Caldeiraria Matemática Aplicada

Transcrição

1 _ PM - Programa de ertificação de Pessoal de aldeiraria aldeiraria Matemática plicada _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 3

2 _ Matemática plicada - aldeiraria SENI - ES, 1997 Trabalho realizado em parceria SENI / ST (ompanhia Siderúrgica de Tubarão) oordenação Geral Supervisão Luís láudio Magnago ndrade (SENI) Marcos Drews Morgado Horta (ST) lberto Farias Gavini Filho (SENI) Wenceslau de Oliveira (ST)) Elaboração arlos Roberto Sebastião (SENI) provação Silvino Valadares Neto (ST) Nelson de rito raga (ST) Editoração Ricardo José da Silva (SENI) SENI - Serviço Nacional de prendizagem Industrial DE - Divisão de ssistência às Empresas Departamento Regional do Espírito Santo v. Nossa Senhora da Penha, Vitória - ES. EP aia Postal 683 Telefone: (027) Telefa: (027) ST - ompanhia Siderúrgica de Tubarão HD - Divisão de Desenvolvimento de Recursos Humanos V. rigadeiro Eduardo Gomes, s/n, Jardim Limoeiro - Serra - ES. EP Telefone: (027) Telefa: (027) _ ST 4 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

3 _ Sumário Introdução à Geometria Ângulos Triângulos ongruência de triângulos Quadriláteros Polígonos onveos ircunferência e írculo Sistema Métrico Decimal - Medidas de Massas Medidas não decimais Produto artesiano Função do 1º grau Relações Métricas nos Triângulos Retângulos Razões trigonométricas Relações Métricas num Triângulo qualquer Relações métricas na ircunferência Polígonos Regulares Área de Polígonos Medida da circunferência e área do círculo ibliografia _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 5

4 _ Introdução à Geometria Ponto, Reta e Plano Representação: Ponto - letras maiúsculas do nosso alfabeto:,,,... Reta - letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c,... Plano - letras gregas minúsculas: α, β, γ,... ponto reta α plano onsiderações importantes: a ) Numa reta há infinitos pontos. r r b ) Num plano há infinitos pontos. α α b ) Num plano eistem infinitas retas. m n s t r _ ST 6 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

5 SENI Departamento Regional do Espírito Santo 7

6 _ Pontos olineares Os pontos pertencentes a uma mesma reta são chamados colineares. R T S Os pontos, e são colineares Os pontos R, S e T não são colineares Figura Geométrica Toda figura geométrica é um conjunto de pontos. Figura geométrica plana é uma figura em que todos os seus pontos estão num mesmo plano. Eercícios 1) Quais são os elementos fundamentais da Geometria? 2) Quantos pontos podemos marcar num plano? 3) Quantas retas podemos traçar num plano? 4) Por dois pontos distintos quantas retas podemos traçar? _ ST 8 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

7 _ 5) Observe a figura e responda: M R P r Q S N s a) Quais dos pontos pertencem à reta r? b) Quais dos pontos pertencem à reta s? c) Quais dos pontos pertencem às retas r e s? 6) Observe a figura e complete: a) Os pontos, F e _ são colineares. b) Os pontos E, F e _ são colineares. c) Os pontos, _ e E são colineares. d) os pontos _, e são colineares. E F D _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 9

8 _ Posições relativas de duas Retas no Plano Duas retas distintas contidas em um plano podem ser: a ) retas concorrentes: quando têm um único ponto comum. r s r s = { } a ) retas paralelas: quando não têm ponto comum. r s r s = Eercícios 1) Quais das afirmações abaio são verdadeiras? a) r e s são concorrentes b) r e t são concorrentes c) s e t são paralelas d) s e p são paralelas r s t p s t = _ ST 10 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

9 _ Semi-reta Um ponto P qualquer de uma reta r divide esta reta em duas partes denominadas semi-retas de origem P. semi-reta semi-reta P r Para distinguir as semi-retas, vamos marcar os pontos e pertencentes a cada semi-reta. P r P - semi-reta de origem P e que passa pelo ponto. P - semi-reta de origem P e que passa pelo ponto. Segmento Um segmento de reta de etremidades e é o conjunto dos pontos que estão entre elas, incluindo as etremidades. Indica-se o segmento por _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 11

10 _ Segmentos onsecutivos Dois segmentos de reta que têm uma etremidade comum são chamados consecutivos. Eemplo: P Q R e são consecutivos PQ e QR são consecutivos Segmentos olineares Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta. Eemplo: D P Q R e D são colineares PQ e QR são colineares (e consecutivos) Segmentos ongruentes Dois segmentos de reta são congruentes quando possuem medidas iguais. Indicação: D 4 cm Significa: é congruente a D 4 cm D _ ST 12 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

11 _ Ponto médio de um segmento Um ponto M é chamado ponto médio de um segmento se M está entre e e D. M Eercícios 1) Observe a figura abaio e escreva se os segmentos são consecutivos, colineares ou adjacentes (consecutivos e colineares): D E F G a) e = b) e DE = c) e D = d) D e DE = e) e EF = f) DE e EF = g) EF e FG = h) e FG = _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 13

12 _ 2) Observe a figura e responda: 5 E 7 F 3 G D a) Qual a medida do segmento EG? b) Qual a medida do segmento? c) Qual a medida do segmento D? 2) Na figura abaio, M é o ponto médio de e N é o ponto médio de. Se mede 6cm e mede 4cm. M N a) Qual é a medida de M? b) Qual é a medida de N? c) Qual é a medida de MN? d) Qual é a medida de N? _ ST 14 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

13 _ Ângulos Definição Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem e não-colineares. Na figura: O é o vértice. O e O são os lados lado vértice O lado Indicação do ângulo: Ô, ou Ô ou simplesmente Ô. Pontos internos e Pontos eternos a um Ângulo Seja o ângulo Ô F G Os pontos, D e E são alguns dos pontos internos ao ângulo Ô. Os pontos F, G, H e I são alguns dos pontos eternos ao ângulo Ô. O D E H I _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 15

14 _ Medida de uma ângulo Um ângulo pode ser medido de um instrumento chamado transferidor e que tem do grau como unidade. O ângulo Ô da figura mede 40 graus. Indicação: m (Ô) = 40º unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segunda. 1 grau tem 60 minutos (indicação: 1º = 60 ) 1 minuto tem 60 segundos (indicação: 1 = 60 ) Simbolicamente: Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é indicado por 25º 40 Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45 segundos é indicado por 12º _ ST 16 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

15 _ Eercícios 1) Escreva as medidas em graus dos ângulos indicados pelo transferidor: a) m (Ô) = b) m (Ô) = c) m (Ô) = d) m (Ô) = a) m (Ô) = b) m (Ô) = c) m (Ô) = d) m (Ô) = Operações com medidas de ângulos dição 1) Observe os eemplos: 17º º º º º ) 13º º 45 13º º 45 43º º 25 44º 25 _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 17

16 _ Eercícios 1) alcule as somas: a) 49º + 65º = b) 12º º 13 = c) 28º º 40 = d) 25º º 50 = e) 23º º 45 = f) 35º º = g) 31º º = h) 3º º = Subtração Observe os eemplos: 1) 58º 40-17º 10 2) 80º - 42º 30 58º 40-17º 10 41º 30 79º 60-42º 30 37º 30 Eercícios 1) alcule as diferenças: a) 42º - 17º = b) 48º 50 = 27º 10 = c) 12º 35-13º 15 = d) 30º - 18º 10 = a) 90º - 54º 20 = b) 120º - 50º 20 = c) 52º 30 = 20º 50 = d) 39º 1-10º 15 = _ ST 18 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

17 _ Multiplicação de um ângulo por um número Observe os eemplos: 1) 2) 17º º º º 30 24º º 60 1º 73º Nota: Não há multiplicação entre ângulos. 90º 90º =? Eercícios 1) alcule os produtos: a) 25º 10 3 = b) 44º 20 2 = c) 35º 10 4 = d) 16º 20 3 = a) 28º 30 2 = b) 12º 40 3 = c) 15º 30 3 = d) 14º 20 5 = Divisão de um ângulo por um número Observe os eemplos: 36º º º º 10 39º º 180 9º Nota: Não há divisão entre ângulos. 90º 20º =? _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 19

18 _ Eercícios 1) alcule os quocientes: a) 48º 20 4 = b) 45º 30 3 = c) 75º 50 5 = a) 55º 2 = b) 90º 4 = c) 22º 40 5 = 2) alcule: a) 2 3 de 45º = a) 3 4 de 48º 20 = b) 5 7 de 84º = b) 3 2 de 15º 20 = Ângulos ongruentes Dois ângulos são ongruentes se as suas medidas são iguais. O 30º O 30º D Indicação: Ô (significa: Ô é congruente a ÔD) _ ST 20 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

19 _ issetriz de um ângulo issetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes. O M Se ÔM MÔ, então OM é bissetriz de Ô. Eercícios 1) alcule em cada caso, sabendo-se que OM é bissetriz do ângulo dado. a) b) O 4X + 5º 37º M M 3X X + 20º O _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 21

20 _ 2) alcule em cada caso, sabendo-se que O é bissetriz do ângulo dado. a) b) O 3X 5X - 20º M 2-5º O 35º Ângulos Reto, gudo e Obtuso Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com suas medidas: Ângulo reto é aquele cuja medida é 90º. Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que 90º. Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90º. ÂNGULO RETO ÂNGULO GUDO ÂNGULO OTUSO _ ST 22 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

21 _ Retas Perpendiculares Quando duas retas se interceptam formando ângulos retos, dizemos que elas são perpendiculares. Indicação: r s Significa: r perpendicular a s. Ângulos omplementares Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º. m (Ô) + m (Ô) = m (Ô) O Eemplos: 65º e 25º são ângulos complementares, porque 65º + 25º = 90º 40º e 50º são ângulos complementares, porque 40º + 50º = 90º _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 23

22 _ Eercícios: 1) Resolva as equações abaio, onde a incógnita é um ângulo (medido em graus): a) 2 = 90º b) º = 90º c) 5-20º = 1º + 2 d) = 2 (90º - ) e) 4 ( + 3º) = 20º f) (3-20º) + 50º = 90º g) 3 ( + 1º) = 2 ( + 7º) h) ( + 1º) = 4º + 3 ( + 2º) 2) Observe o eemplo abaio e resolva as seguintes questões: alcular a medida de um ângulo cuja medida é igual ao dobro do seu complemento. Solução: Medida do ângulo = Medida do complemento do ângulo = 90º - = 2 ( 90º - ) Resolvendo a equação: = 2 (90º - ) = 180º - 2 = 180º = 180º = 60º Resposta: 60º a) medida de um ângulo é igual à medida de seu complemento. Quanto mede esse ângulo? b) medida de um é a metade da medida do seu complemento. alcule a medida desse ângulo. _ ST 24 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

