Integração Numérica. Leonardo F. Guidi. Cálculo Numérico DMPA IME UFRGS

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1 Qudrtur por interpolção DMPA IME UFRGS Cálculo Numérico

2 Índice Qudrtur por interpolção 1 Qudrtur por interpolção 2 Qudrturs simples Qudrturs composts 3 4

3 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção O método de qudrtur por interpolção consiste em utilizr um polinômio interpolnte p(x) pr proximr o integrndo f (x) no domínio de integrção [, b]. Dess form integrl pode ser proximd pel integrl f (x)dx p(x) dx. Se o integrndo f (x) é conhecido em n pontos distintos x 1,...,x n, podemos utilizr lgum dos métodos desenvolvidos pr encontrr um polinômio p(x) que interpole f (x i ), i = 1,...,n.

4 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção De cordo com o método de interpolção de Lgrnge, um vez determindos os polinômios de Lgrnge l i (x), (e interpolção p(x) = n i=1 f (x i)l i (x) ), proximção seri então dd por p(x)dx = n i=1 f (x i )l i (x)dx.

5 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção De cordo com o método de interpolção de Lgrnge, um vez determindos os polinômios de Lgrnge l i (x), (e interpolção p(x) = n i=1 f (x i)l i (x) ), proximção seri então dd por p(x)dx = n i=1 f (x i ) l i (x)dx.

6 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção De cordo com o método de interpolção de Lgrnge, um vez determindos os polinômios de Lgrnge l i (x), (e interpolção p(x) = n i=1 f (x i)l i (x) ), proximção seri então dd por p(x)dx = n i=1 f (x i ) l i (x)dx.

7 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção De cordo com o método de interpolção de Lgrnge, um vez determindos os polinômios de Lgrnge l i (x), (e interpolção p(x) = n i=1 f (x i)l i (x) ), proximção seri então dd por p(x)dx = n i=1 f (x i )C i.

8 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção De cordo com o método de interpolção de Lgrnge, um vez determindos os polinômios de Lgrnge l i (x), (e interpolção p(x) = n i=1 f (x i)l i (x) ), proximção seri então dd por p(x)dx = n i=1 f (x i )C i. A proximção d integrl de f (x) é dd então por f (x)dx n i=1 C i f (x i ), onde os coeficientes C i são ddos pels integris (que podem ser resolvids extmente). Expressões dess form são denominds fórmuls de qudrtur. De um mneir gerl, tods s proximções de operções de integrção numéric podem ser descrits ness form nturlmente, o coeficiente C i vi depender do método utilizdo.

9 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção A chve pr determinr os coeficientes é o fto de que os polinômios de Lgrnge, l i (x), dependem pens dos pontos x i. Então, qulquer que sej o integrndo f (x), um vez fixdos os pontos x i, os polinômios de Lgrnge serão são sempre os mesmos. Se escolh de f (x) for um polinômio de gru menor ou igul n 1, interpolção é ext, ou sej, f (x) p(x) e portnto f (x)dx = p(x)dx = n i=1 C i f (x i ). Como integrl indefinid de f é conhecid, então expressão nterior torn-se um equção pr os n coeficientes C i. A escolh de funções f d form f j (x) = x j pr j = 0,...,n 1 dá origem um sistem liner pr os coeficientes.

10 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção Assim, prtir de um conjunto de pontos {x i } n i=1distribuidos sobre o intervlo [, b], proximmos integrl onde C i são solução de f (x)dx n i=1 C i f (x i ), (x 1 ) 0 C 1 + (x 2 ) 0 C (x n ) 0 C n = x 0 dx = b x 1 C 1 + x 2 C x n C n =.. x dx = b (x 1 ) n 1 C 1 + (x 2 ) n 1 C (x n ) n 1 C n = xn 1 dx = bn n n

11 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção Assim, prtir de um conjunto de pontos {x i } n i=1distribuidos sobre o intervlo [, b], proximmos integrl onde C i são solução de f (x)dx n i=1 C i f (x i ), C 1 + C C n = b = b x 1 C 1 + x 2 C x n C n = b (x 1 ) n 1 C 1 + (x 2 ) n 1 C (x n ) n 1 C n =.. xn 1 dx b n n n

