RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO

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1 RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO 1. ESTRUTURAS LÓGICAS LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO DIAGRAMAS LÓGICOS ÁLGEBRA LINEAR PROBABILIDADES COMBINAÇÕES ARRANJOS E PERMUTAÇÕES Raciocínio Lógico 1

2 PESQUISA E EDIÇÃO: FLÁVIO NASCIMENTO (Graduado em Administração de Empresas e Bacharelando em Direito pela Faculdades Toledo de Araçatuba SP) BIBLIOGRAFIA: Alencar F, Edgard de. Iniciacao a Logica Matematica. Editora Nobel, São Paulo Jacob Daghlian Lógica e álgebra de Boole 4º ed. São Paulo: Atlas, Coleção Schaum Álgebra Moderna Ed. McGraw-Hill 2 Raciocínio Lógico

3 1. ESTRUTURAS LÓGICAS, LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO, ESTRUTURAS LÓGICAS Iniciaremos com os primeiros passos da Lógica: PROPOSIÇÕES Temos vários tipos de sentenças: Declarativas Interrogativas Exclamativas Imperativas VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES O valor lógico de uma proposição r é a verdade(ou verdadeiro) se r é verdadeira. Escreve-se v(r) = V, isto é, o valor lógico de r é V. O valor lógico de uma proposição s é a falsidade(ou falso) se s é falsa. Escreve-se v(s) = F, isto é, o valor lógico de s é F. Os valores verdadeiro (V) e falso(f) são chamados de valores lógicos. LEIS DO PENSAMENTO Vejamos algumas leis do pensamento para que possamos desenvolver corretamente o nosso pensar. PRINCÍPIO DA IDENTIDADE. Se qualquer proposição é verdadeira, então, ela é verdadeira. PRINCÍPIO DE NÃO-CONTRADIÇÃO. Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa. PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. SENTENÇAS ABERTAS Quando substituímos numa proposição alguns componentes por variáveis, teremos uma sentença aberta. CONECTIVOS Chama-se conectivo a algumas palavras ou frases que em lógica são usadas para formarem proposições compostas. Veja alguns conectivos: A negação não cujo símbolo é ~. A desjunção ou cujo símbolo é v. A conjunção e cujo símbolo é ^ O condicional se,..., então, cujo símbolo é -->. O bicondicional se, e somente se, cujo símbolo é <->. PROPOSIÇÕES SIMPLES Uma proposição é simples quando declara ou afirma algo sem o uso de nenhum dos conectivos e, ou, se..., então e se, e somente se. PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Uma proposição é composta quando formada por mais de uma proposição simples. Raciocínio Lógico 3

4 1 - INTRODUÇÃO A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de George Boole, matemático inglês ( ), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações. As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica. A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas como proposições, as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes: Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo outra alternativa. Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa. Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui valor lógico F (falso). Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para proposições falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou V ). As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t, u,... De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está bonito", "3 + 5", "x é um número real", "x + 2 = 7", etc., não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico definido (verdadeiro ou falso). Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lógico V ou F. Poderia ser também 1 ou 0. p: " a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º " ( V ) q: " = 2 " ( F ) r: " = 12" ( V) s: " a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por S i = (n - 2). 180º " ( V ) t: " O Sol é um planeta" ( F ) w: " Um pentágono é um polígono de dez lados " ( F ) 2 - SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA MATEMÁTICA não e ou se... então se e somente se tal que implica equivalente existe existe um e somente um qualquer que seja 3 - O MODIFICADOR NEGAÇÃO Dada a proposição p, indicaremos a sua negação por ~p. (Lê-se " não p " ). Ex.: p: Três pontos determinam um único plano ( V ) ~p: Três pontos não determinam um único plano ( F ) Obs.: duas negações eqüivalem a uma afirmação ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p. 4 Raciocínio Lógico

5 4 - OPERAÇÕES LÓGICAS As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos,, e, dando origem ao que conhecemos como proposições compostas. Assim, sendo p e q duas proposições simples, poderemos então formar as seguintes proposições compostas: p q, p q, p q, p q (Os significados dos símbolos estão indicados na tabela anterior). Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir. Conjunção: p q (lê-se "p e q " ). Disjunção: p q (lê-se "p ou q "). Condicional: p q (lê-se "se p então q " ). Bi-condicional: p q ( "p se e somente se q"). Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q, como determinaremos os valores lógicos das proposições compostas acima? Ah! caro vestibulando! Isto é conseguido através do uso da tabela a seguir, também conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE. Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por 0 quando falsa (F) e 1 quando verdadeira (V). Podemos construir a seguinte tabela simplificada: p q p q p q p q p q Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que: a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras. a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas. a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa. a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais. Ex.: Dadas as proposições simples: p: O Sol não é uma estrela (valor lógico F ou 0) q: = 8 (valor lógico V ou 1) Temos: p q tem valor lógico F (ou 0) p q tem valor lógico V (ou 1) p q tem valor lógico V (ou 1) p q tem valor lógico F (ou 0). Assim, a proposição composta "Se o Sol não é uma estrela então = 8" é logicamente verdadeira, não obstante ao aspecto quase absurdo do contexto da frase! Não quero lhe assustar, mas o fato das proposições verdadeiras (valor lógico 1) ou falsas (valor lógico 0), não podem estar associadas à analogia de que zero (0) pode significar um circuito elétrico desligado e um (1) pode significar um circuito elétrico ligado? Isto lembra alguma coisa vinculada aos computadores? Pois é, caros amigos, isto é uma verdade, e é a base lógica da arquitetura dos computadores! Seria demais imaginar que a proposição p q pode ser associada a um circuito série e a proposição p q a um circuito em paralelo? Pois, as analogias são válidas e talvez tenham sido elas que mudaram o mundo! Vimos no texto anterior, a tabela verdade - reproduzida abaixo - que permite determinar o valor lógico de uma proposição composta, conhecendo-se os valores lógicos das proposições simples que a compõem. Raciocínio Lógico 5

6 p q p q p q p q p q Nota: valor lógico verdadeiro = 1 ou V valor lógico falso = 0 ou F Podemos observar que é muito fácil entender (e o nosso intelecto admitir) as regras contidas na tabela acima para a conjunção, disjunção e equivalência, ou seja: a conjunção "p e q" só é verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras. A disjunção "p ou q" só é falsa quando p e q forem ambas falsas. A bi-condicional só e falsa quando p e q possuem valores lógicos opostos. Quanto à condicional "se p então q", vamos analisá-la separadamente, de modo a facilitar o entendimento das regras ali contidas: p q p q V V V V F F F V V F F V O raciocínio a seguir, será a base da nossa análise: Se é dada uma proposição p e é possível fazer-se um raciocínio válido que nos conduza a outra proposição q, consideraremos que p q é verdadeira. Visto isso, vamos analisar as quatro possibilidades contidas na tabela acima: 1º) p é V e q é V: somente através de um raciocínio válido é possível partir de uma proposição verdadeira para outra também verdadeira. Logo, p q é verdadeira. 2º) p é V e q é F: não existe raciocínio válido capaz de, partindo-se de uma proposição verdadeira chegar-se a uma proposição falsa. Logo, neste caso, p q é falsa. 3º) p é F e q é V: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma proposição verdadeira. Isto é um pouco difícil de entender, mas acompanhe o exemplo abaixo: Sejam as proposições: p: 10 = 5 (valor lógico F) q: 15 = 15 (valor lógico V) Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p (falsa), chegar a q(verdadeira). Com efeito, se 10 = 5, então podemos dizer que 5 = 10. Somando membro a membro estas igualdades vem: 10+5 = 5+10 e portanto 15 = 15. Portanto a partir de p FALSA foi possível, através de um raciocínio válido chegar-se a q VERDADEIRA. Logo, p q é verdadeira 4º) p é F e q é F: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma proposição também falsa. Senão vejamos: Sejam as proposições: p: 10 = 5 (valor lógico F) q: 19 = 9 (valor lógico F) Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p FALSA, chegarmos a q também FALSA. Com efeito, se 10 = 5, então, subtraindo uma unidade em cada membro, obteremos 9 = 4. 6 Raciocínio Lógico

7 Somando agora membro a membro estas duas igualdades, obtemos 10+9 = 5+4 e portanto 19 = 9, que é a proposição q dada. Logo, p q é verdadeira (V). Exercícios: 1) Sendo p uma proposição verdadeira e q uma proposição falsa, qual o valor lógico da proposição composta r: (p q) q? Solução: Teremos, substituindo os valores lógicos dados: p = V, q = F e ~q = V. r: (V V) F, logo, pelas tabelas acima vem: r: V F e portanto r é falsa. Valor lógico F ou 0. 2) Qual das afirmações abaixo é falsa? a) se Marte é um planeta então 3 = 7-4. b) a soma de dois números pares é um número par e 7 2 = 49. c) 3 = 5 se e somente se o urso é um animal invertebrado. d) se 10 2 = 100 então todo número inteiro é natural. e) 2 = ou a Terra é plana. Analisando os valores lógicos das proposições simples envolvidas e usando-se as tabelas anteriores, concluiremos que apenas a proposição do item (d) é falsa, uma vez que 10 2 = 100 é V e "todo número inteiro é natural" é F ( o número negativo -3 por exemplo é inteiro, mas não é natural). Portanto, temos V F, que sabemos ser falsa. (Veja a segunda linha da tabela verdade acima). Resumo da Teoria 1 - Tautologias e Contradições Considere a proposição composta s: (p q) (p q) onde p e q são proposições simples lógicas quaisquer. Vamos construir a tabela verdade da proposição s : Considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos: p q p q p q (p q) (p q) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA. Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: p: O Sol é um planeta (valor lógico falso - F) e q: A Terra é um planeta plano (valor lógico falso - F), podemos concluir que a proposição composta "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta plano" é uma proposição logicamente verdadeira. Opostamente, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta, verificarmos que ela é sempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO. Ex.: A proposição composta t: p ~p é uma contradição, senão vejamos: p ~p p ~p V F F F V F NOTA: Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela verdade possuirá 2 n linhas. Ex.: Construa a tabela verdade da proposição composta t: (p q) r Raciocínio Lógico 7

