Polinômios e Equações Algébricas

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1 Formção continud em Mtemátic Fundção CECIERJ/Consórcio CEDERJ Mtemátic º no Polinômios e Equções Algérics

2 Tref 0 Cursist: Mri Ameli de Mores Corrê Tutor: Mri Cláudi Pdilh Tostes S u m á r i o Introdução Desenvolvimento Avlição Referêncis Biliográfics

3 Introdução Este plno de trlho vis orgnizr tividdes pr que os lunos consigm entender e identificr um polinômio. A idei inicil é propor que os lunos eplorrem visão geométric, que lhes permitirão imginr, de form indutiv, lgum método pr determinr áre d figur geométric fzendo com que preç o polinômio. Este plno de trlho present tividdes, que vism presentr os lunos desde identificção do gru de um polinômio té s relções de Gird, de form simples e eemplificd. Enriquecendo dest form o prendizdo e percepção dos lunos cerc ds proprieddes envolvids. Qundo começmos entrr no tem já com um vídeo, que mostr os lunos importânci e plicilidde que os polinomios tem em nosso cotidino, ordgem prtic e teori n sl de ul fic em mis fácil e interessnte pr os mesmos. É importnte, que os discentes compreendm e fiem de form simples e dinâmic o ssunto qui orddo.

4 Atividde DESENVOLVIMENTO TEMPO DE DURAÇÃO: 50 minutos RECURSOS EDUCACIONAIS UTILIZADOS: Livro didático, vídeo. ORGANIZAÇÃO DA TURMA: Individul. OBJETIVOS: Identificr e determinr o gru de um polinômio; clculr o vlor numérico de um polinômio. METODOLOGIA ADOTADA: POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Introdução: A função polinomil: Um polinômio função polinomil com coeficientes reis n vriável é um função mtemátic f:r R definid por: onde coeficiente são números reis, denomindos coeficientes do polinômio. O é o termo constnte. Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denomindo polinômio inteiro em. Um ds funções polinomiis mis importntes é definid por:

5 O gráfico dest função é curv pln denomind práol, que tem lgums crcterístics utilizds em estudos de Cinemátic, rdres, ntens prólics e fróis de crros. O vlor numérico de um polinômio em é otido pel sustituição de pelo número, pr oter. Eemplo: O vlor numérico de pr é ddo por: Gru de um polinômio Em um polinômio, o termo de mis lto gru que possui um coeficiente não nulo é chmdo termo dominnte e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominnte. O gru de um polinômio não nulo, é o epoente de seu termo dominnte, que qui será denotdo por. Acerc do gru de um polinômio, eistem váris oservções importntes:. Um polinômio nulo não tem gru um vez que não possui termo dominnte.. Se o coeficiente do termo dominnte de um polinômio for igul, o polinômio será chmdo mônico.. Um polinômio pode ser ordendo segundo s sus potêncis em ordem crescente ou decrescente.. Qundo eistir um ou mis coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto. 5. Se o gru de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que 6. Um polinômio será completo qundo possuir tods s potêncis consecutivs desde o gru mis lto té o termo constnte. 5

6 7. Se o gru de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será etmente É comum usr pens um letr p pr representr função polinomil o conjunto de todos os polinômios reis em. e Iguldde de polinômios Os polinômios p e q em definidos por: são iguis se, e somente se, pr todo : Teorem: Um condição necessári e suficiente pr que um polinômio inteiro sej identicmente nulo é que todos os seus coeficientes sejm nulos. Assim, um polinômio: será nulo se, e somente se, pr todo : O polinômio nulo é denotdo por em. O polinômio unidde identidde pr o produto em, é o polinômio: tl que e, pr todo. Eercícios de fição: Utilizr eercícios do livro didático pr fição dos conteúdos orddos nest tividde. Págins 6,6 e 66 do livro Mtemátic Ciênci e Aplicções Volume 0. 6

7 Atividde HABILIDADE RELACIONADA: Identificr e determinr o gru de um polinômio; clculr o vlor numérico de um polinômio. TEMPO DE DURAÇÃO: 0 minutos RECURSOS EDUCACIONAIS UTILIZADOS: Livro didático pr consult. ORGANIZAÇÃO DA TURMA: Individul. OBJETIVOS: Revisão e fição trvés de tividdes de vlições. METODOLOGIA ADOTADA: Um list de eercícios etr pr melhor fição d tividde 0. List de eercícios de fição Encontre os vlores de, e c pr que os polinômios P e Q 5 c sejm idênticos. Solução. Os polinômios serão idênticos se os coeficientes de cd termo lgérico tmém o forem: P Q P Q c c Determine pr que o gru de P 5 sej igul. Solução. Pr que o gru de P sej é necessário que o coeficiente de sej nulo: P 5 gru 0 Identifique o gru e o coeficiente dominnte de cd polinômio. P Gru : C. Do min nte: Q Gru : 5 5 C. Do min nte: 5 7 c R i Gru : 5 C. Do min nte: i 5 Solução. O gru de um polinômio é o mior gru oservdo entre os grus dos monômios. O coeficiente dominnte é o coeficiente do monômio de mior gru. Determine o vlor de m pr que o polinômio Q m 5 sej de gru. 7

