Integração Numérica. Leonardo F. Guidi. Cálculo Numérico DMPA IME UFRGS

Save this PDF as:

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Integração Numérica. Leonardo F. Guidi. Cálculo Numérico DMPA IME UFRGS"

Transcrição

1 Qudrtur por interpolção DMPA IME UFRGS Cálculo Numérico

2 Índice Qudrtur por interpolção 1 Qudrtur por interpolção 2 Qudrturs simples Qudrturs composts 3 4

3 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção O método de qudrtur por interpolção consiste em utilizr um polinômio interpolnte p(x) pr proximr o integrndo f (x) no domínio de integrção [, b]. Dess form integrl pode ser proximd pel integrl f (x)dx p(x) dx. Se o integrndo f (x) é conhecido em n pontos distintos x 1,...,x n, podemos utilizr lgum dos métodos desenvolvidos pr encontrr um polinômio p(x) que interpole f (x i ), i = 1,...,n.

4 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção De cordo com o método de interpolção de Lgrnge, um vez determindos os polinômios de Lgrnge l i (x), (e interpolção p(x) = n i=1 f (x i)l i (x) ), proximção seri então dd por p(x)dx = n i=1 f (x i )l i (x)dx.

5 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção De cordo com o método de interpolção de Lgrnge, um vez determindos os polinômios de Lgrnge l i (x), (e interpolção p(x) = n i=1 f (x i)l i (x) ), proximção seri então dd por p(x)dx = n i=1 f (x i ) l i (x)dx.

6 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção De cordo com o método de interpolção de Lgrnge, um vez determindos os polinômios de Lgrnge l i (x), (e interpolção p(x) = n i=1 f (x i)l i (x) ), proximção seri então dd por p(x)dx = n i=1 f (x i ) l i (x)dx.

7 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção De cordo com o método de interpolção de Lgrnge, um vez determindos os polinômios de Lgrnge l i (x), (e interpolção p(x) = n i=1 f (x i)l i (x) ), proximção seri então dd por p(x)dx = n i=1 f (x i )C i.

8 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção De cordo com o método de interpolção de Lgrnge, um vez determindos os polinômios de Lgrnge l i (x), (e interpolção p(x) = n i=1 f (x i)l i (x) ), proximção seri então dd por p(x)dx = n i=1 f (x i )C i. A proximção d integrl de f (x) é dd então por f (x)dx n i=1 C i f (x i ), onde os coeficientes C i são ddos pels integris (que podem ser resolvids extmente). Expressões dess form são denominds fórmuls de qudrtur. De um mneir gerl, tods s proximções de operções de integrção numéric podem ser descrits ness form nturlmente, o coeficiente C i vi depender do método utilizdo.

9 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção A chve pr determinr os coeficientes é o fto de que os polinômios de Lgrnge, l i (x), dependem pens dos pontos x i. Então, qulquer que sej o integrndo f (x), um vez fixdos os pontos x i, os polinômios de Lgrnge serão são sempre os mesmos. Se escolh de f (x) for um polinômio de gru menor ou igul n 1, interpolção é ext, ou sej, f (x) p(x) e portnto f (x)dx = p(x)dx = n i=1 C i f (x i ). Como integrl indefinid de f é conhecid, então expressão nterior torn-se um equção pr os n coeficientes C i. A escolh de funções f d form f j (x) = x j pr j = 0,...,n 1 dá origem um sistem liner pr os coeficientes.

10 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção Assim, prtir de um conjunto de pontos {x i } n i=1distribuidos sobre o intervlo [, b], proximmos integrl onde C i são solução de f (x)dx n i=1 C i f (x i ), (x 1 ) 0 C 1 + (x 2 ) 0 C (x n ) 0 C n = x 0 dx = b x 1 C 1 + x 2 C x n C n =.. x dx = b (x 1 ) n 1 C 1 + (x 2 ) n 1 C (x n ) n 1 C n = xn 1 dx = bn n n

11 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção Assim, prtir de um conjunto de pontos {x i } n i=1distribuidos sobre o intervlo [, b], proximmos integrl onde C i são solução de f (x)dx n i=1 C i f (x i ), C 1 + C C n = b = b x 1 C 1 + x 2 C x n C n = b (x 1 ) n 1 C 1 + (x 2 ) n 1 C (x n ) n 1 C n =.. xn 1 dx b n n n

12 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção Exemplo Vmos utilizr os pontos x 1 = 1/2, x 2 = 0 e x 3 = 1/2 pr construir um qudrtur pr integrl definid 1/2 f (x)dx. Nesse cso, o 1/2 sistem pr os coeficientes C i tom seguinte form C 1 + C 2 + C 3 = 1 C C 3 = 0 C C 3 = 1 3 cuj solução é C 1 = C 3 = 1 6 e C 2 = 2. Portnto proximção de um 3 integrl 1/2 f (x)dx é dd por 1/2 1/2 1/2 f (x)dx 1 (f ( 1/2) + 4f (0) + f (1/2)). 6

13 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção Se conhecemos proximção de um integrl f (x)dx n i=1 f (x i)c i e quisermos encontrr um proximção pr d c f (y)dy, devemos relizr mudnç de vriável y = αx + β (trnsformção fim) que implic d c d β f (y)dy = α α c β f (αx + β)dx. α Os vlores de α e β são determindos qundo exigimos que os limites de c β integrção coincidm: α = e d β = b. Ou sej, α e ssim, d c α = d c b f (y)dy = α e β = bc d b. f (αx + β)dx α n i=1 f (αx i + β)c i.

14 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Qundo os pontos de interpolção = x 1 < x 2 <... < x n = b são igulmente espçdos, o método de qudrtur por interpolção recebe o nome de fórmul de Newton-Cotes. Nesse cso, os coeficientes d qudrtur são ddos prtir de fórmuls que contém informção sobre o intervlo de integrção e o número de pontos utilizdos, n form do prâmetro h, dos pontos x i, h = b n 1, x i = + (i 1)h, onde i = 1,2,...n e dos pesos que dependem do número de pontos utilizdos n qudrtur.

15 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Um dos csos mis simples é regr do trpézio n qul pens dois pontos são utilizdos. A qudrtur com dois pontos é dd pel fórmul f (x)dx C 1 f () + C 2 f (b), onde C 1 e C 2 são solução do sistem de equções lineres C 1 + C 2 = b C 1 + b C 2 = b2 2 A solução do sistem é C 1 = C 2 = b 2. 2.

16 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Em termos de x i e h, regr do trpézio pr integrl f (x)dx ssume form f (x)dx h 2 (f () + f (b)) = h 2 (f (x 1) + f (x 2 )).

17 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Estudmos no cpítulo sobre interpolção que se f (n) for contínu em um intervlo que contenh (, b), então cd x no intervlo de interpolção [,b], existe um ξ (,b) (que depende de x, ou sej, ξ (x)) tl que f (x) = p(x) + f (n) (ξ ) n! n i=1 (x x i ), onde n é o número de pontos de interpolção e x i, pr i = 1,2,...,n são os pontos de interpolção.

18 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Ess relção entre f e p permite estimr o erro de truncmento cometido o proximrmos integrl pel regr do trpézio. Então, como h b 2 (f () + f (b)) = p(x) dx, em vist d relção entre f e p temos que f (x)dx h 2 (f () + f (b)) = (f (x) p(x)) dx = f (ξ (x)) (x )(x b)dx. 2

19 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Com o objetivo de tornr explícit dependênci desse termo em h, vmos relizr mudnç de vriável de integrção y = x h. Nesse cso, qundo x =, y = 0 e qundo x = b, y = 1. Dess form, f (x)dx h 2 (f () + f (b)) = 1 0 = h3 2 f (ξ ( + yh)) h y h(y 1)(h dy) f (ξ ( + yh))y(y 1)dy

20 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Com o objetivo de tornr explícit dependênci desse termo em h, vmos relizr mudnç de vriável de integrção y = x h. Nesse cso, qundo x =, y = 0 e qundo x = b, y = 1. Dess form, f (x)dx h 2 (f () + f (b)) = 1 0 = h3 2 f (ξ ( + yh)) h y h(y 1)(h dy) f (ξ ( + yh))y(y 1)dy 1 o teorem do vlor médio pr integrção Se f e g são funções contínus e g não mud de sinl no intervlo fechdo [c,d], então existe um ponto η (c,d) tl que d c d f (x)g(x)dx = f (η) g(x)dx. c

21 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Um vez que y(y 1) não mud de sinl no intervlo [0,1], o teorem grnte existênci de um η (0,1) ξ (,b) tl que f (x)dx h h3 1 (f () + f (b)) = 2 2 f (ξ ) y(y 1)dy 0 = h3 12 f (ξ ).

