Equipe de Matemática

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1 Lista - O.M. I ( límpiada de Matemática do Integral )-05 Equipe de Matemática Série: º ano Questões:. Considere a função real f, de variável real x, definida pelo seguinte determinante: cos(x) f(x) para 0 x cos(x) Observe o gráfico da função f. Determine os valores de x para os quais f(x).. A quantidade de soluções que a equação trigonométrica sen x cos x admite no intervalo [0, ] é: a) 0 b) c) d) e) 8. Suponha que, em determinado lugar, a temperatura média diária T,em C, possa ser expressa, em função do tempo t, em dias decorridos desde o início do ano, por (t 05) T(t) sen. Segundo esse modelo matemático, a temperatura média máxima nesse lugar, ocorre, no mês de: a) julho. b) setembro.

2 c) junho. d) dezembro. e) março.. A tabela indica o horário do pôr do sol em uma cidade hipotética no dia primeiro de cada um dos doze meses de 0. O horário indicado na tabela (y) é dado em minutos depois das 8 horas. Por exemplo, em de janeiro de 0, o pôr do sol se deu às 8h0. Mês Horário (y) Mês Horário Janeiro 0 Julho 0 Fevereiro,5 Agosto,5 Março, Setembro,9 Abril Outubro Maio Junho, Novembro,5 Dezembro,9,5. Usando a tabela a seguir para os valores de x, faça um esboço do gráfico de y em função de x no intervalo x. Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Determine uma função trigonométrica que forneça y em função de x, cujo gráfico passe por todos os pontos definidos pelas duas tabelas anteriores. Em seguida, use essa função para prever o horário do pôr do sol quando x. Adote:, e, 5. Seja A a matriz Sabe-se que 0 0 n A A A A A n vezes Então, o determinante da matriz S A A A A é igual a: a) b) c) 875 d)

3 . Uma empresa da construção civil faz tipos de casa: tipo, para casal sem filhos; tipo, para casal com até filhos e tipo, para casal com ou mais filhos. A empresa de material de construção Barateiro Umbizal fornece ferro, madeira, telha e tijolo, para a primeira etapa da construção, conforme tabelas de material e de preço. Quantidade de Material Fornecido pela Empresa Barateiro Umbizal Tipo da Casa Ferro (feixe) Madeira (m ) Telha (milheiro) Tijolo (milheiro) Tipo Tipo 5 Tipo 5 5 Preço por Unidade de Material Fornecido em reais Feixe de ferro Madeira (m ) Telha (milheiro ) Tijolo (milheiro) 500,00 00,00 00,00 00,00 Sabendo que a empresa construirá, e 5 casas dos tipos, e, respectivamente, o preço unitário de cada tipo de casa e o custo do material fornecido, para esta primeira etapa de construção, pela empresa, em reais, é de: a) b) c) d) e) Tipo Tipo Tipo 5.00, , , ,00 Tipo Tipo Tipo.00, , , ,00 Tipo Tipo Tipo.00, , , ,00 Tipo Tipo Tipo.00, , , ,00 Tipo Tipo Tipo.500, , , ,00

4 7. No quadro abaixo, observa-se o balanço de vendas das três vendedoras da Perfumaria Soxeiro para os três perfumes mais vendidos no último sábado. Vendedora Perfumes (nº de vidros) Faturamento (R$) Alfa Beta Gama Amanda Bruna Carol 5.50 Total De acordo com esses dados, quanto custa um vidro do perfume Beta? a) R$00,00 b) R$50,00 c) R$0,00 d) R$80,00 e) R$ 00,00 8. Analise o esquema seguinte. Se os pratos da balança estão equilibrados, então a soma dos pesos dos objetos, e, em kg, é : a) menor que. b) maior que,5. c) maior que e menor que,5. d) maior que,5 e menor que. e) maior que e menor que,5. 9. Para saber o dia da semana em que uma pessoa nasceu, podem-se utilizar os procedimentos a seguir.. Identifique, na data de nascimento, o dia D e o mês M, cada um com dois algarismos, e o ano A, com quatro algarismos.