12 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção Exemplo Vmos utilizr os pontos x 1 = 1/2, x 2 = 0 e x 3 = 1/2 pr construir um qudrtur pr integrl definid 1/2 f (x)dx. Nesse cso, o 1/2 sistem pr os coeficientes C i tom seguinte form C 1 + C 2 + C 3 = 1 C C 3 = 0 C C 3 = 1 3 cuj solução é C 1 = C 3 = 1 6 e C 2 = 2. Portnto proximção de um 3 integrl 1/2 f (x)dx é dd por 1/2 1/2 1/2 f (x)dx 1 (f ( 1/2) + 4f (0) + f (1/2)). 6

13 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção Se conhecemos proximção de um integrl f (x)dx n i=1 f (x i)c i e quisermos encontrr um proximção pr d c f (y)dy, devemos relizr mudnç de vriável y = αx + β (trnsformção fim) que implic d c d β f (y)dy = α α c β f (αx + β)dx. α Os vlores de α e β são determindos qundo exigimos que os limites de c β integrção coincidm: α = e d β = b. Ou sej, α e ssim, d c α = d c b f (y)dy = α e β = bc d b. f (αx + β)dx α n i=1 f (αx i + β)c i.

14 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Qundo os pontos de interpolção = x 1 < x 2 <... < x n = b são igulmente espçdos, o método de qudrtur por interpolção recebe o nome de fórmul de Newton-Cotes. Nesse cso, os coeficientes d qudrtur são ddos prtir de fórmuls que contém informção sobre o intervlo de integrção e o número de pontos utilizdos, n form do prâmetro h, dos pontos x i, h = b n 1, x i = + (i 1)h, onde i = 1,2,...n e dos pesos que dependem do número de pontos utilizdos n qudrtur.

15 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Um dos csos mis simples é regr do trpézio n qul pens dois pontos são utilizdos. A qudrtur com dois pontos é dd pel fórmul f (x)dx C 1 f () + C 2 f (b), onde C 1 e C 2 são solução do sistem de equções lineres C 1 + C 2 = b C 1 + b C 2 = b2 2 A solução do sistem é C 1 = C 2 = b 2. 2.

16 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Em termos de x i e h, regr do trpézio pr integrl f (x)dx ssume form f (x)dx h 2 (f () + f (b)) = h 2 (f (x 1) + f (x 2 )).

17 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Estudmos no cpítulo sobre interpolção que se f (n) for contínu em um intervlo que contenh (, b), então cd x no intervlo de interpolção [,b], existe um ξ (,b) (que depende de x, ou sej, ξ (x)) tl que f (x) = p(x) + f (n) (ξ ) n! n i=1 (x x i ), onde n é o número de pontos de interpolção e x i, pr i = 1,2,...,n são os pontos de interpolção.

18 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Ess relção entre f e p permite estimr o erro de truncmento cometido o proximrmos integrl pel regr do trpézio. Então, como h b 2 (f () + f (b)) = p(x) dx, em vist d relção entre f e p temos que f (x)dx h 2 (f () + f (b)) = (f (x) p(x)) dx = f (ξ (x)) (x )(x b)dx. 2

19 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Com o objetivo de tornr explícit dependênci desse termo em h, vmos relizr mudnç de vriável de integrção y = x h. Nesse cso, qundo x =, y = 0 e qundo x = b, y = 1. Dess form, f (x)dx h 2 (f () + f (b)) = 1 0 = h3 2 f (ξ ( + yh)) h y h(y 1)(h dy) f (ξ ( + yh))y(y 1)dy

20 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Com o objetivo de tornr explícit dependênci desse termo em h, vmos relizr mudnç de vriável de integrção y = x h. Nesse cso, qundo x =, y = 0 e qundo x = b, y = 1. Dess form, f (x)dx h 2 (f () + f (b)) = 1 0 = h3 2 f (ξ ( + yh)) h y h(y 1)(h dy) f (ξ ( + yh))y(y 1)dy 1 o teorem do vlor médio pr integrção Se f e g são funções contínus e g não mud de sinl no intervlo fechdo [c,d], então existe um ponto η (c,d) tl que d c d f (x)g(x)dx = f (η) g(x)dx. c

21 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Um vez que y(y 1) não mud de sinl no intervlo [0,1], o teorem grnte existênci de um η (0,1) ξ (,b) tl que f (x)dx h h3 1 (f () + f (b)) = 2 2 f (ξ ) y(y 1)dy 0 = h3 12 f (ξ ).

