Sistemas Triangulados ou Treliças

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1 CAPÍTULO IV Sistemas Triangulados ou Treliças 1 C 3 1 Esquema (1) Esquema () SEMESTRE VERÃO 004/005 Maria Idália Gomes 1/14

2 Capitulo IV Sistemas Triangulados ou Treliças 4.1 Definição Sistemas Triangulados ou Treliças são sistemas constituídos por elementos indeformáveis unidos entre si por articulações, consideradas perfeitas, e sujeitos apenas a cargas aplicadas nas articulações (nós). Assim os elementos (barras) ficam exclusivamente sujeitos a esforços normais, de tracção ou compressão. Quando os elementos da estrutura estão essencialmente num único plano a treliça é designada plana. Montantes Cordão Superior Diagonais Cordão Inferior Figura 1 Cobertura de um pavilhão industrial Cordão Inferior conjunto de elementos que forma a parte inferior; Cordão Superior conjunto de elementos que forma a parte superior; Montantes barra verticais; Diagonais barras inclinadas. Maria Idália Gomes /14

3 A definição apoia-se em simplificações, barras rígidas, nós serem rótulas e ausência de acções ao longo das barras, que conduzem a uma teoria aproximada no estudo destes sistema, desde que a estrutura esteja bem concebida, isto é, as barras sejam concorrentes num único ponto de cada nó. Figura Exemplo de uma treliça 4. Estaticidade da estrutura 4..1 Estaticidade Interior O sistema rígido mais simples é constituído por três barras articuladas entre si. Se cada nó for agregado ao sistema por intermédio de apenas duas barras obtém-se um sistema rígido, por isso invariante (não varia a sua configuração geométrica) e estaticamente determinado. Uma treliça formada deste modo é designada por treliça simples e é isostática. Sendo b o número de barras e n o número de nós então o número total de barras é dado por b = n 3. Esta relação é uma condição necessária para a estabilidade da treliça, porém não é condição suficiente, porque uma ou mais das barras podem estar dispostas de tal modo que não contribuem para uma configuração estável da treliça simples. Se b > n 3 existem mais barras que as necessárias para evitar o colapso o que sugere que a treliça seja interiormente hiperestática e por isso estaticamente indeterminada. É no entanto necessário analisar se a disposição das barras lhe permite manter uma configuração estável. Maria Idália Gomes 3/14

4 Assim sendo, as barras que não são necessárias para manter a posição de equilíbrio da treliça designam-se por redundantes e o seu número traduz o grau de hiperestaticidade interior, hi=b (n-3). Se b < n 3 há uma deficiência de barras, por isso a treliça é designada de interiormente hipoestática. O equilíbrio apenas é possível mediante certas condições que não sendo verificadas levará o sistema ao colapso. Na figura 3 a aplicação da expressão b = n-3 levaria à conclusão que o sistema é isostático, o que é falso, porque é a combinação de um sistema hiperestático (a) com um hipoestático (b). a b c 4.. Estaticidade Exterior Figura 3 A estaticidade exterior é calculada a partir das condições de apoio do sistema. Os apoios restringem os graus de liberdade e por isso o número de incógnitas que surgem, a, são calculadas a partir das equações de equilíbrio da estática, três no plano. SE os apoios estiverem colocados por forma a impedir qualquer movimento do sistema como corpo rígido o grau de hiperestaticidade exterior é então he = a -3. Sistema hipoestático a < 3 Sistema isostático a = 3 Sistema hiperstático a > 3 Maria Idália Gomes 4/14

5 4..3 Estaticidade Global A estaticidade global é dada pela soma da estaticidade interior e exterior; hg = hi + he = (b n + 3) + (a 3) = b + a n Em determinadas treliças, assim como noutros sistemas, é possível que a hiperestaticidade exterior seja compensada com a hipostaticidade interior, resultando um sistema globalmente isostático e estável. É o que se verifica na treliça representada na figura 4. F 1 R F Figura 4 No entanto, se as ligações ao exterior estiverem inconrrectamente localizadas, resulta um mecanismo, apesar de grau de hiperestaticidade exterior ser igual ao grau de hipostaticidade interior. F 1 R F Figura 5 Maria Idália Gomes 5/14

6 4.3 Classificação das treliças quanto à lei de formação Treliças Simples As treliças são formadas a partir de um triângulo base e por forma que cada novo nó seja agregado através de duas barras. Estas são interiormente isostáticas, verificando-se a condição b= n -3. Figura 6 Cobertura de uma habitação Exemplo de uma treliça simples 4.3. Treliças Compostas Resultam da associação de duas treliças simples por meio ou de três barras não paralelas nem concorrentes num ponto (esquema 1), ou de um nó e uma barra que não concorra nesse nó (esquema ). 1 C 3 1 Esquema (1) Esquema () Figura 7 Treliças compostas Maria Idália Gomes 6/14

7 Figura 8 Poste de alta tensão Exemplo de uma treliça composta As ligações entre as duas treliças simples restringem os três graus de liberdade que cada uma teria relativamente à outra. Se as treliças fossem ligadas entre si por um maior número de barras do que o indicados nos dois exemplos anteriores obtinham-se treliças compostas hiperestáticas em vez de isostáticas. Apesar de não seguir o modo de formação anteriormente referido, para as treliças compostas, também se classificam deste modo as treliças que resultam da substituição de algumas barras de uma treliça simples por uma outra treliça simples. Na treliça do esquema (3), as barras superiores foram substituídas por treliças secundárias simples obtendo-se o esquema (4). Esquema (3) Esquema (4) Figura 9 Exemplos de treliças Maria Idália Gomes 7/14

