MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Aulas: Matemática Financeira

Transcrição

1 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Aulas: Matemática Financeira 2016 by Inbrasc. This work is licensed under the Creative Commons. If you want to use or share, you must give appropriate credit to Inbrasc.

2 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS O valor do dinheiro muda com o tempo

3 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Desde que o Plano Real foi lançado, em 1º de julho de 1994, até março de 2016, a moeda se desvalorizou 81,41%. Com isso, a nota de R$ 100, na prática, valia R$18,59.

4 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Por que isso acontece?

5 Conceitos MBA EM GESTÃO DE Básicos COMPRAS Leitura complementar Artigo Desvalorização do Real: Inflação de 438% desde criação do real faz nota de R$ 100 valer R$ 18,59

6 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Como acompanhar o valor do dinheiro ao longo do tempo?

7 Conceitos MBA EM GESTÃO DE Básicos COMPRAS Matemática Financeira Definição Estudo da evolução do dinheiro no tempo, visando estabelecer relações formais entre quantias expressas em datas distintas. Conjunto de técnicas e formulações extraídas da matemática com o objetivo específico de avaliar operações de investimento e empréstimo.

8 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Verdadeiro ou falso? Oferta: Produto à vista por R$ 500 ou em 10 parcelas, sem entrada, de R$ 100. Se o comprador optar pelo pagamento parcelado acabará pagando duas vezes pelo produto.

9 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Se o valor do dinheiro muda com o tempo Somente é possível comparar quantias expressas em uma mesma data. Somente é possível efetuar operações algébricas com quantias expressas em uma mesma data.

10 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Se o valor do dinheiro muda com o tempo R$ 500,00 na data de hoje não são iguais a R$ 500,00 em outra data futura. O dinheiro cresce no tempo devido à taxa de juros. Se aplicarmos R$ 500,00 hoje a 8% a.a., teremos um rendimento anual de R$ 40,00, proporcionando um montante de R$540,00 no final do ano e de R$ 533 em dez meses. Para uma taxa de juros de 8% a.a., tanto faz termos R$ 500 hoje, ou R$ 533 daqui a dez meses.

11 Conceitos MBA EM GESTÃO DE Básicos COMPRAS Se o valor do dinheiro muda com o tempo R$ 500,00 hoje somente serão iguais a R$500,00 daqui a um ano na hipótese absurda de a taxa de juros ser nula por isso não podemos dizer que a firmação anterior é verdadeira. Montantes em datas diferentes só devem ser somados após transformados em valores de uma mesma data, mediante aplicação correta de uma taxa de juros.

12 Conceitos MBA EM GESTÃO DE Básicos COMPRAS Conceitos Gerais Juros Juros é dinheiro pago pelo uso do dinheiro, como se fosse um aluguel. Para o credor (aquele que tem algo a receber), é uma compensação pelo tempo que ficará sem utilizar o dinheiro. Para quem faz um empréstimo em dinheiro ou faz uma compra a crédito, é um acréscimo a ser pago pela utilização do dinheiro ou pelo parcelamento da totalidade do valor do bem.

13 Conceitos MBA EM GESTÃO DE Básicos COMPRAS Conceitos Gerais Juros Matematicamente, juros (J) é a diferença entre o capital que foi emprestado (C) e o montante que é cobrado no período de tempo futuro (M), quer seja ano, mês ou dia. J = M - C

14 Conceitos MBA EM GESTÃO DE Básicos COMPRAS Conceitos Gerais Taxa de Juros Para determinar o valor dos juros são definidas taxas percentuais (taxas de juros) fixadas pelo credor. As taxas de juros são calculadas de acordo com alguns fatores como: inflação em vigor, o que foi acordado no contrato e risco do empréstimo para o credor. As taxas podem ser maiores ou menores numa relação proporcional ao tamanho do risco.

15 Conceitos MBA EM GESTÃO DE Básicos COMPRAS Conceitos Gerais Taxa de Juros No Brasil, os bancos utilizam uma taxa de referência básica, criada em 1979 pelo Banco Central do Brasil, chamada Taxa Selic (Sistema Especial de Liquidação e Custódia). Essa taxa também é utilizada na delimitação das taxas de juros para o comércio.

16 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Conceitos Gerais Taxa de Juros Matematicamente, a taxa de juros (i) é definida como sendo o que foi cobrado de juros (J) dividido pelo capital principal (C) emprestado: i = J / C i = M-C / C As taxas de juros são expressas em porcentual por um período de tempo: % a.a. (anuais) % a.s. (semestrais) % a.t. (trimestrais) % a.m. (mensais) % a.d. (diárias)

17 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Conceitos Gerais Regime de Juros Definem como os juros são formados e sucessivamente incorporados ao capital principal ao final de cada período, no decorrer da aplicação. Os principais regimes de juros são: Juros simples (linear, progressão aritmética) Juros compostos (exponencial, progressão geométrica) Juros nominais Juros de mora Juros reais Juros rotativos Juros sobre o capital próprio Etc.

