Teoria das Desições Financeiras II p.1/22

Transcrição

1 Teoria das Desições Financeiras II José Fajardo Barbachan IBMEC Business School Rio de Janeiro Teoria das Desições Financeiras II p.1/22

2 Objetivo Neste curso o aluno aprenderá diversas ferramentas probabílisticas, de forma que lhe permitiram modelar e resolver problemas em finanças, em especial no apreçamento de varios tipos de derivativos. Teoria das Desições Financeiras II p.2/22

3 Conteúdo Processos Estocásticos; Teoria das Desições Financeiras II p.3/22

4 Conteúdo Processos Estocásticos; Esperança Condicionada e Martingalas; Teoria das Desições Financeiras II p.3/22

5 Conteúdo Processos Estocásticos; Esperança Condicionada e Martingalas; Modelo Binomial; Teoria das Desições Financeiras II p.3/22

6 Conteúdo Processos Estocásticos; Esperança Condicionada e Martingalas; Modelo Binomial; Modelo e Formula de Black e Scholes; Teoria das Desições Financeiras II p.3/22

7 Conteúdo Processos Estocásticos; Esperança Condicionada e Martingalas; Modelo Binomial; Modelo e Formula de Black e Scholes; Opções Americanas; Teoria das Desições Financeiras II p.3/22

8 Conteúdo Processos Estocásticos; Esperança Condicionada e Martingalas; Modelo Binomial; Modelo e Formula de Black e Scholes; Opções Americanas; Swaps; Teoria das Desições Financeiras II p.3/22

9 Conteúdo Processos Estocásticos; Esperança Condicionada e Martingalas; Modelo Binomial; Modelo e Formula de Black e Scholes; Opções Americanas; Swaps; Value at Risk; Teoria das Desições Financeiras II p.3/22

10 Conteúdo Processos Estocásticos; Esperança Condicionada e Martingalas; Modelo Binomial; Modelo e Formula de Black e Scholes; Opções Americanas; Swaps; Value at Risk; Opções Exóticas; Teoria das Desições Financeiras II p.3/22

11 Conteúdo Processos Estocásticos; Esperança Condicionada e Martingalas; Modelo Binomial; Modelo e Formula de Black e Scholes; Opções Americanas; Swaps; Value at Risk; Opções Exóticas; Opções Reais. Teoria das Desições Financeiras II p.3/22

12 Bibliografia Básica Probabilidade para Finanças. José Fajardo. Apostilha ( Teoria das Desições Financeiras II p.4/22

13 Bibliografia Básica Probabilidade para Finanças. José Fajardo. Apostilha ( Options, Futures and Other Derivatives. John Hull Prentice Hall. 5th Edition. Teoria das Desições Financeiras II p.4/22

14 Bibliografia Básica Probabilidade para Finanças. José Fajardo. Apostilha ( Options, Futures and Other Derivatives. John Hull Prentice Hall. 5th Edition. Pode ser adquirido diretamente com o representante da Prentice no Brasil: joao.almeida@pearsoned.com, com desconto do 20% por R$119,60 Teoria das Desições Financeiras II p.4/22

15 Bibliografia Complementar Dynamic Aset Pricing Theory. Darrell Duffie Prentice Hall. 3rd Edition. Teoria das Desições Financeiras II p.5/22

16 Bibliografia Complementar Dynamic Aset Pricing Theory. Darrell Duffie Prentice Hall. 3rd Edition. The Mathematics of Financial Derivatives. Wilmott, P., S. Howison, and J. Dewynne Cambridge Press. Teoria das Desições Financeiras II p.5/22

17 Critério de Avaliação 1 Prova Parcial (PP) valendo 30 pontos; Teoria das Desições Financeiras II p.6/22

18 Critério de Avaliação 1 Prova Parcial (PP) valendo 30 pontos; 1 Prova Final (PF) valendo 40 pontos; Teoria das Desições Financeiras II p.6/22

