ESTUDO E ANÁLISE DE TRELIÇAS

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO DE LISBOA INSTITUTO SUPERIOR ENGENHARIA DE LISBOA Área Departamental de Engenharia Civil ESTUDO E ANÁLISE DE TRELIÇAS Maria Idália da Silva Gomes Abril de 2016

2 ÍNDICE DO TEXTO 1.1. INTRODUÇÃO ABORDAGEM HISTÓRICA DEFINIÇÃO DE TRELIÇAS ESTATICIDADE DE UMA TRELIÇA Estaticidade global Estaticidade interior Estaticidade exterior Conclusão CLASSIFICAÇÃO DAS TRELIÇAS QUANTO À LEI DE FORMAÇÃO Treliça Simples Treliças compostas Treliças complexas DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS EM TRELIÇAS Considerações Equilíbrio dos nós Método de Ritter EXERCÍCIOS PROPOSTOS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Mª Idália Gomes ISEL-ADEC i

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4 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1 - Tipos de treliças usadas em coberturas (coluna da esquerda) e pontes ou passagens superiores (coluna da direita)... 5 Figura 2 - Ponte de Apollodorus sobre o Danúbio... 6 Figura 3 - (a) Treliça tridimensional - carrinho de avanço e (b) Treliça plana... 7 Figura 4 - Composição de uma treliça... 7 Figura 5 - Ponte de treliça, com transmissão de cargas do pavimento para os nós da treliça... 8 Figura 6 - Barras de treliças sujeitas: à esquerda, à compressão e, à direita, à tracção... 9 Figura 7 - Sistemas estruturais: (a) elemento triangular; (b) elemento rectangular e (c) elemento poligonal Figura 8 - Treliça simples Figura 9 - Treliças estaticamente indeterminadas: (a) colocação adicional de uma barra e (b) colocação adicional de um apoio móvel Figura 10 - Apoio móvel Figura 11 - Articulação móvel da ponte D. Pedro II, Bahia, Brasil, Figura 12 - Articulação móvel da ponte ferroviária Zarate Brazo, Argentina, Figura 13 - Articulação móvel da ponte Millennium, sobre o rio Tâmisa, Londres, Figura 14 - Apoio fixo Figura 15 - Articulações fixas da ponte ferroviária, Argentina, Figura 16 - Articulação fixa da Estação Mapocho, actualmente Centro Cultural, Santiago, Chile, Figura 17 - Articulação fixa da ponte D. Pedro II, Bahia, Brasil, Figura 18 - Apoio pendular Figura 19 - Exemplos de apoios pendulares Figura 20 - Treliça globalmente isostática estável Figura 21 - Treliça globalmente isostática instável Figura 22 - Treliça instável: (a) configuração imprópria, (b) número inadequado de barras e (c) treliça interiormente isostática, exteriormente - número inadequado de reacções de apoio Figura 23 - Formação de uma treliça simples de ponte Howe Mª Idália Gomes ISEL-ADEC iii

5 Figura 24 - Formação de uma treliça simples de telhado Howe Figura 25 - Estrutura de suporte para telhado, com a configuração de uma treliça simples de Fink Figura 26 - Treliça composta Figura 27 - Treliça composta Figura 28 - Treliças complexas Figura 29 - Treliça simples de cobertura Figura 30 - Equilíbrio no nó Figura 31 - Equilíbrio no nó Figura 32 - Corte da treliça pelo Método de Ritter Figura 33 - Corte da treliça pelo Método de Ritter, excepção Figura 34 - À direita, treliça simples e, à esquerda, corte da treliça pelo Método de Ritter Mª Idália Gomes ISEL-ADEC iv

6 Pretende-se com esta sebenta que os alunos reconheçam as configurações de uma treliça, estruturas normalmente utilizadas em coberturas de telhados, passagens superiores, pontes, viadutos, entre outros; pretende-se ainda que identifiquem as características de uma treliça ideal e o qual o significado de uma treliça estável ou instável; os alunos devem ainda saber determinar a estaticidade de uma treliça e classifica-la quanto à sua lei de formação (simples, composta e complexa); por fim os alunos deverão saber determinar os esforços nas barras de uma treliça através do Método dos nós e do Método de Ritter.

