Transformação de Tensão ou Análise de Tensão

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1 - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA PROFESSORA: SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Transformação de Tensão ou Análise de Tensão Objetivos: Transformar os componentes de tensão, associados a um sistema de coordenadas particular, em componentes associados a um sistema de coordenadas que tenha orientação diferente. 1- Equações de Transformação - Obtenção das tensões normal máxima 3- Tensões de cisalhamento máxima num ponto 4- Orientação do elemento sobre o qual essas tensões atuam Figura 1 - As pás desta turbina estão sujeitas a um padrão de tensões complexo, ilustrado pelas faixas sombreadas que aparecem nas pás quando são feitas de material transparente e vistas através de luz polarizada. Para um projeto adequado, os engenheiros devem ser capazes de determinar onde e em que direção ocorre às tensões máximas. (Cortesia do Measurements Group, Inc., Raleigh, Carolina do Norte, 7611,EUA 1

2 Transformação no Estado Plano de Tensões Introdução: Figura - Estado de tensão em um ponto. O estado de tensão da Figura.a não é encontrado com freqüência na prática da engenharia. Aproximações ou Simplificações das cargas sobre o corpo, a fim de que a tensão produzida em um sistema estrutural ou mecânico seja analisado em um plano simples Observações gerais: 1- Em torno de um ponto, um elemento de superfície podendo assumir uma infinidade de posições, ensejará o aparecimento de tensões diferentes no mesmo ponto, correspondentes a cada uma dessas posições. - O estado de tensão num ponto é o conjunto de todas as tensões ocorrendo em todos os planos passando pelo ponto. Observações sobre o paralelepípedo de tensões: 1- Demonstra-se que o estado de tensão num ponto fica definido quando forem conhecidas as tensões nesse ponto referentes aos três planos ortogonais entre si, que se interceptam no ponto considerado. - Para analisarmos o estado de tensão num ponto, imaginamos um paralelepípedo triretângulo situado com vértice no ponto, em cujas facetas supõe-se as tensões conhecidas. 3- Orientamos o nosso paralelepípedo considerado como um sólido de dimensões infinitesimais, tomando como origem o ponto em estudo e como eixos de referência as arestas a ele concorrentes. 4- Nas três faces do paralelepípedo que são visíveis, ocorrem tensões iguais e de sentidos opostos. 5- O estado de tensões num ponto, no caso mais geral, ficará então definido conhecendo-se nove tensões, que são as que atuam nas faces do paralelepípedo elementar.

3 Os diferentes estados de tensão num ponto 1- Tipos Estado Triplo ou Tri-Axial As tensões que atuam nas faces do paralelepípedo elementar admitem componentes nas direções de todas as suas arestas. Estado Plano, Duplo, ou Bi-Axial As tensões no paralelepípedo apresentam componentes paralelas a apenas dois eixos. Estado Simples ou uniaxial Nas faces do paralelepípedo atuam tensões na direção de uma única aresta Estado de Cisalhamento Puro - Nas faces do paralelepípedo atuam apenas tensões tangenciais. O simples valor τ = τ yx é suficiente para definir o estado de tensão no ponto. Análise das tensões no Estado Plano O problema da análise das tensões consiste em determinar as componentes da tensão num plano qualquer, a partir das componentes da tensão que atuam em três planos ortogonais passando pelo ponto e supostas previamente conhecidas. Estado Geral Plano de tensões em um ponto: Dois componentes de tensão normal, σ x, σ y e um componente de tensão de cisalhamento, τ, que atuam sobre as quatro faces do elemento. Convenção : Estado de tensão no plano x-y, Figura.c Figura 3- Estado plano de tensão. Objetivo: Supondo que o estado de tensão seja definido pelos componentes x σ, y σ, τ orientados ao longo dos eixos x, y, como na Figura.a, mostraremos como obter os 3