8 Teremos: p q r (p q) (p q) r V V V V V V V F V V V F V F V V F F F F F V V F V F V F F F F F V F V F F F F F Observe que a proposição acima não é Tautologia nem Contradição. Apresentaremos a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais você poderá verifica-las, simplesmente construindo as respectivas tabelas verdades: Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposições compostas, são TAUTOLOGIAS: 1) (p q) p 2) p (p q) 3) [p (p q)] q (esta tautologia recebe o nome particular de "modus ponens") 4) [(p q) ~q] ~p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus tollens") Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas acima e comprovar que elas realmente são tautologias, ou seja, na última coluna da tabela verdade teremos V V V V. NOTAS: a) as tautologias acima são também conhecidas como regras de inferência. b) como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos concluir que a negação de uma tautologia é sempre falsa, ou seja, uma contradição. 2 - Álgebra das proposições Sejam p, q e r três proposições simples quaisquer, v uma proposição verdadeira e f uma proposição falsa. São válidas as seguintes propriedades: a) Leis idempotentes p p = p p p = p b) Leis comutativas p q = q p p q = q p c) Leis de identidade p v = p p f = f p v = v p f = p d) Leis complementares ~(~p) = p (duas negações eqüivalem a uma afirmação) p ~p = f p ~p = v ~v = f ~f = v e)leis associativas (p q) r = p (q r) (p q) r = p (q r) 8 Raciocínio Lógico

9 f) Leis distributivas p (q r) = (p q) (p r) p (q r) = (p q) (p r) g) Leis de Augustus de Morgan ~(p q) = ~p ~q ~(p q) = ~p ~q h) Negação da condicional ~(p q) = p ~q Todas as propriedades acima podem ser verificadas com a construção das tabelas verdades. Vamos exemplificar verificando a propriedade do item (h): Para isto, vamos construir as tabelas verdades de ~(p q) e de p ~q : Tabela1: p q p q ~(p q) V V V F V F F V F V V F F F V F Tabela 2: p q ~q p ~q V V F F V F V V F V F F F F V F Observando as últimas colunas das tabelas verdades 1 e 2, percebemos que elas são iguais, ou seja, ambas apresentam a seqüência F V F F, o que significa que ~(p q) = p ~q. Exs.: 1) Qual a negação da proposição composta: "Eu estudo e aprendo"? Do item (g) acima, concluímos que a negação procurada é: "Eu não estudo ou não aprendo". 2) Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado"? Do item (g) acima, concluímos que a negação é: "O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado". 3) Qual a negação da proposição: "Se eu estudo então eu aprendo"? Conforme a propriedade do item (h) acima, concluímos facilmente que a negação procurada é: "Eu estudo e não aprendo" Dado um conjunto de proposições P 1, P 2, P 3,..., P n, Q (simples ou compostas) chama-se ARGUMENTO à proposição composta S : ( P 1 P 2 P 3... P n ) Q. As proposições P 1, P 2, P 3,..., P n são denominadas PREMISSAS e a proposição Q é denominada CONCLUSÃO. Costuma-se representar um argumento, também da forma simplificada: P 1, P 2, P 3,..., P n Q, onde o símbolo significa "logo" ou "de onde se deduz ". O argumento S : ( P 1 P 2 P 3... P n ) Q será VÁLIDO se e somente se a proposição composta s : ( P 1 P 2 P 3... P n ) Q for uma TAUTOLOGIA, ou seja, a última coluna da sua TABELA VERDADE só contiver o valor lógico verdadeiro (V). Caso contrário, o argumento não será válido e será denominado FALÁCIA. Consideremos o seguinte exemplo de argumento: Se chove então faz frio. Não chove, Logo, não faz frio. Raciocínio Lógico 9

10 Este argumento é válido? Vejamos: Sejam as proposições: p: " chove " q: " faz frio " Claro que a proposição "não chove" será ~p (a negação de p) e "não faz frio" será ~q (a negação de q). Poderemos então escrever o argumento na forma simbólica indicada acima: s: [(p q) ~p] ~q Para saber se o argumento apresentado é válido ou não, teremos que construir a tabela verdade da proposição composta s: [(p q) ~p] ~q. Teremos, com base nos nossos conhecimentos anteriores: p q ~p ~q p q [(p q) s ~p V V F F V F V V F F V F F V F V V F V V F F F V V V V V Como a proposição composta s: [(p q) ~p] ~q não é uma Tautologia (apareceu um F na terceira linha da última coluna), concluímos que o argumento dado não é válido. O argumento é, portanto, uma FALÁCIA. Vamos agora considerar o seguinte argumento: Se chove então faz frio. Não faz frio. Logo, não chove. Este argumento é válido? Vejamos: Sejam as proposições: p: " chove " q: " faz frio " Claro que a proposição "não chove" será ~p (a negação de p) e "não faz frio" será ~q (a negação de q). Poderemos então escrever o argumento na forma simbólica: s: [(p q) ~q] ~p Para saber se o argumento apresentado é válido ou não, teremos que construir a tabela verdade da proposição composta s: [(p q) ~q] ~p. Teremos, com base nos nossos conhecimentos anteriores: p q ~p ~q p q [(p q) ~q s V V F F V F V V F F V F F V F V V F V F V F F V V V V V Como a proposição composta s: [(p q) ~q] ~p é uma Tautologia (só aparece V na última coluna), concluímos que o argumento dado é válido. Este tipo de problema se complica um pouco quando o número de premissas aumenta, pois com duas premissas, 10 Raciocínio Lógico

11 a tabela verdade conterá 2 2 = 4 linhas, com três premissas, a tabela verdade conterá 2 3 = 8 linhas e assim sucessivamente. Com quatro premissas, a tabela verdade conterá 2 4 = 16 linhas; imagine 10 premissas! A tabela verdade conteria 2 10 = 1024 linhas. Aí, só os computadores resolveriam... Considere outro exemplo, agora com 3 premissas: Se o jardim não é florido então o gato mia. Se o jardim é florido então o passarinho não canta. O passarinho canta. Logo, o jardim é florido e o gato mia. Sejam as proposições: p: " o jardim não é florido" q: " o gato mia" r: " o pássaro canta" Poderemos escrever o argumento na seguinte forma simbólica: s : [(p q) (~ p ~ r) r ] ( ~ p q ) Teremos, com base nos nossos conhecimentos anteriores: p q r ~ r ~p q p q ~p ~p ~ r [(p q) (~p r) ( ~ r ) V V V F F V F V F V V V F V F V F V V F V F V F F F F V F V V F F V F F F V F V F V V F V V V F F V F V F V V V V V V V F F V F F V V F F V F F F V F V V V V F s Como o argumento s não é uma Tautologia (apareceu F na última coluna), o argumento não é válido. Notas: 1 o entendimento da tabela verdade acima, requer muita atenção. 2 neste tipo de exercício, não devemos usar a intuição, somente. A construção da tabela verdade é uma necessidade imperiosa, embora possa parecer muito trabalhosa. 3 recomendamos enfaticamente, imprimir o arquivo e analisar criteriosamente a tabela verdade. Agora resolva estes: 1 - Se o jardim não é florido então o gato mia. O gato não mia. Logo, o jardim é florido. Resposta: o argumento é válido. 2 - Se o jardim não é florido então o gato não mia. O jardim é florido. Logo, o gato mia. Resposta: o argumento não é válido. Raciocínio Lógico 11

12 2. ÁLGEBRA LINEAR NUMEROS COMPLEXOS No século XVI, os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade. Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária, representada pela letra i, como sendo a raiz quadrada de -1. Pode-se escrever então: i = -1. Observe que a partir dessa definição, passam a ter sentido certas operações com números reais, a exemplo das raízes quadradas de números negativos. Ex: -16 = = 4.i = 4i Potências de i : i 0 = 1 i 1 = i i 2 = -1 i 3 = i 2. i = -i i 4 = (i 2 ) 2 = (-1) 2 = 1 i 5 = i 4. i = 1.i = i i 6 = i 5. i = i. i = i 2 = -1 i 7 = i 6. i = -i, etc. Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo 1, i, -1, -i, de quatro em quatro a partir do expoente zero. Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i, basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim, podemos resumir: i 4n = i r onde r = 0, 1, 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4). Exemplo: Calcule i 2001 Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i 2001 = i 1 = i. Definição: Dados dois números reais a e b, define-se o número complexo z como sendo: z = a + bi, onde i = -1 é a unidade imaginária. Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3) w = -3-5i (a = -3 e b = -5) u = 100i ( a = 0 e b = 100) NOTAS: a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z. b) dado o número complexo z = a + bi, a é denominada parte real e b parte imaginária. Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z). c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro. Ex: z = 3i. d)se em z = a + bi tivermos b = 0, dizemos que z é um número real. Ex: z = 5 = 5 + 0i. e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja, o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos. f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b). Exercícios Resolvidos: 1) Sendo z = (m 2-5m + 6) + (m 2-1) i, determine m de modo que z seja um imaginário puro. 12 Raciocínio Lógico

13 Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter m 2-5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3. 2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i) 12. Solução: Observe que (1 + i) 12 = [(1 + i) 2 ] 6. Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável (1 + i) 2 = i + i 2 = 1 + 2i -1 = 2i (1 + i) 2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada). Substituindo na expressão dada, vem: (1 + i) 12 = [(1 + i) 2 ] 6 = (2i) 6 = 2 6.i 6 = 64.(i 2 ) 3 = 64.(-1) 3 = Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = i e portanto sua parte real é igual a ) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i) 200. Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i) 2 ] 100. Desenvolvendo o produto notável (1 - i) 2 = i + i 2 = 1-2i -1 = - 2i (1 - i) 2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada). Substituindo na expressão dada, vem: z = (- 2i) 100 = (- 2) 100. i 100 = i 100 = ( i 2 ) 50 = (- 1) 50 = = Logo, o número complexo z é igual a e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero. CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO Dado um número complexo z = a + bi, chama-se conjugado de z e representa-se por, a um outro número complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária de z. z = a + bi Ex: z = 3 + 5i ; = a - bi = 3-5i Obs : Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma de pares ordenados. Assim é que z = a + bi = (a,b). Portanto, por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas, pode-se representar graficamente qualquer número complexo z num sistema de coordenadas cartesianas, bastando marcar a parte real a no eixo horizontal e a parte imaginária b no eixo vertical. Neste caso, o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical é chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso, denomina-se plano de Argand-Gauss. O ponto que representa o número complexo z, denomina-se afixo de z. DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA BINÔMIA Regra : Para dividir um número complexo z por outro w 0, basta multiplicar numerador e denominador pelo complexo conjugado do denominador. Ex: = = = 0,8 + 0,1 i Agora que você estudou a teoria, tente resolver os seguintes exercícios: 1 - Calcule o número complexo i i i 31 - i Sendo z = 5i + 3i 2-2i 3 + 4i 27 e w = 2i 12-3i 15, calcule Im(z).w + Im(w).z. 3 - UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z + = i é: 4 - UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser: 5 - UFBA - Sendo a = i, b = 5-6i e c = 4-3i, o valor de ac+b é: Raciocínio Lógico 13

