Integração Numérica Grau de uma regra

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1 Integrção Numéric Gru de um regr Um regr diz-se de gru n se integrr sem erro todos os polinómios de gru n eexistir pelo menos um polinómio de gru n que não é integrdo exctmente. Exemplos: Regr do Trpézio (polinómio interpoldor de gru ) Pel modo como foi construíd, regr integr (pelo menos) funções lineres. p(x) E ( ) f ''( ξ ) D nálise (d ordem d derivd) d expressão do erro, constt-se que funções de gru (logo com segund derivd nul) são integrds sem erro e que funções de gru (logo com segund derivd não nul) são integrds com erro, logo regr do trpézio tem gru

2 Integrção Numéric Gru de um regr Exemplos (cont.): Regr do ponto médio (polinómio interpoldor de gru 0) Pelo modo como foi construído, regr integr (pelo menos) funções constntes. () E ( ) f ( ξ ) ()/ Contudo, d nálise (d ordem d derivd) d expressão do erro, constt-se que funções de gru (logo com segund derivd nul) são integrds sem erro e que funções de gru (logo com segund derivd não nul) são integrds com erro, logo regr do ponto médio tem gru ()/

3 Exemplos (cont.): Integrção Numéric Gru de um regr Regr de Simpson (polinómio interpoldor de gru ) Pelo modo como foi construído, regr integr (pelo menos) funções qudrátics. p(x) 5 () E ( ) f ( ξ) 880 ()/ Contudo, d nálise (d ordem d derivd) d expressão do erro, constt-se que funções de gru (logo com qurt derivd nul) são integrds sem erro e que funções de gru (logo com qurt derivd não nul) são integrds com erro, logo regr do ponto médio tem gru

4 Integrção Numéric Regrs de Guss Regrs de integrção de Newton-Cotes N If ( ) fxdx ( ) ( ) p( xdx ) ( ) A fx ( ) I( f) n i i i nós de interpolção Em Newton-Cotes os nós de interpolção estão definidos à prtid (nós equidistntes), o que limit o gru de exctidão d regr de integrção Regrs de integrção de Guss - Ns regrs de Guss posição dos nós de interpolção é escolid do melor modo possível I( f) Ai f( xi) Os pesos Ai e loclizção xi são prâmetros definir Dispomos de N prâmetros (os vlores dos pesos A i e loclizção dos pontos x i ) N i regr terá gru N

5 Regr de Guss com pontos Exercício: ) Deduzir o vlor dos pesos A i e loclizção ds cisss x i de modo à regr seguinte ter o mior gru possível. ) Indicr o gru d regr. If ( ) fxdx ( ) ( ) A fx ( ) A fx ( ) I( f) Not: Devido à lineridde do operdor integrl, se regr integrr sem erro os monómios, x, x,..., x n, então integr sem erro todos os polinómios de gru n n p ( x) dx x x... x dx dx xdx x dx... x dx n n 0 n 0 n Resolução: If ( ) fxdx ( ) ( ) I ( ) ( ) ( ) f A f x A f x Temos incógnits (A, A, x, x ) necessitmos de equções

6 fx ( ) Regr de Guss com pontos If ( ) fxdx ( ) ( ) dx ( ) x I ( ) ( ) ( ) f A f x A f x A A A A f ( x) x x If ( ) fxdx ( ) ( ) xdx ( ) 0 I ( ) ( ) ( ) f A f x A f x A x A x A x A x 0 fx ( ) x x If ( ) fxdx ( ) ( ) x dx ( ) I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f A f x A f x A x A x A ( x) A ( x)

7 fx ( ) x Regr de Guss com pontos x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 If fxdx x dx I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f A f x A f x A x A x A ( x ) A ( x ) 0 Result o sistem de equções não lineres ( incógnits) A A A x A x 0 A ( x) A ( x) A ( x) A ( x) 0 Solução A A x x Ou sej, I( f) A f( x) A fx ( ) I( f) f f

8 Gru d regr de Guss com pontos fx ( ) x Regr de Guss com pontos Pelo modo como foi construíd, regr tem (pelo menos) gru. Terá gru? ( ) ( ) ( ) ( ) 5 x If fxdx x dx 5 5 I( f) f f If ( ) I( f) 5 9 pelo que não tem gru, ou sej regr de Guss com pontos tem gru s regrs de Guss com N pontos tem gru N Not: dedução ds regrs de Newton-Cotes poderim ter sido efectuds de modo nálogo à utilizd nest dedução d regr de Guss com pontos

9 Comprção d regr do trpézio com regr de Guss Trpézio ( pontos) I( f) f( ) f( ) Gru [ ] Guss com pontos I f A f x A f x ( ) ( ) ( ) Gru Pr [, ] [, ] x x I( f) f f

10 Regrs de Guss-Legendre If ( ) fxdx ( ) A fx ( ) I( f) i Pr Guss-Legendre os pesos A i e loclizção dos pontos x i encontr-se teldo pr o intervlo [,][,]. N i i Pr utilizrmos informção ds tels é necessário efectur um mudnç de vriável pr o intervlo [,], ( ξ ) ξ ξ ξ ξ ξ II If ( ) fxdx ( ) f x( ) J( ) d F( ) d A F( ) I( f) dx dξ F ( ξ ) Mudnç de vriável pr o intervlo [,] N i i i - ξ x ξ ξ dx x( ξ), J dξ

11 Regrs de Guss-Legendre no intervlo [-,] If ( ) F( ξ) dξ N I( f) Ai F( ξi) i Nº de pontos, N Acisss ξ i Pesos A i 0 ± ± 0 / ± ( 6 / 5) / 7 ± ( 6 / 5) / 7 (8 0) 6 (8 0) 6 O erro ssocido às formuls de Guss-Legendre (com N pontos) é, N ( N) ( N!) E CN ( ) f ( η), CN, η [, ] (N ) (( N)!)