Definição de Probabilidade

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1 INTRODUÇÃO A TEORIA DAS PROBABILIDADES A teoria das probabilidade nada mais é do que o bom senso transformado em cálculo A probabilidade é uma medida da incerteza dos fenômenos. Traduz-se por um número real compreendido de 0 ( zero) e 1 ( um). A coincidência de datas de aniversário O caso da mega sena Exercícios: a) Qual a probabilidade de nascer uma criança do sexo masculino? b) Um pesquisador verifica que, dentre 1000 casos de cirrose hepática, 0 evoluíram para câncer. Com base nessa experiência, qual a probabilidade da cirrose se tornar cancerosa? Definição de Probabilidade Se um evento ocorre de n maneiras igualmente possíveis e se, destas, exatamente m maneiras correspondem ao evento A, então a probabilidade do evento A é dada pela razão: m P(A) n Em outras palavras: P(resultad o favorável) número de resultados favoráveis nº de resultados igualmente possíveis 1

2 Observações: a probabilidade de um evento qualquer é um número real não negativo a probabilidade de evento certeza é igual a 1 existem tipos de probabilidades: -a priori ou matemática, calculada a partir de hipóteses segundo um modelo matemático e sem experimentação, determinando as probabilidades de acontecimentos futuros; -a posteriori, que é a estimativa por meio de dados experimentais, da verdadeira probabilidade ou valor mais provável. Exemplo 1: Suponha que ocorreram 100 nascimentos de crianças gêmeas e de trigêmeos de um total de partos anotados de uma maternidade. Quais as probabilidades de nascimentos de gêmeos e de trigêmeos? Espaço Amostral e Evento Considere o experimento: Proporção de sexos em famílias com descendentes. Espaço amostral (S): todos os possíveis resultados do experimento. S{MM,MF,FM,FF} Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. Exemplos: A{MM, FF}, evento filhos do mesmo sexo; B{MF, FM}, evento filhos de sexo diferente.

3 Teorema da adição Se A e B são eventos num espaço amostral finito S, a probabilidade de reunião dos subconjuntos A e B é igual a adição das probabilidades de A e B, menos a probabilidade da intersecção do subconjunto A e B. P(A B) P(A) + P(B) - P(A B) OBSERVAÇÃO Se A e B forem dois eventos mutuamente exclusivos (ou disjuntos), a probabilidade da reunião dos subconjuntos A e B é simplesmente igual a adição de suas probabilidades individuais. P(A B) P(A) + P(B) Teorema do produto Eventos dependentes são aqueles que exercem influência recíproca. P(A B) P(A) P(B) Exemplo Lançamento de dois dados. Verificar se o evento A (valores pares em ambos os dados) e o evento B (soma igual a 6) são independentes. 9 5 P(A), P(B), P(A B) 6 6 6

4 Eventos independentes são aqueles que não exercem ação entre os mesmos, isto é, cada evento comportando-se da maneira que lhe é própria. A condição necessária e suficiente para que dois eventos sejam independentes é que a probabilidade do produto seja igual ao produto das probabilidades. P(A B) P(A) P(B) Exemplo : Acasalamento de dois indivíduos tirados ao acaso da população. Suponha o loco H com alelos(h,h). Se o evento A (Prob. do espermatozóide levar o alelo h) e o evento B (Prob. do óvulo levar o alelo h). Pergunta-se os eventos A e B são independentes. P(A B) P(A) P(B) Solução: P(A)1/; (espermatozóide); P(A B) 1/ P(A) P(B)(1/)(1/) 1/ 1/ P(B)1/; (óvulo) Exemplo : Considere um local contendo 0 genes de igual tamanho e material, 0 dos quais são vermelhos e 10 de cor preta. Assuma ainda que dentre os 0 genes vermelhos, 0 tem uma mancha branca. Pergunta-se: 0 a) P(gene vermelho) 0 0,75 b) P(gene preto) ,5

5 Se diferenciarmos as genes vermelhos com mancha branca, teremos: c) P(Vb) d) P(VV) f) P(VV/V) 0 0 e) P(Vb/V) 0, P(Vb) P(V) P(VV) P(V) 0, Probabilidade condicional Se A e B são dois eventos, a probabilidade de B ocorrer, depois de A ter acontecido, é definida por P(B/A) e é denominada probabilidade condicional de B, depois de A ter ocorrido. Se a ocorrência ou não de A não afetar a probabilidade da ocorrência de B, então P(B/A) P(B). Neste caso, A e B são independentes. P( A B) P( A/ B) P( B) Exemplo 5 - Na tabela a seguir são apresentados. os resultados de um experimento sobre a incidência da doença X em cães machos e cães fêmeas Sexo Doença Macho Fêmea Total Sim Não Total

6 Se selecionarmos aleatoriamente um animal: a) Qual a probabilidade de ser macho? b) Qual probabilidade de ser fêmea ou ter a doença? c) Qual a probabilidade de ser macho e não ter a doença? d) O evento não ter a doença é independente do evento macho? e) Sabendo que o animal selecionado tem a doença, qual a probabilidade de ser fêmea? Exemplo 6. A probabilidade de que um animal macho tenha a doença X é /5; a probabilidade de que a fêmea tenha a doença é /. Determinar a probabilidade de que na seleção de dois animais (um macho e outro femea), a) ambos tenham a doença; b) somente o macho tenha a doença; c) somente a fêmea apresente ; d) nenhum apresente a doença; e e) pelo menos um apresente. Exemplo 7: Considere fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 00 e 00 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: a) ser da fábrica A; b) ser defeituosa, sabendo que a peça provém da fábrica A; c) ser defeituosa; e d) ser da fábrica A, sabendo que a peça é defeituosa. 6

7 Distribuição de probabilidade discreta Se uma variável aleatória X pode assumir um conjunto discreto de valores x 1, x, x,..., x k com probabilidades p 1, p, p,..., p k, sendo p i 1, diz-se que está definida uma distribuição de probabilidade discreta de X. A função p(x) que assume os valores p 1, p, p,...,p k, respectivamente para X x 1, x, x,..., x k, é denominada função de probabilidade. Fatorial de n Análise combinatória n! n(n-1)(n-) ! 1 Combinações Uma combinação de n objetos diferentes, tomados r de cada vez, é uma escolha de r dos n objetos, não se levando em consideração a ordem de sua disposição. O número de combinações de n objetos, tomados r de cada vez, é representado por C n,r ou é dado por: n! Cn, r r!(n r)! 7