Teoria das Desições Financeiras II p.1/15

Transcrição

1 Teoria das Desições Financeiras II José Fajardo Barbachan IBMEC Business School Rio de Janeiro Teoria das Desições Financeiras II p.1/15

2 Probabilidade para Finanças Teoria das Desições Financeiras II p.2/15

3 Exercícios 1. No jogo de Craps dois dados são jogados. Se o jogador tira 7 ou 11 pontos ele ganha. Se ele tira 2,3 ou 12 ele perde. Nos outros casos ele continua jogando os dois dados até sair 7, caso em que ele ganha, ou então sair o primeiro resultado, caso em que ele ganha. descreva o espaço amostral Ω. Qual é a probabilidade dele ganhar? Teoria das Desições Financeiras II p.3/15

4 Exercícios 2. Suponha que a queda ou não da SELIC dependa da Inflação cair ou não. Admita-se que se a inflação caiu a SELIC cairá com probabilidade 0, 8 e se a inflação não cai a SELIC cairá com probabilidade 0, 1. Sabendo-se que a SELIC caiu, calcule a probabilidade de que a inflação cairá. Teoria das Desições Financeiras II p.4/15

5 Exercícios 2. Suponha que a queda ou não da SELIC dependa da Inflação cair ou não. Admita-se que se a inflação caiu a SELIC cairá com probabilidade 0, 8 e se a inflação não cai a SELIC cairá com probabilidade 0, 1. Sabendo-se que a SELIC caiu, calcule a probabilidade de que a inflação cairá. 3. Certo experimento consiste em lançar um dado equilibrado duas vezes, independentemente. Dado que os dois números sejam diferentes, qual é a probabilidade condicional da soma dos números ser 8? Teoria das Desições Financeiras II p.4/15

6 Exercícios 4. Durante o mês de junho a probabilidade de chuva é de 0, 3. O Flamengo perde um jogo em um dia com chuva com a probabilidade de 0,6; em um dia sem chuva com a probabilidade 0,8. Se o Flamengo perdeu um jogo em junho, qual é a probabilidade de que choveu nesse dia? Teoria das Desições Financeiras II p.5/15

7 Exercícios 4. Durante o mês de junho a probabilidade de chuva é de 0, 3. O Flamengo perde um jogo em um dia com chuva com a probabilidade de 0,6; em um dia sem chuva com a probabilidade 0,8. Se o Flamengo perdeu um jogo em junho, qual é a probabilidade de que choveu nesse dia? 5. José quer enviar sua dissertação a seu orientador que esta na França. A probabilidade de que José escreva a dissertação é 0,8. A probabilidade de que o correio não a perca é de 0,9. A probabilidade de que o carteiro a entregue é de 0,9. Dado que o orientador não recebeu a dissertação, qual é a probabilidade condicional de Teoria das Desições Financeiras II p.5/15 que José não tenha escrito?

8 Varíaveis Aleatórias Lembramos que apartir de agora estamos trabalhando num espaço de probabilidade (Ω, F, P ). Teoria das Desições Financeiras II p.6/15

9 Varíaveis Aleatórias Lembramos que apartir de agora estamos trabalhando num espaço de probabilidade (Ω, F, P ).Uma variável aleátoria X é definida como uma função de Ω em T IR. Teoria das Desições Financeiras II p.6/15

10 Varíaveis Aleatórias Lembramos que apartir de agora estamos trabalhando num espaço de probabilidade (Ω, F, P ).Uma variável aleátoria X é definida como uma função de Ω em T IR. Ela representa uma quantidade incerta, daqui o nome variável, que varia não como se fosse uma variável algebrica, isto é tomando valores deterministicos, pelo contrario dando eventos aleátorios. Teoria das Desições Financeiras II p.6/15