22 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Regr do trpézio Se f é um função de clsse C 2 (,b), então existe um ξ (,b) tl que onde h = b e x i = + (i 1)h. f (x)dx = h 2 (f (x 1) + f (x 2 )) h3 12 f (ξ ),

23 Exemplo Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Vmos estudr novmente proximção d integrl 1/2 1/2 e x2 dx, gor porém, prtir d fórmul do trpézio pr qudrtur. O intervlo de [ integrção é 1 2, 1 2 fórmul do trpézio 1/2 1/2 e x2 dx 1 2 ], portnto nesse cso, h = 1. De cordo com ( e 1/4 + e 1/4) = Qunto ( o erro de truncmento n proximção, sbemos que existe um ζ 1 2, 1 ) tl que 2 1/2 1/2 e x2 dx 1 2 (e 1/4 + e 1/4) = 13 ( 4ζ 2 2 ) e ζ 2. 12

24 Exemplo Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts A função 1 ( 4ζ 2 2 ) ( e ζ 2 trnsform o intervlo , 1 ) no ( 2 1 intervlo 12 e 1/4, 1 ) = ( ,0.1 6). Esse novo intervlo 6 determin região de possíveis vlores pr o erro de truncmento. De fto, diferenç entre o vlor exto e proximção é ( ,0.1 6).

25 Regr de Simpson Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts A regr de Simpson é fórmul de qudrtur de Newton com três pontos. Nesse cso, o intervlo de integrção [,b] é dividido em dus prtes pelo ponto intermediário + b. Assim, os três pontos de 2 interpolção x 1,x 2 e x 3 são ddos por x 1 =, x 2 = + h = + b e 2 x 3 = + 2h = b, onde h = b é seprção entre os pontos 2 consecutivos. A fórmul de qudrtur possui form f (x)dx 3 i=1 C i f (x i ), onde C i, i = 1,2e 3 são solução do seguinte sistem de equções lineres

26 Regr de Simpson Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts C 1 + C 2 + C 3 = b C 1 + +b 2 C 2 + bc 3 = b C 1 + ( ) +b 2 2 C2 + b 2 C 3 = b3 3 3 A solução do sistem é dd por C 1 = b 6, C 2 = 2 3 (b ) e C 3 = b 6 Em termos d seprção entre os pontos h = b 2, C 1 = h 3, C 2 = 4 3 h e C 3 = h 3...

27 Regr de Simpson Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Qunto o erro de truncmento cometido n proximção, o mesmo pode ser estimdo de mneir nálog à d regr do trpézio. Regr de Simpson Se f é um função de clsse C 4 (,b), então existe um ξ (,b) tl que f (x)dx = h 3 (f (x 1) + 4f (x 2 ) + f (x 3 )) h5 90 f (4) (ξ ), onde h = b 2, x i = + (i 1)h e i = 1,2,3.

28 Qudrtur por interpolção Regrs de ordem superior Qudrturs simples Qudrturs composts Regr 3/8 4 pontos Se f é um função de clsse C 4 (,b), então existe um ξ (,b) tl que f (x)dx = 3 8 h (f (x 1) + 3f (x 2 ) + 3f (x 3 ) + f (x 4 )) 3h5 80 f (4) (ξ ), onde h = b 3, x i = + (i 1)h e i = 1,2,3,4. Regr de Boole 5 pontos Se f é um função de clsse C 6 (,b), então existe um ξ (,b) tl que f (x)dx = 2 45 h (7f (x 1) + 32f (x 2 ) + 12f (x 3 ) + 32f (x 4 ) + 7f (x 5 )) 8h7 945 f (6) (ξ ), onde h = b 4, x i = + (i 1)h e i = 1,2,3,4,5.

29 Qudrtur por interpolção Regrs de ordem superior Qudrturs simples Qudrturs composts No entnto devemos levr em cont que não há grntis de que o umento do número de pontos implic convergênci d qudrtur pr o vlor exto d integrl. Isto é um reflexo direto do fto de que s proximções que estudmos té qui são desenvolvids prtir d integrção de um polinômio que interpol f em pontos igulmente espçdos e, como já estudmos no cpítulo sobre interpolção, existem exemplos de funções contínus e com tods s derivds contínus em lgum intervlo cuj interpolção polinomil com pontos igulmente espçdos não converge pr f qundo o número de pontos cresce (lembre-se d função de Runge 1 f (x) = no intervlo x [ 1,1]) x 2 A seguir veremos um técnic de qudrtur que grnte convergênci pr o vlor exto d integrl de f qundo o número de pontos n.

30 Qudrtur por interpolção Qudrturs composts Qudrturs simples Qudrturs composts Um mneir de evitr s instbiliddes relcionds à interpolção em pontos igulmente espçdos consiste em prticionr o intervlo de integrção em diversos subintervlos e relizr qudrtur newtonino em cd um desses subintervlos com um pequen quntidde de pontos. Dess form, o umento do número totl de pontos implic um menor vrição d função no domínio de integrção de cd qudrtur e consequentemente, proximção do integrndo por um polinômio torn-se cd vez melhor. No limite, desconsiderndo os erros de rredondmento relizdos pel máquin que reliz s operções, proximção converge pr o vlor exto qundo o integrndo for suficientemente suve. Veremos dus regrs composts, regr compost do trpézio e regr compost de Simpson.

31 Qudrtur por interpolção Regr compost do trpézio Qudrturs simples Qudrturs composts A regr compost do trpézio consiste em dividir o intervlo de integrção [,b] em n 1 sub-intervlos [,x 2 ] [x 2,x 3 ]... [x n 1,b] = [,b], de mesm extensão h = b e plicr regr do trpézio em cd n 1 intervlo [x k,x k+1 ]. f (x)dx = x2 =x 1 f (x)dx + x3 =xn f (x)dx f (x)dx x 2 x n 1 h 2 (f () + f (x 2)) + h 2 (f (x 2) + f (x 3 )) h 2 (f (x n 1) + f (b)) ( 1 = h 2 f () + f (x 2) + f (x 3 ) f (x n 2 ) + f (x n 1 ) + 1 ) 2 f (b), onde x 1 =, x n = b e x k = + (k 1)h, pr k = 1,...,n.

32 Qudrtur por interpolção Regr compost do trpézio Qudrturs simples Qudrturs composts Erro de truncmento A cd subintervlo [x k,x k+1 ] podemos estimr o erro de truncmento cometido n regr do trpézio: se f C 2 (,b), existe um ξ k (x k,x k+1 ) tl que xk+1 f (x)dx = h 2 (f (x k+1) + f (x k )) h3 12 f (ξ k ). x k A união de todos os intervlos implic ( 1 f (x)dx = h 2 f () + f (x 2) f (x n 1 ) + 1 ) 2 f (b) h3 12 n 1 k=1 f (ξ k ). Como, por hipótese, função f é contínu, então existe um ξ (,b) tl que f (ξ ) = 1 n 1 n 1 f (ξ k ). k=1

33 Qudrtur por interpolção Regr compost do trpézio Qudrturs simples Qudrturs composts Por outro ldo, h = b e portnto, podemos reescrever iguldde n 1 como ( 1 dx f (x) = h 2 f () + f (x 2) f (x n 1 ) + 1 ) 2 f (b) h2 12 (b )f (ξ ), onde ξ (,b).

