Planejamento e Análise de Experimentos: Experimento sobre o crescimento de bolos

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1 Planejamento e Análise de Experimentos: Experimento sobre o crescimento de bolos Tatiana Alves Costa Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos, 6627, Belo Horizonte tatiana@decea.ufop.br Resumo O presente trabalho descreve as etapas de planejamento e análise realizados para testar a influência de alguns fatores no crescimento de um bolo. São considerados três fatores, com dois níveis cada, sendo eles: marca da massa do bolo (mais barata/mais cara), pré-aquecimento do forno(sim/não) e quantidade de leite (menor/maior que o nominal). A fase de planejamento foi realizada utilizando-se um planejamento fatorial 2 3. Já a etapa de análise estatística dos dados e a obtenção de conclusões foi realizada com o auxílio de uma ANOVA gerada para este tipo de planejamento. Testes a posteriori foram realizados para validar o modelo gerado e para visualizar a influência dos fatores/níveis na altura dos bolos Os resultados obtidos permitem concluir que considerando-se um nível de significância α = 0.05, somente os fatores "marca da massa de bolo"e "quantidade de leite"podem influenciar na altura final dos bolos I. INTRODUÇÃO Considerando-se pessoas que tenham alguma familiaridade com culinária, é de conhecimento comum que durante a preparação de um bolo, alguns fatores (ou combinação destes) podem influenciar no crescimento do bolo gerado. Alguns exemplos seriam: quantidade de leite utilizada na preparação, temperatura do forno utilizada para assar o bolo, préaquecimento do forno, quantidade de farinha utilizada, dentre outros. Apesar de se ter o "sentimento"de que por exemplo, uma maior quantidade de leite poderia levar a um maior crescimento do bolo, essa afirmação não apresenta um estudo estatístico em que se possa sustentar. Da mesma forma, várias outras considerações sobre fatores/crescimento de bolos também são carentes algum tipo de estudo que as possam validar. Com base nisso, o presente trabalho propõe a utilização de técnicas de planejamento e análise estatística de experimentos para verificar a influência de três fatores no crescimento de um bolo, sendo eles: marca da massa de bolo utilizada, pré-aquecimento do forno e quantidade de leite. Efeitos de interação entre esses fatores também serão analisados. Pretende-se portanto, através deste experimento, gerar dados estatísticos que permitam se inferir, com mais propriedade, sobre a influência ou não dos fatores considerados (e de suas interações) na altura dos bolos O presente trabalho está organizado como se segue. A Seção II descreve a fase de planejamento utilizada para guiar a obtenção dos dados do experimento. A fase de análise dos dados e discussão dos resultados obtidos é descrita na seção III. Conclusões são apresentadas na seção IV. II. PLANEJAMENENTO PRÉ-EXPERIMENTAL Como já mencionado anteriormente, para a realização deste experimento, foram considerados três fatores, com dois níveis cada. Sendo assim, foi escolhido um planejamento fatorial 2 3 para guiar a fase de obtenção de dados. Como pretende-se avaliar neste trabalho o efeito individual de cada fator sobre o crescimento do bolo, bem como os efeitos de interação entre eles, somente uma replicação do experimento não seria suficiente para levantar os dados necessários para uma análise confiável. Com base nisso, duas replicações do experimento foram realizadas. A. Fatores, Níveis e Variável de Resposta Os fatores testados, juntamente com os níveis definidos para cada um deles, são mostrados na Tabela I. Tabela I FATORES E NÍVEIS CONSIDERADOS Fator Nível 1 (-) Nível 2 (+) Massa (A) 1 2 Pré-Aquecimento do forno (B) 0 1 Quantidade de Leite (C) Para o fator Massa de bolo, o nível 1 representa a marca mais barata, no caso deste experimento, a marca Carrefour, enquanto o nível 2 representa a marca mais cara, no caso, Santa Amália. Considerando-se o fator pré-aquecimento, o nível 0 indica a ausência de pré-aquecimento do forno no momento da preparação do bolo, enquanto o nível 1 indica que houve um pré-aquecimento do forno. Cabe aqui ressaltar que nos casos nos quais o préaquecimento está presente, segue-se a sugestão indicada no modo de preparo dos bolos, que é igual para as duas marcas consideradas, ou seja, pré-aquecer o forno durante 10 minutos, a 150 o C. Com relação à quantidade de leite, o nível 120 indica a quantidade de 120 ml, considerando-se neste caso 20% a menos do valor sugerido para preparação do bolo, que seria de 150 ml. Já o nível 180 refere-se a 20% a mais do valor