23 _ c) alcule a medida de um ângulo cuja medida é igual ao triplo de seu complemento. d) diferença entre o dobro da medida de um ângulo e o seu complemento é 45º. alcule a medida desse ângulo. e) terça partes do complemento de um ângulo mede 20º. Qual a medida do ângulo? f) Dois ângulos complementares têm suas medidas epressas em graus por º e 4-5º. Quanto medem esses ângulos? Ângulos Suplementares Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º. m (Ô) + m (Ô) = 180º O Eemplos: 50º e 130º são ângulos suplementares, porque 50º + 130º = 180º 125º e 55º são ângulos suplementares, porque 125º + 55º = 180º _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 25

24 _ Eercícios: 1) Determine, sabendo que os ângulos são suplementares: a) 2-40º 3-10º 2) alcule : a) 2 5-4º 3 2-2º 3) quarta parte da medida de um ângulo mede 30º. alcule a medida do seu suplemento. 4) medida de um ângulo é igual à medida de seu suplemento. alcule esse ângulo. 5) alcule a medida de um ângulo que é igual ao triplo de seu suplemento. _ ST 26 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

25 _ 6) O dobro da medida de um ângulo é igual à medida do suplemento desse ângulo. alcule a medida do ângulo. 7) O triplo da medida de um ângulo mais a medida do suplemento desse ângulo é 250º 8) alcule a medida de um ângulo cuja medida é igual a 2 3 do seu suplemento. 9) soma do complemento com o suplemento de um ângulo é 110º. Quanto mede o ângulo? Ângulos opostos pelo vértice Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a dois, opostos pelo vértice. Na figura: â e c são opostos pelo vértice. m e n são opostos pelo vértice. m c a n _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 27

26 _ Teorema Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Prova: Sejam os ângulos a e b opostos pelo vértice. ( 1 ) m ( a ) + m ( c ) = 180º ( 2 ) m ( b ) + m ( c ) = 180º omparando ( 1 ) e ( 2 ) : m ( a ) + m ( c ) = m ( b ) + m ( c ) m ( a ) = m ( b ) Se a e b têm a mesma medida, eles são congruentes. Eercícios: 1) Se = 50º, determine y, m e n: m n y 2) alcule os ângulos, y, z e w da figura: y 100º z w 18º _ ST 28 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

27 _ 3) alcule os ângulos, y e z das figuras: y 80º z z y 60º 130º 4) Observe o eemplo abaio e determine o valor de nas seguintes questões: 5-70º º Solução: 5-70º = º = 20º + 70º = 90º = 30º a) b) º º + 50º _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 29

28 _ c) d) 2 + 1º + 6º 3 5 ( - 3º) 4 ( - 3º) Ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal Duas retas r e s, interceptadas pela transversal t, formam oito ângulos. t r s Os pares de ângulos com um vértice em e o outro em são assim denominados: orrespondentes: 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7 olaterais internos: 4 e 5, 3 e 6 olaterais eternos: 1 e 8, 2 e 7 lternos internos: 4 e 6, 3 e 5 lternos eternos: 1 e 7, 2 e 8 _ ST 30 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

29 _ Propriedades onsidere duas retas paralelas e uma transversal. t r s Medindo esses ângulos com o transferidor, você vai concluir que são válidas as seguintes propriedades: Os ângulos correspondentes são congruentes. Os ângulos alternos eternos são congruentes. Os ângulos alternos internos são congruentes. Os ângulos colaterais eternos são suplementares. Os ângulos colaterais internos são suplementares. Eercícios a) t 2 r 3-20º s _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 31

30 _ b) t 3-15º r - 55º s c) t 2 r 3-50º s _ ST 32 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

31 _ Triângulos onceito Triângulo é um polígono de três lados. Na figura acima: Os pontos, e são os vértices do triângulo. Os segmentos, e são os lados do triângulo. Os ângulos, e são ângulos internos do triângulos. Indicamos um triângulo de vértices, e por. _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 33

32 _ Ângulo Eterno Ângulo eterno é o ângulo suplementar do ângulo interno. m Na figura acima m é um ângulo eterno. Perímetro O perímetro de um triângulo é igual à soma das medidas dos seus lados. Perímetro = + + lassificação dos Triângulos Quanto aos lados os triângulos se classificam em: Equilátero quando tem os três lados congruentes. Isósceles quando tem dois lados congruentes. Escaleno quando não tem lados congruentes. EQUILÁTERO ISÓSELES ESLENO _ ST 34 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

33 _ Quanto aos ângulos os triângulos se classificam em: cutângulo quando tem três ângulos agudos Retângulo quando tem um ângulo reto. Obtusângulo quando tem um ângulo obtuso. R R R S T S T S T UTÂNGULO RETÂNGULO OTUSÂNGULO Em um triângulo retângulo os lados que formam o ângulo reto chamam-se catetos e o lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa. ateto Hipotenusa ateto _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 35

34 _ Eercícios: 1) Determine o comprimento do lado, sabendo-se que o perímetro do é 48cm ) O perímetro do triângulo é 34 cm. Determine o comprimento do menor lado. R + 7 S + 3 T 3) lassifique o triângulo de acordo com as medidas dos ângulos: 80º 100º 60º 40º 35º 45º _ ST 36 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

35 _ 4) Observe a figura e responda: a) Que nome recebe o lado? b) Que nome recebem os lados e? 5) Que nome recebe o maior lado de um triângulo retângulo? ondição de eistência de um Triângulo Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois lados. Eemplo: Seja o triângulo: 4 cm 2 cm 3 cm _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 37

36 _ Vamos comparar a medida de cada lado com a soma das medidas dos outros dois. ssim: 2 < ou 2 < 7 2 < ou 2 < 7 2 < ou 2 < 7 Para verificar a citada propriedade, procure construir um triângulo com as seguintes medidas: 7 cm, 4 cm e 2 cm. 4 cm 2 cm 7 cm É impossível, não? Logo não eiste o triângulo cujos lados medem 7cm, 4cm e 2cm. Elementos notáveis de um triângulo Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. R R baricentro mediana S M T S T Todo triângulo tem três medianas que se encontram em um ponto chamado baricentro. _ ST 38 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

37 _ issetriz de um triângulo é o segmento da bissetriz de um ângulo interno que tem por etremidades o vértice desse ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto. R R incentro bissetriz S P T S T Todo triângulo tem três bissetrizes que se encontram em um ponto interior chamado incentro. ltura de um triângulo é o segmento da perpendicular traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento. R R R altura altura ortocentro S T S T S T Todo triângulo tem três alturas que se encontram em um ponto chamado ortocentro. _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 39

38 _ Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Observe os triângulos e as medidas dos ângulos internos. 80º 60º 40º 60º 30º 80º + 40º + 60º = 180º 30º + 60º + 90º = 180º Note que: m ( ) + m ( ) + m ( ) = 180º Vamos à demonstração desse teorema. Teorema Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180º. Prova: consideremos um triângulo. Vamos provar que m ( ) + m ( ) + m ( ) = 180º 1^ ^ 2^ s _ ST 40 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

39 _ a ) Pelo vértice, traçamos a reta s paralela ao lado. m ( 1) + m ( ) + m ( 2 ) = 180º 1 Note que: m ( 1) m ( ) (alternos internos) 2 m ( 2 ) m ( ) (alternos internos) 3 b ) Temos que: c ) Substituindo 2 e 3 em 1, temos: m ( ) + m ( ) + m ( ) = 180º Eercícios: 1) alcular no triângulo abaio: 80º 30º _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 41

40 _ 2) alcular no triângulo abaio: R 5 45º 4 T S 3) alcular no triângulo abaio: P 5-50º + 10º R Q 4) Determine a medida dos ângulos, y e z. a) y 60º 45º _ ST 42 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

41 _ b) 35º 105º z D y 50º E c) y 30º 55º 40º D d) _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 43

42 _ 110º r s 80º s _ ST 44 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

43 _ Teorema do ângulo eterno Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo eterno é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes. Prova: onsideremos um triângulo. Vamos provar que m ( e ) = m ( ) + m ( ) e a ) m ( ) + m ( ) + m ( ) = 180º (pelo teorema anterior) m ( ) + m ( ) = 180º - m ( ) 1 b ) m ( e ) + m ( ) = 180º m ( e ) = 180º - m ( ) 2 Igualando 1 e 2 temos: m ( e ) = m ( ) + m ( ) _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 45

44 _ Eemplo: alcule o valor de no triângulo abaio: º Solução Pelo teorema do ângulo eterno, temos: = 120º 6 = 120º = 20º Resposta: = 20º Eercícios: 1) alcule o valor de nos triângulos dados: a) º _ ST 46 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

45 _ b) 2 c) 120º 140º d) M 120º P N 3 _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 47

46 _ 2) alcule e y: a) D y 135º 75º 60º E 3) alcule : a) 60º 15º 25º D _ ST 48 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

47 _ b) 75º 20º 15º D 4) O perímetro do triângulo da figura é 37cm. Qual a medida do menor lado? ) om os segmentos de medidas 8cm, 7cm e 18cm podemos construir um triângulo? Por quê? _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 49

48 _ 6) alcule : a) b) º + 10º 2-30º + 5º º 6) alcule : a) b) 105º + 5º 110º 2 50º _ ST 50 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

49 _ a) 130º 70º b) 60º 20º 30º _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 51

50 _ ongruência de triângulos Intuitivamente, dois triângulos e RST são congruentes se for possível transportar um deles sobre o outro, de modo que eles coincidam. Definição Dois triângulos são chamados congruentes quando os lados e os ângulos correspondentes são congruentes. Logo: RS R RST ST e S TR T _ ST 52 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

51 _ asos de congruência O estudo dos casos de congruência de dois triângulos tem por finalidade estabelecer o menor número de condições para que dois triângulos sejam congruentes. 1º SO: L. L. L. (lado, lado, lado) Dois triângulos que têm três lados respectivamente congruentes são congruentes. F 2 cm 3 cm 2 cm 3 cm 4 cm E 4 cm G EF EG FG EFG 2º SO: L.. L. (lado, ângulo, lado) Dois triângulos que têm dois lados e o ângulo por eles formado respectivamente congruentes são congruentes. F 5 cm 5 cm 30º 6 cm G 30º 6 cm E EF E EFG EG _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 53

52 _ 3º SO:. L.. (ângulo, lado, ângulo) Dois triângulos que têm um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado respectivamente congruentes são congruentes. F 50º 40º 50º 3 cm E 3 cm G E EG EFG G 4º SO: L.. o. (lado, ângulo, ângulo oposto) Dois triângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes são congruentes. F 50º 50º 30º 5 cm E 30º 5 cm G EG E EFG F _ ST 54 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

53 _ Eercícios 1) ite, em cada item, o caso de congruência dos triângulos. a) F 3 cm 90º 4 cm 3 cm EFG 90º E G 4 cm b) M 5 cm 6 cm 5 cm 6 cm MNP 3 cm N 3 cm P c) F 8 cm G M 70º 40º MNP 70º 40º E N 8 cm P _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 55

54 _ d) T 4 cm 6 cm RST 50º 50º 6 cm R 4 cm S e) N 5 cm P 80º 35º MNP 80º 35º 5 cm M f) G 80º 70º 12 cm 70º 80º EFG 12 cm E F _ ST 56 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