8 Solução. Pr que o gru de Q sej é necessário que o coeficiente de não sej nulo: Q m 5 gru m 0 m 5 Clcule o vlor numérico do polinômio P pr cd vlor de. = i = c = - i d = 0 Solução. O vlor numérico de P é o vlor encontrdo o sustituir pelo seu vlor em cd cso. P i i i i 6 i P c P i i i i 6 i d P Clcule som dos coeficientes dos polinômios. 5 6 P 6. Som = - P. Som = 6 Solução. A som dos coeficientes de um polinômio é o vlor numérico de P P 6 6 P 6 7 Clcule o vlor de m sendo que P m possui um riz igul -. Solução. A riz de um polinômio P é o vlor de que nul P. Logo, se - é um riz de P, então P- = 0. Sustituindo, vem: P P 0 m 8 6 m 0 m 5 m 5 Logo, o polinômio é epresso como P Sendo que é riz de P e que P =, clcule e. Solução. Se = é riz, então P = 0. Considerndo s informções, temos: 8

9 P P P P. As dus equções determinds formm um sistem com s incógnits e UE PI Sendo que os polinômios 5 P e q p Q são idênticos, determine p + q. Solução. Os polinômios serão idênticos se os coeficientes de cd termo lgérico tmém o forem: q p q p q q p p Q P q q p p Q P q q p p q p Q P 0 UF-BA Sendo m P um polinômio de gru e Q um polinômio que tem - como riz, nálise s firmções seguintes em V ou F, justificndo..m =. V P.Q é um polinômio de gru 6. F c P tem dus rízes reis. V d.p Q = +. F Solução. Utilizndo s informções do eercício em cd item, temos: Se Q possui um riz igul -, então Q- = 0. Sustituindo, temos: 0 0 Q Q Se P é de gru, então m = 0. Logo, m =. Então.m =. =. Não é necessário efetur multiplicção de P por Q. Se P é de gru e Q de gru, então o mior gru que precerá no produto será 5.

10 0 c Clculndo pr P = 0, temos: IR 5 0 d. Q P UNIFOR CE Sejm e t números reis que tornem verddeir iguldde t pr qulquer vlor de, eceto 0 e. Que relção há entre e t? Solução. Oserve que.- =. Igulndo os denomindores, temos: 0 t t t t t Logo, + t = 0.

11 Atividde TEMPO DE DURAÇÃO: 00 minutos RECURSOS EDUCACIONAIS UTILIZADOS: Livro didático. ORGANIZAÇÃO DA TURMA: Individul. OBJETIVOS: Apresentr os lgoritmos de som, sutrção, multiplicção e divisão de polinômios. METODOLOGIA ADOTADA: POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Som de polinômios Consideremos p e q polinômios em, definidos por: Definimos som de p e q, por: A estrutur mtemátic formd pelo conjunto de todos os polinômios com som definid cim, possui lgums proprieddes:. Associtiv: Quisquer que sejm p, q, r em P[], tem-se que:. Comuttiv: Quisquer que sejm p, q em, tem-se que:. Elemento neutro: Eiste um polinômio tl que qulquer que sej p em. Elemento oposto: Pr cd p em eiste outro polinômio em tl que Com ests proprieddes, estrutur é denomind um grupo comuttivo. Eemplos:

12 Produto de polinômios Sejm p, q em P[], ddos por: Definimos o produto de p e q, como um outro polinômio r em : tl que: pr cd =,,,...,m+n. Oservmos que pr cd termo d som que ger, som do índice de com o índice de sempre fornece o mesmo resultdo. A estrutur mtemátic formd pelo conjunto de todos os polinômios com o produto definido cim, possui váris proprieddes:. Associtiv: Quisquer que sejm p, q, r em tem-se que:. Comuttiv: Quisquer que sejm p, q em P[], tem-se que:. Elemento nulo: Eiste um polinômio po=0 tl que qulquer que sej p em P[].. Elemento Identidde: Eiste um polinômio tl que qulquer que sej p em P[]. A unidde polinomil é simplesmente denotd por =. Eiste um propriedde mist ligndo som e o produto de polinômios 5. Distriutiv: Quisquer que sejm p, q, r em P[], tem-se que:

13 Eemplos: Com s proprieddes relcionds com som e o produto, estrutur mtemátic é denomind nel comuttivo com identidde. Divisão de polinômios Pr relizrmos divisão de polinômios é preciso que eles estejm reduzidos e ordendos. O polinômio, não está ordendo em relção vriável, já o polinômio está ordendo de form decrescente em relção est vriável. Oserve que os epoentes dest incógnit decrescem de 5. Pr eplicr o procedimento d divisão de polinômios pelo método ds chves, vmos dividir por. A primeir cois verificr é se o gru do dividendo é mior ou igul o gru do divisor. Se for menor o quociente será zero e o resto será o próprio dividendo. Repre que mos os polinômios estão ordendos de form decrescente em relção à incógnit : A divisão de polinômios é muito semelhnte à divisão de números nturis. Vmos começr dividindo o monômio pelo monômio e colocr o quociente io d chve: Agor vmos multiplicr por -, o vlor oposto do quociente, cd um dos monômios do divisor - e colocr o resultdo emio do dividendo: Eecutmos então som dos monômios: Continumos divisão indo o terceiro monômio do dividendo:

14 Agor dividimos 0 por, que vi dr 5 e tmém o colocmos io d chve: Por fim eecutmos som que resultrá em zero, indicndo um divisão et: Como pudemos ver o procedimento d divisão de polinômios e stnte simples e semelhnte à divisão de números nturis. Eemplos: Eercícios de fição: Utilizr eercícios do livro didático, págins 68,7 e 7, pr fição dos conteúdos orddos nest tividde. do livro Mtemátic Ciênci e Aplicções Volume 0.

15 Atividde TEMPO DE DURAÇÃO: 00 minutos RECURSOS EDUCACIONAIS UTILIZADOS: Livro didático. ORGANIZAÇÃO DA TURMA: Individul. OBJETIVOS: Teorem do resto; Briot-Ruffini n divisão de polinômios; Relções de Gird. METODOLOGIA ADOTADA: POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Teorem do resto O resto d divisão de um polinômio P pelo inômio Note que é riz do divisor. é igul Eemplo: Clcule o resto d divisão de Resolução: Achmos riz do divisor: por Pelo teorem do resto semos que o resto é igul P-: Respost: O dispositivo de Briot-Ruffini Serve pr efetur divisão de um polinômio P por um inômio d form +. Eemplo: Determinr o quociente e o resto d divisão do polinômio por Resolução: Oserve que o gru de Q é um unidde inferior o de P, pois o divisor é de gru. Respost: Pr resolução desse prolem seguimos os seguintes pssos: º Colocmos riz do divisor e os coeficientes do dividendo ordendmente n prte de cim d cerquinh. º O primeiro coeficiente do dividendo é repetido io. 5

16 º Multiplicmos riz do divisor por esse coeficiente repetido io e sommos o produto com o º coeficiente do dividendo, colocndo o resultdo io deste. º Multiplicmos riz do divisor pelo número colocdo io do º coeficiente e sommos o produto com o º coeficiente, colocndo o resultdo io deste, e ssim sucessivmente. 5º Seprmos o último número formdo, que é igul o resto d divisão, e os números que ficm à esquerd deste serão os coeficientes do quociente. Equções polinomiis Tomndo-se o seguinte polinômio onde são constntes n e é definido como o gru do polinômio. Por eemplo: Define-se como riz α se e somente se. Os.: Note que o se igulr um polinômio zero polinomil. ele se trnsform em um equção Tmém se pode decompor o polinômio onde em n ftores de primeiro gru: são rízes d equção polinomil.. Rízes múltipls Pode ocorrer que um ou mis rízes sejm iguis, nesse cso esss rízes são definids como múltipls, por eemplo: Note multiplicidde d riz vezes e d riz vezes. Denomin-se que equção polinomil possui riz com multiplicidde, riz de multiplicidde e riz 8 de multiplicidde.. Rízes comples e reis "Tod equção polinomil, de gru n, com n possui pelo menos riz comple rel ou imginário". Os.: Lemrr que os números compleos englom os números reis, ou sej, um número rel é tmém um número compleo. "Tod equção polinomil que possu um riz imginári possuirá tmém o conjugdo dess riz como riz". Ou sej, se é riz de um equção polinomil tmém será riz. Sendo. Eemplo: Sendo-se que equção polinomil possui um riz imginári 6