19 Critério de Avaliação 1 Prova Parcial (PP) valendo 30 pontos; 1 Prova Final (PF) valendo 40 pontos; 2 Listas de Exercícios (LE1 e LE2), valendo 10 pontos cada uma; Teoria das Desições Financeiras II p.6/22

20 Critério de Avaliação 1 Prova Parcial (PP) valendo 30 pontos; 1 Prova Final (PF) valendo 40 pontos; 2 Listas de Exercícios (LE1 e LE2), valendo 10 pontos cada uma; Participação (P) valendo 10 pontos. Teoria das Desições Financeiras II p.6/22

21 Critério de Avaliação 1 Prova Parcial (PP) valendo 30 pontos; 1 Prova Final (PF) valendo 40 pontos; 2 Listas de Exercícios (LE1 e LE2), valendo 10 pontos cada uma; Participação (P) valendo 10 pontos. A Nota Final (NF) será igual á NF = P P + P F + LE1 + LE2 + P 10 Sé NF 6, o aluno estará aprovado. Teoria das Desições Financeiras II p.6/22

22 Datas Importantes Nos dias 1/7, 8/7 e 15/7 não haverá aula. Nos sábados 7/6, 14/6 e 19/7 teremos aulas de reposição das 9:00 as 12:30 na sala 302; Teoria das Desições Financeiras II p.7/22

23 Datas Importantes Nos dias 1/7, 8/7 e 15/7 não haverá aula. Nos sábados 7/6, 14/6 e 19/7 teremos aulas de reposição das 9:00 as 12:30 na sala 302; No día 24/6 será a palestra do Prf. João Amaro de Matos da Universidade Nova de Lisboa Information Flow, Social Interactions and the Fluctuations of Prices in Financial Markets ; Teoria das Desições Financeiras II p.7/22

24 Datas Importantes Nos dias 1/7, 8/7 e 15/7 não haverá aula. Nos sábados 7/6, 14/6 e 19/7 teremos aulas de reposição das 9:00 as 12:30 na sala 302; No día 24/6 será a palestra do Prf. João Amaro de Matos da Universidade Nova de Lisboa Information Flow, Social Interactions and the Fluctuations of Prices in Financial Markets ; A LE1 estará disponível pela intranet no día 17/6 e terá que ser entregue até o dia 17/7 no 17 andar; Teoria das Desições Financeiras II p.7/22

25 Datas Importantes Nos dias 1/7, 8/7 e 15/7 não haverá aula. Nos sábados 7/6, 14/6 e 19/7 teremos aulas de reposição das 9:00 as 12:30 na sala 302; No día 24/6 será a palestra do Prf. João Amaro de Matos da Universidade Nova de Lisboa Information Flow, Social Interactions and the Fluctuations of Prices in Financial Markets ; A LE1 estará disponível pela intranet no día 17/6 e terá que ser entregue até o dia 17/7 no 17 andar; A LE2 estará disponível pela intranet no día 30/7 e terá que ser entregue até o dia 26/8 na sala de aula; Teoria das Desições Financeiras II p.7/22

26 Datas Importantes Nos dias 1/7, 8/7 e 15/7 não haverá aula. Nos sábados 7/6, 14/6 e 19/7 teremos aulas de reposição das 9:00 as 12:30 na sala 302; No día 24/6 será a palestra do Prf. João Amaro de Matos da Universidade Nova de Lisboa Information Flow, Social Interactions and the Fluctuations of Prices in Financial Markets ; A LE1 estará disponível pela intranet no día 17/6 e terá que ser entregue até o dia 17/7 no 17 andar; A LE2 estará disponível pela intranet no día 30/7 e terá que ser entregue até o dia 26/8 na sala de aula; A PP e a PF serão realizadas nos días 29/7 e 26/8, respectivamente. Teoria das Desições Financeiras II p.7/22