55 SENI Departamento Regional do Espírito Santo 57

56 _ Quadrilátero onceito Quadrilátero é um polígono de quatro lados. No quadrilátero ao lado, destacamos: vértice:,,, D lados:,, D e D ângulos internos:,, e D lados opostos: e D, D e D ângulos opostos: e, e D Lembre-se de que um quadrilátero é conveo quando qualquer segmento com etremidades no quadrilátero está contido nele. Quadrilátero conveo D Quadrilátero não-conveo D Estudaremos apenas os quadriláteros conveos. _ ST 58 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

57 _ Diagonal O segmento que une dois vértices não consecutivos é chamado diagonal. D Na figura, e D são diagonais. Eercícios 1) Observe o quadrilátero e responda: a ) Quais são os lados? b ) Quais são os vértices? c ) Quais são os ângulos internos? d ) Quais são as diagonais indicadas? M P N O 2) onsidere o quadrilátero D. a ) Nomeie os dois pares de lados opostos. b ) Nomeie os dois pares de ângulos opostos. D _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 59

58 _ 3) O perímetro de um quadrilátero mede 41cm. Quanto mede cada lado se as medidas são representadas por, + 2, e 2-4? Soma dos ângulos internos de um quadrilátero D é um quadrilátero conveo e a diagonal o divide em dois triângulos. Veja: D soma dos ângulos internos dos dois triângulos é a soma dos ângulos internos do quadrilátero. Logo: soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 180º + 180º = 360º _ ST 60 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

59 _ Eercícios: 1) Na figura abaio, calcular o valor de n. D 2 2) Na figura abaio, calcular o valor de n. a) b) E F E F 120º 110º 130º G 60º H G H 3) alcule o valor de nos seguintes quadriláteros: a) b) E F R S º G 3 4 H T U 5 _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 61

60 _ 4) alcule as medidas dos ângulos indicados com letras: a) b) N 120º R E 130º z y F 130º 95º 110º M S G H 5) alcule na figura: 80º 40º 20º + 20º 6) alcule os ângulos internos de um quadrilátero sabendo que eles medem, 2, 2 e 3 2. Paralelogramos Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. Na figura, temos: D D D _ ST 62 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

61 _ Tipos de Paralelogramos Retângulo - Possui quatro ângulos retos. Losango - Possui os quatro lados congruentes. Quadrado - Possui os quatro lados congruentes e os ângulos retos. Retângulos Losango Quadrado Note que: Todo quadrado é um losango. Todo quadrado é um retângulo. Teorema: Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes. Prova: Seja o paralelogramo D. Vamos provar que e D 1^ 2^ 3^ 4^ D a ) Tracemos a diagonal D e consideremos os triângulos D e D. _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 63

62 _ b ) Temos: 1 4 (alternos internos) D D (comum) 2 3 (alternos internos). L.. D D Então, os ângulos correspondentes são congruentes, ou seja: Logo: D Eercícios: 1) Determinar as medidas de, y e z no paralelogramo abaio: y 50º z D _ ST 64 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

63 _ 2) Determinar as medidas de, y e z no paralelogramo abaio: P Q 3-10º - 50º R S 3) Observe a figura e calcule as medidas de, y, z e w. 110º 70º w z y 70º 110º 4) aseado nos resultados do eercício anterior, responda: Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes? 5) alcule os ângulos indicados nos paralelogramos seguintes: a) b) P Q 60º 142º D S R 6) alcule os valor de nos paralelogramos abaio: _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 65

64 _ a) b) R S R S + 70º 3-10º º 2 + 8º T U T U 7) alcule os valor de nos paralelogramos abaio: a) b) R S R S º º T U T U 7) alcule os valor de, y e z nos losangos abaio: a) b) R R S U S y + 80º z U º T T _ ST 66 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

65 _ Trapézio Trapézio é o quadrilátero que possui dois lados paralelos (que são chamados de base). base menor altura Na figura, temos: D base maior D distância entre as bases chama-se altura. Tipos de Trapézio Isósceles - Os lados não-paralelos são congruentes. Retângulo - Tem dois ângulos retos. Escaleno - Os lados não-paralelos não são congruentes. E F E F E F Trapézio Isósceles Trapézio Retângulo Trapézio Escaleno G H G H G H Eercícios: 1) Num trapézio, como são chamados os lados paralelos? _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 67

66 _ 2) alcule o valor de nas figuras: a) b) R S R S º T U T U 3) alcule o valor de nas figuras: a) b) R S R S º 110º T U T U 4) Responda: a) Quantos lados possui um quadrilátero? b) Quantos vértices possui um quadrilátero? c) Quantas diagonais possui um quadrilátero? 5) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um quadrilátero? _ ST 68 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

67 _ 6) alcule o valor de nos seguintes quadriláteros: a) b) F E F E 2 110º 150º 60º 50º 70º G H G H c) d) E F E F 3 G 2 2 H G 3 H 7) alcule o valor de nos quadriláteros: a) b) E F º D 120º 80º H G _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 69

68 _ 8) alcule o valor de e y nos paralelogramos: a) b) E F y + 40º G y 2 H º _ ST 70 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

69 SENI Departamento Regional do Espírito Santo 71

70 _ Polígonos onveos Polígonos Polígono é um conjunto de segmentos consecutivos não colineares no qual os etremos do primeiro e do último coincidem. Eemplos: Polígonos conveos Polígonos não-conveos ssim como já vimos para os quadriláteros, dizemos que um polígono é conveo quando qualquer segmento com etremidades no polígono está contido nele. _ ST 72 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

71 _ Elementos de um Polígono Observe o polígono DE:,,, D, E são os vértices.,,, D, E são os ângulos internos.,, D, DE, E são os lados. lado vértice E D Nomes dos Polígonos Segundo o número de lados, os polígonos recebem nomes especiais: nome nº de lados triângulo... 3 quadrilátero... 4 pentágono... 5 heágono... 6 heptágono... 7 octógono... 8 eneágono... 9 decágono undecágono dodecágono pentadecágono icoságono O número de lados de um polígono é igual ao número de vértices. _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 73

72 _ Eercícios 1) Quais são os polígonos conveos? a) b) c) 2) Responda: a) Quantos lados tem um heágono? b) Quantos lados tem um undecágono? c) Quantos lados tem um polígono de 15 vértices? d) Quantos vértices tem um polígono de 9 lados? 3) omo se chama um polígono de: a) 5 lados? b) 12 lados? c) 7 vértices? d) 20 vértices? Soma dos ângulos internos de um polígono conveo traçar as diagonais que partem de um mesmo vértice de um polígono, nós o dividimos em triângulos, cujo número de triângulos é sempre o número de lados menos dois. Veja: 1 2 D 4 lados 2 triângulos _ ST 74 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

73 _ 1 2 E 5 lados 3 triângulos 3 D D F E 6 lado 4 triângulos n lados ( n - 2 ) triângulos Um polígono de n lados será dividido em (n - 2) triângulos. Logo, para obter a soma de seus ângulos internos (S n ), basta multiplicar o número de triângulos por 180º, ou seja: S n = ( n - 2 ). 180º Eemplo: alcular a soma dos ângulos internos do octógono ( n = 8 ) Solução: S n = ( n - 2 ). 180º S 8 = ( 8-2 ). 180º S 8 = º S 8 = 1080º Resposta: 1080º _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 75

74 _ Eercícios: 1) alcule a soma dos ângulos internos dos seguintes polígonos: a) pentágono b) heágono c) eneágono d) decágono e) pentadecágono f) icoságono 2) Qual a soma dos ângulos internos de um polígono conveo de 7 vértices? 3) soma dos ângulos internos de um polígono conveo é 900º. Qual é o polígono? 4) soma dos ângulos internos de um polígono conveo é 3240º. Qual é o polígono? 5) alcule : a) b) 160º º 2 2 _ ST 76 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

75 _ Polígono Regular hama-se polígono regular todo polígono conveo que tem: a ) todos os lados congruentes entre si; b ) todos os ângulos congruentes entre si. Eercícios: 1) Qual é a medida de cada ângulo interno de um triângulo equilátero? 2) alcule a medida do ângulo interno de cada polígono regular: a) pentágono b) heágono c) octógono d) dodecágono Diagonal de um Polígono Diagonal de um polígono é um segmento cujas etremidades são vértices não consecutivos do polígono. diagonal Na figura: diagonal D e são diagonais. F D E _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 77

76 _ Número de diagonais de um polígono Seja um polígono de n lados: a) cada vértice dá origem a (n - 3) diagonais. b) os n vértice dão origem a n. (n - 3) diagonais. c) dividimos os resultado por 2 (cada diagonal foi contada duas vezes). ssim: d = n( n 3) 2 d = número de diagonais n = número de lados Eemplo: alcule o número de diagonais de um octógono. Solução: Temos: n = 8 d = n( n 3) 2 d = 8.( 8 3 ) 2 d = Resposta: 20 diagonais. = 40 2 = 20 _ ST 78 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

77 _ Eercícios: 1) alcule os número de diagonais dos seguintes polígonos: a) heágono b) heptágono c) eneágono d) decágono e) dodecágono f) icoságono 2) Quantas diagonais tem um polígono de 25 lados? 3) Qual é o polígono cujo número de lados é igual ao número de diagonais? 4) Qual é o polígono cujo número de diagonais é o dobro do número de lados? 5) soma dos ângulos interno de um polígono conveo é 1080º. alcule o número de diagonais desse polígono. _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 79

78 _ ircunferência e írculo ircunferência ircunferência é o conjunto de pontos de um plano, equidistantes de um ponto do plano chamado centro. Qualquer segmento com uma etremidade no centro e a outra em um ponto da circunferência chamado de raio. 0 raio Na figura: O é o centro da circunferência. O e o raio. Indicação: (O, r) (significa: circunferência de centro O e raio r) _ ST 80 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

79 _ orda do diâmetro orda é o segmento cujas etremidades pertencem à circunferência. Diâmetro é a corda que passa pelo centro da circunferência. Na figura ao lado: corda e RS são cordas. MN é diâmetro. M diâmetro N corda S R Observe que a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio, ou seja: D = 2 r _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 81

80 _ írculo Observe as figuras e seus respectivos nomes: circunferência interior ou conjunto dos pontos internos círculo írculo é a união da circunferência e seu interior. onvém destacar que: Todo ponto da circunferência pertence ao círculo. Eistem pontos do círculo que não pertencem à circunferência. O centro, o raio e o diâmetro da circunferência são também centro, raio e diâmetro do círculo. _ ST 82 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

81 _ Eercícios 1) Observe a figura e responda: E M O F G a) Quais segmentos são raios? b) Quais segmentos são cordas? c) Quais segmentos são diâmetros? 2) Dos pontos indicados na figura ao lado: S M R E O T a) Quais são internos à circunferência? b) Quais pertencem à circunferência? c) Quais são eteriores à circunferência? _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 83