18 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Juros Simples

19 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Juros Simples A taxa de juros a cada período incide apenas sobre o capital principal (C).

20 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Juros Simples Exemplo Imagine um capital inicial de R$ 100 investido a uma taxa de juros simples de 10% ao mês. Como seria a situação ao final de cada mês, até o terceiro mês de aplicação? +10% +10% +10% R$ 100,00 R$ 110,00 R$ 120,00 R$ 130,00 Mês 0 Mês 1 Mês 2 Mês 3

21 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Juros Simples O regime de juros simples considera que os juros formados em cada período são resultado da aplicação da taxa de juros exclusivamente sobre o capital inicial. O capital inicial, portanto, é a base de cálculo dos juros em cada período considerado na operação. Os juros formados em cada período não são incorporados ao capital sobre o qual incidirão os juros do período seguinte.

22 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Juros Simples Formação Capital Inicial (C 0 ) R$ 1.000,00 Taxa de juros 10% a.p. Período Capital Inicial Juros Capital Final 0 - R$ 1.000,00 (C 0 ) 1 R$ 100,00 R$ 1.100,00 (C 1 ) 2 R$ 100,00 R$ 1.200,00 (C 2 ) R$ 1.000,00 3 R$ 100,00 R$ 1.300,00 (C 3 ) 4 R$ 100,00 R$ 1.400,00 (C 4 ) 5 R$ 100,00 R$ 1.500,00 (C 5 )

23 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Juros Simples Gráfico No regime de juros simples, o crescimento do dinheiro ao longo do tempo é linear, em progressão aritmética. Função Linear: y = a + bx C n = C 0 + (C 0.i).n

24 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Juros Simples Fórmulas Se um capital inicial C for tomado emprestado a uma taxa de juros simples i, durante um período n, o valor dos juros J cobrados é: J = C.i.n Já o valor final (montante - M) após ter passado todos os períodos (n) e, portanto, incidido totalmente os juros (J) é equivalente à soma dos juros e do capital inicial, ou seja: M = C + J M = C + C.i.n M = C.(1 + i.n) Onde: J = Juros C = Capital i = Taxa de juros n = Períodos M = Montante

25 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Juros Simples Exercício #1 Se tomarmos um empréstimo de R$ pelo prazo de 5 anos à taxa simples de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago como juro?

26 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Juros Simples Exercício #1 Se tomarmos um empréstimo de R$ pelo prazo de 5 anos à taxa simples de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago como juro? Do enunciado, extraímos que: C = i = 10/100 = 0,1 n = 5 Sendo assim: J = C.i.n J = ,1. 5 J =

27 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Juros Simples Exercício #2 Qual o montante equivalente a R$ 100 capitalizados a uma taxa de juros simples de 50% ao ano em cinco anos?

28 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Juros Simples Exercício #2 Qual o montante equivalente a R$ 100 capitalizados a uma taxa de juros simples de 50% ao ano em cinco anos? Do enunciado, extraímos que: C = 100 i = 50/100 n = 5 Sendo assim: M = C. (1 + i.n) M = 100. (1 + 0,5.5) M = 100. (1 + 2,5) M = ,5 M = 350

29 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Juros Simples Exercício #2 Qual o montante equivalente a R$ 100 capitalizados a uma taxa de juros simples de 50% ao ano em cinco anos? Período (n) Valor início do período Juros do período Valor ao fim do período

30 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Juros Compostos

31 Conceitos MBA EM GESTÃO DE Básicos COMPRAS Juros Compostos A taxa de juros a cada período incide sobre todo o capital acumulado (principal + juros) é o regime mais utilizado pelas instituições financeiras.

32 Conceitos MBA EM GESTÃO DE Básicos COMPRAS Juros Compostos Exemplo Imagine um capital inicial de R$ 100 investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês. Como seria a situação ao final de cada mês, até o terceiro mês de aplicação? +10% +10% R$ 100,00 R$ 110,00 R$ 121,00 R$ 133,10 Mês 0 Mês 1 Mês 2 Mês 3 +10%

33 Conceitos MBA EM GESTÃO DE Básicos COMPRAS Juros Compostos O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são incorporados ao capital, e os juros para o próximo período são calculados sobre esse novo capital. É o método mais empregado por instituições bancárias e financiadoras. Os juros acumulados ao longo dos períodos, quando retidos pela instituição financeira, são capitalizados e passam a render juros.

