. Logritmos Inicilmente vmos trtr dos ritmos, um ferrment crid pr uilir no desenvolvimento de cálculos e que o longo do tempo mostrou-se um modelo dequdo pr vários fenômenos ns ciêncis em gerl. Os ritmos precem n resolução de equções eponenciis com potêncis de bses diferentes, como equção = 5. Pr resolver equções deste tipo os métodos já estuddos não são dequdos: precismos do uílio dos ritmos. Definição Sejm e b números reis positivos, com. Chm-se ritmo de b n bse o epoente que se deve dr à bse pr que o resultdo obtido sej igul b. Simbolicmente, pr, b + * e tem-se b = = b Observção 7. Lemos ritmo de b n bse é igul se e somente se elevdo é igul b. A bse é, o ritmndo é b e o ritmo é. Observção 8. Decorre diretmente d definição que b = b. Eemplos ) 8 = pois = 8 4) 9 = pois = = 9 5) 7 = 0 0 pois 7 = Note que qundo o ritmndo for, o ritmo será zero (vej definição de potênci com epoente zero). Eercícios resolvidos 6) Encontre 0,5 Chmmos 0,5 =. Então, por definição, ( ) 0, 5 =. Como 0,5 4 = =, temos
( ) 5 =. Resolvendo equção eponencil obtemos 5 = 5 =. Assim, 5 0,5 =. 7) Clcule 0,045 Pr clculr 0,04 5 fzemos 5 = 5 e utilizmos definição de ritmo: 0,04 5 0, 04 5 5 5 5 5 5 = ( ) = = ( ) = = = = 5 Assim, 0,045 =. 8) Se m = k, determine o vlor de 8 m. Sej o vlor de 8 m, isto é, 8 m =. Pel definição de ritmo temos Logo, ( ) m = k k = m e 8 k k k k 8 k = = = = =. m = 8 = m. Proprieddes dos ritmos Pr, b, c + * e vlem s seguintes proprieddes: L) O ritmo d unidde em qulquer bse é igul zero. Simbolicmente, 0 =. Demonstrção. Decorre diretmente d definição de ritmo e de potênci com epoente zero: 0 = pois L) = 0 * + Demonstrção. = pois L) b = c b = c =,, * + =,,
Demonstrção. c } L b = c = b c = b L4) ( b. c) = b + c Demonstrção. Fzemos b = = b y c = y = c z ( b. c) = z = b. c b =, c = y e ( b. c ) = z. Então z y y Substituindo, temos = b. c =. = + z y. Logo, = + e z = + y, como querímos demonstrr. b L5) b c = c Demonstrção. Deimos como eercício (vej demonstrção nterior) α L6) b = α. Demonstrção. Fzemos b = = b b α y α b = y = b substituindo, ( ) y α α y α = = =. L7) (Mudnç de bse) Pr c tem-se α b =, b = y ; vmos provr que α = y. De fto, c b b =. Demonstrção. Deimos como eercício (vej s demonstrções nteriores). c Observção 9. A propriedde 7 é utilizd qundo temos ritmos em bses diferentes; você deve ter notdo que ns proprieddes bse é sempre mesm. Logo, pr utilizr s proprieddes com ritmos em bses diferentes, é necessário convertê-los pr um bse conveniente. As proprieddes L8 e L9 são um conseqüênci d mudnç de bse. L8) Pr e b números reis positivos, diferentes de, tem-se b =. Demonstrção É conseqüênci d propriedde L7. Deimos como eercício. b
L9) Pr e b números reis positivos com e pr β um número rel não nulo, tem-se β b = b. β Demonstrção Tmbém é conseqüênci de L7; deimos como eercício. Observção 0: Denotmos por ln o ritmo de n bse e, isto é, e = ln. Observção : Qundo bse do ritmo é 0, o ritmo é chmdo deciml e muitos utores denotm simplesmente, sem escrever bse: 0 =. Eercício resolvido 9) Clcule A = 5.4 7.5 Inicilmente observe que 7 = = ; tmbém 4 4 4 5 = 5 = 5 (propriedde L7). Então A = 5.4 7.5 = 5.. 4. 5 = 5. 4. 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vmos fzer um mudnç de bse, colocndo todos os ritmos em bse (L8): = = = = e 4 4 4 Assim, 5 A = ( 5 ).. =. = 5 8 5 8 = = = 5 5 5 5 4. A função rítmic Vimos n Observção 6 que função ] [ número rel positivo f : 0, +, f ( ) = é inversível pr todo, isto é, eiste um função : ] 0, [ g + tl que
