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1 Cálculo das Probabldades e Estatístca I Prof. Dr. Eufráso de Adrade Lma Neto Departameto de Estatístca eufraso@de.ufpb.br Ste do Curso: eufraso/cpe Carga horára: 6 horas Crédtos: 4 Emeta Cocetos Fudametas. Dstrbução de Frequêca. Tabelas e Gráfcos. Meddas de Posção e Dspersão. Itrodução à Probabldade. Varáves Aleatóras Udmesoas. Esperaça Matemátca. Dstrbuções Dscretas e Cotíuas. Noções Elemetares de Amostragem. Estmação Potual. Itervalos de Cofaça e Testes de Hpóteses. Correlação e Regressão. Descrção Esta dscpla servrá de apoo ao Egehero o processo de tomada de decsão. Ao logo do curso o aluo será apresetado a um leque de métodos estatístcos, descrtvos e ferecas, com o tuto facltar a mapulação e aálse de dados. Coteúdo Programátco Cocetos Báscos de Estatístca Fases do Expermeto Estatístco Estatístca Descrtva Meddas Estatístcas Espaço Amostral e eveto Probabldade Probabldade em Espaços Amostras Ftos Probabldade Codcoal Idepedêca de Evetos Varáves Aleatóras Dscretas e Cotíuas Esperaça e Varâca Expermetos Bomas e a Dstrbução Bomal Dstrbução Normal Dstrbuções Amostras da Méda e da Proporção Estmação de Parâmetros Itervalos de Cofaça para a Méda Populacoal Itervalo de Cofaça para uma Proporção Populacoal Testes de Hpóteses para a Méda Populacoal Testes de Hpóteses para uma Proporção Populacoal Correlação e Regressão

2 Udade I: Os Aálse de Dados Estatístcos. Stuado a Temátca A Estatístca é cosderada por algus autores como Cêca o setdo do estudo de uma população. É cosderada como método quado utlzada como strumeto por outra Cêca. A palavra estatístca frequetemete está assocada à magem de aglomeração de úmeros, dspostos em uma mesa varedade de tabelas e gráfcos, represetado formações tão dversas quato ascmetos, mortes, taxas, populações, redmetos, débtos, crédtos, etc. Isto é devdo ao uso comum da palavra estatístca como sômo de dados, como, por exemplo, quado falamos das estatístcas de uma eleção, estatístcas da saúde, estatístcas de acdete de trâsto ou as estatístcas de acdetes de trabalho. No setdo modero da palavra, estatístca lda com o desevolvmeto e aplcação de métodos para coletar, orgazar, aalsar e terpretar dados de tal modo que a seguraça das coclusões baseada os dados pode ser avalada objetvamete por meo de proposções probablístcas. O propósto da estatístca ão é exclusvo de qualquer cêca solada. Ao cotráro, a estatístca forece um cojuto de métodos útes em toda área cetífca ode haja a ecessdade de se coletar, orgazar, aalsar e terpretar dados. Estes métodos podem ser usados tão efcazmete em farmacologa como em egehara, em cêcas socas ou em físca.. Problematzado a Temátca Ao estudarmos feômeos aturas, ecoômcos ou bológcos tas como, a precptação de chuvas em uma determada regão, a evolução da taxa de flação em uma regão metropoltaa, a fluêca das marés o desevolvmeto de amas marhos, etc., estamos ldado com expermetos cujos resultados ão cohecemos e desejamos saber se as hpóteses que afrmamos são verdaderas, sto é, se os feômeos estão ocorredo como esperávamos. Para sto, é ecessáro que os dados orudos das observações possam os dar formações claras e precsas. Estes dados devem ser orgazados de forma adequada para podermos fazer uma aálse crítca e fudametada do feômeo. A partr de agora você está covdado a partcpar de uma experêca que cosste em obter um cojuto de dados, represetá-lo em dstrbuções de frequêca e apresetá-lo através de tabelas e gráfcos. Verá como algumas meddas estatístcas podem os auxlar esta aálse e como utlzá-las. 3. Cohecedo a Temátca 3. Cocetos Báscos de Estatístca Podemos cosderar a Estatístca como um cojuto de métodos e processos quattatvos que serve para estudar e medr os feômeos coletvos. A estatístca teve acelerado seu desevolvmeto a partr do século XVII, através dos estudos de BERNOULLI, FERMAT, PASCAL, LAPLACE, GAUSS, GALTON, PEARSON, FISHER, POISSON e outros que estabeleceram suas característcas essecas. A Estatístca tem como OBJETIVO o estudo dos feômeos coletvos. A Estatístca é a cêca que trata da coleta, do processameto e da dsposção dos dados. Objetvado o estudo quattatvo e qualtatvo dos dados (ou formações), obtdos os város campos da atvdade cetífca, a Estatístca mapula dos cojutos de dados fudametas: a "população" e a "amostra". População (ou Uverso) É o cojuto dos seres, objetos ou formações que teressam ao estudo de um feômeo coletvo segudo alguma(s) característca(s). É, portato, um cojuto defdo de formações relatvas a qualquer área de teresse, podedo, quato ao úmero de elemetos, ser: fta (tamaho N) ou fta. Na maora das vezes ão é coveete, ou mesmo possível, realzar o levatameto dos dados referetes a todos os elemetos de uma população. Portato, aalsamos parte da população, sto é, uma amostra.

3 Amostra É um subcojuto ão vazo ou parte da população. Duas cosderações devem ser fetas sobre o estudo amostral dos feômeos. Uma dz respeto aos cudados que se deve tomar para assegurar que a amostra seja represetatva da população. Para ateder a essa exgêca, deve-se selecoar os elemetos de forma aleatóra, de modo que todo e qualquer elemeto da população teha a mesma chace de partcpar da amostra, a outra dz respeto à precsão dos dados coletados, buscado mmzar os erros que poderam duzr a coclusões equvocadas. O úmero de elemetos de uma amostra é chamado o tamaho da amostra, e deotado por. Defção.: Parâmetro Uma característca umérca estabelecda para toda uma população é deomada parâmetro. São valores, geralmete descohecdos (e que portato têm de ser estmados), que represetam certas característcas da população. Defção.: Estmador É uma característca baseada em observações amostras e usada para dcar o valor de um parâmetro populacoal descohecdo. Defção.3: Estmatva O valor umérco assumdo pelo estmador uma determada amostra é deomada estmatva. Exemplo.: No feômeo coletvo eleção para retor da UFPB, a população é o cojuto de todos os eletores habltados a Uversdade. Um parâmetro é a proporção de votos do caddato A. Uma amostra pode ser um grupo de 3 eletores selecoados em toda a UFPB. Um estmador é a proporção de votos do caddato A obtda a amostra. O valor resultate do estmador, a proporção amostral, é a estmatva. Processos Estatístcos de Abordagem Quado solctados a estudar um feômeo coletvo podemos optar etre os segutes processos estatístcos: a) CENSO - avalação dreta de um parâmetro, utlzado-se todos os compoetes da população. Etre as prcpas característcas de um Ceso, podemos destacar: admte erro processual zero e tem cofabldade %, caro, leto e quase sempre desatualzado. Nem sempre é vável. b) AMOSTRAGEM (INFERÊNCIA) - avalação dreta de um parâmetro, com base em um estmador através do cálculo das probabldades. Etre as prcpas característcas, podemos destacar: admte erro processual postvo e tem cofabldade meor que %, é barata, rápda e atualzada. É sempre vável. Dados Estatístcos Normalmete, o trabalho estatístco, o pesqusador se vê obrgado a ldar com grade quatdade de valores umércos resultates de um ceso ou de uma amostragem. Estes valores umércos são chamados dados estatístcos. No setdo da dscpla, a Estatístca esa métodos racoas para a obteção de formações a respeto de um feômeo coletvo, além de obter coclusões váldas para o feômeo e também permtr tomada de decsões, através dos dados estatístcos observados. Desta forma, a estatístca pode ser dvdda em duas áreas: Estatístca Descrtva e Estatístca Iferecal. Estatístca Descrtva É a parte da Estatístca que tem por objetvo descrever os dados observados. A Estatístca Descrtva, a sua fução de descrção dos dados, tem as segutes atrbuções: A obteção dos dados estatístcos; A orgazação dos dados; A redução dos dados; A represetação dos dados e A obteção de algumas formações que auxlam a descrção do feômeo observado. 3

