Séries de Pagamentos

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1 Séries de Pagamentos GST0054 MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Antonio Sérgio GST0045 Matemática Financeira 1

2 São as prestações que você já conhece: Carnê da loja; Leasing do carro, etc. Modelo PRICE todas as prestações tem o mesmo valor. PMT (Payment) Valor do pagamento ou recebimento a realizar-se numa data preestabelecida. Séries podem ser (tempo): Temporárias (finitas) período de tempo definido Perpétuas (infinitas) série tem início mas não tem fim preestabelecido. Ex: aluguéis, arrendamentos, etc. GST0045 Matemática Financeira 2

3 Séries podem ser (vencimento): Postecipadas o vencimento de todos os pagamentos ou recebimentos ocorre no final de cada período. HP-12c: g 8 (END) Antecipada o vencimento ocorre no início de cada período. HP-12c: g 7 (BEG) Diferidas o vencimento ocorre no término de um período de carência. GST0045 Matemática Financeira 3

4 Postecipadas Antecipadas Diferidas Período: 0 PV e n FV GST0045 Matemática Financeira 4

5 Fórmula do cálculo do valor presente (PV), dada a prestação (PMT): (1 + i) n 1 PV = PMT. i. (1 + i) n Fórmula do cálculo da prestação (PMT), dado o valor presente (PV): i. (1 + i) n PMT = PV. (1 + i) n 1 GST0045 Matemática Financeira 5

6 Fórmula do cálculo do valor futuro (FV), dada a prestação (PMT): FV = PMT. (1 + i) n 1 i Fórmula do cálculo da prestação (PMT), dado o valor futuro (FV): i PMT = FV. (1 + i) n 1 GST0045 Matemática Financeira 6

7 Operações com séries Postecipadas: Exemplo da montagem de um gráfico e uso da HP-12C: Uma loja anuncia uma televisão por R$1.022,00, ou como diz o anúncio, em 12 x R$150,00 = R$1.800,00. Como seria montada nossa representação gráfica? PV = PMT. (1+i) n 1 i.(1+i) n 1022 = 150. (1+i) 12 1 i.(1+i) 12 GST0045 Matemática Financeira 7

8 Cáluclo do Juro na HP-12c: Comum no mercado: GST0045 Matemática Financeira 8

9 Operações com séries Antecipadas: Fórmula para prestações antecipadas: PV = 1 + i. PMT. (1+i) n 1 i.(1+i) n 1022 = 1 + i (1 + i) 12 1 i. (1 + i) 12 GST0045 Matemática Financeira 9

10 Fórmula do cálculo do valor presente (PV), dada a prestação (PMT): Antecipadas PV = PMT. (1 + i) n 1 i. (1 + i) n 1 Fórmula do cálculo da prestação (PMT), dado o valor presente (PV): Antecipadas PMT = PV. i. (1 + i) n 1 (1 + i) n 1 GST0045 Matemática Financeira 10

11 Fórmula do cálculo do valor futuro (FV), dada a prestação (PMT): Antecipadas FV = PMT. (1 + i) n 1 i Fórmula do cálculo da prestação (PMT), dado o valor futuro (FV): Antecipadas FV. i PMT = [(1 + i) n 1]. (1 + i) GST0045 Matemática Financeira 11

12 Cálculo do Juro na HP-12c (Antecipadas): Operações com séries Diferidas (carência): GST0045 Matemática Financeira 12

13 Exercícios 1) Calcule o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de R$10.000,00 no final de cada um dos próximos oito anos, sabendose que esse investimento é remunerado com um taxa efetiva de 10% ao ano, no regime de juros compostos. PV = PMT. (1+i) n 1 i.(1+i) n PV = (1+0,1) 8 1 0,1.(1+0,1) 8 HP-12c: i=10, n=8, PMT=-10000, PV=? PV = R$53.349,26 GST0045 Matemática Financeira 13

14 Exercícios 2) Calcule o valor das prestações anuais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de 8% ao ano, no regime de juros compostos, sabendo-se que o valor principal é R$1.000,00 e que o prazo da operação é de quatro anos. PMT = PV. PMT = i.(1+i) n (1+i) n 1 0,08. (1 + 0,08) 4 (1 + 0,08) 4 1 HP-12c: i=8, n=4, PV=1000, PMT=? PMT = R$301,92 GST0045 Matemática Financeira 14