f o g = g o f = Id. Est função g é função rítmic de bse, que cd número rel positivo ssoci o número rel. Definição Sej um número rel positivo,. A função rítmic de bse é invers d função eponencil de bse, : ] 0, [ g +, g( ) =. Considerções sobre definição ) A função eponencil e função rítmic são invers um d outr, desde que tomemos o conjunto ] 0, + [ como contrdomínio d função eponencil e como domínio d função rítmic. Tmbém deve estr estbelecido um número rel positivo como bse. Assim, chmndo f função eponencil (de bse ) f ( ) = e g função rítmic (tmbém de bse ) g( ) =, temos: f ] 0, [ + g g o f :, ( g o f )( ) = g( f ( )) = f ( ) = =. =. =. g o f é função identidde no conjunto. Por outro ldo, tmbém temos: ] 0, + [ ] 0, + [ g ] [ f o g : 0, +, f f ( ) ( )( ) ( ( )) g f o g = f g = = =. o g é função identidde no conjunto ] 0, + [. ) A função rítmic é bijetor, um vez que dmite invers. De fto, : ] 0, [ g +, g( ) = (i) é injetor pois: se, ] 0, [ + e g g ( ) = ( ), temos = = = (lembre-se d Observção 8). (ii) é sobrejetor pois: se y y, eiste, =, tl que y y g( ) = g( ) = = y. = y.
) A que epoente deve-se elevr 0 pr obter 000? A respost est pergunt é, um vez que 0 = 000. Ms qul deve ser o epoente de 0 pr obtermos 5? Neste cso respost é 5 5 (bse 0), já que pel considerção nterior temos 0 = 5. Um clculdor científic (que clcul os ritmos decimis) nos dá um proimção deste número, que é um número irrcionl: 5,9794000867. Você pode usr clculdor pr encontrr s proimções dos ritmos em outrs bses, utilizndo 5 propriedde d mudnç de bse. Por eemplo: 5 =,9809489. Lembre- se que este número é um proimção! 4) Note que o domínio d função rítmic é o conjunto ] 0, + [. Isto signific que só podemos encontrr g( ) = pr vlores positivos de, e tmbém pr vlores positivos de. Proprieddes d função rítmic g : 0, +, +,, g( ) = em tods s proprieddes que Considermos ] [ * seguem. As três primeirs proprieddes já form demonstrds como proprieddes dos ritmos, e constituírm-se n motivção principl e originl pr o desenvolvimento dos ritmos como um instrumento de cálculo no século XVII. Como você pode ver, os ritmos trnsformm produtos em soms e potêncis em produtos, fcilitndo o cálculo com grndes números (n Astronomi, por eemplo); se fosse preciso multiplics dois números com muitos lgrismos ou muits css decimis, tomv-se som dos ritmos destes números usndo um tbel (chmds tábus de ritmos), e este vlor seri o ritmo do produto; com o uílio d tbel recuperv-se o produto desejdo. Com o precimento d clculdor no século XX, este procedimento se tornou obsoleto. As tenções então form voltds pr função rítmic, que é de etrem importânci em Mtemátic e em sus plicções. FL) g(. y) = g( ) + g( y),, y ] 0, + [
FL) Se α, g( α ) = α. g( ),, y ] 0, + [ = + y FL) g g( ) g( y),, y ] 0, [ FL4) g é crescente se > e é decrescente pr 0 < < Demonstrção Suponhmos > ; sejm, ] 0, [ + tis que <. Como e estão n imgem d função eponencil f de bse, eistem y, y tis que f ( y) = e f ( y) =. y Conseqüentemente, y =, y = y e <. Como função f é crescente pr >, devemos ter y < y (pois se y < y terímos <, o que não contece). Assim, um vez que g( ) = y e g( ) = y ( função rítmic é invers d função eponencil), temos g( ) < g( ) e g é crescente. Fç um demonstrção ná pr o cso 0 < <. FL5) Se >, então Se 0 < < então Demonstrção < 0 se 0 < < > 0 se > > 0 se 0 < < < 0 se > É um conseqüênci diret d FL5. Fç como eercício. Eercícios resolvidos 0) Determine o domínio d função g( ) = ( ) Lembrndo considerção 4, devemos ter > 0 < < Então o domínio d função é o conjunto,. Observção. Note que função g é compost ds funções h( ) = e t( ) =. De fto, g( ) = ( h o t)( ) = h( t( )) = t( ) = ( ). A determinção
do domínio é conseqüênci ds considerções que fizemos no Cpítulo 4 sobre eistênci d função compost. Funções composts do tipo g( ) = s( ) com s( ) um função rel de vriável rel serão muito utilizds n disciplin de Cálculo. ) Se g( ) = ln, clcule o vlor de A função rítmic está n bse e; temos g e g (e ). (e ) =. g(e) =.ln =.ln e = ( )..ln e = Gráfico d função rítmic Pr fzer o gráfico de g( ) = podemos usr o conhecido gráfico de su invers f ( ) = : eles serão simétricos em relção à bissetriz do primeiro qudrnte. Eventulmente, você pode mrcr lguns pontos usndo clculdor. Fremos como primeiro eemplo g( ) =, usndo su invers f ( ) =.