82 _ 3) Determine: a) O diâmetro de uma circunferência cujo raio mede 4,5cm. b) O raio de uma circunferência cujo diâmetro mede 17cm. c) O diâmetro de um circunferência cujo raio é igual a. 4) O diâmetro da circunferência mede 7cm e o segmento OP mede 12cm. P M O Qual a medida do segmento MP? 5) O raio de uma circunferência é dado por r = 2-6. Se o diâmetro mede 20cm, calcule. Posições relativas de uma reta e uma circunferência Uma reta r e uma circunferência podem ocupar as seguintes posições: a ) r = {, } (dois pontos comuns) Dizemos que: reta é secante à circunferência. r _ ST 84 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

83 _ b ) r = { } (um ponto comum) Dizemos que: reta é tangente à circunferência. r c ) r = { } (não há ponto comum) Dizemos que: reta é etrema à circunferência. r Propriedade: Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. P r O _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 85

84 _ Posições relativas de duas circunferências Duas circunferências distintas podem ser: a ) Secantes: têm dois pontos comuns. M = { M, N } N b ) Tangentes: têm único ponto comum. tangentes eteriores tangentes interiores M M = { M } c ) Não-secantes: não têm ponto comum. eteriores interiores = _ ST 86 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

85 _ aso particular: Duas circunferências não-secantes e que têm o mesmo centro são chamadas concêntricas. O = 1 O Eercícios: 1) Observe a figura e classifique: t H r F E P o 1 o 2 G s a) reta s em relação à circunferência 2. b) reta r em relação à circunferência 2. c) reta r em relação à circunferência 1. d) reta t em relação à circunferência 1. e) reta s em relação à circunferência 1. f) reta t em relação à circunferência 2. _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 87

86 _ 2) Observe a figura e responda: R P Q T S a) Qual a posição relativa entre as circunferências 1 e 2? b) Qual a posição relativa entre as circunferências 2 e 3? c) Qual a posição relativa entre as circunferências 1 e 3? d) Qual a posição relativa entre as circunferências 3 e 4? e) Qual a posição relativa entre as circunferências 3 e 5? rcos Dados dois pontos distintos e sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes. ada uma dessa partes é denominada arco. arco menor arco maior Indicação: Os pontos e são as etremidades desses arcos. _ ST 88 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

87 _ Ângulo central Ângulo central é aquele cujo vértice está no centro da circunferência. O α α Observe que: O ângulo central e o arco determinado por ele têm a mesma medida. Na figura, temos: m (Ô) = m ( ) = α Eercícios: 1) Observe a figura e determine o arco menor solicitado: 70º 40º a ) m ( ) b ) m ( ) c ) m ( ) _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 89

88 _ 2) Observe a figura e determine o arco menor solicitado: 110º a ) m ( ) b ) m ( D ) c ) m ( ) d ) m ( D ) e ) m (D ) f ) m ( ) O D 3) Observe a figura e determine o arco menor solicitado: 20º 55º 130º O a ) m ( D ) b ) m ( ) c ) m ( ) d ) m (D ) D Ângulo inscrito Ângulo inscrito é aquele cujo vértice pertence à circunferência e cujos lados são semi-retas secantes. P P é o ângulo inscrito _ ST 90 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

89 _ Propriedade: medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco correspondente. Na figura, temos: P a a = 2 Eemplos: Solução: 70º = 2 = 70 2 o = 35º Solução: E = EF 2 = o = 60º 120º F _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 91

90 _ Eercícios: a) b) E E 50º 40º y G G F F c) d) E E 130º m G G z 150º F F _ ST 92 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

91 SENI Departamento Regional do Espírito Santo 93

92 _ Sistema Métrico Decimal - Medidas de Massa Introdução O que, de modo comum, chamamos peso de um corpo é, na realidade matemática e física, a massa do corpo. Sabemos que o peso de um corpo varia conforme o local em que se encontra esse corpo (a ação da gravidade varia de local para local da Terra), enquanto a massa do corpo é constante. Vamos estudar, portanto, as medidas de massa. O Quilograma e o Grama unidade fundamental (e legal) para as medidas de massa dos corpos é o quilograma, que se abrevia kg. O quilograma é a massa aproimada de 1 dm 3 de água destilada à temperatura de 4º. Porém, de modo prático, usamos como unidade principal o grama (g), que é a milésima parte do quilograma. Vejamos a tabela de múltiplos e submúltiplos do grama. Múltiplos u.f. Submúltiplos quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama kg hg dag g dg cg mg 1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g kg hg dag g dg cg mg ada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivas unidades de massa variam de 10 em 10. _ ST 94 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

93 _ Transformação de Unidades Observe o eemplo e faça as transformações: a ) 2 kg = ( ) g = g b ) 6 g = (...) cg =... cg c ) g = (...) kg =... kg d ) mg = (...) g =... g e ) 2,35 kg = (...) hg =... hg f ) 16,2 dg = (...) g =... g Unidades Especiais lém das unidades vistas anteriormente, temos unidades especiais: a tonelada o megaton ( t ) = kg = t ou kg servem para medir grandes massas. o quilate = 0,2 g serve para medir pedras e metais preciosos Relação Importante onsiderando as definições de litro e de quilograma, pode-se estabelecer para a água destilada à temperatura de 4º o seguinte quadro: volume capacidade massa 1 dm 3 = 1 λ = 1 gk _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 95

94 _ Eercícios 1) Você deve completar as sentenças seguintes: a) Um tanque está inteiramente cheio e contém um volume de 12m 3 de água pura. Qual o peso (massa) de água nesse tanque: 12 m 3 = (...) dm 3 =... kg. b) Uma caia tem um volume de cm 3. Qual o peso máimo de água pura que pode conter? cm 3 = (...) dm 3 =... kg. c) Uma caia d água está totalmente cheia de água pura. Sua capacidade é λ. Qual o peso? λ =... kg. d) O peso (massa) de água pura contida num recipiente é kg. Qual o volume de água pura desse recipiente? kg =... dm 3 = (... ) m 3 =... m 3. e) massa de uma pedra preciosa é 18 quilates. quantos g corresponde? 18 quilates = =... g. f) 10 λ =... dm 3 =... kg (de água pura). 2) Transformar para a unidade imediatamente inferior: a) 3 t b) 12 dag c) 2,5 kg d) 3,41 g e) 2,5 t _ ST 96 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

95 _ 3) Transformar para a unidade imediatamente superior: a) 50 g b) kg c) 38,5 dg d) 285 hg e) 120 mg 4) Transformar em kg. a) 1,5 t b) 28 hg c) g d) 42 t e) g 5) Transformar em g: a) 3,2 kg b) 2 t 1 c) 4 kg d) mg e) 61 quilates f) 1 2 kg g) 4,5 hg h) 24 quilates i) 0,75 kg j) 142,5 cg 6) Resolver os seguintes problemas: a) Um carro tanque, inteiramente cheio, transporte 12 m 3 de água pura. Qual é o peso (massa) da água transportada? b) s medidas de um reservatório são 7 m; 5 m e 4 m. Estando inteiramente cheio esse reservatório com água pura, qual é o peso (massa) dessa água? _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 97

96 _ c) Uma caia cúbica tem 0,5 m de aresta (internamente). Que peso (massa) máimo de água pura pode conter? d) Um reservatório tem uma capacidade para λ. Qual o peso (massa) de água pura que esse reservatório pode conter quando inteiramente cheio? e) massa de um diamante é 324,5 quilates. Qual o peso (massa) desse diamante em g? _ ST 98 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

97 SENI Departamento Regional do Espírito Santo 99

98 _ Medidas não decimais Medidas ompleas Eistem medidas que podem ser escritas em várias unidades, como: 5 horas 20 minutos 10 segundos. 22 graus 30 minutos. 2 anos 3 meses 20 dias. Essas medidas são chamadas medidas compleas e, entre elas, estudaremos as medidas de tempo (as medidas de ângulo serão estudadas na 7ª série). Medidas de Tempo No quadro abaio, menos as unidades de medida de tempo. Unidades Símbolo Valores ano comercial a 360 dias mês comercial me 30 dias dia hora d h 24 horas 60 minutos Observamos que as unidades de tempo não têm, entre si, relações decimais. minuto min 60 segundos segundo s - lém das unidades constantes do quadro, são também usuais as unidades: Semana (7 d); Quinzena (15 d); imestre (2 me); Trimestre (3 me); _ ST 100 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

99 _ Transformação de medida complea em medida simples Seja transformar 2h 20min 12s em segundos. 2 X 60 = 120 min 140 X 60 = s 20 min 12 s 140 min s Então: 2h 20min 12s = 8.412s. Eercícios: 1) Observando o eemplo dado, transforme: a) 1h 40min =... min. b) 3h 10min 20s =... s. c) 2d 10h =... h. d) 4me 20d =... d. e) 1a 6me 10d =... d. Transformação de medida simples em medida complea Seja transformar 820 dias em anos, meses e dias. 820 d me me 2 a 10 d _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 101

100 _ Eercício: 1) Observando o eemplo dado, transforme: a) 350 min a h... h... min b) s a h... h... min... s c) 80 h a d... d... h d) 135 d a me... me... d e) 940 d a a... a... me... d Operações com medida compleas 1. dição 1º eemplo: 2h 10min 20s + 3h 40min 15s 2º eemplo: 3h 40min + 6h 35min 2h 10min 20s 3h 40min 3h 40min 15s 6h 35min 5h 50min 35s 9h 75min fazendo a 10h 15min transformação 2. Subtração com medidas compleas 1º eemplo: 5h 40min - 2h 20min 30s 2º eemplo: 5me - 2me 20d 5h 40min 5h 39min 60s 5me 4me 30d - 2h 20min 30s - 2h 20min 30s - 2me 20d - 2me 20d 3h 19min 30s 2me 20d _ ST 102 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

101 _ Eercícios: 1) Observando os eemplos calcule: a) 1h 20min 10s + 2h 10min 40s =... h... min... s b) 2h 40min 50s + 1h 35min 30s =... h... min... s =... h... min... s c) 3d 18h + 2d 12h =... d... h =... d... h d) 2me 20d + 3me 15d =... me... d =... me... d e) 1a 9me 25d + 1a 6me 15d =... a... me... d =... a... e... d. 2) Observando os eemplos calcule: a) 3h 40min 50s - 1h 10min 20s =... h... min... s b) 5h 25min 10s - 2h 14min 50s =... h... min... s c) 3d - 1d 20h =... d... h d) 4h - 1h 30min =... h... min e) 6 me - 2me 20d =... me... d f) 4 a 8m 10d - 2a 6m 20d =... a... me... d 3. Multiplicação e divisão de medida complea por número inteiro 1º eemplo: (1h 20min 18s) 4 2º eemplo: (25h 27min 20s) : 2 1h 20min 18s 25h 27min 20s min + 60s 12h 43min 40s 4h 80min 72s fazendo a 1s 87min 80s 4h 81min 12s transformação h 21min 1min _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 103

102 _ Eercícios: 1) Observando os eemplos dados, calcule: a) (2h 10min 20s) 2 =... h... min... s b) (10h 35min 50s) : 5 =... h... min... s c) (1h 25min 30s) 3 =... h... min... s =... h... min... s d) (4h 15min) : 3 =... h... min e) (1me 20d) 2 =... me... d =... me... d f) (3 e 5me 10d) : 2 =... a... me... d _ ST 104 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