11 Varíaveis Aleatórias Lembramos que apartir de agora estamos trabalhando num espaço de probabilidade (Ω, F, P ).Uma variável aleátoria X é definida como uma função de Ω em T IR. Ela representa uma quantidade incerta, daqui o nome variável, que varia não como se fosse uma variável algebrica, isto é tomando valores deterministicos, pelo contrario dando eventos aleátorios. Exemplo: Ω = {c, c} X : Ω {0, 1} IR X({c}) = 1 e X({ c}) = 0 é uma varíavel aleatória (v.a.) Teoria das Desições Financeiras II p.6/15

12 Varíaveis Aleatórias Como definir a v.a. Y =Número de caras em n lances. Teoria das Desições Financeiras II p.7/15

13 Varíaveis Aleatórias Como definir a v.a. Y =Número de caras em n lances. Seja X i ({c}) = 1 e X i ({ c}) = 0 no i-esimo lance, daqui: Teoria das Desições Financeiras II p.7/15

14 Varíaveis Aleatórias Como definir a v.a. Y =Número de caras em n lances. Seja X i ({c}) = 1 e X i ({ c}) = 0 no i-esimo lance, daqui: Y = X 1 + X X n é a v.a. número de caras em n lances Teoria das Desições Financeiras II p.7/15

15 Varíaveis Aleatórias Como definir a v.a. Y =Número de caras em n lances. Seja X i ({c}) = 1 e X i ({ c}) = 0 no i-esimo lance, daqui: Y = X 1 + X X n é a v.a. número de caras em n lances Defina a v.a. Z=Soma das faces do lance de dois dados: Teoria das Desições Financeiras II p.7/15

16 Varíaveis Aleatórias Como definir a v.a. Y =Número de caras em n lances. Seja X i ({c}) = 1 e X i ({ c}) = 0 no i-esimo lance, daqui: Y = X 1 + X X n é a v.a. número de caras em n lances Defina a v.a. Z=Soma das faces do lance de dois dados: Lembremos que Ω = {(i, j) : i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.} Teoria das Desições Financeiras II p.7/15

17 Varíaveis Aleatórias Como definir a v.a. Y =Número de caras em n lances. Seja X i ({c}) = 1 e X i ({ c}) = 0 no i-esimo lance, daqui: Y = X 1 + X X n é a v.a. número de caras em n lances Defina a v.a. Z=Soma das faces do lance de dois dados: Lembremos que Ω = {(i, j) : i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.} Z((i, j)) = i + j Teoria das Desições Financeiras II p.7/15

18 Varíaveis Aleatórias em Espaços Enumeráveis No caso que Ω seja enumerável podemos definir a distribuição de X da seguinte forma: P (X = j) = {ω i :X(ω i )=j} p i, Teoria das Desições Financeiras II p.8/15

19 Varíaveis Aleatórias em Espaços Enumeráveis No caso que Ω seja enumerável podemos definir a distribuição de X da seguinte forma: P (X = j) = {ω i :X(ω i )=j} p i, onde p i =probabilidade de acontecer ω i. Teoria das Desições Financeiras II p.8/15

20 Varíaveis Aleatórias em Espaços Enumeráveis No caso que Ω seja enumerável podemos definir a distribuição de X da seguinte forma: P (X = j) = {ω i :X(ω i )=j} onde p i =probabilidade de acontecer ω i. Neste caso a distribuição de X será p i, P (X A) = j A P (X = j) Teoria das Desições Financeiras II p.8/15

21 Varíaveis Aleatórias em Espaços Enumeráveis No caso que Ω seja enumerável podemos definir a distribuição de X da seguinte forma: P (X = j) = {ω i :X(ω i )=j} onde p i =probabilidade de acontecer ω i. Neste caso a distribuição de X será p i, P (X A) = j A P (X = j) Como fizemos no Exerc. 1 Teoria das Desições Financeiras II p.8/15

22 Exemplos X é Poisson com parametro λ. Teoria das Desições Financeiras II p.9/15

23 Exemplos X é Poisson com parametro λ. Então X : Ω IN, e P (X A) = j A P (X = j) = j A λ j e λ j! Teoria das Desições Financeiras II p.9/15

24 Exemplos X é Poisson com parametro λ. Então X : Ω IN, e P (X A) = j A P (X = j) = j A λ j e λ j! é fácil provar que j=0 P (X = j) = 1. Teoria das Desições Financeiras II p.9/15