14 6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i 2 + i i 1001 é: 7) Determine o número natural n tal que (2i) n + (1 + i) 2n + 16i = 0. 8) Calcule [(1+i) 80 + (1+i) 82 ] : i ) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi, sabendo-se que z+w é um número real e z.w.é um imaginário puro, pede-se calcular o valor de b 2-2a. 10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x 10 + a = 0, então calcule o valor de a. 11) Determine o número complexo z tal que iz i = UEFS O valor da expressão E = x -1 + x 2, para x = 1 - i, é: a)-3i b)1-i c) 5/2 + (5/2)i d) 5/2 - (3/2)i e) ½ - (3/2)i 13 -UEFS Simplificando-se a expressão E = i 7 + i 5 + ( i 3 + 2i 4 ) 2, obtêm-se: a) -1+2i b) 1+2i c) 1-2i d) 3-4i e) 3 + 4i 14 - UEFS Se m ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente: a) 1 e 10 b) 5 e 10 c) 7 e 9 d) 5 e 9 e) 0 e UEFS A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8-6i. O módulo de z é: a) 13 b) 7 c) 13 d) 7 e) FESP/UPE - Seja z = 1+i, onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z 8 é igual a: a) 16 b) 161 c) 32 d) 32i e) 32+16i 17 - UCSal - Sabendo que (1+i) 2 = 2i, então o valor da expressão y = (1+i) 48 - (1+i) 49 é: a) 1 + i b) -1 + i c) i d) i e) i GABARITO: 1) -3 - i 2) i 3) 4 + 3i 4) 3/2 5) i 6) i 14 7) 3 8) 1 + 2i 9) 50 10) 32i 11) -1 - i 12) B Raciocínio Lógico 13) D 14) A 15) A 16) A 17) E

15 MATRIZES e DETERMINANTE Matriz de ordem m x n : Para os nossos propósitos, podemos considerar uma matriz como sendo uma tabela rectangular de números reais (ou complexos) dispostos em m linhas e n colunas. Diz-se então que a matriz tem ordem m x n (lê-se: ordem m por n) Exemplos: A = ( ) Uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 por 5 ou 1 x 5) B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto de ordem 4 x 1. Notas: 1) se m = n, então dizemos que a matriz é quadrada de ordem n. Exemplo: A matriz X é uma matriz quadrada de ordem 3x3, dita simplesmente de ordem 3. 2) Uma matriz A de ordem m x n, pode ser indicada como A = (a ij ) mxn, onde a ij é um elemento da linha i e coluna j da matriz. Assim, por exemplo, na matriz X do exemplo anterior, temos a 23 = 2, a 31 = 4, a 33 = 3, a 31 = 4, a 3,2 = 5, etc. 3) Matriz Identidade de ordem n : I n = ( a ij ) n x n onde a ij = 1 se i = j e a ij = 0 se i j. Assim a matriz identidade de 2ª ordem ou seja de ordem 2x2 ou simplesmente de ordem 2 é: A matriz identidade de 3ª ordem ou seja de ordem 3x3 ou simplesmente de ordem 3 é: 4) Transposta de um matriz A : é a matriz A t obtida de A permutando-se as linhas pelas colunas e vice-versa. Exemplo: A matriz A t é a matriz transposta da matriz A. Notas: 4.1) se A = A t, então dizemos que a matriz A é simétrica. 4.2) Se A = - A t, dizemos que a matriz A é anti-simétrica. É óbvio que as matrizes simétricas e anti-simétricas são quadradas. 4.3) sendo A uma matriz anti-simétrica, temos que A + A t = 0 (matriz nula). Raciocínio Lógico 15

16 Produto de matrizes Para que exista o produto de duas matrizes A e B, o número de colunas de A, tem de ser igual ao número de linhas de B. A mxn x B nxq = C mxq Observe que se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q, a matriz produto C tem ordem m x q. Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo: Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos elementos da coluna1 da segunda matriz, obtido da seguinte forma: L1C1 = = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos: L1C2 = = 5 L1C3 = = 17 L2C1 = = 4 L2C2 = = 0 L2C3 = = 6 L3C1 = = 50 L3C2 = = 30 L3C3 = = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a: Observe que o produto de uma matriz de ordem 3x2 por outra 2x3, resultou na matriz produto P de ordem 3x3. Nota: O produto de matrizes é uma operação não comutativa, ou seja: A x B B x A DETERMINANTES Entenderemos por determinante, como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada, calculado de acordo com regras específicas. É importante observar, que só as matrizes quadradas possuem determinante. Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem. Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir: O determinante de A será indicado por det(a) e calculado da seguinte forma : det (A) = A = ad - bc Exemplo: Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen 2 x + cos 2 x = 1 ( Relação Fundamental da Trigonometria ). Portanto, o determinante da matriz dada é igual à unidade. 16 Raciocínio Lógico

17 Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem ( Regra de SARRUS). SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS ( ), foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira: 1 - Reescreva abaixo da 3ª linha do determinante, a 1ª e 2ª linhas do determinante. 2 - Efetue os produtos em "diagonal", atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivo para os resultados à direita. 3 - Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada. Exemplo: Portanto, o determinante procurado é o número real negativo Principais propriedades dos determinantes P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes. P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(a) = det( A t ). P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero, é nulo. Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA. P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal. P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo. P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela, multiplicada por um número real qualquer. P8) determinante da matriz inversa : det( A -1 ) = 1/det(A). Se A -1 é a matriz inversa de A, então A. A -1 = A -1. A = I n, onde I n é a matriz identidade de ordem n. Nestas condições, podemos afirmar que det(a.a -1 ) = det(i n ) e portanto igual a 1. Logo, podemos também escrever det(a). det(a -1 ) = 1 ; logo, concluímos que: det(a -1 ) = 1 / det(a). Notas: 1) se det(a) = 0, não existe a matriz inversa A -1. Dizemos então que a matriz A é SINGULAR ou NÃO INVERSÍVEL. 2) se det A 0, então a matriz inversa A -1 existe e é única. Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL. P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n, forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. P10) Se A é matriz quadrada de ordem n e k R então det(k.a) = k n. det A Exemplos: 1) Qual o determinante associado à matriz? Raciocínio Lógico 17

18 Observe que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento da 4ª linha é obtido multiplicando os elementos da 1ª linha por 3). Portanto, pela propriedade P5, o determinante da matriz dada é NULO. 2) Calcule o determinante: Observe que a 2ª coluna é composta por zeros; FILA NULA DETERMINANTE NULO, conforme propriedade P3 acima. Logo, D = 0. 3) Calcule o determinante: Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D = = 90 Exercícios propostos: 1) As matrizes A e B, quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At, onde A t é a matriz transposta de A. Se o determinante de B é igual a 40, então o determinante da matriz inversa de A é igual a: *a) 1/5 b) 5 c) 1/40 d) 1/20 e) 20 2) Seja a matriz A de ordem n onde aij = 2 para i = j e aij = 0 para i j. Se det (3A) = 1296, então n é igual a: Resp: n = 4 3) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij ) 3 X 3, onde aij = i + j se i j ou aij = i - j se i < j. Qual o determinante de A? Resp: soma dos elementos da diagonal principal = 12 e determinante = 72 4) Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o determinante da matriz 5 A é igual a: Resp: zero 1 - Definições: Chama-se Menor Complementar ( D ij ) de um elemento a ij de uma matriz quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz. Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3x3) A a seguir : 18 Raciocínio Lógico

19 Podemos escrever: D 23 = menor complementar do elemento a 23 = 9 da matriz A. Pela definição, D 23 será igual ao determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja: Da mesma forma determinaríamos D 11, D 12, D 13, D 21, D 22, D 31, D 32 e D 33. Faça os cálculos como exercício! Cofator de um elemento a ij de uma matriz : cof ( a ij ) = (-1 ) i+j. D ij. Assim por exemplo, o cofator do elemento a 23 = 9 da matriz do exemplo anterior, seria igual a: cof(a 23 ) = (-1) 2+3. D 23 = (-1) = Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. O uso desse teorema, possibilita abaixar a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem. O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhas eletrônicas, a exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros. Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários. Pierre Simon Laplace - ( ) - Matemático e astrônomo francês. 3 - Cálculo da inversa de uma matriz. a) A matriz inversa de uma matriz X, é a matriz X -1, tal que X. X -1 = X -1. X = I n, onde I n é a matriz identidade de ordem n. b) Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo cofator. Símbolo: cof A. c) Fórmula para o cálculo da inversa de uma matriz: Onde: A -1 = matriz inversa de A; det A = determinante da matriz A; (cof A) T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A. Exercícios propostos 1 - Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o seu determinante é igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Resp: a 2 - UFBA-90 - Calcule o determinante da matriz: Resp: 15 Raciocínio Lógico 19