22 Regr do trpézio Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Regr do trpézio Se f é um função de clsse C 2 (,b), então existe um ξ (,b) tl que onde h = b e x i = + (i 1)h. f (x)dx = h 2 (f (x 1) + f (x 2 )) h3 12 f (ξ ),

23 Exemplo Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Vmos estudr novmente proximção d integrl 1/2 1/2 e x2 dx, gor porém, prtir d fórmul do trpézio pr qudrtur. O intervlo de [ integrção é 1 2, 1 2 fórmul do trpézio 1/2 1/2 e x2 dx 1 2 ], portnto nesse cso, h = 1. De cordo com ( e 1/4 + e 1/4) = Qunto ( o erro de truncmento n proximção, sbemos que existe um ζ 1 2, 1 ) tl que 2 1/2 1/2 e x2 dx 1 2 (e 1/4 + e 1/4) = 13 ( 4ζ 2 2 ) e ζ 2. 12

24 Exemplo Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts A função 1 ( 4ζ 2 2 ) ( e ζ 2 trnsform o intervlo , 1 ) no ( 2 1 intervlo 12 e 1/4, 1 ) = ( ,0.1 6). Esse novo intervlo 6 determin região de possíveis vlores pr o erro de truncmento. De fto, diferenç entre o vlor exto e proximção é ( ,0.1 6).

25 Regr de Simpson Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts A regr de Simpson é fórmul de qudrtur de Newton com três pontos. Nesse cso, o intervlo de integrção [,b] é dividido em dus prtes pelo ponto intermediário + b. Assim, os três pontos de 2 interpolção x 1,x 2 e x 3 são ddos por x 1 =, x 2 = + h = + b e 2 x 3 = + 2h = b, onde h = b é seprção entre os pontos 2 consecutivos. A fórmul de qudrtur possui form f (x)dx 3 i=1 C i f (x i ), onde C i, i = 1,2e 3 são solução do seguinte sistem de equções lineres

26 Regr de Simpson Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts C 1 + C 2 + C 3 = b C 1 + +b 2 C 2 + bc 3 = b C 1 + ( ) +b 2 2 C2 + b 2 C 3 = b3 3 3 A solução do sistem é dd por C 1 = b 6, C 2 = 2 3 (b ) e C 3 = b 6 Em termos d seprção entre os pontos h = b 2, C 1 = h 3, C 2 = 4 3 h e C 3 = h 3...

27 Regr de Simpson Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Qunto o erro de truncmento cometido n proximção, o mesmo pode ser estimdo de mneir nálog à d regr do trpézio. Regr de Simpson Se f é um função de clsse C 4 (,b), então existe um ξ (,b) tl que f (x)dx = h 3 (f (x 1) + 4f (x 2 ) + f (x 3 )) h5 90 f (4) (ξ ), onde h = b 2, x i = + (i 1)h e i = 1,2,3.

28 Qudrtur por interpolção Regrs de ordem superior Qudrturs simples Qudrturs composts Regr 3/8 4 pontos Se f é um função de clsse C 4 (,b), então existe um ξ (,b) tl que f (x)dx = 3 8 h (f (x 1) + 3f (x 2 ) + 3f (x 3 ) + f (x 4 )) 3h5 80 f (4) (ξ ), onde h = b 3, x i = + (i 1)h e i = 1,2,3,4. Regr de Boole 5 pontos Se f é um função de clsse C 6 (,b), então existe um ξ (,b) tl que f (x)dx = 2 45 h (7f (x 1) + 32f (x 2 ) + 12f (x 3 ) + 32f (x 4 ) + 7f (x 5 )) 8h7 945 f (6) (ξ ), onde h = b 4, x i = + (i 1)h e i = 1,2,3,4,5.

