CURSO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA AULA

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1 CURSO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA AULA 7 POLINÔMIOS & EQUAÇÕES POLINOMIAIS PROF. MARCELO RENATO Outuro/8 mrcelorento.com

2 RESUMO TEÓRICO Prof. Mrcelo Rento. SOMA DOS COEFICIENTES DE UM POLINÔMIO Pr clculr som SC os coeficientes e um polinômio P, st clculr o vlor numérico o polinômio pr, ou sej, clculr P. Eemplo-: P 7 SC P Eemplo-: O inômio y z possui termos e, respectivmente, coeficientes reis. Pr clculrmos som os seus onze coeficientes reis st que fçmos tos s letrs iguis e 5 efeturmos potênci resultnte, ou sej, S.. S.. TERMO INDEPENDENTE DE UM POLINÔMIO Pr clculrmos o termo inepenente TI e um polinômio P, st clculr o vlor numérico o polinômio pr, ou sej, clculr P. Eemplo-: P 7 TI P. Eemplo-: Pr o inômio y, st que fçmos tos s letrs iguis zero e efeturmos potênci resultnte, ou sej, TI TI.. TEOREMA DO RESTO O resto ivisão e P por é P. Demonstrção: De fto, seno P o ivieno e o ivisor, então, poemos escrever P.Q R; como ess igule vle pr too vlor e, então, el vle tmém pr, ou sej, P.Q R, ou sej, R P. Como etensão o Teorem o Resto, temos que, o resto ivisão e um polinômio P por um polinômio ivisor o º gru é igul Priz o ivisor. Demonstrção: Como o resto ivisão e P por um polinômio o º gru é inepenente e, isto é, é igul um constnte, chmremos o resto R est ivisão e r. Semos que P.Q r; se for igul à riz o ivisor, isto é, /, vem: P / [. / ].Q / r P /.Q / r P / r. Eemplo-5: O resto R ivisão e P por é igul P R. Eemplo-6: O resto R ivisão e P 5 por é igul P 5 R.. TEOREMA DE D ALEMBERT Se um polinômio P é ivisível por, poemos firmr que P. Demonstrção: Por efinição e riz e um polinômio, temos que é riz e P se, e somente se P. Ms, pelo teorem o resto, P é o resto R ivisão e P por. Concluímos, ssim, que: é riz e P R, ou sej, é riz e P P é ivisível por. Não poemos esquecer que Priz. 5. MÉTODO DE DESCARTES COEFICIENTES A DETERMINAR Pr eterminrmos os coeficientes o quociente Q e o resto R num ivisão e polinômios poemos utilizr o Métoo e Descrtes, prtir igule P Q.D R. Eemplo-7: Determinr o quociente e o resto ivisão e P 6 por D. Resolução: Semos que P Q.D R ssim, como o gru e P é e o gru e D é ; Origtorimente o gru e Q terá que ser igul, pois o gru o quociente everá ser o resulto iferenç entre o gru o polinômio P e o gru o ivisor D; Neste cso Q c ; Devemos ter tmém o gru o resto R menor que o gru o ivisor D; í poemos escrever o resto n form R e. Assim teremos: 6 c. e 6 c c e A ientie se verific pr: ; ; c 6 c 5; ; c e e 5. Portnto: Q 5 e R mrcelorento.com

3 6. DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT RUFFINI É um moo prático pr efetur ivisão e um polinômio P por um inômio. Vmos visuliz-lo seguinte mneir: Oserve seqüênci e pssos pr se oter Q e R por meio esse ispositivo quno queremos eterminr o quociente e o resto ivisão e P 5 por. º Orenr P seguno os epoentes ecrescentes e. Distriuir os coeficientes e P seguinte form: º Repetir o coeficiente o primeiro termo e P n prte inferior. º Multiplicr o termo repetio pel riz e somr o próimo coeficiente o ivieno, como mostr o esquem: º Multiplicr esse último resulto pel riz e, em segui, somr com o próimo coeficiente o ivieno, e ssim por inte. Terminno o processo, evemos compor o quociente e o resto: Q 8 e R Como utilizr o ispositivo prático e BRIOT-RUFFINI quno o ivisor, o º gru, present-se n form com? Diviir P por utilizno o ispositivo e Briott-Ruffini precisrá seguir os seguintes pssos: P.Q R P. [.Q ] R Q D Tornmos o coeficiente e, o ivisor, igul e pssmos ter um novo ivisor D e um novo quociente Q. Aplicno o ispositivo e Briot-Ruffini, vmos usr riz o polinômio D. Vejmos um eemplo n próim págin; - - mrcelorento.com