20 3 - Considere a matriz A = (aij)4x4 definida por aij = 1 se i j e aij = i + j se i < j. Pede-se calcular a soma dos elementos da diagonal secundária. Resp: As matrizes A e B, quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At, onde At é a matriz transposta de A. Se o determinante de B é igual a 40, então o determinante da matriz inversa de A é igual a: a) 1/5 b) 5 c) 1/40 d) 1/20 e) 20 Resp: a 5 - Dadas as matrizes A = (aij) 3x4 e B = (bij) 4x1 tais que aij = 2i + 3j e bij = 3i + 2j, o elemento c 12 da matriz C = A.B é: a)12 b) 11 c) 10 d) 9 e) inexistente Resp: e FUVEST ª fase Se A é uma matriz 2x2 inversível que satisfaz 2A = A 2, então o determinante de A será: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 SOLUÇÃO: Diz-se que uma matriz é inversível, quando o seu determinante é um número diferente de zero. Se 2 A = A 2, então os seus determinantes são iguais, ou seja: det(2 A) = det(a 2 ) Sabemos que sendo det(a) o determinante de uma matriz de ordem n, podemos dizer que det(k.a) onde k é um número inteiro positivo, será igual a k n. det(a). Portanto, como n = 2 (ordem da matriz), vem: det(2 A) = 2 2.det(A) S abemos também que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto das matrizes, ou seja: det(a.b) = det(a).det(b). Então, det(a 2 ) = det(a. A) = det(a).det(a) Substituindo na igualdade det(2 A) = det(a 2 ), as expressões obtidas anteriormente, vem: 2 2.det(A) = det(a).det(a) 4.det(A) [det(a)] 2 = 0 Colocando det(a) em evidencia, fica: det(a).[4 det(a)] = 0 Daí, conclui-se que det(a) = 0 OU det(a) = 4. Como é dito que a matriz A é inversível, o seu determinante é não nulo e, portanto, a solução det(a) = 0 não serve. Portanto, det(a) = 4, e a alternativa correta é a de letra E. 1 - Equação linear SISTEMAS LINEARES Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x 1, x 2, x 3,..., x n, como sendo a equação da forma a 1.x 1 + a 2.x 2 + a 3.x a n.x n = b onde a 1, a 2, a 3,... a n e b são números reais ou complexos. a 1, a 2, a 3,... a n são denominados coeficientes e b, termo independente. Nota: se o valor de b for nulo, diz-se que temos uma equação linear homogênea. Exemplos de equações lineares: 2x 1 +3x 2 =7(variáveis ou incógnitas x 1 e x 2,coeficientes 2 e 3,e termo independente7) 3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5) 2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17) -x 1 + 3x 2-7x 3 + x 4 = 1 (variáveis x 1, x 2, x 3 e x 4, coeficientes -1, 3, -7, e 1 e termo independente 1) 20 Raciocínio Lógico

21 2x + 3y + z - 5t = 0 (variáveis ou incógnitas x, y, z e t, e termo independente nulo). Logo, este é um exemplo de equação linear homogênea. 2 - A solução de uma equação linear Já estamos acostumados a resolver equações lineares de uma incógnita (variável), que são as equações de primeiro grau. Por exemplo: 2x + 8 = 22, nos leva à solução única x = 14. Já, se tivermos uma equação com duas incógnitas (variáveis), por exemplo x + y = 10, a solução não é única, já que poderemos ter um número infinito de pares ordenados que satisfazem à equação, ou seja: x=1 e y=9 [par ordenado (1,9)], x =4 e y =6 [par ordenado (4,6)], x = 3/2 e y 17/2 [par ordenado (3/2,17/2)],..., etc. Consideremos agora, uma equação com 3 incógnitas. Seja por exemplo: x + y + z = 5 As soluções, serão x=1, y=4 e z=0, uma vez que =5; x=3, y=7 e z=-5, uma vez que 3+7-5=5; x=10, y=-9 e y=4 (uma vez que =5);..., que são compostas por 3 elementos, o que nos leva a afirmar que as soluções são os ternos ordenados (1,4,0), (3,7,-5), (10, -9, 4),..., ou seja, existem infinitas soluções (um número infinito de ternos ordenados) que satisfazem à equação dada. De uma forma geral, as soluções de uma equação linear de duas variáveis, são pares ordenados; de três variáveis, são ternos ordenados; de quatro variáveis, são quadras ordenadas;.... Se a equação linear possuir n variáveis, dizemos que as soluções são n - uplas (lê-se ênuplas) ordenadas. Assim, se a ênupla ordenada (r 1, r 2, r 3,..., r n ) é solução da equação linear a 1.x 1 + a 2.x 2 + a 3.x a n.x n = b, isto significa que a igualdade é satisfeita para x 1 = r 1, x 2 = r 2, x 3 = r 3,..., x n = r n e poderemos escrever: a 1.r 1 + a 2.r 2 + a 3.r a n.r n = b. Exercícios resolvidos: 1 - Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o valor de p? Solução: Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p, p = 5. Logo, p = 5. Daí vem imediatamente que 2p = 28 e portanto, p = Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado (α, β, γ ) é solução. Solução: Podemos escrever: 5α - 2β + γ = 14. Daí, tiramos: γ = 14-5α + 2β. Portanto, a solução genérica será o terno ordenado (α, β, 14-5α + 2β ). Observe que arbitrando-se os valores para α e β, a terceira variável ficará determinada em função desses valores. Por exemplo, fazendo-se α = 1, β = 3, teremos γ = 14-5α + 2β = = 15, ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. Verificamos pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno ordenado (α, β, 14-5α + 2β ) a solução genérica. 3 - Qual o conjunto solução da equação linear 0x + 0y + 0z = 1? Resp : S = φ 4 - Determine o valor de 6p, sabendo-se que a quadra ordenada (2, p, -3, p+3) é solução da equação 3x + 4y - 5z + 2t = 10. Resp : Sistema linear É um conjunto de m equações lineares de n incógnitas (x 1, x 2, x 3,..., x n ) do tipo: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = b a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = b n Raciocínio Lógico 21

22 Exemplo: 3x + 2y - 5z = -8 4x - 3y + 2z = 4 7x + 2y - 3z = 2 0x + 0y + z = 3 Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis). Os termos a 11, a 12,..., a 1n,..., a m1, a m2,..., a mn são denominados coeficientes e b 1, b 2,..., b n são os termos independentes. A ênupla (α 1, α 2, α 3,..., α n ) será solução do sistema linear se e somente se satisfizer simultaneamente a todas as m equações. Exemplo: O terno ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema: x + y + 2z = 7 3x + 2y - z = 11 x + 2z = 4 3x - y - z = 2 pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1. Notas: 1 - Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmas soluções. Exemplo: Os sistemas lineares 2x + 3y = 12 S 1 : 3x - 2y = 5 5x - 2y = 11 S 2 : 6x + y = 20 são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como solução. Verifique! 2 - Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ou COMPATÍVEL. 3 - Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL. 4 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO. 5 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele é INDETERMINADO. 6 - Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem todos nulos, ou seja b 1 = b 2 = b 3 =... = b n = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO. Exemplo: x + y + 2z = 0 2x - 3y + 5z = 0 5x - 2y + z = 0 Exercícios Resolvidos 1 - UEL - 84 (Universidade Estadual de Londrina) Se os sistemas x + y = 1 S 1 : x - 2y = -5 ax - by = 5 S 2 : ay - bx = -1 são equivalentes, então o valor de a 2 + b 2 é igual a: a) 1 b) 4 c) 5 d) 9 e) 10 Solução: Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema S 1 : 22 Raciocínio Lógico

23 x + y = 1 x - 2y = -5 Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). Logo, 3y = 6 y = 2. Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 x = -1. O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}. Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S 2. Logo, substituindo em S 2 os valores de x e y encontrados para o sistema S 1, vem: a(-1) - b(2) = 5 - a - 2b = 5 a(2) - b (-1) = -1 2 a + b = -1 Multiplicando ambos os membros da primeira equação (em azul) por 2, fica: -2 a - 4b = 10 Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (em vermelho), fica: -3b = 9 b = - 3 Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra equação em azul), teremos: 2 a + (-3) = -1 a = 1. Portanto, a 2 + b 2 = (-3) 2 = = 10. Portanto a alternativa correta é a letra E. 2 - Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo, 2x - my = 10 3x + 5y = 8, seja impossível. Solução: Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação: x = (10 + my) / 2 Substituindo o valor de x na segunda equação, vem: 3[(10+my) / 2] + 5y = 8 Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem: 3(10+my) + 10y = my + 10y = 16 (3m + 10)y = -14 y = -14 / (3m + 10) Ora, para que não exista o valor de y e, em conseqüência não exista o valor de x, deveremos ter o denominador igual a zero, já que, como sabemos, NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO. Portanto, 3m + 10 = 0, de onde conclui-se m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não possua solução. Agora, resolva e classifique os seguintes sistemas: a) 2x + 5y.-..z = y + 2z = z = 15 b) 3x - 4y = x - 8y = 26 c) 2x + 5y = 6...8x + 20y = 18 Resp: a) sistema possível e determinado. S = {(25/3, -1/3, 5)} b) sistema possível e indeterminado. Possui um número infinito de soluções. c) sistema impossível. Não admite soluções. MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS OU MÉTODO DO ESCALONAMENTO Karl Friedrich Gauss - astrônomo, matemático e físico alemão /1855. O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber: T1 - um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema. Raciocínio Lógico 23

24 Exemplo: os sistemas de equações lineares 2x + 3y = 10 5x - 2y = 6 5x - 2y = 6 2x + 3y = 10 são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações. T2 - um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo. Exemplo: os sistemas de equações lineares 3x + 2y - z = 5 2x + y + z = 7 x - 2y + 3z = 1 3x + 2y - z = 5 2x + y + z = 7 3x - 6y + 9z = 3 são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro a membro por 3. T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2. Exemplo: os sistemas 15x - 3y = 22 5x + 2y = 32 15x - 3y = y = - 74 são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ). Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelo método de Gauss ou escalonamento. Seja o sistema de equações lineares:. x + 3y - 2z = 3.Equação 1 2x. -.y + z = 12 Equação 2 4x + 3y - 5z = 6.Equação 3 SOLUÇÃO: 1 - Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2, vem: 2x.-...y + z = 12 x..+ 3y - 2z = 3 4x + 3y - 5z = Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) - uso da transformação T2 - somando o resultado obtido com a equação 1 e substituindo a equação 2 pelo resultado obtido - uso da transformação T3 - vem: 2x -..y + z = y + 5z = 6 4x + 3y - 5z = Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o resultado obtido com a equação 3 e substituindo a equação 3 pela nova equação obtida, vem: 2x -..y +..z = y + 5z = y - 7z = Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem: 2x -...y +...z = y +25z = y - 49z = Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo resultado obtido, vem: 2x -...y +...z = Raciocínio Lógico

