Tracção e Compressão - Estruturas Hiperestáticas

Transcrição

1

2 SISTÊI MTS Tracção e ompressão - struturas Hiperestáticas olecção de exercícios resolvidos para apoio à disciplina de esistência de Materiais do 3º ano do urso de Licenciatura em ngenharia ivil da FUP. Por Luis Filipe Pereira Juvandes. Juvandes, L. F. P., 1989, "esistência de Materiais: Tracção e ompressão struturas Hiperestáticas", colecção de exercícios resolvidos para apoio da disciplina de esistência de Materiais (3º ano) do, 14 pp.

3 esistência de Materiais strutura Hiperestática SIMBOLOGI - área da secção transversal σ d - valor de cálculo da tensão normal resistente do material σ cd - valor de cálculo da tensão normal resistente do betão σ sd - valor de cálculo da tensão normal resistente do aço σ cd - valor de cálculo da tensão normal à compressão resistente do material σ td - valor de cálculo da tensão normal à tracção resistente do material σ Sd - valor de cálculo da tensão normal actuante m - coeficiente de homogeneização - esforço normal Sd - valor de cálculo do esforço normal actuante d - valor de cálculo do esforço normal resistente 1

4 esistência de Materiais strutura Hiperestática POBLMS SOLVIOS 1. imensione as barras B e da estrutura articulada representada na Figura 1 e determine, seguidamente, o deslocamento do nó (não há perigo de encurvadura). ados: σ 35 MPa ( Barra B) td σ 135 MPa ( Barra ) cd 0 MPa 30 k Y X 30º B 3.00 Figura 1 esolução: eterminação dos esforços nas barras X e Y quações de equilíbrio no nó (esforços em serviço) X + Y cos 30º Y sen30º 0 X 51.9 k (compressão) Y 0.00k (tracção) Valor de cálculo dos esforços nas barras ( ) 1.5 ( 51.9) k Sd B ( ) k Sd imensionamento das barras σ Sd Sd σ d B 5.77 m 5.77cm 3 135

5 esistência de Materiais strutura Hiperestática m 3.83cm 3 35 eterminação dos deslocamentos no nó m B B B B 0.13cm (encurtamento) m 0.cm (alongamento) H δ B B α 30º B V δ 30º δ Figura 0. / cos α cos 30º H δ 0.30cm δ ( ) / tg30º 0.75cm V δ cm 3

6 esistência de Materiais strutura Hiperestática. O pilar metálico (HB 00) representado na Figura 3, foi envolvido em betão, ficando com uma secção de 40 40cm. Qual a carga máxima que o pilar assim reforçado pode suportar, sabendo que aquando do reforço, actuavam no perfil metálico cargas permanentes no valor de 400 k. (esprezar o peso próprio e o efeito de instabilidade do pilar) ados: σ sd 35MPa ( Fe 30) σ cd 9.1MPa ( B 0) 3.0m HB 00 m S Figura esolução: Fase I I S I 400 k 0 Fase S 78.1cm m Supondo que o aço é o material condicionante da rotura σ ssd σ sd ssd sd 3 sd k omo no momento do reforço já estava instalado no pilar de aço um esforço axial de 400 k. final ssd s k s

7 esistência de Materiais strutura Hiperestática o Fase termos uma barra constituída por dois materiais diferentes perfeitamente solidarizados, logo S + S S S S S S m [1] k Verificar a estabilidade do betão σcsd.545 > σ csd 9.1 MPa 0.15 logo não verifica, portanto o material condicionante da rotura è o betão e não o aço 3 cd k / substituíndo em [1] s s 7.71 k Logo a carga máxima actuante (serviço) na Fase será s k carga máxima total em serviço S k 5