17 igul i, com encontrr s outrs rízes. Se i é um riz então -i, seu conjugdo, é outr e consegue-se encontrr terceir riz que é. c. Rízes rcionis "Se um número rcionl, com p e q primos entre si, é riz de um equção polinomil de coeficientes inteiros do tipo então p é divisor de e q é divisor de ". Eemplo:, pesquisr s possíveis rízes rcionis. As possíveis rízes serão: Testndo pr o polinômio verific-se que somente, sendo ess e riz rcionl do polinômio. Note que os coeficientes d equção polinomil origtorimente devem ser números inteiros. Relções de Girrd Temos que um equção do º gru possui seguinte form: ² + + = 0. Ness epressão, temos que os coeficientes, e c são números reis, com 0. As rízes de um equção do º gru, de cordo com epressão resolutiv são: Som entre s rízes Produto entre s rízes 7

18 Eemplo: Vmos determinr som ds rízes d seguinte equção do º gru: ² = 0. Som Produto As relções de Girrd não servem somente pr determinrmos som e o produto de rízes. Els são ferrments utilizds pr compor equções do º gru. As equções são representds por: ² S + P = 0, onde S som e P produto. Eercícios de fição: Utilizr eercícios do livro didático, págins 8 té 87, pr fição dos conteúdos orddos nest tividde. do livro Mtemátic Ciênci e Aplicções Volume 0. Atividde 5 TEMPO DE DURAÇÃO: 0 minutos RECURSOS EDUCACIONAIS UTILIZADOS: Livro didático. ORGANIZAÇÃO DA TURMA: Individul. OBJETIVOS: Fição e revisão dos conteúdos orddos n tividde nterior. METODOLOGIA ADOTADA: Um list de eercícios pr melhor fição ds tividdes 0 e 0. Com se no livro didático dotdo pel escol, os eercícios serão ds págins 76, 77, 98 e 99 do livro Mtemátic Ciênci e Aplicções Volume 0. 8

19 CESD Professor: Mri Ameli Dt: / / Turm: 00 Aluno: Nº: Avlição de Mtemátic Questão 0- Sejm três polinômios em : P = ; Q = + - e R = - +. Dividindo-se P - Q por R, encontrm-se quociente e resto respectivmente iguis : Respost: + / + /6 e -7/6 Questão 0 - Sejm P = 5 -, Q = + 5 e R = 5 + ; então PR - Q é: Respost: - 00 Questão 0 - Se o resto d divisão de P = + + por Q = + + é, então + vle: Respost: Questão 0 - O conjunto verdde d equção = 0 está contido em: [-,- [-, c [, d [, e [, Respost: B Questão 05 - A som ds rízes d equção = 0 é: Resp: / 9

20 AVALIAÇÃO A vlição envolve luno e professor e deve ser relizd de mneir que mos possm vlir o qunto se desenvolveu cd um ds competêncis relcionds os tems estuddos. As trefs feits ns tividdes e 5, feits individulmente com consult em 50 minutos, servirão pr o docente oservr se os lunos entenderm o ssunto. É proprido verificr os certos dos lunos ns questões relcionds com o tem que constrão no SAERJINHO. Este será outro método de vlição. Porem, nele o professor poderá verificr prendizgem não pens no ssunto que norteou este plno de trlho, ms tmém em conteúdos estuddos no imestre nterior. Aplicção de um vlição escrit individul, teste sem consult, 00 minutos pr investigção d cpcidde de utilizção de conhecimentos dquiridos pr resolução ds questões envolvendo geometri nlític qui estudd. Neste plno de trlho procurei utilizr os novos conhecimentos que otive com os plnos de ção d formção continud. Queri poder eplorr o roteiro de ção, ms não sei se hverá tempo suficiente pr isso. Mis um vez, pesr de não ter possiilidde de presentá-los o Geoger, pedi pr queles que tivessem curiosidde em prender pesquisr mis sore o progrm e tirrem s dúvids comigo. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES SOBRE ESTE PLANO DE TRABALHO Ele foi preprdo levndo em considerção o tempo disponível de uls pr turm 00 do Colégio Estdul Sntos Dis no no letivo em curso 0 e o gru de conhecimento dos lunos. Há detlhes e tividdes interessntes que poderão ser crescentdos cso o tempo permit, que podem prender tenção dos lunos e mostrr ind mis plicilidde do tem. 0

21 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Iezzi, Gelson. Mtemátic: Ciêncis e Aplicções. 6ª edição. São Pulo: Sriv, 00. Piv, Mnoel. Mtemátic: volume único. ª edição. São Pulo: Modern, 005. ROTEIROS DE ACÃO Geometri Anlític Curso de Aperfeiçomento oferecido por CECIERJ referente o º no do Ensino Médio º imestre/0 cessdo em 0//0. Endereços eletrônicos cessdos de 0//0 0//0, utilizdos o longo do trlho: