Planejamento de Experimentos. 7 Blocagem e Confundimento(Superposição) nos Planos 2 k

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1 Planejamento de Experimentos 7 Blocagem e Confundimento(Superposição) nos Planos 2 k 7.1 Introdução Em muitas situações é impossível rodar todas as combinações de tratamento num plano 2 k sob condições homogêneas. Já vimos que uma técnica usada para contornar o problema da variabilidade extra é a blocagem. Neste capítulo veremos duas situações de blocagem num plano 2 k : - com replicação e - sem replicação. 1

2 7.2 Blocagem num plano fatorial 2 k quando se tem replicações. Se existem n replicações do plano 2 k podemos rodar cada replicação em um bloco caracterizado por um conjunto de condições homogêneas. A ordem na qual cada combinação de tratamento é observada em cada bloco é aleatória EBCA. Exemplo 7.1: Considere o processo químico descrito em exemplo do capítulo 6 sobre o efeito de dois fatores: concentração de regaente e catalisador sobre a produção. Suponha que somente quatro observações experimentais podem ser realizadas para cada lote de matéria-prima. Neste caso, cada replicação é olhada como um bloco e os dados são 2

3 trat. Bl. I Bl. II Bl. III total (1) a b ab total FV g.l. SQ QM F p-valor A 1 208,33 208, 33 50,32 0,0004 B 1 75,00 75,00 18,12 0,0053 AB 1 8,33 8,33 2,01 0,2060 Bloco 2 6,50 3,25 Erro 6 24,84 4,14 Total ,00 Observe que as conclusões são as mesmas obtidas no exemplo anterior. Vimos nesta seção o caso em que as replicações são tratadas como blocos. Observe que não há nada de diferente com a situação descrita na seção 5.6 sobre blocagem experimentos fatoriais. 3

4 7.3 Confundimento no Plano Fatorial 2 k Há situações em que a blocagem é necessária, porém dispõe-se de apenas uma replicação completa do plano. Como tratar esta situação? Uma solução é usar uma técnica que faz com que certos efeitos de tratamento, geralmente efeitos de interações de ordens maiores, sejam indistiguíveis ou confundidos com os blocos. Confundimento (Superposição) Veremos aqui sistemas de confundimento nos planos 2 k. Apesar dos planos apresentados aqui serem planos em blocos incompletos, pois cada bloco não contém todos os tratamentos, a estrutura especial dos planos 2 k permite um método de análise mais simples. 4

5 Consideraremos a construção e análise de planos 2 k em 2 p blocos incompletos, p < k. Consequentemente, estes planos poderão ser rodados em dois blocos (se p = 1), 4 blocos (se p = 2), 8 blocos (se p = 3), etc. 7.4 Confundimento do plano 2 k em dois blocos (p = 1). Suponha um plano 2 2 do qual se dispõe de recursos para realizar apenas 4 observações. Cada observação requer uma matéria-prima cujo lote é apenas suficiente para a realização de duas observações. Logo, o experimento requer dois blocos (lotes). A figura a seguir ilustra um plano possível para este experimento. 5

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7 Geometricamente, os blocos são formados pelos vértices das diagonais do quadrado. Bloco I: (1) e ab Bloco II: a e b A ordem na qual os tratamentos são observados em cada bloco é aleatória. A ordem de observação dos blocos também é aleatória. Lembre que os efeitos principais A e B são dados por A = 1 2 [ab b + a (1)], B = 1 2 [ab a + b (1)], pois n = 1. Observe que A e B não são afetados pela blocagem, pois em cada bloco é possível avaliar o efeito principal de A e de B. Porém, não será possível avaliar a interação AB usando os blocos. 7

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9 Considere o efeito de interação AB = 2 1 [ab + (1) a b]. As combinações dos dois tratamentos com sinal + estão no bloco I e as combinações com sinal - estão no bloco II, não sendo possível usar os blocos para avaliar AB. Tabela de Sinais do Plano 2 2 trat. I A B AB Bloco (1) II a I b I ab II Não é possível separar o efeito de bloco do efeito de interação. Por esta razão, dizemos que AB é confundido com blocos. 9

