3. Juliano colou uma bandeirinha cinza em cada engrenagem, como mostra a figura abaixo:

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1 XXII OLIMPÍD RSILEIR DE MTEMÁTI Primeir Fse Nível - urção prov é e hors. - Não é permitio o uso e clculors nem consult nots ou livros. - Você poe solicitr ppel pr rscunho. - Entregue pens folh e resposts. 1. Fse Olimpí Regionl - ES - GO - RJ - RN - S - SP 10 e junho e Quntos números inteiros e positivos menores o que eistem cujos cuos terminm em 1? ) ) ) D) E) Um fáric eml lts e plmito em cis e ppelão cúics e 0 cm e lo, e moo que c ci contém 8 lts. Pr poerem ser melhor trnsports, esss cis são colocs, melhor mneir possível, em ciotes e meir e 80 cm e lrgur por 10 cm e comprimento por 60 cm e ltur. O número e lts e plmito em c ciote é: ) 576 ) ).04 D) 70 E) 144. Julino colou um neirinh cinz em c engrengem, como mostr figur io: s engrengens são iguis e quno engrengem esquer girou um pouco, su neirinh ficou n posição inic com neirinh rnc pontilh. Nest conição, poemos firmr que posição neirinh n engrengem ireit é: ) ) c) ) e) ) ) ) D) E) 4. Qutro migos vão visitr um museu e um eles resolve entrr sem pgr. prece um fiscl que quer ser qul eles entrou sem pgr. Eu não fui, iz o enjmim. Foi o rlos, iz o Mário. Foi o Pero, iz o rlos. O Mário não tem rzão, iz o Pero. Só um eles mentiu. Quem não pgou entr o museu? ) Mário ) Pero ) enjmim D) rlos E) não é possível ser, pois fltm os 5. Os 61 provos em um concurso, cujs nots form tos istints, form istriuíos em us turms, e coro com not oti no concurso: os 1 primeiros form colocos n Turm e os 0 seguintes n Turm. s méis s us turms no concurso form clculs. Depois, no entnto, eciiu-se pssr o último coloco Turm pr Turm. om isso: ) méi turm melhorou, ms piorou. ) méi turm piorou, ms melhorou. ) s méis e ms s turms melhorrm. D) s méis e ms s turms piorrm. E) s méis s turms poem melhorr ou piorr, epeneno s nots os cnitos. XXII Olimpí rsileir e Mtemátic Primeir Fse

2 6. No triângulo represento o lo, mei o ângulo ˆ é 60 e issetriz o ângulo ˆ form 70 com ltur reltiv o vértice. mei o ângulo  é: ) 50 ) 0 ) 40 D) 80 E) Se áre o retângulo o é 1, qul é áre figur somre? ) ) 4 ) 5 D) 6 E) 8 8. lerto, etriz e rlos correm num pist circulr. Toos sem o mesmo tempo e o mesmo lugr, c um esenvolveno velocie constnte. lerto e etriz correm no mesmo sentio. orreno no sentio oposto, rlos encontr lerto, pel primeir vez, etmente 90 segunos pós o início corri e encontr etriz etmente 15 segunos epois. Quntos segunos são necessários pr que lerto ultrpsse etriz pel primeir vez? ) 105 ) 60 ) 900 D) E) não poe ser etermino 9. DEFG é um quro no eterior o pentágono regulr DE. Qunto mee o ângulo EÂF? ) 9 o ) 1 o ) 15 o D) 18 o E) 1 o 10. Quntos são os números inteiros e lgrismos que são iguis o oro o prouto e seus lgrismos? ) 0 ) 1 ) D) E) Escrevem-se, em orem crescente, os números inteiros e positivos que sejm múltiplos e 7 ou e 8 (ou e mos), oteno-se 7, 8, 14, 16,. O 100 número escrito é: ) 406 ) 76 ) 9 D) 84 E) Um ci contém 900 crtões, numeros e Retirm-se o cso (sem reposição) crtões ci e notmos som os seus lgrismos. Qul é menor quntie e crtões que evem ser retiros ci, pr grntirmos que pelo menos três ests soms sejm iguis? ) 51 ) 5 ) 5 D) 54 E) Se e y são números reis positivos, qul os números seguir é o mior? y ) y ) + y ) ( + y) D) + y( + y) E) y 14. N figur, s istâncis entre ois pontos horizontis consecutivos e s istâncis entre ois pontos verticis consecutivos são iguis 1. região comum o triângulo e o quro tem áre: ) ) 16 ) D) 1 14 E) 15 XXII Olimpí rsileir e Mtemátic Primeir Fse