2 nomimal sugerido, ou seja 180 ml. O valor nominal sugerido é igual para as duas marcas consideradas. A variável de resposta a ser observada é a altura final do bolo quando pronto. Surge aqui o problema de que o bolo pode apresentar alturas diferentes em alguns pontos, devido a uma distruibuição não uniforme da mistura sobre o tabuleiro, fazendo com o bolo cresça de forma desigual. Para driblar esse problema e garantir que efeitos de má distribuição da mistura no tabuleiro não influencie na medida final da altura do bolo, as medições foram realizadas como se segue: Mede-se inicialmente a altura dos quatro cantos do bolo, juntamente com a altura do centro. Mede-se em seguida o ponto onde visualmente verifica-se que o bolo está maior. Por fim, tira-se a média entre os valores de altura encontrados. B. Fatores Controláveis Durante a realização do experimento, diversos outros fatores poderiam influenciar num maior ou menor crescimento do bolo. Como não era de interesse do presente trabalho analisar a influência de tais fatores sobre a variável de resposta analisada, os valores dos mesmos foram definidos a priori e mantidos constantes em todas as observações realizadas. Segue-se a relação de tais fatores, juntamente com seus respectivos valores fixados. Sabor da massa do bolo: laranja Velocidade da batedeira: alta Tempo de funcionamento da batedeira: 5 minutos Utilização do mesmo tabuleiro para fazer todos os bolos Temperatura do forno para assar o bolo: 250 o C Tempo de forno: 40 minutos. Vale aqui ressaltar que nas observações nas quais o pré-aquecimento do forno está presente, este tempo se divide em 10 minutos de préaquecimento (a 150 o C) e 30 minutos para assar o bolo (a 250 o C). C. Aquisição dos Dados Considerando-se os três fatores definidos, juntamente com os respectivos níveis, tem-se que serão necessárias 8 observações por replicação para coletar os dados necessários. Como o presente trabalho propõe a execução de 2 replicações do experimento, serão considerados 16 bolos, cujas combinações de fatores/níveis pode ser visualizada na Tabela II. Para não permitir que fatores espúrios não controláveis influenciem no resultado obtido em cada observação, a ordem de execução dos testes foi aleatorizada, segundo ordem definida pelo Software Minitab, utilizado neste trabalho nas etapas de planejamento e análise do experimento em questão. Sendo assim, a Tabela III completa a Tabela II, indicando na coluna " StdOrder" a ordem aleatória em que cada observação foi realizada e, na coluna " Altura", os resultados obtidos para cada observação. Tabela II OBSERVAÇÕES A SEREM REALIZADAS Observação Massa Pré-aquecimento Leite Tabela III RESULTADO DAS OBSERVAÇÕES StdOrder Observação Massa Pré-aquecimento Leite Altura (cm) III. ANÁLISE Após realizados os testes e coletados os dados necessários (valores da variável de resposta), procede-se à fase de análise dos resultados. Para a geração dos resultados, utilizou-se neste trabalho um teste estatístico do tipo F, o qual tem como objetivo testar igualdades entre médias. Este teste será utilizado para avaliar as hipóteses definidas na seção seguinte. A. Teste de Hipóteses De acordo com [1], a análise dos resultados se dá através do teste de hipóteses, que avaliam a influência ou não dos fatores principais e suas interações no valor da variável de resposta observada. A formulação da análise dos fatores estudados neste trabalho é apresentada no modelo de efeitos representado na Equação 1.