29 Qudrtur por interpolção Regrs de ordem superior Qudrturs simples Qudrturs composts No entnto devemos levr em cont que não há grntis de que o umento do número de pontos implic convergênci d qudrtur pr o vlor exto d integrl. Isto é um reflexo direto do fto de que s proximções que estudmos té qui são desenvolvids prtir d integrção de um polinômio que interpol f em pontos igulmente espçdos e, como já estudmos no cpítulo sobre interpolção, existem exemplos de funções contínus e com tods s derivds contínus em lgum intervlo cuj interpolção polinomil com pontos igulmente espçdos não converge pr f qundo o número de pontos cresce (lembre-se d função de Runge 1 f (x) = no intervlo x [ 1,1]) x 2 A seguir veremos um técnic de qudrtur que grnte convergênci pr o vlor exto d integrl de f qundo o número de pontos n.

30 Qudrtur por interpolção Qudrturs composts Qudrturs simples Qudrturs composts Um mneir de evitr s instbiliddes relcionds à interpolção em pontos igulmente espçdos consiste em prticionr o intervlo de integrção em diversos subintervlos e relizr qudrtur newtonino em cd um desses subintervlos com um pequen quntidde de pontos. Dess form, o umento do número totl de pontos implic um menor vrição d função no domínio de integrção de cd qudrtur e consequentemente, proximção do integrndo por um polinômio torn-se cd vez melhor. No limite, desconsiderndo os erros de rredondmento relizdos pel máquin que reliz s operções, proximção converge pr o vlor exto qundo o integrndo for suficientemente suve. Veremos dus regrs composts, regr compost do trpézio e regr compost de Simpson.

31 Qudrtur por interpolção Regr compost do trpézio Qudrturs simples Qudrturs composts A regr compost do trpézio consiste em dividir o intervlo de integrção [,b] em n 1 sub-intervlos [,x 2 ] [x 2,x 3 ]... [x n 1,b] = [,b], de mesm extensão h = b e plicr regr do trpézio em cd n 1 intervlo [x k,x k+1 ]. f (x)dx = x2 =x 1 f (x)dx + x3 =xn f (x)dx f (x)dx x 2 x n 1 h 2 (f () + f (x 2)) + h 2 (f (x 2) + f (x 3 )) h 2 (f (x n 1) + f (b)) ( 1 = h 2 f () + f (x 2) + f (x 3 ) f (x n 2 ) + f (x n 1 ) + 1 ) 2 f (b), onde x 1 =, x n = b e x k = + (k 1)h, pr k = 1,...,n.

32 Qudrtur por interpolção Regr compost do trpézio Qudrturs simples Qudrturs composts Erro de truncmento A cd subintervlo [x k,x k+1 ] podemos estimr o erro de truncmento cometido n regr do trpézio: se f C 2 (,b), existe um ξ k (x k,x k+1 ) tl que xk+1 f (x)dx = h 2 (f (x k+1) + f (x k )) h3 12 f (ξ k ). x k A união de todos os intervlos implic ( 1 f (x)dx = h 2 f () + f (x 2) f (x n 1 ) + 1 ) 2 f (b) h3 12 n 1 k=1 f (ξ k ). Como, por hipótese, função f é contínu, então existe um ξ (,b) tl que f (ξ ) = 1 n 1 n 1 f (ξ k ). k=1

33 Qudrtur por interpolção Regr compost do trpézio Qudrturs simples Qudrturs composts Por outro ldo, h = b e portnto, podemos reescrever iguldde n 1 como ( 1 dx f (x) = h 2 f () + f (x 2) f (x n 1 ) + 1 ) 2 f (b) h2 12 (b )f (ξ ), onde ξ (,b).

34 Qudrtur por interpolção Regr compost do trpézio Qudrturs simples Qudrturs composts Regr Compost do Trpézio Se f é um função de clsse C 2 (,b), então existe um ξ (,b) tl que ( 1 dx f (x) = h 2 f () + f (x 2) f (x n 1 ) + 1 ) 2 f (b) h2 12 (b )f (ξ ), onde h = b n 1, x i = + (i 1)h e i = 1,2,...,n. Note que nesse cso, n usênci de erros de rredondmento, proximção dd pel regr compost converge pr integrl ext no limite h 0.