7 1.1. INTRODUÇÃO Dá-se o nome de estrutura aos elementos resistentes de uma construção, de uma máquina, de um objecto, entre outros. Ao olhar em nosso redor, podemos observar que tudo o que nos cerca possui uma estrutura: o edifício onde nos encontramos; o computador que utilizamos; a estante onde guardamos os nossos livros; até mesmo a cadeira em que nos sentamos apresenta uma estrutura. Nós próprios temos uma estrutura, constituída por ossos, músculos e tendões. A estrutura tem como função resistir aos esforços produzidos pelas acções que nelas actuam. Para que uma estrutura cumpra as suas funções, esta deve resistir às acções (toda e qualquer solicitação física imposta a uma estrutura) que actuam sobre ela ao longo da sua vida útil. As acções, que solicitam a estrutura podem dividir-se quanto: à natureza: - cargas aplicadas (peso próprio da estrutura, o peso da sobrecarga, pressões, impulsos de terras, ); - deformações impostas (variações de temperatura, sismos, assentamento de apoios, retrações, ); - casos especiais (incêndios, explosões, ); ao modo de aplicação: - estáticas (peso próprio da estrutura, neve, pressões hidrostáticas, ); - dinâmicas (vento, sismo, vibrações mecânicas, pressões hidrodinâmicas, ); à duração: - permanentes (peso próprio da estrutura, revestimento, retração do betão, impulsos de terras, ); - variáveis (sobrecarga, variações de temperatura, sismo, vento, ); - acidentais (impacto, incêndios, explosões, ). Ao realizar um projecto de estabilidade para além de se saber identificar os diferentes tipos de forças a que as estruturas irão estar sujeitas, é necessário estimar quais as acções que poderão solicitar a estrutura ao longo da sua vida útil e projectá-la de maneira a esta suportar adequadamente as acções. Algumas destas acções são conhecidas com alguma exactidão, nomeadamente: o peso próprio; o impulso de terras numa estrutura subterrânea; ou mesmo o impulso da água num reservatório. Quando estas não são conhecidas é necessário determinálas estatisticamente. Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 4

8 As treliças são um dos principais tipos de estruturas de engenharia, apresentando-se como uma solução estrutural simples, prática e económica para muitas situações de engenharia, especialmente em projecto de passagens superiores, pontes e coberturas. A treliça apresenta a grande vantagem de conseguir vencer grandes vãos, podendo suportar cargas elevadas comparativamente com o seu peso. Podemos ainda observar as estruturas treliçadas em postes de alta tensão, vigas de lançamento, gruas e em inúmeras outras estruturas de engenharia ABORDAGEM HISTÓRICA Pode-se observa na Figura 2 algumas das configurações clássicas de estruturas treliçadas que foram utilizadas desde a Revolução Industrial (século XIX). Na época do desenvolvimento das treliças, estas distinguiam-se pelas suas configurações, pelos materiais, pela capacidade de resistirem a elevados esforços e ainda por apresentarem grandes vãos. Ainda hoje, as treliças designam-se pelos nomes de quem as aperfeiçoou. Treliça de Pratt Treliça de Pratt Treliça de Howe Treliça de Howe Treliça de Fink Treliça de Warren Treliça de Fink Composta Treliça de Warren Modificada Figura 1 - Tipos de treliças usadas em coberturas (coluna da esquerda) e pontes ou passagens superiores (coluna da direita) Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 5

9 As treliças surgiram como um sistema estrutural mais económico às vigas, sendo um dos principais tipos de estruturas de engenharia. Estes sistemas estruturais foram utilizados durante séculos para vencer grandes vãos. O engenheiro romano Apollodorus construiu sobre o Rio Danúbio por volta de 105 d.c, uma ponte de treliça de múltiplos vãos. Cada vão de ponte tomou forma similar à arqueada (Schmidt e Boresi, 1999), Figura 2. Até à Revolução Industrial não ouve grandes avanços neste tipo de estruturas, mas durante a revolução industrial, devido à falta de disponibilidade de ferro forjado na Europa e devido à expansão das ferrovias, os engenheiros foram pressionaram a desenvolver treliças mais racionais para a construção de pontes de grandes vãos mas com um baixo peso próprio. No início do século XIX surge o ferro laminado, que apesar de menos económico que o ferro fundido, apresentava uma melhoria substancial no seu comportamento face às tracções. Pela primeira vez os projectistas tinham ao seu dispor um material capaz de realizar distintas tipologias: estruturas suspensas, estruturas com vigas, estruturas em arco e uma melhoria nas estruturas treliçadas. A partir da década de 70 do século XIX, o aço começou a substituir o ferro fundido e o ferro laminado, principalmente devido à sua maior resistência e ductilidade. Figura 2 - Ponte de Apollodorus sobre o Danúbio [Schmidt e Boresi, 1999] 1.3. DEFINIÇÃO DE TRELIÇAS Um sistema articulado plano rígido é definido como sendo um sistema de barras rígidas delgadas complanares ligadas entre si por extremidades rotuladas, formando um sistema estável. Esta estrutura é definida como treliça. O carregamento numa treliça é realizado nos nós. A forma como as barras estão colocadas na treliça torna-a num sistema eficiente para suportar estas cargas, ou seja, uma treliça pode suportar cargas pesadas comparativamente com o seu peso próprio. A maioria das estruturas reais apresenta várias treliças unidas entre si, formando uma estrutura espacial (Figura 3a). Cada treliça é projectada para suportar as Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 6