4 A obteção ou coleta dos dados é ormalmete feta através de um questoáro ou de observação dreta de uma população ou amostra. A orgazação dos dados cosste a ordeação e crítca quato à correção dos valores observados, falhas humaas, omssões, abadoo de dados duvdosos, etc. A redução dos dados evolve o etedmeto e a compreesão de grade quatdade de dados através de smples letura de seus valores dvduas é uma tarefa extremamete árdua e dfícl mesmo para o mas expermetado pesqusador. A represetação dos dados compreede de téccas para uma melhor vsualzação dos dados estatístcos, facltado sua compreesão. Por exemplo, os gráfcos, quado bem represetatvos, toram-se mportates strumetos de trabalho. É ada atrbuto da Estatístca Descrtva a obteção de algumas formações que sumarzam os dados, facltado a descrção dos feômeos observados. Estatístca Iferecal (ou Idutva) É a parte da Estatístca que tem por objetvo obter e geeralzar coclusões para a população a partr de uma amostra. Complemetado o processo descrtvo, a Estatístca Idutva estuda parâmetros a partr do uso de estmadores usado o cálculo das probabldades, elemeto este que vablza a Iferêca Estatístca. Dados ou Varáves Estatístcas As formações ou dados característcos dos feômeos ou populações são deomados varáves estatístcas ou smplesmete varáves. Coforme suas característcas partculares, podem ser classfcadas da segute forma: Quattatvas - São aquelas que podem ser expressas em termos umércos. Em geral são as resultates de medções, eumerações ou cotages. São subdvddas em cotíuas e dscretas, coforme abaxo: o Cotíuas - são aquelas que podem assumr qualquer valor um certo tervalo de medda, podedo ser assocados ao cojuto dos úmeros reas, ou seja, é um cojuto ão eumerável. Etre outras, equadram-se esta categora as meddas de tempo, comprmeto, espessura, área, volume, peso, velocdade, dosagem de hemogloba o sague, cocetração de flúor a água oferecda à população, etc. o Dscretas - quado só podem assumr determados valores um certo tervalo, ou seja, é um cojuto fto ou eumerável. Em geral, represetam úmeros teros resultates de processo de cotagem, como o úmero de aluos por sala, de crédtos por dscplas, de pacetes ateddos daramete um hosptal, etc. De modo geral, as medções dão orgem a varáves cotíuas e as cotages ou eumerações, a varáves dscretas. Desgamos estas varáves por letras latas, em geral, as últmas: X, Y, Z. Qualtatvas - Nem sempre os elemetos de uma população são exclusvamete cotáves. Mutas vezes, eles podem ser qualfcados também segudo algumas de suas característcas típcas. Nesses casos, as varáves podem ser agrupadas em omas ou ordas (por postos) o Nomas - quado puderem ser reudas em categoras ou espéces com dêtcos atrbutos. Aqu se cluem os agrupametos por sexo, área de estudo, desempeho, cor, raça, acoaldade e relgão. o Ordas - quado os elemetos forem reudos segudo a ordem em que aparecem dspostos uma lsta ou rol. São típcas desta forma de agrupameto, varáves como classe socal, grau de strução, etre outras. Em geral, uma mesma população pode ser caracterzada por mas de um tpo de varável. Assm, os scrtos um vestbular, por exemplo, podem ser cotados, meddos ou pesados, podem ser agrupados segudo o sexo ou área de estudo e podem ada ser classfcados segudo as otas obtdas as provas prestadas. 3. Fases do Expermeto Estatístco Em lhas geras, podemos dstgur o método estatístco as segutes etapas: 3.. Plaejameto É o trabalho cal de coordeação o qual defe-se a população a ser estudada estatstcamete, formulado-se o trabalho de pesqusa através da elaboração de questoáro, etrevstas, etc. A orgazação do plao geral mplca em obter respostas para uma sére tradcoal de pergutas, ates mesmo do exame das formações dspoíves sobre o assuto, pergutas que procuram justfcar a ecessdade efetva da pesqusa, a saber: 4

5 - "quem", "o que", "sempre", "por que", "para que", "para quado". Imagemos, por exemplo, que o Govero do Estado teha ecessdade de obter formações acerca do desempeho em Matemátca dos estudates matrculados a rede públca de eso. O prmero trabalho da equpe ecarregada da pesqusa, será evdetemete, o de obter respostas para aquelas pergutas. Seram etão: - Quem deseja as formações? - O que devemos pergutar o questoáro? - A pesqusa será peródca ou ocasoal? Será executada sempre? - Por que desejam as formações? - Quado deverá estar cocluída a pesqusa? - Qual a época oportua para a aplcação dos questoáros? - Para que desejam as formações? Ada a fase do plaejameto, temos: O exame das formações dspoíves: trabalho cal de coleta de trabalhos ou publcações sobre o assuto, obtedo-se relatóros sobre atvdades semelhates ou correlatas; A Defção do Uverso, sto é, saber qual o cojuto a ser pesqusado, dstrbudo, classfcado ou agrupado os elemetos desse cojuto em subpopulações, para permtr um trabalho mas fácl, mas lógco, mas racoal; O tpo de levatameto, Ceso ou Amostragem, deverá ser decddo com a devda atecedêca e a ecessára aálse das vatages e desvatages de um e de outro, em vrtude do custo facero e do prazo determado para a coclusão do trabalho. 3.. Coleta de Dados Após cudadoso plaejameto e a devda determação das característcas mesuráves do feômeo coletvamete típco que se quer pesqusar, damos íco à coleta dos dados umércos ecessáros à sua descrção. A coleta dos dados poderá ser feta de dversas formas. A deal é aquela que maxmza os recursos dspoíves, dados os objetvos e a precsão prevamete estpulados. No seu plaejameto, deve-se cosderar o tpo de dado a ser coletado, o local ode este se mafestará, a frequêca de sua ocorrêca, e outras partculardades julgadas mportates. Quado os dados se referrem ou estverem em poder de pessoas, sua coleta poderá ser realzada medate respostas a questoáros prevamete elaborados. Esses questoáros podem ser evados aos etrevstados para devolução posteror ou podem ser aplcados pelos própros pesqusadores ou por etrevstadores exteros ou cotratados. Os dados ou formações represetatvas dos feômeos ou problema em estudo podem ser obtdos de duas formas: por va dreta ou por va dreta.. Por va dreta - quado feta sobre elemetos formatvos de regstro obrgatóro (p. ex.: fchas o servço de ambulatóro, ascmetos, casametos, óbtos, matrículas de aluos etc.) ou, ada, quado os dados são coletados pelo própro pesqusador através de etrevstas ou questoáros. A coleta dreta de dados, com relação ao fator tempo, pode ser classfcada em:.. Cotíua - também deomada regstro, é feta cotuamete, tal como a de ascmetos e óbtos, etc. Também são do tpo cotíuo o regstro de certas doeças, como câcer, haseíase, tuberculose e também algumas doeças feccosas agudas com faldade de cotrole... Peródca - quado feta em tervalos costates de tempo, como os cesos(de em aos), os balaços de uma farmáca, etc.;.3. Ocasoal - quado feta extemporaeamete, a fm de ateder a uma cojutura ou a uma emergêca, como o caso de epdemas que assolam ou dzmam seres humaos 5

6 . Por va dreta - quado é ferda de elemetos cohecdos (coleta dreta) e/ou cohecmeto de outros feômeos relacoados com o feômeo estudado. Como exemplo, podemos ctar a pesqusa sobre a mortaldade fatl, que é feta através de dados colhdos va coleta dreta Crítca dos Dados Os dados colhdos por qualquer va ou forma e ão prevamete orgazados são chamados de dados brutos. Esses dados brutos, ates de serem submetdos ao processameto estatístco propramete dto, devem ser "crtcados", vsado elmar valores mprópros e erros grosseros que possam terferr os resultados fas do estudo. A crítca é extera quado vsa às causas dos erros por parte do formate, por dstração ou má terpretação das pergutas que lhe foram fetas; é tera quado se observa o materal costtuído pelos dados coletados. É o caso, por exemplo, da verfcação de somas de valores aotados Apuração ou Processameto dos Dados Uma vez assegurado que os dados brutos são cosstetes, devemos submetê-los ao processameto adequado aos fs preteddos. A apuração ou processameto dos dados pode ser maual, eletromecâca ou eletrôca. Os processos e métodos estatístcos a que um cojuto de dados pode ser submetdo serão osso objeto de estudo as seções segutes Exposção ou Apresetação dos Dados Por mas dversa que seja a faldade que se teha em vsta, os dados devem ser apresetados sob forma adequada (tabelas ou gráfcos), torado mas fácl o exame daqulo que está sedo objeto de tratameto estatístco. No caso partcular da estatístca descrtva, o objetvo do estudo se lmta, a maora dos casos, à smples apresetação dos dados, assm etedda a exposção orgazada e resumda das formações coletadas através de tabelas ou quadros, bem como dos gráfcos resultates. Aálse dos Resultados Como já dssemos, o objetvo últmo da Estatístca é trar coclusões sobre o todo (população) a partr de formações forecdas por parte represetatva do todo (amostra). Assm, realzadas as fases aterores (Estatístca Descrtva), fazemos uma aálse dos resultados obtdos, através dos métodos da Estatístca Iferecal, que tem por base a dução ou ferêca, e tramos desses resultados coclusões e prevsões. 3.3 Estatístca Descrtva A Estatístca Descrtva é a parte da estatístca que se ocupa com a coleta, crítca, ordeação e apresetação das formações fudametas à caracterzação e descrção do feômeo que se deseja estudar e terpretar. Aqu se trabalhará com alguma característca otável do objeto de estudo, a qual terá de ser coletada de alguma forma e em algum lugar. Na coleta das formações deve-se cosderar, preferecalmete, toda a população; caso a obteção de dados sobre toda a população (ceso) seja dfícl ou até mesmo mpossível (dado o grade úmero de elemetos ou a sua dspersão o tempo ou o espaço), o estudo poderá ser feto com base uma amostra represetatva Dstrbuções de Frequêca Os dados umércos, após coletados, são colocados em sére e apresetados em tabelas ou quadros. Quado se estuda uma varável (qualtatva ou quattatva), o maor teresse do pesqusador é cohecer a dstrbução dessa varável através das possíves realzações (valores) da mesma. Iremos, pos, ver uma maera de se dspor um cojuto de valores, de modo a se ter uma boa dea global sobre esses valores, ou seja, de sua dstrbução. Uma dstrbução de frequêcas pode ser apresetada as segutes maeras: 6

7 Dstrbução de Frequêcas por Valores (varável qualtatva ou quattatva dscreta): É costruída cosderado-se todos os dferetes valores ou categoras, levado em cosderação suas respectvas repetções. Dstrbução de Frequêcas por Itervalos ou Classes (varável quattatva): Costroem-se classes de valores, levado em cosderação o úmero de valores que pertecem a cada classe e quado a varabldade dos dados é grade. A costrução de tabelas de frequêcas para varáves cotíuas ecessta de certos cudados. Exemplo. - A tabela apreseta a dstrbução de frequêca da varável PROCEDÊNCIA, a partr dos dados do Quadro Tabela - Frequêcas e Percetuas dos 46 Estudates de CPE Turma - Período: 97., segudo a Regão de Procedêca PROCEDÊNCIA N O Estudates Percetual ( F ) ( f %) Captal 43,5 Iteror 6 34,8 Outra Regão,7 Total 46, FONTE: Quadro Quadro - Iformações sobre sexo, curso, dade (aos), procedêca, reda famlar, úmero de dscplas matrculado(a), peso (kg) e altura (cm) de 46 aluos matrculados a dscpla CÁLCULO DAS PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA (CPE) - período 97. turma ID SEXO CURSO IDADE (Aos) PROCEDÊNCIA RENDA FAMILIAR N O. DISCIP. MATRIC. PESO (kg) ALTURA (cm) Fem Físca 9 Iteror Méda Masc Matem. 8 Captal Méda Fem Matem. 8 Outra Regão Méda Fem Matem. 8 Captal Méda Masc Matem. 8 Captal Méda Fem Matem. Iteror Méda Fem Matem. Iteror Méda Masc Matem. 9 Captal Méda Fem Matem. 9 Outra Regão Méda Masc Matem. 8 Captal Méda Fem Matem. 8 Captal Méda Masc Matem. Outra Regão Méda 5 66, Masc Matem. 8 Iteror Méda Fem Matem. 8 Iteror Não Ifo Fem Matem. 8 Captal Méda Fem Matem. 9 Captal Méda Fem Matem. 9 Captal Méda Fem Matem. 8 Captal Méda Fem Físca 3 Outra Regão Méda Masc Matem. 8 Iteror Méda Masc Matem. Outra Regão Méda Masc Matem. 9 Captal Méda 6 78,5 8 3 Masc Matem. 9 Outra Regão Méda Fem Matem. 7 Iteror Méda 6 47,5 55 7