4 componentes σ x', σ y' e τ x' y', orientados ao longo dos eixos x, y, Figura 3.b, de modo que representem o mesmo estado de tensão no ponto. Procedimento para determinar os componentes σ x', τ x' y' que atuam sobre a face x do elemento. 1- Secionar o elemento da Figura 4.a (Figura 4.c. Área secionada ( Δ A. - Desenhar o diagrama de corpo livre do segmento, mostrando as forças que atuam sobre o elemento, ou seja, multiplicam-se os componentes de tensão de cada face pela área sobre a qual atuam. 3- Aplicar as equações de equilíbrio de força nas direções x e y para obter os componentes de tensão desconhecidos σ x', τ x' y'. 4- Se σ y', que atua sobre a face +y do elemento da Figura 4.b, tiver de ser determinado, considere um elemento como na Figura 4.d e depois é seguir o procedimento já descrito. Note que a tensão de cisalhamento não precisará ser determinada se ela já tiver sido calculada, visto que ela atende a propriedade complementar de cisalhamento. Figura 4-4

5 Ex: O estado plano de tensões em certo ponto da superfície da fuselagem de um avião é representado em um elemento, cuja orientação é a ilustrada na Figura 5.a. Representar o estado de tensão no ponto de um elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada. Figura 5- Resposta: Equações Gerais de Transformação de Tensão para o Estado Plano. Convenção de Sinal: Figura 6- Convenção de sinais. O componente das tensões normal ou de cisalhamento será positivo caso atue na direção positiva da coordenada da face positiva do elemento, ou caso atue na direção negativa da coordenada da face negativa do elemento como na Figura 6.a. Para lembrar a convenção de sinais: A tensão normal é positiva quando atua para fora de todas as faces e a tensão de cisalhamento é positiva quando atua para cima na face direita do elemento. 5

6 Ângulo θ : Orientação do plano inclinado no qual devem ser determinados os componentes das tensões normal e de cisalhamento (Positivo no sentido anti-horário, Figura 6.b. Componentes das tensões normal e de cisalhamento. Figura 7- Elemento no estado plano de tensões. Dedução: Aula Aplicam-se as equações de equilíbrio de força para se determinar os componentes desconhecidos das tensões normal e de cisalhamento, σ x', τ x' y'. Cálculo de σ y' Figura 7.d. Equações Gerais de Transformação de tensão para o estado plano. Para determinar y' σ x + σ y σ x σ y σ x ' = + cos( θ + τ sen( θ (1 σ x σ y τ x ' ý' = sen( θ + τ ' cos( θ ( σ, basta substituir θ por ( θ + 90, Figura 7.d em (1 e assim tem-se: σ x + σ y σ x σ y σ y' = cos( θ τ sen( θ (3 6

7 Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano. Prática da Engenharia: é importante determinar a orientação dos planos que fazem a tensão normal chegar ao máximo e ao mínimo, bem como a orientação dos planos que fazem a tensão de cisalhamento chegar ao máximo. Observações: 1- Posição Principal: Posição para a qual as tensões tangenciais nas faces do paralelepípedo elementar são todas nulas, restando apenas tensões normais. Estado Triplo de Tensões - Direções principais - Direções Tensões Principais - σ 1 σ σ 3 Planos Principais- Planos 1--3 Estado Plano de Tensões - Direções principais - Direções 1 - Tensões Principais - σ 1 σ Planos Principais- Planos 1- Tensões Principais no Plano Determinação da tensão normal máxima e mínima. d σ x' dθ = 0 (4 Lembrando que: dσ x ' d θ θ = θ p = ( σ σ sen( θ + τ cos( θ = 0 x y p p (5 σ x σ y τ x ' ý' = sen( θ + τ ' cos( θ (6 Dessa forma, de (5 e (6 tem-se: τ θ p = 0 τ θ = p 0 (7 Nos planos em que agem os valores máximo e mínimo das tensões normais, a tensão de cisalhamento é nula. 7

8 Importante: 1- Tensões Principais - Tensões normais máxima e mínima σ = σ max 1 σ min = σ - Planos Principais Planos de atuação das tensões principais 3- Direções Principais Definem os planos principais Posição dos Planos Principais Resolvendo a eq. (5, obtemos a orientação θ = θ p dos planos de tensões normais máxima e mínima. tg ( θ p τ = (8 ( σ σ x y θ p - ângulo que define o plano de tensão normal extrema. Solução de (8 p = τ θ arctg + n n = 0,1,,3K σ x σ π (9 y 1 τ n arctg π θ p = + n = 0,1,,3K (10 σ x σ y Duas menores determinações 1 τ n = 0 θ = p1 arctg (11 σ x σ y π n = 1 θ p = θ p1 + (1 Os eixos principais são definidos por θ p1 e θ p através dos quais os planos principais ficam determinados. Os planos principais são ortogonais entre si, como apresenta a Figura 8.b. Figura 8 - Planos principais. 8

