TERCEIRO TESTE DE ÁLGEBRA LINEAR Teste de Dezembro de 2013 Instituto Superior Técnico - LEE, LEGI, LEIC-TP, LETI

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1 TERCEIRO TESTE DE ÁLGEBRA LINEAR Teste de Dezembro de 2013 Instituto Superior Técnico - LEE, LEGI, LEIC-TP, LETI Nome: Número: Curso: Problema a b c d e lalala Classificação ,7 8 NOTA FINAL: A duração do teste é de uma hora e quarenta minutos. Este teste vale 20 valores As perguntas 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 14 e 15 são de escolha múltipla. Para cada uma delas, assinale uma única resposta no quadro acima. Nestas doze perguntas de escolha múltipla, cada resposta certa vale 1.0, cada resposta em branco vale 0.0, e cada resposta errada vale Nas perguntas que não são de escolha múltipla, justifique todos os passos.

2 GRUPO I Considere R 3 com o produto interno usual. Sejam u R 3 e v = (2, 2, 1 R 3 tais que u = 3 e u, v = 4. Problema 1. (1.0; 0.0; -0,2 Escolha a resposta correcta: a 2u = 6 e 3u, 3v = 12 b 2u = 6 e 3u, 3v = 12 c 2u = 6 e 3u, 3v = 36 d 2u = 6 e 3u, 3v = 36 e 2u = 6 e 3u, 3v = 12 Problema 2. (1.0; 0.0; -0.2 O cosseno do menor ângulo entre u e v é: a 3/4 b 9/20 c 4/9 d 4/15 e 3/5 Problema 3. (1.0; 0.0; -0.2 A distância de v ao plano x + y + z = 14 é: a 27 b 20 c 12 d 7 e 3

3 Seja W o subespaço linear de R 3 gerado por v, isto é, W = { λ(2, 2, 1 : λ R } é a recta em R 3 que passa pela origem e que tem v como vector direcção. Problema 4. (1.0; 0.0; -0,2 Encontre uma base B para W. a B = {( 1, 0, 2} b B = {(0, 1, 1} c B = {( 1, 0, 2, (0, 1, 2} d B = {(1, 0, 2, (0, 1, 1, (0, 1, 0} e B = {(1, 0, 2, ( 1, 1, 4, (0, 1, 2} Problema 5. (1.0; 0.0; -0.2 Qual é a distância de (0, 2, 0 a W? a 5/3 b 2/3 c 1/3 d 3/3 e 4/3

4 GRUPO II Problema 6. Considere R 2 com o produto interno usual, e considere a matriz ( 3 1 A =. 1 3 i (2.0 Encontre os valores próprios de A, e encontre o espaço próprio de A associado a cada valor próprio.

5 ii (1.0 Sabendo que λ = 3 não é valor próprio de A, explique porque é que o sistema (A 3IX = B tem solução única, qualquer que seja o vector B R 2. iii (1.5 Encontre uma matriz diagonal D, e encontre uma matriz invertível S com a característica de S 1 = S T, tais que A = SDS 1. (Não precisa encontrar S 1 nem fazer a conta A = SDS 1 ; basta encontrar D e S como pedidas.

6 iv (1.5 Determine a forma quadrática Q(x, y associada à matriz A, e diagonalize Q(x, y.

7 Problema 7. (1.0 ( Calcule os valores de a para os quais a forma quadrática 1 a associada à matriz é positiva definida. a 1

8 GRUPO III O Sr. Silva começou a sua empresa de aluguer de autocarros em Janeiro de 1986, com 3000 autocarros. Nessa altura, 20% da sua mercadoria estava em Aveiro e 80% da sua mercadoria estava no Porto. Assim, ( 0.2 X 0 = 0.8 é o vector estado inicial (de distribuição dos autocarros do Sr. Silva. Seja X k = ( ak o vector estado do ano k, que nos diz que, em Janeiro desse ano, do total dos 3000 autocarros do Sr. Silva, a percentagem que se encontra em Aveiro é a k, e a percentagem que se encontra no Porto é p k (a k + p k = 1. Sabemos ainda que, no fim de cada ano, 4% da frota de autocarros de Aveiro passa para o Porto e 6% da frota de autocarros do Porto passa para Aveiro. Problema 8. (1.0 Construa uma matriz de Markov, A, para a mobilidade anual da frota de autocarros do Sr. Silva, isto é, construa A, matriz de Markov 2 2, tal que X k = AX k 1 (= A k X 0 (k = 1, 2,. p k Problema 9. (1.0; 0.0; -0.2 Sabendo que os valores próprios de A são λ 1 = 1 e λ 2 = 0.9, e que os respectivos vectores próprios de A são v 1 = (3, 2 e v 2 = (1, 1, diga, a longo prazo, quantos autocarros é que o Sr. Silva tem no Porto. a 750 b 825 c 950 d 1075 e 1200

9 GRUPO IV Problema 10. (1.0; 0.0; -0.2 Seja T : R 2 R 3 uma transformação linear tal que T (1, 0 = (1, 1, 0 e T (0, 1 = (2, 0, 2. Determine T (x, y. a T (x, y = (x y, 2x + 2y, 0 b T (x, y = (x + 2y, x, 2y c T (x, y = (x y, 0, 2y d T (x, y = (x, y, x + 2y e T (x, y = (x 2y, x + y, 2x + 2y Problema 11. (1.0; 0.0; -0.2 Encontre a matriz A = M(T, BC, BC, que representa a transformação linear T em relação à base canónica de R 2 na partida e à base canónica de R 3 na chegada, sabendo que T é a transformação linear do Problema a A = c A = ( b A = d A = ( e A = ( Problema 12. (1.0; 0.0; -0.2 Sendo T a transformação linear dos Problemas 10 e 11, o que pode afirmar sobre a imagem de T? a A imagem de T é um ponto em R 2. b A imagem de T é um plano em R 3. c A imagem de T é uma recta em R 2. d A imagem de T é um ponto em R 3. e A imagem de T é uma recta em R 3.

10 ( 2 1 Problema 13. (1.0; 0.0; -0.2 Seja A = a matriz que 2 1 representa uma transformação linear T : R 2 R 2, em relação a uma base B = {v 1, v 2 } de R 2. Qual é a matriz que representa T em relação à base {v 2, v 1 } de R 2? a A = d A = ( ( b A = ( ( 2 1 e A = 2 1 c A = ( Problema 14. (1.0; 0.0; -0.2 No contexto do Problema 13, encontre o núcleo de T, N(T, quando v 1 = (3, 4 e v 2 = (1, 0. a N(T = { α(1, 0 : α R } b N(T = { α(3, 4 + β( 4, 5 : α, β R } c N(T = { α(1, 2 : α R } d N(T = { α(3, 4 + β(2, 0 : α, β R } e N(T = { α(5, 4 : α R }

11 Problema 15. (1.0; 0.0; -0.2 Seja V um espaço linear real com produto interno. Diz-se que uma transformação linear T : V V é unitária se T (u, T (v = u, v, para todo u, v V. Suponha que dimv = n, e que A é a matriz n n que representa T em relação a uma base ortonormal de V. Escolha a afirmação verdadeira: a T é unitária se e só se A é simétrica. b T é unitária se e só se A é invertível. c T é unitária se e só se A é anti-simétrica. d T é unitária se e só se A é ortogonal (A T A = I. e T é unitária se e só se A é diagonalizável.