8 5 Masc Matem. 8 Iteror Baxa 6 67, Masc Matem. 9 Outra Regão Méda Masc Matem. 7 Iteror Não Ifo Masc Matem. Iteror Méda Fem Matem. 8 Iteror Méda Masc Matem. Outra Regão Méda Masc Matem. Captal Méda Fem Matem. 8 Captal Alta Masc Matem. Captal Méda Fem Matem. 9 Outra Regão Méda Masc Matem. 8 Captal Méda Fem Matem. 7 Captal Méda Fem Matem. 9 Captal Méda Masc Matem. 9 Captal Méda Masc Matem. 8 Captal Méda Masc Matem. Iteror Méda Masc Matem. 8 Iteror Baxa Masc Matem. 9 Iteror Méda Fem Matem. 8 Captal Méda Masc Matem. 8 Outra Regão Méda Masc Matem. Iteror Méda Masc Matem. Iteror Méda FONTE: Questoáro aplcado - aula 4/3/97 Exemplo. - A tabela apreseta a dstrbução de frequêca da varável N O DE DISCIPLINAS MATRICULADO(A), a partr dos dados do quadro (Dados Agrupados sem Itervalos) Tabela - Frequêcas e Percetuas do N de Dscplas Matrculadas dos 46 Estudates de CPE Turma - Período: 97.. N o DISC. MATRIC. (X ) N O Estudates ( F ) Percetual ( f %) 3, 5 5, ,8 7, Total ou 46, FONTE: Quadro OBS.: > letra grega "SIGMA", dca total ou somatóro. Regras Báscas para Elaboração de uma Dstrbução de Frequêcas por Classes ou Itervalos (Dados Agrupados em Itervalos). Colete dados referetes à varável cuja dstrbução será aalsada. É acoselhável que seja superor a 5 para que possa ser obtdo um padrão represetatvo da dstrbução.. Efetua-se um ROL ESTATÍSTICO (ordeação crescete ou decrescete de gradeza) os Dados Brutos (aqueles ada ão orgazados umercamete). 3. Idetfque o meor valor ( X m ) e o maor valor ( max ) 4. Calcule a AMPLITUDE TOTAL dos dados ( AT ) : AT X max X m X da amostra. 8

9 tomar: 5. Escolhe-se coveetemete o úmero de classes k (tero); 5 k 5, ode podemos k ou k + 3,3 log( ), se 5 6. Calcule o comprmeto de cada classe dos dados ( h ) : AT h k É acoselhável costrur classes de mesma ampltude. 7. Efetua-se o AGRUPAMENTO EM CLASSES, calculado os lmtes de cada classe: ª Classe: Lmte Iferor: LI X m Lmte Superor: LS LI + h ª Classe: Lmte Iferor: LI LS Lmte Superor: LS LI + h -ésma Classe: Lmte Iferor: LI LS Lmte Superor: LS LI + h Cotue estes cálculos até que seja obtdo um tervalo que coteha o maor valor da amostra ( X max ) etre seus lmtes. 8. Costrua a tabela de dstrbução de frequêcas. Uma tabela de dstrbução de frequêcas (por classes ou valores), deverá coter as segutes coluas: Número de ordem de cada classe () ou valor; Lmtes de cada classe (o caso da dstrbução de frequêcas por classes) o As classes são fechadas à esquerda e abertas à dreta. o As observações guas ao lmte superor da classe -, o qual é gual ao lmte feror da classe, pertecem à classe. NOTAÇÃO: LI + LS Poto Médo pm da -ésma classe é deotado por: pm Tabulação: cotagem dos dados pertecetes a cada classe ou a quatdade de vezes que o valor se repete. F da -ésma classe ou do -ésmo valor Frequêca smples ou absoluta ( ) F úmero de observações da -ésma classe (ou do -ésmo valor) Observe que: F k f da -ésma classe (ou do -ésmo valor) f úmero de observações da -ésma classe (ou do -ésmo valor) dvddo pelo tamaho F da amostra, sto é, f Frequêca Relatva ( ) Observe que a soma de todos os valores de f deve ser gual a, ou seja, f. Multplcado cada f % f. f por obtém-se o percetual da classe (ou valor) correspodete, sto é, Exstem outros tpos de frequêcas que também podem ser calculadas: Frequêca Smples Acumulada (do tpo abaxo de ): frequêca smples acumulada da - ésma classe ou valor Fac F + F + + F Frequêca Relatva Acumulada: frequêca relatva acumulada da -ésma classe ou valor. fac f + f + + f. k 9

10 Normas Téccas para Apresetação Tabular De um modo geral tem-se a destacar em uma tabela (dsposção escrta que se obtém referdo-se a uma coleção de dados umércos a uma determada ordem de classfcação) os segutes elemetos essecas (obrgatóros) e complemetares (ão-obrgatóros): Elemetos essecas: Título: Idcação que precede a tabela e que cotém a desgação do fato observado, o local e a época em que fo regstrado. Cabeçalho: Parte superor da tabela que especfca o coteúdo das coluas. Colua Idcadora: Parte da tabela que especfca o coteúdo das lhas. Corpo da tabela: Cojuto de coluas e lhas que cotêm as formações sobre a varável em estudo. Fote: Etdade resposável pela formação. Elemetos complemetares: o Notas: Iformações de atureza geral destadas a cocetuar ou esclarecer o coteúdo das tabelas ou a dcar a metodologa adotada o levatameto ou a elaboração dos dados. o Chamadas: Iformações de atureza específca sobre determada parte da tabela, destada a cocetuar ou a esclarecer dados. o Sas Covecoas:Nehuma casa da tabela deve fcar em braco, apresetado sempre um símbolo, a saber: (hífe): quado o valor umérco é ulo; (retcêca): quado ão se dspõe de dado;? (poto de terrogação): quado há dúvdas quato à exatdão do valor umérco;,: quado o valor umérco é muto pequeo para ser expresso pela udade utlzada. Se os valores são expressos em úmeros decmas, acresceta-se o mesmo úmero de casas decmas ao valor zero; x (letra x): quado o dado for omtdo a fm de evtar dvdualzação da formação. As tabelas apresetadas ofcalmete devem ateder às ormas da ABNT (resolução 886 de //6). Exemplo.3 Elabore uma tabela de dstrbução de frequêcas (dados agrupados em tervalos) da varável ALTURA (em cm), dos 46 estudates de CPE, turma Período 7., usado-se os dados do Quadro. Solução: Passo : Estabelecer o úmero de classes: k 46 7 Passo : Ampltude Total: AT Passo 3: Ampltude das Classes: h AT 3 k 7 4, 3 Passo 4: Costrução da Tabela de Dstrbução de Frequêcas Tabela 3 Dstrbução de Frequêcas das ALTURAS dos 46 Estudates de CPE, Período: 97.. ALTURA (X ) N O Estudates Percetual ( F ) ( f %) 53, ,3 4 8,7 57, ,6 8 7,4 6, ,9 7 5, 65, ,,7 7, ,5 3 6,5 74, ,8 6 3, 78, , 8 7,4 Total ou 46, FONTE: Quadro

11 Exemplo.4 - Elabore uma tabela de dstrbução de frequêcas (dados agrupados em tervalos) da varável IDADE (em aos) de 33 estudates de CPE, coforme Dados Brutos abaxo: DADOS BRUTOS ROL DE DADOS ORDENADOS Solução: Passo : Estabelecer o úmero de classes: k 33 6 Passo : Ampltude Total: AT 36 6 Passo 3: Ampltude das Classes: h AT 6, 7 k 6 Passo 4: Costrução da Tabela de Dstrbução de Frequêcas Tabela 4 - Dstrbução de Frequêcas das IDADES de 33 Estudates de CPE, Período: 97.. IDADE (X ) F, -----,7 8, ,4 3 5, , 6 8, ,8 3 3, ,5 33, , 3 Total ou 33 FONTE: Quadro A Tabela 5, a segur, é um exemplo de como calcular os outros tpos de frequêcas a partr da Tabela 3 Exemplo.5 Solução: Tabela 5 Dstrbução de Frequêcas das ALTURAS dos 46 Estudates de CPE, Período: 97.. Freq. Abs. Freq. Relat. Freq. Absoluta Freq. Relatva Freq. Percetual ALTURA (X ) Acum. Acum. F f f % Fac fac Poto Médo pm 53, ,3 4,87 8,7 4,87 55,5 57, ,6 8,74 7,4,6 59,45 6, ,9 7,5 5, 9,43 63,75 65, ,,7,7 9,63 68,5 7, ,5 3,65 6,5 3,695 7,35 74, ,8 6,3 3, 38,85 76,65 78, , 8,74 7,4 46, 8,95 Total ou 46,, FONTE: Quadro 3.3. Represetação Gráfca de Dstrbuções de Frequêca O gráfco estatístco é uma forma de apresetação dos dados estatístcos, cujo objetvo é produzr, o vestgador ou o públco em geral, uma mpressão rápda e vva do feômeo em estudo.. Para torarmos possível uma represetação gráfca, estabelecemos uma correspodêca etre os termos da sére (Tabela) e determada fgura geométrca, de tal modo que cada elemeto da sére seja represetado por uma fgura proporcoal.

