ANOVA - parte I Conceitos Básicos

Transcrição

1 ANOVA - parte I Conceitos Básicos Erica Castilho Rodrigues 9 de Agosto de 2011 Referências: Noções de Probabilidade e Estatística - Pedroso e Lima (Capítulo 11). Textos avulsos.

2 Introdução

3 3 Introdução

4 Vimos na aula passada como comparar médias de duas populações. A Análise de Variância (ANOVA) permite comparar a média de três ou mais populações. Existem diferentes tipos. De acordo com a forma como foi feito o planejamento do experimento. Vamos apresentar alguns conceitos básicos de planejamento de experimentos e análise de variância.

5 5 Tratamento Condição imposta ou objeto que se deseja medir ou avaliar. Normalmente, em um experimento, é utilizado mais de um tratamento. Exemplos: equipamentos de diferentes marcas; diferentes tamanhos de peças; doses diferentes de um nutriente; diferentes temperaturas de armazenamento. Outros exemplos?

6 6 Tratamentos quantitativos Podem ser dispostos em uma ordem. Exemplos: doses de nutrientes; quantidade de lubrificantes; níveis de temperatura. Tratamentos qualitativos Não podem ser dispostos em uma ordem. Exemplos: variedades de plantas; métodos de preparação de alimentos; marcas de equipamentos.

7 Cada tipo de tratamento é chamado de fator. Exemplo: diferentes temperaturas de armazenamento - um fator; diferentes temperaturas e grau de umidade no armazenamento - dois fatores. Exemplo: diferentes faixas etárias - um fator; diferentes faixas etárias e sexo - dois fatores.

8 8 Se queremos analisar apenas uma variável independentes: temos apenas um fator. Se queremos analisar duas variáveis independentes: temos dois fatores. Um fator pode ter várias categorias; elas são chamadas de níveis.

9 9 Exemplo Considere o processo de produção de uma fibra sintética. O experimentador quer conhecer a influência da porcentagem de algodão na resistência da fibra. Diversos níveis de porcentagem de algodão foram avaliados com respeito à resistência da fibra. Para cada nível diferente foram coletadas 5 unidades.

10 10 Exemplo (continuação) Os dados são mostrados a seguir: Porcentagem de algodão Resistência da Fibra Qual o número de fatores? Um - diferentes porcentagens de algodão. Quantos níveis diferentes tem esse fator? Cinco.

11 Exemplo Considere a produção de limpadores de pára-brisas para automóveis. A empresa quer investigar: como o Tipo de caixa redutora e o tipo de eixo influenciam no ruído produzido. 54 motores foram analisados. Com 2 tipos de caixa redutoras e 3 tipos de eixos. Para cada motor foi medido o ruído.

12 Exemplo (continuação) Os dados são apresentados a seguir: Qual o número de fatores? Dois - tipo de caixa e tipo de eixo. Quantos níveis tem cada fator? Tipo de caixa - 2 níveis. Tipo de eixo - 3 níveis.

13 13 Observações Toda quantidade que não for um fator e influenciar na variável de interesse deve ser mantida constante. No exemplo da fibra: suponha que a temperatura de fabricação influencia na resistência; todas peças devem ser produzidas com a mesma temperatura. No exemplo do carro: suponha que o tipo de vidro influencia na quantidade de ruído; todos automóveis devem ter o mesmo tipo de vidro.

14 Unidade experimental Unidade onde é feita a aplicação do tratamento. Fornece os dados para serem avaliados. Exemplos: uma peça; o motor do carro; uma porção de algum alimento.

15 15 As unidades experimentais podem ser formadas por grupos ou indivíduos. Exemplo: suponha que estamos trabalhando com animais; podemos ter apenas um animal como unidade - cada animal fornece informação individualmente; podemos ter um grupo de animais como unidade - os animais dentro de uma gaiola fornecem informação conjuntamente.

16 16 Repetição Número de vezes que um tratamento aparece no experimento. Quantas unidades por nível do tratamento são utilizadas. No exemplo da fibras Porcentagem de algodão Resistência da Fribra Temos 5 repetições.

17 O número de repetições vai depender: dos recursos disponíveis; do tipo de experimento; variabilidade do experimento ou da variável resposta. Existem várias metodologias para se estimar o número satisfatório de repetições. Não veremos isso nesse curso.

18 18 Variável resposta ou dependente Variável de interesse do pesquisador. Exemplo da fibra - resistência. Exemplo dos automóveis - ruído. Erro experimental Diferença entre o valor real e aquele estimado.

