MOQ-14 PROJETO e ANÁLISE de EXPERIMENTOS. Professor: Rodrigo A. Scarpel

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1 MOQ-14 PROJETO e ANÁLISE de EXPERIMENTOS Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br

2 Programa do curso: Semana Conteúdo 1 Apresentação da disciplina. Princípios de modelos lineares de regressão. Correlação amostral. 2 Regressão linear simples: hipóteses do modelo, estimação de parâmetros, propriedades e inferência dos estimadores. 3 Análise de variância (ANOVA) em regressão. Intervalos de confiança e de previsão. Análise dos resíduos. 4 Diagnósticos e reparação de problemas em regressão. Transformações. 5 Regressão linear forma matricial: estimação dos parâmetros, inferência dos estimadores, intervalos de confiança. 6 Prova 7 Princípios de regressão linear múltipla. Diagnósticos e reparação dos problemas em regressão linear múltipla. Multicolinearidade e seus efeitos. 8 Seleção de variáveis. Modelos polinomiais. Modelos com variáveis qualitativas. 9 Introdução ao projeto de experimentos: estratégia de experimentação, princípios básicos e aplicações típicas. Experimentos inteiramente casualizados. Análise de variância. 10 Experimentos fatoriais com dois ou mais fatores. 11 Experimentos fatoriais 2 k. Pontos centrais. 12 Experimentos em blocos casualizados. Blocagem em experimentos 2 k. 13 Prova 14 Experimentos fatoriais fracionados. 15 Experimentos com fatores quantitativos. Métodos de superfície de resposta. 16 Otimização de produtos e processos. Projetos robustos.

3 EXPERIMENTOS FATORIAIS FRACIONADOS Professor: Rodrigo A. Scarpel

4 Introdução: À medida que o número de fatores em um experimento fatorial 2 k aumenta, o número requerido de corridas aumenta rapidamente. Exemplo: experimento 2 5 requer 32 corridas 5 g.l. correspondem aos efeitos principais, 10 g.l. às interações de 2 a ordem e 31 g.l. correspondem às interações de ordens superiores ( 3). Freqüentemente, há pouco interesse nas interações de ordens altas (principalmente se o interesse é estudar um processo ou um sistema). Se pudermos considerar que certas interações de ordens altas são negligenciáveis, um planejamento fatorial fracionário poderá ser usado. Os experimentos fracionários são amplamente utilizados nos projetos pilotos, ou de seleção (screening experiments) com a finalidade de identificar os fatores que têm grandes efeitos e descartar os que têm pouco ou nenhum efeito para, posteriormente, fazer investigações mais aprofundadas.

5 Meia-fração de um experimento 2 k : Uma meia-fração de um experimento 2 k contém 2 k-1 corridas. Exemplo: experimento Combinações de tratamento I A B C AB AC BC ABC a b c abc [1] ab ac bc Combinações de tratamento escolhidas para coleta: a, b, c e abc Vantagem: requer apenas 4 corridas (em contraste ao experimento completo que requer 8 corridas) Note que o experimento é formado selecionando-se as combinações de tratamento com sinal positivo para o efeito ABC (chamado de gerador dessa fração) e que o sinal de I = ABC (chamado de relação de definição).

6 Meia-fração de um experimento 2 k : As combinações do experimento resultam em 3 g.l. associados aos efeitos principais e outros 3 associados às interações. Suas estimativas são (metade superior da tabela): Combinações de tratamento I A B C AB AC BC ABC a b c abc [1] ab ac bc A B C 1 2n 1 2n 1 2n Observa-se que: ( a b c abc) ( a b c abc) ( a b c abc) A BC AC AB BC, B 1 2n 1 2n 1 2n AC, C ( a b c abc) ( a b c abc) ( a b c abc) AB l l l A B C A BC B AC C AB (pares associados ou aliases)

7 Meia-fração de um experimento 2 k : A estrutura dos pares associados (aliases) pode ser encontrada usando a relação de definição I=ABC. Assim, A = A.I = A.ABC = A 2 BC = BC B = B.I = B.ABC = AB 2 C = AC C = C.I = C.ABC = ABC 2 = AB A fração alternativa do experimento : [1], ab, ac, bc (sinal de ABC) Neste caso: I = ABC, A = BC, B = AC e C = AB Combinações de tratamento I A B C AB AC BC ABC a b c abc [1] ab ac bc Procedimento seqüêncial: fração principal + fração alternativa = fatorial completo (útil pois é possível rodar experimentos pequenos e eficientes e combinar as informações)

8 Generalização de um experimento 2 k-1 : Procedimento para generalização: criar as combinações de tratamento para um experimento fatorial completo com k-1 fatores (experimento básico) e então adicionar o k-ésimo fator, identificando seus níveis altos e baixos com os sinais mais e menos da interação de mais alta ordem. Exemplos: Combinações de tratamento: c, a, b, abc Combinações de tratamento: (1), ad, bd, ab, cd, ac, bc, abcd

9 Generalização de um experimento 2 k-1 : Delineamentos de resolução em experimentos 2 k-1 : III: os efeitos principais tem como aliás as interações simples I= ABC IV: nenhum efeito principal tem como aliás outro efeito principal ou interação simples. As interações simples têm como aliás outra interação simples. I= ABCD Efeitos Principais Aliás Interações Simples Aliás A BCD AB CD B ACD AC BD C ABD AC BC D ABC Causas de Variação Efeitos Principais 4 Erro experimental (de interações simples) 3 GL