Eemplo ) Fzer o gráfico d função g( ) = usndo su invers f ( ) = Observção. É importnte conhecer o specto dos gráficos ds funções eponencil e rítmic, distinguindo os csos > e 0 < <. Eercícios propostos ) Determine o domínio ds funções + ) f ( ) = ( + ) ( 5 + ) b) g( ) = 5 ) Esboce o gráfico ds funções: ) g( ) = b) h( ) = c) f ( ) = ) Determine os vlores de K pr que o domínio d função f dd por f ( ) = ( + K + K) sej o conjunto dos números reis.
Equções rítmics D mesm form que utilizmos s proprieddes d função eponencil pr resolver s equções eponenciis, podemos utilizr função rítmic pr resolver s equções rítmics. Fremos eemplos dos três tipos clássicos dests equções. o ) Equção do tipo h( ) = k( ), com h( ) e k( ) funções reis de vriável rel. É equção que present um iguldde entre dois ritmos de mesm bse. Su resolução está bsed no fto d função rítmic ser injetor. ) 4( + ) = 4( + 5) Como função rítmic é injetor, concluímos que + = + 5 (). Resolvendo est equção obtemos =. Ms não podemos esquecer que o domínio d função rítmic é o intervlo ] 0, + [, isto é, devemos ter + > 0 e + 5 > 0. Isto signific que solução d equção deve pertencer à intersecção dos conjuntos soluções dests dus inequções. Resolvendo s inequções, obtemos (i) + > 0 >,, A = + (ii) 5 5 + 5 > 0 >, A =, + A = A A =, + Como o vlor encontrdo = pertence o intervlo equção é S = { }., +, o conjunto solução d Observção 4. Os livros didáticos ensinm substituir solução d equção + = + 5 ns epressões + e + 5. Se resultr um número positivo em mbos os csos, solução d equção + = + 5 é solução d equção rítmic. Este procedimento está correto e torn mis eficiente resolução. No entnto, não podemos esquecer o motivo que lev este procedimento, isto é, o fto do domínio d função
rítmic ser o intervlo ] 0, + [ ; este procedimento verific o sinl ds funções h( ) = + e k( ) = + 5 em =. Vej outr resolução usndo este procedimento: ) (5 4 + ) = (4 4 0) 5 4 + = 4 4 0 0 + = 0 Rízes: = 7 e =. Substituindo estes vlores em h( ) = 5 4 + e k( ) = 4 4 0, obtemos (note que h(7) = k(7) e h() = k() ): h h (7) k(7) 5.7 4.7 48 0 = = + = > (7 serve!) () k() 5. 4. 4 0 = = + = > ( tmbém serve!) Assim, s dus rízes encontrds são soluções d equção rítmic: S = {,7}. Eercícios propostos Resolv s equções do primeiro tipo: 4) (5 ) = ( 8) Respost: S = 5) ( 0) = ( ) Respost: S = { } 5 5 o ) Equção do tipo h ( ) = α É equção que result d iguldde entre um ritmo e um número rel. Su resolução é bsed n definição de ritmo. 4) 5(4 ) = Pel definição de ritmo temos que 4 = 5 4 = 5 4 = 8 = 7 Como devemos ter 4 > 0 (pels mesms considerções feits no eemplo ), e 4.7 = 5 > 0, = 7 é solução d equção: S = {7}. Eercícios propostos Resolv s equções do segundo tipo: 6) = Respost: S = {4, } ( ) 7) ( 9 + 4) = Respost: S = 5,