10 Por exemplo, se os blocos tivessem sido definidos por Bloco I: (1) e b Bloco II: a e ab o confundimento ocorreria com o efeito principal relativo ao fator A. Por que? A prática usual é confundir as interações de maior ordem com blocos. Este esquema pode ser usado para confundir qualquer efeito de interação de um plano 2 k sem replicação em dois blocos. 10

11 Observe que neste caso, com apenas 4 observações, não podemos fazer inferências, pois não sobram graus de liberdade para o erro experimental: 1 grau para A, 1 para B e 1 para bloco ou AB dos três graus de liberdade disponíveis. Como um segundo exemplo, considere um plano 2 3 a ser realizado em dois blocos (sem replicação). Suponha também que o mesmo será construído tal que o efeito de interação ABC seja confundido com blocos. A partir da tabela de sinais, é muito simples identificar os blocos correspondentes. trat. I A B C AB AC BC ABC Bloco (1) I a II b II ab I c II ac I bc I abc II 11

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13 As observações dentro de cada bloco são realizadas em ordem aleatória, ou seja, as combinações de tratamento dentro de cada bloco são sorteadas para então realizar a observação. A ordem dos blocos também é aleatória. A seguir um resumo da tabela ANOVA deste caso. FV gl A 1 B 1 C 1 AB 1 AC 1 BC 1 Bloco ou ABC ou erro 1 total 7 Novamente, bloco, efeito confundido e erro não podem ser separados. 13

14 Outras formas de construção dos blocos. Considere a combinação linear L = α 1 x 1 + α 2 x α k x k (1) x i representa o nível do i-ésimo fator, i = 1, 2,..., k α i representa o coeficiente do i-ésimo fator no efeito confundido (0 ou 1). Nos planos 2 k, x i = { 0, nível baixo 1, nível alto e α i = { 0, se efeito não está presente no efeito confundido 1, se efeito está presente efeito confundido 14

15 Considere novamente um plano 2 3 em dois blocos com ABC confundido. Neste caso L = x 1 + x 2 + x 3, pois α 1 = α 2 = α 3 = 1. tratamento (x 1, x 2, x 3 ) L(mod 2) Bloco (1) (0,0,0) 0 I a (1,0,0) 1 II b (0,1,0) 1 II c (0,0,1) 1 II ab (1,1,0) 0 I ac (1,0,1) 0 I bc (0,1,1) 0 I abc (1,1,1) 1 II 15

16 Observação: A equação (1) é chamada equação de definição de contraste. Combinações de tratamento que produzem o mesmo valor de L(mod2) serão alocadas ao mesmo bloco. Um outro método pode ser usado para construir estes planos. O bloco contendo a combinação (1) é chamado bloco principal. As combinações de tratamento no bloco principal têm uma propriedade de grupo, a saber, formam um grupo com respeito à multiplicação módulo 2. qualquer elemento, exceto o (1), no bloco principal pode ser gerado pela multiplicação módulo 2 de outros dois elementos no bloco principal. 16

17 Por exemplo, considere o plano 2 3 em 2 blocos com ABC confundido. Neste caso, o bloco principal é composto pelas combinações: (1), ab, ac e bc. Observe que ab.ac = a 2 bc = bc ab.bc = ab 2 c = ac ac.bc = abc 2 = ab As combinações de tratamento no outro bloco (nos outros blocos) podem ser geradas multiplicando-se módulo 2 um elemento do novo bloco por cada elemento no bloco principal. b.(1) = b b.ab = a b.ac = abc b.bc = c 17

18 Usando este método num plano 2 4 com ABCD confundido tem-se L = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 tratamento (x 1, x 2, x 3, x 4 ) L(mod 2) Bloco (1) (0,0,0,0) 0 I a (1,0,0,0) 1 II b (0,1,0,0) 1 II ab (1,1,0,0) 0 I c (0,0,1,0) 1 II ac (1,0,1,0) 0 I bc (0,1,1,0) 0 I abc (1,1,1,0) 1 II d (0,0,0,1) 1 II ad (1,0,0,1) 0 I bd (0,1,0,1) 0 I cd (0,0,1,1) 0 I abd (1,1,0,1) 1 II acd (1,0,1,1) 1 II bcd (0,1,1,1) 1 II abcd (1,1,1,1) 0 I 18