12 Requstos A represetação gráfca de um feômeo deve obedecer aos segutes requstos prmordas: Smplcdade - dspesável devdo à ecessdade de levar a uma rápda apreesão do setdo geral do feômeo apresetado a fm de ão os perdermos a observação de múcas de mportâca secudára; Clareza - o gráfco deve possbltar uma correta terpretação dos valores represetatvos do feômeo em estudo; Veracdade - dspesável qualquer cometáro, posto que, se ão represeta uma realdade, perde o gráfco sua faldade. Os prcpas tpos de gráfcos estatístcos para as dstrbuções de frequêcas são os dagramas, que são gráfcos geométrcos de, o máxmo duas dmesões. Para sua costrução, em geral, fazemos uso só do sstema cartesao. Detre os prcpas tpos de dagramas, destacamos: Varáves Qualtatvas: Para represetarmos as varáves qualtatvas grafcamete usamos os gráfcos de Barras, Coluas, Setores ou Lha. Gráfco em Barras ou Coluas: É a represetação de uma sére por meo de retâgulos, dspostos horzotalmete (em barras) ou vertcalmete (em coluas); Gráfco de Setores: É o gráfco que represeta as partes de um todo, por setores de um círculo, vsado justamete comparar estas partes etre s em relação ao todo. Gráfco de Lha: útl a represetação de tabelas ou séres que evoluem ao logo do tempo (séres temporas), possbltado a detfcação de tedêcas. Exemplo.6: Costrudo um Gráfco de Barras 5 5 Procedêca dos Estudates de CPE - Per. 97. Num.Estudates 5 Captal Iteror Outra Regão Procedêca FONTE: Quadro Exemplo.7: Costrudo um Gráfco de Setor Procedêca dos Estudates de CPE - Per. 97. Outra Regão % Captal 43% Iteror 35% FONTE: Quadro

13 Varáves Quattatvas Dscretas:para represetarmos as varáves quattatvas dscretas grafcamete usamos gráfcos em Barras ou Coluas; Cotíuas: para represetarmos as varáves quattatvas cotíuas grafcamete usamos o Hstograma ou o Polígoo de Frequêcas. Hstograma É a represetação gráfca de uma dstrbução de frequêcas de varável quattatva cotíua (dados agrupados em tervalos) por meo de retâgulos justapostos, cetrados os potos médos das classes e cujas áreas são proporcoas às frequêcas das classes. Exemplo.8: Costrudo um Hstograma Dstrbução das Alturas dos Estudates de CPE, Per FrequecaAbsoluta Altura (cm) FONTE: Quadro Polígoo de Frequêca É a represetação gráfca de uma dstrbução de frequêcas de varável quattatva cotíua (dados agrupados em tervalos) por meo de uma lha polgoal fechada ou polígoo, cuja área total é gual à do hstograma. Exemplo.9: Costrudo um Polígoo de Frequêcas Dstrbução das Alturas dos Estudates de CPE, Per FrequecaAbsoluta Altura (cm) FONTE: Quadro 3

14 3.4 Meddas Estatístcas Vmos aterormete a stetzação dos dados sob a forma de tabelas, gráfcos e dstrbuções de frequêcas. Aqu, vamos apreder o cálculo de meddas que possbltem represetar um cojuto de dados (valores de uma varável quattatva, sto é, formações umércas), relatvos à observação de determado feômeo de forma reduzda. Estes ídces estatístcos são as MEDIDAS DE POSIÇÃO e, detre as mas mportates, ctamos as Meddas de Tedêca Cetral, que recebem tal deomação pelo fato dos dados observados tederem, em geral, a se cocetrar em toro de valores cetras. Detre as meddas de tedêca cetral, destacamos: Méda artmétca ou Méda; Moda; Medaa. As outras meddas de posção são as SEPARATRIZES, que eglobam: a medaa; os quarts; os percets Meddas de Tedêca Cetral Méda Artmétca (ou smplesmete MÉDIA) Notação: X a méda da amostra ou méda amostral µ a méda da população ou méda populacoal (a) Dstrbução de Frequêcas por Valor Sejam x, x,, xk as meddas da varável de teresse, realzadas para uma amostra de tamaho extraída de uma população. Defmos a méda da amostra ( X ) como: ode: X k x k x é o -ésmo valor da varável de teresse; F é a frequêca absoluta do -ésmo valor; é o tamaho da amostra. F F ou, smplesmete, Exemplo.: Determar a méda do segute cojuto (amostra) de valores 3, 7, 8,, X Logo, X 7, 8 5 Exemplo.: Determar a méda do segute cojuto (amostra) de valores, 3, 8, 8, 5,,,, 8, 5, 3, 8,,, 5, 8,, 5, 8, Etão: Dados Agrupados sem Itervalos F x F x X k x F 4

15 X 4 4 x F F 9 X 4,5 4 e F (b) Dstrbução de Frequêcas por Classes Sejam pm, pm,, pmk os potos médos das classes, ocorredo com frequêcas F, F,, Fk, respectvamete, de modo que ode: k F. Defmos a méda da amostra ( ) X k k X como: pm pm é o poto médo da -ésma classe; F é a frequêca absoluta da -ésma classe; é o tamaho da amostra Vatages e Desvatages da Méda F F ou, smplesmete, É uma medda de tedêca cetral que, por uformzar os valores de um cojuto de dados, ão represeta bem os cojutos que revelam tedêcas extremas. Ou seja, é grademete fluecada pelos valores extremos (grades) do cojuto. Além dsso, ão pode ser calculada para dstrbuções de frequêcas com lmtes determados (defdos). Propredades:. A soma dos desvos tomados em relação à méda é ula, sto é, ( X X ) X k pm F. Somado-se ou subtrado-se uma costate c a todos os valores de uma varável, a méda do cojuto fca aumetada ou dmuída dessa costate, sto é, Y X ± c Y X ± c. 3. Multplcado-se ou dvddo-se todos os valores de uma varável por uma costate c, a méda do cojuto fca multplcada ou dvdda por essa costate, sto é, Y X c Y X c ou Y X X Y, para c. c c. Exemplo.3: Utlzado os dados apresetados a Tabela 5, determe a ALTURA MÉDIA dos 33 estudates de Estatístca Vtal turma 6 k ALTURA (X ) Freq. Absoluta Poto Médo F pm pm F 53, ,3 4 55,5 6,6 57, ,6 8 59,45 75,6 6, ,9 7 63,75 46,5 65, , 68,5 68,5 7, ,5 3 7,35 57,5 74, ,8 6 76,65 59,9 78, , 8 8,95 447,6 Total ou ,5 pm F 7747,5 Etão: X 68, 4 k cm 46 F 5

16 Moda Notação: Mo Dado um cojuto ordeado de valores. A moda é (são) o(s) valor(es) que ocorre(m) com maor frequêca o cojuto de dados, ou seja é(são) o(s) valor(es) mas frequete(s) do cojuto de dados. Exemplo.4: Determe a moda dos segutes cojutos de dados abaxo a),, 3, 3, 5, 5, 8, 8 Não exste moda (ou amodal) b),, 3, 5, 5, 5, 8, 8 Mo 5 c),,, 3, 3, 5, 5, 5, 8 Mo e Mo 5 Observação: ) A moda de um cojuto de dados pode ão exstr (fgura (a) ) ) A moda de um cojuto de dados pode ão ser úca (fgura (c) ) Fgura : Caracterzação de Dados quato à moda Cálculo da Moda em uma Dstrbução de Frequêcas por Classes Em uma dstrbução de frequêcas com dados agrupados em classes, deomamos classe modal a classe que possu a maor frequêca, e, cosequetemete, será esta classe que coterá a moda. Exemplo.5: Utlzado os dados apresetados a Tabela 5, apresetamos o cálculo determe a ALTURA MODAL (Moda) para dados agrupados em tervalos, a partr da fórmula de Czuber apresetada a Fgura. Fgura : Cálculo da moda para dados dstrbuídos em classes FÓRMULA de CZUBER (terpretação geométrca através de Hstograma) Mo L mo + h mo + ode: L : lmte feror da classe modal mo h : ampltude da classe modal mo F F mod al F ateror mod al F posteror Solução: 6

17 A Classe modal será o tervalo com maor frequeca absoluta (F ). Neste caso a classe modal (4 a ) será 65, , L mo 65, 9, h mo 4, 3, F mod al Fateror 7 3 e F F 3 7. mod al posteror 3 Daí, Mo L mo + hmo 65,9 + 4,3 67, 9 cm Vatages e Desvatages da Moda Não depede de todos os valores do cojuto de dados, podedo mesmo ão se alterar com a modfcação de algus deles; Não é fluecada por valores extremos (grades) do cojuto de dados Pode ser calculada para dstrbuções com lmtes determados (defdos) a maora dos casos. Medaa Notação: Me Cosdere um cojuto de dados ordeado costtuído de valores. A medaa é o valor que dvde o cojuto em duas partes guas (sto é, em duas partes de 5% cada). º Caso: ímpar Para a sére de valores ordeados em ordem crescete de gradeza (sto é, um rol), a medaa é o valor cetral, sto é, + Me elemeto que está a posção. º Caso: par Para a sére de valores ordeados em ordem crescete de gradeza (sto é, um rol), a medaa é a méda artmétca dos valores cetras, sto é, Me méda artmétca etre os elemetos das posções e +. 3 o Caso: Cálculo da Medda em uma Dstrbução de Frequêcas por Classes No caso de dados agrupados, relembramos que uma dstrbução de frequêcas pode ser represetada por meo de um Hstograma. Dzemos etão que a medaa será o valor de X (abscssa) cuja ordeada dvde a área total do Hstograma em duas partes guas. Em uma dstrbução de frequêcas com dados agrupados em classes, deomamos classe medaa a classe que cotém o elemeto que está a posção e, cosequetemete, será esta a classe que coterá a medaa. Fgura 3: Cálculo da medaa para dados dstrbuídos em classes Facat Me LI me + h Fme ode: LI é o lmte feror da classe medaa; me me F é a frequêca absoluta da classe medaa; Fac é a freq. absoluta acumulada da classe ateror à at classe medaa; h é a ampltude da classe medaa; me é o úmero de observações. me 7