10 cargas que actuam no seu plano, podendo assim serem tratadas como estruturas bidimensionais, ou seja, os eixos das barras estão contidos num mesmo plano (Figura 3b). (a) (b) Figura 3 - (a) Treliça tridimensional - carrinho de avanço e (b) Treliça plana A treliça é composta pelo cordão inferior (conjunto de elementos que forma a parte inferior), cordão superior (conjunto de elementos que forma a parte superior), montantes (barras verticais) e diagonais (barras inclinadas), como se pode visualizar na Figura 4. Cordão Superior Diagonais Montante Cordão Inferior Figura 4 - Composição de uma treliça Na teoria de projecto, as barras de uma treliça simples são sujeitas somente a esforços normais (tracção ou compressão), sendo estas barra elementos rectos indeformáveis, unidos na sua extremidade por nós (articulações) consideradas perfeitas. Estes elementos são bastante esbeltos podendo suportar pouca carga lateral, assim sendo, as cargas devem ser aplicadas preferencialmente nos vários nós e não nos elementos rectos, ficando os elementos estruturais que as constituem solicitados apenas por esforços normais. Se houver necessidade de se aplicar uma carga entre dois nós ou quando for necessário aplicar uma carga distribuída numa treliça, é preciso prever um sistema de transmissão de cargas para os nós da treliça. É o caso de uma ponte com o sistema treliçado (Figura 5), deve ser previsto um sistema de pavimento, onde um sistema de longarinas e vigas transversais irão transmitir a carga para os nós. Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 7

11 Figura 5 - Ponte de treliça, com transmissão de cargas do pavimento para os nós da treliça [Beer et al, 2006] Na Figura 1, mostram-se vários tipos de treliças usadas em estruturas de sustentação de telhados e pontes. Cada uma destas treliças apresenta um nome particular, sendo este associado à sua configuração geométrica. A estas treliças dá-se o nome de treliça plana (bidimensionais), como referido, todas as barras e as cargas estão no mesmo plano. Os estilos de treliças de pontes mais comuns são a treliça tipo Warren, Howe e Pratt (Figura 1). A treliça Warren é talvez a mais comum quando se necessita de uma estrutura simples e contínua. Estas treliças são usadas para vencer vãos entre 50 e 100 metros. Quando se projectam pontes com pequenos vãos, também se podem utilizar as treliças tipo Warren, uma vez que não é necessário usar elementos verticais (para amarrar a estrutura). O que não sucederá em pontes com grandes vãos, estes elementos verticais são necessários para dar maior resistência. A treliça de pontes Pratt (Figura 1) é facilmente identificada pelos seus elementos diagonais que, à excepção dos extremos, apresentam-se todos eles inclinados e na direcção do centro do vão. Todas as barras diagonais à excepção das diagonais do centro, estão sujeitos somente à tracção, enquanto que as barras verticais suportam as forças de compressão. A treliça Howe (Figura 1) é o oposto da treliça Pratt. As barras diagonais estão dispostas na direcção contrária do centro da treliça da ponte e suportam a forças de compressão. Os materiais utilizados nas treliças incluem o aço, madeira, ferro e por vezes o alumínio. As barras podem ser unidas por parafusos ou rebites, podem ser soldados ou por placas de metal, outros meios. Nas treliças admite-se que o peso das barras são aplicados nos nós, assim metade do peso de cada barra é aplicada em cada um dos seus nós, aos quais a barra está unida. Como atrás referido, as barras são unidas por meio de conexões aparafusadas ou mesmo soldadas, contudo é comum supor-se que estas sejam unidas por meio de rótulas, assim sendo, as forças que actuam em cada extremidade de cada barra reduzem-se a uma única força sem binário. Devido a este contexto, considera-se que as únicas forças aplicadas a Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 8

12 uma barra de uma treliça são forças únicas aplicadas em cada extremidade desse mesmo elemento, orientadas ao longo do eixo da barra. Cada barra pode ser tratada como um elemento sujeito a duas forças opostas (Figura 6). Se a barra AB está sujeita à compressão, a força F que a comprime converge para os nós A e B (Figura 6a), mas se a barra está sujeita à tracção, a força F que a tracciona sai dos nós A e B (Figura 6b). F F F F (a) (b) Figura 6 - Barras de treliças sujeitas: à esquerda, à compressão e, à direita, à tracção No estudo das treliças admitem-se algumas simplificações: as articulações entre as barras que constituem o sistema faz-se através de rótulas sem atrito (articulações consideradas perfeitas e barras consideradas indeformáveis); as cargas e os apoios aplicam-se preferencialmente nos nós da estrutura, embora em casos especiais possam existir outras formas de carregamento; o eixo de cada uma das barras contém o centro das articulações das suas extremidades (os eixos devem cruzar-se todos no mesmo ponto). Quando se verificam estas três condições as barras da estrutura treliçada ficam sujeitas apenas a esforços normais, considerando-se treliças ideais. Esta é a grande diferença das treliças para outras formas estruturais, as treliças estão sujeitas apenas a forças axiais (compressão ou tracção). Ainda que possa existir flexão e forças de corte, isto porque, as hipóteses anteriormente formuladas nunca se verificam completamente, uma vez que as articulações internas (por mais perfeitas que estas sejam) oferecem sempre uma certa resistência ao movimento de rotação das barras que nela convergem; contudo estes efeitos podem ser desprezados, pois apresentam valores mínimos ESTATICIDADE DE UMA TRELIÇA Considere uma estrutura com três barras, AB, BC e CA, estando estas barras ligadas nas suas extremidades por nós, constituem assim um sistema triangular rígido, formando uma treliça simples (Figura 7a). Esta estrutura é estável, ou seja, não altera a sua forma sob a acção da força F, aplicada no nó B (força que lhe está a ser aplicada) e das reacções de apoio correspondentes no nó A e C. Em comparação, as estruturas representadas na Figura 7b e c, apresentam deslocamentos quando sujeitas a forças exteriores. As estruturas supra referidas não se apresentam estáveis Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 9