19 Assim temos Bloco Principal: (1), ab, ac, ad, bc, bd, cd, abcd Outro bloco: a, b, c, d, abc, abd, acd, bcd. Novamente, bloco, efeito confundido e erro não podem ser separados. Para poder estimar o erro, se k for pequeno, 2 ou 3, será necessário replicar o experimento. Suponha um plano 2 3 em dois blocos com ABC confundido e 4 replicações como mostra a figura a seguir. 19

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21 Como existem 8 blocos, 7 graus de liberdade devem estar associados com estes blocos. Uma partição destes 7 graus de liberdade é mostrada na tabela a seguir. FV gl Replicações 3 Blocos (ABC) 1 Replicações:ABC 3 A 1 B 1 C 1 AB 1 AC 1 BC 1 Erro 18 Total 31 21

22 São 32 observações e 31 graus de liberdade. A soma de quadrados dos erros consiste, de fato, das interações de dois fatores entre replicações e cada um dos efeitos (A, B, C, AB, AC e BC). Geralmente é seguro considerar interações de maior ordem desprezíveis e tratar o quadrado médio resultante como uma estimativa da variação amostral. Efeitos principais e de interação de ordem 2 são testados contra QM Res Se há recursos suficientes para permitir a replicação de planos confundidos é melhor usar um método ligeiramente diferente para designar os blocos em cada replicação. Esta abordagem consiste em confundir um efeito diferente em cada replicação tal que alguma informação de todos os efeitos seja obtida. confundimento parcial 22

23 Se k 4, frequentemente pode-se bancar apenas uma replicação do experimento. Neste caso, costuma-se assumir que interações de maior ordem são desprezíveis e combina-se suas somas de quadrados com o erro. O gráfico de probabilidade normal dos efeitos dos fatores pode ser útil neste contexto. Exemplo 7.2: Considere novamente a situação descrita no exemplo 6.2 (processo químico) na qual investiga-se o efeito de 4 fatores sobre a taxa de filtragem do produto. Os fatores são A - temperatura, B - pressão, C - concentração de formaldeído, D - taxa de mistura. Este experimento será usado para ilustrar a noção de blocagem e confundimento em experimentos não replicados. Serão feitas duas modificações no experimento original. 23

24 Primeiro, suponha que as 2 4 = 16 combinações de tratamento não podem ser realizadas todas no mesmo lote de matéria-prima. O experimentador pode realizar 8 observações para cada lote, tal que um plano 2 4 confundido em dois blocos parece ser apropriado neste caso. É natural confundir a interação de maior ordem ABCD com blocos. Neste caso, o contraste de definição é dado por L = x 1 + x 2 + x 3 + x 4. O plano resultante deste constraste de definição é mostrado na figura a seguir. 24

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26 A segunda modificação feita foi introduzir um efeito de bloco tal que a utilidade da blocagem possa ser verificada. Suponha que quando selecionamos os dois lotes de matéria-prima, um deles é de qualidade inferior e, como resultado, todas as respostas serão 20 unidades menores neste lote de material em relação ao outro. (bloco I - qualidade inferior, bloco II - qualidade ok.) Agora todas as observações no bloco I são feitas em ordem aleatória das combinações de tratamento, mas as respostas são 20 unidades menores. Na figura a seguir os valores observados, com a introdução do efeito de bloco, são apresentados. 26

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28 A seguir apresentamos as estimativas dos efeitos desta versão modificada do experimento. Observe que as estimativas são idênticas àquelas obtidas no exemplo 6.2 (aula 17) no qual não havia efeito de bloco. Um gráfico de probabilidade normal dos efeitos indica que os efeitos importantes são A, C, D, AC e AD, exatamente como tínhamos concluído anteriormente. 28

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30 E o efeito ABCD? A estimativa deste efeito no experimento original foi No presente exemplo, a estimativa do efeito de interação ABCD é Como ABCD é confundido com blocos, a estimativa original do efeito de ABCD (1.375) mais a estimativa do efeito de bloco (-20) resulta em O efeito de bloco também pode ser calculado diretamente pela diferença entre as médias a- mostrais em cada bloco, resultando em Claro que este efeito de fato estima Bloco + ABCD. 30

31 A tabela a seguir resume a ANOVA deste experimento considerando apenas os efeitos significativos. Observe que, se o experimento não tivesse sido rodado em blocos, com um efeito de magnitude -20 afetando as 8 primeiras observações (bloco I), os resultados poderiam ter sido muito diferentes.