18 Assm, para dados agrupados em tervalos, a medaa é obtda através de terpolação de acordo com a fórmula dada a fgura 3. Propredades da Medaa. A medaa ão é fluecada por valores extremos (grades) de uma sére ou cojuto de dados;. A medaa de uma sére de dados agrupados de classes extremas defdas pode ser calculada. Exemplo.6: Determar a ALTURA MEDIANA dos 46 estudates da turma de CPE, - Período: 97., coforme os dados agrupados a tabela 5. Classe medaa é a classe que cotém o elemeto que está a posção, ou seja, a classe medaa é a classe que cotém o elemeto que está a 3ª posção. Logo, a classe medaa será a 4ª: 65, , (Classe medaa: prmera classe que ultrapassar 5% (/) ou mas das observações) F at Etão: 9 LI 65,9 F 4, 3 Me me F + f me at LI me hme me 65, h me 4,3 65,9 +,7 67,6 cm Meddas de Dspersão No tem ateror, apredemos a calcular e eteder coveetemete as meddas de posção represetatvas de um determado cojuto de dados, ode destacamos a méda, a moda e a medaa. Sejam quatro cojutos A, B, C e D com os segutes valores: Cojuto A > 7, 7, 7, 7, 7 Cojuto B > 5, 6, 7, 8, 9 Cojuto C > 4, 5, 7, 9, Cojuto D >, 5,,, Para represetarmos cada cojuto, podemos calcular a sua respectva méda artmétca, ecotrado X A X B X C X D 7. Vemos assm que, apesar de costtuídos de valores dferetes, os grupos revelam uma mesma méda artmétca. Observado-os mas detalhadamete, otamos que em cada grupo, sto é, cojuto de dados, os valores se dstrbuem dferetemete em relação à méda. Necesstamos assm de uma medda estatístca complemetar para melhor caracterzar cada cojuto apresetado. As meddas estatístcas resposáves pela varação ou dspersão dos valores de um cojuto de dados são as meddas de dspersão ou de varabldade, ode se destacam a ampltude total, a varâca, o desvo padrão e o coefcete de varação. Em prcípo, dremos que etre dos ou mas cojutos de dados, o mas dsperso (ou meos homogêeo ) é aquele que tem a maor medda de dspersão. Ampltude Total Notação: AT Medda já apresetada a elaboração de uma dstrbução de frequêcas com dados agrupados em classes, defda por: AT X max X m, ode: X max é o maor valor do cojuto de dados e X m é o meor valor do cojuto de dados. 8

19 Varâca Notação: S é a varâca da amostra ou varâca amostral σ é a varâca da população ou varâca populacoal A varâca de um cojuto de dados (amostra ou população ) mede a varabldade do cojuto em termos de desvos quadrados em relação à méda artmétca. É uma quatdade sempre ão egatva e expressa em udades quadradas do cojuto de dados, sedo de dfícl terpretação. Dstrbução de Frequêcas por valor Sejam x, x,, xk as meddas da varável de teresse, realzadas para uma amostra de tamaho extraída da população cosderada. Defmos a varâca da amostra ( S ) como: k ( x X ) F ode: x é o -ésmo valor da varável de teresse; F é a frequêca absoluta do -ésmo valor; X é a méda da amostra; é o tamaho da amostra. S Observação: A equação acma é utlzada quado osso teresse ão se restrge à descrção dos dados mas, partdo da amostra, vsamos trar ferêcas váldas para uma respectva população. Dstrbução de Frequêcas por Classes Sejam pm, pm,, pmk os potos médos das classes, ocorredo com frequêcas F, F,, Fk de k modo que ode: F. A varâca da amostra ( S ) é defda por como: pm é o poto médo da -ésma classe; F é a frequêca absoluta da -ésma classe; X é a méda da amostra; é o tamaho da amostra. S k ( pm X ) Desvo-Padrão Notação: S é o desvo-padrão da amostra ou desvo-padrão amostral σ é o desvo-padrão da população ou desvo-padrão populacoal É uma outra medda de dspersão mas comumete empregada do que a varâca, por ser expressa a mesma udade do cojuto de dados. Mede a "DISPERSÃO ABSOLUTA" de um cojuto de valores e é obtda a partr da varâca. Desvo Padrão Varâca (Raz quadrada da Varâca ). F Assm, Coefcete de Varação S S É uma medda que expressa a varabldade em termos RELATIVOS, comparado o desvo-padrão com a méda: 9

20 S CV %, sedo que X. X Note que é mportate expressar a varabldade em termos relatvos porque, por exemplo, um desvo-padrão gual a pode ser muto pequeo se a magtude dos dados é da ordem de., mas pode ser cosderado muto elevado se esta magtude for da ordem de. Observe também que o coefcete de varação é admesoal e por este motvo permte a comparação das varabldades de dferetes cojutos de dados. Cometáros sobre as prcpas Meddas de Tedêca Cetral e Dspersão. O cojuto de todos os possíves elemetos de uma determada pesqusa costtu uma população estatístca. Sua méda é a méda populacoal, usualmete represetada pela letra grega µ. Na grade maora das stuações prátcas, a méda populacoal é descohecda e deve ser estmada a partr de dados amostras. Se a amostra for extraída de forma adequada, a méda amostral X é uma boa estmatva de µ.. Comparado a méda e a medaa, temos que a medaa é pouco sesível à preseça de valores muto altos ou muto baxos a amostra, equato a méda já é muto sesível a esta stuação. Para lustrar o setdo desta afrmação, vamos cosderar os dados abaxo: A medaa deste cojuto de dados é: Me 54 equato que a méda é dada por: X 44, Observe que a maor observação (6) exerceu uma grade fluêca sobre a méda somete este dado é maor do que a méda, o que etão ão stetza de forma adequada as formações cotdas a massa de dados. Portato, este exemplo, a medaa parece ser a melhor medda para dcar a localzação dos dados. De modo geral, quado o hstograma costruído para os dados da amostra é do tpo assmétrco, devemos preferr a medaa como medda de tedêca cetral. 3. A ampltude, apesar de ser muto fácl de calcular, tem a desvatagem de levar em cosderação apeas os dos valores extremos (máxmo e mímo) da massa de dados, desprezado os demas. 4. A varâca populacoal é represetada por σ. Usualmete, a varâca populacoal é descohecda e deve ser estmada a partr dos dados amostras. Se a amostra fo extraída de forma adequada, a varâca amostral S é uma boa estmatva de σ. 5. As meddas X, S e S tomadas a amostra, deomadas ESTATÍSTICAS, são estmatvas dos PARÂMETROS POPULACIONAIS µ, σ e σ (supostos descohecdos). Exemplo.7: Utlzado os dados apresetados a Tabela 5, determe a VARIÂNCIA, o DESVIO- PADRÃO e o COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DAS ALTURAS dos 46 estudates de CPE ALTURA (X ) Freq. Absoluta Poto Médo pm F pm F F pm 53, ,3 4 55,5 6,6 9686,9 57, ,6 8 59,45 75,6 3394,4 6, ,9 7 63,75 46, ,44 65, , 68,5 68,5 848,3 7, ,5 3 7,35 57,5 893,57 74, ,8 6 76,65 59,9 873,34 78, , 8 8,95 447,6 6943, Total ou ,5 3875,

21 k A expressão ( pm X ) Logo, S S k pm F k F pm F k pm F k 3875, 46 pm F ( 7747,5) 46. Assm, 3, ,35 cm S 8,44 cm S S 7,35 cm 8,44 cm e CV % % 5,% X 68,4 cm Exemplo.8: Uma fábrca classfca operáros de acordo com os graus obtdos em testes de aptdão. Os dados são apresetados a dstrbução de frequêca abaxo: Notas Teste Aptdão F (X Fac pm pm x ( ) pm x ) ( pm x ) F ,7 7,49 4, ,7 4,79 47, ,7,3, ,88 3,34 36, ,88 6,65 7,3 Total ou ,49 36,76 a) Calcule o grau médo obtdo pelos operáros; b) O operáro que trar ota acma de X + S receberá um prêmo. Um operáro para receber esta meção deverá ter trado quato? c) Com base os dados da tabela, a partr de que ota temos 5% dos operáros mas aptos. Solução: pm a) O grau médo é dado por: F 3 X 5, b) A varâca para os dados agrupados é dada pela fórmula: 5 5 ( pm X ) F 36,76. S 5, Logo o desvo padrão S,38, Desta forma X + S 9,88, portato qualquer operáro com ota maor que 9,88 receberá o premo. c) A ota acma da qual estão 5% dos operáros é chamada ota medaa, a qual é calculada para dados agrupados em tervalos por:. M d ( Fac + F ) h at LMd Md Md ( 6) ,3 5,3.