13 sob a acção da força F. Estes sistemas são submetidos a uma mudança de forma quando sujeitos a uma acção, os seus elementos sofrem deslocamentos, como consequência são treliças instáveis. Em geral, qualquer sistema de quatro ou mais barras ligadas por nós, formam uma treliça instável, entrando em colapso sob qualquer combinação de cargas. C' C Estrutura em Colapso B F F B B' C C' F1 B B' D' D F2 Estrutura Original Estrutura em Colapso Estrutura Original A C A D A E (a) (b) (c) Figura 7 - Sistemas estruturais: (a) elemento triangular; (b) elemento rectangular e (c) elemento poligonal [adaptado de Schmidt e Boresi, 1999] Começando com um triângulo rígido (três barra e três nós) (Figura 7a), pode-se acrescentar mais duas barras não-colineares obtendo um novo nó. A estrutura resulta numa treliça ABCD rígida. Este método pode ser continuado até à expansão desejada da treliça, obtendo uma treliça triangular básica. À treliça formada desta maneira, dá-se o nome de treliça simples (Figura 8). B D A C Figura 8 - Treliça simples Uma treliça simples é também estaticamente determinada, ou seja, as reacções de apoio e as forças nas barras podem ser determinadas usando apenas as equações de equilíbrio da estática, a estrutura apresenta o mesmo número de incógnitas para o mesmo número de equações possíveis da estática. Uma treliça estaticamente indeterminada é aquela em que as reacções de apoio e os esforços nas barras não podem ser determinadas apenas pelas equações de equilíbrio da estática. Na Figura 9a pode visualizar-se que a estrutura apresenta uma barra adicional (barra AD) e na Figura 9b a estrutura apresenta quatro reacções de apoio; ambas as treliças são estaticamente Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 10

14 indeterminadas, pois apresentam mais incógnitas do que as equações de equilíbrio da estática plana. Embora estas sejam estaticamente indeterminadas, apresentam-se estáveis. B D B D A C A C (a) (b) Figura 9 - Treliças estaticamente indeterminadas: (a) colocação adicional de uma barra e (b) colocação adicional de um apoio móvel As treliças à semelhança de outros sistemas estruturais podem dividir-se em hipoestáticas, isostáticas e hiperstáticas; conforme o número de equações da estática disponíveis e se este valor for superior, igual ou inferior ao número de incógnitas da estrutura. Contudo, para além das incógnitas das reacções de apoio existe ainda a necessidade de calcular os esforços nas barras da treliça. É assim necessário, fazer a análise da estaticidade: interior (número de barras que é necessário calcular); exterior (número de incógnitas de reacções de apoio); e global da estrutura. Conforme matéria leccionada no capítulo anterior (Capítulo dos Esforços), verifica-se que as estruturas apresentam três graus de liberdade no plano e seis graus de liberdade no espaço. Para restringir estes graus de liberdade nas estruturas é necessário colocar vínculos (apoios) na estrutura, por forma a impedir os movimentos de translação e rotação a que as estruturas ficam sujeitas quando solicitadas pelas acções. De seguida apresenta-se um breve resumo dos vínculos que as estruturas podem conter. Apoio móvel O apoio móvel introduz um vínculo na estrutura, impedindo o deslocamento na direcção perpendicular à base do apoio. Introduzindo como reacção de apoio com a direcção do deslocamento impedido. Este apoio permite a rotação do sólido em torno do ponto vinculado e o movimento do ponto vinculado somente na direcção da base do apoio. Na Figura 10 pode visualizar-se que o movimento impedido por este apoio é indicado a vermelho e os movimentos permitidos, em azul; a reacção de apoio introduzida por este apoio também é mostrada na figura, a preto. Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 11

