MATEMÁTICA. Lucro = x x 11 1, = x. (19) O ELITE RESOLVE FUVEST 2006 SEGUNDA FASE - MATEMÁTICA.

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2 () 5- O ELITE RESOLVE FUVEST SEGUND FSE - MTEMÁTIC MTEMÁTIC QUESTÃO Um tapete deve ser bordado sobre uma tela de m por m, com as cores marrom, mostarda, verde e laranja, da seguinte forma: o padrão quadrado de 8 cm por 8 cm, mostrado abaixo, será repetido tanto na horizontal quanto na vertical; e uma faixa mostarda, de 5 cm de largura, será bordada em toda a volta do tapete, como na figura. a) Qual o tamanho do maior tapete quadrado, como descrito acima, que pode ser bordado na tela? Quantas vezes o padrão será repetido? b) Se com um novelo de lã pode-se bordar cm, qual é o número mínimo de novelos de lã mostarda necessário para confeccionar esse tapete? a) Temos o lado da tela de m ( cm). Porém precisamos descontar cm para faixa mostarda (5 cm de cada lado). Como o lado do quadrado padrão é 8 cm, tem-se que /8,55. Portanto, para o comprimento da tela, o maior número de quadrados padrões possíveis é. nalogamente para a largura temos quadrados padrões, portanto o número de quadrados padrões é x padrões. Usando quadrados padrões, no comprimento e na largura então o lado do tapete: x8 8 cm + cm (referente a faixa mostarda) cm. ssim, o tamanho do maior tapete quadrado é cm por cm, e o número de quadrados padrões é. b) Área da faixa mostarda é dada pela área do tapete descontando a área dos padrões. mostarda 8 (-8).(+8) 7 cm. Em cada quadrado padrão, temos que a parte mostarda ( ) é dada. pela área dos triângulos :. 5 cm. Portanto nos quadrados padrões temos 5cm. mostarda cm ; Cada novelo borda cm : novelo cm n cm n /,75 Então serão necessários no mínimo novelos QUESTÃO Um comerciante compra calças, camisas e saias e as revende com lucro de %, % e % respectivamente. O preço x que o comerciante paga por uma calça é três vezes o que ele paga por uma camisa e duas vezes o que ele paga por uma saia. Um certo dia, um cliente comprou duas calças, duas camisas e duas saias e obteve um desconto de % sobre o preço total. a) Quanto esse cliente pagou por sua compra, em função de x? b) Qual o lucro aproximado, em porcentagem, obtido pelo comerciante nessa venda? a) Como x é o preço da calça, temos que x/ é o preço da camisa e x/ o preço da saia. De acordo com os lucros que o comerciante tem, os preços unitários das calças, camisas e saias são: p calça,x ; p camisa, x x e p saia, O preço que o cliente pagaria sem desconto seria (por calças, camisas e saias): x x, x p. pcalça +. pcamisa +. psaia., x +.,. +.,. Como o cliente obteve % de desconto, o preço que esse cliente pagou foi:, x p, p,, 7x b) O preço que o comerciante pagou por calças, camisas e saias x x x é igual a: x + +. ssim, o lucro que ele obteve em sua, 5x compra foi:, 7x x. Logo, a porcentagem de lucro que o comerciante teve foi:,5x,5 Lucro,7,7% x QUESTÃO Uma função f satisfaz a identidade f(ax) af(x) para todos os números reais a e x. lém disso, sabe-se que f(). Considere ainda a função g(x) f(x-)+ para todo o número real x. a) Calcule g(). b) Determine f(x), para todo x real. c) Resolva a equação g(x)8. a) Como g(x) f(x-)+, temos: g() f( ) + f() + (I) Do enunciado, temos: a, x R, f ( ax) a. f ( x) f ( ) f () f (.). f () f () (II) De (I) e (II), vem: g() + g() b) Dado que f(a.x)a.f(x), temos f(x) f(x. ) x.f( ). Como f ( ) f (.). f () f (), portanto, x f ( x) x. f ( x), para todo x R x x + c) Fazendo g (x) f(x ) + + g(x). ssim, se x + g (x) 8 8 x 5 QUESTÃO reta s passa pela origem O e pelo ponto do primeiro quadrante. reta r é perpendicular à reta s, no ponto, e intercepta o eixo x no ponto e o eixo y no ponto C. Determine o coeficiente angular de s se a área do triângulo OC for o triplo da área do triângulo O. De acordo com o enunciado, pode-se fazer o seguinte gráfico:

3 () 5- O ELITE RESOLVE FUVEST SEGUND FSE - MTEMÁTIC y y ms x x Da figura, pode-se perceber que ΔOC ~ ΔO, pois possuem ângulos idênticos. Como OC. O, temos que a razão de semelhança é: k Tomando a relação entre as alturas dos triângulos, em relação aos ângulos retos (H e h), temos: H O x + y x + y y h y y x + y y x. y x y ssim, temos y y ms x y QUESTÃO 5 Na figura abaixo, O é o centro da circunferência de raio, a reta b ± a + Δ ± + ( ) ± não convém, pois >. + QUESTÃO Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone circular reto de 5 cm de altura e cuja base tem raio 8 cm (Figura ). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o eixo do cone. broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da Figura. Se a área da base deste novo sólido é da área de, determine seu volume. é secante a ela, o ângulo β mede º e senα. a) Determine sen(oâ) em função de. b) Calcule. Cone superior O volume solicitado é dado por: V V tronco V cilindro, onde tronco V tronco V cone - V cone-superior ssim, para determinarmos o volume V solicitado, calcularemos V tronco e V cilindro. Sejam a área da base do cone, -b a área da base do novo sólido e b a área da base do cilindro, conforme figura a seguir. ssim, temos: b e b. Na figura, temos que O OC (raio). ssim, o triângulo OC é isósceles, e, como β º, os ângulos e C do triângulo OC medem º cada, logo, o triângulo OC é eqüilátero. a) Utilizando a Lei dos Senos no triângulo O: O O sen seno ˆ. α senα seno ˆ seno ˆ b) Usando a lei dos Senos no triângulo OC: O OC O O sen º seno ˆ O Usando a Lei dos Cossenos no triângulo O: O + cosº Substituindo, O neste resultado, temos: Como o cone de base e o cone de base b (cone superior) são semelhantes, então a relação entre as áreas de suas bases é proporcional à relação entre os quadrados de suas alturas: b h h h H 5 h 5 cm Portanto, o volume do tronco é dado por: H h 5 b -b 75 cm

4 () 5- O ELITE RESOLVE FUVEST SEGUND FSE - MTEMÁTIC V tronco V cone - V cone-superior V tronco. H bh.5 h 5 h ( 5 5 ) π cm 5 V tronco π.8 5 Já o volume do cilindro é dado por: V cilindro b.( H h).5 ( 5 ) ( 5 5 ) cm Logo, o volume do novo sólido é: V V tronco V cilindro ( 5 5 ) ( 5 5 ).(5 5 ) ( 5 5 ) ( 5 5 ) cm π V π V cm QUESTÃO 7 No paralelogramo CD abaixo, tem-se que D e Dº. lém disso, sabe-se que o ponto P pertence ao lado DC e à bissetriz do ângulo DÂ. D P C a) Calcule P. b) Determine sabendo que a área do quadrilátero CP é. a) Se D DP ˆ 5, uma vez que CD é um paralelogramo. Como o ponto P pertence à bissetriz de DÂ, o segmento P é justamente a bissetriz desse ângulo, logo, DÂP 5. ssim, se DP ˆ 5 e DÂP 5 PD ˆ 5, e o triângulo DP é isósceles, com DP. D P C h 5 o 5 o 5 o plicando a lei dos cossenos nesse triângulo: P D + DP. D. DP.cos5 +.. P 8+ P 8+ + b) altura do triângulo DP em relação à base PD, também a altura do paralelogramo, é dada por: h D sen h. Como a área do paralelogramo ( CD.h) é dada pela soma das áreas do triângulo DP ( DP D.h/) e do quadrilátero CP, temos: CD DP + CP D h h o QUESTÃO 8 Determine os números complexos z que satisfazem, simultaneamente, z i z e lm. + i Lembretes: i -; se w a + bi, com a e b reais, então w a + b e lm(w) b. Sendo z x + yi, temos que: i) z x + y x + y ii) z i x + yi i x + (y )i ( i) x + y x + y + i + i + i + i ( i) ssim, temos que z i x + y lm x + y x y + i De (i) e (ii): x + y (y ) + y y y y ou y x y Se y : x - - z - Se y : x z i Os números complexos são z - ou z -i QUESTÃO Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z: a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linear. b) Para que valores de a, b e c o sistema linear admite soluções não triviais? c) Calcule as soluções do sistema quando e sen a e cos c /5. a) Seja D o determinante solicitado: cos a D cos b sen b cos c Substituindo a linha por (linha linha ): cos a D cos b cos a sen b cos c sen c plicando Laplace: + cos b cos a sen b D ( ) cos c sen c.( cos cos ) cos.( ) ( ) ( ) ( ) sen c b a c sen b.cos cos +. sen c b a sen c sen b senc. cos b+ senb (cos a+ sena) + sena senb. + ( ) sen c sen b sen b D sen a sen b b) O sistema admite soluções não triviais se D, ou seja, sen a sen b. ssim: sen b ± sen b a ± b+ kπ com k, ±, ±... a ± ( π b) + kπ a ± b + kπ, com k, ±, ±,...

5 () 5- O ELITE RESOLVE FUVEST SEGUND FSE - MTEMÁTIC c) Se sen a, então D -sen b cos b. Se D, temos: cos b, logo, o sistema é possível e indeterminado (infinitas soluções) Da última equação, vem: (cos c)y + (sen c)z Como cos c 5, então sen c -cos c 5 y + z y -z 5 5 Observando a primeira equação: x + (cos a)y + (sen a)z Como sen a, temos cos a. ssim x + z x -z Logo, temos um SPI, com solução (x,y,z)(-z,-z,z) Se cos b, temos um sistema possível e determinado, cuja solução é a trivial (xyz). ssim, (x,y,z)(-z,-z,z) se cos b e (x,y,z)(,,) se cos b QUESTÃO a) Determine os pontos e do plano cartesiano nos quais os gráficos de y e x + y - se interceptam. x b) Sendo O a origem, determine o ponto C no quarto quadrante que satisfaz O ˆ C ˆ e que pertence à reta x. a) Para encontrarmos os pontos e, basta resolvermos o sistema: x + y ( I) y ( II ) x De (I), temos y -x+, e substituindo em (II): x + x - 7x + x ou x. x Substituindo em I Se x y, daí (,), Se x y, daí (,). Sendo o P (x p, y p ) o ponto médio do segmento O, então x + x O + e y + y O + xp yp ssim a reta r é dada por: y-y o m(x-x o ) y / -(x-/) y -x +. Sendo s a mediatriz entre os pontos e. y y m x x m.m s - m s. Sendo Q (x q, y q ) o ponto médio do segmento, então x + x e y + y + xq yq ssim a reta s é dada por: y-y o m(x-x o ) y 5/.(x-7/) y x -. y x Resolvendo o sistema encontra-se o centro da y x + circunferência. x- -x+ x y. Portanto o centro (,). Para encontrarmos o raio, é preciso determinar a distância entre centro e a origem. d (-) + (-) d 5. ssim a equação da circunferência que passa pelos pontos, e O é dada pela equação: (x-) + (y-) 5 Lembremos que a abcissa do ponto C é, então: (-) + (y-) 5 (y-) 5 y- ± 5 y ± 5 Como C pertence ao quarto quadrante, então y - 5 C (, - 5 ) b) O lugar geométrico dos pontos que visam o segmento através de um ângulo α é dado por uma circunferência, na qual se encontram os pontos, e O. De acordo com a figura acima precisamos, encontrar um ponto da circunferência cuja abscissa x seja. O centro da circunferência é o circuncentro do triângulo O, e portanto sendo o encontro das mediatrizes. Sendo r a mediatriz entre os pontos e O. yo y mo xo x m O.m r - m r -.