34 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Juros Compostos Formação Capital Inicial (C 0 ) R$ 1.000,00 Taxa de juros 10% a.p. Período Capital Inicial Juros Capital Final 0 R$ 1.000,00 - R$ 1.000,00 (C 0 ) 1 R$ 1.000,00 R$ 100,00 R$ 1.100,00 (C 1 ) 2 R$ 1.100,00 R$ 110,00 R$ 1.210,00 (C 2 ) 3 R$ 1.210,00 R$ 121,00 R$ 1.331,00 (C 3 ) 4 R$ 1.331,00 R$ 133,10 R$ 1.464,10 (C 4 ) 5 R$ 1.464,10 R$ 146,41 R$ 1.610,51 (C 5 )

35 Conceitos MBA EM GESTÃO DE Básicos COMPRAS Juros Compostos Gráfico No regime de juros simples, o crescimento do dinheiro ao longo do tempo é exponencial ou em progressão geométrica. Função Exponencial: y = a. (b) x C n = C 0. (1 + i) n

36 Fórmula MBA EM GESTÃO de DE COMPRAS Juros Simples Juros Compostos Fórmulas Se um capital (C 0 ) for tomado emprestado a uma taxa de juros compostos (i), o valor do juro (Jn) cobrado ao final de n períodos é: J n = C 0. [(1+i) n 1] Já o montante (Cn), após n períodos, decorrente de um capital inicial (C 0 ) investido a uma taxa de juros compostos (i), é calculado por: Onde: J n = juros acumulados até o final de n períodos de capitalização; C 0 = capital inicial; C n = C 0.(1+i) n C n = capital acumulado até o final de n períodos de capitalização; i = taxa de juros; n = períodos de capitalização.

37 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Juros Compostos Exercício #1 Se tomarmos um empréstimo de R$ pelo prazo de 5 anos à taxa de juros compostos de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago como juro?

38 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Juros Compostos Exercício #1 Se tomarmos um empréstimo de R$ pelo prazo de 5 anos à taxa de juros compostos de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago como juro? Do enunciado, extraímos que: C 0 = i = 10/100 = 0,1 n = 5 Sendo assim: J n = C 0. [(1+i) n 1] J n = [(1+0,1) 5 1] J n = [(1,1) 5 1] J n = [(1,61051) 1] J n = ,61051 J n = ,50

39 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Juros Compostos Exercício #2 Qual o montante equivalente a R$ 100 capitalizados a 50% ao ano em cinco anos?

40 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Juros Compostos Exercício #2 Qual o montante equivalente a R$ 100 capitalizados a 50% ao ano em cinco anos? Do enunciado, extraímos que: C 0 = 100 i = 50/100 = 0,5 n = 5 Sendo assim: C n = C 0. (1+i) n C n = 100. (1 + 0,5) 5 C n = 100. (1,5) 5 C n = ,59375 C n = 759,375

41 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Juros Compostos Exercício #2 Qual o montante equivalente a R$ 100 capitalizados a 50% ao ano em cinco anos? Período (n) Valor início do período Juros do período Valor ao fim do período (C 0 ) (C 1 ) (C 2 ) ,5 337,5 (C 3 ) 4 337,5 168,75 506,25 (C 4 ) 5 506,25 253, ,375 (C 5 )

42 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Juros Simples X Juros Compostos

43 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Taxa de Equivalência

44 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Taxas Equivalentes Duas taxas de juros expressas em unidades de tempo distintas serão ditas equivalentes quando produzirem o mesmo montante a partir de um capital inicial, mantendo-se constantes: O prazo da aplicação. O regime de aplicação (juros simples ou compostos). O período de capitalização (mensal, trimestral, anual etc).

45 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Taxas Equivalentes Exemplo Capital: R$ Taxa: 5% ao mês Regime: Simples Período: 12 meses Mês Capital Inicial Juros Capital Final 0 - R$ 1.000,00 1 R$ 50,00 R$ 1.050,00 2 R$ 50,00 R$ 1.100,00 Capital: R$ Taxa: 60% ao ano Regime: Simples Período: 12 meses - 1 ano Mês Capital Inicial Juros Capital Final 0 - R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 1 R$ 600,00 R$ 1.600,00 3 R$ 50,00 R$ 1.150,00 4 R$ 50,00 R$ 1.200,00 5 R$ 50,00 R$ 1.250,00 6 R$ 1.000,00 R$ 50,00 R$ 1.300,00 7 R$ 50,00 R$ 1.350,00 8 R$ 50,00 R$ 1.400,00 9 R$ 50,00 R$ 1.450,00 10 R$ 50,00 R$ 1.500,00 11 R$ 50,00 R$ 1.550,00 12 R$ 50,00 R$ 1.600,00 Ao final de 12 meses, as taxas de juros simples de 5% a.m. e 60% a.a. produziram o mesmo montante, a partir de um mesmo capital inicial. Por isso, podemos dizer que as taxas simples de 5% a.m. e 60% a.a. são taxas equivalentes.

