MATEMÁTICA I. Aula 01. 1º Bimestre. Revisão _ Produtos Notáveis Professor Luciano Nóbrega

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1 MATEMÁTICA I Felizes aqueles que se divertem com problemas Matemáticos que educam a alma e elevam o espírito. (Fraçois Fenelon Educador Francês) Aula 01 Revisão _ Produtos Notáveis Professor Luciano Nóbrega 1 1º Bimestre

2 PRODUTOS NOTÁVEIS 2 Do dicionário : Produto É o resultado de uma multiplicação; Notável Adjetivo digno de ser notado, percebido. 01 Cite uma frase que utilize a palavra NOTÁVEL. Observe a figura abaixo: 02 Quanto mede o lado do quadrado de área x 2? x 2 I I I Quanto mede o lado do quadrado de área 16? 04 Qual a área da figura I? 05 Qual a área da figura I I? 06 Utilizando um polinômio na forma reduzida, represente a área total da figura. 07 Utilizando um binômio, represente a medida do lado da figura. 08 Qual, das seguintes expressões, está correta? A) (x + 4) 2 = x B) (x + 4) 2 = x x + 4 2

3 PRODUTOS NOTÁVEIS 09 Complete a tabela: a b (a + b) 2 a 2 + b 2 a 2 + 2ab + b Resolva algebricamente: (a + b) Escreva, por extenso, o resultado obtido na questão anterior. Resolva os produtos notáveis abaixo: 12 (5x + y 4 ) 2 13 (x + y) 2. (x + y) 14 (x. y) 2 (x + y) 2 2.(x + y) 15 ( 2x / 3 + 4y) 2 16 (5 + 6) 2 17 (a + b + c) 2

4 PRODUTOS NOTÁVEIS Observe a figura abaixo: x 18 Utilizando um binômio, represente a medida do lado da figura I. 4 I I I x 19 Utilizando um trinômio, represente a área da figura I. 20 Qual a área da figura I I? I I I y y 2 21 Qual a área da figura I I I? y 22 Qual a diferença entre as áreas das figuras I I e I I I, ou seja, A II A III? 23 Então, adicionando y 2 à figura I I I, o que obtemos? 24 Do quadrado de lado x, retirando um retângulo de área xy, adicionando um quadrado de lado y e subtraindo outro retângulo de área xy, o que obtemos? 25 Escreva, por extenso, o resultado obtido na questão 19.

5 x PRODUTOS NOTÁVEIS Observe a figura abaixo: x y 26 Utilizando um binômio, represente a área da figura I (a figura com formato de L ). y I I I y Decompondo o L, obtemos dois retângulos que possuem o lado x y em comum: x y x y Que podem ser reordenados: 5 x 27 Utilizando um produto, represente a área do L depois de reordenado. x y x y x 28 Resolva o produto obtido na questão anterior. 29 Escreva, por extenso, o resultado obtido na questão anterior.

6 PRODUTOS NOTÁVEIS 6 Resolva os produtos abaixo: 30 (x + a).(x + b) Calcule cada expressão: 39 ( 3) ( 2) ( 5) 0 31 (x a).(x b) 32 (x + a).(x b) 33 (x + y) 3 34 (x y) 3 35 (4x + 5y).(4x 5y) 36 (x + y).(x 2 xy + y 2 ) 37 (x y).(x 2 + xy + y 2 ) 38 ( a + b).( a b) 40 ( 5) /5 23 ( 5 / 3 ) 2 41 [(16) 3/4 ] 1/ (a 2 + b 2 ).(x 2 + y 2 ) 43 (ax by) 2 + (ay + bx) 2 44 (a 2 + b 2 ) 2 45 (a + b) 2 + (a b) 2 46 (a + b) 2 (a b) 2 47 [ 1 / 2 (a + b)] 2 [ 1 / 2 (a b)] 2

7 MATEMÁTICA I Ao longo do tempo muitos homens conseguiram atingir o êxtase da criação. A estes homens dá-se o nome de MATEMÁTICOS. (Autor Desconhecido) Aula 02 Revisão _ Fatoração Professor Luciano Nóbrega 7 1º Bimestre

8 FATORAÇÃO 8 Do dicionário : Fatoração Ação de fatorar, ou seja, escrever com fatores. Fatores são como são chamados os termos da multiplicação. Observe a figura: 48 Qual é a área da figura I I I? I a 49 Qual é a área da figura I I e da figura I? I I I I I x b c 50 Qual é a área total da figura? Responda de duas formas diferentes: a) Utilizando um trinômio; b) Na forma fatorada. Existem vários casos de fatoração. Vejamos os principais: FATOR COMUM 51 Fatore os seguintes termos: a) 2x + 8y 6z b) 2x 2 6xy c) 12x 2 y 3 + 6xyz 18y 2 z d) (a + b).x + (a +b).y 52 Sabendo que x + y = 25 e y = 4, determine o valor numérico de xy + y 2 de duas maneiras: a) Inicialmente, determinando o valor de x; b) Inicialmente, fatorando.

9 FATORAÇÃO 9 FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO Observe a figura: 53 Qual a área da figura I? b I V I I I 54 Quais as áreas das figuras I I, I I I e I V? a I x I I y 55 Qual é a área total da figura? Responda de duas formas diferentes: a) Utilizando um polinômio; b) Na forma fatorada. 56 Considere a expressão 6x 2 y 12x + xy 2 2y: a) Qual a fatoração entre os termos 6x 2 y 12x? b) Qual o fatoração entre os termos xy 2 2y? c) Existe um fator comum entre as respostas dos itens a e b. Colocando esse termo em evidência, fatore a expressão dada. 57 Fatore os seguintes termos: a) 3x + 3y + 12x + 12y b) x 2 3x + ax 3a c) 2b 2 + 2c 3 + ab 2 + ac 3 d) 2ax + 4bx 3ay 6by

10 FATORAÇÃO 10 DIFERENÇA ENTRE DOIS QUADRADOS Observe a figura: Concluímos na questão 26 que a área da figura pode x y ser representada por x 2 y Utilizando um produto, qual a área da figura I? y 59 Utilizando um produto, qual a área da figura I I? x I y 60 Considere a soma das respostas obtidas nas x y I I questões 58 e 59. Existe um fator comum entre as respostas. Colocando esse termo em evidência, fatore a expressão. x 61 Fatore os seguintes termos: a) x 2 y 2 b) x 2 25 c) a 2 16 d) 1 16b 2 e) 3 x f) x 4 81 g) x 4 1 h) 4 / 25 a 2 62 Lembre-se que a medida da área de um círculo é dada por πr 2. Qual é a área da coroa circular? Responda de duas formas diferentes: a) Utilizando um polinômio; b) Na forma fatorada.