8 As vigas Gerber treliçadas são classificadas como treliças compostas. Figura 10 Viga Gerber treliçada Figura 11- Ponte BNSF RR Portland, Oregon Exemplo de uma Viga Gerber treliçada Figura 1 - Ponte Hawthorne Portland, Oregon Exemplo de uma Viga Gerber treliçada Maria Idália Gomes 8/14

9 4.3.3 Treliças Complexas Estas treliças embora satisfazendo a condição básica da isostaticidade interior b= n 3, não se identificam com as leis de formação das treliças simples ou compostas, por isso classificam-se como complexas. Figura 13 Treliças complexas 4.4 Determinação dos esforços nas barras de treliças Considerações Considera-se a treliça simples sujeita ao carregamento indicado na figura, e com as reacções de apoio calculadas a partir das equações universais da Estática. A determinação dos esforços nas barras pode ser feita utilizando-se um dos dois métodos analíticos, Equilíbrio dos nós ou Ritter. 4 P P3 6 H A V A P 1 V B Cada uma das barras da treliça faz a ligação entre dois nós. Assim, se a barra está sujeita à compressão a força que a comprime converge para os nós e, se está à tracção, a força que a tracciona sai dos nós. Maria Idália Gomes 9/14

10 4.4. Equilíbrio dos nós A treliça encontra-se em equilíbrio, por isso todos os seus nós também o estão. Este método consiste em isolarmos sucessivamente cada um dos nós, marcar as forças exteriores, activas e reactivas, e os esforços normais das barras que nele concorrem. Os esforços normais das barras serão assim determinados como forças que garantem o equilíbrio do nó. Assim, aplica-se a equação F=0 que garante o equilíbrio de forças concorrentes num ponto material, à qual correspondem as equações de projecção F x =0 e F y =0, tendo o referencial de eixos ortogonais O x O y uma qualquer orientação. A sucessão de nós é feita de modo a que surjam apenas dois esforços (incógnitas) em cada novo nó. É aconselhável, no caso da nossa sensibilidade estática não nos permitir antever a natureza do esforço que sejam todos considerados à tracção, e assim, os sinais obtidos já serão os sinais dos esforços actuantes: se for positivo (confirma o sentido arbitrado) indica tracção e se for negativo indica compressão. Exemplifica-se a seguir o equilíbrio do nó 1 e nó 3. Nó 1 N 1 F = 0 N senθ + V = 0 N y 1 A 1 H A 1 θ N 13 F = 0 N cosθ + N + H = 0 N x 1 13 A 13 V A A primeira equação permite concluir que a barra 1 está sujeita a um esforço de compressão. Nó 3 N 3 F y = 0 N P = 0 N N 31 3 N 35 F x = 0 N + N = 0 N P 1 Maria Idália Gomes 10/14

11 4.4.3 Método de Ritter Consiste em cortar a treliça por uma secção, cortando apenas três barras, não devendo estas ser paralelas nem concorrentes num ponto. Como a treliça está em equilíbrio, qualquer das partes resultantes do corte ficam em equilíbrio, porque os esforços normais actuantes nas barras cortadas as equilibram. Cortando a treliça por essas barras através da secção SS, nada se altera sob o ponto de vista estático, desde que se substituam as barras cortadas pelos esforços normais nelas actuantes e que são determinados como as forças que garantem o equilíbrio da parte cortada da treliça. É indiferente analisar a parte esquerda [esquema (5)] ou a parte direita da treliça [esquema (6)]. Escolhe-se, aquela que conduzirá a um menor trabalho numérico na obtenção dos esforços normais. S S P 4 4 P 3 H A 1 3 N 4 N 35 N N 4 N 5 N V A P 1 S S V B Esquema (6) Esquema (5) A determinação das incógnitas é a partir das equações universais da estática plana, devendo ser escolhidas e usadas de uma ordem tal que permita a determinação directa de cada uma das incógnitas. Assim são usadas três equações de momentos relativamente a três pontos não colineares, sendo, cada um destes (pontos), a intersecção das linhas de acção de duas forças incógnitas. Maria Idália Gomes 11/14

12 Usando o esquema (5) temos que: M = 0 N 5 4 M = 0 N 1 5 M = 0 N 35 As forças obtidas com sinal positivo confirmarão os sentidos arbitrados (sendo de tracção), caso o sinal seja negativo são de compressão. As secções de Ritter podem ter qualquer forma desde que sejam continuas e atravessem toda a treliça. Excepções (1) Quando se deseja conhecer o esforço numa só barra não é condição obrigatória fazer o corte apanhando apenas três barras. Efectivamente se as demais, em qualquer número, se intersectarem num único ponto, escolhe-se a equação de momentos relativamente a esse ponto, calculando-se directamente o esforço na barra em questão. Pretendemos saber N 4 M 5 = 0 S N 4 H A 1 S N 54 N S N 57 V A P 1 Então M 5 = 0 N4 Maria Idália Gomes 1/14

13 () Quando duas barras cortadas por uma secção de Ritter são paralelas é mais cómodo utilizar duas equações de momentos e uma equação de projecção numa direcção, como equações de equilíbrio da estática. S 4 P 6 H A S P 1 V A V B N 4 M = 0 N 3 4 H A N M = 0 N 13 N 13 F y = 0 N 3 V A Maria Idália Gomes 13/14

14 Exercício de Aplicação Enunciado Figura Para a estrutura apresentada: a) calcule os esforços nas barras b) confirme o esforço para a barra EC. Maria Idália Gomes 14/14