15 Rv Figura 10 - Apoio móvel Nas Figuras seguintes 11, 12 e 13, podem visualizar-se apoios móveis em três pontes construídas em três épocas bem distintas. Figura 11 - Articulação móvel da ponte D. Pedro II, Bahia, Brasil, 1885 [1] Figura 12 - Articulação móvel da ponte ferroviária Zarate Brazo, Argentina, 1978 [1] Figura 13 - Articulação móvel da ponte Millennium, sobre o rio Tâmisa, Londres, 2000 [1] Apoio fixo O apoio fixo introduz dois vínculos na estrutura, impedindo o deslocamento do ponto vinculado em qualquer direcção do plano (pode ser visualizado na Figura 14 os movimentos impedidos, a vermelho). Este apoio introduz reacções de apoio que podem ser decompostas Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 12

16 numa força horizontal e vertical (segundo o plano xoy - podem ser visualizadas na Figura 14, a preto). Este apoio permite a rotação do sólido em torno do ponto vinculado, é indicado a azul na Figura 14. Rv R H Figura 14 - Apoio fixo Nas Figuras seguintes 15, 16 e 17, apresentam-se apoios fixos em estruturas distintas. Figura 15 - Articulações fixas da ponte ferroviária, Argentina, 1978 [1] Figura 16 - Articulação fixa da Estação Mapocho, actualmente Centro Cultural, Santiago, Chile, 1912 [1] Figura 17 - Articulação fixa da ponte D. Pedro II, Bahia, Brasil, 1885 [1] Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 13

17 Apoio Pendular O apoio pendular impede o movimento na mesma direcção do eixo do apoio, portanto, a reacção tem essa direcção desconhecendo-se apenas a sua intensidade. Este tipo de apoio introduz uma incógnita. Se a reacção de apoio estiver à tracção designa-se tirante, caso esteja à compressão designar-se-á por escora, a reacção deste apoio pode ser visualizado na Figura 18, a preto. A R H Rv Figura 18 - Apoio pendular Na Figura 19, apresentam-se dois exemplos de apoios pendulares. Figura 19 - Exemplos de apoios pendulares No caso das treliças não serão considerados os apoios encastrados (apoio que introduz três vínculos na estrutura, impedindo a translação e a rotação) uma vez que não existem momentos neste tipo de estruturas Estaticidade global O sistema rígido mais simples é constituído por três barras articuladas entre si. Se cada nó for agregado ao sistema por intermédio de apenas duas barras obtém-se um sistema rígido, por isso invariante (não varia a sua configuração geométrica) e estaticamente determinado. Uma treliça formada deste modo é designada por treliça simples e é isostática. Considerando assim uma treliça constituída por barras articuladas b e por nós n. O número de incógnitas que irão aparecer na treliça (independentemente da forma como esta está apoiada) será igual a b, já que é este o número de esforços internos existentes. Se Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 14

18 admitirmos que esta estrutura tem a incógnitas de reacções de apoio, então é possível afirmar que o número total de incógnitas do problema será igual a a + b. O número de equações da estática plana será de 2n, pois em cada nó aplicam-se as equações de equilíbrio de um ponto material [Eq. 1]. Fx = 0 F r = 0 r [Eq. 1] Fy = 0 A terceira equação a que se poderá recorrer, será a do equilíbrio de momentos [Eq. 2], esta equação não terá qualquer significado, pois todos os esforços nas barras que concorrem em qualquer nó, não produzem momentos. r = r 0 [Eq. 2] M 0 M z = Assim sendo, para uma estrutura com n nós, é possível escrever 2n equações da estática. Uma treliça diz-se globalmente isostática ao verificar-se que o número de incógnitas é igual ao número de equações disponíveis [Eq. 3]. a + b = 2n [Eq. 3] O grau de estaticidade global (hg) [Eq. 4] de uma treliça é igual a: h g = a + b 2n [Eq. 4] Se: h g < 0 Treliça globalmete hipoestática h g = 0 Treliça globalmete isostática h g > 0 Treliça globalmete hiperstática Estaticidade interior Nas treliças, é ainda possível determinar a sua estaticidade interior (h i ) [Eq. 5]. Admitindo que a treliça está simplesmente apoiada, temos como número de incógnitas de reacções de apoio a =3 (por exemplo um apoio móvel - uma incógnita e uma apoio fixo - duas incógnitas). A equação 4 pode assim escrever-se: h i = 3 + b 2n = b (2n 3) [Eq. 5] Se h i < 0, há uma deficiência de barras, por isso a treliça é designada de interiormente hipoestática. O equilíbrio apenas é possível mediante certas condições, que não sendo verificadas levará o sistema ao colapso. Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 15