27 Observações Não haverá provas de reposição; Teoria das Desições Financeiras II p.8/22

28 Observações Não haverá provas de reposição; O aluno que entregue as listas apôs das datas estípuladas, será penalizado com 2x pontos, onde x é o número de dias fora do prazo; Teoria das Desições Financeiras II p.8/22

29 Observações Não haverá provas de reposição; O aluno que entregue as listas apôs das datas estípuladas, será penalizado com 2x pontos, onde x é o número de dias fora do prazo; Não haverá reprovação por faltas. Teoria das Desições Financeiras II p.8/22

30 Probabilidade para Finanças Teoria das Desições Financeiras II p.9/22

31 Axiomas da Probabilidade Para entender como se obtem uma medida de probabilidade precisamos de axiomas muito razoaveis. Para presentar estes axiomas precisamos da noção de σ algebra. Para definir este objeto denotemos por Ω o conjunto de possíveis eventos de um experimento. Teoria das Desições Financeiras II p.10/22

32 Axiomas da Probabilidade Para entender como se obtem uma medida de probabilidade precisamos de axiomas muito razoaveis. Para presentar estes axiomas precisamos da noção de σ algebra. Para definir este objeto denotemos por Ω o conjunto de possíveis eventos de um experimento. Exemplo 1: Lançar uma moeda, Possíveis resultados: cara(c) ou corõa ( c), então: Ω = {c, c}. Teoria das Desições Financeiras II p.10/22

33 Axiomas da Probabilidade Exemplo 2: Lançar um dado... Teoria das Desições Financeiras II p.11/22

34 Axiomas da Probabilidade Exemplo 2: Lançar um dado... Exemplo 3: Número de caras em 50 lances Teoria das Desições Financeiras II p.11/22

35 Axiomas da Probabilidade Exemplo 2: Lançar um dado... Exemplo 3: Número de caras em 50 lances Exemplo 4: Soma das faces ao lançar 2 dados Teoria das Desições Financeiras II p.11/22

36 Axiomas da Probabilidade Exemplo 2: Lançar um dado... Exemplo 3: Número de caras em 50 lances Exemplo 4: Soma das faces ao lançar 2 dados Agora denotemos o conjunto de todos os subconjuntos de Ω por P(Ω) este conjunto possue 2 n(ω) elementos por isto tambem é denotado por 2 Ω. O conjunto vacio será denotado por. Teoria das Desições Financeiras II p.11/22

37 Problemas! A primeira noção de probailidade que temos é a frequencia, exemplo qual é probabilidade de as faces dos dados somar 7 no ex. 4. Teoria das Desições Financeiras II p.12/22

38 Problemas! A primeira noção de probailidade que temos é a frequencia, exemplo qual é probabilidade de as faces dos dados somar 7 no ex. 4. Quando o conjunto é muito grande, como os reais IR, não é possível calcular a probabilidade como uma frequencia. Teoria das Desições Financeiras II p.12/22

39 Problemas! A primeira noção de probailidade que temos é a frequencia, exemplo qual é probabilidade de as faces dos dados somar 7 no ex. 4. Quando o conjunto é muito grande, como os reais IR, não é possível calcular a probabilidade como uma frequencia. Porem a maioria de experimentos em finanças pode ter um continuo de possibilidades, podendo tornar impossível o uso de frequencias. Teoria das Desições Financeiras II p.12/22

40 Problemas! A primeira noção de probailidade que temos é a frequencia, exemplo qual é probabilidade de as faces dos dados somar 7 no ex. 4. Quando o conjunto é muito grande, como os reais IR, não é possível calcular a probabilidade como uma frequencia. Porem a maioria de experimentos em finanças pode ter um continuo de possibilidades, podendo tornar impossível o uso de frequencias. Uma solução a este prolema e definir a probabilidade em conjuntos menos complexos Teoria das Desições Financeiras II p.12/22

41 Definições A é uma algebra se satisfaz: 1. A e Ω A, Teoria das Desições Financeiras II p.13/22

42 Definições A é uma algebra se satisfaz: 1. A e Ω A, 2. Se A A então A c A, onde A c denota o complemento de A em relação a Ω, Teoria das Desições Financeiras II p.13/22