103 SENI Departamento Regional do Espírito Santo 105

104 _ Produto artesiano Par Ordenado Observando a disposição dos cartões na figura abaio: 1ª linha 2ª linha 3ª linha 4ª linha 1ª coluna 2ª coluna 3ª coluna 4ª coluna O cartão está situado na terceira linha e segunda coluna. Vamos indicar esse fato por: (3, 2). O cartão está situado na segunda linha e terceira coluna. Vamos indicar esse fato por: (2,3). omo os cartões ocupam lugares diferentes, é fácil perceber que: ( 3, 2 ) ( 2, 3 ) _ ST 106 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

105 _ Observe que um par ordenado é indicado entre parênteses e os elementos são separados por vírgula. par ordenado: ( 3, 2 ) 2º elemento 1º elemento par ordenado: ( 2, 3 ) 2º elemento 1º elemento Igualdade de pares ordenados Dois pares ordenados são iguais somente se tiverem os primeiros elementos iguais entre si também os segundos elementos iguais entre si. ssim: ( a, b ) = ( c, d ) a = c e b = d Eemplo: Determinar e y de modo que os pares ordenados ( 2 + 7, 5y - 9 ) e ( + 3, 3y - 3 ) sejam iguais. Solução: ( 2 + 7, 5y - 9 ) = ( + 3, 3y - 3 ) Então: = + 3 e 5y - 9 = 3y = 3-7 5y - 3y = = -4 2y = 6 y = 3 Logo: = -4 e y = 3 _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 107

106 _ Eercícios: 1) opie e complete com os símbolos = ou : a) ( 6, 0 )... ( 0, 6 ) b) ( 5, -1 )... ( 5, -1 ) c) ( 2, 5 )... ( 6 3, 10 2 ) d) ( -3, 8 )... ( 8, -3 ) e) ( -4, -2 )... ( -2, -4 ) f) ( -1, 2 )... ( 3 8, 8 2 ) 2) Determine e y para que cada uma das igualdades seja verdadeira: a) (, y ) = ( 8, -6 ) b) ( 6, y ) = (, 0 ) c) (, -4 ) = (-3, y ) d) ( 2, -5 ) = ( 8, y ) e) (, y + 2 ) = ( 5, 9 ) f) ( 3, 2y ) = ( -12, -6) g) ( - y, 5 ) = ( 0, y ) h) ( + 1, y - 1) = ( 3, 7 ) i) ( - 2, 7 - y ) = ( -2, 6 ) j) ( 3 + 2, 2y -6 ) = ( 2-1, y + 2 ) _ ST 108 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

107 _ Plano artesiano onsideramos duas retas numeradas (perpendiculares), denominadas eios, que se interceptam no ponto zero (origem). y eio das ordenadas eio das abscissas representação de um ponto no plano é feita por meio de dois números reais: o primeiro número do par ordenado chama-se abcissa do ponto. o segundo número do par chama-se ordenada do ponto. _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 109

108 _ Eemplos: Vamos representar os seguintes pares ordenados: y ( 4, 2 ) ( -2, 3 ) ( -3, -5 ) D ( 3, -3 ) D -5 Quadrantes s retas e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas quadrantes, que são numeradas conforme a figura abaio. y 2º Quadrante 1º Quadrante 3º Quadrante 4º Quadrante _ ST 110 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

109 _ seguir, indicamos os sinais das abcissas e das ordenadas em cada quadrante: 1º quadrante ( +, + ) 2º quadrante ( -, + ) 3º quadrante ( -, - ) 4º quadrante ( +, - ) onvencionou-se que os pontos situados sobre os eios não pertencem a nenhum dos quadrantes. Observações: Os pontos pertencentes ao eio têm ordenada nula. Vamos representar os pontos: ( 4, 0 ) y ( -3, 0 ) Os pontos pertencentes ao eio y têm abcissa nula. Vamos representar os pontos: ( 0, 2 ) y ( 0, -3 ) D _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 111

110 _ Eercícios: 1) Dê as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano: y D H F E G 2) Represente, no plano cartesiano, os pontos: ( 3, 4 ) ( 4, 3 ) ( -4, 1 ) D ( -2, 5 ) E ( -3, -4 ) F ( -2, -1 ) G ( 3, -2 ) H ( 4, -1 ) I ( 5, 2 ) J ( -1, -2 ) L ( -3, 1 ) M ( 5, -1 ) 3) No eercícios anterior: a) Quais os pontos que pertencem ao 1º quadrante? b) Quais os pontos que pertencem ao 2º quadrante? c) Quais os pontos que pertencem ao 3º quadrante? d) Quais os pontos que pertencem ao 4º quadrante? _ ST 112 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

111 _ 4) Represente, no plano cartesiano, os pontos: ( 5, 0 ) ( 1, 0 ) (-3, 0 ) D ( 0, 4 ) E ( 0, 1 ) F ( 0, -4 ) 5) No eercício anterior: a) Quais os pontos que pertencem ao eio? b) Quais os pontos que pertencem ao eio y? Produto artesiano Sejam e dois conjuntos não vazios. hama-se produto cartesiano de e ao conjunto de todos os pares ordenados onde o primeiro elemento pertence a e o segundo pertence a. Indicamos: X e lemos cartesiano. Eemplo: Sendo = { 1, 2 } e = { 3, 4, 5 }, temos: = { ( 1, 3 ), ( 1, 4 ), ( 1, 5 ), ( 2, 3 ), ( 2, 4 ), ( 2, 5 )} = { ( 3, 1 ), ( 3, 2 ), ( 4, 1 ), ( 4, 2 ), ( 5, 1 ), ( 5, 2 )} Observe que, em geral: Ilustrando: 3 ( 1, 3 ) 1 ( 1, 3 ) 1 4 ( 1, 4 ) 1 2 ( 1, 4 ) 5 ( 1, 5 ) 1 ( 1, 5 ) 3 ( 2, 3 ) 2 2 ( 2, 3 ) 2 4 ( 2, 4 ) 1 ( 2, 4 ) 5 ( 2, 5 ) 3 2 ( 2, 5 ) _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 113

112 _ Diagrama de flechas O produto cartesiano também pode ser representado por diagramas de flechas. Eemplo: Dados os conjuntos = { 1, 2 } e = { 5, 6, 7 } Observe no esquema que cada flecha representa um par Então: = { ( 1, 5 ), ( 1, 6 ), ( 1, 7 ), ( 2, 5 ), ( 2, 6 ), ( 2, 7 ) } Número de elementos Observe no diagrama de flechas acima que: O conjunto tem 2 elementos. O conjunto tem 3 elementos. O número de elementos de é: 2 3 = 6. onclusão: O número de elementos de é igual ao número de elementos de vezes o número de elementos de. _ ST 114 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

113 _ Eercícios: 1) Se = { 4, 6 }, = { -3 } e = { 0, -8 }, determine: a ) b ) c ) d ) h ) i ) j ) k ) 2) Sendo = { -1, 0, 1 } e = { 7, 9 }, determine e. 3) Se um conjunto possui 3 elementos e um conjunto possui 4 elementos, dê o número de elementos de cada um dos conjuntos: a ) b ) c ) d ) 4) Se (, 2 ) = ( 5, y ), então o valor de + y é: a) 3 b) 4 c) 7 d) 10 5) (ESN-SP) Os valores de e y de modo que os pares ordenados ( - 3, 2y + 1 ) e ( 2 + 2, - y - 8 ) sejam iguais são: a) ( - 1, 7 ) b) ( - 9, - 5 ) c) ( - 5, - 9 ) d) n.d.a. _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 115

114 _ Função do 1º grau hama-se função do 1º grau a função definida por: y = a + b onde a e b são números reais e a 0. Eemplos: 1) y = ) y = ) y = 3 4) y = -4 Observações: função do 1º grau é também chamada de função afim. Se b = 0 (eemplos 3 e 4 ), a função também é dita linear Eercícios: 1) Quais são funções do 1º grau? a ) y = + 6 b ) y = 5-1 c ) y = 2-3 d ) y = 5-7 e ) y = 2 f ) y = 8 g ) y = h ) y = 4 i ) y = 2-3 j ) y = -4-9 k ) y = l ) y = ) Verifique se a função y = 3 ( + 1 ) + 2 ( - 1 ) é do 1º grau. _ ST 116 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

115 _ 3) Verifique se a função y = ( ) ( 3-1 ) é do 1º grau. Representação gráfica da função do 1º grau Vamos construir o gráfico da função: y = + 1 Vamos atribuir valores quaisquer para e obter, pela substituição, os valores correspondentes de y. Veja: Para = 2 y = y = 3 Para = 1 y = y = 2 Para = 0 y = y = 1 Para = -1 y = y = 0 Para = -2 y = y = _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 117

116 _ seguir, representamos os pontos no plano cartesiano e, unindo-os, obteremos o gráfico da função y = + 1, que é uma reta. Tabela Pontos Gráfico y y 2 3 ( 2, 3 ) 1 2 ( 1, 2 ) 0 1 ( 0, 1 ) -1 0 ( -1, 0 ) -2-1 ( -2, -1 ) omo o gráfico de uma função do 1º grau é sempre um reta, basta localizar dois de seus pontos para traçá-lo. Eemplo 1 Traçar o gráfico da função y = 4-1 Solução: Para = 0 y = y = -1 Para = 1 y = y = 3 Tabela Pontos Gráfico y 0-1 ( 0, -1 ) 1 3 ( 1, 3 ) 3 y -1 1 _ ST 118 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

117 _ Nota: Os valores atribuídos a são arbitrários, mas, de preferência, atribuímos valores inteiros, para facilitar os cálculos e a marcação dos pontos no plano. Eemplo 2 Traçar o gráfico da função y = 2. Solução: Para = 0 y = 2. 0 y = 0 Para = 1 y = 2. 1 y = 2 Tabela Pontos Gráfico y 0 0 ( 0, 0 ) 1 2 ( 1, 2 ) y Eemplo 3 Traçar o gráfico da função y = Solução: Para = 0 y = y = 2 Para = 1 y = y = -1 _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 119

118 _ Tabela Pontos Gráfico y 0 2 ( 0, 2 ) 1-1 ( 1, -1 ) y Eercícios: 1) Faça o gráfico das funções definidas por: a ) y = + 3 b ) y = 2-1 c ) y = 4 d ) y = -2 e ) y = f ) y = g ) y = h ) y = 4 - i ) y = j ) y = 1 = 3 2) Faça o gráfico das funções definidas por: a ) y = 2 c ) y = b ) y = d ) y = ) Faça o gráfico das funções definidas por: a ) y - = 3 c ) 2y - 2 = 4 _ ST 120 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