4 Eemplo: Oter o quociente e o resto n ivisão e P 6 5 por D. Resolução: 7. POLINÔMIO P DIVISÍVEL PELO PRODUTO. Se P for ivisível por, conseqüentemente P será ivisível seprmente por e por. Neste cso plicmos o Teorem o Resto em c situção, ou sej, P e P. Se P for ivisível pelo prouto e n ftores e º gru, então P será ivisível seprmente por c ftor. Eemplo: Se P for ivisível por ², P será ivisível por e por, pois ².. 8. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA To equção lgéric e gru n n mite pelo menos um riz comple. Consequentemente, to equção lgéric um vriável, e gru n, n, terá no máimo n rízes istints ou não. 9. FATORAÇÃO DE UM POLINÔMIO P P P c P P c P n n n n... P n... n Eemplo: P P.... MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ N ecomposição e P em ftores e primeiro gru, oservmos que o ftor poe precer um vez, us vezes,..., m vezes. Então poemos izer que riz em questão tem multiplicie,,..., m, respectivmente. - - mrcelorento.com

5 . TEOREMA DAS POSSÍVEIS RAÍZES RACIONAIS p Se um número, com p e q primos entre si e q, é riz e um equção lgéric q n n... e coeficientes inteiros, então p é ivisor e n n Eemplo: Determine s rízes equção 7 8. e q é ivisor e. n Pelo Teorem s possíveis rízes rcionis: Divisores e : { ±, ±, ±, ±, ± 6, ± }. Divisores e : { ± }. ±, ±, ±, ±, ± 6, ± As possíveis rízes serão otis o quociente ± { ±, ±, ±, ±, ± 6, ± }., ou sej, Utilizmos o ispositivo prático e Briot-Ruffini pr verificr s possíveis rízes.... TEOREMA DAS RAÍZES IRRACIONAIS Num equção e coeficientes rcionis, se m n for riz irrcionl, então m n tmém o será, com m e n rcionis. Eemplo: Determine s rízes equção ³ - ², seno que menor els vle. Resolução: Como equção possui coeficientes rcionis, se é um s sus rízes, pelo teorem rízes irrcionis,. Por Girr,, ssim:... S { ; ; }. TEOREMA DE BOLZANO Sej f um equção polinomil, com coeficientes reis e ; um intervlo rel erto: Se f e f têm mesmo sinl, então eiste um número pr e rízes reis ou não eistem rízes reis equção no intervlo ; ; Se f e f têm sinis iferentes, então eiste um número ímpr e rízes reis equção em ;.. RELAÇÕES DE GIRARD Som e tos s rízes: Prouto e tos s rízes, us us : Prouto e tos s rízes, três três : OBS.: Usr mesm lógic pr equções e mior gru. c c c c. - - mrcelorento.com

6 DISCIPLINA: ASSUNTO: CURSO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA POLINÔMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS SÉRIE AULA Drwin/5 Sej o polinômio P c, cujo esoço gráfico encontr-se n figur o lo: clcule os coeficientes e c e P. etermine termo inepenente e P. c escrev P como prouto e ftores, seno um o ºgru e outro e º gru. seno R o resto ivisão e P por 6, etermine R/8. FUVEST-SP/ As rízes o polinômio p m, one m é um número rel, estão em progressão ritmétic. Determine: o vlor e m; s rízes esse polinômio mrcelorento.com