11 FATORAÇÃO 11 TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO 63 Fatore os seguintes termos: a) x 2 + 2xy + y 2 b) x 2 2xy + y 2 c) 4a 2 12ab 2 + 9b 4 d) 1 8b + 16b 2 e) 3x 2 + 6x + 3 f) 16a 4 8a 2 b 4 + b 8 TRINÔMIO DO 2º GRAU 64 Fatore os seguintes termos: a) x 2 + (a + b)x + ab b) x 2 + 5x + 6 c) a a + 42 d) x 2 (a + b)x + ab e) x 2 5x + 6 f ) a 2 16a + 60 g) x 2 + (a b)x ab h) x 2 + x 6 i ) a 2 a 6 SOMA (& DIFERENÇA) DE CUBOS 65 Fatore os seguintes termos: a) x 3 + y 3 b) x 3 y 3 c) a 3 27 d) x 3 e) x 3 1 f) 1 + x 3 66 Simplifique as expressões até que obtenha um número real. a) _2x 5y_ b) _6a 3_ c) _3x x + 60_ 4x 10y 1 2a 5(x + 4) + x 2 +4x d) _ 9x x 36_ e) 3 3 f ) 6x 2 9x (x 2) x + 30x 2

12 FATORAÇÃO 12 Fatore as expressões abaixo e, quando possível, substitua o valor da variável dada: 67 _x 2 9_ ; x = 3 x 3 73 _x 2 x 6 ; x = 2 x ; x = 2 68 _4x 2 1_ ; x = 1 / 2 2x 1 69 _x 5 ; x = 5 x 5 70 _x 4 81 ; x = 3 x _ x + 1 ; x = 1 16x ; x = 1 74 ; t = 0 75 ; h = 0 76 ; x = 2 77 ; t = 3 78 ; x = 0 80 ; x = 2 81 ; x = 9 82 ; x = 4 83 ; x = 9 84 com x = 1

13 MATEMÁTICA I Aula 03 Teoria dos Conjuntos Professor Luciano Nóbrega 13 DEUS criou os números naturais. O resto é obra dos homens. Leopold Kronecker (Matemático Alemão) 1º Bimestre

14 TEORIA DOS CONJUNTOS 14 Observe a foto de um supermercado: 85 O que aconteceria se os produtos vendidos nos supermercados não fossem agrupados? 86 Seria adequado colocar um mesmo produto em duas seções diferentes? Por quê? 87 Dê exemplos de seu cotidiano que utilize a ideia de agrupar elementos. CONCEITOS PRIMITIVOS USAMOS LETRAS MAIÚSCULAS 1º) CONJUNTO é uma coleção não-ordenada de objetos. PARA REPRESNTÁ-LOS. 2º) ELEMENTOS objetos que constituem o conjunto. usamos letras minúsculas para representá-los. 3º) SUBCONJUNTOS são agrupamentos formados dentro de um conjunto. 4º) CONJUNTO UNIVERSO é o conjunto que reúne TODOS os itens anteriores. 88 Dê exemplos dos conceitos primitivos da teoria dos conjuntos. 89 Determine o conjunto solução dado pela condição: a) x = 0 b) x 2 3x 10 = 0 e x > 0

15 TEORIA DOS CONJUNTOS RELAÇÕES 15 Relação de Pertinência Notação: (pertence) ou (não pertence) Qualquer objeto que seja elemento de um conjunto é dito pertencer aquele conjunto. Relação de Continência Notação: (contido) ou (não está contido) Quando um conjunto estiver inserido em outro conjunto, dizemos que o primeiro conjunto está contido no segundo conjunto. OBSERVAÇÕES: A relação de pertinência, ou, é utilizada para relacionar elementos com conjuntos. A relação de continência, ou, é utilizada para relacionar conjunto com conjunto. Se A B e B A, então A = B. CONJUNTOS NUMÉRICOS N: conjunto dos números naturais: {0, 1, 2, 3,...} Criado para representar a contagem. Z: conjunto dos números inteiros: {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Criado para responder questões, tais como 3 8 =? Q: conjunto dos números racionais: {x x = a/b ; a, b Z, b 0} Criado para responder questões, tais como 3 : 8 =? I: conjunto dos números irracionais: {x x Q} R: conjunto dos números reais: { x x ( Q + I ) } Criado para responder questões, tais como 3 =? Criado para unir os conjuntos Q e R 90 Utilize, corretamente, um dos quatro símbolos de relações: a) 4 / 11 N b) N Ǭ c) N R d) 5 R e) 4,7 Z f ) 0 I g) 2, Ir h) R Ǭ i) 5 Q j) Z Q

16 TEORIA DOS CONJUNTOS Se a e b pertencem a Z*, então, certamente serão números inteiros: A) a + b ; a b ; a / b B) a + b ; a.b ; a / b C) a.b ; a b ; a + b D) a b ; a ; a.b E) a + b ; a b ; a.b 92 Determine as frações geratrizes das dízimas: a) 0, b) 0, c) 0, d) 2, e) 3, f) 0, g) 1, h) 0, Sendo a = 0, e b = 2, , calcule o valor de a. b": 94 O intervalo XY de extremos 20,14 e 26,74 indicados na reta numerada abaixo está dividido em onze partes iguais. Nesse intervalo estão indicados os números decimais A, B e C. Determine o valor de B [ (C A) / 2 ] X A B C Y 95 Considere os números racionais A = 11 / 15, B = 7 / 12 e C = 13 / 18. a) Escreva os em ordem crescente; b) A + B + C =? c) 2A 3(B C) =? 1 0 0,1 0,8 96 (FEI) Que número real representa a expressão:

17 TEORIA DOS CONJUNTOS 17 CONJUNTOS DAS PARTES P(A): É o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A. OBS: O número de elementos de P(A) é dado por 2 n, onde n é o número de elementos de A. 97 Considere os conjuntos X = {a, b}, Y = {c, d, e} e Z = {f, g, h, i}. Determine: a) P(X) b) P(Y) c) P(Z) d) Para cada um dos itens anteriores, verifique a conjectura de que o número de elementos de P(A) = 2 n. 98 (Unifor CE) Se A = {x, y, z}, então o número de elementos de P(P(A)) possui: A) 8 elementos B) 16 elementos C) 256 elementos D) 512 elementos OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Considere os conjuntos : A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}. 99 UNIÃO: A união de A e B, denotada por A B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A, ou em B, ou em ambos. Sendo assim, determine A B 100 INTERSEÇÃO: A interseção de A e B, denotada por A B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A e em B ao mesmo tempo. Sendo assim, determine A B

18 TEORIA DOS CONJUNTOS 18 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Considere os conjuntos : A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}. 101 DIFERENÇA: A diferença de A e B, denotada por A B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A mas não estão em B. Sendo assim, determine: a) A B b) B A 102 COMPLEMENTAR: Se U é o conjunto Universo, U A é chamado de complemento de A e é denotado por Ā ou por ou ainda Sendo assim, determine: a) U = A U B b) Ā c) 103 Dados os conjuntos: A = {x x é um número natural primo menor do que 10} B = {x x Z e 6 < x 4} C = {x x N é divisor de 12}, determine: a) A B b) C B A c) A B d) A C e) B A f) A U B g) B C h) (A B) C i) A (B C) j) A C A B k) Ā l) (C B) U (C A) m) (B A) U (A B) 104 Dados os conjuntos: P = {Todos os polígonos}; L = {Todos os losangos}; G = {Todos os paralelogramos}; Q = {Todos os quadrados} e R = {Todos os retângulos}. Fazendo um diagrama, determine: a) L R b) L U G c) Q L d) G U P 105 (UFRN) As figuras ao lado representam diagramas de Venn dos conjuntos X, Y e Z. Marque a opção em que a região hachurada representa o conjunto Y Z X.

19 TEORIA DOS CONJUNTOS 19 NÚMERO DE ELEMENTOS DO CONJUNTO UNIÃO 106 Considere os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {2, 3, 5, 7}. Se n(a) representa a quantidade de elementos do conjunto A, então determine: a) n(a) b) n(b) c) A U B d) n(aub) e) A B f) n(a B) 107 Verifique (utilize V ou F ), com base nas respostas da questão anterior, se: a) n(a B) = n(a) + n(b) b) n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) 108 Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 630 pessoas e o resultado foi o seguinte: 350 delas lêem o jornal A, 210 lêem o jornal B e 90 lêem os jornais A e B. Pergunta-se: a) quantas pessoas lêem apenas o jornal A? b) quantas pessoas lêem apenas o jornal B? c) quantas pessoas lêem jornais? d) quantas pessoas não lêem jornais? 109 Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 13 meninos NÃO são ruivos e 9 meninas são ruivas. a) Quantas crianças existem na escola? b) Quantas crianças são meninas ou são ruivas? c) Quantas crianças são meninos e são ruivas? T R C U R T

20 TEORIA DOS CONJUNTOS O quadro abaixo mostra o resultado de uma pesquisa sobre as revistas que os estudantes do Ensino Médio costumam ler: Revistas Leitores a) Quantos foram os estudantes A 150 consultados? B 200 b) Quantos estudantes lêem C 250 apenas a revista A? A e B 70 c) Quantos estudantes lêem a A e C 90 revista B e não lêem a C? B e C 80 d) Quantos estudantes não lêem A, B e C 60 a revista A? Nenhuma 180 e) Quantos estudantes lêem a revista A ou a revista C? 111 (UFRN) Uma pesquisa de opinião, realizada num bairro de Natal, apresentou o resultado seguinte: 65% dos entrevistados freqüentavam a praia de Ponta Negra, 55% freqüentavam a praia do Meio e 15% não iam a praia. De acordo com essa pesquisa, o percentual dos entrevistados que freqüentavam ambas as praias era de: A) 20% B) 35% C) 40% D) 25% 112 Os conjuntos A, B e A B têm, respectivamente, 10, 15 e 7 elementos. Qual o número de elementos de A U B?

21 TEORIA DOS CONJUNTOS Sabe se que n(a U B) = 15, n(a) = 7 e n(a B) = 3, então n(b A) é igual a: A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 INTERVALOS Dados dois números reais a e b, com a < b, tem se: ]a. b[ = {x R a < x < b} = (a, b) a b [a. b] = {x R a x b} = [a, b] 114 Represente graficamente na reta real os seguintes intervalos: a) {x R 1 < x 3} b) {x R 2 x < 3} c) [3, + [ d) x < 4 e) ] 5, 3] f) [ π, e [ g) x 2 h) { 1 < x < 1} [0, 3[ 115 Considere os conjuntos e a) Represente, sob a forma de intervalo, os conjuntos A e B. b) Represente, na reta real, os conjuntos A, B e A B. c) Indique a condição que representa A U B e A B. d) Indique o menor número inteiro que não pertence a A U B. 116 (UFMG) Em uma pesquisa, foram obtidos os seguintes resultados: 7% dos entrevistados, acessam os três sites; 12% dos entrevistados acessam os dois sites, A e B; 15% acessam os sites A e C; 19% acessam B e C; 40%, o site A; 55% o B; 35% o C;135 pessoas entrevistadas não acessam nenhum dos sites. Quantas pessoas foram entrevistadas? A) 1500 B) 1450 C) 91 D) 100 a b