35 Qudrtur por interpolção Regr compost de Simpson Qudrturs simples Qudrturs composts De mneir totlmente nálog, construimos um qudrtur compost prtir d união ds qudrturs relizds nos subintervlos com três pontos igulmente espçdos. A prtir de um número ímpr de pontos igulmente espçdos de h = b, proximmos integrl de f no n 1 intervlo [,b] trvés de qudrturs de Simpson nos n 1 intervlos 2 [,x 3 ], [x 3,x 5 ],...,[x n 2,b]: f (x)dx = x3 =x 1 f (x)dx + x5 =xn f (x)dx f (x)dx x 3 x n 2 h 3 (f () + 4f (x 2) + f (x 3 )) + h 3 (f (x 3) + 4f (x 4 ) + f (x 5 )) h 3 (f (x n 2) + 4f (x n 1 ) + f (b)) = h 3 [f () + 4(f (x 2) + f (x 4 ) f (x n 1 ))+ +2(f (x 3 ) + f (x 5 ) f (x n 2 )) + f (b)],

36 Qudrtur por interpolção Regr compost de Simpson Qudrturs simples Qudrturs composts A regr de Simpson compost pode ser representd pelo somtório onde C k = f (x)dx h 3 n k=1 C k f (x k ), 1, se k = 1 ou k = n 4, se k for pr 2, se k for ímpr A nálise do erro de truncmento cometido n proximção segue linh já estudd n regr do trpézio compost.

37 Qudrtur por interpolção Regr compost de Simpson Qudrturs simples Qudrturs composts Regr Compost do Simpson Se f é um função de clsse C 4 (,b), então existe um ξ (,b) tl que f (x)dx = h 3 n k=1 C k f (x k ) h4 180 (b )f (4) (ξ ), onde C k = 1, se k = 1 ou k = n 4, se k for pr 2, se k for ímpr h = b n 1, x i = + (i 1)h e i = 1,2,...,n..

38 Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Se f for um função de clsse C 2k+2 em um intervlo [,b], então de cordo com fórmul de Euler-Mclurin su integrl definid nesse intervlo stisfz expressão f (x)dx = T n + c 2 h 2 + c 4 h c 2k h 2k + c 2k+2 h 2k+2 f (2k+2) (ξ ), onde T n é regr compost do trpézio com n pontos e espçmento h, os coeficientes c 2,...,c 2k não dependem de h e ξ (,b) é um função que represent o resto do som.

39 Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Se f for um função de clsse C 2k+2 em um intervlo [,b], então de cordo com fórmul de Euler-Mclurin su integrl definid nesse intervlo stisfz expressão f (x)dx = T n + c 2 h 2 + c 4 h c 2k h 2k + c 2k+2 h 2k+2 f (2k+2) (ξ ), onde T n é regr compost do trpézio com n pontos e espçmento h, os coeficientes c 2,...,c 2k não dependem de h e ξ (,b) é um função que represent o resto do som. Portnto, de cordo com fórmul, um qudrtur no mesmo intervlo com 2n 1 pontos, corresponde um espçmento igul metde do originl, ssim ( h f (x)dx = T 2n 1 +c 2 2 ) 2 ( ) h 4 +c c 2k 2 ( ) h 2k +c 2k+2 2 Isto permite combinr s equções de modo que o resultdo d combinção liner cncel o termo h 2 : f (x)dx = 4T 2n 1 T n 3 ( + d 4 h d k h 2k + O h 2k+2). ( ) h 2k+2 f (2k+2) ( ξ ). 2

40 Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts A qudrtur resultnte, 4T 2n 1 T n é qudrtur de Simpson 3 compost com 2n 1 pontos. O mesmo procedimento pode ser repetidmente iterdo com o objetivo de produzir resultdos com erro de truncmento de ordem superior. Algums desss combinções correspondem regrs composts de Newton-Cotes. O método de Romberg propõe seguinte bordgem. Colecionmos m qudrturs composts pel regr do trpézio com 3,5,9,...,2 m + 1 pontos. Esss qudrturs podem ser convenientemente clculds segundo recursão: T 2 j +1 = 1 2 j 1 2 T 2 j h j f ( ) + (2k 1)h j, k=1 onde h j = b ( 1 2 j, T 2 = h 0 2 f () + 1 ) 2 f (b) e j = 1,2,...m.