22 Udade II Probabldade. Stuado a Temátca A teora das probabldades é o fudameto para a ferêca estatístca. O objetvo desta parte é que o aluo compreeda os cocetos mas mportates da probabldade. O coceto de probabldade faz parte do da-a-da dos trabalhadores das área das cêcas exatas, cêcas bológcas, egehara, etc., uma vez que seu coceto é frequetemete usado a comucação dára. Por exemplo, podemos dzer que um aluo tem chace de 7% de ser aprovado em uma determada dscpla. Um professor está 9% seguro de que um ovo método de eso proporcoe uma melhor compreesão pelos aluos. Um egehero de produção afrma que uma ova máqua reduz em % o tempo de produção de um bem. Tal como mostram os exemplos, as pessoas expressam a probabldade em porcetagem. Trabalhado com a probabldade matemátca é mas coveete expressá-la como fração (as porcetages resultam da multplcação das frações por ).. Problematzado a Temátca O coceto de probabldade é fudametal para o estudo de stuações ode os resultados são varáves, mesmo quado matdas alteradas as codções de sua realzação. Por exemplo, jogado-se um dado, temos ses resultados possíves de cada vez; a observação do sexo dos caddatos scrtos um cocurso públco coduz a dos resultados possíves - masculo ou femo. Em ambos os casos, embora ão sejamos capazes de afrmar de atemão que resultado partcular ocorrerá, temos codções de descrever o cojuto de todos os resultados possíves do expermeto. A sua repetção cotuada mostra uma certa regulardade os resultados, o que os permte estudar o expermeto, apesar da certeza ele presete. 3. Cohecedo a Temátca 3. Espaços Amostras e Evetos Ates de passarmos à defção de probabldade é ecessáro fxarmos os cocetos de expermeto aleatóro, espaço amostral e eveto. Expermeto Aleatóro É o processo da coleta dos dados relatvo a um feômeo que acusa varabldade em seus resultados. Um expermeto caracterza-se como aleatóro, em fução de poder ser repetdo defdamete sob codções, essecalmete alteradas, e embora ão sejamos capazes de afrmar que resultado partcular ocorrerá, seremos sempre capazes de descrever o cojuto de todos os possíves resultados do mesmo. Espaço Amostral ( Notação: S ou Ω (ômega) ) É o cojuto formado por todos os possíves resultados de um expermeto aleatóro. Evetos ( Notação: A, B. C,... ) É qualquer subcojuto do espaço amostral. 3.. Operações etre Evetos Combações de Evetos Sejam A e B evetos em um mesmo espaço amostral. Temos as defdas as segutes operações etre cojutos: Eveto Uão A B (lê-se: A uão B): o eveto uão de A e B equvale à ocorrêca de A ou de B ou de ambos. Cotém os elemetos do espaço amostral que estão em A ou em B ou em ambos.

23 Eveto Iterseção A B (lê-se: A terseção B): o eveto terseção de A e B equvale à ocorrêca de A e de B, smultaeamete. Cotém os elemetos do espaço amostral que estão em A e em B. Eveto Complemetar A (lê-se: A eveto complemetar de A): o eveto complemetar de A equvale à ão ocorrêca do eveto A. Cotém os elemetos do espaço amostral que ão estão em A. Evetos Dsjutos ou Mutuamete Exclusvos: dos evetos A e B dzem-se mutuamete exclusvos ou mutuamete excludetes quado a ocorrêca de um deles mpossblta a ocorrêca do outro. Os dos evetos ão têm ehum elemeto em comum. Exprme-se sto escrevedo: A B UNIÃO INTERSEÇÃO EVENTO COMPLEMENTAR EVENTOS DISJUNTOS 3. O Coceto de Probabldade Defção.: Uma fução P : Ω R é dta uma probabldade se satsfaz os segutes axomas: P Ω ; ) ( ) ) ( ) P A ; ) Sejam A e B evetos em um mesmo espaço amostral. Se A e B forem mutuamete exclusvos, P AU B P A + P B. etão ( ) ( ) ( ) Por equato, ada ão sabemos calcular a probabldade de ocorrêca de um eveto A P(A). No etato, vamos eucar algumas propredades relacoadas a P(A) que decorrem das codções acma e que ão depedem da maera pela qual calculamos P(A). 3.. Propredade de Probabldade Sejam A e B evetos em um mesmo espaço amostral: P ;. Se é o eveto mpossível, etão ( ). Se A C é o eveto complemetar de A, etão P( A C ) P( A). 3. Se A e B são dos evetos quasquer, etão P( A B) P( A) + P( B) P( A B) 4. Se o eveto A B, etão P( A) P( B). ; 3

24 3.. Probabldade em Espaços Amostras Ftos Seja Ω um espaço amostral assocado a um expermeto aleatóro costtuído de N resultados gualmete prováves (equprováves). Seja A um eveto qualquer costtuído de r resultados possíves ( r N ). A probabldade de ocorrêca do eveto A, deotada P(A), é dada por: ( A) úmero de casos favoráves a A P ( A) ( Ω ) úmero de casos possíves r N Exemplo.: Em uma seleção para uma vaga de egehero mecâco de uma grade empresa verfcou-se que dos caddatos 4 tham experêca ateror e 3 possuíam curso de especalzação. Vte dos caddatos possuíam tato experêca profssoal como também algum curso de especalzação. Escolhedo um caddato ao acaso, qual a probabldade de que: a) Ele teha experêca ou algum curso de especalzação? b) Ele ão teha experêca ateror em curso de especalzação? Solução Vamos defr os segutes evetos: A {O caddato possu experêca ateror} B {O caddato possu especalzação} Dados: p(a),4, p(b),3 p(a B), pede-se as segutes probabldades: a) Ele teha experêca ou algum curso de especalzação p(a B) p(a) + p(b) p(a B),4 +,3,,5 b) Ele ão teha experêca ateror em curso de especalzação? P(A c B c ) P((A B) C ) - P(A B) - [P(A) + P(B) P(A B)] [,4 +,3,] -,5, Probabldade Codcoal e Idepedêca de Evetos Dados dos evetos A e B cotdos um espaço amostral Ω, mutas das vezes, estamos teressados a ocorrêca de A dado que o eveto B teha ocorrdo. Para dar cosstêca à dea de uma probabldade codcoal, supohamos que uma orgazação de pesqusa juto a cosumdores teha estudado os servços prestados detro da garata por comercates de peus em uma grade cdade, obtedo os resultados resumdos a tabela segute: Vededores de Peus Bom Servço Detro da Garata Servço Defcete Total Com marca Sem marca 4 78 Total 6 94 Selecoado aleatoramete um desses vededores de peus (sto é, cada vededor tem probabldade de ser selecoado), costatamos que as probabldades de se escolher um vededor de determada marca (M), um vededor que presta bos servços detro da garata (Bs), ou um vededor de marca determada e que presta bos servços detro da garata (M Bs) são: P ( M ),4, P( Bs),53 e P( M Bs),3. Todas essas probabldades foram calculadas por meo da defção clássca de probabldade. Como a seguda dessas probabldades P(Bs) é próxma a,5 (5%), vejamos o que acotece se lmtamos a escolha 4

25 a vededores de uma marca determada. Isto reduz o espaço amostral às 8 escolhas, correspodetes à a lha da tabela. Temos etão, que a probabldade de se escolher um vededor que presta bos servços (Bs), 64 sabedo (ou dado) que a marca de peu veddo pelo mesmo é determada será de P ( Bs M ), 8, 8 tedo-se uma melhora em relação a P(Bs),53. Note que a probabldade codcoal que obtvemos aqu, P ( Bs M ),8 pode escrever-se como: 64 P( M Bs) P( Bs M ) P( M ) 8 Geeralzado, formulamos a segute defção de probabldade codcoal, que se aplca a dos evetos quasquer A e B pertecetes a um dado espaço amostral Ω: Probabldade Codcoal Se P(B) é dferete de zero, etão a probabldade codcoal de A relatva a B, sto é, a probabldade de A dado que B ocorreu é deotada por P( A B) P ( A B), desde que P( B) >. P( B) Teorema da Multplcação O resultado a segur, obtdo a partr da defção de probabldade codcoal, forece a probabldade da ocorrêca cojuta de dos evetos A e B, sto é, a probabldade P(A B): depededo da ordem de ocorrêca dos evetos. Idepedêca de Evetos P( A B) P( A) P( B A) ou P( A B) P( B) P( A B) Dzemos que dos evetos A e B são depedetes, se as probabldades codcoas P(A B) P(A) e P(B A) P(B). Isto equvale, a partr da regra da multplcação, escrevermos a ocorrêca smultâea de A e B como sedo: P( A B) P( A) P( B). Exemplo.: Uma caxa cotém 4 lâmpadas boas e quemadas. Retram-se, ao acaso, 3 lâmpadas sem reposção. Calcule a probabldade dessas 3 lâmpadas serem boas. Solução: Seja A a -ésma lâmpada é boa, etão: P(A A A 3 ) P (A ) P(A A ) P(A 3 A A ) Exemplo.3: Sejam A e B dos evetos tas que P(A),4 e P(A B),7. Seja P(B) p. Para que valor de p, A e B serão mutuamete exclusvos? Para que valor de p A e B serão depedetes? Solução: A e B são mutuamete exclusvos se A B. Logo P ( A B), com sso P ( A B) P( A) + P( B),7,4 + p p,7,4,3. Se A e B são depedetes P( A B) P( A) P( B), 4 p. Como P( A B) P( A) + P( B) P( A B) temos que:,7,4 + p,4p. Logo, p,5. 5

26 3..4 Teorema de Bayes Sejam B, B,..., B k uma partção do espaço amostral Ω, ode B B j j e k B Ω, ou seja, os evetos evetos B, B,..., B k são mutuamete exclusvos. Seja A um eveto qualquer assocado a Ω, etão: P( B A) P( B A) P( A) P( A B ). P( B ) P( A B ). P( B ) + + P( A B k ). P( B, ) k,, k. Fgura 4: Vsualzação de um problema evolveto Teorema de Bayes B4 A B B3 S Exemplo.3: Numa certa turma, % dos homes e 4% das mulheres tem meos que,6m de altura. Além dsso, 6% dos estudates são homes. Cosdere que um estudate, selecoado aleatoramete, tem meos que,6m de altura. Qual a probabldade do estudate ser homem? Solução: Sejam os evetos: A {estudates com meos de,6m de altura}; M {estudates do sexo femo}; H {estudates do sexo masculo}. Note que os evetos M e H são mutuamete excludetes e represetam uma partção do espaço amostral Ω, ou seja, M H e M H Ω. Além dsso, sabemos que o eveto A ocorreu, vsto que é dto que o estudate possu meos que,6m de altura. Assm, pelo Teorema de Bayes: B P( H A) P( A H ). P( H ),,6,6 P( H A) P( A) P( A H ). P( H ) + P( A M ). P( M ),,6 +,4,4, 3 6