46 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Taxas Equivalentes em Juros Simples Fórmula No regime de juros simples, diante de sua própria natureza linear, tem-se que as taxas equivalentes são obtidas sempre de forma proporcional. Assim: i 1 n 1 = i 2 n 2 ou i 1 i 2 = n 1 n 2

47 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Taxas Equivalentes em Juros Compostos Fórmula No regime de juros compostos, em função de sua natureza exponencial, as taxas equivalentes não podem ser obtidas de forma proporcional, como no caso dos juros simples. Para calcular, utilizamos a seguinte fórmula: i 1 = [(1 + i 2 ) (n2/n1) ] - 1

48 Conceitos MBA EM GESTÃO DE Básicos COMPRAS Regra Importante Para Aplicação da Fórmula Para que as taxas sejam equivalentes, os períodos de capitalização devem ser os mesmos, ainda que em unidades diferentes. Para facilitar a conversão, atribua 1 à maior unidade de tempo e calcule a equivalência da outra unidade. Exemplos: i 1 n 1 i 2 n 2 10% a.a. 1 (ano) i% a.d. 365 (dias) 4% a.t. 1 (trimestre) i% a.b. 1,5 (bimestre) 5% a.m. 12 (meses) i% a.a. 1 (ano) 1% a.d. 182,5 (dias) i% a.s. 1 (semestre)

49 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Taxas Equivalentes em Juros Simples Exercício Sendo dada a taxa de juros simples de 24% ao ano, determine a taxa proporcional mensal.

50 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Taxas Equivalentes em Juros Simples Exercício Sendo dada a taxa de juros simples de 24% ao ano, determine a taxa proporcional mensal. Sendo assim: Do enunciado, extraímos que: i 1 = 24/100 = 0,24 n 1 = 1 ano = 12 meses i 2 =? n 2 = 1 mês i 1 i = 2 n 1 n 2 i 1. n 2 = n 1. i 2 0,24. 1 = 12. i 2 i 2 = 0,24/12 i 2 = 0,02 i 2 = 2% a.m.

51 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Taxas Equivalentes em Juros Compostos Exercício #1 Determine a taxa anual equivalente a taxa de juros compostos de 2% a.m.

52 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Taxas Equivalentes em Juros Compostos Exercício #1 Determine a taxa anual equivalente a taxa de juros compostos de 2% a.m. Do enunciado, extraímos que: i 1 =? a.a n 1 = 1 ano i 2 = 2/100 = 0,02 n 2 = 12 meses Sendo assim: i 1 = [(1 + i 2 ) (n2/n1) ] 1 i 1 = [(1 + 0,02 ) (12/1) ] 1 i 1 = [(1,02) 12 ] 1 i 1 = 1, i 1 = 0, i 1 = 26,8242% a.a.

53 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Taxas Equivalentes em Juros Compostos Exercício #2 Qual a taxa mensal de juros compostos equivalentes a 0,1% ao dia?

54 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Taxas Equivalentes em Juros Compostos Exercício #2 Qual a taxa mensal de juros compostos equivalentes a 0,1% ao dia? Do enunciado, extraímos que: i 1 =? a.m n 1 = 1 mês i 2 = 0,1/100 = 0,001 n 2 = 30 dias Sendo assim: i 1 = [(1 + i 2 ) (n 2 /n 1 )] 1 i 1 = [(1 + 0,001 ) (30/1)] 1 i 1 = [(1,001) 30] 1 i 1 = 1, i 1 = 0, i 1 = 3,0439% a.m.

55 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Taxa Efetiva e Nominal

56 Taxas Nominais MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Taxa Efetiva e Taxa Nominal Há situações em que os juros de uma aplicação são capitalizados mais de uma vez durante o período a que se refere a taxa de juros. Com isso, o total de juros gerado no período integral é maior que a taxa apresentada. A taxa de juros apresentada é chamada de taxa nominal. A taxa de juros real calculada para o período é chamada de taxa efetiva.

57 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Taxa Efetiva Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Exemplos: 2% ao mês, capitalizados mensalmente 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente 6% ao semestre, capitalizados semestralmente 12% ao ano, capitalizados anualmente %

58 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Taxa Nominal Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Exemplos: 12% ao ano, capitalizados mensalmente 24% ao ano, capitalizados semestralmente 10% ao ano, capitalizados trimestralmente 18% ao ano, capitalizados diariamente %

59 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Nunca utilize a taxa nominal para fazer contas! Encontre a Taxa Efetiva!