119 _ 4) Faça o gráfico das funções definidas por: a ) y = 2 ( 2-1) b ) y = 2 + ( - 2) 5) Represente numa mesma figura os gráficos de y = + 1 e y = 2-1 Função onstante função constante é definida por: y = b ( b é um número real) Eemplos: a ) y = 2 b ) y = - 3 Vamos traçar o gráfico da função y = 2. Esta função pode ser escrita assim: y = Para qualquer valor real de, o valor correspondente de y será sempre 2. Veja: Para = -1 y = 0. ( -1 ) + 2 y = 2 Para = 0 y = 0. ( 0 ) + 2 y = 2 Para = 1 y = 0. ( 1 ) + 2 y = 2 Para = 2 y = 0. ( 2 ) + 2 y = 2 Tabela Pontos Gráfico y 2 3 ( 2, 3 ) 1 2 ( 1, 2 ) 0 1 ( 0, 1 ) -1 0 ( -1, 0 ) -2-1 ( -2, -1 ) 2 y O gráfico de um função constante é uma reta paralela ao eio. _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 121

120 _ Eercícios: 1) Quais são funções constantes? a ) y = b ) y = 5 c ) y = 1 2 d ) y = -6 e ) y = 1 f ) y = ) Faça o gráfico das seguintes funções constantes: a ) y = 3 b ) y =1 c ) y = 4 d ) y = -3 e ) y = -1 f ) y = -4 Zeros da função do 1º grau hama-se zero da função do 1º grau o valor de para o qual y = 0. ssim, para calcular o zero da função, basta resolver a equação do 1º grau a + b = 0, ( a 0 ). Eemplos: 1) Determinar o zero da função y = Solução: Fazendo y = 0, temos: 3-15 = 0 3 = 15 = 15 3 = 5 Nota: reta y = 3-15 corta os eio no ponto ( 5, 0 ). _ ST 122 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

121 _ 2) Determinar o zero da função y = 4-1. Solução: Fazendo y = 0, temos: 4-1 = 0 4 = 1 = 1 4 Nota: reta y = 4-1 corta os eio no ponto ( 1 4, 0 ). Eercícios: 1) Determine os zeros das seguintes funções do 1º grau: a ) y = + 7 b ) y = c ) y = d ) y = e ) y = f ) y = 2-2 1) Determine as coordenadas do ponto de interseção do eio com as seguintes retas: a ) y = -3 b ) y = + 7 c ) y = 3-4 d ) y = -4-8 e ) y = -2-6 f ) y = 2-2 ondição para um ponto pertencer a uma reta Um ponto P (, y) pertence a uma reta se as suas coordenadas satisfazem à equação da reta dada. Eemplo: Verifique quais dos pontos abaio pertencem à reta y = 3-1. a ) ( 2, 5 ) b ) ( 3, 7 ) _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 123

122 _ Solução: a ) Substituirmos, na equação, por 2 e y por 5 e verificamos se a sentença obtida é verdadeira ou falsa. y = = = = 5 (verdadeira) Logo, o ponto ( 2, 5 ) pertence à reta. b ) Substituindo, na equação, por 3 e y por 7, vem: y = = = = 8 (falsa) Logo, o ponto ( 3, 7 ) não pertence à reta. Eercícios: 1) Verifique quais dos pontos abaio pertencem à reta da equação y = + 3: a ) ( 7, 3 ) b ) ( 5, 2 ) c ) ( 0, 4 ) d ) E ( -5, -2 ) 2) Verifique quais dos pontos abaio pertencem à reta da equação y = 2-1: a ) ( 1, 1 ) b ) ( 2, 3 ) c ) ( -1, 1 ) d ) E ( -2, 5 ) 3) Verifique se o ponto: a) E ( 4, 7 ) pertence à reta y = 1-2 b) F ( -1, 0 ) pertence à reta y = c) G ( -2, -3 ) pertence à reta y = - 1 _ ST 124 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

123 SENI Departamento Regional do Espírito Santo 125

124 _ Relações Métricas no Triângulo Retângulo Preliminares Vamos recordar: O triângulo retângulo é aquele que tem um ângulo reto. ateto Hipotenusa ateto Observe que: Os lados que formam o ângulo reto são chamados catetos. O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. Elementos de um triângulo retângulo Seja o triângulo retângulo : c h b m n E a _ ST 126 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

125 _ Os elementos do triângulo dado são: a medida da hipotenusa b medida do cateto c medida do cateto h medida da altura E m medida da projeção de sobre a hipotenusa n medida da projeção de sobre a hipotenusa Relações métricas Seja o triângulo retângulo: c h b m n E a Trançando a altura relativa à hipotenusa do triângulo retângulo, obtemos dois outros triângulos retângulos. c b c h h b a m E E n Os triângulos, E e E são semelhantes (têm dois ângulos congruentes). Então, podemos enunciar as relações que seguem. _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 127

126 _ 1ª RELÇÃO medida de cada cateto é a média proporcional entre as medidas da hipotenusa e da projeção deste cateto. Sejam as semelhanças: ~ E a c = c m c 2 = a. m ~ E a b = b n b 2 = a. n 2ª RELÇÃO medida da altura à hipotenusa é a média proporcional entre as medidas das projeções dos catetos. Sejam os triângulos: E ~ E h n = m h h 2 = m. n 3ª RELÇÃO O produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa a essa hipotenusa. Sejam os triângulos: ~ E a c = b h b. c = a. h _ ST 128 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

127 _ RESUMO c b 1) c 2 = a. m m n 2) b 2 = a. n (cateto)2 = (hipotenusa). (projeção) a m h n 3) h 2 = m. n (altura)2 = (projeção). (projeção) c h b 4) b. c = a. h (cateto). (cateto) = (hipotenusa). (altura) a Eercícios resolvidos alcular o valor de y, nos triângulos retângulos: a ) y 16 Solução: plicando 1, resulta: y 2 = y 2 = 400 y = 400 y = b ) Solução: plicando 2, resulta: y 2 = 9. 4 y 2 = 36 y = 36 y = 6 _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 129

128 _ y 4 9 c ) Solução: plicando 3, resulta: y 2 = y y 2 = y = 64 y = 8 d ) Solução: plicando 4, resulta: 3 y 4 5. y = y = 12 y = y = 2,4 Eercícios: 1) alcule o valor de nos triângulos retângulos: a) 9 16 _ ST 130 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

129 SENI Departamento Regional do Espírito Santo 131

130 _ b) 3 5 c) 4 5 d) e) 8 4 _ ST 132 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

131 _ f) ) alcule h, m e n no triângulo retângulo: 6 h 8 m n 10 3) alcule a, b, c e h no triângulo retângulo: b h c a _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 133

132 _ 4ª Relação - Teorema de Pitágoras O quadrado da media da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. c h b m a n Pela relação 1, temos: b 2 = a. n c 2 = a. m + b 2 + c 2 = a. n + a. m b 2 + c 2 = a ( n + m ) b 2 + c 2 = a. a b 2 + c 2 = a 2 ou a 2 = b 2 + c 2 Somando membro a membro. Fatorando o 2º membro. Observando que n + m = a. _ ST 134 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

133 _ Eercícios: 1) alcular o valor de nos seguintes triângulos retângulos: a) 8 Solução: Pelo teorema de Pitágoras: 2 = = = = 100 = 10 b) 12 Solução: Pelo teorema de Pitágoras: 15 2 = = = = 81 = 9 2) alcule nas figuras abaio: a) 12 9 _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 135

134 _ b) 5 4 c) 8 10 d) _ ST 136 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

135 _ 3) alcule nas figuras abaio: a) b) c) _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 137

136 13 Espírito Santo _ d) e) f) _ ST 138 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

137 _ 4) Na figura, calcule a distância de a ) alcule e y: y 19 6) Utilizando o teorema de Pitágoras, calcule : a) 3 4 b) _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 139

138 _ c) 3 3 d) 2 1 7) alcule a nas figuras abaio: a) 3 a 4 29 _ ST 140 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

139 _ b) a ) alcule : a) y b) _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 141

140 _ 9) Qual é o perímetro do triângulo retângulo da figura? ) Qual é o perímetro do triângulo retângulo da figura? 8 D 6 4 _ ST 142 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

141 _ Razões trigonométricas Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo No triângulo retângulo definem-se: seno de um ângulo agudo = medida docateto oposto medidadahipotenusa cosseno de um ângulo agudo = medida do cateto adjacente medida da hipotenusa tangente de um ângulo agudo = medida do cateto oposto medida do cateto adjacente Para o triângulo retângulo : α a b c cateto oposto ao ângulo α cateto adjacente ao ângulo α temos que: seno α = c a cons α = b a tg α = c b _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 143

142 _ Eercícios: 1) alcular o seno, o cosseno e a tangente do ângulo α. Solução: α seno α = 6 10 = 0,8 cons α = 8 10 = 0,8 tg α = 6 8 = 0,75 Observações: O seno e o cosseno são sempre números reais menores que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa. tangente é um número real positivo. 2) No triângulo retângulo da figura, calcule: 3 5 a ) seno α 4 α b ) cons α c ) tg α 3) No triângulo retângulo da figura, calcule: 13 β 12 a ) seno α b ) cons α a ) seno β b ) cons β α 5 c ) tg α c ) tg β _ ST 144 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

143 _ 4) No triângulo retângulo da figura, calcule: 8 β 15 α a ) seno α b ) cons α c ) tg α a ) seno β b ) cons β c ) tg β Tabela de Razões Trigonométricas Os valores aproimados dos senos, cossenos e tangentes dos ângulos de 1º a 89º são encontrados na tabela da página seguinte. Uso da Tabela om a tabela podemos resolver dois tipos de problemas: Dado o ângulo, determinar a razão trigonométrica. Eemplos: 1 ) alcule sen 15º. Na coluna ângulo, procuramos 15º. Na coluna seno, achamos 0,2588. ssim: seno 15º = 0, ) alcule tg 50º. Na coluna ângulo, procuramos 50º. Na coluna tangente, achamos 1,1918. ssim: tg 50º = 1,1918. Dada a razão trigonométrica, determinar o ângulo. Eemplo: alcule o ângulo, sendo cos = 0,4226. Na coluna cosseno, procuramos 0,4226. Na coluna ângulo, achamos 65º. ssim: = 65º _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 145