5 . Determine o número N de dias decorridos de º de janeiro até D/M.. Calcule Y, que representa o maior valor inteiro que não supera A.. Calcule a soma S = A + N + Y. 5. Obtenha X, que corresponde ao resto da divisão de S por 7.. Conhecendo X, consulte a tabela: Dia da semana X correspondente 0 sexta-feira sábado domingo segunda-feira terça-feira 5 quarta-feira quinta-feira O dia da semana referente a um nascimento ocorrido em /05/9 é: a) domingo b) segunda-feira c) quarta-feira d) quinta-feira 0. O Sistema Monetário Colonial do Brasil mantinha uma clássica ordem de valores baseados nas dezenas, com seus valores dobrados a cada nível acima de moeda cunhada, portanto com valores de 0, 0, 0, 80, 0, 0, 0 e 90 réis; o que em grande parte minimizava a problemática do troco. No entanto, a província de Minas Gerais produziu um problema tão grave de troco, no início da segunda década do século XIX, que afetou diretamente os interesses da metrópole e exigiu medidas drásticas para evitar grandes perdas ao cofre português. [...] Para resolver o problema, em 88, a Casa da Moeda do Rio de Janeiro, desativada desde 7, foi reaberta para cunhar uma das moedas mais intrigantes da história da numismática mundial, o Vintém de Ouro. O nome sugere uma moeda de vinte réis cunhada em ouro, no entanto é uma moeda de cobre que tem no seu anverso o valor de 7 ½ réis, batida no Rio de Janeiro para circular em Minas Gerais. ( O SISTEMA. 0 ).

6 De acordo com o texto, se uma pessoa tivesse que efetuar um pagamento de 80 réis e só possuísse moedas de Vintém de Ouro, então, ao realizar esse pagamento, ele poderia receber de troco uma quantidade mínima de moedas, correspondente a uma moeda de: a) 0 réis. b) 80 réis. c) 0 e outra de 0 réis. d) 0 e outra de 0 réis. e) 0, uma de 0 e uma de 0 réis.. Uma pessoa escolherá um plano de telefonia celular entre duas opções: A e B. PLANO NOME DO PLANO MINUTOS INCLUÍDOS NO PLANO VALOR EXCEDENTE ENTRE CELULARES DA MESMA OPERADORA PREÇO MENSAL A MINAS R$ 0,8 R$ 57,00 B GERAIS 0 0 R$ 0,7 R$ 9,00 Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas: I. Se a pessoa exceder 0 minutos de ligações para a mesma operadora, o plano A ficará mais vantajoso que o plano B. II. Se a pessoa usar apenas 0 minutos no mês, o melhor plano será o B. III. Se a pessoa exceder 0 minutos de ligações para a mesma operadora, os planos A e B ficarão equivalentes. Assinale a alternativa CORRETA: a) Somente II e III são verdadeiras. b) Somente II é verdadeira. c) Somente I e III são verdadeiras. d) Somente III é verdadeira..uma médica, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente, de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de em horas, remédio B, de em horas e remédio C, de em horas. Caso o paciente utilize os três remédios às horas da manhã, o próximo horário coincidente de ingestão dos mesmos será: a) h. b) h. c) h. d) 8h. e) 0h.. O dia 0 de julho de um certo ano ocorreu numa sexta-feira. Então, 0 de fevereiro do ano seguinte foi: a) segunda-feira

7 b) terça-feira c) quarta-feira d) quinta-feira e) sexta-feira. Assinale o que for correto. 0) 0) n n n 5 0) A soma das soluções da equação 0 0 x x n n n 08) A equação ) 0 0 x é. tem duas soluções distintas. 5.Demonstre que o determinante de uma matriz inversa é igual ao inverso do determinante dessa mesma matriz. Isto é, dada uma matriz A, com determinante diferente de zero, mostre que: det A - = deta

8 Gabarito/Resolução Resposta da questão : X= ou X= 5 Resposta da questão : [D] Resposta da questão : [A] A temperatura média máxima ocorre quando (t 05) (t 05) sen sen sen (t 05) k t 05 9 k t 9 k, k. Assim, tomando k 0, concluímos que a temperatura média máxima ocorre 9 dias após o início do ano, ou seja, no mês de julho. Resposta da questão : a) Considere o gráfico. b) Suponhamos que f seja da forma f(x) a b cos(mx c), com a, b, c, m sendo números reais. O período de f é dado por Como a imagem de f é o intervalo [, ], vem [a b, a b] [, ] a e b. 5. Logo, temos m. Em consequência, tomando o ponto,, encontramos

9 cos c cos c cos c. Portanto, uma função possível é f(x) cos x. Se x, temos f cos cos cos sen sen,, 0,5,75. Daí, como,75min min 0,75 0 s min 5 s, segue-se que o horário do pôr do sol é 8 h min 5 s. Resposta da questão 5: [D] Resposta da questão : [C] Resposta da questão 7: [B] Resposta da questão 8: [E] Resposta da questão 9: [D] Resposta da questão 0: [E] Resposta da questão : [B] Resposta da questão : [D] Resposta da questão : [E] Resposta da questão : =. VVVFV Resposta da questão 5: Demonstração. Dica: Utilize a definição A.A - =I e o teorema de Binet.