34 Qudrtur por interpolção Regr compost do trpézio Qudrturs simples Qudrturs composts Regr Compost do Trpézio Se f é um função de clsse C 2 (,b), então existe um ξ (,b) tl que ( 1 dx f (x) = h 2 f () + f (x 2) f (x n 1 ) + 1 ) 2 f (b) h2 12 (b )f (ξ ), onde h = b n 1, x i = + (i 1)h e i = 1,2,...,n. Note que nesse cso, n usênci de erros de rredondmento, proximção dd pel regr compost converge pr integrl ext no limite h 0.

35 Qudrtur por interpolção Regr compost de Simpson Qudrturs simples Qudrturs composts De mneir totlmente nálog, construimos um qudrtur compost prtir d união ds qudrturs relizds nos subintervlos com três pontos igulmente espçdos. A prtir de um número ímpr de pontos igulmente espçdos de h = b, proximmos integrl de f no n 1 intervlo [,b] trvés de qudrturs de Simpson nos n 1 intervlos 2 [,x 3 ], [x 3,x 5 ],...,[x n 2,b]: f (x)dx = x3 =x 1 f (x)dx + x5 =xn f (x)dx f (x)dx x 3 x n 2 h 3 (f () + 4f (x 2) + f (x 3 )) + h 3 (f (x 3) + 4f (x 4 ) + f (x 5 )) h 3 (f (x n 2) + 4f (x n 1 ) + f (b)) = h 3 [f () + 4(f (x 2) + f (x 4 ) f (x n 1 ))+ +2(f (x 3 ) + f (x 5 ) f (x n 2 )) + f (b)],

36 Qudrtur por interpolção Regr compost de Simpson Qudrturs simples Qudrturs composts A regr de Simpson compost pode ser representd pelo somtório onde C k = f (x)dx h 3 n k=1 C k f (x k ), 1, se k = 1 ou k = n 4, se k for pr 2, se k for ímpr A nálise do erro de truncmento cometido n proximção segue linh já estudd n regr do trpézio compost.

37 Qudrtur por interpolção Regr compost de Simpson Qudrturs simples Qudrturs composts Regr Compost do Simpson Se f é um função de clsse C 4 (,b), então existe um ξ (,b) tl que f (x)dx = h 3 n k=1 C k f (x k ) h4 180 (b )f (4) (ξ ), onde C k = 1, se k = 1 ou k = n 4, se k for pr 2, se k for ímpr h = b n 1, x i = + (i 1)h e i = 1,2,...,n..

38 Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Se f for um função de clsse C 2k+2 em um intervlo [,b], então de cordo com fórmul de Euler-Mclurin su integrl definid nesse intervlo stisfz expressão f (x)dx = T n + c 2 h 2 + c 4 h c 2k h 2k + c 2k+2 h 2k+2 f (2k+2) (ξ ), onde T n é regr compost do trpézio com n pontos e espçmento h, os coeficientes c 2,...,c 2k não dependem de h e ξ (,b) é um função que represent o resto do som.

39 Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Se f for um função de clsse C 2k+2 em um intervlo [,b], então de cordo com fórmul de Euler-Mclurin su integrl definid nesse intervlo stisfz expressão f (x)dx = T n + c 2 h 2 + c 4 h c 2k h 2k + c 2k+2 h 2k+2 f (2k+2) (ξ ), onde T n é regr compost do trpézio com n pontos e espçmento h, os coeficientes c 2,...,c 2k não dependem de h e ξ (,b) é um função que represent o resto do som. Portnto, de cordo com fórmul, um qudrtur no mesmo intervlo com 2n 1 pontos, corresponde um espçmento igul metde do originl, ssim ( h f (x)dx = T 2n 1 +c 2 2 ) 2 ( ) h 4 +c c 2k 2 ( ) h 2k +c 2k+2 2 Isto permite combinr s equções de modo que o resultdo d combinção liner cncel o termo h 2 : f (x)dx = 4T 2n 1 T n 3 ( + d 4 h d k h 2k + O h 2k+2). ( ) h 2k+2 f (2k+2) ( ξ ). 2

40 Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts A qudrtur resultnte, 4T 2n 1 T n é qudrtur de Simpson 3 compost com 2n 1 pontos. O mesmo procedimento pode ser repetidmente iterdo com o objetivo de produzir resultdos com erro de truncmento de ordem superior. Algums desss combinções correspondem regrs composts de Newton-Cotes. O método de Romberg propõe seguinte bordgem. Colecionmos m qudrturs composts pel regr do trpézio com 3,5,9,...,2 m + 1 pontos. Esss qudrturs podem ser convenientemente clculds segundo recursão: T 2 j +1 = 1 2 j 1 2 T 2 j h j f ( ) + (2k 1)h j, k=1 onde h j = b ( 1 2 j, T 2 = h 0 2 f () + 1 ) 2 f (b) e j = 1,2,...m.

41 Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts De cordo com extrpolção de Richrdson, podemos encontrr qudrtur de Simpson compost com 2 j + 1 pontos trvés d combinção 4T 2 j +1 T 2 j Vmos simbolizr esss novs qudrturs por R j,1, ou sej, R j,1 = 4T 2 j +1 T 2 j pr j = 1,2,...,m. Um nov sequênci de extrpolções de Richrdson cncelrá os termos h 4. Denominmos esss novs qudrturs composts por R j,2 : R j,2 = 16R j,1 R j 1,1. 15

42 Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Atrvés de um processo de indução, chegmos à recorrênci R j,n = 4n R j,n 1 R j 1,n 1 4 n, 1 pr n = 1,2,...,j, onde R j,0 T 2 j +1. A relção de recorrênci é expressão do método de Romberg.

43 Em resumo: Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts clculmos qudrtur do trpézio simples e s m qudrturs do trpézio composts T 2 j +1, de cordo com recorrênci. em seguid, de cordo com relção de recorrênci, clculmos recursivmente s qudrturs R j,1 pr j = 1,2,...,m, R j,2 pr j = 2,...,m, R j,3 pr j = 3,...,m, etc. té R m,m que é proximção de ordem O ( ) hm 2m+2 pr integrl b f (x)dx.

44 Qudrtur por interpolção Os métodos de qudrtur que envolvem interpolção polinomil em n pontos fornecem, por construção, o vlor exto d integrl qundo o integrndo é um polinômio de gru menor ou igul n 1. Um vez escolhidos os n pontos x i [,b], utilizmos os n polinômios x j, j = 0,1,...,n 1 pr determinr os coeficientes C i d qudrtur trvés d solução do sistem de equções lineres n i=1 C i (x i ) j = x j dx = bj+1 j+1. j + 1 A qudrtur gussin utiliz s mesms equções, porém trt os pontos de interpolção x i como incógnits e inclui outrs n equções relcionds à interpolção dos polinômios x j, j = n,n + 1,...,2n 1.

45 Qudrtur por interpolção A fórmul de qudrtur é determind pel solução do sistem de 2n equções não lineres 2n i=1 C i (x i ) j = bj+1 j+1, j = 0,1,2,...,2n 1. j + 1 em termos ds incógnits C i e x i, i = 1,2,...,2n. Como já estudmos, trvés de mudnçs de vriáveis podemos mudr o intervlo de integrção. Desse modo não perdemos nenhum generlidde o estudr solução do sistem não liner ddo pelo limite de integrção [ 1, 1].

