Representação no espaço de estados

Transcrição

1 Instrumentação e Controle Aula 4 Representação no espaço de estados Prof. Renato Watanabe ESTO004-17

2 Onde estamos no curso Sistema Obtenção das Equações Diferenciais que descrevem o comportamento do sistema

3 Abordagens do Estudo de Controle Existem duas formas de realizar o estudo de Sistemas e de Controle. Abordagem Clássica: utiliza a Transformada de Laplace.

4 Abordagens do Estudo de Controle Existem duas formas de realizar o estudo de Sistemas e de Controle. Abordagem Clássica: utiliza a Transformada de Laplace. Abordagem Moderna: utiliza a representação no Espaço de Estados.

5 Representação no Espaço de Estados ẋ(t) = f(x(t), u(t), d(t)) y(t) = h(x(t), u(t), d(t)) Equação de estados Equação de saída

6 Representação no Espaço de Estados x 1(t) x 2(t) x(t)=. x n(t) ẋ(t) = f(x(t), u(t), d(t)) y(t) = h(x(t), u(t), d(t)) - Vetor de Estados. Equação de estados Equação de saída O estado de um sistema dinâmico é um conjunto de variáveis (variáveis de estado x 1 (t),x 2 (t),...,x 3 (t)) que determina completamente o seu comportamento. O conjunto de todos os possíveis estados de um sistema é conhecido como espaço de estados. O vetor de estados é um vetor 1 n, em que n é o número de variáveis de estado do sistema.

7 Intuitivamente, o estado pode ser visto como um tipo de informação de armazenamento ou memória ou acumulação de causas passadas. Precisamos, é claro, exigir que o conjunto de variáveis de estados seja suficientemente rico para carregar toda a informação sobre a história passada do sistema, para prever o efeito do passado sobre o futuro. R. E. Kalman, P. L. Falb and M. A. Arbib, Topics in Mathematical System Theory, 1969 Representação no Espaço de Estados x 1(t) x 2(t) x(t)=. x n(t) ẋ(t) = f(x(t), u(t), d(t)) y(t) = h(x(t), u(t), d(t)) - Vetor de Estados. Equação de estados Equação de saída O estado de um sistema dinâmico é um conjunto de variáveis (variáveis de estado x 1 (t),x 2 (t),...,x 3 (t)) que determina completamente o seu comportamento. O conjunto de todos os possíveis estados de um sistema é conhecido como espaço de estados. O vetor de estados é um vetor 1 n, em que n é o número de variáveis de estado do sistema.

8 Representação no Espaço de Estados ẋ(t) = f(x(t), u(t), d(t)) y(t) = h(x(t), u(t), d(t)) Equação de estados Equação de saída

9 Representação no Espaço de Estados ẋ(t) = f(x(t), u(t), d(t)) y(t) = h(x(t), u(t), d(t)) Equação de estados Equação de saída Equação de Estados: ẋ 1 (t) ẋ 2 (t). ẋ n(t) = f 1 (x(t),u(t),d(t)) f 2 (x(t),u(t),d(t)). f n(x(t),u(t),d(t))

10 Representação no Espaço de Estados ẋ(t) = f(x(t), u(t), d(t)) y(t) = h(x(t), u(t), d(t)) Equação de estados Equação de saída Equação de Estados: ẋ 1 (t) ẋ 2 (t). ẋ n(t) = f 1 (x(t),u(t),d(t)) f 2 (x(t),u(t),d(t)). f n(x(t),u(t),d(t))

11 Representação no Espaço de Estados ẋ(t) = f(x(t), u(t), d(t)) y(t) = h(x(t), u(t), d(t))

12 Representação no Espaço de Estados Para sistemas lineares: ẋ(t) = f(x(t), u(t), d(t)) y(t) = h(x(t), u(t), d(t)) ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + B d (t)d(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) + D d (t)d(t)

13 Representação no Espaço de Estados Para sistemas lineares: ẋ(t) = f(x(t), u(t), d(t)) y(t) = h(x(t), u(t), d(t)) ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + B d (t)d(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) + D d (t)d(t) Para sistemas lineares e invariantes no tempo: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + B d d(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + D d d(t)

14 Representação no espaço de estados para sistemas lineares e invariantes no tempo ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + B d d(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + D d d(t)

15 Representação no espaço de estados para sistemas lineares e invariantes no tempo ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + B d d(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + D d d(t) ẋ 1(t) ẋ 2(t). ẋ n(t) = A {}}{ a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn y(t) = [ ] c 11 c c 1n. } {{ } C. x 1(t) x 2(t). x n(t) x 1(t) x 2(t). x n(t) + + d }{{} D B {}}{ b 11 b 21. b n1.u(t) +.u(t) + d d }{{} D d.d(t) B d {}}{ b d11 b d21. b dn1.d(t)

16 Passos para passar um sistema de equações diferenciais para a representação em espaço de estados 1 Definir as variáveis de estado do sistema. A escolha de variáveis de estado não é única. De uma forma geral, o número de variáveis de estado é igual ao número de derivadas no sistema de equações diferenciais.