19 19 Delineamento experimental Forma como os tratamentos ou níveis de um fator são designados às unidades experimentais. Tem como finalidade reduzir o erro experimental. Saber como o experimento foi conduzido é muito importante.

20 20 Pequenas modificações podem acarretar em grandes mudanças na forma da análise estatística. Pode ser que as hipóteses formuladas não possam ser testadas. No caso da fibras, se não controlarmos a temperatura: não poderemos dizer se a diferença na resistência é devido às porcentagens diferentes de algodão ao às diferenças na temperatura. Um delineamento experimental é planejado de tal forma que: a variação ao acaso seja menor possível.

21 Principais delineamentos experimentais: delineamento completamente casualizado; delineamento em blocos casualizados; quadrados latinos.

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24 Seja Y ij a observação do i-ésimo tratamento na j-ésima unidade experimental. Y ij pode ser modelado como onde Y ij = µ i +ǫ ij i = 1,...,K j = 1,...,m µi é a média do i-ésimo tratamento; ǫij é o erro associado com o i-ésimo tratamento na j-ésima parcela amostral. Assume-se que os ǫ ij são independentes e identicamente distribuídos ǫ ij N(0,σ 2 ).

25 25 Em um experimento queremos testar: H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ K H 1 : pelo menos uma das médias µ i é diferente das demais. Vejamos como o teste é feito através de um exemplo.

26 26 Exemplo Deseja-se estudar peso das cargas que chegam a um terminal.. O terminal recebe 4 tipos de cargas: doméstica (D), administrativa (A), equipamentos industriais (E), outros tipos (O). Deseja-se verificar se: em média, existem diferenças entre os pesos dos 4 tipos de cargas. Quantos fatores tem esse experimento? Um - tipo da carga. Quantos níveis tem esse fator? Quatro.

27 Exemplo (continuação) As cargas foram coletadas aleatoriamente ao longo de um mês. Os dados encontram-se na tabela a seguir: Considere o nível de 5% para testar a hipótese de interesse.

28 28 Exemplo (continuação) As medidas descritivas para os dados são: As cargas do grupo E tendem a ter maior peso. O menor peso é observado para cargas do tipo D. Os desvios padrões são aproximadamente iguais.

29 29 Exemplo (continuação) Apresentamos a seguir os boxplots para os quatro grupos D A E O O que pode-se observar? As cargas E são maiores (maior mediana). As cargas D são menores. As cargas A apresentam menor variabilidade. As cargas A possuem dois outliers.

30 30 Exemplo (continuação) Vamos considerar o modelo estatístico em que cada Y pode ser separado em : parte sistemática; parte aleatória. Parte sistemática: tendência geral. Parte aleatória: características individuais.

31 31 Exemplo (continuação) Podemos escrever matematicamente onde Y = µ+ǫ Y representa a observação associada a uma unidade experimental; µ é a componente sistemática, média populacional, fixa; ǫ é componente aleatória - absorve a informação referente a outros fatores que podem influir nas observações mas não são incorporadas em µ.

32 32 Para se comparar as médias de k populações pode-se definir as seguintes hipóteses: H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k H 1 : pelo menos uma média µ i é diferente das demais. Precisamos de k amostras independentes. Cada uma com m indivíduos.

33 33 O modelo estatístico para a j-ésima unidade amostral na i-ésima população é Y ij = µ }{{} i + ǫ ij }{{} efeito da população efeito do indivíduo i = 1,...,K; j = 1,...,m.

34 34 Suponha que H 0 seja verdadeira. Todas as médias para as K populações são iguais µ 1 = µ 2 = = µ k = µ. O modelo pode ser escrito como Y ij = µ + ǫ }{{} ij }{{} efeito da população efeito do indivíduo i = 1,...,K; j = 1,...,m.

35 35 Queremos comparar os modelos: Modelo 1: Y ij = µ i +ǫ ij Modelo 0: Y ij = µ+ǫ ij O Modelo 1 diz que as médias são diferentes. O Modelo 0 diz que as médias são iguais.

36 36 Isso é feito comparando-se: variância entre as amostras - variância devido ao tratamento; variância dentro das amostras - variância devido ao erro, de uma unidade para a outra. Se a variância entre as amostras é grande: indica que as médias devem ser diferentes. Se a variância entre as amostras é pequena: indica que as médias devem ser iguais.

37 37 Estatística de teste F = variância entre amostras variancia dentro das amostras. Compara variabilidade dentre as amostras com a variabilidade entre as amostras. Se F é pequena: variabilidade pequena entre as amostras comparada com variabilidade dentro; indica que as médias são iguais. Se F é grande variabilidade grande entre as amostras comparada com variabilidade dentro; indica que as médias são diferentes.