25 Exemplos X é Poisson com parametro λ. Então X : Ω IN, e P (X A) = j A P (X = j) = j A λ j e λ j! é fácil provar que j=0 P (X = j) = 1. Esta distribuição pode modelar o número de pessoas que chega a uma fila num banco, Teoria das Desições Financeiras II p.9/15

26 Exemplos X é Poisson com parametro λ. Então X : Ω IN, e P (X A) = j A P (X = j) = j A λ j e λ j! é fácil provar que j=0 P (X = j) = 1. Esta distribuição pode modelar o número de pessoas que chega a uma fila num banco, ou o número de inadimplentes numa determinada carteira de empréstimos. Teoria das Desições Financeiras II p.9/15

27 Exemplos X é de Bernoulli, se X toma somente dois valores 0 e 1, Teoria das Desições Financeiras II p.10/15

28 Exemplos X é de Bernoulli, se X toma somente dois valores 0 e 1, este caraterístico númerico corresponde a um experimento com dois possíveis resultados erro ou acerto. Teoria das Desições Financeiras II p.10/15

29 Exemplos X é de Bernoulli, se X toma somente dois valores 0 e 1, este caraterístico númerico corresponde a um experimento com dois possíveis resultados erro ou acerto. É comun asignar as seguintes probabilidades: P (X = 1) = p e P (X = 0) = 1 p Teoria das Desições Financeiras II p.10/15

30 Exemplos X é de Bernoulli, se X toma somente dois valores 0 e 1, este caraterístico númerico corresponde a um experimento com dois possíveis resultados erro ou acerto. É comun asignar as seguintes probabilidades: P (X = 1) = p e P (X = 0) = 1 p Daqui, qual sería a distribuição da variavél Y = número de lances até o primer acerto?, Teoria das Desições Financeiras II p.10/15

31 Exemplos X é de Bernoulli, se X toma somente dois valores 0 e 1, este caraterístico númerico corresponde a um experimento com dois possíveis resultados erro ou acerto. É comun asignar as seguintes probabilidades: P (X = 1) = p e P (X = 0) = 1 p Daqui, qual sería a distribuição da variavél Y = número de lances até o primer acerto?, (esta é chamada de distribuição Geometrica). Teoria das Desições Financeiras II p.10/15

32 Exemplos Agora modelemos a seguinte variável X = número de acertos em n tentativas, Teoria das Desições Financeiras II p.11/15

33 Exemplos Agora modelemos a seguinte variável X = número de acertos em n tentativas, X pode tomar valores em {0, 1, 2,..., n}. Teoria das Desições Financeiras II p.11/15

34 Exemplos Agora modelemos a seguinte variável X = número de acertos em n tentativas, X pode tomar valores em {0, 1, 2,..., n}. a distribuição será P (X = k) = ( n k ) p k (1 p) n k, Teoria das Desições Financeiras II p.11/15

35 Exemplos Agora modelemos a seguinte variável X = número de acertos em n tentativas, X pode tomar valores em {0, 1, 2,..., n}. a distribuição será P (X = k) = ( n k ) p k (1 p) n k, esta distribuição é denominada distribuição Binomial de parametros p e n. Teoria das Desições Financeiras II p.11/15

36 Exemplos Agora modelemos a seguinte variável X = número de acertos em n tentativas, X pode tomar valores em {0, 1, 2,..., n}. a distribuição será P (X = k) = ( n k ) p k (1 p) n k, esta distribuição é denominada distribuição Binomial de parametros p e n. Agora defino, Y i =1 se acerto no i esimo lance e 0 caso contrario, Teoria das Desições Financeiras II p.11/15

37 Exemplos Agora modelemos a seguinte variável X = número de acertos em n tentativas, X pode tomar valores em {0, 1, 2,..., n}. a distribuição será P (X = k) = ( n k ) p k (1 p) n k, esta distribuição é denominada distribuição Binomial de parametros p e n. Agora defino, Y i =1 se acerto no i esimo lance e 0 caso contrario, qual sería a distribuição de Z = n i=1 Y i? Teoria das Desições Financeiras II p.11/15