46 Qudrtur por interpolção C 1 + C C n = x 1 C 1 + x 2 C x n C n = (x 1 ) 2 C 1 + (x 2 ) 2 C (x n ) 2 C n = 1 1 x 0 dx = 1 ( 1) = x dx = 12 ( 1) 2 2 = x 2 dx = 13 ( 1) 3 3 = (x 1 ) k C 1 + (x 2 ) k C (x n ) k C n = 1 1 x k dx = { 2 k+1, kpr 0, kímpr... (x 1 ) 2n 1 C 1 + (x 2 ) 2n 1 C (x n ) 2n 1 C n = 1 1 x 2n 1 dx = 12n ( 1) 2n 2n = 0

47 Qudrtur por interpolção É possível demonstrr que esse sistem possui pens um solução que stisfç os critérios, 1 < x i < 1 e C i > 0. Apesr d prente complexidde presentd pelo sistem, não é difícil perceber que os pontos x i stisfzem um equção polinomil (bst isolr s vriáveis C i e em seguid s vriáveis x i prtir d primeir equção. N relidde, é possível demonstrr que os pontos x i são s rízes do polinômio de Legendre de gru n, P n. O polinômio de Legendre de gru n, P n (x) pode ser determindo trvés d fórmul de Rodrigues: d n P n (x) = 1 ( (x 2 2 n (n!) dx n 1 ) ) n. De cordo com su estrutur, é possível determinr s rízes exts té, pelo menos, n = 9.

48 Qudrtur por interpolção Os coeficientes C i são então ddos pel expressão C i = 2 (1 x 2 i )(P n(x i )) 2. Isto permite, o menos numericmente, construir qudrtur com um número rbitrário de pontos.

49 Qudrtur por interpolção As três primeirs qudrturs gussins no intervlo ( 1, 1) são dds extmente pelos coeficientes: 2 pontos: C 1 = C 2 = 1 e x 1 = x 2 = pontos: C 1 = C 3 = 5 9, C 2 = 8 9, x 1 = x 3 = 3 5 e x 2 = 0. 4 pontos: C 1 = C 4 = 1 ( ) 18 30, C2 = C 3 = 1 C 1, 36 1 ( ) 1 ( ) x 1 = x 4 = , x2 = x 3 = pontos: C 1 = C 5 = 1 ( ) , 900 C 2 = C 4 = 1 ( ) , C3 = , 1 ( ) 1 ( ) x 1 = x 5 = , x2 = x 4 = e x 3 = 0.

50 Qudrtur por interpolção Nest seção veremos lgums estrtégis que podem ser dotds pr proximr o vlor exto de lgums clsses de integris imprópris. são quels que possuem lgum singulridde ns extremiddes do intervlo de integrção. Tipicmente, qundo o intervlo de integrção é tod ret rel ou um semirret, ou qundo o integrndo possui um singulridde integrável em um ou nos dois extremos do intervlo. y f (x)dx := lim f (x)dx y Inicilmente trtremos os integrndos que possuem singulridde em um ds extremiddes do intervlo de integrção (finito). Os demis csos podem ser reescritos como um desses.

51 Qudrtur por interpolção Um clsse de singulriddes integráveis muito comum é crcterizd pel presenç do termo 1 (x ) r onde R e 0 < r < 1. Neste cso, pesr d singulridde em x =, integrl em um intervlo [,b] é bem definid: 1 (x ) r dx = 1 1 r (x )1 r x=b x= = 1 1 r (b )1 r R O fto de integrndos dess fmíli dmitirem primitivs cuj expressão é conhecid permite o trtmento de integris de funções f : (,b] R d form f (x) = g(x) (x ) r, r (0,1), onde g : [,b] R é um função contínu de clsse C n [,b], cuj derivd g (n+1) existe em um berto que contém.

52 Qudrtur por interpolção Neste cso, o Teorem de Tylor com fórmul de erro de Lgrnge grnte que pr cd x [,b], existe um ξ (,x) tl que g(x) = g()+g ()(x )+ 1 2 g ()(x ) (n + 1)! g (n+1) (ξ )(x ) n+1. Por simplicidde, vmos considerr o cso em que g é de clsse C 2 [,b] e possui terceir derivd limitd no intervlo berto (, b). Sej p 2 o polinômio de gru 2 formdo pelos três primeiros termos d série de Tylor nterior e seguinte decomposição pr f f (x) = p 2(x) (x ) r + g(x) p 2(x) (x ) r. Como o denomindor do último termo contém potêncis de (x ) miores ou iguis 3, esse termo é livre de singulriddes e seu limite é igul zero qundo x +.

53 Qudrtur por interpolção Iremos representr esse termo pel função G : [,b] R (note que G está definid em x = ) g(x) p 2 (x) G(x) = (x ) r, x >. 0, x = Assim, integrl originl é decompost n form d som f (x)dx = p 2 (x) b (x ) r dx + G(x)dx. O primeiro termo contém singulridde ms o seu vlor exto é conhecido: p 2 (x) )1 r dx = g()(b + g (b )2 r () (x ) r (1 r) (2 r) + g () 2 (b ) 3 r. (3 r) Por construção, G é um função regulr contínu, su integrl definid pode ser proximd por um método de qudrtur usul.

54 Qudrtur por interpolção Se integrl imprópri for em um intervlo de comprimento infinito, como fmíli de integris d form g(x) I = x s dx, s > 1, onde g : [, ) é um função contínu, suficientemente diferenciável e limitd. Nesse cso, o integrndo é integrável e I ssume um vlor rel. Veremos que é possível reduzir ess fmíli àquel que estudmos nteriormente. O intervlo de integrção é trnsformdo em um intervlo finito trvés d mudnç de vriável t = 1 x = x = 1 t = dx = 1 t 2 dt, que trnsform extremidde x = n extremidde t = 1 e extremidde x = + n extremidde t = 0.

55 Qudrtur por interpolção N nov vriável, integrl ssume form 0 I = = 1 ts g(1/t) 1 0 g(1/t) t 2 s dt. ( 1 ) t 2 dt Como g é limitd e s > 1, singulridde em t = 0 é integrável e podemos utilizr mesm bordgem do cso nterior.

Quadratura por interpolação Fórmulas de Newton-Cotes Quadratura Gaussiana. Integração Numérica. Leonardo F. Guidi DMPA IM UFRGS.

Quadratura por interpolação Fórmulas de Newton-Cotes Quadratura Gaussiana. Integração Numérica. Leonardo F. Guidi DMPA IM UFRGS. Qudrtur por interpolção DMPA IM UFRGS Cálculo Numérico Índice Qudrtur por interpolção 1 Qudrtur por interpolção 2 Qudrturs simples Qudrturs composts 3 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção O

Leia mais

dx f(x) dx p(x). dx p(x) + dx f (n) n! i=1 f(x i) l i (x) ), a aproximação seria então dada por f(x i ) l i (x) = i=1 i=1 C i f(x i ), i=1 C i =

dx f(x) dx p(x). dx p(x) + dx f (n) n! i=1 f(x i) l i (x) ), a aproximação seria então dada por f(x i ) l i (x) = i=1 i=1 C i f(x i ), i=1 C i = Cpítulo 7 Integrção numéric 71 Qudrtur por interpolção O método de qudrtur por interpolção consiste em utilizr um polinômio interpolnte p(x) pr proximr o integrndo f(x) no domínio de integrção [, b] Dess

Leia mais

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa Integrção Numéric Diogo Pinheiro Fernndes Pedros Universidde Federl do Rio Grnde do Norte Centro de Tecnologi Deprtmento de Engenhri de Computção e Automção http://www.dc.ufrn.br/ 1 Introdução O conceito

Leia mais

Prof. Doherty Andrade- DMA/UEM DMA-UEM-2004

Prof. Doherty Andrade- DMA/UEM DMA-UEM-2004 Integrção Numéric Prof. Doherty Andrde- DMA/UEM DMA-UEM-4 Preliminres Nests nots o nosso interesse é clculr numericmente integris f(x)dx. A idéi d integrção numéric reside n proximção d função integrnd

Leia mais

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Integrção Numéric Métodos Numéricos e Esttísticos Prte I-Métodos Numéricos Integrção numéric Luís Morgdo Lic. Eng. Biomédic e Bioengenhri-009/010 Luís Morgdo Integrção numéric Integrção Numéric Recorrendo

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 55 Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I [; b] e tl que f (x) ; 8x [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos iguis, mplitude

Leia mais

Área entre curvas e a Integral definida

Área entre curvas e a Integral definida Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Áre entre curvs e Integrl definid Sej S região do plno delimitd pels curvs y = f(x) e y = g(x) e s rets verticis x = e x = b, onde f e g são funções