19 Se h i = 0, esta relação é uma condição necessária para a estabilidade da treliça, porém não é condição suficiente, porque uma ou mais das barras podem estar dispostas de tal modo que não contribuem para uma configuração estável da treliça simples. Se h i > 0, existem mais barras que as necessárias para evitar o colapso, o que sugere que a treliça seja interiormente hiperestática e por isso estaticamente indeterminada. É no entanto necessário analisar se a disposição das barras lhe permite manter uma configuração estável Estaticidade exterior A estaticidade exterior [Eq. 6] é calculada a partir das condições de apoio do sistema. Os apoios restringem os graus de liberdade e por isso o número de incógnitas a que surgem, são calculadas a partir das equações de equilíbrio independentes da estática, no caso do plano serão três. Se os apoios estiverem colocados por forma a impedir qualquer movimento do sistema como corpo rígido o grau de hiperestaticidade exterior é então igual a: h e = a 3 [Eq. 6] Se: h e < 0 Treliça exteriormente hipoestática h e = 0 Treliça exteriormente isostática h e > 0 Treliça exteriormente hiperstática Conclusão Determinadas treliças, assim como noutros sistemas, é possível que a hiperestaticidade exterior seja compensada com a hipostaticidade interior, resultando um sistema globalmente isostático e estável. É o que se verifica na treliça representada na Figura 20. F1 R F2 Figura 20 - Treliça globalmente isostática estável No entanto, se as ligações ao exterior estiverem incorrectamente localizadas, resulta um mecanismo, apesar de grau de hiperestaticidade exterior compensar o grau de hipostaticidade interior, Figura 21. Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 16

20 F1 R Figura 21 - Treliça globalmente isostática instável F2 Na Figura 22a e c, a aplicação da Equação 5 leva à conclusão que os sistemas são isostáticos interiormente, contudo os sistemas são instáveis, podendo entrar em colapso quando estiverem sujeitas a solicitações. No caso da Figura 22a, as barras estão mal distribuídas, formando uma treliça instável. O mesmo sucederá às treliças que não apresentem suficientes barras ou reacções de apoio para prevenir o movimento, designado assim treliça instável (Figura 22b e c, respectivamente). (a) (b) (c) Figura 22 - Treliça instável: (a) configuração imprópria, (b) número inadequado de barras e (c) treliça interiormente isostática, exteriormente - número inadequado de reacções de apoio. Conclui-se assim, que se deve ter em atenção o uso das equações 4, 5 e 6, uma vez que estas podem permitir tirar conclusões incorrectas sobre a estaticidade de uma treliça. Tal facto deve-se a que um sistema de b barras com a número de incógnitas, devem estar correctamente distribuídas, obtendo uma configuração estável para a treliça. Assim, ao analisar uma treliça deve ter-se em consideração a sua estaticidade global, interna e externa, não deixando de analisar os apoios externos e a sua distribuição, assim como a lei de formação interna da treliça em questão. Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 17

21 1.5. CLASSIFICAÇÃO DAS TRELIÇAS QUANTO À LEI DE FORMAÇÃO É que é importante classificar as treliças quanto à sua lei de formação, pois os métodos de resolução das mesmas dependem desta classificação. Quanto à Lei de formação, as treliças podem ser: simples; composta; e complexas Treliça Simples Dá-se o nome de treliças simples às treliças formadas a partir de um triângulo inicial indeformável (três barras e três rótulas) ao qual, para cada novo nó, adicionam-se duas novas barras. As treliças simples verificam a isostaticidade interior, h i = 0. Na Figura 23, está representada a sequência para a formação de uma treliça simples, originando a treliça Howe de pontes. Tem este nome por ter sido inventada pelo engenheiro americano William Howe, que a patenteou em Como referido uma treliça simples parte de um triângulo formado por barras articuladas e desse triângulo inicial são acrescentadas duas novas barras para cada novo nó. Figura 23 - Formação de uma treliça simples de ponte Howe As treliças simples também são bastante usadas em estruturas de suporte para telhados, é o caso da treliça que recebe o nome de treliça Howe de telhado, Figura 24. Figura 24 - Formação de uma treliça simples de telhado Howe Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 18

22 Na Figura 25, podemos visualizar uma estrutura de suporte para telhado numa edificação de uma treliça de Fink. Figura 25 - Estrutura de suporte para telhado, com a configuração de uma treliça simples de Fink Treliças compostas A treliça simples é composta por um triângulo base acrescentando-se duas novas barras nãocolineares para cada novo nó. Contudo, existem outras configurações de treliças que não seguem esta configuração para a sua lei de formação. Estas configurações são geralmente constituídas de duas ou mais treliças simples unidas entre si por barras também indeformáveis. Exemplo disso são as treliças compostas. As treliças compostas são formadas pela ligação de duas treliças simples por meio de: um nó comum e uma barra (Figura 26a); três barras não-paralelas entre si nem concorrentes num mesmo ponto (Figura 26b). Se as barras fossem concorrentes num ponto ou mesmo paralelas entre si o sistema era deformável e portanto instável. A (a) Figura 26 - Treliça composta (b) Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 19