8 esistência de Materiais strutura Hiperestática 3. onsidere a estrutura representada Figura 4, constituída por uma barra rígida B e pelas barras deformáveis e com as seguintes características: 0 cm GPa a) alcule os esforços nas barras e para a acção da carga P 0 k. 4.0 B P b) Sob a acção da carga P fixada em a), qual o valor do assentamento vertical do apoio 4.0 " " que anula o esforço no tirante. δ Figura 4 esolução: a) Problema hiperstático de grau 1 Sistema base eformada da estrutura α 0 X B α δ δ Figura 5 Figura ota: escolha do sentido do esforço da incógnita hiperstática deverá ser concordante com o sentido escolhido para a deformada do sistema base. o caso da estrutura representada para a deformada do sistema-base escolhida, o ponto desloca-se de cima para baixo o que impõe uma compressão na barra. Logo X (incógnita hiperstática) é dirigida de baixo para cima. barra sofre um alongamento, automaticamente está traccionada.

9 esistência de Materiais strutura Hiperestática quação de equilíbrio + 4Χ 4Χ 4 P 0 M 0 B [] + 4Χ 4 P quação de compatibilidade da deformada δ δ [3] δ X δ 3 senα 0 0 Substituindo em [3] 4 X X 1 X 4 [4] Substituindo em [] P 4 P 1 + X k.97 k b) plicação do princípio da sobreposição dos efeitos δ Figura 7 - FS 1 Figura 8 - FS 7

10 esistência de Materiais strutura Hiperestática FS δ + FS O cálculo da Fase é semelhante à alínea a) actuando em vez de P. evido ao assentamento do apoio sforços finais nas barras e, devido ao assentamento do apoio e à actuação da carga P, aplicado o princípio da sobreposição de efeitos que é válido em regime elástico. a) + b) 4 P a) + b) ondição imposta pelo enunciado ssim k m 1.1cm δ 8

11 esistência de Materiais strutura Hiperestática 4. alcule as reacções nos apoio, sabendo que o corpo B representado na Figura 9 é infinitamente rígido, é o assentamento do apoio e não há plastificação em nenhuma das barras. k/m B 50 k.0 F Figura 9 a) onsidere 0. b) onsidere 1 cm. c) barra está submetida a uma variação de temperatura de +0º. Barras B e 0MPa 1cm α º esolução: a) estrutura é uma vez hiperstáctica k/m 50 X Incógnita hiperstática esforço na barra B quações de equilibrio [5] Σ F kx 0 Χ Σ F ky Σ M Figura - Sistema-base δ B B 90º B F Figura 11 - eformada 9

12 esistência de Materiais strutura Hiperestática quação de compatibilidade de deformação B cos 45º X Ω Ω 8 X [] Substituindo em [5] + 50 X 3.94 k k 43.0 k 3.88k F 3.94 ( ) 43.0 ( ) ( ) 3.88 ( ) b) eterminação das reacções nos apoios devido ao assentamento 1cm B (1) () Figura 1 Fixando o ponto B Figura 1-(1) Ω k (compressão) Libertando o nó B e aplicando a força (Figura 1-())

13 esistência de Materiais strutura Hiperestática quações de equilíbrio [7]: + Χ quações de compatibilidade de deformação: B cos 45 X' Ω Ω 8 X ' Substituindo em [7] ' X 7.09 k ' k 7.08 k 38.04k eacções devidas ao assentamento do apoio k ( ) F k k 7.08 k ( ) ( ) ( ) 11

14 esistência de Materiais strutura Hiperestática eacções devidas ao assentamento e à acção exterior k F k k k c) t +0º α.1 5 º 1 Fixando o ponto determina-se a reacção nesse apoio, produzido pela variação de temperatura. α t k barra fica comprimida. etirando o apoio fictício e aplicando a acção do efeito da temperatura. B Figura 13 Figura 14 eterminação dos esforços devido à variação de temperatura quações de equilíbrio [8]: ΣF ΣF ΣM kx ky X

15 esistência de Materiais strutura Hiperestática quações de compatibilidade de deformação: B X (ver alínea a) cos α Substituindo em [8] e resolvendo o sistema de equações 4.5 k 9.04 k. k X 4.5 k eacções nos apoios devido à acção exterior e à verificação de temperatura k k B ( ) ( ) k ( ) F k ( ) 13