Leia mais

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Comprimento de rco Considerefunçãof(x) = (2/3) x 3 definidnointervlo[,],cujográficoestáilustrdo bixo. Neste texto vmos desenvolver um técnic pr clculr

Leia mais

Lista de Exercícios: Integração Numérica. xe x 2 dx. x f(x) t(min.) v(km/h)

Lista de Exercícios: Integração Numérica. xe x 2 dx. x f(x) t(min.) v(km/h) Instituto de Ciêncis Mtemátics de São Crlos - USP Deprtmento de Mtemátic Aplicd e Esttístic Prof: Murilo List de Exercícios: Integrção Numéric. Obtenh fórmul de integrção de Newton-Cotes do tipo fechdo,

Leia mais

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Escol Superior de Agricultur Luiz de Queiroz Universidde de São Pulo Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl Teori d Integrção e Aplicções Professor Rent Alcrde Sermrini Nots de ul do professor Idemuro

Leia mais

Introdução ao estudo de equações diferenciais

Introdução ao estudo de equações diferenciais MTDI I - 2007/08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 63 Introdução o estudo de equções diferenciis Existe um grnde vriedde de situções ns quis se desej determinr um quntidde vriável prtir de um

Leia mais

(x, y) dy. (x, y) dy =

(x, y) dy. (x, y) dy = Seção 7 Função Gm A expressão n! = 1 3... n (1 está definid pens pr vlores inteiros positivos de n. Um primeir extensão é feit dizendo que! = 1. Ms queremos estender noção de ftoril inclusive pr vlores

Leia mais

Homero Ghioti da Silva. 9 de Junho de 2016 FACIP/UFU. Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16

Homero Ghioti da Silva. 9 de Junho de 2016 FACIP/UFU. Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16 Homero Ghioti d Silv FACIP/UFU 9 de Junho de 216 Homero Ghioti d Silv (FACIP/UFU) 9 de Junho de 216 1 / 16 Integrção Numéric Motivção Estudr métodos numéricos pr se resolver integris denids do tipo I =

Leia mais

Integrais Imprópias Aula 35

Integrais Imprópias Aula 35 Frções Prciis - Continução e Integris Imprópis Aul 35 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 05 de Junho de 203 Primeiro Semestre de 203 Turm 20304 - Engenhri de Computção

Leia mais

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli Introdução à Integrl Definid Aul 04 Mtemátic II Agronomi Prof. Dnilene Donin Berticelli Áre Desde os tempos mis ntigos os mtemáticos se preocupm com o prolem de determinr áre de um figur pln. O procedimento

Leia mais

MAT Complementos de Matemática para Contabilidade - FEAUSP 1 o semestre de 2011 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira INTEGRAL

MAT Complementos de Matemática para Contabilidade - FEAUSP 1 o semestre de 2011 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira INTEGRAL MAT 103 - Complementos de Mtemátic pr Contbilidde - FEAUSP 1 o semestre de 011 Professor Oswldo Rio Brnco de Oliveir INTEGRAL Suponhmos um torneir bert em um recipiente e com velocidde de escomento d águ

Leia mais

IFRN Campus Natal/Central. Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos matemáticos para físicos e engenheiros - Aula 02.

IFRN Campus Natal/Central. Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos matemáticos para físicos e engenheiros - Aula 02. IFRN Cmpus Ntl/Centrl Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos mtemáticos pr físicos e engenheiros - Aul 0 Séries de Fourier 3 de gosto de 08 Resumo Neste ul, vmos estudr o conceito de conjunto completo

Leia mais

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que:

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que: Cpítulo 8 Integris Imprópris 8. Introdução A eistênci d integrl definid f() d, onde f é contínu no intervlo fechdo [, b], é grntid pelo teorem fundmentl do cálculo. Entretnto, determinds plicções do Cálculo

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas;

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Aul n o : Áre entre Curvs, Comprimento de Arco e Trblho Objetivos d Aul Clculr áre entre curvs; Clculr o comprimento de rco; Denir Trblho. 1 Áre entre

Leia mais

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes 1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como

Leia mais

Introdução ao Cálculo Numérico S(M, B) = (y i Mx i B) 2

Introdução ao Cálculo Numérico S(M, B) = (y i Mx i B) 2 Introdução o Cálculo Numérico 25 List de Exercícios 2 Observção importnte: Resolv o proplem pr o di d prov com função f(x) = cos(πx/2) e não com f(x) = sin(πx)! Problem 1. Sejm {x i, y i } n i= números

Leia mais

Aula 29 Aplicações de integrais Áreas e comprimentos

Aula 29 Aplicações de integrais Áreas e comprimentos Aplicções de integris Áres e comprimentos MÓDULO - AULA 9 Aul 9 Aplicções de integris Áres e comprimentos Objetivo Conhecer s plicções de integris no cálculo d áre de um superfície de revolução e do comprimento

Leia mais

4.2. ME TODO DE LAGRANGE

4.2. ME TODO DE LAGRANGE Cpítulo 4 Interpolção 4. Introdução Ddos n + pontos do plno P 0 = (x 0, y 0 ), P = (x, y ),, P n = (x n, y n ), tis que x i x j se i j, nosso principl objetivo neste cpítulo é encontrr um função f (x)

Leia mais

FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT

FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT 5 SEVERINO TOSCANO DO REGO MELO. Polinômios de Tylor A ret tngente o gráfico de um função f derivável em um ponto define função de primeiro gru que melhor proxim função em pontos

Leia mais

Aula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência

Aula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci MÓDULO - AULA 7 Aul 7 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci Objetivo Conhecer dois critérios de convergênci de integris imprópris:

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas. CÁLCULO L1 NOTAS DA DÉCIMA SÉTIMA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nest ul, utilizremos o Teorem Fundmentl do Cálculo (TFC) pr o cálculo d áre entre dus curvs. 1. A áre entre dus curvs A

Leia mais

RESUMO DE INTEGRAIS. d dx. NOTA MENTAL: Não esquecer a constante para integrais indefinidas. Fórmulas de Integração

RESUMO DE INTEGRAIS. d dx. NOTA MENTAL: Não esquecer a constante para integrais indefinidas. Fórmulas de Integração RESUMO DE INTEGRAIS INTEGRAL INDEFINIDA A rte de encontrr ntiderivds é chmd de integrção. Desse modo, o plicr integrl dos dois ldos d equção, encontrmos tl d ntiderivd: f (x) = d dx [F (x)] f (x)dx = F

Leia mais

Integração Numérica Grau de uma regra

Integração Numérica Grau de uma regra Integrção Numéric Gru de um regr Um regr diz-se de gru n se integrr sem erro todos os polinómios de gru n eexistir pelo menos um polinómio de gru n que não é integrdo exctmente. Exemplos: Regr do Trpézio

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? Cálculo II Prof. Adrin Cherri 1 INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região

Leia mais

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral www.engenhrifcil.weely.com Resumo com exercícios resolvidos do ssunto: Aplicções d Integrl (I) (II) (III) Áre Volume de sólidos de Revolução Comprimento de Arco (I) Áre Dd um função positiv f(x), áre A

Leia mais

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução Elementos de Análise - List 6 - Solução 1. Pr cd f bixo considere F (x) = x f(t) dt. Pr quis vlores de x temos F (x) = f(x)? () f(x) = se x 1, f(x) = 1 se x > 1; F (x) = se x 1, F (x) = x 1 se x > 1. Portnto

Leia mais

Utilizar a integral definida para calcular área, comprimento de arcos, volume de sólidos de revolução e trabalho mecânico.