23 Na Figura 27, pode observar-se uma treliça composta, esta une duas treliças simples por um nó (ponto A) em comum. Para que a treliça seja estável é necessário colocar dois apoios fixos (quatro reacções de apoio). A Figura 27 - Treliça composta As ligações entre as duas treliças simples restringem os três graus de liberdade que cada uma teria relativamente à outra. Se as treliças fossem ligadas entre si por um maior número de barras do que os indicados nos dois exemplos anteriores, obtinham-se treliças compostas hiperstáticas em vez de isostáticas Treliças complexas As configurações de treliças que não podem ser classificadas como simples ou compostas são consideradas complexas. Uma treliça complexa pode ser composta de uma qualquer combinação de elementos triangulares, quadriláteros ou mesmo poligonais. Uma treliça complexa pode apresentar barras que se cruzam sem estas estarem vinculadas umas às outras. Exemplo disso são as treliças apresentadas na Figura 28, todos os exemplos apresentam barras que se cruzam sem qualquer nó. Estas treliças são estaticamente determinadas e estáveis na sua configuração. Uma treliça complexa é classificada por exclusão, ou seja, quando não é simples e nem composta. Não é possível afirmar se a treliça é isostática pela simples análise da Equação 3, que é uma condição necessária mas não suficiente para garantir a isostaticidade. O reconhecimento de sua real classificação é feito pelo método de Henneberg (Leggerini e Kalil, 2009). Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 20

24 Figura 28 - Treliças complexas 1.6. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS EM TRELIÇAS Considerações Considera-se a treliça simples sujeita ao carregamento indicado na Figura 29, considerando as reacções de apoio calculadas a partir das equações universais da estática. A determinação dos esforços axiais das barras de treliças bidimensionais pode ser determinada utilizando-se vários métodos dos quais abordaremos dois métodos analíticos: Equilíbrio dos nós; Método de Ritter ou das Secções. 4 P 2 P3 2 6 H A V A P 1 V B Figura 29 - Treliça simples de cobertura Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 21

25 Equilíbrio dos nós Este método consiste em isolar sucessivamente cada um dos nós, marcar as forças exteriores, activas e reactivas, e os esforços normais das barras que nele concorrem. Os esforços normais das barras serão assim determinados como forças que garantem o equilíbrio do nó. Se a treliça está em equilíbrio, todos os seus nós também o estão. Assim, aplica-se a equação F r = 0 r que garante o equilíbrio de forças concorrentes num ponto material, à qual correspondem as equações de projecção F x =0 e F y =0, tendo o referencial de eixos ortogonais O x O y uma qualquer orientação. É de notar que, se o nó tiver mais de duas barras para determinação dos esforços (ou seja duas incógnitas), as duas equações da estática não chegam para determinar a solução do sistema. O cálculo deve-se sempre iniciar pelos nós que possuam apenas duas incógnitas a determinar. Assim, a sucessão de nós é feita de modo a que surjam apenas dois esforços como incógnitas em cada novo nó. É aconselhável, no caso da nossa sensibilidade estática não nos permitir antever a natureza do esforço, que sejam todos considerados à tracção, e assim, os sinais obtidos já serão os sinais dos esforços actuantes: se for positivo (confirma o sentido arbitrado) indica tracção; se for negativo indica compressão. A barra estará sujeita à compressão se a força que a comprime converge para os nós e, estará à tracção se a força que a tracciona sai dos nós. Exemplifica-se a seguir o equilíbrio do nó 1 (Figura 30) e nó 3 (Figura 31). Nó 1 H A 1 θ N 12 N 13 F = 0 N senθ + V = 0 N y 12 A 12 V A F = 0 N cosθ + N + H = 0 N x A 13 Figura 30 - Equilíbrio no nó 1 A primeira equação permite concluir que a barra 12 está sujeita a um esforço de compressão. Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 22

26 Nó 3 N 32 F y = 0 N P = 0 N N 31 3 N 35 F x = 0 N + N = 0 N P Figura 31 - Equilíbrio no nó Método de Ritter O Método de Ritter consiste em cortar a treliça por uma secção obtendo duas partes totalmente independentes. Contudo, só podem ser cortadas tantas barras (de grandeza e sentidos desconhecidos) quantas equações da estática se possam escrever, já que de outra forma o sistema de equações seria indeterminado. Se o cálculo for no plano (2D), deve-se efectuar no máximo o corte a três barras, não devendo estas ser paralelas nem concorrentes num ponto. Se as barras cortadas forem paralelas ou mesmo concorrentes num ponto, embora se possa escrever as três equações da estática irá obter-se uma equação linearmente dependente. Como a treliça está em equilíbrio, qualquer uma das partes resultantes do corte ficará em equilíbrio, isto porque, qualquer barra cortada terá de ser substituída pelo esforço que transmitia ao resto da estrutura. Cortando a treliça pela a secção SS, nada se altera sob o ponto de vista estático, desde que, como referido, se substituam as barras cortadas pelos esforços normais nelas actuantes. Os esforços são determinados para que garantam o equilíbrio da estrutura treliçada. É indiferente analisar a parte esquerda ou a parte direita da treliça (Figura 32). Escolhe-se, aquela que conduzirá a um menor trabalho numérico na obtenção dos esforços normais. S S P 2 H A N 24 N 35 N N 42 N 52 N P V A P 1 S S V B Figura 32 - Corte da treliça pelo Método de Ritter Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 23