22 GABARITO 22 1) Pessoal. Ex: O Professor tem uma dedicação notável. 2) x 3) 4 4) 4x 5) 4x 6) x 2 +8x+16 7) x+4 8) x 2 +8x ) a 2 +2ab+b 2 12) 25x 2 +10xy 4 +y 8 13)x 3 +3x 2 y+3xy 2 +y 3 14) x 2 y 2 x 2 2xy y 2 2x 2y 9) ) O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. 15) (4x^2) / xy / 3 +16y 2 16) ) a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc 18) x y ) (x y) 2 = x 2 2xy y 2 20) xy 21) xy y 2 22) y 2 23) xy 24) A figura I. 25) O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. 26) x 2 y 2 27) (x + y).(x y) 28) x 2 y 2 29) O produto entre a soma e a 30) x 2 + (a + b)x + ab 31) x 2 (a + b)x + ab diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos o 32) x 2 + (a b)x ab 33) x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 quadrado do segundo. 34) x 3 3x 2 y + 3xy 2 y 3 35) 16x 2 25y 2 36) x 3 + y 3 37) x 3 y 3 38) a b 39) 16 40) 7 / 25 41) ) = 43) 44) a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 45) 2a 2 + 2b 2 46) 4ab 47) ab 48) cx 49) bx ; ax 50) ax + bx + cx 51) a) 2.(x + 4y 3z) ;b) 2x.(x 3y) ;c) 6y.(2x2y2 + 6xz 3yz) 52) a) = b) ) ax 54) ay; by; bx 55) a) ax + ay + bx + by ; b) (x + y).(a + b) 56) a) 6x(xy 2) ; b) y(xy 2) ; c) (xy 2)(6x + y) 57) a) 15.(x + y) ; b) (x 3).(x a) ; c) (2 + a).(b 2 + c 3 ) ; d) (a + 2b).(2x 3y) 58) x(x y) 59) y(x y) 60) (x y)(x + y) 61) a) (x y)(x + y) ; b) (x + 5)(x 5) ; c) (a + 4)(a 4) ; d) (1 + 4b)(1 4b) ; e)( 3 + x)( 3 x);f)(x 2 + 9)(x + 3)(x 3);g)(x 2 + 1)(x 2 1);h)( 2 / 5 + a)( 2 / 5 a) 64) a) (x + a)(x + b) ; b) (x + 3)(x + 2) ; c) (a + 6)(a + 7) ; d) (x a)(x b) 62) a) π.r 2 π.r 2 ; b) π.(r + r).(r r) 63) a) (x + y) 2 ; b) (x y) 2 ; c) (2a - 3b) 2 ; d) (1 4b) 2 ; e) 3.(x + 1) 2 ; f) [(2a + b 2 ) (2a b 2 )] 2 e) (x 3)(x 2) ; f) (a 6)(a 10) ; g) (x+a)(x b) ; h) (x+3)(x 2) ; i) (a 3)(a + 2)

23 GABARITO 65) a) (x + y)(x 2 xy + x 2 ) ; b) (x y)(x 2 + xy + x 2 ) ; c) (x 3)(x 2 + 3x + 9) ; d) (5 6x)( x + 36x 2 ) ; e) (x 1)(x 2 + x + 1) ; f) (1 + y)(1 x + x 2 ) 23 66) a) 1 / 2 ; b) 3 ; c) 3 ; d) 9 ; e) 1 / 2 3 ; f) 1 / 5 67) 6 68) 2 69) ) ) 1 / 64 72) 2 73) 5 74) 1 / 6 75) 6 76) 5 77) 6 / 5 78) 8 79) 9 / 8 80) 1 / 12 81) 6 82) 1 / 16 83) ) 32 85) Pessoal. Ex: Dificuldade em encontrar um produto. 87) Pessoal. Ex: Grupo de alunos desta sala. 86) Pessoal. Exs: SIM, pois um mesmo produto pode pertencer a dois grupos diferentes. Ou NÃO, pois dificultaria a organização. 89) a) S = ϕ b) S = { 2, 5} 90) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 88) Pessoal. Exs: CONJUNTO de alunos desta sala. Cada aluno é um ELEMENTO. O s meninos formam um SUBCONJUNTO. Todos os alunos da escola compõem o conjunto UNIVERSO. 91) E 92) a) 7 / 9 b) 23 / 99 c) 263 / 333 d) 7 / 3 e) 346 / 99 f) 1 / 180 g) 433 / 330 h) / ) 209 / ) 20,74 95) a) B < A < C b) 367 / 180 c) 113 / 60 96) 1 / 3 97) a) P(X) = {ϕ ; X; {a}; {b}} b) P(Y) = {ϕ ; Y; {c}; {d}; {e}; {c,d}; {c,e}; {d,e}} 97) //cont.// c) {ϕ ; Z; {f}; {g}; {h}; {i};{f,g}; {f,h}; {f,i}; {g,h}; {g,i}; {h,i}; {f,g,h}; {f,g,i}; {g,h,i}; {f,h,i}} d) Use P(A) = 2 n 98) C 99) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 100) (4, 5) 101) a) {1, 2, 3} b) {6, 7} 102) a) = (questão 99) b) {6, 7} c) 1, 2, 3} 103) a) {5, 6, 7, 8, 9} b) { 5, 4, 3, 2, 1} c) {0, 1, 2, 3, 4} d) {1, 2, 3, 4, 5, 6} e) = (b) f) { 5, 4, 3,..., 5, 6, 7, 8, 9} g) {1, 2, 3, 4} = (h) = (i) j) = (c) 104) a) Q b) L c) Q d) P 105) C 106) a) 5 b) 4 c) {1, 2, 3, 5, 7, 9} d) 6 e) {3, 5, 7} f) 3 107) a) F b) V 108) a) 260 b) 120 c) 470 d) ) a) 70 b) 57 c) ) a) 620 b) 50 c) 120 d) 470 e) ) B 112) ) 8 114) Graf. 115) a) A = ], 0[ B = [ 2, 3] b) Graf. c) A U B = ], 3] A B = [ 2, 0 [ d) 4 116) A

24 A questão primordial não é o que sabemos, mas como sabemos. (Aristóteles Filósofo Grego) Complete com números: ção buscar no meu colo me beijar. pois ja rezei para encontrar de te levar para Vá correndo acessar... Você só paga R$ 5,00 (Brincadeirinha... É de graça!)

