MA23 - Unidade 7-2. Equação de Segundo Grau
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- Jónatas Carrilho
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1 MA23 - Unidade 7-2 Equação de Segundo Grau Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. Delgado, K. Frensel e L. Crissaff. Geometria Anaĺıtica. Col PROFMAT Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. MA23 Delgado, - Unidade K. Frensel 7-2 e L. Crissaff. Geometria 4 Anaĺıtica. de agosto de Col2014 PROFMAT 1 / 5
2 Equação do Segundo Grau Se numa equação for possível colocar uma das variáveis como função quadrática da outra, então esta equação representa uma parábola no plano. Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. MA23 Delgado, - Unidade K. Frensel 7-2 e L. Crissaff. Geometria 4 Anaĺıtica. de agosto de Col2014 PROFMAT 2 / 5
3 Equação do Segundo Grau Se numa equação for possível colocar uma das variáveis como função quadrática da outra, então esta equação representa uma parábola no plano. Os elementos da parábola (vértice, parâmetro, etc.) podem ser determinados completando o quadrado. Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. MA23 Delgado, - Unidade K. Frensel 7-2 e L. Crissaff. Geometria 4 Anaĺıtica. de agosto de Col2014 PROFMAT 2 / 5
4 Exemplo 1 Determine os elementos principais da parábola x 2 + 4x y = 0. Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. MA23 Delgado, - Unidade K. Frensel 7-2 e L. Crissaff. Geometria 4 Anaĺıtica. de agosto de Col2014 PROFMAT 3 / 5
5 Exemplo 1 Determine os elementos principais da parábola x 2 + 4x y = 0. Completando o quadrado: (x + 2) y = 0 (x + 2)2 y 5 = 12 Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. MA23 Delgado, - Unidade K. Frensel 7-2 e L. Crissaff. Geometria 4 Anaĺıtica. de agosto de Col2014 PROFMAT 3 / 5
6 Exemplo 1 Determine os elementos principais da parábola x 2 + 4x y = 0. Completando o quadrado: O vértice é V ( 2, 5). (x + 2) y = 0 (x + 2)2 y 5 = 12 Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. MA23 Delgado, - Unidade K. Frensel 7-2 e L. Crissaff. Geometria 4 Anaĺıtica. de agosto de Col2014 PROFMAT 3 / 5
7 Exemplo 1 Determine os elementos principais da parábola x 2 + 4x y = 0. Completando o quadrado: (x + 2) y = 0 (x + 2)2 y 5 = 12 O vértice é V ( 2, 5). Como 4p = 12, o parâmetro é p = 3. Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. MA23 Delgado, - Unidade K. Frensel 7-2 e L. Crissaff. Geometria 4 Anaĺıtica. de agosto de Col2014 PROFMAT 3 / 5
8 Exemplo 1 Determine os elementos principais da parábola x 2 + 4x y = 0. Completando o quadrado: (x + 2) y = 0 (x + 2)2 y 5 = 12 O vértice é V ( 2, 5). Como 4p = 12, o parâmetro é p = 3. O sinal na frente do (x + 2) 2 indica concavidade para baixo. Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. MA23 Delgado, - Unidade K. Frensel 7-2 e L. Crissaff. Geometria 4 Anaĺıtica. de agosto de Col2014 PROFMAT 3 / 5
9 Exemplo 1 Determine os elementos principais da parábola x 2 + 4x y = 0. Completando o quadrado: (x + 2) y = 0 (x + 2)2 y 5 = 12 O vértice é V ( 2, 5). Como 4p = 12, o parâmetro é p = 3. O sinal na frente do (x + 2) 2 indica concavidade para baixo. Então o foco está 3 unidades abaixo do vértice, e a diretriz 3 unidades acima. Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. MA23 Delgado, - Unidade K. Frensel 7-2 e L. Crissaff. Geometria 4 Anaĺıtica. de agosto de Col2014 PROFMAT 3 / 5
10 Exemplo 1 Determine os elementos principais da parábola x 2 + 4x y = 0. Completando o quadrado: (x + 2) y = 0 (x + 2)2 y 5 = 12 O vértice é V ( 2, 5). Como 4p = 12, o parâmetro é p = 3. O sinal na frente do (x + 2) 2 indica concavidade para baixo. Então o foco está 3 unidades abaixo do vértice, e a diretriz 3 unidades acima. Isto é, F = ( 2, 2) e a diretriz é L : y = 8. Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. MA23 Delgado, - Unidade K. Frensel 7-2 e L. Crissaff. Geometria 4 Anaĺıtica. de agosto de Col2014 PROFMAT 3 / 5
11 Exemplo 1 Determine os elementos principais da parábola x 2 + 4x y = 0. O vértice é V ( 2, 5). Como 4p = 12, o parâmetro é p = 3. Isto é, F = ( 2, 2) e a diretriz é L : y = 8.