27 Udade III Varáves Aleatóras e Dstrbuções de Probabldade. Stuado a Temátca Na udade ateror estudamos algus feômeos probablístcos por meo de espaços amostras mas smples. No etato, em stuações prátcas mas geras, é ecessáro amplar esses cocetos para que tehamos modelos probablístcos que atedam as ecessdades do problema. A defção do coceto de varável aleatóra possbltará uma maor flexbldade e aplcabldade dos cocetos de probabldade em problemas dversos.. Problematzado a Temátca Ao estudarmos feômeos aleatóros tas como, a reda de uma população, o desempeho escolar de um grupo de aluos, o mpacto de uma deta o peso de amas, etc., desejamos saber como cotrolar esses expermetos e tetar extrar coclusões sobre as respostas obtdas. Neste caso, usaremos uma ferrameta valosa que são as varáves aleatóras. 3. Cohecedo a Temátca Quado a prátca desejamos vestgar algum feômeo, estamos a realdade teressados em estudar a dstrbução de uma ou mas varáves relacoadas a este. Assm, por exemplo, podemos estar teressados em estudar a dstrbução das otas de estudates em uma determada dscpla, do grau de strução, da altura, etc. O que pretedemos, esta udade, é apresetar algus modelos teórcos de dstrbução de probabldade, aos quas um expermeto aleatóro estudado possa ser adaptado, o que permtrá a solução de um grade úmero de problemas prátcos. 3.. O Coceto de Varável Aleatóra e Varáves Aleatóras Dscretas Defção 3.: Seja E um expermeto e Ω um espaço amostral assocado a E. Um fução X, que assoce a cada elemeto ω Ω um úmero real, X(ω), é deomada varável aleatóra. Observação:. Cada elemeto ω de Ω correspoderá a exatamete um valor;. Dferetes valores ω Ω, podem levar a um mesmo valor de X; 3. Nehum elemeto ω Ω poderá fcar sem valor de X. Defção 3.: Seja E um expermeto e Ω seu espaço amostral. Seja X uma varável aleatóra defda em Ω e seja R x seu cotradomío. Seja B um eveto defdo em relação a R x, sto é, B R x. Etão, defe-se o eveto A como A { ω Ω X ( ω ) B} X ( B). Assm, o eveto A será costtuído por todos os resultados em Ω para os quas X(ω) B. 7

28 Exemplo 3.: Supoha moedas laçadas e observada a sequêca de caras e coroas obtdas. Cosdere o espaço amostral assocado a este expermeto: Ω {(Ca,Co), (Ca,Ca), (Co,Ca), (Co,Co)} Agora, defa uma varável aleatóra X úmero de caras obtdas o laçameto de moedas. Assm, temos que X {,, }, vsto que X(Co,Co) ; X(Ca,Co) X(Co,Ca) e X(Ca,Ca). Varáves Aleatóras Dscretas Deoma-se X uma varável aleatóra dscreta se o úmero de valores possíves de X for um cojuto de potos fto ou fto eumerável. Dgamos R X {x, x,..., x,... }. Defção 3.: (Fução de Probabldade) - Seja X uma varável aleatóra dscreta. A cada possível resultado x de X está assocado um úmero p P(X x ), deomado probabldade da varável aleatóra X assumr o valor x, satsfazedo as segutes codções: a) p para todo x R X b) p p + p p +... (a soma das probabldades é gual a ). Defção 3.3: (Fução de Dstrbução de Probabldade) - Dada uma varável aleatóra dscreta X, defmos F(x) a fução de dstrbução acumulada ou, smplesmete, fução de dstrbução (f.d) de X, dada por: F( x ) P( X x ) F( x ) Exemplo 3.: Cosderado o exemplo 3., deote a fução de probabldade e a fução de dstrbução da varável aleatóra X. Solução: Seja X úmero de caras obtdas o laçameto de moedas, temos que a varável aleatóra X assume os segutes valores, X {,, }. Temos que, P(Co,Co) P(X ) ¼ ; P(Ca,Co) P(Co,Ca) P(X ) ½ ; P(Ca,Ca) P(X ) ¼. Deotamos a fução de probabldade de X por x P(X x ) /4 / /4 P( X Por cosegute, a fução de dstrbução acumulada de X é dada por x F(x ) P(X x ) /4 3/4 Exemplo 3.3: Um par de dados é laçado. Seja X a varável aleatóra que assoca a cada poto (d, d ) de Ω a soma desses úmeros, sto é, X(d, d ) d + d. Determe a fução de probabldade de X. Solução: O espaço amostral Ω é formado de 36 pares ordeados, represetado as possbldades o laçametos de dos dados Ω {(,), (,),..., (5,6), (6,6)}. Etão, a varável aleatóra X d + d assume os segutes valores X {, 3, 4,..., }. Por cosegute, a fução de probabldade de X obtda, calculado-se: 8 x )

29 P (X ) P(d,d ) /6 /6 /36 P (X 3) P(d,d ) + P(d,d ) /36 + /36 /36.. P (X ) P(d 6,d 6) /36 Logo, a fução de probabldade de X será represetada por x P(X x ) /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 / Varáves Aleatóras Cotíuas Uma varável aleatóra é dta cotíua se o seu cotradomío for um tervalo ou uma uão de subtervalos. Defção 3.4: Uma varável aleatóra X é cotíua se exstr uma fução f, deomada fução desdade de probabldade (fdp) de X, que satsfaça as segutes codções:. f ( x), x R X ; +. f ( x) dx ; 3. Sejam a e b quasquer o tervalo < a < b < +, temos que P( a X b) f ( x) dx. Observações P( a X b) represeta a área sob a curva da fução desdade de probabldade f(x). Para qualquer valor específco de X, dgamos x, P(X x ), pos P( X x ) f ( x) dx x x. Como a probabldade de X assumr valores em potos solados é ula, temos que P ( a X b) P( a X < b) P( a < X b) P( a < X < b). Defção 3.5: A defção de fução de dstrbução para o caso cotíuo é dada por x F( x) P( X x) f ( x) dx. Observação: Seja F(x) a fução de dstrbução acumulada de uma varável aleatóra cotíua X, com fdp df( x) ' f(x). Etão, f ( x) F ( x), para todo x o qual F(x) seja dervável. dx Exemplo 3.4: Supoha que X é uma varável aleatóra cotíua com a segute fdp: x, < x < f ( x)., caso cotraro a) Mostre que f(x) é uma fdp; b) Calcule P(X ½); c) Calcule P(X ½ /3 X /3) Solução: a) Para que f(x) seja uma fdp basta verfcar que f ( x) dx xdx x. + b a 9

30 / / / b) P( X / ) f ( x) dx xdx x. 4 c) Aplcado dretamete o coceto de probabldade codcoal, teremos P(/ 3 X / ) xdx / 3 P( X / / 3 X / 3) / 3 P(/ 3 X / 3) xdx / / 3 5 / 36 / 3 Exemplo 3.5: Seja a varável aleatóra X com f(x) defda o exemplo 3.4, calcule sua fução de dstrbução acumulada. 5. Solução:, x < x x F( x) f ( s) ds f ( s) ds x,, x x < 3.3 Valor Esperado e Varâca de uma Varável Aleatóra Nos modelos probablístcos que temos cosderado, parâmetros podem ser empregados para caracterzar sua dstrbução de probabldade. Dada uma dstrbução de probabldade, é possível assocar certos parâmetros, os quas forecem formações valosas sobre tal dstrbução. Um dos parâmetros mas mportates é o valor esperado (esperaça ou méda) de uma varável aleatóra X, deotado por E(X) ou µ. Defção 3.6: (Valor Esperado ou Méda): Seja X uma varável aleatóra dscreta com possíves valores x, x,...,x,.... Seja p(x ) P (X x ),,,...,,... Etão, o valor esperado ou méda da varável aleatóra X é defdo por: E( X ) µ x p( x ), se a sére x p( x ) covergr, ou seja, x p( x ) <. Seja X uma varável aleatóra cotíua com fdp f(x). O valor esperado de X será defdo por + µ E ( X ) xf ( x) dx. Observação: E(X) mede o valor médo de X, sedo expressa a mesma udade de X. Exemplo 3.6: Cosdere a varável aleatóra defda o exemplo 3.. Obtemos a E(X) por 3 E( X ) x p( x ) Isto represeta que, ao laçarmos a moeda vezes esperamos que, em méda, em um dos laçametos apareça Cara. Exemplo 3.7: Cosdere a varável aleatóra cotíua defda o exemplo 3.4. Obtemos a E(X) por E( X ) x(x) dx x dx 3 3

31 Um outro parâmetro mportate que caracterza uma varável aleatóra é a varâca, deotada V(X) ou σ. A varâca de uma varável aleatóra é uma medda que dá a dea de dspersão dos valores da varável, em relação ao seu valor esperado (méda). Defção 3.7: (Varâca): Seja uma varável aleatóra X (dscreta ou cotíua) sua varâca, deotada V(X) ou σ, é defda por: σ V ( X ) E[ ( X µ ) ], ode µ E(X) é a méda de X. Observações: V(X) e mede a varabldade ou dspersão de X em toro da sua méda µ; V(X) é expressa em udades quadradas (o que tora dfícl a sua terpretação); O Desvo Padrão σ X V (X ) mede a dspersão absoluta de X, sedo expressa a mesma udade da varável aleatóra X. A defção de varâca de uma varável aleatóra (v.a.) X, pode ser re-escrta por σ V ( X ) E( X ) E( X ), ode: E( X ) x p( x ). Propredades Importates do Valor Esperado Sejam X uma v.a. e c costate, etão: [ ]. O valor esperado (méda) de uma costate é a própra costate: E(c) c. Multplcado-se uma costate por uma varável aleatóra X, sua méda fca multplcada por esta costate: E(c.X) c. E(X) 3. Somado ou subtrado uma costate de uma varável aleatóra X, sua méda fca somada ou subtraída desta costate: E(X ± c) E(X) ± c 4. Sejam X e Y duas varáves aleatóras, o valor esperado da soma/subtração de varáves aleatóras equvale a soma/subtração dos valores esperados de X e Y: E(X ± Y) E(X) ± E(Y) 5. Sejam X e Y duas varáves aleatóras depedetes, temos que E(X.Y) E(X).E(Y). Propredades Importates da Varâca Sejam X uma v.a. e c costate, etão:. A varâca de uma costate é zero: V(c). Multplcado-se uma costate por uma varável aleatóra X, sua varâca fca multplcada pelo quadrado da costate: V(c.X) c. V(X) 3. Sejam X e Y duas varáves aleatóras depedetes, a varâca da soma/subtração de varáves aleatóras equvale a soma das varâcas de X e Y: V(X ± Y) V(X) + V(Y) 3

