada e de saída tal como se observam no osciloscópio. O sinal de entrada, v i, é tomado como referência e deve ajustar-se o osciloscópio para ele se inicie na origem da escala dos tempos. Ambos os sinais devem estar bem centrados verticalmente (ajuste do zero). Vemos que o sinal de saída v o, está atrasado em relação a v i, logo a diferença de fase será negativa. Maneiras de medir a diferença de fase: 1 - Método A Medindo os tempos "T" (Período<=>360º) e "a" pode efectuar-se uma regra de três simples: T º a θ Em alternativa pode medir-se "b" em vez de "T", sendo b=meio período (180º). - Método B Descalibrando a base de tempo, de modo a fazer-se com que um período "T" corresponda a 9 divisões da escala fica-se com uma graduação da escala horizontal em graus (9 div. = 360º ==> 1 div. = 40º). Assim a distância "a" mede directamente a desfasagem. Se em vez de "T" se fizer com que meio período "b" corresponda às 9 divisões resultará uma expansão da escala (1 div. = 0º). Nota. Em todas estas medidas é muito importante que os sinais estejam bem centrados verticalmente no zero. TSS Lab 4 8

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