17 Passos para passar um sistema de equações diferenciais para a representação em espaço de estados 1 Definir as variáveis de estado do sistema. A escolha de variáveis de estado não é única. De uma forma geral, o número de variáveis de estado é igual ao número de derivadas no sistema de equações diferenciais. 2 Reescrever as equações diferenciais que descrevem o comportamento do sistema em equações diferenciais de primeira ordem. O número de equações diferenciais de primeira-ordem será igual ao número de variáveis de estado.

18 Passos para passar um sistema de equações diferenciais para a representação em espaço de estados 1 Definir as variáveis de estado do sistema. A escolha de variáveis de estado não é única. De uma forma geral, o número de variáveis de estado é igual ao número de derivadas no sistema de equações diferenciais. 2 Reescrever as equações diferenciais que descrevem o comportamento do sistema em equações diferenciais de primeira ordem. O número de equações diferenciais de primeira-ordem será igual ao número de variáveis de estado. 3 Para sistemas lineares e invariantes no tempo, passar para o formato matricial: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + B d d(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + D d d(t)

19 Passos para passar um sistema de equações diferenciais para a representação em espaço de estados 1 Definir as variáveis de estado do sistema. A escolha de variáveis de estado não é única. De uma forma geral, o número de variáveis de estado é igual ao número de derivadas no sistema de equações diferenciais. 2 Reescrever as equações diferenciais que descrevem o comportamento do sistema em equações diferenciais de primeira ordem. O número de equações diferenciais de primeira-ordem será igual ao número de variáveis de estado. 3 Para sistemas lineares e invariantes no tempo, passar para o formato matricial: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + B d d(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + D d d(t) 4 Fazer o diagrama de blocos do sistema, em que cada variável de estado é um integrador.

20 Pêndulo Invertido u(t)=t a(t) y(t)=θ(t) d 2 y(t) dt 2 = mgh b y(t)+u(t) J

21 Sistema massa-mola-amortecedor u(t)=x i (t) y(t)=x o(t) d 2 y(t) dt 2 = k m y(t) b m dy(t) + k dt m u(t)+ b du(t) m dt

22 Circuito integrador u(t)=v(t) y(t)=v c(t) di(t) dt = 1 RC i(t)+ 1 du(t) R dt y(t)= 1 t C i(t) dt

23 Motor DC u(t)=e a(t) y(t)=ω(t) dia(t) = Ra dt La ia(t)+ K b La y(t)+ 1 La u(t) dy(t) = b dt J y(t)+ K J ia(t)

24 Caixa d a gua u(t)=qe (t) y(t)=h(t) d(t)=qs (t) dy(t) 1 1 = A d(t)+ A u(t) dt

25 Linha de montagem Linha de montagem recebe ordem de taxa de produção de carros. O interesse é saber como o estoque de carros se comporta. u(t)=o(t) y(t)=s(t) d(t)=v(t) dy(t) =KP (t) d(t) dt dp (t) = KP (t)+u(t) dt

26 Pêndulo Comprimento da barra: Massa da barra: Momento de inércia da barra: u(t)=m(t) y(t)=θ(t) d 2 y(t) dt 2 3g = 2l y(t)+ 3 2ml 2 u(t)

27 Controle de atitude de satélite u(t)=f (t) y(t)=θ(t) d 2 y(t) dt 2 = 2d J u(t)

28 Imunização Uma fração α de uma população saudável é infectada por uma doença por dia. Entre a população infectada, uma fração γ se recupera e se torna imune e uma outra fração β falece. Parte da população saudável é imunizada a uma taxa v. O interesse é saber como a população infectada evolui ao longo do tempo. u(t)=v(t) y(t)=i(t) ds(t) = αs(t) u(t) dt dy(t) =αs(t) (γ+β)y(t) dt dim(t) =u(t)+γy(t) dt dm(t) =βy(t) dt

29 Pedidos em um servidor u(t)=λ(t) y(t)=q(t) Tempo T para a executar uma solicitação. dy(t) = 1 dt T y(t)+u(t)

30 Circuito diferenciador u(t)=v(t) y(t)=v R (t) di(t) dt = 1 RC i(t)+ 1 du(t) R dt y(t)=ri(t)