Utilizar a integral definida para calcular área, comprimento de arcos, volume de sólidos de revolução e trabalho mecânico. Aul 3 Aplicções d integrl Objetivos Utilizr integrl definid pr clculr áre, comprimento de rcos, volume de sólidos de revolução e trblho mecânico. Inicimos ul 9, dedicd à integrção, motivndo o conceito

Leia mais

Integral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i

Integral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i Integrl Noção de Integrl. Integrl é o nálogo pr unções d noção de som. Ddos n números 1, 2,..., n, podemos tomr su som 1 + 2 +... + n = i. O integrl de = té = b dum unção contínu é um mneir de somr todos

Leia mais

FUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA

FUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA FUNÇÃO DO º GRAU OU QUADRÁTICA - Definição É tod função do tipo f() = + + c, com *, e c. c y Eemplos,, c números e coeficient termo vr vr iável iável es independen reis indepemdem dependente de te ou te

Leia mais

3. CÁLCULO INTEGRAL EM IR

3. CÁLCULO INTEGRAL EM IR 3 CÁLCULO INTEGRAL EM IR A importâni do álulo integrl em IR reside ns sus inúmers plições em vários domínios d engenhri, ms tmém em ísi, em teori ds proiliddes, em eonomi, em gestão 3 Prtição de um intervlo

Leia mais

Métodos Numéricos. (Integração numérica) Miguel Moreira DMAT

Métodos Numéricos. (Integração numérica) Miguel Moreira DMAT Métodos Numéricos (Integrção numéric) Miguel Moreir DMAT 1 Introdução Em muits situções, colocds à engenhri, é necessário conhecer o integrl definido I = f (x) dx sem que o mesmo poss ser cálculdo nliticmente:

Leia mais

1 Limite - Revisão. 1.1 Continuidade

1 Limite - Revisão. 1.1 Continuidade 1 Limite - Revisão O conceito de limite de um função contribui pr nálise do comportmento d função n vizinhnç de um determindo ponto. Intuitivmente, dd um função f(x) e um ponto b que pertence o domínio

Leia mais

MÉTODO DA POSIÇÃO FALSA EXEMPLO

MÉTODO DA POSIÇÃO FALSA EXEMPLO MÉTODO DA POSIÇÃO FALSA Vimos que o Método d Bissecção encontr um novo intervlo trvés de um médi ritmétic. Ddo o intervlo [,], o método d posição fls utiliz médi ponderd de e com pesos f( e f(, respectivmente:

Leia mais

e dx dx e x + Integrais Impróprias Integrais Impróprias

e dx dx e x + Integrais Impróprias Integrais Impróprias UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. Integris imprópris

Leia mais

Elementos Finitos Isoparamétricos

Elementos Finitos Isoparamétricos Cpítulo 5 Elementos Finitos Isoprmétricos 5.1 Sistems de Referênci Globl e Locl Considere o elemento liner, ilustrdo n Figur 5.1, com nós i e j, cujs coordends são x i e x j em relção o sistem de referênci

Leia mais

Derivação e Integração Numérica. 1.1 Aproximação da derivada por diferenças nitas. f (x 0 ) f(x 0) f(x 0 h) = y 1 y 0

Derivação e Integração Numérica. 1.1 Aproximação da derivada por diferenças nitas. f (x 0 ) f(x 0) f(x 0 h) = y 1 y 0 Derivção e Integrção Numéric 1 Derivção Numéric Ddo um conjunto de pontos (x i, y i ) ( ) n i=1, derivd dy pode ser clculd de váris forms N próxim dx i seção trblremos com diferençs nits, que é mis dequd

Leia mais

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5,

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5, - Limite. - Conceito Intuitivo de Limite Considere função f definid pel guinte epressão: f - - Podemos obrvr que função está definid pr todos os vlores de eceto pr. Pr, tnto o numerdor qunto o denomindor

Leia mais

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A.

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A. MÓDULO - AULA Aul Técnics de Integrção Substituição Trigonométric Objetivo Conhecer técnic de integrção chmd substituição trigonométric. Introdução Você prendeu, no Cálculo I, que integrl de um função

Leia mais

AULA 1 Introdução 3. AULA 2 Propriedades e teorema fundamental do cálculo 5. AULA 3 Integrais indefinidas 7. AULA 4 Integração por substituição 9

AULA 1 Introdução 3. AULA 2 Propriedades e teorema fundamental do cálculo 5. AULA 3 Integrais indefinidas 7. AULA 4 Integração por substituição 9 www.mtemticemexercicios.com Integris (volume ) Índice AULA Introdução AULA Proprieddes e teorem fundmentl do cálculo 5 AULA Integris indefinids 7 AULA 4 Integrção por sustituição 9 AULA 5 Integrção por

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA PRIMEIRO SEMESTRE DE 2015 13 de Fevereiro de 2015 Prte I Álgebr Liner 1 Questão: Sejm

Leia mais

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS Um dos grndes problems de mtemátic n ntiguidde er resolução de equções polinomiis. Encontrr um fórmul ou um método pr resolver tis equções er um grnde desfio. E ind hoje

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral

CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veig Prof. Tigo Coelho Aul n o 26: Teorem do Vlor Médio pr Integris. Teorem Fundmentl do Cálculo II. Funções dds por

Leia mais

Comprimento de Curvas. Exemplo. Exemplos, cont. Exemplo 2 Para a cúspide. Continuação do Exemplo 2

Comprimento de Curvas. Exemplo. Exemplos, cont. Exemplo 2 Para a cúspide. Continuação do Exemplo 2 Definição 1 Sej : omprimento de urvs x x(t) y y(t) z z(t) um curv lis definid em [, b]. O comprimento d curv é definido pel integrl L() b b [x (t)] 2 + [y (t)] 2 + [z (t)] 2 dt (t) dt v (t) dt Exemplo

Leia mais

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte 2 No teto nterior vimos que, se F é um primitiv de f em [,b], então f()d = F(b) F(). Isto reduz o problem de resolver

Leia mais

INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA. Equipe de Cálculo Numérico do MAP/IME/USP

INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA. Equipe de Cálculo Numérico do MAP/IME/USP INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Equipe de Cálculo Numérico do MAP/IME/USP Nests nots desenvolveremos teori d prte finl do curso, escolendo lguns cminos lterntivos à referênci principl, que

Leia mais

Diferenciação Numérica

Diferenciação Numérica Cpítulo 6: Dierencição e Integrção Numéric Dierencição Numéric Em muits circunstâncis, torn-se diícil oter vlores de derivds de um unção: derivds que não são de ácil otenção; Eemplo clculr ª derivd: e

Leia mais

Formas Quadráticas. FUNÇÕES QUADRÁTICAS: denominação de uma função especial, definida genericamente por: 1 2 n ij i j i,j 1.

Formas Quadráticas. FUNÇÕES QUADRÁTICAS: denominação de uma função especial, definida genericamente por: 1 2 n ij i j i,j 1. Forms Qudrátics FUNÇÕES QUADRÁTICAS: denominção de um função especil, definid genericmente por: Q x,x,...,x x x x... x x x x x... x 1 n 11 1 1 1 1n 1 n 3 3 nn n ou Qx,x,...,x 1 n ij i j i,j1 i j n x x

Leia mais

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana Integrl Definid Interpretção Geométric Áre de um figur pln Interpretção Geométric Áre de um figur pln Sej f(x) contínu e não negtiv em um intervlo [,]. Vmos clculr áre d região S. Interpretção Geométric

Leia mais

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA pítulo III INTEGRIS DE LINH pítulo III Integris de Linh pítulo III O conceito de integrl de linh é um generlizção simples e nturl do conceito de integrl definido: f ( x) dx Neste último, integr-se o longo

Leia mais

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte Neste texto vmos provr um importnte resultdo que nos permite clculr integris definids. Ele pode ser enuncido como

Leia mais

2.4 Integração de funções complexas e espaço

2.4 Integração de funções complexas e espaço 2.4 Integrção de funções complexs e espço L 1 (µ) Sej µ um medid no espço mensurável (, F). A teori de integrção pr funções complexs é um generlizção imedit d teori de integrção de funções não negtivs.

Leia mais

1 Integral de Riemann-Sieltjes

1 Integral de Riemann-Sieltjes Cálulo Avnçdo - 2009 Referêni: Brtle, R. G. The Elements of Rel Anlysis, Seond Edition, Wiley. 1 Integrl de Riemnn-Sieltjes 1.1 Definição No que segue vmos onsiderr f e g funções reis definids em J = [,

Leia mais

(B) (A) e o valor desta integral é 9. gabarito: Propriedades da integral Represente geometricamente as integrais para acompanhar o cálculo.