15 Exercícios 3) Uma instituição financeira que remunera seus depósitos em 1,5% ao mês, no regime de juros compostos. Um investidor efetua seis depósitos mensais e iguais a R$800,00, ocorrendo o 1º. depósito no final do mês, durante 6 meses nessa instituição. Calcule o valor do saldo acumulado após esses depósitos. FV = PMT. (1+i) n 1 i FV = 800. (1+0,015) 6 1 0,015 HP-12c: i=1,5, n=6, PMT=-800, FV=? FV = R$4.983,64 GST0045 Matemática Financeira 15

16 Exercícios 4) Calcule o valor de seis depósitos mensais, iguais e sucessivos, capazes de produzir um montante de R$5.000,00 no final do 6º. Mês, imediatamente após a realização do 6º. Depósito, sabendo-se que esses depósitos são remunerados com uma taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente. PMT = FV. i = 12% = 1% a. mês 12 i PMT = ,01 (1+i) n 1 (1+0,01) 6 1 HP-12c: i=1, n=6, FV=5000, PMT=? PMT = R$812,74 GST0045 Matemática Financeira 16

17 Exercícios 5) Determine o PV de um financiamento que tem uma taxa de 1% a.m., juros compostos, para ser liquidado em 12 prestações mensais de $1.000,00. HP-12c: n=12, PMT=-1.000,00, i=1, PV=? PV = R$11.255,08 6) Calcule a prestação mensal postecipada de um financiamento de $20.000,00, num prazo de 2 anos, com uma taxa de 3% ao mês, juros compostos. HP-12c: n=24, PV=20000, i=3, PMT=? PMT = R$1.180,95 GST0045 Matemática Financeira 17

18 Exercícios 7) Um equipamento custa R$11.400,00, à vista, e está sendo financiado com R$1.400,00 de entrada e mais 4 prestações mensais de $2,580,00. Qual a taxa efetiva mensal cobrada na parcela financiada? HP-12c: n=4, PMT=-2580, PV= =10000, i=? i=1,272 % a.m. 8) Um principal de R$1.000,00 deve ser liquidado em 5 prestações mensais, com uma taxa e 1% a.m. Calcule o valor do PMT, quando a 1ª prestação ocorrer: (a) um mês após a liberação dos recursos (postecipada); (b) no ato da liberação dos recursos (antecipada). (a) Série Postecipada END HP-12c: g8 (END), n=5, i=1, PV=1000, PMT=? PMT = R$206,04 (b) Série Antecipada BEGIN HP-12c: g7 (BEGIN), n=5, i=1, PV=1000, PMT=? PMT = R$204,00 GST0045 Matemática Financeira 18

19 Exercícios 9) Uma dívida deve ser liquidada em 3 prestações trimestrais de R$1.000,00. Determine o principal da dívida para uma taxa efetiva de 1%a.m. HP-12c: [1 trimestre] n=3, i=1, FV=1.000,00, PV1=? PV1 = R$970,59 [2 trimestre] n=6, i=1, FV=1.000,00, PV2=? PV2 = R$942,05 [3 trimestre] n=9, i=1, FV=1.000,00, PV3=? PV3 = R$914,34 PV = 970, , ,34 = R$2.826,98 GST0045 Matemática Financeira 19

20 Exercícios 10) Os depósitos anuais de R$1.000,00 são remunerados com a taxa de 10% a.a. Calcule o montante no final do 4º ano, antes da efetivação do 4º depósito. HP-12c: n=4, PMT=-1.000,00, i=10, FV=? FV = R$4.641,00 Saldo antes do 4º. depósito: R$4.641,00 - R$1.000,00 = $3.641,00 11) Calcule o valor dos 4 depósitos trimestrais para se acumular o montante de $10.000,00 no final do 4º trimestre, com uma taxa de 3% a.t.. HP-12c: n=4, i=3, FV=10000, PMT=? PMT = R$2.390,27 GST0045 Matemática Financeira 20