41 Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts De cordo com extrpolção de Richrdson, podemos encontrr qudrtur de Simpson compost com 2 j + 1 pontos trvés d combinção 4T 2 j +1 T 2 j Vmos simbolizr esss novs qudrturs por R j,1, ou sej, R j,1 = 4T 2 j +1 T 2 j pr j = 1,2,...,m. Um nov sequênci de extrpolções de Richrdson cncelrá os termos h 4. Denominmos esss novs qudrturs composts por R j,2 : R j,2 = 16R j,1 R j 1,1. 15

42 Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts Atrvés de um processo de indução, chegmos à recorrênci R j,n = 4n R j,n 1 R j 1,n 1 4 n, 1 pr n = 1,2,...,j, onde R j,0 T 2 j +1. A relção de recorrênci é expressão do método de Romberg.

43 Em resumo: Qudrtur por interpolção Qudrturs simples Qudrturs composts clculmos qudrtur do trpézio simples e s m qudrturs do trpézio composts T 2 j +1, de cordo com recorrênci. em seguid, de cordo com relção de recorrênci, clculmos recursivmente s qudrturs R j,1 pr j = 1,2,...,m, R j,2 pr j = 2,...,m, R j,3 pr j = 3,...,m, etc. té R m,m que é proximção de ordem O ( ) hm 2m+2 pr integrl b f (x)dx.

44 Qudrtur por interpolção Os métodos de qudrtur que envolvem interpolção polinomil em n pontos fornecem, por construção, o vlor exto d integrl qundo o integrndo é um polinômio de gru menor ou igul n 1. Um vez escolhidos os n pontos x i [,b], utilizmos os n polinômios x j, j = 0,1,...,n 1 pr determinr os coeficientes C i d qudrtur trvés d solução do sistem de equções lineres n i=1 C i (x i ) j = x j dx = bj+1 j+1. j + 1 A qudrtur gussin utiliz s mesms equções, porém trt os pontos de interpolção x i como incógnits e inclui outrs n equções relcionds à interpolção dos polinômios x j, j = n,n + 1,...,2n 1.

45 Qudrtur por interpolção A fórmul de qudrtur é determind pel solução do sistem de 2n equções não lineres 2n i=1 C i (x i ) j = bj+1 j+1, j = 0,1,2,...,2n 1. j + 1 em termos ds incógnits C i e x i, i = 1,2,...,2n. Como já estudmos, trvés de mudnçs de vriáveis podemos mudr o intervlo de integrção. Desse modo não perdemos nenhum generlidde o estudr solução do sistem não liner ddo pelo limite de integrção [ 1, 1].

46 Qudrtur por interpolção C 1 + C C n = x 1 C 1 + x 2 C x n C n = (x 1 ) 2 C 1 + (x 2 ) 2 C (x n ) 2 C n = 1 1 x 0 dx = 1 ( 1) = x dx = 12 ( 1) 2 2 = x 2 dx = 13 ( 1) 3 3 = (x 1 ) k C 1 + (x 2 ) k C (x n ) k C n = 1 1 x k dx = { 2 k+1, kpr 0, kímpr... (x 1 ) 2n 1 C 1 + (x 2 ) 2n 1 C (x n ) 2n 1 C n = 1 1 x 2n 1 dx = 12n ( 1) 2n 2n = 0

47 Qudrtur por interpolção É possível demonstrr que esse sistem possui pens um solução que stisfç os critérios, 1 < x i < 1 e C i > 0. Apesr d prente complexidde presentd pelo sistem, não é difícil perceber que os pontos x i stisfzem um equção polinomil (bst isolr s vriáveis C i e em seguid s vriáveis x i prtir d primeir equção. N relidde, é possível demonstrr que os pontos x i são s rízes do polinômio de Legendre de gru n, P n. O polinômio de Legendre de gru n, P n (x) pode ser determindo trvés d fórmul de Rodrigues: d n P n (x) = 1 ( (x 2 2 n (n!) dx n 1 ) ) n. De cordo com su estrutur, é possível determinr s rízes exts té, pelo menos, n = 9.

48 Qudrtur por interpolção Os coeficientes C i são então ddos pel expressão C i = 2 (1 x 2 i )(P n(x i )) 2. Isto permite, o menos numericmente, construir qudrtur com um número rbitrário de pontos.