43 Definições A é uma algebra se satisfaz: 1. A e Ω A, 2. Se A A então A c A, onde A c denota o complemento de A em relação a Ω, 3. Se A 1, A 2,..., A n A, então n i=1 A i A Teoria das Desições Financeiras II p.13/22

44 Definições A é uma algebra se satisfaz: 1. A e Ω A, 2. Se A A então A c A, onde A c denota o complemento de A em relação a Ω, 3. Se A 1, A 2,..., A n A, então n i=1 A i A Teoria das Desições Financeiras II p.13/22

45 Definições Dizemos que A é uma σ algebra se satisfaz (1), (2) e no lugar de (3) satisfaz Teoria das Desições Financeiras II p.14/22

46 Definições Dizemos que A é uma σ algebra se satisfaz (1), (2) e no lugar de (3) satisfaz se A 1, A 2, A 3,... A, então A i A e A i A i=1 i=1 Teoria das Desições Financeiras II p.14/22

47 Definições Dizemos que A é uma σ algebra se satisfaz (1), (2) e no lugar de (3) satisfaz se A 1, A 2, A 3,... A, então A i A e A i A i=1 i=1 Dado qualquer subconjunto C de P(Ω), temos que a σ algebra gerada por C, denotada por σ(c), é a menor σ algebra que contem C. Teoria das Desições Financeiras II p.14/22

48 Exemplos A = {, Ω} é a σ algebra trivial Teoria das Desições Financeiras II p.15/22

49 Exemplos A = {, Ω} é a σ algebra trivial A subconjunto, então σ(a) = {, A, A c, Ω} Teoria das Desições Financeiras II p.15/22

50 Exemplos A = {, Ω} é a σ algebra trivial A subconjunto, então σ(a) = {, A, A c, Ω} Se Ω = IR, a σ algebra de Borel é a σ algebra gerada pelos conjuntos abertos, ou pelos fechados. Teoria das Desições Financeiras II p.15/22

51 Medida de Probabilidade Uma medida de probabilidade definida numa σ algebra A de Ω é uma função P : A [0, 1] que satisfaz: Teoria das Desições Financeiras II p.16/22

52 Medida de Probabilidade Uma medida de probabilidade definida numa σ algebra A de Ω é uma função P : A [0, 1] que satisfaz: P ( ) = 0 e P (Ω) = 1 Teoria das Desições Financeiras II p.16/22

53 Medida de Probabilidade Uma medida de probabilidade definida numa σ algebra A de Ω é uma função P : A [0, 1] que satisfaz: P ( ) = 0 e P (Ω) = 1 Para cada sequência (A n ) n 1 de elementos de A, disjuntos dois a dois, isto é se m n, então A n A m =, temos que P ( A n ) = P (A n ) n=1 n=1 Teoria das Desições Financeiras II p.16/22

54 Independência A partir de agora dado um Ω, uma σ algebra F e uma probabilidade P definida em F, nos referiremos à tripla (Ω, F, P ) como espaço de probabilidade. Teoria das Desições Financeiras II p.17/22

55 Independência A partir de agora dado um Ω, uma σ algebra F e uma probabilidade P definida em F, nos referiremos à tripla (Ω, F, P ) como espaço de probabilidade. Suponhamos que o evento B ha ocontecido, então denotemos por P (A/B) a probabilidade de que aconteça A dado que aconteceu B, Teoria das Desições Financeiras II p.17/22

56 Independência A partir de agora dado um Ω, uma σ algebra F e uma probabilidade P definida em F, nos referiremos à tripla (Ω, F, P ) como espaço de probabilidade. Suponhamos que o evento B ha ocontecido, então denotemos por P (A/B) a probabilidade de que aconteça A dado que aconteceu B, então P (A/B) nf n(a B) nf n (B) Onde f n (A) = #A n tomando limites teriamos que P (A/B) = P (A B) P (B). Teoria das Desições Financeiras II p.17/22