9 Cálculo das Tensões Principais Figura 9 Orientação dos planos de tensões normais máxima e mínima. Solução : Duas raízes θ p1 e θ p. Os valores de θ p1 e θ p estão defasados de 180º. θ p1 e θ p estarão defasados de 90º. Para calcularmos as tensões principais devemos substituir os valores de senθ p1 e cos θ p1, nas equações (1 e (3. Dessa forma, encontraram-se os valores do seno e co-seno a partir do triângulos apresentados na Figura 9. A montagem dos triângulos da Figura 9 se baseia na equação (8. Supondo-se que τ e σ x σ y são quantidades positivas ou ambas as quantidades negativas, temos: Para θ p1 Para θ p sen cos x y ( θ τ + τ p1 σ σ = (13 x y x y ( θ + τ p1 σ σ σ σ = (14 sen x y ( θ τ + τ p σ σ = (15 9

10 cos x y x y ( θ + τ p σ σ σ σ = (16 Substituindo-se um dos conjuntos de equações (13 e (14 ou (15 e (16 nas equações (1 e (3 teremos: σ x + σ y σ x σ y σ 1, = ± + τ (17 A equação (17 nos dá a tensão normal máxima ou mínima no plano a qual atua sobre um ponto em que σ 1 σ. As trincas na viga de concreto da Figura 10 foram provocadas por tensões de tração, apesar de ela está submetida tanto a momento interno como a cisalhamento. As equações de transformação de tensão são usadas para prever a direção das trincas, bem como as tensões normais principais que as provocaram. Figura 10 - Trincas numa viga de concreto. Tensões Tangenciais Extremas e seus Planos Planos de Tensões Tangenciais Extremas σ x σ y Deriva-se a expressão (6 τ x ' ý' = sen( θ + τ ' cos( θ em relação a θ e iguala-se esta derivada a zero. θ c - Ângulo que define aqueles planos. Dessa forma tem-se dτ x' ý' dθ θ = θc = ( σ σ cos( θ τ sen( θ tg( θ x y c ' c c σ x σ y = τ (18 10

11 A Solução da eq. (18 é da seguinte forma: σ x σ y θ c = arctg + nπ τ n = 0,1,K (19 Para as menores determinações 1 σ x σ y n = 0 θ = c1 arctg (0 τ π n = 1 θ c = θ c1 + (1 Planos Principais x Planos de Tensões Tangenciais Extremas tgθ p τ = e tg( θ c σ x σ y σ x σ y = ( τ As Conclusões obtidas a partir das expressões ( são as seguintes: 1 p = tg c - Os ângulos θ c e 1 - tg( θ ( θ 3- Os ângulos θ c e p o θ p diferem de 90º ( θ c θ p = 90 o θ diferem de 45º ( θ θ = c p O par de eixos ortogonais relativos às tensões de cisalhamento máximas, no plano, é obtido pela rotação de 45º nos eixos principais. Tensões Tangenciais Extremas Para calcularmos as tensões de cisalhamento máximas devemos substituir os valores de senθ c e cos θ c, na equação (. Dessa forma, encontram-se os valores do seno e co-seno a partir do triângulos apresentados na Figura 11. A montagem dos triângulos da Figura 11 se baseia na equação 18. O ângulo θ s Figura 11- Triângulos formados a partir da expressão