38 Exemplos Uma distribuição muito conhecida em economia é a distribuiçaõ de Pareto, o nome é devido a que foi Vilfredo Pareto o primeiro a usar esta distribuição para modelar a distribuição de renda. Teoria das Desições Financeiras II p.12/15

39 Exemplos Uma distribuição muito conhecida em economia é a distribuiçaõ de Pareto, o nome é devido a que foi Vilfredo Pareto o primeiro a usar esta distribuição para modelar a distribuição de renda. X toma valores em IN, onde P (X = j) = a j α+1 Teoria das Desições Financeiras II p.12/15

40 Exemplos Uma distribuição muito conhecida em economia é a distribuiçaõ de Pareto, o nome é devido a que foi Vilfredo Pareto o primeiro a usar esta distribuição para modelar a distribuição de renda. X toma valores em IN, onde P (X = j) = a j α+1 com α > 0 sendo um parametro fixo, e a é uma constante tal que P (X = j) = 1 j. Teoria das Desições Financeiras II p.12/15

41 Exemplos A seguinte função é conhecida como a Função Zero de Riemann Teoria das Desições Financeiras II p.13/15

42 Exemplos A seguinte função é conhecida como a Função Zero de Riemann ζ(s) = k=1 1 k s, s > 1, Teoria das Desições Financeiras II p.13/15

43 Exemplos A seguinte função é conhecida como a Função Zero de Riemann daqui a = 1 ζ(α+1), e ζ(s) = k=1 1 k s, s > 1, Teoria das Desições Financeiras II p.13/15

44 Exemplos A seguinte função é conhecida como a Função Zero de Riemann daqui a = 1 ζ(α+1), e ζ(s) = k=1 1 k s, s > 1, P (X = j) = 1 ζ(α + 1)j α+1 Teoria das Desições Financeiras II p.13/15

45 Esperança e Variância Dada a distribuição de uma variável podemos definir dois constantes importantes, Teoria das Desições Financeiras II p.14/15

46 Esperança e Variância Dada a distribuição de uma variável podemos definir dois constantes importantes, Definição Seja uma variável aleatória real num espaço enumerável Ω. A esperança de X, denotada por E(X), é definida por E(X) = i X(ω i )p i Teoria das Desições Financeiras II p.14/15

47 Esperança e Variância Dada a distribuição de uma variável podemos definir dois constantes importantes, Definição Seja uma variável aleatória real num espaço enumerável Ω. A esperança de X, denotada por E(X), é definida por E(X) = i X(ω i )p i Seja L 1 o espaço das variáveis aleatórias reais que tem esperança finita, então: Se X e X 2 pertencem a L 1. Teoria das Desições Financeiras II p.14/15

48 Esperança e Variância Dada a distribuição de uma variável podemos definir dois constantes importantes, Definição Seja uma variável aleatória real num espaço enumerável Ω. A esperança de X, denotada por E(X), é definida por E(X) = i X(ω i )p i Seja L 1 o espaço das variáveis aleatórias reais que tem esperança finita, então: Se X e X 2 pertencem a L 1. A variância de X é definida como: σ 2 X E(X E(X))2 Teoria das Desições Financeiras II p.14/15

49 Exercícios Se X é Geometrica(p), calcule E(X) e E(1/X). Teoria das Desições Financeiras II p.15/15

50 Exercícios Se X é Geometrica(p), calcule E(X) e E(1/X). Se X é Poisson(λ), λ > 0 e inteiro. Encontre E(X), V ar(x) e E X λ. Teoria das Desições Financeiras II p.15/15

51 Exercícios Se X é Geometrica(p), calcule E(X) e E(1/X). Se X é Poisson(λ), λ > 0 e inteiro. Encontre E(X), V ar(x) e E X λ. Se X é Poisson(λ), que valor de λ maximiza P (X = j) para j fixo? Teoria das Desições Financeiras II p.15/15