144 ST 146 ompanhia Siderúrgica de Tubarão TEL DS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRIS DE 1º 89º Ângulo Seno osseno Tangente Ângulo Seno osseno Tangente 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º 16º 17º 18º 19º 20º 21º 22º 23º 24º 25º 26º 27º 28º 29º 30º 31º 32º 33º 34º 35º 36º 37º 38º 39º 40º 41º 42º 43º 44º 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 0,1736 0,1908 0,2097 0,2250 0,2419 0,2588 0,2756 0,2924 0,3090 0,3256 0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0,4226 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 0,5000 0,5150 0,5299 0,5446 0,5592 0,5736 0,5878 0,6018 0,6157 0,6293 0,6428 0,6561 0,6691 0,6820 0,6947 0,9998 0,9994 0,9986 0,9976 0,9962 0,9945 0,9925 0,9903 0,9877 0,9848 0,9816 0,9781 0,9744 0,9703 0,9659 0,9613 0,9563 0,9511 0,9455 0,9397 0,9336 0,9272 0,9205 0,9135 0,9063 0,8988 0,8910 0,8829 0,8746 0,8660 0,8572 0,8480 0,8387 0,8290 0,8192 0,8090 0,7986 0,7880 0,7771 0,7660 0,7547 0,7431 0,7314 0,7193 0,0175 0,0349 0,0524 0,0699 0,0875 0,1051 0,1228 0,1405 0,1584 0,1763 0,1944 0,2126 0,2309 0,2493 0,2679 0,2867 0,3057 0,3249 0,3443 0,3640 0,3839 0,4040 0,4245 0,4452 0,4663 0,4877 0,5095 0,5317 0,5543 0,5774 0,6009 0,6249 0,6494 0,6745 0,7002 0,7265 0,7536 0,7813 0,8098 0,8391 0,8693 0,9004 0,9325 0, º 47º 48º 49º 50º 51º 52º 53º 54º 55º 56º 57º 58º 59º 60º 61º 62º 63º 64º 65º 66º 67º 68º 69º 70º 71º 72º 73º 74º 75º 76º 77º 78º 79º 80º 81º 82º 83º 84º 85º 86º 87º 88º 89º 0,7193 0,7314 0,7431 0,7547 0,7660 0,7771 0,7880 0,7986 0,8090 0,8192 0,8290 0,8387 0,8480 0,8572 0,8660 0,8746 0,8829 0,8910 0,8988 0,9063 0,9135 0,9205 0,9272 0,9336 0,9397 0,9455 0,9511 0,9563 0,9613 0,9659 0,9703 0,9744 0,9781 0,9816 0,9848 0,9877 0,9903 0,9925 0,9945 0,9962 0,9976 0,9986 0,9994 0,9998 0,6947 0,6820 0,6691 0,6561 0,6428 0,6293 0,6157 0,6018 0,5878 0,5736 0,5592 0,5446 0,5299 0,5150 0,5000 0,4848 0,4695 0,4540 0,4384 0,4226 0,4067 0,3907 0,3746 0,3584 0,3420 0,3256 0,3090 0,2824 0,2756 0,2588 0,2419 0,2250 0,2079 0,1908 0,1736 0,1564 0,1392 0,1219 0,1045 0,0872 0,0698 0,0523 0,0349 0,0175 1,0355 1,0724 1,1106 1,1504 1,1918 1,2349 1,2799 1,3270 1,3764 1,4281 1,4826 1,5399 1,6003 1,6643 1,7321 1,8040 1,8807 1,9626 2,0503 2,1445 2,2460 2,3559 2,4751 2,6051 2,7475 2,9042 3,0777 3,2709 3,4874 3,7321 4,0108 4,3315 4,7046 5,1446 5,6713 6,3188 7,1154 8,1443 9, , , , , ,2900

145 _ 45º 0,7071 0,7071 1,000 Eercícios: 1) onsulte a tabela e encontre o valor de: a ) cos 18º b ) sen 18º c ) tg 18º d ) sen 20º e ) tg 39º f ) cos 41º g ) sen 42º h ) tg 60º i ) cos 54º j ) sen 68º k ) cos 75º l ) tg 80º 2) onsulte a tabela e responda: a) Qual é o ângulo cujo cosseno vale 0,2756? b) Qual é o ângulo cujo seno vale 0,2588? c) Qual é o ângulo cuja tangente vale 0,6494? 3) onsulte a tabela e determine o ângulo : a) seno = 0,2419 b) cos = 0,9063 c) tg = 0,7002 d) cos = 0,4695 e) tg = 1,2349 f) sen = 0,9511 _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 147

146 _ Ângulos Notáveis s razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º aparecem frequentemente nos problemas. Por isso, vamos apresentar essas razões na forma fracionária. 30º 45º 60º seno cosseno tangente Eercícios: 1) alcular o valor de no triângulo retângulo da figura abaio. Solução: Resposta: 4 8 seno 30º = = 8 2 = 8 = 4 _ ST 148 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

147 _ 2) alcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 6cm e um dos ângulos mede 60º. 6 y 60º Solução: a ) seno 60º = = 6 2 = 6 3 = = 3 3 b ) cos 60º = y = y 6 2y = 6 y = 6 2 y = 3 Resposta: = 3 3 cm e y = 3 cm 3) alcule o valor de em cada um dos triângulos: a) 10 30º _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 149

148 _ b) 45º 10 c) 10 37º d) 10 20º _ ST 150 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

149 _ 4) Na figura, sen α = 4. alcule e y. 5 8 y α Solução: a ) álculo de : seno α = = 8 4 = 40 = 10 b ) álculo de y: y = 10 2 y = 100 y 2 = 36 y = 6 5) Na figura, cos α = 3. alcule e y y α _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 151

150 _ 6) Na figura, tg α = 5. alcule e y α y 7) Na figura, calcule a distância de a. 18cm 30cm 30º 60º _ ST 152 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

151 _ Relações Métricas num Triângulo qualquer Teorema - Lado oposto a ângulo agudo O quadrado da medida do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto da medida de um desses lados pela medida da projeção o outro sobre ele. H { é agudo T { a 2 = b 2 + c 2-2 bm c h s m b - m D b Demonstração: No D: a 2 = h 2 + ( b - m ) 2 (Pitágoras) a 2 = h 2 + b 2-2 bm + m 2 ( 1 ) No D: h 2 = c 2 - m 2 ( 2 ) (Pitágoras) Substituindo ( 2 ) em ( 1 ), resulta: a 2 = c 2 - m 2 + b 2-2 bm + m 2 a 2 = b 2 + c 2-2 bm _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 153

152 _ Eercícios: 1) Na figura abaio, calcular o valor de. Solução: a 2 = b 2 + c 2-2 bm = = D 20 = = 117 = = 5,85 2) Nas figuras abaio, calcule : a) b) _ ST 154 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

153 _ c) d) 8 4,5 12 Teorema - Lado oposto a ângulo obtuso O quadrado da medida do lado ao ângulo obtuso é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, mais duas vezes o produto da medida de um desses lados pela medida da projeção do outro sobre ele. H { é obtuso T { a 2 = b 2 + c 2-2 bm h c a m b 19 _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 155

154 _ Demonstração: No D: a 2 = h 2 + ( b + m ) 2 (Pitágoras) a 2 = h 2 + b bm + b 2 ( 1 ) No D: h 2 = c 2 - m 2 ( 2 ) (Pitágoras) Substituindo ( 2 ) em ( 1 ), resulta: a 2 = c 2 - m 2 + m 2-2 bm + m 2 a 2 = b 2 + c 2-2 bm Eercícios: 1) Na figura abaio, calcular o valor de. Solução: a 2 = b 2 + c bm = = D 196 = = 60 = 3 2) Nas figuras abaio, calcule : a) _ ST 156 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

155 _ b) c) Natureza de um triângulo Podemos estabelecer o seguinte critério para classificar triângulos quanto aos ângulos: Sendo a a medida do maior lado, temos: 1 a 2 = b 2 + c 2 retângulo 2 a 2 < b 2 + c 2 acutângulo 3 a 2 > b 2 + c 2 obtusângulo Eemplos: ( 1 ) Um triângulo cujos lados medem 3cm, 4cm e 5cm é retângulo. Justificando: 5 2 = = = 25 _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 157

156 _ ( 2 ) Um triângulo cujos lados medem 4cm, 5cm e 6cm é acutângulo. Justificando: 6 2 < < < 41 ( 3 ) Um triângulo cujos lados medem 4cm, 2cm e 5cm é obtusângulo. Justificando: 5 2 > > > 20 Eercícios: 1) lassificar quanto aos ângulos cujos lados medem: a ) 5cm, 8cm e 7cm g ) 12cm, 8cm e 9cm b ) 3cm, 7cm e 5cm h ) 8cm, 15cm e 17cm c ) 15cm, 9cm e 12cm i ) 7cm, 10cm 4cm Resumo ( 1 ) Lado oposto a ângulo agudo ( 2 ) Lado oposto a ângulo obtuso c a c a m b a 2 = b 2 + c 2-2 bm m a 2 = b 2 + c bm b 2) Nas figuras abaio, calcule : a) _ ST 158 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

157 _ b) c) d) e) _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 159

158 _ 3 1,5 5 _ ST 160 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

159 SENI Departamento Regional do Espírito Santo 161

160 _ Relações métricas na ircunferência Teorema Se duas cordas se cortam em um ponto interior da circunferência, então o produto das medidas dos segmentos determinados numa delas é igual ao produto das medidas dos segmentos determinados na outra. H D = { P } P é interior P T P. P = P. PD D Demonstração: onsiderando os triângulos PD e P: P P ( oposto pelo vértice ) ( ângulos inscritos de mesmo arco ) Logo, PD ~ P. Então: P PD = P P P. P = P. PD _ ST 162 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

161 _ Eercícios: 1) alcular o valor de na figura: Solução: 16. = = 48 = = 3 2) alcule o valor de nas seguintes figuras: a) b) _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 163

162 _ c) d) 3 27 e) _ ST 164 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

163 _ Teorema Se de um ponto P que pertence ao eterior de uma circunferência traçamos duas secantes que cortam a circunferência, respectivamente, no pontos, e, D, então: P. P = P. PD H P e P são secantes P é eterior T P. P = P. PD P D Demonstração: onsiderando os triângulos PD e P: P P ( ângulo comum ) ( ângulos inscritos de mesmo arco ) Logo, PD ~ P. Então: P PD = P P P. P = P. PD _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 165

164 _ Eercícios: 1) alcular o valor de na figura: 4 Solução:. 4 = ( ). 6 4 = = = 48 4 = 12 2) alcule o valor de nas seguintes figuras: a) b) _ ST 166 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

165 _ _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 167

166 _ c) d) 4 12 e) _ ST 168 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

167 _ Teorema Se de um ponto P que pertence ao eterior de uma circunferência, traçamos uma tangente e uma secante que encontram a circunferência, respectivamente, nos pontos e e, então ( P 2 ) = P. P H P P P é eterior é tangente é secante T ( P 2 ) = P. P P Demonstração: onsiderando os triângulos P e P: P P ( ângulo comum ) 2 Logo, P ~ P. Então: P P = P P ( P )2 = P. P _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 169

168 _ Eercícios: 1) alcular o valor de na figura: 18 6 Solução: 2 = ( ). 6 2 = = = = 12 2) alcule o valor de nas seguintes figuras: a) 4 16 b) _ ST 170 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

169 _ c) 5 4 d) 4 6 e) 10 5 _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 171

170 _ RESUMO 1 P. P = P. PD D 2 P P. P = P. PD D 3 P ( P ) 2 = P. P _ ST 172 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

171 _ Eercícios: 1) alcule o valor de nas seguintes figuras: a) b) c) d) _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 173

172 ST 174 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

173 _ Polígonos Regulares Polígono inscrito numa circunferência Dizemos que um polígono é inscrito quando todos os seus vértices pertencem à circunferência. Veja: D E F J G Quadrilátero inscrito circunferência está circunscrita ao polígono. I H Heágono inscrito Polígono circunscrito a uma circunferência Dizemos que um polígono é circunscrito quando todos os seus lados são tangentes à circunferência. Veja: P S E F J G R I H Q Heágono circunscrito Quadrilátero circunscrito circunferência está inscrita no polígono. _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 175