60 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Encontrar a Taxa Efetiva a partir da Taxa Nominal Para encontrar a taxa efetiva a partir da taxa nominal, basta utilizar regra de três. i nom = n i nom nom i efet ou = i efet n efet n nom n efet

61 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Encontrar a Taxa Efetiva a partir da Taxa Nominal Exercício Claudia contrata um empréstimo de R$ , com taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Qual é a taxa efetiva anual?

62 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Encontrar a Taxa Efetiva a partir da Taxa Nominal Exercício Claudia contrata um empréstimo de R$ , com taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Qual é a taxa efetiva anual? Do enunciado, extraímos que: C = i nom = 24% a.a. n nom = 1 ano = 12 meses i efet =? a.m. n efet = 1 mês Sendo assim: i nom i efet = n nom n efet 24 = 12 i efet 1 i efet = 2% a.m. Sendo assim: i 1 = [(1 + i 2 ) (n2/n1) ] 1 i 1 = [(1 + 0,02 ) (12/1) ] 1 i 1 = [(1,02) 12 ] 1 i 1 = 1, i 1 = 0, i 1 = 26,8242% a.a.

63 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Série de Pagamentos e Amortização

64 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Série ou Anuidade Nas aplicações, o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamento ou de recebimentos. Quando esses pagamentos ou recebimentos são feitos de forma periódica e iguais, damos a eles o nome de série ou anuidade uniforme

65 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Série ou Anuidade É uma sequência de depósitos/pagamentos iguais, feitos sucessivamente e em um intervalo de tempo fixo. Os depósitos/pagamentos periódicos podem ser anuais, semestrais, trimestrais, mensais, ou em qualquer outro intervalo de tempo fixo. A taxa de juros em cada período é a mesma

66 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Série ou Anuidade Exemplo Dona Ângela comprou uma geladeira em 12 prestações fixas de R$ 250,00, a serem pagas todo dia 15 de cada mês.

67 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Série ou Anuidade Exemplo A cada três meses, Walter e sua esposa depositam R$ 5.000,00 na poupança para pagar a faculdade das filhas no futuro.

68 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Série ou Anuidade Tipos Postecipada (sem entrada) O pagamento ocorre no fim do período. Antecipada (com entrada) O primeiro pagamento ocorre no início do período. Diferida A série de pagamento se inicia após decorrido um certo número de períodos sem pagamentos, geralmente conhecido por período de carência.

69 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Série ou Anuidade Tipos Postecipada (sem entrada) O pagamento ocorre no fim do período. Antecipada (com entrada) O primeiro pagamento ocorre no início do período. Diferida A série de pagamento se inicia após decorrido um certo número de períodos sem pagamentos, geralmente conhecido por período de carência.

70 Nominal MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Série Postecipada Sem entrada: 0 + n. A série ou parcela (PMT) começa a ser paga no período 1. O valor presente está no período 0. PMT 1 PMT 2 PMT n n PV

71 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Série Postecipada Fórmulas PMT = PV. i 1 (1 + i) -n [ ] FV = PMT. (1 + i) n 1 i Onde: PMT = parcela; PV = valor presente; FV = valor futuro; i = taxa de juros; n = períodos de capitalização.

72 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Série Postecipada Exercício Um produto que custa R$ 320 à vista pode ser vendido em 4 parcelas, sem entrada. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, calcule o valor das parcelas.

73 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Série Postecipada Exercício Um produto que custa R$ 320 à vista pode ser vendido em 4 parcelas, sem entrada. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, calcule o valor das parcelas. Do enunciado, extraímos que: VA = 320 n = 4 i = 2% a.m. = 0,02 PMT =? Sendo assim: PMT = PV. i 1 (1 + i) -n PMT = ,02 1 (1 + 0,02) -4 PMT = 84,04

74 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Série ou Anuidade Tipos Postecipada (sem entrada) O pagamento ocorre no fim do período. Antecipada (com entrada) O primeiro pagamento ocorre no início do período. Diferida A série de pagamento se inicia após decorrido um certo número de períodos sem pagamentos, geralmente conhecido por período de carência.

75 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Série Antecipada Com entrada: 1 + n A série ou parcela (PMT) começa a ser paga no período 0. O valor presente está no período 0. A taxa de juro não incide sobre o valor dado como entrada. PMT 1 PMT 2 PMT 3 PMT n n PV

76 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Série Antecipada Fórmulas PMT = PV. i 1 (1 + i) -n.(1 + i) -1 [ ] FV = PMT. (1 + i) n 1 i.(1 + i) Onde: PMT = parcela; PV = valor presente; FV = valor futuro; i = taxa de juros; n = períodos de capitalização.