25 y + 25z = z = Do sistema acima, tiramos imediatamente que: z = (-96) / (-24) = 4, ou seja, z = 4. Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras incógnitas: Teremos: - 35y + 25(4) = 30 y = 2. Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equação acima, fica: 2x = 12 x = 5. Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos então escrever que o conjunto solução S do sistema dado, é o conjunto unitário formado por um terno ordenado (5,2,4) : S = { (5, 2, 4) } Verificação: Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos: 5 + 3(2) - 2(4) = 3 2(5) - (2) + (4) = 12 4(5) + 3(2) - 5(4) = 6 o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado. Sobre a técnica de escalonamento utilizada para resolver o sistema dado, podemos observar que o nosso objetivo era escrever o sistema na forma ax + by + cz = k 1 dy + ez = k 2 fz = k 3 de modo a possibilitar achar o valor de z facilmente ( z = k 3 / f ) e daí, por substituição, determinar y e x. Este é o caminho comum para qualquer sistema. É importante ressaltar que se em z = k 3 / f, tivermos: a) f 0, o sistema é possível e determinado. b) f = 0 e k 3 0, o sistema é impossível, ou seja, não possui solução, ou podemos c) dizer também que o conjunto solução é vazio, ou seja: S = φ. d) f = 0 e k 3 = 0, o sistema é possível e indeterminado, isto é, possui um número infinito de soluções. Não podemos escrever uma regra geral para o escalonamento de um sistema de equações lineares, a não ser recomendar a correta e oportuna aplicação das transformações T1, T2 e T3 mostradas anteriormente. Podemos entretanto observar que o método de escalonamento consiste basicamente em eliminar a primeira incógnita a partir da segunda equação, eliminar a segunda incógnita em todas as equações a partir da terceira e assim sucessivamente, utilizando-se das transformações T1, T2 e T3 vistas acima. A prática, entretanto, será o fator determinante para a obtenção dos bons e esperados resultados. Agora, resolva os seguintes sistemas lineares, usando a técnica de escalonamento: Sistema I : Resp: S = { (3, 5) } 4x - 2y = 2 2x + 3y = 21 Sistema II : Resp: S = { (-1, 2, 4) } 2 a + 5b +.3c = a + 3b - 10c = a +...b +...c =...5 Sistema III : Resp: S = { (2, 3, 5) }..x +.y.-..z =...0..x - 2y + 5z = 21 4x +.y + 4z = 31 Regra de Cramer para a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas. Gabriel Cramer - matemático suíço /1752. Raciocínio Lógico 25

26 Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = b 3...=......=... a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x a nn x n = b n onde os coeficientes a 11, a 12,..., a nn são números reais ou complexos, os termos independentes b 1, b 2,..., b n, são números reais ou complexos e x 1, x 2,..., x n são as incógnitas do sistema nxn. Seja o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. Seja x i o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita x i ( i = 1, 2, 3,..., n), pelos termos independentes b 1, b 2,..., b n. A regra de Cramer diz que: Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante x i, ou seja: x i = x i / Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer: x + 3y - 2z = 3 2x - y + z = 12 4x + 3y - 5z = 6 Para o cálculo dos determinantes a seguir, é conveniente rever o capítulo Determinantes clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser. Teremos: 26 Raciocínio Lógico

27 Portanto, pela regra de Cramer, teremos: x 1 = x 1 / = 120 / 24 = 5 x 2 = x 2 / = 48 / 24 = 2 x 3 = x 3 / = 96 / 24 = 4 Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }. Observe que resolvemos este mesmo sistema através do método de escalonamento, em Sistemas Lineares III. É conveniente rever aquela solução clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser. Agora, resolva este: 2 x + 5y + 3z = 20 5 x + 3y - 10z = - 39 x + y + z = 5 Resp: S = { (-1, 2, 4) } 3. PROBABILIDADES A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório. Experimento Aleatório É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório. Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S. Exemplo: Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos: S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6} Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}. Idem, o evento em que: a) A ou B ocorrem; b) B e C ocorrem; c) Somente B ocorre. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos Resolução: Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, K6}; Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5} Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5} (b) B e C = B 1 C = {R3,R5} (c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C; Raciocínio Lógico 27

28 B 1A c 1C c = {K3,K5,R2} A e C são mutuamente exclusivos, porque A 1 C = i Conceito de probabilidade Se num fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é: Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número pasra pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50% Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência. Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre: Propriedades Importantes 1. Se A e A são eventos complementares, então: P( A ) + P( A' ) = 1 2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo). 0 P(S) 1 Probabilidade Condicional Antes da realização de um experimento, é necessário, que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar.nesse caso o espaço amostral se modifica e o evento tem a s sua probabilidade de ocorrência alterada. Fórmula de Probabilidade Condicional P(E 1 e E 2 e E 3 e...e E n -1 e E n ) é igual a P(E 1 ).P(E 2 /E 1 ).P(E 3 /E 1 e E 2 )...P(E n /E 1 e E 2 e...e n -1). Onde P(E 2 /E 1 ) é a probabilidade de ocorrer E 2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E 1 ; P(E 3 /E 1 e E 2 ) é a probabilidade ocorrer E 3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E 1 e E 2 ; P(Pn/E 1 e E 2 e...e n -1) é a probabilidade de ocorrer E n, condicionada ao fato de já ter ocorrido E 1 e E 2...E n -1. Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução: Seja o espaço amostral S=30 bolas, bolinhas e considerarmos os seguintes eventos: A: branca na primeira retirada e P(A) = 10/30 B: preta na segunda retirada e P(B) = 20/29 Assim: P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87 28 Raciocínio Lógico

29 Eventos independentes Dizemos que E 1 e E 2 e...e n-1, E n são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido. Fórmula da probabilidade dos eventos independentes: P(E 1 e E 2 e E 3 e...e E n -1 e E n ) = P(E 1 ).P(E 2 ).p(e 3 )...P(E n ) Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e respondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser preta? Resolução: Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9. Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna. Probabilidade de ocorrer a união de eventos Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos: P(E 1 ou E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ).P(E 1 e E 2 ) De fato, se existirem elementos comuns a E 1 e E 2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E 1 ) e P(E 2 ). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E 1 e E 2 ). Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos: P(E1 ou E 2 ou E 3 ou... ou E n ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) P(E n ) Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco? Considerando os eventos: A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6 B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6 Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos: n(s) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:p(a ou B) = 1/6 + 1/6 1/36 = 11/36 Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei? Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(s) = 52 cartas. Considere os eventos: A: sair 8 e P(A) = 8/52 B: sair um rei e P(B) = 4/52 Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos. 4. COMBINAÇÕES Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana ( ), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat ( ) e Blaise Pascal ( ). A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. FATORIAL Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo: n! = n.(n-1). (n-2) para n 2. Raciocínio Lógico 29

30 Para n = 0, teremos : 0! = 1. Para n = 1, teremos : 1! = 1 Exemplos: a) 6! = = 720 b) 4! = = 24 c) observe que 6! = 6.5.4! d) 10! = e) 10! = ! f ) 10! = ! PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM - PFC Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k 1 maneiras diferentes, a segunda de k 2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: T = k 1. k 2. k k n Exemplo: O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado? Solução: Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ. Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: que resulta em Observe que se no país existissem veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. Perceberam? PERMUTAÇÕES SIMPLES 1 - Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. 2 - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é P n = n! onde n! = n(n-1)(n-2) Exemplos: a) P 6 = 6! = = 720 b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. P 5 = 5! = = Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum. Exemplo: Os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por: 30 Raciocínio Lógico

31 Exemplo: Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento) Solução: Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três, a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever: k= 10! / (2!.3!.2!) = Resposta: anagramas. ARRANJOS SIMPLES 1 - Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjo simples de taxa k, a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos: a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb. b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba. 2 - Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por A n,k, teremos a seguinte fórmula: Obs : é fácil perceber que A n,n = n! = P n. (Verifique) Exemplo: Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo? Solução: As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado: = 720. Observe que 720 = A 10,3 COMBINAÇÕES SIMPLES 1 - Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados. Exemplo: No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar: a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd. b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd. c) combinações de taxa 4: abcd. 2 - Representando por C n,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k), temos a seguinte fórmula: Nota: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por: Exemplo: Uma prova consta poderá escolher as 10 questões? de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele Solução: Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10. Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a: C 15,10 = 15! / [(15-10)!. 10!] = 15! / (5!. 10!) = ! / ! = 3003 Raciocínio Lógico 31

32 Agora que você viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes: 01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados? Resp: Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados? Resp: Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem? Resp: 48 Exercício resolvido: Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto? Solução: Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente. Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC: N = = 64 Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então que o número procurado é igual a 64-1 = 63. Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis. Fatorial de um número: 5. ARRANJOS E PERMUTAÇÕES n!=n.(n-1).(n- 2) 32 Definições especiais: 0!= 1 100! + 101! 1) Calcule o valor da expressão. 99! 100! + 101! ! ! = = = = ! 99! 2) Resolva a equação ( x + 1)! = 56 ( x 1)! ( x + 1)! = 56. ( x 1)! ( x + 1)( x)( x 1)! = 56 ( x 1)! ( x + 1)( x) = ± 225 1± 15 x = 7 x + x 56 = 0 x = x = 2 2 x = -8 Resposta : x = 7, pois não existe fatorial de um número negativo. x 2 + x = 56 3) Quatro times de futebol (Grêmio, Santos, São Paulo e Flamengo) disputam o torneio dos campeões do mundo. Quantas são as possibilidades para os três primeiros lugares? R : Existem 4 possibilidades para o1º lugar, sobrando 3 possibilidades para o 2º lugar e 2 possibilidades para o 3º lugar = 24 possibilidades. 32 Raciocínio Lógico