12 Supondo-se que τ e σ x σ y são quantidades positivas ou ambas as quantidades negativas, temos: Para θ c1 sen x y ( θ ( σ σ / + τ c1 σ σ = x y (3 cos x y ( θ τ + τ c1 σ σ = (4 Substituindo-se as expressões (3 e (4 na eq. ( teremos: σ x σ y τ max = ± + τ min (5 τ max é chamada de tensão máxima no plano, por que atua sobre o elemento no plano x-y. Substituindo-se os valores de senθ c e cos θ c, na equação (1, verificamos que há uma tensão normal nos planos da tensão de cisalhamento máximo dada por: σ x + σ y σ méd = (6 Como no caso das equações de transformação de tensão, é conveniente programar as equações anteriores de tal forma que sejam usadas numa calculadora de bolso. Conclusões: 1- As tensões tangenciais extremas diferem apenas em sinal. Seus valores absolutos são iguais. Isto, aliás, está de acordo com a lei da reciprocidade das tensões, visto que τ max e τ min agem em planos perpendiculares conforme demonstrado anteriormente. O sinal indicará o sentido da tensão tangencial, conforme convenções estabelecidas anteriormente. - Tensões Principais σ x + σ y σ x σ y σ 1, = ± + τ 3- Tensões tangenciais extremas σ x σ y τ max = ± + τ min Donde σ x + σ y σ max = σ 1 = + τ σ x + σ y σ min = σ = τ σ σ = τ 1 max max max 1

13 σ 1 σ τ max = (7 4- É constante a soma das tensões normais que agem em dois planos ortogonais quaisquer passando no ponto. Suponha as tensões σ θ e σ θ π ± agindo em dois planos ortogonais entre si e dadas por σ x + σ y σ x σ y σ θ = + cos( θ + τ sen( θ (8 σ π θ ± σ x = + σ y σ x σ y cos ( θ τ sen( θ (9 Somando as expressões (8 e (9 chega-se a: σ + σ = σ σ θ π x + θ ± y (30 5- Cada ponto admitirá, pois um invariante característico de seu estado de tensões, dado por: Exercícios: I = σ θ + σ π = σ x + σ y = σ 1 + θ ± σ (31 1- Em um ponto de um membro estrutural sujeito a tensões planas há tensões sobre os planos horizontal e vertical através do ponto, como apresenta a Figura 1. (a Determine as tensões principais e as tensões tangenciais extremas no ponto. (b Localize os planos sobre os quais estas tensões atuam e mostre as tensões num esboço completo 80 Mpa 100 MPa 40 Mpa ( ( C σ 1 = 108,5 MPa T Resposta: σ = 88,5 MPa Figura 1- Ponto de um membro estrutural., τ = 98,5 MPa, max ± min θ 1 = 1 o 13

14 - Quando a carga de torção é aplicada à barra da Figura 13, produz um estado de tensão de cisalhamento puro no material. Determinar: a A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média; e b A tensão principal. Figura 13- Carga de torção aplicada a uma barra Resposta: τ σ σ max no plano méd 1, = 0 = ± τ = ± τ, θ p1 = 135 o, θ p = 45 o 3- Resolver os exercícios resolvidos do Hibbeler em casa. 14

15 Círculo de Tensões de Mohr 1- Conceito Obter graficamente uma solução mais rápida para os problemas de transformação de tensões (Análise das tensões no ponto Embora tenha sido inicialmente imaginado para soluções gráficas, o método se presta muito bem para soluções com calculadoras. Base Teórica: Repetindo-se aqui as expressões (1 e (3 na seguinte forma σ x + σ y σ x σ y σ x ' = cos( θ + τ sen( θ (3 σ x σ y τ x ' ý' = sen( θ + τ ' cos( θ (33 Elevando-se os dois membros das equações (3 e (33 ao quadrado tem-se σ x σ y σ x σ y x' = cos + ( sen( σ θ + τ θ (34 σ x σ y x' ý' sen( ' cos( τ = + θ τ θ (35 Expandindo-se as expressões (34 e (35 e eliminando-se o parâmetro θ chega-se a: σ x + σ y σ x σ y σ x' τ + x' ý' = + τ (36 Sabe-se que a equação cartesiana do círculo é dada por: x a + y c = R (37 ( ( Fazendo-se uma relação da equação (36 com a equação (37 tem-se que: σ, σ τ são constantes conhecidas x y, σ x' e x' y' σ x + σ y a = c=0 τ são as variáveis = σ méd σ x σ y R = + τ Dessa forma a expressão (36 torna-se: ( σ + τ = R σ (37 x' méd x' ý' Se estabelecermos eixos coordenados em que σ seja positivo para a direita e τ positivo para baixo e representarmos a equação (37, teremos um círculo de raio R com centro em ( σ méd,0 no eixo σ. Esse círculo é chamado de círculo de Mohr e está ilustrado na Figura