3 1 15. Sejm e números reis positivos tis que < 1. Então 1 ) é igul + 1. ) é igul. ) é menor que. D) é mior que ms menor que 1. E) poe ser mior que Em um jogo e us pessos, os jogores tirm, lternmente, 1,,, 4 ou 5 plitos e um pilh que inicilmente tem 1000 plitos. Gnh o jogor que tirr o último plito pilh. Quntos plitos o jogor que começ eve tirr n su jog inicil e moo ssegurr su vitóri? ) 1 ) ) D) 4 E) Quntos são os retângulos que têm os pontos e como vértices, e cujos vértices estão entre os pontos e interseção s 9 rets horizontis com s 9 rets verticis figur io? ) ) 4 ) 7 D) E) O emir el zir ficou fmoso por vários motivos. Ele teve mis e 9 filhos, incluino muitos gêmeos. De fto, o historior hme firm, num e seus escritos, que toos os filhos o emir erm gêmeos uplos, eceto 9; toos erm gêmeos triplos, eceto 9; toos erm gêmeos quáruplos, eceto 9. O número e filhos o emir é: ) 75 ) 48 ) 51 D) 78 E) De Itcimirim Slvor, pel estr o oco, são 60 km. Às 11 hors, 15 km e Slvor, á-se um ciente que provoc um engrrfmento, que cresce à velocie e 4 km/h, no sentio e Itcimirim. que hors, proimmente, evemos sir e Itcimirim pr chegr Slvor o meio-i, seno que vijmos 60 km/h, eceto n zon e engrrfmento, one velocie é 6 km/h? ) 10h4min ) 10h17min ) 10h48min D) 10h5min E) 11h01min 0. olocmos em orem crescente os números escritos ns css rncs o tuleiro seguir (estmos mostrno pens s sus qutro primeirs linhs). ssim, por eemplo, o nono número noss list é 14. Qul é o 000 o número noss list? ) 91 ) 9 ) 95 D) 97 E) 99 XXII Olimpí rsileir e Mtemátic Primeir Fse

4 GRITO Seguno Nível (7. e 8. séries) 1) D 6) D 11) E 16) D ) 7) D 1) 17) E ) 8) 1) 18) 4) 9) 14) D 19) 5) 10) 15) D 0) D RESUMO DS SOLUÇÕES 1. D.-Vej solução o prolem 17 o Nível Vej solução o prolem 11 o Nível Vej solução o prolem 10 o Nível Vej solução o prolem 15 o Nível Vej solução o prolem 18 o Nível D.- Temos J H J Logo, 180 (60 40 ) J I 7. D.- Vej solução o prolem 6 o Nível 1. H Sejm v, v e v s velocies e lerto, etriz e rlos, respectivmente, e sej o comprimento pist. O tempo necessário pr que lerto lcnce etriz é t. Por outro lo, temos 90 e 105. ssim, v v, v v v v v v v v e, portnto, v v. Logo, o tempo peio é t 60 segunos G D F E o (5 )180 Lemrno que o ângulo interno e um pentágono regulr é igul = 108 o, temos que ÊF = 60 o o o o 90 o = 16 o. omo o triângulo EF é isósceles com E = EF, temos EÂF = = 9 o 10.- Sej () 10 um inteiro e ois lgrismos. Devemos ter 10 + = ( 1)( 5) = 5. omo e são inteiros com > 0 e 0 9, temos que 1 > 0 e ssim, 1 = 5 e 5 = 1 = e = 6. Logo o único inteiro stisfzeno s conições o enuncio é E.- Vej solução o prolem 19 o Nível 1. XXII Olimpí rsileir e Mtemátic Primeir Fse

5 1..- Eistem 7 possíveis resultos pr som os lgrismos (1 7). s soms 1 e 7 só poem ser otis e um moo c (100 e 999, respectivmente). ssim, no cso mis esfvorável, retirrímos crtões, e um s soms precerá pel terceir vez no próimo crtão. Portnto precismos e no mínimo 5 crtões. y 1..- Temos ( y) 0 y y y. ssim, como y > 0, y y 14. D.- y y y y y G y y F y ( y) y y ( y ) D E 1 Temos que E ~ FGE 1 =. Logo = 1 =. Temos tmém que D ~ D 1/ E D =. Logo áre o triângulo D é = e portnto áre esej é / = D.- omo, > 0, temos 1 <. Portnto, como < + 1 < < + < +, temos que é mior que ms menor que e 16. D.- Vej solução o prolem 16 o Nível E.- O segmento poe ser um os los o retângulo. Há 4 retângulos que poem ser construíos com ess propriee. Se o segmento for um igonl o retângulo poemos construir pens um retângulo, totlizno 5 possiilies Vej solução o prolem 14 o Nível Sej t o número e hors que evemos sir ntes s 11h pr chegr em Slvor o meio-i e T o tempo psso, em hors, té entrrmos no congestionmento. ssim, ntes e chegr o congestionmento nmos 60(t + T) km. Em segui, evemos pssr por um congestionmento e etensão 4T pr epois e 15 km chegrmos Slvor. ssim, 60(t + T) + 4T + 15 = 60 60t + 64T = 45. ssim, pssmos t + T hors ntes o congestionmento, emormos 4T/6 = T/ hors no congestionmento e pssmos mis 15/60 = ¼ e hor té chegrmos Slvor. Devemos ter 1 + t = t + T + T/ + ¼ T = 9/0 h. Logo 60t = /0 = 16, min e portnto evemos sir proimmente às 10h4min. 0. D.- Ns n primeirs linhs, temos (n 1) = n números, os quis n = n( n 1) estão em css rncs. omo 000, temos que o 000 o número está n linh. omo = 195, concluímos que o número procuro é o (( ) 1) o = 9 o número est linh. Enfim, como o último termo 6 linh é 6 = 844, temos que o número procuro é = 97. XXII Olimpí rsileir e Mtemátic Primeir Fse