(B) (A) e o valor desta integral é 9. gabarito: Propriedades da integral Represente geometricamente as integrais para acompanhar o cálculo. Cálculo Univrido List numero integrl trcisio@sorlmtemtic.org T. Prcino-Pereir Sorl Mtemátic lun@: 7 de setemro de 7 Cálculo Produzido com L A TEX sis. op. Dein/GNU/Linux www.clculo.sorlmtemtic.org/ Os

Leia mais

Apoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc.

Apoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc. Aul Métodos Esttísticos sticos de Apoio à Decisão Aul Mônic Brros, D.Sc. Vriáveis Aletóris Contínus e Discrets Função de Probbilidde Função Densidde Função de Distribuição Momentos de um vriável letóri

Leia mais

I = O valor de I será associado a uma área, e usaremos esta idéia para desenvolver um algoritmo numérico. Ao

I = O valor de I será associado a uma área, e usaremos esta idéia para desenvolver um algoritmo numérico. Ao Cpítulo 6 Integrl Nosso objetivo qui é clculr integrl definid I = f(x)dx. (6.1) O vlor de I será ssocido um áre, e usremos est idéi pr desenvolver um lgoritmo numérico. Ao contrário d diferencição numéric,

Leia mais

Potencial Elétrico. Evandro Bastos dos Santos. 14 de Março de 2017

Potencial Elétrico. Evandro Bastos dos Santos. 14 de Março de 2017 Potencil Elétrico Evndro Bstos dos Sntos 14 de Mrço de 2017 1 Energi Potencil Elétric Vmos começr fzendo um nlogi mecânic. Pr um corpo cindo em um cmpo grvitcionl g, prtir de um ltur h i té um ltur h f,

Leia mais

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos 3. Cálculo integrl em IR 3.. Integrl Indefinido 3... Definição, Proprieddes e Exemplos A noção de integrl indefinido prece ssocid à de derivd de um função como se pode verificr prtir d su definição: Definição

Leia mais

Revisão de Polinômios

Revisão de Polinômios Cpítulo 1 Revisão de Polinômios Definição 1 Um polinômio p é um função com domínio e imgem em um conjunto C ou R ddo n form: p : C C x p(x) = 0 x n + 1 x n 1 +... + n 1 x + 0 O número inteiro n é dito

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I 2 o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec

Cálculo Diferencial e Integral I 2 o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec Cálculo Diferencil e Integrl I o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec de Junho de, h Durção: hm Apresente todos os cálculos e justificções relevntes..5 vl.) Clcule, se eistirem em R, os limites i)

Leia mais

Objetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas;

Objetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas; Funções vetoriis Integris MÓDULO 3 - AULA 35 Aul 35 Funções vetoriis Integris Objetivo Conhecer integrl de funções vetoriis; Aprender clculr comprimentos de curvs prmetrizds; Aprender clculr áres de regiões

Leia mais

Cálculo integral. 4.1 Preliminares

Cálculo integral. 4.1 Preliminares Cpítulo 4 Cálculo integrl 4. Preinres Considere um decomposição do intervlo [, ] R em su-intervlos d orm [x, x ], [x, x ],..., [x n, x n ], onde = x < x < < x n < x n = e n N. Por um questão de simplicidde,

Leia mais

SÉRIES DE FOURIER. 1. Uma série trigonométrica e sua sequência das somas parciais (S N ) N são dadas por

SÉRIES DE FOURIER. 1. Uma série trigonométrica e sua sequência das somas parciais (S N ) N são dadas por SÉRIES DE FOURIER 1. Um série trigonométric e su sequênci ds soms prciis (S N ) N são dds por (1) c n e inx, n Z, c n C, x R ; S N = n= c n e inx. Tl série converge em x R se (S N (x)) N converge e, o

Leia mais

Mudança de variável na integral dupla

Mudança de variável na integral dupla UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 6 Assunto: Mudnç de Vriável n Integrl Dupl Plvrs-chves: mudnç de vriável, integris dupls, jcobino Mudnç de vriável n integrl dupl Vmos ntes

Leia mais

AULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática

AULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Lingugem Mtemátic AULA 1 1 1.2 Conjuntos Numéricos Chm-se conjunto o grupmento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de noss percepção ou de nosso entendimento, chmdos

Leia mais

1 Fórmulas de Newton-Cotes

1 Fórmulas de Newton-Cotes As nots de ul que se seguem são um compilção dos textos relciondos n bibliogrfi e não têm intenção de substitui o livro-texto, nem qulquer outr bibliogrfi. Integrção Numéric Exemplos de problems: ) Como

Leia mais

x = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x.

x = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x. Universidde Federl Fluminense Mtemátic II Professor Mri Emili Neves Crdoso Cpítulo Integrl. Diferenciis dy Anteriormente, foi considerdo um símolo pr derivd de y em relção à, ms em lguns prolems é útil

Leia mais

EQUAÇÃO DO 2 GRAU. Seu primeiro passo para a resolução de uma equação do 2 grau é saber identificar os valores de a,b e c.

EQUAÇÃO DO 2 GRAU. Seu primeiro passo para a resolução de uma equação do 2 grau é saber identificar os valores de a,b e c. EQUAÇÃO DO GRAU Você já estudou em série nterior s equções do 1 gru, o gru de um equção é ddo pelo mior expoente d vriável, vej lguns exemplos: x + = 3 equção do 1 gru já que o expoente do x é 1 5x 8 =

Leia mais

Aula 10 Estabilidade

Aula 10 Estabilidade Aul 0 Estbilidde input S output O sistem é estável se respost à entrd impulso 0 qundo t Ou sej, se síd do sistem stisfz lim y(t) t = 0 qundo entrd r(t) = impulso input S output Equivlentemente, pode ser

Leia mais

Aula de solução de problemas: cinemática em 1 e 2 dimensões

Aula de solução de problemas: cinemática em 1 e 2 dimensões Aul de solução de problems: cinemátic em 1 e dimensões Crlos Mciel O. Bstos, Edurdo R. Azevedo FCM 01 - Físic Gerl pr Químicos 1. Velocidde instntâne 1 A posição de um corpo oscil pendurdo por um mol é

Leia mais

INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS

INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS ITRODUÇÃO AOS MÉTODOS UMÉRICOS Professor: Dr. Edwin B. Mitcc Mez emitcc@ic.uff.r www.ic.uff.r/~emitcc Ement oções Básics sore Erros Zeros Reis de Funções Reis Resolução de Sistems Lineres Introdução à

Leia mais

CÁLCULO I. Denir e calcular o centroide de uma lâmina.

CÁLCULO I. Denir e calcular o centroide de uma lâmina. CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Aul n o : Aplicções d Integrl: Momentos. Centro de Mss Objetivos d Aul Denir momento em relção um ponto xo e um ret. Denir e clculr

Leia mais

6 Cálculo Integral. 1. (Exercício VI.1 de [1]) Considere a função f definida no intervalo [0, 2] por. 1 se x [0, 1[ 3 se x ]1, 2]

6 Cálculo Integral. 1. (Exercício VI.1 de [1]) Considere a função f definida no intervalo [0, 2] por. 1 se x [0, 1[ 3 se x ]1, 2] 6 Cálculo Integrl. (Eercício VI. de []) Considere função f definid no intervlo [, ] por se [, [ f () = se = 3 se ], ] () Mostre que pr tod decomposição do intervlo [, ], s soms superior S d ( f ) e inferior

Leia mais

Capítulo Breve referência histórica Aproximação da primeira derivada

Capítulo Breve referência histórica Aproximação da primeira derivada Cpítulo 5 Derivção e integrção numéric 5.1 Breve referênci istóric As técnics de derivção e integrção numéric, d form como s iremos estudr neste cpítulo, têm mesm origem d interpolção. No entnto, temos

Leia mais

FUNÇÕES. Mottola. 1) Se f(x) = 6 2x. é igual a (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5. 2) (UNIFOR) O gráfico abaixo. 0 x

FUNÇÕES. Mottola. 1) Se f(x) = 6 2x. é igual a (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5. 2) (UNIFOR) O gráfico abaixo. 0 x FUNÇÕES ) Se f() = 6, então f ( 5) f ( 5) é igul () (b) (c) 3 (d) 4 (e) 5 ) (UNIFOR) O gráfico bio 0 () não represent um função. (b) represent um função bijetor. (c) represent um função não injetor. (d)

Leia mais

Propriedades Matemáticas

Propriedades Matemáticas Proprieddes Mtemátics Guilherme Ferreir guifs2@hotmil.com Setembro, 2018 Sumário 1 Introdução 2 2 Potêncis 2 3 Rízes 3 4 Frções 4 5 Produtos Notáveis 4 6 Logritmos 5 6.1 Consequêncis direts d definição

Leia mais

INTEGRAL DEFINIDO. O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana.