3 Onde: y ijk = µ + τ i + β j + ψ k + (τβ) ij + (τψ) ik + i = 1,, m (βψ) jk + (τβψ) ijk + ɛ ijk j = 1,, n k = 1,, l µ - representa a média geral τ i - representa o efeito do nível i do fator A β j - representa o efeito do nível j do fator B ψ k - representa o efeito do nível k do fator C (τβ) ij - representa o efeito de iteração entre os fatores A e B (τψ) ik - representa o efeito de iteração entre os fatores A e C (βψ) jk - representa o efeito de iteração entre os fatores B e C (τβψ) ijk - representa o efeito de iteração entre os fatores A,B e C ɛ ijk - representa o resíduo (erro aleatório com distribuição normal de média zero e variância σ 2 ) m, n, l - representam, respectivamente, o número de níveis dos fatores A,B e C De acordo com esse modelo, define-se as hipóteses de teste desse trabalho como a seguir: 1) Testa a influência do fator A, ou seja, da marca de bolo, na altura final dos bolos analisados. H 0 : τ i = 0 i, onde i, significando que não existe influência do fator A no valor da variável de resposta considerada. H 1 : τ i 0, indicando que existe influência deste fator sobre a altura final dos bolos 2) Testa a influência do fator B, ou seja, do préaquecimento do forno, na altura final dos bolos analisados. H 0 : β j = 0 j, significando que não existe influência do fator B no valor da variável de resposta considerada. H 1 : β i 0, indicando que existe influência deste fator sobre a altura final dos bolos 3) Testa a influência do fator C, ou seja, quantidade de leite, na altura final dos bolos analisados. H 0 : ψ k = 0 k, significando que não existe influência do fator B no valor da variável de resposta considerada. H 1 : ψ i 0, indicando que existe influência deste fator sobre a altura final dos bolos 4) Testa a influência da interação entre os fatores A e B na altura final dos bolos. H 0 : (τβ) ij = 0 ij, indicando a ausência de significância de interação entre esses fatores H 1 : (τβ) ij 0, indicando que existe influência de 5) Testa a influência da interação entre os fatores A e C na altura final dos bolos. (1) H 0 : (τψ) ik = 0 ik, indicando a ausência de significância de interação entre esses fatores H 1 : (τψ) ik 0, indicando que existe influência de 6) Testa a influência da interação entre os fatores B e C na altura final dos bolos. H 0 : (βψ) jk = 0 jk, indicando a ausência de significância de interação entre esses fatores H 1 : (βψ) jk 0, indicando que existe influência de 7) Testa a influência da interação entre os fatores A, B e C na altura final dos bolos. H 0 : (τβψ) ijk = 0 ijk, indicando a ausência de significância de interação entre esses fatores H 1 : (τβψ) ijk 0, indicando que existe influência de As conclusões obtidas a respeito da corroboração ou refutação de uma hipótese de teste são válidas para um dado nível de significância (α), que nesse trabalho foi considerado como sendo Isso significa dizer que as conclusões obtidas podem ser consideradas a uma taxa de 95% de confiança. B. ANOVA Os resultados obtidos atráves do teste estatístico F realizado podem ser observados na Tabela IV. Tabela IV ANOVA Fonte SS DF MS Contribuição F P A (Massa) B (Pré-aq) C (Leite) AB , AC BC ABC Error Total A última coluna desta Tabela apresenta o valor p obtido para o teste de hipótese de cada um dos fatores considerados, bem como para a interação entre eles. Esse valor representa o menor nível de significância que levaria à rejeição da hipótese nula para os dados disponíveis. De acordo com os valores p encontrados e, considerandose o nível de significância α = 0.05 definido anteriormente, pode-se concluir que somente os fatores "marca da massa de bolo"e "quantidade de leite"influenciam significativamente na variável de resposta observada, ou seja, em um maior ou menor crescimento do bolo. Através da Figura 1, pode-se verificar de que forma os níveis dos fatores considerados significativos influenciam na altura final do bolo. O gráfico apresentado nessa figura trás no eixo das ordenadas a altura média dos bolos produzidos e, no eixo