25 MATEMÁTICA I A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens. (Renê Descartes Filósofo, Físico e Matemático Françês) Aula 04 Função Uma Ideia Fundamental Professor Luciano Nóbrega 25 1º Bimestre

26 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO A função é como uma máquina onde entram que são transformados e saem suas Matematicamente... Entra o x E sai o y. y 12 f(x) IMAGENS elementos 26 O domínio é o conjunto de todas as entradas, enquanto a imagem é o conjunto de todas as saídas. 117 JOGO DE ADIVINHAÇÃO Consiste no seguinte: O Professor pede a um aluno que diga um número natural em voz alta e imediatamente em seguida o Professor responde dizendo outro número. Marca 1 ponto quem adivinhar primeiro qual é o padrão utilizado pelo Professor para responder o número.

27 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO Os fenômenos não ocorrem de forma isolada e sim em função da relação entre grandezas. Sendo assim, relacione as duas colunas: (A) Lucro de uma empresa ( ) Quantidade de Km rodados. (B) Quantidade de bactérias ( ) Medida do lado (C) Pressão em um mergulho ( ) Medida do raio (D) Medida de uma circunferência ( ) Quantidade de vendas (E) Área de um quadrado ( ) Profundidade (F) Valor pago em um táxi ( ) Tempo decorrido INTERPRETANDO A FUNÇÃO POR MEIO DE UM CONJUNTO Considere os seguintes conjuntos A e B A A é o f B 1 5 Conjunto 2 6 DOMÍNIO Definição de Função: Conjunto IMAGEM B é o Conjunto CONTRADOMÍNIO 9 Dados dois conjuntos A e B, se para cada valor de x (x Є A) existir, em correspondência, um único valor de y (y Є B), então dizemos que y está em função de x. NOTAÇÃO: f (x) = y

28 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO 28 a b c 119 Considere os diagramas: x y z w a b c x y z w a b c y z (I) (II) (III) (IV) Assinale a alternativa correta: A) Somente a (IV) representa uma função. B) Somente a (I) e (IV) representam funções. C) Todas representam funções. D) Somente a (II) e (III) representam funções. 120 (UFRJ) Considere a relação de M em N, representada no diagrama abaixo. Para que seja uma função de M em N, basta: A) apagar a seta (1) e retirar o elemento s; B) apagar a setas (1) e (4) e retirar o elemento k; C) apagar a seta (4) e retirar o elemento k; D) apagar a seta (2) e retirar o elemento k. 121 Dada a função f (x) = ax + b, calcule o valor de a e b, sabendo que f (1) = 10 e f ( 1) = Dada a função f (x) = ax + b, sabendo que f (2) = 3 e f (1) = 2, calcule f ( 1). a y

29 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO Seja a função f: R R, definida por f(x) = x 2 3x + 5, determine: a) f(0), ou seja, o termo independente b) f(1), ou seja, a soma dos coeficientes c) f(2) f( 2) d) A imagem de x = 3 e) O valor de x, para y = Seja as funções de R R, definidas por f(x) = 2x e g(x) = m x, determine o valor de m, para que se tenha f( 1) + g(3) = Seja a função f: R R, definidas por para todo x R. Determine a, de tal forma que f(a) = f(a 4). 126 Considere as funções f(x) = 2x + m e g(x) = x 2 x + 4. Sabendo que f(2) = 6, determine a soma dos valores de x para que f(x) = g(x) (UFRN) Determine o valor da expressão 1 3a 1 3a para a = 1. A) 32 / 3 B) 32 / 3 C) 0,32 D) 0, a 2a 128 Determine o domínio das funções: a) f (x) = (x 7) 1 b) f(x) = (3x 1) 1/2 c) f(x) = (x + 1) 1/2 + (x 3) 1/2 d) f(x) = (2x 2 + x 1) 1 e) f(x) = (1 x) 1/2. x 1/2

30 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO 8 x (UFPE) Observe a seguir a ilustração de uma operação correta de adição, na qual as parcelas e a soma estão y 8 7 _ 5 7 z_ expressas no sistema decimal de numeração hindu arábico e x, y e z são algarismos entre 0 e 9. Quanto vale x + y + z? A) 16 B) 17 C) 18 D) (UFCE) Qual dos gráficos ao lado não pode representar uma função? 131 Dados os pontos A( 3, 2), C(2, 2), E(4, 2), G(2, 5), I(0, 3), J( 1, 4) e L( 5, 3). a) Marque no plano cartesiano ao lado os pontos supra citados. b) Determine as coordenadas dos pontos B, D, F, H, K e M. c) Ligue os pontos na ordem alfabética. Feche a figura, ligando os pontos M e A. d) O gráfico formado representa uma função? Por quê? Vamos formalizar o estudo do Plano Cartesiano.

31 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO COORDENADAS CARTESIANAS PLANO CARTESIANO 2º Quadrante Q(-x, +y) y Eixo das ordenadas 1º Quadrante P(+x, +y) 31 S(+x, -y) R(-x, -y) 3º Quadrante 4º Quadrante x Eixo das abscissas Todo ponto possui uma coordenada dada por um par ordenado (x, y); 132 Esboçe, atribuindo valores, os gráficos das funções e, em seguida, determine suas respectivas imagens. a) f(x) = 2x b) f(x) = 2x 1 c) f(x) = 2x + 1 d) f(x) = x 2 e) f(x) = x 2 3 f) f(x) = x g) f(x) = x 2 3x h) f(x) = x 2 + 3x i ) f(x) = x 2 + 5x 6