33 ARRANJO SIMPLES A n, p = n! ( n p)! 4) Calcule A 6,2 + A A 1. A 9,2 4,3 + A A 8,1 6,2 A + A A 5,2 9,2 4,3 + A a) COMECEM COM 1. A 8,1 5,2. 6! 4! 5! + (6 2)! (4 3)! (5 2)! = = = 9! 8! (9 2)! (8 1)! 5) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com o algarismos do sistema decimal (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) sem os repetir, de modo que : R : O número pode possuir três algarismos, sendo que para o primeiro existe apenas1 possibilidade (1) e para os outros dois ainda existem 9 números disponíveis : 9,2 9! 9! 9.8.7! = = = = 9.8 = 72 números. (9 2)! 7! 7! = b) COMECEM COM 2 E TERMINEM COM 5. R : Para o primeiro algarismo existe apenas1 possibilidade (2), e para o terceiro também existe apenas1 possibilidade (5). Para o segundo ainda existem 8 possibilidades : 1.1. A 8,1 8! 8! 8.7! = = = = 8 números. (8 1)! 7! 7! c) SEJAM DIVISÍVEISPOR 5. R : Para um número ser divisível 5, ele deve terminar com 0 ou com 5. Primeiramente vamos calcular o número de divisíveis por 5 que terminam com 0 : Para existem 9 números disponíveis. Portanto o número de divisíveis por 5 que terminam com 0 é : 1. A Agora calculamos quantos divisíveis por 5 terminam com 5 : para o terceiro algarismo existe apenas uma possibilidade (5). Para o primeiro algarismo existem ainda 8 possibilidades, pois o número não pode começar com 0 (senão seria um número de 2 algarismos). E para o segundo algarismo também existem 8 possibilidades (o segundo algarismo pode ser 0). 1. A 9,2 8,1 o terceiro algarismo existe apenas1 possibilidade (0), e para os dois primeiros ainda 9! 9! 9.8.7! = = = = 9.8 = 72 números. (9 2)! 7! 7!. A 8,1 8! 8! =. = (8 1)! (8 1)! 8!. 7! 8.7! 8.7! =. = 8.8 = 64 números. 7! 7! Resposta :O número de divisíveis por 5 é = 136 números. 8! 7! 6) Quantos são os números compreendidos entre 2000 e 3000 formados por algarismos distintos escolhidos entre1,2,3,4,5,6,7,8 e 9? R : O número deve ter quatro algarismos (pois está entre 2000 e 3000). Para o primeiro algarismo existe apenas uma possibilidade (2), e para os outros três ainda existem 8 números disponíveis, então : 1. A 8,3 8! 8! ! = = = = = 336 números. (8 3)! 5! 5! Raciocínio Lógico 33

34 PERMUTAÇÃO SIMPLES É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos os elementos. P n = n! 7) Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados por 1,2,3,5 e 8? P = 5! = = 120 números. 5 8) Quantos anagramas da palavra EDITORA : a) COMEÇAM POR A. Para a primeira letra existe apenas uma possibilidade (A), e para as outras 6 letras existem 6 possibilidades. Então o total é : 1. P = 1.6! = = 720 anagramas. 6 b) COMEÇAM POR A e terminam com E. Para a primeira letra existe1 possibilidade (A), e para última também só existe1(e), e para as outras 5 letras existem 5 possibilidades. Então o total é : 1.1. P = 1.1.5! = = 120 anagramas. 5 8) Calcule de quantas maneiras podem ser dipostas 4 damas e 4 cavalheiros, numa fila, de forma que não fiquem juntos dois cavalheiros e duas damas. R :Existem duas maneiras de fazer isso : C - D - C - D - C - D - C - D ou D - C - D - C - D - C - D - C Colocando um cavalheiro na primeira posição temos como número total de maneiras : P4. P4 = 4!.4! = = 576 maneiras. Colocando uma dama na primeira posição temos também : P4. P4 = 4!.4! = = 576 maneiras. Portanto o total é = 1152 maneiras. 34 Raciocínio Lógico

35 COMBINAÇÃO SIMPLES É o tipo de agrupamento em que um grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementos componentes. C n, p = n! p!( n p)! 9) Resolver a m! m! = 0 3!( m 3)! 2!( m 2)! m.( m 1).( m 2).( m 3)! m.( m 1).( m 2)! = 0 3!( m 3)! 2!( m 2)! m.( m 1).( m 2) m.( m 1) = 0 3! 2! m 2m m + 2m m m = m 3m + 2m 3m + 3m = 0 6 m 2 6m + 5 = 0 Resposta : m = 5. equação C m,3 C m,2 6 ± 16 m = 2 = 0. 6m m' = 5 m'' = 1 obs : m = 1 não é a resposta porque não pode haver C m m = 0 1,3. 10) Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentes podem ser feitas? C 10,6 = 10! 6!.(10 = 6)! ! 6!.4! = ! = = 210 tipos de saladas. 11) Numa reunião com 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar com 3 RAPAZES- C rapazes e 4 moças? MOÇAS - C 6,4 7,3 O resultado é o produto C 7,3. C 6,4. 7! 6! ! 6.5.4! =. =. = = 525 comissões. 3!(7 3)! 4!(6 4)! 3!.4! 4!.2! 3! 2 Raciocínio Lógico 35

36 SIMULADO DE RACIOCÍNIO LÓGICO 1) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que a) todo C é B b) todo C é A c) algum A é C d) nada que não seja C é A e) algum A não é C 2) Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P são conjuntos não vazios): Premissa 1: "X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P" Premissa 2: "X não está contido em P" Pode-se, então, concluir que, necessariamente a) Y está contido em Z b) X está contido em Z c) Y está contido em Z ou em P d) X não está contido nem em P nem em Y e) X não está contido nem em Y e nem em Z b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo 7) Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre, a) D ocorre e B não ocorre b) D não ocorre ou A não ocorre c) B e A ocorrem d) nem B nem D ocorrem e) B não ocorre ou A não ocorre 3) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a a) 2 b) 4 c) 24 d) 48 e) 120 4) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a a) 30/200 b) 130/200 c) 150/200 d) 160/200 e) 190/200 5) Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo 36 Raciocínio Lógico 8) Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo: a) Pedro é português e Frederico é francês b) Pedro é português e Alberto é alemão c) Pedro não é português e Alberto é alemão d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês 9) Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente que: a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina c) Se Luís não estuda História, então Jorge não estuda Medicina d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia 10) Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco, 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul, 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente, a) branco, preto, azul b) preto, azul, branco c) azul, branco, preto d) preto, branco, azul e) branco, azul, preto

37 GABARITO 1) C 2) B 3) D 4) D 5) E 6) A 7) C 8) B 9) A 10) E SIMULADO O economista José Júlio Senna estima que em 1998 o déficit em conta corrente do país será de US$ 40 bilhões, mas, no próximo ano, devido à redução das importações, esse déficit diminuirá em US$ 12 bilhões. No entanto, em 1999, o país deverá pagar US$ 29 bilhões em amortizações. Nessas condições, mesmo supondo que entrem US$ 17 bilhões em investimentos diretos e US$ 15 bilhões para financiar as importações, ainda faltarão para o país equilibrar suas contas uma quantia em dólares igual a a) b) c) d) e) 1 bilhão 13 bilhões 25 bilhões 29 bilhões 32 bilhões 02. Numa sala estão 100 pessoas, todas elas com menos de 80 anos de idade. É FALSO afirmar que pelo menos duas dessas pessoas a) b) c) d) e) nasceram num mesmo ano. nasceram num mesmo mês. nasceram num mesmo dia da semana. nasceram numa mesma hora do dia. têm 50 anos de idade. 03. Com kg de matéria prima uma fábrica pode produzir unidades diárias de certo artigo durante 7 dias. Nessas condições, com kg de matéria prima, por quantos dias será possível sustentar uma produção de unidades diárias desse artigo? a) 14 b) 12 c) 10 d) 9 e) Alberto recebeu R$ 3.600,00, mas desse dinheiro deve pagar comissões a Bruno e a Carlos. Bruno deve receber 50% do que restar após ser descontada a parte de Carlos e este deve receber 20% do que restar após ser descontada a parte de Bruno. Nessas condições, Bruno e Carlos devem receber, respectivamente, a) b) c) d) e) e 720 reais e 360 reais e 400 reais e 720 reais e 288 reais. 05. Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é a) b) c) d) e) Somando-se parcelas iguais a 5 ou a 8 é possível obter como resultado quase todos os números inteiros positivos. Exemplos: 32 = ; 33 = (5 + 8) + ( ). O maior número que NÃO pode ser obtido dessa maneira é a) 130 b) 96 c) 29 d) 27 e) São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas. Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2 coroas? a) 25% b) 37,5% c) 42% d) 44,5% e) 50% 08. Numa loja de roupas, um terno tinha um preço tão alto que ninguém se interessava em comprá-lo. O gerente da loja anunciou um des-conto de 10% no preço, mas sem resultado. Por isso, ofereceu novo desconto de 10%, o que baixou o preço para R$ 648,00. O preço inicial desse terno era superior ao preço final em a) R$ 162,00 b) R$ 152,00 c) R$ 132,45 d) R$ 71,28 e) R$ 64, Numa ilha há apenas dois tipos de pessoas: as que sempre falam a verdade e as que sempre mentem. Um explorador contrata um ilhéu chamado X para servir-lhe de intérprete. Ambos encontram outro ilhéu, chamado Y, e o explorador lhe pergunta se ele fala a verdade. Ele responde na sua língua e o intérprete diz - Ele disse que sim, mas ele pertence ao grupo dos mentirosos. Dessa situação é correto concluir que Raciocínio Lógico 37

38 a) b) c) d) e) 11. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que a) todo C é B b) todo C é A c) algum A é C d) nada que não seja C é A e) algum A não é C a) b) c) d) e) Y fala a verdade. a resposta de Y foi NÃO. ambos falam a verdade. ambos mentem. X fala a verdade. 10. Se 1 hectare corresponde à área de um quadrado com 100 m de lado, então expressando-se a área de 3,6 hectares em quilômetros quadrados obtém-se a) b) 36 c) 0,36 d) 0,036 e) 0, Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P são conjuntos não vazios): Premissa 1: ''X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P'' Premissa 2: ''X não está contido em P'' Pode-se, então, concluir que, necessariamente Y está contido em Z X está contido em Z Y está contido em Z ou em P X não está contido nem em P nem em Y X não está contido nem em Y e nem em Z 13. Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: a) b) c) d) e) jardim é florido e o gato mia jardim é florido e o gato não mia jardim não é florido e o gato mia jardim não é florido e o gato não mia se o passarinho canta, então o gato não mia 14. Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando: ''Sou inocente'' Celso: ''Edu é o culpado'' Edu: ''Tarso é o culpado'' Juarez: ''Armando disse a verdade'' Tarso: ''Celso mentiu'' Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) e) Juarez Tarso 15. Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a a) 2 b) 4 c) 24 d) 48 e) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a a) 30/200 b) 130/200 c) 150/200 d) 160/200 e) 190/ Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo 19. Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre, 38