10 Meia-fração de um experimento 2 k : Exemplo: Experimento 2 4-1, I= ABCD Resposta: Taxa de filtração Fatores: A= temperatura, B= pressão, C= concentração de formaldeído e D= Taxa de agitação Experimentos A B C D=ABC Tratamentos Taxa Estimativas Aliás (1) (1) 45 L A =19,00 L A A+BCD a ad 100 L B =1,50 L B B+ACD b bd 45 L C =14,00 L C C+ABD ab ab 65 L D =16,50 L D D+ABC c cd 75 L AB =-1,00 L AB AB+CD ac ac 60 L AC =-18,50 L AC AC+BD bc bc 80 L AD =19,00 L AD AD+BC abc abcd 96 Observa-se que os seguintes efeitos significativos: A, C, D, AC e AD. Como o fator B, não é significativo, deve-se desconsiderá-lo da análise. Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p Interseção 70,75 0, ,002 0,000 A 9,5 0,637 14,905 0,004 C 7 0,637 10,983 0,008 D 8,25 0,637 12,944 0,006 AC -9,25 0,637-14,513 0,005 AD 9,5 0,637 14,905 0,004 Procedimento seqüêncial: fazer um experimento fatorial completo com os fatores A, C e D (2 3 ).

11 Meia-fração de um experimento 2 k : Exemplo: Continuação... Experimento 2 3 Resposta: Taxa de filtração Fatores: A= temperatura, C= concentração de formaldeído e D= Taxa de agitação Experimentos A C D Taxa (1) a c ac d ad cd acd Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p Interseção 68,5 1,186 57,764 0,0003 A 10,75 1,186 9,065 0,0120 C 3,75 1,186 3,162 0,0871 D 7,5 1,186 6,325 0,0241 AC -10 1,186-8,433 0,0138 AD 6,25 1,186 5,270 0,0342

12 Generalização de um experimento 2 k-1 : Delineamentos de resolução em experimentos 2 k-1 : V: os efeitos principais e interação simples não tem como aliás qualquer efeito principal ou interação simples. As interações simples têm como aliás as interações tríplices. I= ABCDE Efeitos Interações Aliás Principais Simples Aliás A BCDE AB CDE B ACDE AC BDE C ABDE AD BCE D ABCE AE BCD E ABCD BC ADE BD ACE BE ACD CD ABE CE ABD DE ABC

13 Generalização de um experimento 2 k-1 : Delineamentos de resolução em experimentos 2 k-1 : VI: os efeitos principais têm como aliases as interações quíntuplas, as interações simples têm como aliases somente as interações quádruplas e as interações tríplices têm como aliases somente as interações tríplices I = ABCDEF Efeitos Interações Interações Aliás Aliás Principais Simples Tríplices Aliás A BCDEF AB CDEF ABC DEF B ACDEF AC BDEF ABD CEF C ABDEF AD BCEF ABE CDF D ABCEF AE BCDF ABF CDE E ABCDF AF BCDE ACD BEF F ABCDE BC ADEF ACE BDF BD ACEF ACF BDE BE ACDF ADE BCF BF ACDE ADF BCE CD ABEF BCD AEF CE ABDF CF ABDE DE ABCF DF ABCE EF ABCD

14 Generalização de um experimento 2 k-1 : Análise de experimentos fatoriais fracionados 2 k-1 : Análise de variância (ANOVA) significância dos efeitos Análise de regressão estimação e significância dos efeitos Empregar os gráficos de probabilidade Normal (Q-Q Normal) para determinar a importância relativa dos efeitos. Procedimento: 1. Calcule os efeitos: efeito = contraste / 2 k Construa um gráfico de probabilidade Normal com todos os efeitos 3. Os efeitos que caírem fora de uma linha reta devem ser considerados relevantes 4. Faça a análise de variância para verificar a significância dos efeitos avaliados como relevantes.

15 Fração ¼ de um experimento 2 k : No caso da fração ¼, em vez de uma, duas interações são selecionadas para serem sacrificadas. A terceira interação sacrificada resulta da interação generalizada das duas selecionadas. Exemplo: Experimento Combinações de tratamento: (1), ae, bef, abf, cef, acf, bc, abce, df, adef, bde, abd, cde, acd, bcdf e abcdef Sendo, I = ABCE e I = BCDF, a terceira interação sacrificada é (ABCE)(BCDF) = ADEF ALIASES: I = ABCE = ADEF = BCDF A = DEF = BCE = ABCDF B = ACE = CDF = ABDEF C = ABE = BDF = ACDEF D = AEF = BCF = ABCDE E = ABC = ADF = BCDEF F = BCD = ADE = ABCEF AB = CE = ACDF = BDEF AC = BE = ABDF = CDEF AD = EF = BCDE = ABCF AE = BC = DF = ABCDEF AF = DE = ABCD = BCEF BD = CF = ABEF = ACDE BF = CD = ACEF = ABDE ABD = CDE = ACF = BEF ACD = BDE = ABF = CEF

16 Generalização: Experimentos 2 k-p Quando usamos a fração 1/(2 p ), temos um experimento com 2 k-p tratamentos e o experimento é denominado de fatorial fracionário 2 k-p : Necessita-se de p geradores independentes A relação definição é formada pelos p geradores inicialmente selecionados e as 2 p -p-1 interações. A estrutura de aliases pode ser encontrada multiplicando-se cada efeito pelo contraste de definição. Deve-se ter cuidado na escolha dos p geradores para um fatorial fracionário 2 k-p, de tal forma que efeitos de interesse não estejam associados com outros também de interesse. Um critério razoável é selecionar os geradores de tal forma que o delineamento tenha a maior resolução possível.

17 Generalização: Experimentos 2k-p

18 Para casa: Laboratório 10 (site: Leitura: Walpole et al. cap. 15 (15.8 a 15.12): Experim. fatoriais 2 k e frações Montgomery e Runger cap.14 (14.9): Desing of experiments...