7 UERJ As imensões e um prlelepípeo retângulo são s pels rízes o polinômio seguir: Em relção esse prlelepípeo, etermine: rzão entre su áre totl e o seu volume; sus imensões. 7 UFRJ Encontre s rízes e seno que são reis e estão em progressão ritmétic. 5 UFMG/ Os polinômios p e p 7 iviem o polinômio p c, em que, e c são números reis. Determine, e c mrcelorento.com

8 6 UFF-RJ Um luno iviiu o polinômio p c, sucessivmente, por, e e encontrou, respectivmente, restos, e. Determine o polinômio p. 7 UFRJ Determine tos s rízes reis e mrcelorento.com

9 8 UFMG/5 Sej p um polinômio em que e são números inteiros. Se-se que é um riz e p. Consierno esss informções,. DETERMINE os coeficientes e.. DETERMINE tos s rízes e p. 9 UFES Se s imensões, em centímetros, e um prlelepípeo reto retngulr são s pels rízes equção, clcule o comprimento igonl o prlelepípeo. Dic MR mrcelorento.com

10 SÉRIE CASA UFMG/ Sej o polinômio n j n j. n n n L n n, em que j P o resto ivisão e P por é 55. Determine o gru e P. Fuvest SP O prouto e us s rízes o polinômio p m é igul. Determinr: o vlor e m. s rízes e p. UNICAMP 996 Sej p et c, one,, c e são números reis. Mostre que é um riz o polinômio p. Mostre que s outrs us rízes e p tmém são reis. c Quis s conições sore,, c e pr que p tenh um riz upl,? FGV-SP/ moific A equção 8 m 6, seno m um número rel, tem rízes, e c, tis que c. Determine o vlor e S, tl que S. c O polinômio P 6 58 é ivisível por. Encontre s rízes equção P no conjunto os números reis. c Apresente o polinômio P como prouto e ois polinômios e gru e um polinômio e gru. 5 DARWIN 6 Seno-se que e são números inteiros e que é um s rízes equção 8, etermine: tos s rízes e P; os coeficientes e. 6 UFES 6 moific Um polinômio P 6, one <, tem como riz. A Determine o vlor e. B Decomponh o polinômio P em prouto e ftores o primeiro gru. C Determine o resto R ivisão e P por. 7 UFES pt As imensões e um prlelepípeo retângulo são s pels rízes > > o polinômio P 9 8. Em relção esse prlelepípeo, consierno sus imensões em metros, etermine: som os inversos s sus imensões; su áre totl em cm ² e seu volume em m, respectivmente; c trce um segmento e ret ligno os vértices A e B e clcule o seu comprimento, em metros. O que signific tl segmento e ret pr o prlelepípeo? 8 Drwin 6 Um polinômio P k, quno iviio por á resto. Ao iviirmos o e polinômio P por um polinômio ivisor e gru enomino D otemos quociente Q resto R. Determine: o vlor e k; R ; c o polinômio ivisor D mrcelorento.com

11 RESPOSTAS SÉRIE AULA e c 5 c P. R/8 m, e ; e, 5 e 8. 5, 5 e c 6. 6 P... 7,, 8 e 8, e. 9 cm. 5 e 5. RESPOSTAS SÉRIE CASA O gru e P é. m 7. /, e. p. Δ. Anlisno est epressão, verificmos que Δ,,, c, IR, portnto, s outrs us rízes e p são reis. S Rízes reis: / e c P 6. 5,, e. e 8. 6 A. B P C. 7 m Áre: 8. cm e Volume: 8. cm c,5 m igonl o prlelepípeo. 8 k 8 R 8 c D. - - mrcelorento.com