57 Independência Agora que pasaria se o evento A fosse independente de B no sentido de que a informação B ha acontecido em nada afeta a possível ocorrência de A. Teoria das Desições Financeiras II p.18/22

58 Independência Agora que pasaria se o evento A fosse independente de B no sentido de que a informação B ha acontecido em nada afeta a possível ocorrência de A. Então devemos ter que P (A/B) = P (A), Teoria das Desições Financeiras II p.18/22

59 Independência Agora que pasaria se o evento A fosse independente de B no sentido de que a informação B ha acontecido em nada afeta a possível ocorrência de A. Então devemos ter que P (A/B) = P (A), daqui P (A) = P (A B) P (B) Teoria das Desições Financeiras II p.18/22

60 Independência Agora que pasaria se o evento A fosse independente de B no sentido de que a informação B ha acontecido em nada afeta a possível ocorrência de A. Então devemos ter que P (A/B) = P (A), daqui P (A) = P (A B) P (B) ou P (A B) = P (A)P (B). Teoria das Desições Financeiras II p.18/22

61 Independência Agora que pasaria se o evento A fosse independente de B no sentido de que a informação B ha acontecido em nada afeta a possível ocorrência de A. Então devemos ter que P (A/B) = P (A), daqui P (A) = P (A B) P (B) ou P (A B) = P (A)P (B). Isto motiva a seguinte definição: Teoria das Desições Financeiras II p.18/22

62 Independência Dois eventos A e B são independentes se P (A B) = P (A)P (B). Teoria das Desições Financeiras II p.19/22

63 Independência Dois eventos A e B são independentes se P (A B) = P (A)P (B). Uma coleção de eventos (A i ) i I é uma coleção independente se para todo subconjunto finito J de I, temos P ( j J A j ) = j J P (A j ) Teoria das Desições Financeiras II p.19/22

64 Independência Exemplo Seja Ω = {1, 2, 3, 4} e A = P(Ω).., Teoria das Desições Financeiras II p.20/22

65 Independência Exemplo Seja Ω = {1, 2, 3, 4} e A = P(Ω). Seja P (i) = 1 4, i = 1,.., 4., Teoria das Desições Financeiras II p.20/22

66 Independência Exemplo Seja Ω = {1, 2, 3, 4} e A = P(Ω). Seja P (i) = 1 4, i = 1,.., 4. Seja A = {1, 2}, B = {1, 3}, C = {2, 3}, Teoria das Desições Financeiras II p.20/22

67 Independência Exemplo Seja Ω = {1, 2, 3, 4} e A = P(Ω). Seja P (i) = 1 4, i = 1,.., 4. Seja A = {1, 2}, B = {1, 3}, C = {2, 3}, então A, B, C são independentes dois a dois mais não são independentes. Teoria das Desições Financeiras II p.20/22

68 Probabilidade Condicionada Sejam A, B dois eventos e P (B) > 0. A probabilidade condicional de A dado B é P (A/B) = P (A B)/P (B). Teoria das Desições Financeiras II p.21/22

69 Probabilidade Condicionada Sejam A, B dois eventos e P (B) > 0. A probabilidade condicional de A dado B é P (A/B) = P (A B)/P (B). Teorema 1 Suponha que P (B) > 0 A e B são independentes se e somente se P (A/B) = P (A) A operação A P (A/B) de A [0, 1] define uma nova medida de probabilidade em A, chamada medida de probabilidade condicional dado B. Teoria das Desições Financeiras II p.21/22

70 Probabilidade Condicionada Teorema 2 (Teorema de Bayes) Seja (E n ) uma partição finita ou enumerável de Ω, e suponha P (A) > 0. Então P (E n /A) = P (A/E n )P (E n ) m P (A/E m)p (E m ) Teoria das Desições Financeiras II p.22/22