Prof. Joel Brito Edifício Basílio Jafet - Sala 102a Tel

Transcrição

1 Prof. Joel Brito Edifício Basílio Jafet - Sala 10a Tel jbrito@if.usp.br 1

2 Semana passada Parte 1 Mesma montagem da calibração da sonda em carretel Usar R auxiliar de 1 a 10 ohms Freqüência: ~3000Hz Medir a f.e.i. induzida na bobina em função da corrente no solenóide e fazer o gráfico Calcular a indutância mútua Comparar com a previsão teórica e com os resultados dos colegas.

3 Semana passada Parte 1 Mesma montagem da calibração da sonda em carretel Corrente no solenóide: i S i Sm cos t Campo do solenóide no centro: D S = diâmetro do solenóide L S = comp. do solenóide B S N 0 S i S D S 1 L S

4 Semana passada Parte 1 A F.E.I na bobina: bs d dt bs M bs di S dt bs A b N b N 0 S D S 1 L S di S dt

5 Semana passada Indutância mútua

6 Semana passada Indutância mútua

7 Semana passada Parte Varie a corrente no solenóide e meça a f.e.i. nele induzida. Faça o gráfico da f.e.i. pela corrente e obtenha o valor de L do solenóide. Compare com o valor previsto teoricamente e com os valores dos colegas. Li Sm Sm Há diferença de fase? É o que você esperava? É o previsto teoricamente? Comente

8 Semana passada Auto - Indutância

9 Semana passada Auto - Indutância

10 Semana passada Parte No solenóide infinito, o campo é constante em seu interior, então: N O campo magnético é dado por: Então a indutância será L N i nl)( BA) i ( nl)( BA) B ni 0 ( nl)( ni)( A) i ( 0 L / l 0 n A

11 Semana passada Parte Será que esquecemos alguma coisa? O campo não é uniforme!!

12 Será que esquecemos alguma coisa? A correção é: Corr cos 1 cos 1 L x x L x ( L x) R Fazendo a integral de x=0 até x=l, temos: L 0 Corr( x) dx R R L=80cm e R=8cm, portanto: L Nota: B(x) também não é uniforme fora do eixo! Precisaríamos calcular. média 1 L L 0 Corr( x) dx ~ 7 80 ~ 0.9

13 Semana passada Dif. de fase A tensão no solenóide vem a f.e.m. induzida pelo próprio solenóide, assim: L di dt Se a corrente for: i i 0 sin( t) Então Li cos( ) 0 t π/

14 Correntes Alternadas e Faraday

15 Corrente alternada Tensão alternada: qualquer tensão que varia no tempo Nesta experiência: tensões harmônicas simples Importante: qualquer tensão dependente do tempo = superposição de tensões harmônicas simples

16 V (volts) Tensão alternada Na grande maioria dos usos a tensão (ou corrente) é descrita por uma função harmônica simples: por exemplo na sua casa, a D.D.P. fornecida é senoidal: t(se g) 17V, 60Hz

17 Tensão harmônica Como descrever matematicamente uma tensão senoidal? V P é a tensão máxima ou tensão de pico ou amplitude é a freqüência angular 0 é a fase da tensão alternada no instante t=0 V( t) VP cos( t 0) V P T f VPP V p T 1 f 0 VPP V ef VP

18 Amplitude T A fase Em um circuito de corrente alternada a tensão e corrente não estão necessariamente em fase: V t V t P sin 0 i( t) i0 sin t 1 tensão corrente Período T = 1/f defasagem 0 T 3 Tempo V(t) T T T X i(t)

19 Diferença de fase Neste caso é mais importante saber a diferença de fase entre a corrente e a tensão do que os valores de ϕ 0 e ϕ 1. Porque? Fase é uma fração de um ciclo (ou período) expressa em graus Entre o início e o fim de um período há uma diferença de fase de 360 o. Um período corresponde a 360 o, ½ corresponde a 180 o, etc ϕ 0 ϕ 1 A tensão é alternada, então a escala de tempo é, de certa maneira, arbitrária

20 Potência Dissipada - Instantânea Qual é a potência dissipada no elemento? P t V t it Ela depende da diferença de fase entre corrente e tensão no elemento! V i( t) ipsen t t V sen t P P t V i sen tsen t P p Portanto há um termo variável e outro constante! P( t) V P i p cos( ) VPi p cos t

21 Potência média: mais útil O valor médio da potência num período T é: P 1 T A segunda integral é nula, mas a primeira não: P T 0 t V p i P 1 VP i cos P PiP V cosdt cos Chama-se de valor eficaz da tensão, V ef, o valor V P / e valor eficaz da corrente, i ef, o valor i P / P 1 T T VPi t V i ef ef 0 0 cos P =0 cos(t ) dt

22 Potência média Ela depende, além das tensões e correntes, também da defasagem! Vt VP cos t it i t P cos P t 1 V i P P cos Agora pode-se calcular a potência média, por ciclo, transferida ao elemento de circuito, seja ele, resistivo, capacitivo, indutivo ou misto.