12 RESOLUÇÕES SÉRIE AULA - POLINÔMIOS / Drwin/5 Sej o polinômio P c, cujo esoço gráfico encontr-se n figur o lo: clcule os coeficientes e c e P. etermine termo inepenente e P. c escrev P como prouto e ftores, seno um o ºgru e outro e º gru. seno R o resto ivisão e P por 6, etermine R/8. Anlisno o gráfico e P verificmos que sus rízes são upl e ; P c... possui coeficiente ominnte P... : c c 5 D ientie polinomil verificmos:, c 5 e. O termo inepenente e P é. c Efetuno-se ivisão pelo métoo chve: Resposts: e c 5 c P. R/8 FUVEST-SP/ As rízes o polinômio p m, one m é um número rel, estão em progressão ritmétic. Determine: o vlor e m; s rízes esse polinômio. Resolução: Consierno Por Girr: Assim,, e s rízes e p: PA { r, {, { r p. m m

13 RESOLUÇÕES SÉRIE AULA - POLINÔMIOS / Como m p e um s rízes é : p Semos que é um os ftores e p, ou sej, p é ivisível por ; Utilizno o ispositivo prático e Briot-Ruffini pr ir o gru equção: Resolveno encontrmos e. Assim, s rízes e p são s rízes e.. Portnto, s rízes e p são:, e. UERJ As imensões e um prlelepípeo retângulo são s pels rízes o polinômio seguir: e 7 Em relção esse prlelepípeo, etermine: rzão entre su áre totl e o seu volume; sus imensões. Resolução: Consierno s rízes, e, áre totl A e o volume V: T A T A T V Assim,... Girr 7 A T. Girr A T V / / V A T V V Cálculo s imensões: Pelo Teorem s possíveis rízes rcionis, Logo, é um os ftores e é riz e o polinômio 7 ; 7 7, ou sej, ; Utilizno o ispositivo prático e Briot-Ruffini pr ir o gru equção 7 : Resolveno ou Logo, s imensões o prlelepípeo são: ; e.

14 RESOLUÇÕES SÉRIE AULA - POLINÔMIOS / UFRJ Encontre s rízes e seno que são reis e estão em progressão ritmétic. Resolução: Consierno s rízes, e, { { { r,, r PA ; Por Girr: Resolveno equção 8 e 6. Assim, s rízes equção são:, 5 e 8. Respost: 8 8 e 5, 5 UFMG/ Os polinômios 7 p e p iviem o polinômio c p, em que, e c são números reis. Determine, e c. Resolução: Como p e p iviem o polinômio p, implic que s rízes e p e p tmém são rízes e p. Clculno s rízes e p : p ± Clculno s rízes e p : 5 ou 7 p Assim, como p é e gru, s sus rízes são, e 5. Consierno s rízes, e 5, por Girr : Assim, c p Por Girr: 6 c c 5 c 5 5 Respost:, 5 e c 6. Utilizno o ispositivo prático e Briot-Ruffini:

15 RESOLUÇÕES SÉRIE AULA - POLINÔMIOS / 6 UFF-RJ Um luno iviiu o polinômio p c, sucessivmente, por, e e encontrou, respectivmente, restos, e. Determine o polinômio p. Resolução: Consierno e s rízes e p; Como, pelo teorem o resto, p e p, e são s rízes e p. Assim, P.. P Como, tmém pelo teorem o resto, P : Respost: P..... P.. 7 UFRJ Determine tos s rízes reis e. Resolução: Pelo teorem s possíveis rízes rcionis e são rízes reis equção; Utilizno o ispositivo prático e Briot-Ruffini pr ir o gru equção: Anlisno equção, verificmos que Δ ou Respost:,, 5 e 5 8 UFMG/5 Sej p um polinômio em que e são números inteiros. Se-se que é um riz e p. Consierno esss informções,. DETERMINE os coeficientes e.. DETERMINE tos s rízes e p. Resolução:. Assim, como o polinômio possui coeficientes rcionis inteiros e é um e sus três rízes, pelo teorem rízes irrcionis tmém é riz e p. Consierno, e s rízes e p, cujo coeficiente ominnte é igul : p.. p [.. ] p.. p Consierno que já foi resolvio o item, one encontrmos. : - Foi o que p ; - Semos que são rízes e p:, e ;