16 Traçado do Círculo de Mohr Figura 14- Círculo de Tensões de Mohr. 1- Estabelecer um sistema de coordenadas tal que a abscissa represente a tensão normal σ, com sentido positivo para a direita, e a ordenada represente a tensão de cisalhamento τ, com sentido positivo para baixo. Figura 15.a Figura 15.a Círculo de Mohr. 16

17 - Usando a convenção de sinal positiva para σ x, σ y e τ, como mostra a Figura 15.b, marcamos o centro do círculo, localizado no eixo σ a uma distância σ origem. méd σ x + σ y = da Figura 15.b Plano físico. 3- Marcar o ponto de referência A de coordenadas A ( σ τ x,. Esse ponto representa os componentes das tensões normal e de cisalhamento na face vertical direita do elemento e, o como o eixo x coincide com o eixo x, isso significa que θ = Unir o ponto A ao centro C e determinar CA usando trigonometria. Essa distância representa o raio R do círculo. 5- Traçar o círculo Tensões principais 1- Pontos B e D da Figura 15.a - Definem as tensões normais extremas, σ 1 e σ ( σ 1 σ. Observe as tensões de cisalhamento que são nulas nesses pontos. - Essas tensões atuam sobre os planos definidos pelos ângulos θ p1 e θ p, como na Figura 15.c. Eles sã representados no círculo pelos ângulos θ p1 (mostrado e θ p e medidos da linha de referência radial CA para as linhas CB e CD, respectivamente. Figura 15.c Planos principais. 3- Apenas um desses ângulos precisa ser calculado pelo círculo, usando-se trigonometria, uma vez que θ p1 e θ p, estão 90º afastados. A direção de rotação no círculo θ p (nesse caso no 17

18 sentido anti-horário representa a mesma direção de rotação θ p a partir do eixo de referência (+x para o plano principal (+x como apresenta a Figura 15.c. Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano 1- Coordenadas do Ponto E e F (Figura 16.a. - Os ângulos θ c1 e θ c dão a orientação dos planos que contém os componentes, Figura 15.d. O ângulo θ c1 é determinado por trigonometria a partir da Figura 15.a. Figura 15.d- Tensão de cisalhamento máxima 3- Nesse caso a rotação ocorre no sentido horário e, desse modo, θ c1 deve estar no sentido horário no elemento. Tensões num Plano Qualquer ' 1- Os componentes das tensões normal e de cisalhamento σ x e τ x' y' que atuam sobre um plano especificado definido pelo ângulo θ, como na Figura 15.e são obtidos no círculo usando-se trigonometria para determinar as coordenadas do ponto P na Figura 16.a. Figura 15.e Tensões num plano qualquer. - Para localizar P, o ângulo conhecido para o plano θ (nesse caso no sentido anti-horário, Figura 15.e deve ser medido no círculo na mesma direção de θ (sentido anti-horário, da linha de referência CA para a linha radial CP, Figura 15.a. 18

19 Exercício 1- A carga de torção T produz, no eixo, o estado de tensão mostrado na Figura 16.a. Desenhar o circulo de Mohr para esse caso. Figura 16 Barra submetida a torção. - Devido à carga aplicada, o elemento no ponto A do cilindro maciço da Figura 17.a está sujeito ao estado de tensão mostrado. Determinar as tensões principais que atuam nesse ponto. Figura 17-Barra submetido a carregamento. Resposta: σ 1 =,49 ksi, σ = 14,5 ksi Figura 17.c 19

20 3- Estudar os exercícios resolvidos do Hibbeler. Trabalho Entregar até o dia 0 de outubro os exercícios do HIBBELER capítulo 9, na seção problemas: 9.1, 9.7, 9.8, 9.9 e 9.14 e Entregar os exercícios com seus respectivos enunciados. Referências Bibliográficas: 1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora Thomson Learning 3. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 000. Observações: 1- O presente texto é baseado nas referências citadas. - Todas as figuras se encontram nas referências citadas. 0