49 Qudrtur por interpolção As três primeirs qudrturs gussins no intervlo ( 1, 1) são dds extmente pelos coeficientes: 2 pontos: C 1 = C 2 = 1 e x 1 = x 2 = pontos: C 1 = C 3 = 5 9, C 2 = 8 9, x 1 = x 3 = 3 5 e x 2 = 0. 4 pontos: C 1 = C 4 = 1 ( ) 18 30, C2 = C 3 = 1 C 1, 36 1 ( ) 1 ( ) x 1 = x 4 = , x2 = x 3 = pontos: C 1 = C 5 = 1 ( ) , 900 C 2 = C 4 = 1 ( ) , C3 = , 1 ( ) 1 ( ) x 1 = x 5 = , x2 = x 4 = e x 3 = 0.

50 Qudrtur por interpolção Nest seção veremos lgums estrtégis que podem ser dotds pr proximr o vlor exto de lgums clsses de integris imprópris. são quels que possuem lgum singulridde ns extremiddes do intervlo de integrção. Tipicmente, qundo o intervlo de integrção é tod ret rel ou um semirret, ou qundo o integrndo possui um singulridde integrável em um ou nos dois extremos do intervlo. y f (x)dx := lim f (x)dx y Inicilmente trtremos os integrndos que possuem singulridde em um ds extremiddes do intervlo de integrção (finito). Os demis csos podem ser reescritos como um desses.

51 Qudrtur por interpolção Um clsse de singulriddes integráveis muito comum é crcterizd pel presenç do termo 1 (x ) r onde R e 0 < r < 1. Neste cso, pesr d singulridde em x =, integrl em um intervlo [,b] é bem definid: 1 (x ) r dx = 1 1 r (x )1 r x=b x= = 1 1 r (b )1 r R O fto de integrndos dess fmíli dmitirem primitivs cuj expressão é conhecid permite o trtmento de integris de funções f : (,b] R d form f (x) = g(x) (x ) r, r (0,1), onde g : [,b] R é um função contínu de clsse C n [,b], cuj derivd g (n+1) existe em um berto que contém.

52 Qudrtur por interpolção Neste cso, o Teorem de Tylor com fórmul de erro de Lgrnge grnte que pr cd x [,b], existe um ξ (,x) tl que g(x) = g()+g ()(x )+ 1 2 g ()(x ) (n + 1)! g (n+1) (ξ )(x ) n+1. Por simplicidde, vmos considerr o cso em que g é de clsse C 2 [,b] e possui terceir derivd limitd no intervlo berto (, b). Sej p 2 o polinômio de gru 2 formdo pelos três primeiros termos d série de Tylor nterior e seguinte decomposição pr f f (x) = p 2(x) (x ) r + g(x) p 2(x) (x ) r. Como o denomindor do último termo contém potêncis de (x ) miores ou iguis 3, esse termo é livre de singulriddes e seu limite é igul zero qundo x +.

53 Qudrtur por interpolção Iremos representr esse termo pel função G : [,b] R (note que G está definid em x = ) g(x) p 2 (x) G(x) = (x ) r, x >. 0, x = Assim, integrl originl é decompost n form d som f (x)dx = p 2 (x) b (x ) r dx + G(x)dx. O primeiro termo contém singulridde ms o seu vlor exto é conhecido: p 2 (x) )1 r dx = g()(b + g (b )2 r () (x ) r (1 r) (2 r) + g () 2 (b ) 3 r. (3 r) Por construção, G é um função regulr contínu, su integrl definid pode ser proximd por um método de qudrtur usul.

54 Qudrtur por interpolção Se integrl imprópri for em um intervlo de comprimento infinito, como fmíli de integris d form g(x) I = x s dx, s > 1, onde g : [, ) é um função contínu, suficientemente diferenciável e limitd. Nesse cso, o integrndo é integrável e I ssume um vlor rel. Veremos que é possível reduzir ess fmíli àquel que estudmos nteriormente. O intervlo de integrção é trnsformdo em um intervlo finito trvés d mudnç de vriável t = 1 x = x = 1 t = dx = 1 t 2 dt, que trnsform extremidde x = n extremidde t = 1 e extremidde x = + n extremidde t = 0.

55 Qudrtur por interpolção N nov vriável, integrl ssume form 0 I = = 1 ts g(1/t) 1 0 g(1/t) t 2 s dt. ( 1 ) t 2 dt Como g é limitd e s > 1, singulridde em t = 0 é integrável e podemos utilizr mesm bordgem do cso nterior.