27 A determinação das incógnitas é realizada a partir das equações universais da estática plana, devendo ser escolhidas e usadas de uma ordem tal que permita a determinação directa de cada uma das incógnitas. Assim são usadas três equações de momentos relativamente a três pontos não colineares, sendo, cada um destes (pontos), a intersecção das linhas de acção de duas forças incógnitas. Usando a estrutura da parte esquerda da Figura 32, temos que: M = 0 N 5 24 M = 0 N 1 25 M = 0 N 2 35 As forças obtidas com sinal positivo confirmarão os sentidos arbitrados. Excepções ao Método de Ritter Primeira excepção Quando se deseja conhecer o esforço numa só barra não é condição obrigatória fazer o corte apenas em três barras (Figura 33). Efectivamente se as demais, em qualquer número, se intersectarem num único ponto, poderá cortar-se a estrutura com a intercepção nessas barras e cortar ainda a barra cujo esforço é incógnito. Assim, escolhe-se a equação de momentos relativamente ao ponto onde a maior parte das barras são concorrente e determina-se o esforço da única barra que não é concorrente. Pretende-se saber N 24 : 2 S N 24 N 54 H A 1 N S N 57 V A Assim temos: M 5 = 0 N24 Figura 33 - Corte da treliça pelo Método de Ritter, excepção P 1 Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 24

28 Segunda excepção Quando duas das três barras cortadas por uma secção de Ritter são paralelas (Figura 34) é mais cómodo utilizar duas equações de momentos e uma equação de projecção numa direcção, como equações de equilíbrio da estática. 2 S 4 P N 24 N 23 H A 1 S V 5 3 Figura 34 - À direita, treliça simples e, à esquerda, corte da treliça pelo Método de Ritter H A P 1 V B V A 1 3 N 13 M = 0 N 3 24 Assim temos: M = 0 N 2 13 F y = 0 N 23 Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 25

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30 Exercícios Propostos Neste capítulo, apresentam-se alguns exercícios para resolução.

31 2.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Das seguintes alternativas, qual não é característica de uma treliça ideal: a) todas as barras são rectilíneas; b) todas as barras apresentam na sua extremidade um nó; c) à excepção do peso próprio da estrutura, todas as cargas na treliça estão aplicados nos nós; d) as barras estão sujeitas à flexão. 2. Considere uma treliça composta por 8 nós, 13 barras e 3 reacções de apoio. Desenhe a treliça e responda: a) Quantas equações independentes de equilíbrio estão disponíveis para se usar na análise? b) Existem quantas grandezas desconhecidas a determinar? c) A treliça é estaticamente determinada ou indeterminada? d) A treliça é estável ou instável 3. Classifique uma estrutura simples, composta e complexa. 4. Para a estrutura apresentada: a) calcule os esforços nas barras; b) confirme o esforço para a barra a). Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 28

32 Referências Bibliográficas

33 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Beer, Ferdinand P.; Johnston, Russell Jr.; Eisenberg, Elliot R.; Clausen, William E. (2006). Mecânica vectorial para engenheiros - Estática. 7ª Edição. McGraw Hill, Rio de Janeiro ISBN Cirne, José M. (2007/2008). Estática - Parte I. Sebenta de Resistência de Materiais. Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade de Coimbra - Faculdade de Ciências e tecnologia da Universidade de Coimbra. Ghisi, E. (2004). Resistência dos sólidos para estudantes de arquitectura. Folhas de apoio da unidade curricular de Resistência dos sólidos. Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal de Santa Catarina. Florianópolis, Agosto. Gonçalves, Maria M.; Gomes; Maria I. (2004/2005). Treliças. Sebenta de Mecânica Aplicada. Departamento de engenharia Civil do Instituto Superior de Engenharia de Lisboa. Leggerini, Maria R.; Kalil, Sílvia B. (2008). Estruturas Isostáticas. Sebenta de Estruturas. Departamento de Engenharia Civil da Pontifícia Universidade do Rio Grande do Sul. Romão, X (2002/2003). Sistemas articulados Planos. Folhas de apoio à unidade curricular de Mecanica I. Schmidit, Richard J.; Boresi, Arthur P. (1999). Estática. Edição de Cengage Learning Editores. ISBN , Bibliografia em linha [1] Escola Politécnica da USP - Tradição e Modernidade no Ensino de Engenharia. Laboratório de estruturas e materiais estruturais. Cidade Universitária - São Paulo. Consulta em Fevereiro de Mª Idália Gomes ISEL-ADEC 30