8) ( 4 ) 4 + = Respost: S = { +, } o ) Equções que utilizm incógnit uilir É equção que fz uso de um mudnç de incógnit (ou mudnç de vriável) pr obter um equção já conhecid. 5) ( ) = Fzendo = y, temos um equção do segundo tipo: y =. Resolvendo est equção obtemos y =. Substituindo y em = y temos novmente um equção do segundo tipo, =. Resolvendo est equção obtemos = = 8. Logo, S = {8}. 6) ( ) = 5 5 Fzendo 5 = y, temos y y y y = = 0. Resolvendo equção do segundo gru obtemos s rízes y = e y =. Substituindo y = em 5 = y, obtemos equção 5 =, cuj solução é = 5 = 5. Substituindo y = em 5 = y obtemos equção 5 =, cuj solução é = 5 =. Assim, 5 S = 5, 5. Eercícios propostos Resolv s equções do terceiro tipo: + 9) + = + Respost: 0) ( ).( ) = 6 Respost: ) ( ) = 4. Respost: S = 9 S = 000, 00 S =,00, 00 Observção 5. Os três tipos de equção que cbmos de estudr podem ser combindos com s proprieddes dos ritmos pr resolver outros vários tipos de equções. Vmos fzer mis lguns eemplos.
7) Resolver equção ( + ) = Note que incógnit prece n bse, que deve ser um número positivo e diferente de, isto é, > 0 e. Usndo definição de ritmo temos: + = = 0 Resolvendo equção do segundo gru obtemos s rízes = e =. Como deve ser positivo (e diferente de ), descrtmos riz =. Assim, = é solução: S = {}. 8) Resolver equção + = Note qui que incógnit prece tnto n bse como no ritmndo; devemos ter > 0 e. Como são ritmos de bses diferentes, não podemos usr propriedde do produto (L4). Vmos então fzer um mudnç de bse (L7): = = (note que 0 pois ) Substituindo n equção temos + =, que é um equção do terceiro tipo. Fzendo = y, y 0, ficmos com equção + y y y y y 0 + = = + =, cujs rízes são y = y =. Substituindo y y y y = em = y, obtemos equção = = =. Logo, S = {}. 9) Resolver equção = + + 0 Note que neste cso todos os ritmos estão n mesm bse 0. Fzendo = ficmos com equção 0
= + + 0 0 Usndo propriedde do produto (L5), obtemos = 0. + 0 e est é um equção do primeiro tipo. Assim, = 0. + = 0 + 0 = 0 0 Resolvendo equção do segundo gru encontrmos s rízes = e =. Verificmos que mbs rízes são solução d equção rítmic (por que?). Logo, S = {, }. 0) Resolver equção ( + ) ( ) = 4 Inicilmente note que + > 0 > e > 0 >. Fzendo intersecção ds dus condições obtemos >. A solução que estmos procurndo deverá pertencer o conjunto, +. + Usndo propriedde do quociente (L5), podemos escrever = 4 um equção do segundo tipo. Então, que é 4 + 4 + 9 = = 48 = + 9 = 50 = 50 Como 9 = 0,58 <,5 =, o vlor 9 50 50 não pertence o intervlo, + conseqüentemente não é solução d equção rítmic. Logo, S =. e Eercícios propostos
Resolver s equções: ) = ) + ( + ) =. 5 + 6 + + = 4) 4 ( + ) ( 6) = ( 5) 5) 6) 9. = 7) ( 5 + ) = Tref de Pesquis Sbemos que s funções eponenciis e rítmics são modelos úteis pr o estudo d concentrção de um solução, do cálculo de um cpitl juros fios ou d desintegrção rdiotiv. Pesquise nos livros didáticos eemplos dests plicções. Bibliogrfi. Iezzi, D. et ll Coleção Fundmentos d Mtemátic Elementr, Volume. Atul Editor, São Pulo, 996. Lim, E.L. et ll A Mtemátic do Ensino Médio, Volume. SBM, Rio de Jneiro, 004.. Lopes, L. Mnul ds Funções Eponenciis e Logrítmics. Editor Interciênci, Rio de Jneiro, 999