23 Exemplo 1: Resistor ôhmico A lei de Ohm diz que V =R i, onde R é uma constante se o resistor for ôhmico. Assim, se a tensão estiver variando, temos que: V t V(t) R Rit i(t) V i t V sen t V R P 0 P t sen t 0 Como as fases ϕ 0 são iguais, então que a corrente e a tensão no resistor estão em fase!

24 Amplitude Exemplo 1: Resistor ôhmico Para um resistor ôhmico, teremos então que: P( t) V( t) i( t) V p i P sen t 0, sempre sem defasagem tensão corrente potência Período T = 1/f 0 T 3 Tempo A potência varia no tempo mas é sempre positiva o que significa que o resistor sempre consome potência!

25 Exemplo : Capacitor Ideal Em um capacitor ideal, a capacitância é dada pela razão entre carga acumulada e tensão elétrica, ou seja: C Além disso, carga e corrente estão relacionados i Portanto: q( t) V ( t) t q(t) t d dt V t q V t VP sin( t) C i( t) CVp cos( t) t C q V P cos( t / ) A fase não é nula!

26 Exemplo : Capacitor Ideal a corrente está adiantada de / em relação à tensão aplicada ao capacitor (Atenção: a defasagem de / é entre a corrente e a tensão diretamente sobre o capacitor e não quaisquer outras).

27 Exemplo : Capacitor Ideal A potência em um capacitor pode ser escrita como P(t) V(t) i(t) P( t) Vp cos( t ) CV Atenção, a diferença de fase = Fase Tensão Fase Corrente p cos t ip sin p ) C t i sin( t (-π/)-(0) = -π/ (0)-(π/) = -π/

28 Exemplo 3: Indutor ideal Em um indutor ideal, a tensão é dada por: di V t L dt Portanto, se a corrente no indutor é: t i cos t i P Então, temos: A fase não é nula! V di dt t L Li sint Li cos t / P P

29 Exemplo 3: Indutor ideal a corrente está atrasada de / em relação à tensão aplicada ao indutor (Atenção: a defasagem de / é entre a corrente e a tensão diretamente sobre o indutor e não quaisquer outras).

30 A potência em um indutor pode ser escrita como: Atenção, a diferença de fase = Fase Tensão Fase Corrente P(t) V(t) i(t) sin ) sin( cos ) cos( ) ( t i t Li t L V t V t P p p p p Exemplo 3: Indutor Ideal (π/)-(0) = +π/ (0)-(-π/) = +π/

31 Potência - Revisão Para o resistor: P( t) RiP sen t Muito difícil acompanhar os sinais e as trocas de sin(x) por sin(90-x)... Vamos introduzir uma nova notação, mais genérica e mais simples! Para o capacitor: P( t) Para o intudor: P( t) i p C Li sin 1/C é como se fosse a resistência do capacitor! t sin t t sin t p sin L é como se fosse a resistência do indutor! Mas essa resistência introduz uma fase! Mas essa resistência introduz uma fase!

32 Números Complexos Cˆ a b j j 1 C a b Cˆ C e j e j cos j sen tg b a d dt e jt j t e j e jt dt 1 e j jt Integrais e derivadas nesta notação são apenas multiplicações e divisões

33 Formalismo Complexo Este formalismo é construído de tal forma a facilitar todos os cálculos que envolvem tensões alternadas Vamos definir as tensões e correntes complexas como sendo: j( t0 ) Vˆ( t) V0e V ( t) ReV ˆ( t) iˆ( t) i 0 e j( t ) 1 i( t) Re V cos( t ) iˆ( t) i cos( t )

34 Impedância Complexa e Real A impedância complexa de um elemento X é definida como sendo a razão entre a tensão e corrente complexas neste elemento, ou seja: Zˆ 0 j V0e j i e t t 1 0 Z ˆ V ˆ (t) i ˆ (t) Usando a definição das tensões e correntes complexas, deduzimos que: V 0 i 0 e j 0 1 j Z 0 e A impedância NÃO varia com o tempo. É uma grandeza característica do elemento X Z 0 é a impedância REAL do elemento X é a diferença de fase entre a tensão e corrente causada pelo elemento X

35 Resistência e Reatância Da definição de impedância complexa: ˆ Z Z 0 e j Podemos escrever também que: ˆ Z Z 0 cos jz 0 sin Define-se resistência (R) de um bipolo como sendo: R Z 0 cos E reatância deste bipolo (X) X Z 0 sin

36 Porque usar este formalismo? As grandes vantagens deste formalismo são: Operações envolvendo tensão e corrente são simples Multiplicações e divisões de exponenciais Associações de bipolos tornam-se simples Como resistores comuns, mas realizadas com grandezas complexas ^ Z 1 ^ Z ^ Z Z ˆ Z ˆ 1 Z ˆ ^ Z 1 ^ Z ^ 1 Z Z ˆ 1ˆ 1ˆ Z 1 Z