32 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO FUNÇÃO COMPOSTA Considere as funções f: A B e g: B C, então a função h: A C é a função composta g(f(x)), com x A. A B x f(x) g(f(x)) x = 5 C 32 EXEMPLO: f(x) = x+2 e g(x) = x 2, então g(f(x)) =? 133 Sejam as funções f(x) = x 2 1 e g(x) = 3x, calcule: a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x)) e) f(g( 1)) 134 Considere as funções f(x) = x 2 5x + 6 e g(x) = x + 1, determine: a) f(g(x)) b) Se f(g(x)) = 0, x =? c) Se g(g(x)) = 1, x =? 135 (IFRN) Se f(g(x)) = 4x 2 8x + 6 e g(x) = 2x 1, então f (2) é igual a: A) 2 B) 1 C) 3 D) 5 E) (IFRN) Dadas as funções f(x) = 3x + 4 e f(g(x)) = x 5, então g( 3) é igual a: A) 4 B) 3 C) 3 D) 4 E) 5

33 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO FUNÇÃO COMPOSTA 137 Dadas f(x) = x 2 4 e g(x) = 2x + 1, determine: a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x)) e) f(g( 7)) Sendo f(x) = 2x 5 e g(x) = 3x + m. determine m de modo que f(g(x)) = g(f(x)). 139 Se f(g(x)) = 6x 13 e g(x) = 3x + 2, calcule o valor de f (7). 140 Sendo f(x) = 2x 10 e g(x) = x 2 100, calcule x para g(f(x)) = Sejam f(x) = x 2 2x 3 e g(x) = 4x + m. Sabendo que f(g( 1)) = 12, calcule o valor de m. 142 Considere as funções f(x) = 2x + 1, g(x) = 5x + 9 e h(x) = 6x 2, determine: a) f(g(h(x))) b) h(g(f(x))) c) g(f(h(x))) d) g(h(f(x))) 143 Dada a função f(x + 1) = x 2, determine: a) f(4) b) f(a) 144 (UFCE) Seja f: R R tal que f(1) = 4 e f(x + 1) = 4.f(x) para todo x real. Nestas condições, f(10) é igual a: A) 2 10 B) 4 10 C) 2 10 D) 4 10

34 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO FUNÇÃO INVERSA Inicialmente, vamos conhecer alguns conceitos importantes: FUNÇÃO INJETORA É quando quaisquer dois elementos diferentes do conjunto A têm imagens diferentes no conjunto B. 34 Ou seja, x diferente, tem y diferente!!! FUNÇÃO SOBREJETORA É quando o conjunto Imagem da função for igual ao conjunto contradomínio. ( Im = CD ). FUNÇÃO BIJETORA É uma função simultaneamente injetora e sobrejetora. Ou seja, NÃO pode sobrar y!!! 145 Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda nenhuma delas: (UFRN) Seja B o conjunto formado por todos os brasileiros e R o conjunto dos números reais. Se f: B R é a função que associa a cada brasileiro sua altura, medida em centímetros, então f : A) é injetora e não é sobrejetora. B) é injetora e é sobrejetora. C) não é injetora e é sobrejetora. D) não é injetora e não é sobrejetora.

35 x NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO FUNÇÃO INVERSA Uma função f(x) tem inversa se e somente ela for bijetora. Para determiná-la, basta seguir o procedimento: 1º) Isola x ; 2º) Troca x por y e vice versa. D f(x) f -1 (x) OBS: Os gráficos de f(x) e f 1 (x) são simétricos em relação a função y = x. y R 35 OBS: O símbolo 1 em f 1 (x) não é um expoente. f 1 (x) não significa 1 / f(x). 147 A função inversa f 1 (x) desfaz o que a função f(x) faz. Sendo f(x) = 2x + 1, determine f 1 (x). Em seguida, calcule f(3) e f 1 (7). 148 Se f (1) = 5 e f (8) = 10, determine f 1 (5) e f 1 ( 10). 149 (UFSE) Considere a função bijetora y = ( 3x 1) : (x + 3), a expressão que define sua inversa é: A) (x + 3) : ( 3x 1) B) ( 3x + 1) : ( 3 x) C) ( 2x 1) : (x + 1) D) ( 3x 1) : (x + 3)

36 36 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO FUNÇÃO INVERSA 150 (UFRN) Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de ensino médio de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam a quantidade de professores de cada escola do conjunto E. Se f: E P é a função que a cada escola de E associa seu número de professores, então: A) f é uma função sobrejetora. B) f não pode ser uma função bijetora. C) f não pode ser uma função injetora. D) f é necessariamente uma função injetora. 151 Dadas as funções ƒ(x) = 5x + 1 e g(x) = 6x + 6, resolva a equação ƒ -1 (g(x)) = 7, seguindo o procedimento em cada item: a) Determine ƒ -1 (x); b) Na função ƒ -1 (x) obtida no item (a), substitua x por g(x), em seguida, iguale a 7 e resolva a equação; 152 Dadas as funções ƒ(x) = 2x + 1 e g(x) = x 2, resolva a equação ƒ -1 (g(x)) = Dada a função f(x) = 2x + 5. Determine: a) f 1 (x); b) f(f 1 (x)) c) f 1 (f(x)) d) f(f 1 (7)) 154 Represente em um mesmo plano cartesiano, o gráfico da função f(x) = x, g(x) = 2 3x e g 1 (x). O que você pode observar?

37 MATEMÁTICA I Eu sou um Matemático! E você? Antes de responder, saibas o significado dessa bela palavra de origem grega. Mathematikós = Disposto à aprender. (Professor Luciano Nóbrega) Aula 05 Função Polinomial do 1º Grau Professor Luciano Nóbrega 37 1º Bimestre