174 _ Polígono Regular Um polígono é regular quando tem os lados congruentes e os ângulos congruentes. Veja: Quadrilátero 60º Triângulo Equilátero 4 lados congruentes. 4 ângulos congruentes 60º 60º 3 lados congruentes. 3 ângulos congruentes. Os polígonos regulares podem ser inscritos ou circunscritos a uma circunferência. pótema de um Polígono Regular pótema é o segmento cujas etremidades são o centro e o ponto médio do lado. G F H O E OM é o apótema. M D _ ST 176 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

175 _ Relações Métricas no Polígonos Regulares 1 ) QUDRDO a ) álculo da medida do lado ( λ 4 ) F No OD, temos: λ 4 2 = r 2 + r 2 D O r λ 4 2 = 2r 2 λ 2 4 = 2r 2 r λ4 λ 4 2 = r 2 D b ) álculo da medida do apótema ( a 4 ) E Na figura, observe que: a 4 a 4 = λ4 2 λ4 como λ 4 = r 2 F a 4 D então: a 4 = 2 2 Eercícios: 1) alcular a medida do lado e do apótema do quadrado inscrito numa circunferência de raio 8cm. Solução: a ) λ 4 = r 2 λ 4 = 8 2 a 4 λ4 8 b ) a 4 = r 2 2 a 4 = a 4 = 4 2 Resposta: o lado mede 8 2 cm e o apótema 4 2 cm. _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 177

176 _ 2) alcule o lado de um quadrado inscrito numa circunferência de raio de 6cm. 3) alcule o lado de um quadrado inscrito numa circunferência de raio de 5 2 cm. 4) alcule o apótema de um quadrado inscrito numa circunferência de raio 5 8 cm. 5) O lado de um quadrado inscrito numa circunferência mede 10 2 cm. alcule o raio da circunferência. 6) alcule o lado e o apótema de um quadrado inscrito numa circunferência de raio 12 2 cm. 7) medida do apótema de um quadrado inscrito numa circunferência é 15cm. alcule o raio da circunferência. _ ST 178 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

177 _ 2 ) HEXÁGONO REGULR a ) álculo da medida do lado ( λ 6 ) O O é equilátero. O Logo: O = O = r r Então: λ 6 = r λ 6 b ) álculo da medida do apótema ( a 6 ) No MO, temos: a r 2 2 = r 2 a 6 2 = r 2 - r 2 4 O a 2 6 = 3 r 4 2 r a 6 M r 2 r a 6 2 = 2 3r 4 a 6 2 = r r 3 2 _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 179

178 _ Eercícios: 1) Determinar a medida do lado e do apótema do heágono regular inscrito numa circunferência de raio 8cm. Solução: a ) omo λ 6 = r, então λ 6 = 8 b ) a 6 = r 3 2 a 6 = = 4 3 Resposta: o lado mede 8cm e o apótema 4 3cm. 2) alcule as medidas do lado e do apótema de um heágono regular inscrito numa circunferência de raio 12 3cm. 3) Determine o perímetro de um heágono regular inscrito numa circunferência de 7cm e de raio. 4) O apótema de um heágono regular inscrito numa circunferência mede 15cm. Quanto mede o seu lado? 5) O lado de um heágono regular inscrito numa circunferência mede 2 27 cm. Quanto mede o seu lado? 6) O apótema de um heágono regular mede 5 3cm. Determine o perímetro do heágono. _ ST 180 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

179 _ 3 ) TRIÂNGULO EQUILÁTERO a ) álculo da medida do lado ( λ 3 ) No D, temos: λ r 2 = ( 2r ) 2 (Teorema de Pitágoras) λ r 2 = 4r 2 λ 3 2 = 3r 2 λ 3 = r 3r 2 λ 3 = r 3 b ) álculo da medida do apótema ( a 3 ) No MO, temos: a r 2 2 = r 2 O quadrilátero DO é um losango, pois os lados são congruentes (medem r). a 3 = OD 2 a 3 = r 2 _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 181

180 _ Eercícios 1) Determine o lado e o apótema do triângulo equilátero numa circunferência de raio 10cm. Solução: a ) λ 3 = r 3 λ 3 = 10 3 b ) a 3 = r 2 a 3 = 10 2 = 5 Resposta: o lado mede 10 3 cm e o apótema 5cm. 2) alcule o lado de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio 12 cm. 3) alcule o apótema de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio 26cm. 4) O lado de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência mede 12cm. alcule o raio da circunferência. 5) O lado de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência mede 18cm. Quanto mede o seu apótema? _ ST 182 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

181 _ RESUMO Polígono inscrito Lado pótema Quadrado λ 4 = r 2 a 4 = r 2 2 Heágono regular λ 6 = r a 6 = r 3 2 Triângulo equilátero λ 3 = r 3 a 3 = r 2 Eercícios: 1) alcule o lado de quadrado inscrito numa circunferência de raio 3 2 cm. 2) alcule o apótema de um de quadrado inscrito numa circunferência de raio 7 8 cm. 3) O apótema de um heágono regular inscrito numa circunferência mede 30cm. Quanto mede o seu lado? 4) O apótema de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência mede 5cm. alcule o perímetro do triângulo equilátero. 5) alcule o perímetro de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio 2 3 cm. _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 183

182 ST 184 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

183 _ Área de Polígonos onsiderações Iniciais Superfície de um polígono é a reunião do polígono com o seu interior. Área de um polígono é a medida da superfície desse polígono. Nota: Por comodidade, a área da superfície de um polígono será denominada área de um polígono. Dois polígonos se dizem equivalentes se têm a mesma área. Áreas dos principais polígonos RETÂNGULO Área = base altura h = b h b QUDRDO Área = lado lado λ = λ λ = λ 2 _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 185

184 _ PRLELOGRMO h Área = base altura b = b h TRIÂNGULO Área = base altura : 2 h b = b h : 2 LOSNGO Área = Diag. maior diag. menor : 2 d D = Dd 2 TRPÉZIO b Área = (. maior b.menor) altura : 2 = ( + b) h 2 Nota: Nas fórmulas, para facilitar, usamos apenas a palavra: lado em vez de medida do lado. _ ST 186 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

185 _ base em vez de medida da base, e assim por diante. Eercícios: 1) alcular a área da figura abaio, supondo as medidas em centímetros Solução: a ) Área do quadrado: = = 225 b ) Área do retângulo: = = 900 c ) Área do triângulo: = 2 = 225 d ) Área total: = = 1350 Resposta: m 2 2) alcule a área das figuras, supondo as medidas em cm: a) b) _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 187

186 _ c) d) e) f) ) alcule a área da figura, supondo as medidas em cm: ) alcule a área dos polígonos, supondo as medidas em cm: a) 10 8 _ ST 188 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

187 _ b) c) d) ) alcule a área da região sombreada, supondo as medidas em cm: _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 189

188 _ 6) Na figura, calcule: a) a área do quadrado menor. b) a área do quadrado maior. c) a área da região sombreada ) área do trapézio da figura abaio mede 42cm 2 e a sua altura 3cm. alcule o valor de ) O perímetro do losango da figura abaio é 40cm. alcule a área desse losango. 3 _ ST 190 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

189 _ Medida da circunferência e área do círculo omprimento da ircunferência oloque um disco sobre uma mesa e com um barbante dê a volta completa no mesmo. arbante Music seguir, estique o barbante e meça o seu comprimento. alculando a razão entre as medidas do barbante e do diâmetro do disco, vamos ter aproimadamente: comprimento do barbante diametro do disco = 3,14 Este número é representado pela letra grega π (lê-se pi). Então: 2r = π ou = 2 π r Logo: O comprimento da circunferência é igual a 2 π vezes o raio da mesma. _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 191

190 _ Nota: razão acima não é eata, pois o número π que a representa é um número irracional. π = 3, Na prática usamos o π com o valor de 3,14. Eercícios: 1) alcule o comprimento de uma circunferência quando: a) o raio mede 2cm b) o raio mede 2,5cm c) o diâmetro mede 8cm 2) Uma circunferência tem 31,40cm de comprimento. Quanto mede seu raio? 3) Uma circunferência tem 18,84cm de comprimento. Quanto mede seu diâmetro? 4) Quantas voltas dá uma roda 30cm de raio para percorrer 7536m? _ ST 192 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

191 _ Área do círculo e de suas partes ÍRULO r = π r 2 ( r raio ) SETOR IRULR a) O r r λ Indicamos: r raio λ comprimento do arco área do setor Formando a regra de três: arco área 2 π r _ π r 2 λ _ = λ.r 2 b) O r α r Indicamos: r raio α ângulo do setor área do setor Formando a regra de três: ângulo área 360º _ π r 2 2 = π r α o 360 _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 193

192 5cm Espírito Santo _ α º _ Eercícios: 1) alcule a área de uma coroa circular de raios 3cm e 5cm. Solução: 5 cm = - 3 cm 1 2 alculando as áreas dos círculos 1 e 2 : 1 = π = 25π 2 = π = 9π Então: = 25π - 9π = 16π Resposta: 16π cm 2. 2) alcule a área do setor: Solução: 8cm = λ.r 2 Resposta: 20 cm 2. = = 40 2 = 20 _ ST 194 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

193 _ 3) alcule a área do setor: Solução: 5cm 40º = πr α o o 2 o = π o 360 = π o 360 o = 25 π 9 Resposta: 25 9π cm 2. 4) alcule a área de um círculo de raio 5cm. 5) alcule a área de um círculo de diâmetro 6cm. 6) alcule o raio de um círculo de área 64 π cm 2. 7) alcule a área de um círculo cuja circunferência tem comprimento de 18 π cm. 8) alcule a área de uma coroa circular de raios 8cm e 5cm ) Dois círculos concêntricos têm 6cm e 4cm de raio. alcule a área da coroa circular. _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 195

194 _ 10) alcule a área da figura sombreada, sabendo que O = 0,5 e O = 1,5cm. 11) alcule a área do setor circular. a) 4cm 9cm b) 3cm 4cm _ ST 196 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

195 6cm 8cm Espírito Santo _ 12) alcule a área do setor circular. a) 30º b) 45º 13) alcule a área da parte escura da figura, supondo as medidas em cm. 2 2,5 2,5 20 _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 197

196 _ 14) alcule a área da parte escura da figura, supondo as medidas em m ) alcule a área das partes escuras das figuras, supondo as medidas em centímetros. a) 6 6 b) _ ST 198 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

197 _ 16) alcule a área da parte escura da figura. 2 cm 17) alcule a área da parte escura da figura, supondo as medidas em centímetros. 6 8 _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 199

198 ST 200 ompanhia Siderúrgica de Tubarão

199 _ ibliografia 1. STRUI,., PERETTI, R.G. e GIOVNNI, J.R. - "Matemática - 5ª série", Ed. FTD S.., S.P., 1ª edição, NDRINI,. - "Praticando Matemática - 7ª série", Editora do rasil S.., S.P., 1ª edição, NDRINI,. - "Praticando Matemática - 8ª série", Editora do rasil S.., S.P., 1ª edição, _ SENI Departamento Regional do Espírito Santo 201