32 Exemplo 3.8: Ecotre a varâca da varável aleatóra X, deotada por f ( x), a < x < b a, c. c b Temos que, [ ] E( X ) b a Além dsso, V ( X ) X x dx b a E( X ) E( ). Assm, x b a b a ( b ( b a ) a) ( a + b)( a b) ( b a) ( a + b) 3 3 b ( b a ) ( b a)( b + a + ab) ( b + a + ab) E( X ) x dx a b a 3( b a) 3( b a) 3 Logo, Var( X ) ( b + a + ab) ( a + b) ( b a) E( X ) [ E( X )] Expermetos Bomas e a Dstrbução Bomal Detre as fuções de probabldade, apresetaremos calmete uma dstrbução dscreta de grade mportâca, deomada Dstrbução Bomal. Em seguda, faremos estudo de uma dstrbução cotíua de grade utlzação a teora da probabldade, chamada a Dstrbução Normal. Para utlzar a teora das probabldades o estudo de um feômeo cocreto, devemos ecotrar um modelo probablístco adequado a tal feômeo. Edetemos por modelo probablístco para uma v.a. X, uma forma específca de fução de dstrbução de probabldade que reflta o comportameto de X. As propredades báscas de um modelo probablístco devem ser: Adequação: O modelo deve refletr adequadamete o mecasmo aleatóro que ocasoa varação as observações; Smplcdade: Utlzação, sempre que possível, de hpóteses smplfcadoras, de modo que o modelo se preste à aálse estatístca, sem sacrfíco de adequação; Parcmôa de Parâmetros: Um úmero excessvo de parâmetros prejudcara a aálse estatístca. Etre modelos que costtuam aproxmação adequada de um feômeo, devemos preferr aquele que apresete o meor úmero de parâmetros. Dstrbução de Beroull Supoha que realzamos um expermeto E, cujo resultado pode ser observado e classfcado como sucesso ou fracasso, caso o eveto que os teressa ocorra ou ão, respectvamete. Assoce p, a probabldade de sucesso, ao eveto que os teressa e p q, a probabldade de fracasso. Defmos, etão, a segute varável aleatóra dscreta:, se ocorrer fracasso X., se ocorrer sucesso A dstrbução de probabldade de X é defda por: x P(X x ) p p Verfca-se faclmete que E(X) p e V(X) p( p), que são as prcpas característcas da v.a. X. 3

33 Expermetos Bomas Um expermeto bomal apreseta quatro propredades:. O expermeto cosste em uma sequêca de esaos dêtcos e depedetes;. Dos resultados são possíves em cada esao. Um é deomado de sucesso e o outro de fracasso; 3. A probabldade de um sucesso é deotada por p, e ão se modfca de esao para esao. (O mesmo se aplca à probabldade de fracasso q p ); 4. Os esaos são depedetes; 5. Defa uma varável aleatóra Y como sedo o úmero de sucessos os esaos. Defção 3.8: Dzemos que uma varável aleatóra dscreta Y X + X X, ode cada X é um esao de Beroull, apreseta dstrbução bomal com provas (esaos ou tetatvas) e probabldade p de sucesso, sedo sua fução de probabldade defda por: k k P( X k) p ( p), k,,, k pos, para X k teremos observado k sucessos, cada um com probabldade p e cosequetemete (-k) fracassos, cada um com probabldade q p. Notação: X ~ B(, p), equvalete a dzer que X tem dstrbução Bomal com parâmetros e p. Propredades E(X) p V(X) pq Exemplo 3.9: Dos tmes de futebol, A e B, jogam etre s 6 vezes. Supoha que as probabldades de A gahar, perder ou empatar sejam as mesmas e permaeçam costates durate as 6 partdas. Ecotre a probabldade do tme A gahar 4 vezes e calcule a esperaça e a varâca. Solução Seja X {úmero de vezes que o tme A gaha} Note que p /3 (vecer) e que q /3 (perder ou empatar). Além dsso, Logo, P( X 4) (/ 3) ( / 3) 5 (/ 3) ( / 3), Temos também que a esperaça (méda) de vtóras será E ( X ) p 6 e a varâca 3 4 V ( X ) pq Dstrbução Normal A dstrbução ormal é a mas mportate das dstrbuções cotíuas de probabldade. Cohecda por algus letores como a curva em forma de so, tem sua orgem assocada aos erros de mesuração. É sabdo que, quado se efetuam repetdas mesurações de determada gradeza com um aparelho equlbrado, ão se chega ao resultado todas as vezes. Obtém-se, ao cotráro, um cojuto de valores que osclam, de modo aproxmadamete smétrco, em toro do verdadero valor. Costrudo um hstograma desses valores e o correspodete polígoo de frequêcas, obtém-se uma polgoal aproxmadamete smétrca. A dstrbução ormal desempeha, ão obstate, um papel prepoderate a estatístca e os processos de ferêca, ela baseados, têm larga aplcação. Mutas das varáves quattatvas aalsadas em pesqusas as dversas áreas de estudo correspodem ou se aproxmam da dstrbução ormal. 33

34 Uma dstrbução ormal caracterza-se por uma fução real f(x) deomada de fução desdade de probabldade (f.d.p) da v.a X, dado pelo modelo probablístco abaxo e gráfco correspodete: ( x µ ) f ( x) exp, - < x < +, - < < +, >. µ σ π σ σ Propredades da Curva Normal. É umodal, sto é, f(x) tem um poto de máxmo cuja abscssa é x µ. Esse poto, stuado o meo da dstrbução, é aquele em que cocdem os valores da méda, moda e medaa;. f(x) é smétrca em relação à méda µ; 3. f(x) tem dos potos de flexão, cujas abscssas são x µ σ e x µ + σ; 4. O desvo-padrão é dado por σ ( a raz quadrada postva da varâca σ ); 5. A área total sob a curva ormal e acma do exo horzotal equvale a (o exo das abscssas é o exo dos valores de v.a. X; 6. f(x) tem uma assítota. A partr do topo, a curva ca gradatvamete até formar as caudas que se estedem defdamete, aproxmado-se cada vez mas da lha base sem, etretato, jamas tocá-la. 7. Fxado-se a méda, verfca-se que o achatameto da curva está dretamete lgado ao valor do desvo padrão σ, ou seja, quato maor for o desvo padrão mas achatada é a curva, como pode ser vsta a fgura abaxo. Notação: X N (µ, σ ), ou seja, X tem dstrbução ormal com méda µ e varâca σ. Ou ada, X N (µ, σ), sto é, X tem dstrbução ormal com méda µ e desvo padrão σ. Dstrbução Normal Padrão O cálculo dreto de probabldades evolvedo a dstrbução ormal ão é um processo elemetar. Notemos, etretato, que a fução de desdade ormal depede de dos parâmetros, µ e σ, de modo que se tabelássemos as probabldades dretamete a partr dessa fução, seram ecessáras tabelas de dupla etrada para cada valor partcular µ µ e σ σ, complcado cosderavelmete o problema. Recorre-se, por sso, a uma mudaça de varável, trasformado a v.a. X a v.a. Z assm defda: 34

35 Z X µ σ Esta ova varável chama-se varável ormal padrozada, ou reduzda, sedo sua méda gual a zero (µ ) e o seu desvo padrão é gual um (σ ). X µ E( X ) µ µ µ E( Z) E σ σ σ X µ V ( X ) σ V ( Z) V σ σ σ A curva ormal padrão coserva as mesmas propredades lstadas aterormete. Medate tal trasformação, basta costrurmos uma úca tabela, a da ormal reduzda e, através dela, obtermos as probabldades assocadas a todas as dstrbuções N (µ, σ). A utldade otável da tabulação pela varável ormal padrozada é devda ao fato de que, se X tver qualquer dstrbução ormal N(µ, σ), a tabela da dstrbução N(; ) pode ser empregada para calcular probabldades assocadas a X, smplesmete aplcado a trasformada para a varável Z. Cosequetemete, temos que a µ b µ b µ a µ P ( a X b) P Z Φ Φ, σ σ σ σ ode Φ(z) P (Z z), é a fução de dstrbução acumulada de N(; ). Exemplo 3.9: Os saláros médos dáro dos operáros de uma dústra são dstrbuídos segudo uma dstrbução ormal com méda de R$ 5, e desvo padrão de R$ 4,. Ecotre a probabldade de um operáro ter um saláro dáro abaxo de R$ 5,. Solução Seja X o saláro dáro do operáros, estamos teressados em ecotrar P (X < 5). Assm, 5 µ 5 5 P( X < 5) P Z < P Z < P( Z <,5) Φ (,5). σ 4 Através da tabela da dstrbução ormal padrão, obtemos a probabldade de teresse Φ (,5), 695. Logo, pode-se afrmar que a probabldade de um operáro apresetar um saláro feror a R$ 5, é de 69,5%. Dca Três mportates formações que rão facltar o cálculo de probabldades evolvedo a dstrbução ormal padrão: () a tabela que você está utlzado apreseta as probabldades de P(Z z ) F(z ), ou seja, a fução de dstrbução acumulada. No etato, esta tabela cosdera apeas valores postvos para Z. () a área total sob a curva equvale a. Logo, a metade da curva represeta probabldade gual a,5; () a curva da ormal é smétrca. Essa propredade será bastate útl o cálculo de probabldades ode os valores de Z são egatvos, ou seja, P(X x ) P(X + x );. 35