37 Exemplo 1: Resistor Seja uma tensão e corrente complexas, temos: V(t) Z ˆ V ˆ (t) i ˆ (t) Mas sabemos que R = V/i, ou seja, a corrente e tensão estão sempre em fase. Assim: ˆ Z Z 0 e j R Z R 0 0 R i(t) Por conta disto que resistores Ôhmicos são muito utilizados em laboratório para medir correntes

38 Exemplo : Capacitor Sabemos que V(t) 1 C i(t)dt Se a corrente complexa for dada por: ˆ i (t) i 0 e jt Fica fácil demonstrar que Vˆ ( t) A impedância de um capacitor vale: Z ˆ V ˆ j (t) i ˆ (t) C i 0e jt i 0 e jt j C j C i 0 e jt V(t) C i(t)

39 Ou seja Mas lembrando que: Exemplo : Capacitor Z ˆ j C Comparando as duas expressões temos que: Z 0 1 C ˆ Z Z 0 cos jz 0 sin Conclui-se naturalmente que a tensão elétrica está defasada de π/ em relação à corrente

40 Exemplo 3: indutor Sabemos que d V ( t) L i( t) dt Se a corrente complexa for dada por: ˆ i (t) i 0 e jt Fica fácil demonstrar que Vˆ ( t) jli 0 e jt A impedância de um capacitor vale: V(t) Z ˆ V ˆ (t) i ˆ (t) jli i e 0 e jt 0 jt jl L i(t)

41 Exemplo 3: Indutor Ou seja Zˆ jl Mas lembrando que: ˆ Z Z 0 cos jz 0 sin Comparando as duas expressões temos que: Z0 L Conclui-se naturalmente que a tensão elétrica está adiantada de π/ em relação à corrente

42 Mas o indutor é ideal? Bobinas são fios condutores muito longos enrolados, sua resistência elétrica é, em geral, significativa e não pode ser desprezada. Raramente, o modelo de um indutor ideal pode ser usado para uma bobina comum. As condições que temos: bobina, circuito e intervalo de freqüência disponíveis, não é possível adotar o modelo de indutor ideal. Pelo menos a resistência da bobina deve ser levada em conta. Isso significa que o modelo adotado para a bobina, não é mais o de uma indutância pura, mas de uma indutância pura ligada, em série, a uma resistência ôhmica.

43 Indutor real: bobina Indutor real: circuito, em série, de uma resistência e de uma indutância pura A impedância complexa equivalente é a soma das impedâncias complexas de cada elemento. A impedância resistiva da bobina é R B e a impedância complexa do indutor puro é X L : Ẑ jωl A impedância total: Ẑ R B jωl Z 0 e jφ 0

44 Impedância da bobina: O valor real da impedância da bobina: Z B ẐẐ * R B ω L R B =resistência da bobina L= indutância da bobina E a defasagem entre a tensão da associação em série R B + L e a corrente que a percorre, vocês podem calcular: ωl tgφ0 ou φ0 R ωl arctg B R B

45 Bobina não é indutor puro Isso vai ter consequências no comportamento de indutores reais no circuito. uma delas é que a defasagem não é mais π/: ela depende da frequência, da indutância e da resistência da bobina Vocês podem prever o que acontece com a potência!

46 Tarefas da Semana (1) Medir a impedância do capacitor fornecido em função da freqüência Fazer um gráfico da impedância por freqüência verificar se a relação teórica prevista é obedecida Obter o valor da capacitância e comparar com os valores dos colegas Medir a impedância da bobina fornecida (1000 espiras) em função da freqüência Fazer um gráfico da impedância por freqüência verificar se a relação teórica prevista é obedecida obter o valor da indutância e comparar com os valores dos colegas e com o valor nominal

47 Tarefas da Semana () Medir a diferença de fase entre a corrente e a tensão no capacitor e comparar com o valor previsto teoricamente. Comparar também com os valores de seus colegas Medir a diferença de fase entre a corrente e a tensão no indutor e comparar com o valor previsto teoricamente Compare com os valores obtidos por seus colegas Além do que foi medido e com as diferenças de fase medidas calcule: A potência média transferida ao resistor, por ciclo. A potência média transferida ao capacitor, por ciclo. A potência média transferida ao indutor, por ciclo.

48 As medidas: circuitos Em ambos os casos o circuito consta de: Gerador de áudio com saída de baixa impedância Resistor de 47 Ω Indutor de 1000 espiras Capacitor de 1μF Placa de circuito Osciloscópio

49 Osciloscópio gatilho (trigger) acoplamento AC, DC ou terra menu interativo 300V A ponta de prova tem atenuador que pode ser alterado (muda também a impedância) referência 5V terra canal 1 canal varredura (horizontal)

50 Gerador de audio Duty cycle ADJust 50% 5% Frequency ADJust Amplitude ADJust intervalo de frequências Executa parâmetro atenuador

51 Circuito BOBINA RESISTOR CH1 CH CAPACITOR Terra Instrumentos de medida: Osciloscópio Canal 1: -i R = -V R /R é a corrente no circuito Canal : V X Cuidado com ruídos Estimar incertezas na tensão e corrente a partir do nível de ruído