16 RESOLUÇÕES SÉRIE AULA - POLINÔMIOS 5/ - Semos que, pels relções e Girr, pr A B C D.. D A - Pr s rízes e p Assim:. - Semos que A, one - Logo: p p p p A - Fzeno-se ientie entre p e p Encontrmos: e. Resposts: Resposts:. e., e. 9 UFES Se s imensões, em centímetros, e um prlelepípeo reto retngulr são s pels rízes equção, clcule o comprimento igonl o prlelepípeo. Resolução: Pelo Teorem s possíveis rízes rcionis, é riz equção. Assim seno, reuziremos o gru equção utilizno o ispositivo prático e Briott-Ruffini: One semos que:. Clculno s outrs us rízes: As três rízes são: ; e ou Representno s rests o prlelepípeo n figur e clculno o comprimento igonl D : D Respost: D cm.

17 RESOLUÇÕES SÉRIE CASA Resolução: n P n n n L n Pelo teorem o resto: P 55 Assim: n n n n n n L 55 n n.n 55 n som e n termos em PA n.n 55 n n ou n L n n 55 Pel efinição e polinômio Respost: O gru e P é. Resolução: n IN, logo n e o polinômio é e gru. Por Girr: P m 7 9m m 7 Seno m 7: p 7 Utilizno o ispositivo prático e Briot-Ruffini: Δ 8 ou. Assim, s rízes e p são: /, e. Resposts: m 7. /, e.

18 Resolução: SARRUS... p c p... ]..[ p Fzeno-se em : p ]..[ p Conclusão: é riz e p. As outrs us rízes e p, em, vêm e: ]. [... ] [ Δ. Δ Δ Δ Δ... Anlisno epressão verificmos que IR, c,,, Δ, portnto, s outrs us rízes e p são reis. c s outrs us rízes e p serão rízes iguis, ou sej, riz upl e iferente e se e somente se: Em. Δ Δ e Verificmos que Δ, somente se IR c e, Resposts: vie resolução. vie resolução. c IR c e,.

19 Resolução: 8 m 6 Atenção : c c Por Girr: 8 c... S c c c S..c S. c..c c c S..c S.. S..c c c..c. c S..c S.....c Por Girr: 6 c 8... Sustituino e em : S 8 S P 6 58 Semos, tmém, que som os coeficientes e P é igul zero; seno ssim, tmém é riz e P. c Utilizno o ispositivo prático e Briot-Ruffini pr ir o gru equção P : P 6 Resposts: S Rízes:/ e. c P 6.

20 5 Resolução: Pelo TEOREMA DAS RAÍZES IRRACIONAIS Num equção e coeficientes rcionis, se m n for riz irrcionl, então m n tmém o será, com m e n rcionis. Assim, equção 8 terá s rízes e ; Poemos firmr que um os ftores equção será:.. ; Logo: 8 A B C 8 A B A C A B A B A B. B C 8 C 9 B C C Assim: 8 9. Tos s rízes e P serão: 9. com os cálculos efetuos no item nterior: Pr A B C 9 C A B B C 8 Resposts:,, e. e 8. 6 Resolução: A P ou 6 6 não convém Assim,. B Pr p 6 p Utilizno o ispositivo prático e Briot-Rufinni pr clculrmos s emis rízes: ou O polinômio P, ecomposto em ftores o primeiro gru: P. C N ivisão e P por, ou sej, por, pelo teorem o resto, será: R P R R Resposts: A. B P C.

21 7 Resolução:..... m 8 Consierno áre totl t A e o volume V:... A t e.. V Pels relções e Girr: t t t t m V. m V m V V cm 8. A 8. cm A 8 m A 8 A c... AB AB Semos que Em :,5 m AB 9 AB ; tl segmento é igonl o prlelepípeo. Resposts: m Áre: cm. 8 e Volume:. cm 8 c,5 m igonl o prlelepípeo. Pels relções e Girr Pels relções e Girr

22 8 Resolução: Pelo teorem o resto: P P k k k Conforme enuncio: P R 678 P D Em : P P P P P Em : P.D.D Resolveno o sistem: e. R R R c P P D D A B C A B C A B C A B C C Assim, D Resposts: 8 k 8 R 8 c D.