4 Figura 1. Efeito dos Fatores Principais Figura 2. Efeito de Interação entre Fatores das abscissas, a variação dos níveis dentro de cada fator considerado. A observação deste gráfico leva a concluir que, considerando-se o fator "Marca da massa de bolo", as maiores alturas são observadas quando esse fator assume o nível 2, ou seja, massa mais cara. Da mesma forma, para o fator "quantidade de leite", o gráfico indica que maiores alturas são produzidas quando o nível deste fator encontra-se em 180, ou seja, quantidade de leite maior que o indicado no modo de preparo do bolo. Já para o fator "pré-aquecimento do forno", não se observam variações na altura final do bolo, quando considerados os diferentes níveis desse fator. De acordo com os resultados apresentados na Tabela IV, efeitos de interação entre fatores não foram considerados significantes. Esse resultado pode ser confirmado pelo gráfico apresentado na Figura 2, que apresenta o efeito das interações de 2 a entre os fatores considerados. De acordo com essa Figura, confirma-se a inexistência de interação entre os fatores massa versus leite e pré-aquecimento versus leite, uma vez que está clara a inexistência de sobreposição dos gráficos que representam essas interações. Entretanto, este mesmo gráfico reporta uma possibilidade de sobreposição dos gráficos quando considerados os efeitos de interação entre os fatores massa versus pré-aquecimento. Isso significa que talvez possa haver uma influência significativa da interação desses fatores no crescimento do bolo, porém, com os dados disponíveis, não foi possível obter a potência necessária para que o teste detectasse a influência dessa interação, dentro da significância desejada. C. Modelo de Regressão De posse dos dados apresentados na Tabela IV e, considerando-se o modelo de efeitos apresentado na equação 1, Figura 3. Cubo é possível expressar os resultados do experimento em questão em termos de um modelo de regressão. A Figura 3 traz uma projeção do experimento realizado, permitindo visualizar melhor o resultado das observações realizadas. Neste cubo, cada aresta representa o valor médio da variável de resposta (altura do bolo) para cada combinações de níveis, enquanto os eixos representam os fatores. Utilizando-se os valores apresentados na Figura 3, juntamente com as fórmulas adequadas definidas em [1], é possível encontrar os coeficientes que quando substituidos na Equação 1, geram o modelo de regressão que representa o experimento foco de estudo deste trabalho, conforme Equação 2 ŷ = x x x x 1 x x 1 x x 2 x x 1 x 2 x 3 + ɛ (2)

5 Considerando-se o modelo de regressão contendo todas as interações entre os fatores (1 a, 2 a e 3 a ordem), juntamente com os dados apresentados na quinta coluna da Tabela IV, pode-se definir um coeficiente de determinação R 2 = 93, 2%. Isso significa dizer que 93.2% da variabilidade total dos dados pode ser explicada pelo modelo gerado. Ao se considerar somente os efeitos mais significativos (A,C,AB,ABC), tem-se o modelo de regressão reduzido, dado pela Equação 3, o que leva a um valor de R 2 = 91.6%. ŷ = x x x 1 x x 1 x 2 x 3 + ɛ (3) D. Validação das Premissas Ao se iniciar a realização do experimento sobre o crescimento de bolos, algumas premissas foram assumidas como verdadeiras, sendo elas: independência dos dados, distribuição normal dos resíduos e igualdade de variância. Agora, após a obtenção de um modelo que representa esse experimento, torna-se possível validar as premissas consideradas, validando assim o modelo gerado. A independência dos dados é garantida uma vez que o preparo dos bolos são eventos completamente independentes uns dos outros. Ainda assim, como já mencionado anteriormente, a execução testes foi aleatorizada, para garantir ainda mais a independência entre os dados. A premissa de normalidade dos resíduos pode ser verificada através do gráfico apresentado na Figura 4, o qual apresenta a distribuição dos resíduos para o modelo gerado. Através deste gráfico observa-se uma pequena distorção na distribuição dos resíduos Verifica-se entretanto, também através da observação deste gráfico, que esta distorção não é suficiente para invalidar a premissa de normalidade do modelo gerado, podendo, portanto, a mesma ser validada. Com relação à premissa de igualdade de variância, a mesma pode ser verificada através do gráfico mostrado na Figura 5, que apresenta a relação entre resíduos e valores fitados para o modelo gerado. Também em observação a este gráfico, pode-se concluir que não existem evidências de violação da premissa de igualdade de variância, sendo portanto a mesma validada. IV. CONCLUSÕES Este trabalho teve como objetivo utilizar os conceitos aprendidos na disciplina Planejamento e Análise de Experimentos para testar a influência de três fatores no crescimento de um bolo. Foram considerados três fatores, com dois níveis cada, sendo eles: marca da massa do bolo (mais barata/mais cara), pré-aquecimento do forno(sim/não) e quantidade de leite (menor/maior que o nominal). Para guiar a fase de planejamento do experimento, foi utilizado um planejamento fatorial 2 3 e, a fase de analise foi Figura 4. Figura 5. Plot de Normalidade dos Resíduos Plot Resíduos versus Valor Fitado realizada através de uma tabela ANOVA para o planejamento em questão. Teste a posteriori também foram realizados para validar o modelo gerado para o experimento, bem como para analisar de que forma os fatores/níveis considerados influenciam na altura final dos bolos Como resultados obtidos, considerando-se uma taxa de significância α = 0.05, pode-se concluir que somente os fatores " marca da massa de bolo" e " quantidade de leite" podem ser considerados significativamente influentes na altura final dos bolos gerados. Em outras palavras, considerando-se os dados obtidos, é possível rejeitar as hipóteses nulas definidas para os fatores " marca da massa de bolo" e " quantidade de leite" com uma taxa de 95% de confiança. Isso equivale a dizer que

6 variações nos níveis desses fatores influenciam no valor da variável de resposta considerada, nesse caso, na altura final dos bolos analisados. Quanto ao fator " pré-aquecimento do forno", dentro da significância determinada, não existem evidências suficientes para se rejeitar a hipótese nula definida para este fator. Isso leva a crer que não existe influencia significativa deste fator sobre o valor da variável de resposta analisada. Com base nos testes a posteriori realizados, verifica-se que os maiores valores de altura dos bolos são encontrados considerando-se o fator " marca da massa de bolo" no nível 2, ou seja, considerando-se a marca de bolo mais cara (Santa Amália). Já em relação ao fator " quantidade de leite", maiores alturas foram atingidas quando considerado o nível 2 desse fator, ou seja, 180 ml, que equivale a um valor 20% maior do que o indicado no modo de preparo dos bolos. Efeitos de interação entre fatores também não foram considerados significantes neste experimento. Analisando-se o modelo de regressão gerado para representar o experimento realizado, verifica-se que o mesmo adequase bem ao experimento, uma vez que 93% da variabilidade dos dados observados podem ser explicados através deste modelo. As premissas de independência dos dados, normalidade e igualdade de variância foram verificadas para o modelo gerado através de testes realizados a posterior, validando assim o modelo de regressão gerado. Por fim, pode-se concluir que utilização das técnicas de planejamento e análise de experimentos foram de fundamental importância para a realização de um planejamento bem conduzido e para uma análise confiável, cujos resultados permitiram inferir com base em dados estatísticos sobre a influência dos fatores considerados no crescimento dos bolos REFERÊNCIAS [1] F. Campelo, Notas de aula da disciplina de planejamento e análise de experimentos, 2011, programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica - UFMG.