38 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 38 Uma função polinomial do 1º grau (ou simplesmente, função do 1º grau) é uma relação entre a variável dependente y e a variável independente x de grau 1. EXEMPLOS: f(x) = 3x + 2; f(x) = ( ½).x f(x) = 5 2x f(x) = (2 x) / 7 Podemos observar que a forma algébrica é do tipo f(x) = ax + b, onde a e b são números reais, x é a variável independente e y é a variável dependente de x. OBS: Lembre se que f(x) = y y = f(x) 155 Determine os valores de a e b nos exemplos acima. CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES DO 1º GRAU (ou função afim) Função Linear f(x) = ax, com a R*, ou seja, b = 0. Função Identidade f(x) = x. Função Constante f(x) = b, com b R*, ou seja a = 0 Função Nula f(x) = 0. OBS: Essas duas últimas não são do 1º grau. 156 Simplifique as funções e classifique-as quanto a serem: Linear; Nula; Constante ou Identidade 157 Determine a função a) f(x) = 3.(x+1) + 4(x 1) + 7 afim f(x) = ax + b, sendo: b) f(x) = (x+2) 2 (x+2)(x 2) 4.(x +2) a) f(1) = 5 e f( 3) = 7 c) f(x) = (x 3) 2 x(x 5) + x b) f( 1) = 7 e f(2) = 1 d) (x 4) 2 + (x+4)(x 4) c) f(5) = 1 e f( 2) = 3

39 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Num determinado dia registaram-se as temperaturas numa certa cidade, de hora a hora e, a partir delas, elaborou-se o gráfico das temperaturas em função da hora do dia. Indique: a) o domínio; b) a imagem; c) Quais as horas do dia em que se registou a temperatura 3ºC? d) Este gráfico representa uma função? Justifique. 159 Ainda em relação ao gráfico da questão anterior, represente os intervalos que a respectiva função pode ser classificada como: a) constante; b) linear 160 (UFRN) Na figura abaixo, tem-se o gráfico de uma reta que representa a quantidade, medida em m, de um medicamento que uma pessoa deve tomar em função de seu peso, dado em kgf, para tratamento de determinada infecção. O medicamento deverá ser aplicado em seis doses. Assim, uma pessoa que pesa 85kgf receberá em cada dose: A) 7 m B) 9 m C) 8 m D) 10 m

40 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU COEFICIENTE ANGULAR E LINEAR O coeficiente angular de uma reta representa a inclinação dessa reta. Observe a figura: 161 No triângulo retângulo destacado, calcule tg β. y LEMBRE SE: tg β = cateto oposto a β_ cateto adjacente a β 40 y 2 y 1 ß x 1 x A partir do resultado da questãao anterior, fazendo tg β = m e isolando y 2 y 1, que expressão obtemos? 163 Utilize as expressões obtidas nos exercícios anteriores para determinar a equação da reta que passa pelos pontos A (2, 3) e B (6, 6). x OBS 1 : Na função do 1º grau f(x) = ax + b, o coeficiente a é denominado coeficiente angular, tem-se que tg β = a, e portanto a determina o grau de inclinação da reta. OBS 2 : O coeficiente b é denominado coeficiente linear, ele determina o ponto em que a reta corta o eixo y. 164 Dados o coeficiente angular m = 1 e o ponto P( 2, 3), determine a equação da reta

41 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Em um mesmo plano cartesiano, construa os gráficos das funções f(x) = 2x + 1, g(x) = 2x 1 e h(x) = 2x. Em seguida, responda: a) Os gráficos tem algum ponto em comum? b) As retas são paralelas entre si? c) Quais os coeficientes angulares das funções? d) Quais os coeficientes lineares? 166 Em um mesmo plano cartesiano, construa os gráficos das funções f(x) = 3x 2, g(x) = x e h(x) = f 1 (x). Em seguida, responda aos mesmos itens da questão anterior. RAIZ DA FUNÇÃO DO 1º GRAU É todo número x que possui imagem nula. Isto é, f(x) = Determine a raiz (ou zero) de cada uma das seguintes equações: a) f(x) = 2x + 5 b) f(x) = ax + b c) f(x) = ( 1 / 3 )x + 3 d) f(x) = 4x f(x) = x + 2 FUNÇÃO CRESCENTE OU DECRESCENTE CRESCENTE A função é crescente se o coeficiente angular for positivo. Ex: y = 2x +1 a = 2 a > 0 FUNÇÃO CRESCENTE DECRESCENTE A função é decrescente se o coeficiente angular for negativo. Ex: y = x + 3 a = 1 a < 0 FUNÇÃO DECRESCENTE 168 Classifique entre crescente ou decrescente as funções da questão anterior:

42 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU INEQUAÇÕES DO 1º GRAU Uma inequação do 1º grau pode ser definida como uma função do 1º grau que apresenta um sinal de desigualdade. Assim: ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b 0 ax + b Determine todos os possíveis números inteiros positivos para os quais satisfaça a inequação 3x + 5 < Resolva as inequações: 42 < < 171 Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$ 5,00 o lucro final será dado em função das x unidades vendidas. Responda. a) Qual a lei dessa função? b) Para que valores de x temos f (x) < 0? c) Como a resposta ao item (b) pode ser interpretada? d) Para que valor de x haverá um lucro de R$ 315,00? e) Para que valores de x o lucro será maior que R$ 280,00? f) Para que valores de x o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00?

43 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 172 (UFRS) Certo dia de janeiro, a temperatura em São Leopoldo, situada no interior do Rio Grande do Sul, subiu uniformemente desde 23 C, às 10 h, até 38 C, às 15 h. Fazendo-se um gráfico cartesiano que representa tal situação térmica, no qual se marca os tempos (em horas) nas abscissas e as temperaturas (em graus centígrados) nas ordenadas, obtem-se o segmento de reta AB, como mostra a figura. a) Encontre uma função que indique a temperatura em São Leopoldo em função do tempo verificada no intervalo [10,15]. b) A partir de que horas a temperatura ultrapassa 32º? (UFRS) Uma locadora de veículos apresenta, para aluguel de certo tipo de carro a seguinte tabela: Em uma diária, com percurso não superior a 100 km, para que a 2ª opção seja menor em reais, é necessário que o número de quilômetros percorridos pelo locatário pertença ao intervalo: A) [60, 100] B) ]60, 100] C) [0, 60[ D) ]60, 100[ E) [0, 60]