77 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Série Antecipada Exercício #1 As Lojas Brasileiras estão vendendo um aparelho de ar condicionado à vista por R$ 1.799,00 ou em 15 prestações fixas, sendo a primeira no ato da compra. Qual o valor das prestações, se a taxa cobrada pela loja é de 1,3% a.m.?

78 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Série Antecipada Exercício #1 As Lojas Brasileiras estão vendendo um aparelho de ar condicionado à vista por R$ 1.799,00 ou em 15 prestações fixas, sendo a primeira no ato da compra. Qual o valor das prestações, se a taxa cobrada pela loja é de 1,3% a.m.? Do enunciado, extraímos que: PV = 1799 n = 15 i = 1,3% a.m. = 0,013 PMT =? Sendo assim: PMT = PV. i. (1 + i) (1+ i) -n PMT = ,013. (1 + 0,013) (1+ 0,013) -15 PMT = ,013. 0, , PMT = 131,08

79 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Série Antecipada Exercício #2 Qual o montante que um poupador acumula em 12 meses se ele aplicar R$ 1.500,00, à taxa de 4,5% a.m., ao final de cada mês?

80 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Série Antecipada Exercício #2 Qual o montante que um poupador acumula em 12 meses se ele aplicar R$ 1.500,00, à taxa de 4,5% a.m.? Do enunciado, extraímos que: FV =? n = 12 i = 4,5% a.m. = 0,045 PMT = 1500 Sendo assim: [ ] i [ ] FV = PMT. (1 + i) n 1. (1 + i) FV = (1 + 0,045) (1 + 0,045) 0,045 FV = , ,045 FV = ,82

81 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Série ou Anuidade Tipos Postecipada (sem entrada) O pagamento ocorre no fim do período. Antecipada (com entrada) O primeiro pagamento ocorre no início do período. Diferida A série de pagamento se inicia após decorrido um certo número de períodos sem pagamentos, geralmente conhecido por período de carência.

82 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Série Diferida A série de pagamentos (PMT) começa em prazo superior a 1 período. O período de carência equivale ao tempo que demora pra iniciar a série de pagamentos menos um. O valor presente está no período 0. Carência PMT 1 PMT 2 PMT 3 PMT n n PV

83 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Série Diferida Fórmulas PMT = PV.(1 + i) d. i 1 (1 + i) -n Onde: PMT = parcela; PV = valor presente; FV = valor futuro; [ ] FV = PMT.(1 + i) n+d. 1 (1 + i) -n i d = carência; i = taxa de juros; n = períodos de capitalização.

84 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Série Diferida Exercício #1 Um produto que custa R$ 320,00 à vista pode ser vendido em 4 parcelas, sendo que a primeira será paga 3 meses após a compra. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, calcule o valor das parcelas.

85 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Série Diferida Exercício #1 Um produto que custa R$ 320,00 à vista pode ser vendido em 4 parcelas, sendo que a primeira será paga 3 meses após a compra. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, calcule o valor das parcelas. Do enunciado, extraímos que: PV = 320 n = 4 d = 3-1 = 2 i = 2% a.m. = 0,02 PMT =? Sendo assim: PMT = PV. (1 + i) d. i 1 (1 + i) -n PMT = 320. (1 + 0,02) 2. 0,02 1 (1 + 0,02) -4 PMT = , ,02 0, PMT = 87,43

86 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Série Diferida Exercício #2 Uma pessoa efetua 8 depósitos mensais de R$ ,00, recebendo uma taxa de 10% ao mês de juros. Quanto terá essa pessoa 4 meses após o último depósito?

87 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Série Diferida Exercício #2 Uma pessoa efetua 8 depósitos mensais de R$ ,00, recebendo uma taxa de 10% ao mês de juros. Quanto terá essa pessoa 4 meses após o último depósito? Do enunciado, extraímos que: FV =? n = 8 d = 4 i = 10% a.m. = 0,1 PMT = Sendo assim: FV = PMT. (1+ i ) n+d [. 1 (1 + i) -n ] i FV = (1+ 0,1 ) [ (1 + 0,1) -8 ] 0,1 FV = , , FV = ,68

88 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Amortização Nas aplicações financeiras, quando o objetivo é constituir um capital em uma data futura, tem-se um processo de Capitalização, quando se quer pagar uma dívida, tem-se um processo de Amortização. Amortização, portanto, é um processo que extingue dívidas através de pagamentos periódicos.

89 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Amortização Tipos Existem vários sistemas de amortização, os mais conhecidos são: Sistema de Amortização Constante (SAC): a amortização é igual em todos os períodos e o valor das parcelas é decrescente. Sistema de Amortização Americano (SAA): a amortização é realizada no último período; nos períodos anteriores, paga-se somente os juros, que são constantes em todos os períodos. Tabela Price: sistema francês em que os pagamentos são iguais durante todo o período; ou seja o valor da parcela é constante => Série Postecipada.