39 a) b) c) d) e) D ocorre e B não ocorre D não ocorre ou A não ocorre B e A ocorrem nem B nem D ocorrem B não ocorre ou A não ocorre 20. Dizer que ''Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista'' é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) b) c) d) e) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista. GABARITO 01-C 02-E 03-A 04-C 05-B 06-D 07-B 08-B 09-E 10-D 11-C 12-B 13-C 14-E 15-D 16-D 17-E 18-A 19-C 20-A SIMULADO Com a promulgação de uma nova lei, um determinado concurso deixou de ser realizado por meio de provas, passando a análise curricular a ser o único material para aprovação dos candidatos. Neste caso, todos os candidatos seriam aceitos, caso preenchessem e entregas-sem a ficha de inscrição e tivessem curso superior, a não ser que não tivessem nascido no Brasil e/ou tivessem idade superior a 35 anos. José preencheu e entregou a ficha de inscrição e possuía curso superior, mas não passou no concurso. Considerando o texto acima e suas restrições, qual das alternativas abaixo, caso verdadeira, criaria uma contradição com a desclassificação de José? a) b) c) d) José tem menos de 35 anos e preencheu a ficha de inscrição corretamente. José tem mais de 35 anos, mas nasceu no Brasil. José tem menos de 35 anos e curso superior completo. José tem menos de 35 anos e nasceu no Brasil. 02. Uma rede de concessionárias vende somente carros com motor 1.0 e 2.0. Todas as lojas da rede vendem carros com a opção dos dois motores, oferecendo, também, uma ampla gama de opcionais. Quando comprados na loja matriz, carros com motor 1.0 possuem somente ar-condicionado, e carros com motor 2.0 têm sempre ar-condicionado e direção hidráulica. O Sr. Asdrubal comprou um carro com arcondicionado e direção hidráulica em uma loja da rede. Considerando-se verdadeiras as condições do texto acima, qual das alternativas abaixo precisa ser verdadeira quanto ao carro comprado pelo Sr. Asdrubal? a) Caso seja um carro com motor 2.0, a compra não foi realizada na loja matriz da rede. b) Caso tenha sido comprado na loja matriz, é um carro com motor 2.0. c) É um carro com motor 2.0 e o Sr. Asdrubal não o comprou na loja matriz. d) Sr. Antônio comprou, com certeza, um carro com motor Em uma viagem de automóvel, dois amigos partem com seus carros de um mesmo ponto na cidade de São Paulo. O destino final é Maceió, em Alagoas, e o trajeto a ser percorrido também é o mesmo para os dois. Durante a viagem eles fazem dez paradas em postos de gasolina para reabastecimento dos tanques de gasolina. Na décima parada, ou seja, a última antes de atingirem o objetivo comum, a média de consumo dos dois carros é exatamente a mesma. Considerando que amanhã os dois sairão ao mesmo tempo e percorrerão o último trecho da viagem até o mesmo ponto na cidade de Maceió, podemos afirmar que: I - Um poderá chegar antes do outro e, mesmo assim manterão a mesma média de consumo. II - Os dois poderão chegar ao mesmo tempo e, mesmo assim manterão a mesma média de consumo. III - O tempo de viagem e o consumo de combustível entre a paradas pode ter sido diferente para os dois carros. a) b) c) d) Somente a hipótese (I) está correta. Somente a hipótese (II) está correta. Somente a hipótese (III) está correta. As hipóteses (I), (II) e (III) estão corretas. 04. Vislumbrando uma oportunidade na empresa em que trabalha, o Sr. Joaquim convidou seu chefe para jantar em sua casa. Ele preparou, junto com sua esposa, o jantar perfeito que seria servido em uma mesa retangular de seis lugares - dois lugares de cada um dos lados opostos da mesa e as duas cabeceiras, as quais ficariam vazias. No dia do jantar, o Sr. Joaquim é surpreendido pela presença da filha de seu chefe junto com ele e a esposa, sendo que a mesa que havia preparado esperava apenas quatro pessoas. Rapidamente a esposa do Sr. Joaquim reorganizou o arranjo e acomodou mais um prato à mesa e, ao sentarem, ao em vez de as duas cabeceiras ficarem vazias, uma foi ocupada pelo Sr. Joaquim e a outra pelo seu chefe. Considerando-se que o lugar vago não ficou perto do Sr. Joaquim, perto de quem, com certeza, estava o lugar vago? a) Perto do chefe do Sr. Joaquim. 39

40 b) c) d) Perto da esposa do chefe do Sr. Joaquim. Perto da filha do chefe do Sr. Joaquim. Perto da esposa do Sr. Joaquim. 05. Uma companhia de ônibus realiza viagens entre as cidades de Corumbá e Bonito. Dois ônibus saem simultaneamente, um de cada cidade, para percorrerem o mesmo trajeto em sentido oposto. O ônibus 165 sai de Corumbá e percorre o trajeto a uma velocidade de 120 km/h. Enquanto isso, o 175 sai de Bonito e faz a sua viagem a 90 km/h. Considerando que nenhum dos dois realizou nenhuma parada no trajeto, podemos afirmar que: I - Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus 175 estará mais perto de Bonito do que o 165. II - Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus 165 terá andado mais tempo do que o 175. a) Somente a hipótese (I) está errada. b) Somente a hipótese (II) está errada. c) Ambas as hipóteses estão erradas. d) Nenhuma das hipóteses está errada. 06. Stanislaw Ponte Preta disse que ''a prosperidade de alguns homens públicos do Brasil é uma prova evidente de que eles vêm lutando pelo progresso do nosso subdesenvolvimento.''. Considerando que a prosperidade em questão está associada à corrupção, podemos afirmar que esta declaração está intimamente ligada a todas as alternativas abaixo, EXCETO: a) nível de corrupção de alguns homens públicos pode ser medido pelo padrão de vida que levam. b) A luta pelo progresso do subdesenvolvimento do Brasil está indiretamente relacionada à corrupção dos políticos em questão. c) A luta pelo progresso do subdesenvolvimento do Brasil está diretamente relacionada à corrupção dos políticos em questão. d) progresso de nosso subdesenvolvimento pode ser muito bom para alguns políticos. 07. Em uma empresa, o cargo de chefia só pode ser preenchido por uma pessoa que seja pós-graduada em administração de empresas. José ocupa um cargo de chefia, mas João não. Partindo desse princípio, podemos afirmar que: a) José é pós-graduado em administração de empresas e João também pode ser. b) José é pós-graduado em administração de empresas, mas João, não. c) José é pós-graduado em administração de empresas e João também. d) José pode ser pós-graduado em administração de empresas, mas João, não. 08. Três amigos - Antônio, Benedito e Caetano - adoram passear juntos. O problema é que eles nunca se entendem quanto ao caminho que deve ser seguido. Sempre que Antônio quer ir para a esquerda, Benedito diz que prefere a direita. Já entre Antônio e Caetano, um sempre quer ir para a esquerda, mas nunca os dois juntos. Fica ainda mais complicado, pois Benedito e Caetano também nunca querem ir para a direita ao mesmo tempo. Se considerarmos um passeio com várias bifurcações, o(s) único(s) que pode(m) ter votado esquerda e direita respectivamente, nas duas últimas bifurcações, é ou são: a) Antônio. b) Benedito. c) Caetano. d) Antônio e Caetano. 09. Em um concurso para fiscal de rendas, dentre os 50 candidatos de uma sala de provas, 42 são casados. Levando em consideração que as únicas respostas à pergunta ''estado civil'' são ''casado'' ou ''solteiro'', qual o número mínimo de candidatos dessa sala a que deveríamos fazer essa pergunta para obtermos, com certeza, dois representantes do grupo de solteiros ou do grupo de casados? a) 03 b) 09 c) 21 d) Em uma viagem ecológica foram realizadas três caminhadas. Todos aqueles que participaram das três caminhadas tinham um espírito realmente ecológico, assim como todos os que tinham um espírito realmente ecológico participaram das três caminhadas. Nesse sentido, podemos concluir que: a) Carlos participou de duas das três caminhadas, mas pode ter um espírito realmente ecológico. b) Como Pedro não participou de nenhuma das três caminhadas ele, é antiecológico. c) Aqueles que não participaram das três caminhadas não têm um espírito realmente ecológico. d) Apesar de ter participado das três caminhadas, Renata tem um espírito realmente ecológico. 11. O economista José Júlio Senna estima que em 1998 o déficit em conta corrente do país será de US$ 40 bilhões, mas, no próximo ano, devido à redução das importações, esse déficit diminuirá em US$ 12 bilhões. No entanto, em 1999, o país deverá pagar US$ 29 bilhões em amortizações. Nessas condições, mesmo supondo que entrem US$ 17 bilhões em investimentos diretos e US$ 15 bilhões para financiar as importações, ainda faltarão para o país equilibrar suas contas uma quantia em dólares igual a: a) b) c) d) e) 32 bilhões 29 bilhões 25 bilhões 13 bilhões 1 bilhão 12. Considere o seguinte texto de jornal: ''O ministro X anunciou um corte de verbas de 2,43 bilhões de dólares, o que corresponde a uma economia equivalente a 0,3% do PIB.'' Dessa informação deduz-se que o PIB do país, expresso em dólares, é a) b) c)

