Probabilidade e Estatística

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1 Probabilidade e Estatística Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva

2 Introdução A análise de variância (Anova) é utilizada para comparar médias de três ou mais populações. As hipóteses são: H o : H : pelo menos uma das médias é diferente das outras Premissas da Anova: As populações têm a mesma variância; As amostras são retiradas de populações com distribuição normal; As amostras são aleatórias e independentes.

3 Experimentos com um fator Valores para ANOVA com um fator Observações Grupos (ratamentos) 3 k x x x 3 x x x x 3 x k 3 x 3 x 3 x 33 x k3... otal 3 k

4 Experimentos com um fator O objetivo da análise de variância para experimentos com um fator é comparar a variação devida aos tratamentos (entre os grupos) com a variação devida ao acaso (dentro do grupo, também chamado de variação residual). A variação entre os grupos tem o objetivo de verificar se as amostras de cada grupo são provenientes de populações diferentes.

5 Experimentos com um fator Supõe-se que cada resposta x ij é dada pelo modelo matemático: x ij = μ + α k + ε ij Onde: μ é a média α k é o efeito do grupo k (variação devida aos tratamentos) ε ij é o resíduo (erro aleatório, por exemplo, erro de medida)

6 Experimentos com um fator Procedimentos: º) Enunciar as hipóteses H o e H º) Fixar o nível de significância α 3º) Determinar F crit na distribuição F com (k ) graus de liberdade no numerador e (N k) graus de liberdade no denominador k = n o total de grupos N = n o total de observações α F crit

7 Experimentos com um fator 4º) Determinar a soma quadrática total SQ = k n i= j= x ij - N i = k i= i N = k i= n i 5º) Determinar a soma quadrática entre os grupos k SQE = i - i= ni N 6º) Determinar a soma quadrática dentro dos grupos (resíduos) SQR = SQ - SQE

8 Experimentos com um fator 7º) Montar o quadro para Anova Fonte de variação Graus de liberdade Soma quadrática Quadrado médio F calc Entre os grupos k SQE QME = SQE/(k ) QME/QMR Dentro do grupo (Resíduos) N k SQR QMR = SQR/(N k) otal N SQ 8º) Se F calc < F crít aceitar a hipótese H o

9 Experimentos com um fator Exemplo A tabela abaixo apresenta o tempo (em minutos) que 4 máquinas levou para realizar um determinado serviço. Supondo que os tempos das máquinas estão normalmente distribuídos e que as variâncias são iguais, é possível afirmar ao nível de significância de 5% que os tempos médios das máquinas são significativamente diferentes? repetições Máquinas (Grupos) N o rep Média

10 Experimentos com um fator Exemplo H o : as médias são iguais H : pelo menos uma das médias é diferente das outras abela de x ij repetições Máquinas (Grupos)

11 Experimentos com um fator Quadro para Anova Fonte de variação Exemplo Graus de liberdade Soma quadrática Quadrado médio F calc Entre os grupos 4 = 3 63,75 QME = 54,55 7,79 Dentro do grupo (Resíduos) 0 4 = 6,00 QMR = 7,00 otal 0 = 9 75,75 Com 3 graus de liberdade no numerador, 6 graus de liberdade no denominador e α = 5% tem-se F crit = 3,4. Como F calc > F crit, rejeita H o, ou seja, existe pelo menos um tempo médio diferente, ao nível de 5% de significância.

12 Experimentos com um fator Exemplo Uma loja de departamento está interessada em saber se existe diferença entre as quantias médias faturadas, através de três formas de pagamento: dinheiro (D), cheque (C) e cartão de crédito (CC). Um levantamento das vendas (em milhares de reais), em um dado período de tempo foi realizado com os resultados apresentados na tabela. Assumindo distribuição normal e que as variâncias são iguais para os três grupos, verifique se existem diferenças significativas entre as médias, ao nível de confiança de 95%. Formas de pagamento D C CC 56,00 80,90 73,5 0,50 5,9 56,65 37,37 40,95 3, 8,64 7,65 56,50 3,47 37,9 60,3 44,65 60,00 40,64 4,5 498,58 43,9 n = 4; n = 7; n 3 = 7; N= 8 = 4,5; = 498,58 3 = 43,9; = 073,8

13 Experimentos com um fator Exemplo abela de x ij Forma de pagamento D C CC 336, ,8 5365,56 40,5 630,66 309, 396,5 676,90 580,70 80,5 578,0 39,5 7548,30 390, ,50 993,6 3600,00 65,6 5773,0 4097,9 3983, ,73 SQ = 4677,63 SQE = 373,9 SQR = 470,7 QME = 6,5 QMR = 456,03 F calc = 0,03 F crit = 3,68 (α = 5%) Aceita H o