90 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Sistema de Amortização Constante (SAC) Exemplo Amortizar em 4 pagamentos anuais uma dívida de R$ ,00 a uma taxa de juros de 10% a.a. Amortização constante: dívida/nº de parcelas => 50000/4 = Calculado sobre o saldo devedor do período anterior Amortização + juro do período Subtrai o valor da amortização em cada período Tempo Amortização Juro Parcela Saldo Devedor ,1 = = = ,1 = = = ,1 = = = ,1 = = = 0 Total

91 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Sistema de Amortização Constante (SAC) Fórmulas A = Sd 0 n Sd n = Sd n-1 - A PMT n = A + J n J n = i. Sd n-1 Onde: A = amortização; Sd = saldo devedor; n = períodos de capitalização; J = juro; i = taxa de juros.

92 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Sistema de Amortização Constante (SAC) Exercício Uma família financiou 20% de um imóvel no valor de R$ 350 mil, para pagamento em 20 anos com prestações mensais contratadas a ser amortizado pelo sistema de amortização constante SAC. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 1% ao mês, calcule o valor mensal da amortização e o valor da primeira parcela.

93 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Sistema de Amortização Constante (SAC) Exercício Uma família financiou 20% de um imóvel no valor de R$ 350 mil, para pagamento em 20 anos com prestações mensais contratadas a ser amortizado pelo sistema de amortização constante SAC. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 1% ao mês, calcule o valor mensal da amortização e o valor da primeira parcela. Do enunciado, extraímos que: Sd 0 = 20% de 350 mil = n = 20 anos = 240 meses i = 1% a.m. = 0,01 A =? PMT 1 =? Sendo assim: A = Sd 0 n A = A = 250 PMT n = A + J n PMT 1 = A + J 1 PMT 1 = i. Sd 0 PMT 1 = , PMT 1 = 850,00

94 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Sistema de Amortização Americano (SAA) Exemplo Amortizar em 4 pagamentos anuais uma dívida de R$ ,00 a uma taxa de juros de 10% a.a. Amortização só acontece no último período Calculado sobre o valor total da dívida do período anterior Amortização + juro do período Subtrai o valor da amortização em cada período Tempo Amortização Juro Parcela Saldo Devedor , = = = , = = = , = = = , = = = 0 Total

95 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Sistema de Amortização Americano (SAA) Fórmulas J = i. Sd. n A = Sd PMT n = A + J Onde: J = juro; i = taxa de juros; Sd = saldo devedor; A = amortização; PMT = parcela; n = períodos de capitalização.

96 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Sistema de Amortização Americano (SAA) Exercício Um banco empresta a importância de R$ ,00, com a taxa de 10% ao mês, para ser paga em uma única parcela seis meses após a data de contratação, porém, devendo os juros compensatórios serem pagos mensalmente durante o prazo de carência, calculado pelo sistema de amortização americano (SAA). Qual será o valor total pago de juros pela empresa?

97 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Sistema de Amortização Americano Exercício Um banco empresta a importância de R$ ,00, com a taxa de 10% ao mês, para ser paga em uma única parcela seis meses após a data de contratação, porém, devendo os juros compensatórios serem pagos mensalmente durante o prazo de carência, calculado pelo sistema de amortização americano (SAA). Qual será o valor total pago de juros pela empresa? Do enunciado, extraímos que: Sd = n = 6 1 = 5 meses i = 10% a.m. = 0,1 J =? Sendo assim: J = i. Sd. n J = 0, J = 5.000,00

98 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Tabela Price Exemplo Amortizar em 4 pagamentos anuais uma dívida de R$ ,00 a uma taxa de juros de 10% a.a. PMT = Do valor da parcela, subtrai-se o valor do juro em cada período para encontrar a amortização. Calculado sobre o saldo devedor do período anterior. Valor da parcela é constante. Para calculá-la, utiliza-se a fórmula de série postecipada. Tempo Amortização Juro Parcela Saldo Devedor PV. i 1 (1 + i) -n PMT = ,1 1 (1 + 0,1) -4 PMT = 15773, , = 10773, , ,65 = 11850, , ,565 = , = 14339,50 0, = , ,50 = 39226,50 0, ,50 = 3922,65 0, ,65 = 2737,55 0, ,65 = ,50 Total 49999,85 (50000) 13094, , ,85 = 27375, , , = 14339, , , ,50 = 0,15 (0) Subtrai o valor da amortização em cada período.

99 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Tabela Price Fórmulas PMT = PV. i 1 (1 + i) -n J n = i. Sd n-1 Sd n = Sd n-1 - A A n = PMT - J n Onde: PMT = parcela; PV = valor presente (saldo devedor inicial); J = juro A = amortização; Sd = saldo devedor; i = taxa de juros; n = períodos de capitalização.