41 d) e) Numa sala estão 100 pessoas, todas elas com menos de 80 anos de idade. É FALSO afirmar que pelo menos duas dessas pessoas a) b) c) d) e) têm 50 anos de idade. nasceram num mesmo ano. nasceram num mesmo mês. nasceram num mesmo dia da semana. nasceram numa mesma hora do dia. 14. São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas. Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2 coroas? a) 50% b) 44,5% c) 42% d) 37,5% e) 25% 15. Com kg de matéria prima uma fábrica pode produzir unidades diárias de certo artigo durante 7 dias. Nessas condições, com kg de matéria prima, por quantos dias será possível sustentar uma produção de unidades diárias desse artigo? a) 7 b) 9 c) 10 d) 12 e) Alberto recebeu R$ 3 600,00, mas desse dinheiro deve pagar comissões a Bruno e a Carlos. Bruno deve receber 50% do que restar após ser descontada a parte de Carlos e este deve receber 20% do que restar após ser descontada a parte de Bruno. Nessas condições, Bruno e Carlos devem receber, respectivamente, a) e 288 reais. b) e 720 reais. c) e 400 reais. d) e 360 reais. e) e 720 reais. 17. Quatro pessoas querem trocar presentes. O nome de cada pessoa é escrito em um papelzinho e colocado numa caixa. Depois, cada uma das pessoas sorteia um papelzinho para saber quem ela irá presentear. A chance de as quatro pessoas sortearem seus próprios nomes é de a) 1 em 3 b) 2 em 7 c) 1 em 4 d) 1 em 8 e) 1 em Somando-se parcelas iguais a 5 ou a 8 é possível obter como resultado quase todos os números inteiros positivos. Exemplos: 32 = ; 33 = (5 + 8) + ( ). O maior número que NÃO pode ser obtido dessa maneira é a) 22 b) 27 c) 29 d) 96 e) Se 1 hectare corresponde à área de um quadrado com 100 m de lado, então expressando-se a área de 3,6 hectares em quilômetros quadrados obtém-se a) 0,0036 b) 0,036 c) 0,36 d) 36 e) Um atleta faz um treinamento cuja primeira parte consiste em sair de casa e correr em linha reta até certo local à velocidade de 12 km/h. Depois, sem intervalo, ele retorna andando a 8 km/h. Se o tempo gasto nesse treinamento foi exatamente 3 horas, o tempo em que ele correu superou o tempo em que caminhou em a) 15 minutos. b) 22 minutos. c) 25 minutos. d) 30 minutos. e) 36 minutos. GABARITO 01-D 02-B 03-D 04-A 05-C 06-B 07-A 08-B 09-A 10-C 11-D 12-E 13-E 14-A 15-C 16-B 17-D 18-B 19-B 20-D SIMULADO (ESAF/AFTN/96) - Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é quem está sentada no meio". A que está sentada no meio diz: "Eu sou Janete". Finalmente, a que está sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio". A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente: a) Janete, Tânia e Angélica b) Janete, Angélica e Tânia c) Angélica, Janete e Tânia d) Angélica, Tânia e Janete e) Tânia, Angélica e Janete 41

42 02 (ESAF/AFTN/96) - José quer ir ao cinema assistir ao filme "Fogo contra Fogo", mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se Luís estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo: o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido a) b) c) d) Logo: a) b) c) d) e) Luís e Júlio não estão enganados Júlio está enganado, mas não Luís Luís está engando, mas não Júlio José não irá ao cinema 03 (ESAF/AFTN/96) - De todos os empregados de uma grande empresa, 30% optaram por realizar um curso de especialização. Essa empresa tem sua matriz localizada na capital. Possui, também, dua filiais, uma em Ouro Preto e outra em Montes Claros. Na matriz trabalham 45% dos empregados e na filial de Ouro Preto trabalham 20% dos empregados. sabendo-se que 20% dos empregados da capital optaram pela realização do curso e que 35% dos empregados da filial de Ouro Preto também o fizeram, então a percentagem dos empregados da filial de Montes Claros que não optaram pelo curso é igual a: a) 60% b) 40% c) 35% d) 21% e) 14% 04 (ESAF/AFTN/96) - Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Nestor e Júlia disseram a verdade Nestor e Lauro mentiram Raul e Lauro mentiram Raul mentiu ou Lauro disse a verdade Raul e Júlia mentiram 05 (ESAF/AFTN/96) - Os carros de Artur, Bernardo e Cesar são, não necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde, e o outro é azul. O carro de artur é cinza; o carro de Cesar é o Santana; o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana são, respectivamente: a) b) c) d) e) cinza, verde e azul azul, cinza e verde azul, verde e cinza cinza, azul e verde verde, azul e cinza 06 (ESAF/AFTN/96) - Sabe-se que na equipe do X Futebol Clube (XFC) há um atacante que sempre mente, um zagueiro que sempre fala a verdade e um meio-campista que às vezes fala a verdade e às vezes mente. Na saída do estádio, dirigindo-se a um torcedor que não sabia o resultado do jogo que terminara, um deles declarou "Foi empate", o segundo disse "Não foi empate" e o terceiro falou "Nós perdemos". O torcedor reconheceu somente o meio-campista mas pôde deduzir o resultado do jogo com certeza. A declaração do meio-campista e o resultado do jogo foram, respectivamente: a) "Foi empate"/ o XFC venceu b) "Não foi empate"/ empate c) "Nós perdemos / o XFC perdeu d) "Não foi empate" / o XFC perdeu e) "Foi empate" / empate 07 (ESAF/AFTN/96) - Em um laboratório de experiências veterinárias foi observado que o tempo requerido para um coelho percorrer um labirinto, na enésima tentativa, era dado pela função C(n) = (3+12/n) minutos. Com relação a essa experiência pode-se afirmar, então, que um coelho: a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos 08 (ESAF/AFTN/96) - O salário mensal de um vendedor é constituído de uma parte fixa igual a R$ 2.300,00 e mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ ,00. Calcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre seu salário bruto. Em dois meses consecutivos, o vendedor recebeu, líquido, respectivamente, R$ 4.500,00 e R$ 5.310,00. Com esses dados, pode-se afirmar que suas vendas no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em: a) b) c) d) e) 18% 20% 30% 33% 41% 09 (ESAF/AFTN/96) - Em determinado país existem dois tipos de poços de petróleo, Pa e Pb. Sabe-se que oito poços Pa mais seis poços Pb produzem em dez dias tantos barris quanto seis poços Pa mais dez poços Pb produzem em oito dias. A produção do poço Pa, portanto, é: a) b) c) d) e) 60,0% da produção do poço Pb 60,0% maior do que a produção do poço Pb 62,5% da produção do poço Pb 62,5% maior do que a produção do poço Pb 75,0% da produção do poço Pb 10 (ESAF/AFTN/96) - Uma ferrovia será construída para ligar duas cidades C1 ec2, sendo que esta última localiza-se a vinte quilômetros ao sul de C1. 42

43 No entanto, entre essas duas cidades, existe uma grande lagoa que impede a construção da ferrovia em linha reta. Para contornar a lagoa, a estrada deverá ser feita em dois trechos, passando pela cidade C3, que está a dezesseis quilômetros a leste e dezoito quilômetros ao sul de C1. O comprimento, em quilômetros, do trecho entre a cidade C3 e a cidade C2 é igual a: a) b) c) d) e) 2 / Ö 5 Ö 5 / 2 4 / Ö 5 2 Ö 5 4 Ö 5 11 (ESAF/AFTN/98) - Considere as afirmações: A) se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade; B) se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga; C) se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga. A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações permite concluir que elas: a) implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga b) são consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer Patrícia não seja uma boa amiga c) implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não é uma boa amiga d) são equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga e) são inconsistentes entre si 12 (ESAF/AFTN/98) - Indique qual das opções abaixo é verdadeira. a) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e que x 2 + 5x = 0 b) Para todo número real y, tem-se que y < 3 e que y > 2 c) Para todo número real positivo x, tem-se que x 2 > x d) Para algum número real k, tem-se que k > 5 e que k 2 5k = 0 e) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e que x > 5 13 (ESAF/AFTN/98) - O valor de y para o qual a expressão trigonométrica: (cosx + senx) 2 + y senx cosx - 1 = 0 representa uma identidade é: a) 0 b) -2 c) -1 d) 2 e) 1 14 (ESAF/AFTN/98) - Sejam as matrizes C = 0 0 3/7-29/4 e seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y. Se a matriz Y é dada por Y = (AB) + C, então o valor de x é: a) - 7/8 b) 4/7 c) 0 d) 1 e) 2 15 (ESAF/AFTN/98) - Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: A) se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; B) ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois; C) o mordomo não é inocente. Logo: a) a governanta e o mordomo são os culpados b) somente o cozinheiro é inocente c) somente a governanta é culpada d) somente o mordomo é culpado e) o cozinheiro e o mordomo são os culpados 16 (ESAF/AFTN/98) - Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro importado. Dez pessoas dessa cidade são selecionadas, ao acaso e com reposição. A probabilidade de que exatamente 7 das pessoas selecionadas possuam carro importado é: a) 120 (0,1) 7 (0,9) 3 b) (0,1) 3 (0,9) 7 c) 120 (0,1) 7 (0,9) d) 120 (0,1) (0,9) 7 e) (0,1) 7 (0,9) 3 17 (ESAF/AFTN/98) - Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é: a) 1650 b) 165 c) 5830 d) 5400 e) A = 1 0 B = 3/5-7/8 4/7 25/ (ESAF/AFTN/98) - Sejam três retas: a reta R 1 que é a bissetriz do primeiro quadrante; a reta R 2 que é a bissetriz do quarto quadrante e a reta R 3 que é dada pela equação x = 1. A área, em cm 2, do triângulo cujos lados coincidem com essas três retas é: a) 1,5 b) 0,5

44 c) 1 d) 2 e) 2,5 19 (ESAF/AFTN/98) - Em um triângulo retângulo, um dos catetos forma com a hipotenusa um ângulo de Sendo a área do triângulo igual a 8 cm 2, então a soma das medidas dos catetos é igual a: a) 8 cm 2 b) 4 cm c) 8 cm d) 16 cm 2 e) 16 cm 20- Um trapézio ABCD possui base maior igual a 20 cm, base menor igual a 8 cm e altura igual a 15 cm. Assim, a altura, em cm, do triângulo limitado pela base menor e o prolongamento dos lados não paralelos do trapézio é igual a: a) 7 b) 5 c) 17 d) 10 e) 12 GABARITO 01-B 02-E 03-A 04-B 05-D 06-A 07-E 08-C 09-C 10-D 11-B 12-A 13-B 14-C 15-E 16-A 17-D 18-C 19-C 20-D 44