14 Experimentos com um fator Exemplo 3 Foi utilizado três lubrificantes diferentes em máquinas para produção de peças. A tabela apresenta as perdas de massa (em miligramas) das peças por atrito para cada lubrificante. Supondo que os dados estão distribuidos normalmente e que as variâncias são iguais, ao nível de significância de %, as diferenças entre as médias são significativas? Lubrificantes A B C

15 Experimentos com um fator Exemplo 3 abela de x ij Lubrificantes A B C SQ = 59,43 SQE = 3,30 SQR = 7,3 MQE = 3,30/ = 6,5 MQR = 7,3/5 = 5,08 F cal = 6,5/3,8 = 3,8 F crit = 5,57 (α = %) Aceita H o

16 Experimentos com um fator Exemplo 4 A tabela abaixo apresenta a resistência de ruptura realizada em amostras de duas marcas diferentes de fio dental. Marca Resistência (Pa) Média A 0, 3,0 4, 9,4,4 0, ,5 B,3 7,4,6 8,8, 0,6 6,4 0,4 8,0 0,8 9,9 Considerando que os dados estão normalmente distribuídos e que as variâncias são iguais, podese afirmar, ao nível de,5% de significância, que a resistência média do fio dental da marca A é significativamente superior à resistência média da marca B?

17 Experimentos com dois fatores São considerados, agora, dois tratamentos. Este tipo de experimentos também recebe o nome de delineamento de blocos aleatórios, pois as unidades experimentais são obtidas aleatoriamente para cada combinação de tratamentos

18 Experimentos com dois fatores Valores para ANOVA com dois fatores Fator A Fator B Nível Nível Nível 3 Nível b otal Nível x x x 3 x b A Nível x x x 3 x b A Nível 3 x 3 x 3 x 33 x 3b A 3... Nível a x a x a x a3 x ab A a otal B B B 3 B b

19 Experimentos com dois fatores O modelo matemático é: x ij = μ + α i + β j + ε ij Onde: x ij é o valor esperado com o efeito do i-ésimo nível do fator A e do j-ésimo nível do fator B μ é a média (constante) α i é o efeito do i-ésimo nível do fator A β j é o efeito do j-ésimo nível do fator B ε ij é o resíduo (efeito do erro aleatório)

20 Experimentos com dois fatores As hipóteses são: ) Efeito do Fator A: H H H H o : = =... = : pelomenosum ) Efeito do Fator B: o : = =... = : pelomenosum b a = 0 i = 0 j 0 0

21 Experimentos com dois fatores Quadro para ANOVA com dois fatores Fonte de variação Graus de liberdade Soma quadrática Quadrado médio F calc Fator A a SQ A QM A = SQ A /(a ) QM A /QM R Fator B b SQ B QM B = SQ B /(b ) QM B /QM R Resíduos (a ).(b ) SQ R QM R = SQ R /(a ).(b ) otal ab SQ -

22 Experimentos com dois fatores Os valores para cálculo são: SQ = a b i= j= x ij - a sendo: = i= ab A i SQ = a A b j = A j - ab SQ b B = a i = B i - ab SQ R = SQ SQ A SQ B

23 Experimentos com dois fatores Exemplo A tabela abaixo apresenta o número de peças defeituosas produzidas por quatro operários trabalhando em três máquinas diferentes. Faça uma análise de variância considerando os dois fatores (máquinas e operários) utilizando 5% de significância. Máquinas Operários B B B 3 B 4 otal A A A otal

24 Experimentos com dois fatores abela de x ij Exemplo Máquinas Operários B B B 3 B 4 otal A A A otal SQ = a b i= j= x ij - ab = = 8,9 SQ = a A b j = A j - ab = 4 ( ) - 45 = 7,7 SQ = b B a i = B i - ab = 3 ( ) - 45 = 4,9 SQ R = SQ SQ A SQ B = 8,9 7,7 4,9 = 60,83

25 Experimentos com dois fatores Fonte de variação Graus de liberdade Exemplo Quadro para ANOVA com dois fatores Máquinas (Fator A) Operários (Fator B) Soma quadrática Quadrado médio 3 = 7,7 3,58 4 = 3 4,9 7,64 F calc 3,58/0,4 = 0,35 7,64/0,4 = 7,06 F crítico 5,4 4,76 Resíduos.3 = 6 60,83 0,4 - - otal 8, Como F calc = 0,35 < F crit = 5,4 conclui-se que o fator máquina não influencia ao nivel de significância de 5% na igualdade das médias Como F calc = 7,06 > F crit = 4,76 conclui-se que o fator operários influencia ao nível de significância de 5% na igualdade das médias

26 Experimentos com dois fatores repetidos O modelo matemático é: x ij = μ + α i + β j + (αβ) ij + ε ij Onde: x ij é o valor esperado com o efeito do i-ésimo nível do fator A e do j-ésimo nível do fator B μ é a média (constante) α i é o efeito do i-ésimo nível do fator A β j é o efeito do j-ésimo nível do fator B (αβ) ij é o efeito da interação entre α i e β j ε ij é o resíduo (efeito do erro aleatório)

27 Experimentos com dois fatores repetidos O modelo matemático das médias é: x μ ij ij = μ ij + ε = μ+ i ij +β j + ( β) ij

28 Experimentos com dois fatores repetidos As hipóteses são: ) Efeito do Fator A: H : = =... = H H 3) Efeito da interação: H : ( ) = 0 para todo H o o : pelomenosum ) Efeito do Fator B: H o : = ij =... = : pelomenosum = 0 : pelomenosum( ) b a i = 0 j 0 0 ij i,j 0

29 Experimentos com dois fatores repetidos Fator A Nível Nível Fator B Nível Nível Nível 3 Nível b x x x 3 x b x r x r x 3r x br x x x 3 x b otal A A x r x r x 3r x br... Nível a x a x a x a3 x ab A a x ar x ar x a3r x abr otal B B B 3 B b

30 Experimentos com dois fatores repetidos Quadro para ANOVA Fonte de variação Graus de liberdade Soma quadrática Quadrado médio F calc Fator A a SQ A QM A = SQ A /(a ) QM A /QM R Fator B b SQ B QM B = SQ B /(b ) QM B /QM R Interação (a ).(b ) SQ I QM I = SQ I /(a ).(b ) QM I /QM R Resíduos a.b.(r ) SQ R QM R = SQ R /a.b.(r ) - otal a.b SQ - -

31 Experimentos com dois fatores repetidos Os valores para cálculo são: SQ = a b i= j= r k= x ijk - abr SQ = a A br j = A j - abr SQ b = B ar B i - i = abr a b SQI = Sij - - SQA - SQ r abr i= j= SQ R = SQ SQ A SQ B SQ R B sendo: S r ij = x ijk k=

32 Experimentos com dois fatores repetidos Exemplo A tabela apresenta as resistências à compressão (MPa) para argamassas produzidas com dois tipos de areia e com três consumos de cimento diferentes. Avaliar a influência das variáveis na média das resistências ao nível de significância de 5%. Consumo de cimento (kg/m 3 ) A ipo de areia - B Natural Britada 3,6 4,3 3,69 4,96 3,64 4,3 3,69 4,4 3,69 4,7,63,55,73,44,66,57,64,48,49,58 0,57,0 0,56,04 0,58,3 0,55,9 0,56, 40,6 5,77 8,3 9,30 34,94 64,4

33 Experimentos com dois fatores repetidos Exemplo abela de x ij Consumo de cimento (kg/m 3 ) A Natural ipo de areia - B Britada 3,0 7,89 3,6 4,60 3,5 7,06 3,6 7,98 3,6 8,3,66,40,99,07,76,46,69,9,,50 0,3,0 0,3,08 0,34,8 0.30,4 0,3,5 8,8 3,43 95,4

34 Experimentos com dois fatores repetidos Exemplo SQ = a b i= j= r k= x ijk - abr = 95,4-64,4 30 = 57,68 SQ = a A br j = A j - abr = 0 (40,6 + 5,77 + 8,3 ) - 64,4 30 = 55,50 b SQ B = ar i = a b B i - abr = 5 (9,30 SQI = Sij - - SQA - SQ r abr SQ I = 5 i= j= (8,33 +,83 + 8,5 + 7,6 + 34,94 SQ R = SQ SQ A SQ B SQ R = 0, B = +,8 + 5,49 64,4 ) ,4 ) - 30 =,06-55,50 -,06 = 0,9

35 Experimentos com dois fatores repetidos Exemplo Quadro para ANOVA Fonte de variação Graus de liberdade Soma quadrática Quadrado médio F calc F crit Fator A 55,50 QM A = 7,75 37,43 3,40 Fator B,06 QM B =,06,4 4,6 Interação 0,9 QM I = 0,45 5,43 3,40 Resíduos 4 0, QM R = 0, otal 9 57, Logo, o tipo de areia, o consumo de cimento e a interação do tipo de areia e consumo de cimento influenciam no resultado da resistência à compressão.