12 Casos Degenerados da Parábola Se uma das variáveis não aparece na equação de segundo grau, temos um caso degenerado da parábola. Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. MA23 Delgado, - Unidade K. Frensel 7-2 e L. Crissaff. Geometria 4 Anaĺıtica. de agosto de Col2014 PROFMAT 4 / 5
13 Casos Degenerados da Parábola Se uma das variáveis não aparece na equação de segundo grau, temos um caso degenerado da parábola. Então a equação representará 0, 1 ou 2 retas - basta resolver para a variável restante e descobrir qual o conjunto correto. Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. MA23 Delgado, - Unidade K. Frensel 7-2 e L. Crissaff. Geometria 4 Anaĺıtica. de agosto de Col2014 PROFMAT 4 / 5
14 Exemplo 2 No plano xy, o que a equação x 2 13x + 11 = 0 representa? Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. MA23 Delgado, - Unidade K. Frensel 7-2 e L. Crissaff. Geometria 4 Anaĺıtica. de agosto de Col2014 PROFMAT 5 / 5
15 Exemplo 2 No plano xy, o que a equação x 2 13x + 11 = 0 representa? Ué, cadê o y...? Ah, é um caso degenerado... Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. MA23 Delgado, - Unidade K. Frensel 7-2 e L. Crissaff. Geometria 4 Anaĺıtica. de agosto de Col2014 PROFMAT 5 / 5
16 Exemplo 2 No plano xy, o que a equação x 2 13x + 11 = 0 representa? Ué, cadê o y...? Ah, é um caso degenerado... Então é só pensar nisso como uma quadrática em x. Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. MA23 Delgado, - Unidade K. Frensel 7-2 e L. Crissaff. Geometria 4 Anaĺıtica. de agosto de Col2014 PROFMAT 5 / 5
17 Exemplo 2 No plano xy, o que a equação x 2 13x + 11 = 0 representa? Ué, cadê o y...? Ah, é um caso degenerado... Então é só pensar nisso como uma quadrática em x. Como = = 125 > 0, a equação tem duas raízes, a saber x 1 = ; x 2 = Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. MA23 Delgado, - Unidade K. Frensel 7-2 e L. Crissaff. Geometria 4 Anaĺıtica. de agosto de Col2014 PROFMAT 5 / 5
18 Exemplo 2 No plano xy, o que a equação x 2 13x + 11 = 0 representa? Ué, cadê o y...? Ah, é um caso degenerado... Então é só pensar nisso como uma quadrática em x. Como = = 125 > 0, a equação tem duas raízes, a saber x 1 = ; x 2 = Na reta real, seriam dois pontos... Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. MA23 Delgado, - Unidade K. Frensel 7-2 e L. Crissaff. Geometria 4 Anaĺıtica. de agosto de Col2014 PROFMAT 5 / 5
19 Exemplo 2 No plano xy, o que a equação x 2 13x + 11 = 0 representa? Ué, cadê o y...? Ah, é um caso degenerado... Então é só pensar nisso como uma quadrática em x. Como = = 125 > 0, a equação tem duas raízes, a saber x 1 = ; x 2 = Na reta real, seriam dois pontos......mas no plano xy, são duas retas verticais: x = x 1 e x = x 2 Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. MA23 Delgado, - Unidade K. Frensel 7-2 e L. Crissaff. Geometria 4 Anaĺıtica. de agosto de Col2014 PROFMAT 5 / 5
20 Exemplo 2 No plano xy, o que a equação x 2 13x + 11 = 0 representa? Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto J. MA23 Delgado, - Unidade K. Frensel 7-2 e L. Crissaff. Geometria 4 Anaĺıtica. de agosto de Col2014 PROFMAT 5 / 5
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