44 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 174 (FUVEST) A tabela abaixo mostra a temperatura das águas do Oceano Atlântico (ao nível do Equador) em função da profundidade: 44 Admitindo que a variação da temperatura seja aproximadamente linear entre cada uma das medições feitas para a profundidade, a temperatura prevista para a profundidade de 400m é de: A) 16ºC B) 14ºC C) 12ºC D) 10,5ºC e) 8ºC 175 (UFRJ) Uma fábrica produz óleo de soja por encomenda, de modo que a produção é comercializada. O custo de produção é composto de duas parcelas. Uma parcela fixa, independente do volume produzido, corresponde a gastos com aluguel, manutenção de equipamentos, salários, etc; a outra parcela é variável, dependente da quantidade de óleo fabricado. No gráfico a seguir, a reta r 1 representa o custo de produção e a reta r 2 descreve o faturamento da empresa, ambos em função do número de litros comercializados. A escala é tal que uma unidade representa R$ 1.000,00 (mil reais) no eixo das ordenadas e 1000 (mil litros) no eixo das abscissas. a) determine em reais, o custo correspondente à parcela fixa; b) determine o volume mínimo de óleo a ser produzido para que a empresa não tenha prejuízo.

45 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 176 (UFRN) Seja a função linear y = ax 4. Se y = 10 para x = 2, então o valor de y para x = 1 é: A) 3 B) 4 C) 7 D) 11 E) NDA (UFRJ) O gráfico ao lado expressa a temperatura em graus Fahrenheit em função da temperatura em graus Celsius. a) Encontre a equação que expressa os graus Fahrenheit em função dos graus Celsius; b) Determine o valor aproximado da temperatura na escala Celsius correspondente a zero graus Fahrenheit. 178 (UFPB) Considere a função bijetora f: R R definida por f(x) = 2x + b, onde b é uma constante. Sendo f 1 (x) a sua inversa, qual o valor de b sabendo que f 1 (x) passa pelo ponto A (1, 2)? 179 (UFCE) Se f: R R é a função dada por f(x) = 100x 5, então o valor de é: A) 10 1 B) 1 C) 10 D) 10 2

46 GABARITO 117) Dinâmica em Grupo. 118) F, E, D, A, C e B 119) B 120) C 121) a = 3 e b = 7 122) ) a) 5 b) 3 c) 12 d) 23 e) x = 1 ou x = 2 124) m = 4 125) a = 2 126) x = 1 ou x = 2 127) A 128) a) R {7} b) x 1 / 3 c) x > 3 d) x = ½ ou x = 1 e) 0 < x 1 129) B 130) D 131) a) Gráfico b) B (0, 4) ; D (4, 0) ; F (3, 4) ; H (1, 4) ; K ( 3, 5) c) Gráfico d) Não, porque nesse gráfico existem x que se correspondem com mais de um y. 132) a) R b) R c) R d) y 0 e) y 3 f) y 3 g) y 2,25 h) y 2,25 i) y g) y 0,25 133) a) 9x 2 1 b) 3x 2 3 c) x 4 2x 2 d) 9x e) 8 134) a) x 2 3x + 2 b) x = 1 ou x = 2 c) x = 1 135) C 136) A 137) a) 4x 2 + 4x + 5 b) 2x 2 7 c) x 4 8x d) 4x + 3 e) ) m = ) 3 140) x = 0 ou x = ) m = 1 ou m = 9 142) a) 60x b) 600x x c) 60x d) 120x x ) a) 9 b) a 2 2a ) A) 145) Injetora; Sobrejetora; Bijetora e NDA 146) D 147) f 1 (x) = (x 1) / 2 ; f(3) = 7 ; f 1 (x) = 3 148) f 1 (5) = 1 ; f 1 ( 10) = 8 149) B 150) A 151) x = 6 152) x = ± 5 153) a) f 1 (x) = (x 5) / 2 ; b) x c) x d) 7 154) Os gráficos de g(x) e g 1 (x) são simétricos a f(x) = x 155) a) a = 3 e b = 2 ; b) a = 1 / 2 e b = 0 ; c) a = 2 e b = 5 ; d) a = 1 / 7 e b = 2 / 7 156) a) f(x) = x Função Identidade Cont. 156) b) f(x) = 0 Função Nula ; c) f(x) = 9 Função Constante ; d) f(x) = 8x Função Linear 157) a) a = 3 e b = 2 ; b) a = 2 e b = 5 ; c) a = 4 / 7 e b = 13 / 7 158) a) D f = [0;24] b) Im f = [ 3; 6] c) 8h e das 15 às 17 h d) Sim. Pois, para cada hora corresponde uma, e só uma, temperatura. 159) a) [2; 4], [15; 17] e [20; 22] b) [0; 2] 160) B 161) (y2 y1) / (x2 x1) 162) y 2 y 1 = m.(x 2 x 1 ) 163) y = 0,75x +1,5 164) y = x 5 165) a) Não b) Sim c) 2 em todas d) 1, 1 e 0 166) a) Sim b) Não c) 3, 1 e 1 / 3 d) 2, 0 e 2 / 3

47 GABARITO 167) a) x = 5/2 b) x = b/a c) x = 9 d) x = 0 e) x = 2 168) a) b) c) Crescentes ; d) e) Decrescentes ) S = {1, 2, 3} 170) a) 2 x 1 / 2 b) x< 1 ou x > 3 / 2 c) x 14 d) 0 x < 4 e) 2 x < 4 f) 1 / 2 x < 3 171) a) f(x) = 5x 230 b) x < 46 c) Terá prejuízo se vender menos que 46 unidades. d) x = 109 e) x > 102 f) 66 < x < ) f(x) = 3x 7 b) 13 hrs 173) B 174) D 175) a) 10 mil reais b) 10 mil litros 176) A 177) a) f(x) = 1,8x + 32 b) x = ) b = 5 179) D

48 A Matemática é como um jogo. Aprenda a jogar e você vai se divertir com ela. (Francisco das Chagas Gomes Meu Pai) Foi colocado uma planta num lago que todos os dias aumenta para o dobro do seu tamanho. Ao fim de quinze dias já ocupava metade do lago. Daí a quantos dias cobrirá o lago inteiro? Vá correndo acessar... Você só paga R$ 5,00 (Brincadeirinha... É de graça!)