100 Taxa MBA EM Efetiva GESTÃO DE COMPRAS a partir FINANÇAS de E uma ECONOMIA Taxa APLICADAS Nominal A COMPRAS Tabela Price Exercício Um empréstimo no valor de R$ ,00 deve ser liquidado por meio do pagamento de cinco prestações iguais e mensais, vencendo a primeira a 30 dias após a data da contratação, por meio do sistema francês de amortização. Sabendo-se que a taxa de juros compostos cobrada foi de 10% ao mês, calcule o valor das prestações a serem pagas.

101 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Tabela Price Exercício Um empréstimo no valor de R$ ,00 deve ser liquidado por meio do pagamento de cinco prestações iguais e mensais, vencendo a primeira a 30 dias após a data da contratação, por meio do sistema francês de amortização. Sabendo-se que a taxa de juros compostos cobrada foi de 10% ao mês, calcule o valor das prestações a serem pagas. Do enunciado, extraímos que: PV = n = 5 i = 10% a.m. = 0,1 PMT =? Sendo assim: PMT = PV. i 1 (1 + i) -n PMT = ,1 1 (1 + 0,1) -5 PMT = , PMT = ,73

102 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Atividade Editora Múltipla Leia com atenção case entregue. Elabore as sugestões pedidas na atividade. Participe da discussão plenária.

103 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Exercícios Extras

104 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Exercício #1 Um apartamento foi comprado por R$ ,00 e vendido por ,00. Qual o lucro na forma percentual sobre o preço de compra? Lc PrV Prc Lc , ,00 Lc , ,00 100% ,00 x x x 56,67% x

105 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Exercício #2 Um Capital de R$ ,00 aplicado por determinado tempo à taxa de 3% a.m. alcançou um montante de R$ ,00. Qual foi o tempo de aplicação? (JS) S C(1 in) ,15 1 0,03n n 5meses (1 0,03n) 1 0,03n 0,15 0,03 n

106 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Exercício #3 Quanto tempo é necessário para um Capital dobrar o valor à taxa de 10% a.m. em Juros Simples? Arbitrar o valor de R$ 100,00 para o Capital C 100,00 S i 10% 0,10 n? S C(1 in) (1 0,10n) ,10n 0,10n n 10meses

107 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Exercício #4 Qual a taxa anual equivalente a 2% a.m. na capitalização composta? (1 i) 1ano (1 i) i 1,02 (1 0,02) 12 (1 i) 1 12meses 12 i 1, i 0, ,824%

108 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Exercício #5 Uma duplicata foi descontada racionalmente 4 meses antes do vencimento a uma taxa de 2% a.m. Sabendo que o desconto foi de R$ 4.000,00, calcule o valor atual. VA=? D=4.000 i=2% N=4 DR VA i n 4000 Va 0, VA 0,02 4 VA ,00

109 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Exercício #6 Um banco ao descontar notas promissórias, utiliza o desconto comercial a uma taxa de juros simples de 8% a.m. Um cliente obteve um desconto de R$9.600,00 para um valor total de R$40.000,00. Quanto tempo antes do vencimento foi descontada essa duplicata? DC VN i n n n ,08 n , meses

110 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Exercício #6 Calcule o montante de uma série de 5 depósitos de R$ 5.000,00 cada um, efetuados no fim de cada mês, à taxa de 1,5% a.m., após o 5 depósito. M Dep (1 i) i n 1 M 5000 (1 0,015) 0, M M M 5 (1,015) , , ,33

111 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS Referência Bibliográfica UOL Economia. Inflação de 438% desde criação do real faz nota de R$ 100 valer R$ 18,59 Disponível em: < 2016/04/12/inflacao-de-438-desde-criacaodo-real-faz-nota-de-r-100-valer-r-1859.htm >. Acesso em: 19 abr SULLIVAN, Michael. Finanças. In: Matemática Finita - Uma Abordagem Aplicada. 11 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013.

112 MBA EM GESTÃO DE COMPRAS COPYRIGHT 2016 by Inbrasc. Este trabalho, incluindo todos os modelos, slides e textos estão sob a licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Para ver uma cópia desta licença, visite Você pode utilizar e distribuir esse material desde que a fonte INBRASC seja mencionada. Autorizações adicionais podem ser concedidas no âmbito desta licença pelo abaixo: alex.leite@inbrasc.org.br 2016 by Inbrasc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial- ShareAlike 4.0 International License. To view a copy of this license, visit You must give appropriate credit to Inbrasc, provide a link to the license, and indicate if changes were made. You may not use the material for commercial purposes. If you remix, transform, or build upon the material, you must distribute your contributions under the same license as the original.