INTEGRAL DEFINIDO. O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana. INTEGRAL DEFINIDO O oneito de integrl definido está reliondo om um prolem geométrio: o álulo d áre de um figur pln. Vmos omeçr por determinr áre de um figur delimitd por dus rets vertiis, o semi-eio positivo

Leia mais

Aplicações da integral Volumes

Aplicações da integral Volumes Aplicções d integrl Volumes Sumário. Método ds seções trnsversis........... 5. Método ds cscs cilíndrics............. 6.3 Exercícios........................ 9.4 Mis plicções d integrl Áres e comprimentos.5

Leia mais

Relembremos que o processo utilizado na definição das três integrais já vistas consistiu em:

Relembremos que o processo utilizado na definição das três integrais já vistas consistiu em: Universidde Slvdor UNIFAS ursos de Engenhri álculo IV Prof: Il Reouçs Freire álculo Vetoril Texto 4: Integris de Linh Até gor considermos três tipos de integris em coordends retngulres: s integris simples,

Leia mais

Fundamentos de Matemática I EFETUANDO INTEGRAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

Fundamentos de Matemática I EFETUANDO INTEGRAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques EFETUANDO INTEGRAIS 7 Gil d Cost Mrques Fundmentos de Mtemátic I 7. Introdução 7. Algums Proprieddes d Integrl Definid Propriedde Propriedde Propriedde Propriedde 4 7. Um primeir técnic de Integrção 7..

Leia mais

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 5: Integral Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Integral

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 5: Integral Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Integral Eercícios de Integrl Eercícios de Fição Cálculo I (5/) IM UFRJ List 5: Integrl Prof Milton Lopes e Prof Mrco Cbrl Versão 55 Fi : Determine se é Verddeiro (provndo rmtiv) ou Flso (dndo contreemplo): b ()

Leia mais

CÁLCULO I. Denir o trabalho realizado por uma força variável; Denir pressão e força exercidas por um uido.

CÁLCULO I. Denir o trabalho realizado por uma força variável; Denir pressão e força exercidas por um uido. CÁLCULO I Aul n o 3: Comprimento de Arco. Trblho. Pressão e Forç Hidrostátic. Objetivos d Aul Denir comprimento de rco; Denir o trblho relizdo por um forç vriável; Denir pressão e forç exercids por um

Leia mais

Incertezas e Propagação de Incertezas. Biologia Marinha

Incertezas e Propagação de Incertezas. Biologia Marinha Incertezs e Propgção de Incertezs Cursos: Disciplin: Docente: Biologi Biologi Mrinh Físic Crl Silv Nos cálculos deve: Ser coerente ns uniddes (converter tudo pr S.I. e tender às potêncis de 10). Fzer um

Leia mais

O conceito de integral e suas propriedades básicas

O conceito de integral e suas propriedades básicas 17 O conceito de integrl e sus proprieddes básics Sumário 17.1 Introdução....................... 2 17.2 Integrl denid de f : [, b] R.......... 5 17.3 Soms de Riemnn.................. 6 17.4 A integrl denid

Leia mais

3 Polinômios Ortogonais e Quadratura Gaussiana

3 Polinômios Ortogonais e Quadratura Gaussiana 3 Polinômios Ortogonis e Qudrtur Gussin A idei principl d Expnsão do Cos Polinomil (ECP) reside n proximção de um função qudrticmente integrável (que represent síd de um modelo físico) por meio de um som

Leia mais

Progressões Aritméticas

Progressões Aritméticas Segund Etp Progressões Aritmétics Definição São sequêncis numérics onde cd elemento, prtir do segundo, é obtido trvés d som de seu ntecessor com um constnte (rzão).,,,,,, 1 3 4 n 1 n 1 1º termo º termo

Leia mais

Extrapolação de Richardson

Extrapolação de Richardson Etrpolção de Rirdson Apesr de todos os visos em relção à etrpolção, qui temos um eepção, em que, prtir de dus determinções de um integrl se lul um tereir, mis preis. 3/5/4 MN Etrpolção de Rirdson E é epressão

Leia mais

x n dx = xn+1 n k, k R sin(x) dx = cos(x) + k, cos(x) dx = sin(x) + k, k R Sh(x) dx = Ch(x) + k, Ch(x) dx = Sh(x) + k, k R dx = tan(x) + k, k R

x n dx = xn+1 n k, k R sin(x) dx = cos(x) + k, cos(x) dx = sin(x) + k, k R Sh(x) dx = Ch(x) + k, Ch(x) dx = Sh(x) + k, k R dx = tan(x) + k, k R Algums primitivs Simples... c dt = cx + k, k R x n dx = xn+ n + + k, k R sin(x) dx = cos(x) + k, cos(x) dx = sin(x) + k, k R Sh(x) dx = Ch(x) + k, Ch(x) dx = Sh(x) + k, k R dx = rctn(x) + k, dx = SetSh(x)

Leia mais

ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX. Introdução. Partição de um Intervalo. Alana Cavalcante Felippe 1, Júlio César do Espírito Santo 1.

ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX. Introdução. Partição de um Intervalo. Alana Cavalcante Felippe 1, Júlio César do Espírito Santo 1. Revist d Mtemátic UFOP, Vol I, 2011 - X Semn d Mtemátic e II Semn d Esttístic, 2010 ISSN 2237-8103 ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX Aln Cvlcnte Felippe 1, Júlio Césr do Espírito Snto 1 Resumo: Este trblho

Leia mais

CÁLCULO I. Apresentar a técnica de integração por substituição; Utilizar técnicas apresentadas no cálculo integral.

CÁLCULO I. Apresentar a técnica de integração por substituição; Utilizar técnicas apresentadas no cálculo integral. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Auls n o 8: Técnics de Integrção I - Método d Substituição Objetivos d Aul Apresentr técnic de integrção por substituição; Utilizr técnics presentds

Leia mais

ALGEBRA LINEAR AUTOVALORES E AUTOVETORES. Prof. Ademilson

ALGEBRA LINEAR AUTOVALORES E AUTOVETORES. Prof. Ademilson LGEBR LINER UTOVLORES E UTOVETORES Prof. demilson utovlores e utovetores utovlores e utovetores são conceitos importntes de mtemátic, com plicções prátics em áres diversificds como mecânic quântic, processmento

Leia mais

Hewlett-Packard PORCENTAGEM. Aulas 01 a 04. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

Hewlett-Packard PORCENTAGEM. Aulas 01 a 04. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Hewlett-Pckrd PORCENTAGEM Auls 01 04 Elson Rodrigues, Gbriel Crvlho e Pulo Luiz Rmos Sumário PORCENTAGEM... 1 COMPARANDO VALORES - Inspirção... 1 Porcentgem Definição:... 1... 1 UM VALOR PERCENTUAL DE

Leia mais

Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes n n nn n n n n n n b... b... b...

Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes n n nn n n n n n n b... b... b... Cálculo Numérico Módulo V Resolução Numéric de Sistems Lineres Prte I Profs.: Bruno Correi d Nóbreg Queiroz José Eustáquio Rngel de Queiroz Mrcelo Alves de Brros Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes

Leia mais