Métodos Numéricos. (Integração numérica) Miguel Moreira DMAT

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1 Métodos Numéricos (Integrção numéric) Miguel Moreir DMAT

2 1 Introdução Em muits situções, colocds à engenhri, é necessário conhecer o integrl definido I = f (x) dx sem que o mesmo poss ser cálculdo nliticmente: 1. qundo expressão de f é conhecid pens trvés de um tbel ou em resultdo de procedimentos experimentis;. qundo expressão de f é demsido complex, não se conhece um primitiv de f ou est não se pode exprimir de form elementr. Nests circunstâncis são utilizdos métodos de integrção numéric. Bsicmente, n integrção numéric procurmos proximr função f integrr por um função p simples de primitivr: I = f (x) dx p (x) dx. Tendo em vist controlr o erro cometido no processo de integrção numéric torn-se igulmente necessário sber estimr um mjornte E do erro cometido: f (x) dx p (x) dx E. Seguidmente introduziremos s mis usuis técnics de integrção numérics, bem como s expressões que nos permitirão controlr os erros cometidos. Regrs dos rectângulos Começremos por descrever s regrs dos rectângulos. Nests regrs, o intervlo de integrção [, b], é prticiondo em subintervlos no interior de cd qul função integrnd é proximd por um polinómio de gru zero (isto é, por um constnte dequd). Suponh-se que o intervlo de integrção se encontr prticiondo num único subintervlo. Então, o procedimento descrito nteriormente conduznos às proximções do integrl definido procurdo que seguidmente se presentm. 1 1/Junho/003

3 1. Regr do rectângulo à esquerd: f (x) dx. Regr do rectângulo à direit: 3. Regr do ponto médio: f (x) dx f (x) dx f () dx =(b ) f (). f (b) dx =(b ) f (b). ( ) + b f dx =(b ) f ( + b Se dmitirmos que função f é diferenciável no intervlo de integrção, um mjornte do erro cometido, n plicção ds regrs do rectângulo à esquerd e à direit, pode ser determindo com seguinte expressão: ). E R 1 (b ) mx x [,b] f (x). (1) Com efeito, se f é diferenciável em [, b], então f (x) =f ()+f (c)(x ) pr um certo c ], b[ (Teorem de Lgrnge). Dest form f (x) f () dx mx x [,b] f (x) = mx x [,b] f (x) (x ) dx = (x ) = 1 (b ) mx x [,b] f (x). Estes rgumentos demonstrm vercidde d firmção (1), no cso em que utilizmos regr do rectângulo à esquerd, isto é, qundo proximmos f (x) por f (). Anlogmente se demonstr (1) no cso utilizrmos regr do rectângulo à direit. No cso de plicrmos regr do ponto médio e dmitirmos que f é e clsse C em [, b], o respectivo mjornte do erro de integrção pode ser clculdo com seguinte expressão: E M 1 4 (b )3 mx x [,b] f (x). () b 1/Junho/003

4 Notemos, que ns condições indicds f (x) =f (x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+f (c) (x x 0), com x 0 = +b, pr um certo c ], b[ (Fórmul de Tylor de f, em x 0, com resto de ordem um). Então, pr um certo c ], b[ (f (x) f ()) dx = f (x 0 ) (x x 0 ) dx + f (c) (x x 0) dx = f (c) (x x 0) dx, pois (x x 0) dx =0(Porquê?). Nests circunstâncis f (x) f () mx f (x x 0 ) (x) dx x [,b] = mx f (x) (x x 0) 3 b x [,b] 6 = mx f (x ( + b b))3 (x) x [,b] 48 = 1 4 (b )3 mx f (x). x [,b] Estes fctos demonstrm (). Tendo em vist diminuir o erro cometido n plicção ds regrs nteriores, o intervlo de integrção pode ser subdividido em diferentes subintervlos, hbitulmente de idêntico comprimento, de form repetidmente se plicrem os lgorítmos de integrção e ssim obter s chmds regrs de integrção composts. Suponh-se, então, que [, b] se encontr subdividido em n subintervlos de idêntico comprimento h h = x k x k 1 = b, k =0,...,n. n Assim, x k = + kh, k =0,...,n. Tomemos,porexemplo,plicçãorepetiddregrdorectânguloàesquerd. Ter-se-á: n 1 xi +h n 1 f (x) dx = f (x) dx f (x i ) hdx. i=0 x i i=0 3 1/Junho/003

5 Notemos que os mjorntes dos erros cometidos no cálculo de cd integrl xi +h f (x) dx, d form trás indicd, serão x i E Ri 1 ( b n ) mx x [x i,x i +h] f (x), i =0,...,n 1. Assim, um mjornte E Compost R do erro totl cometido será E Compost R n 1 i=0 1 ( ) b mx n f (x) x [x i,x i +h] ( ) b mx x [,b] f (x) 1 n = 1 (b ) mx n f (x), x [,b] n o que mostr que o procedimento doptdo conduz efectivmente à dimuição do erro no cálculo proximdo do integrl, como seri de esperr. Notese que o erro totl E Compost R tende pr zero qundo n tende pr mis infinito. Argumentos semelhntes permitem chegr conclusões nálogs no tocnte à vntgem de plicr repetidmente tmbém os outros lgorimos de integrção. Resumidmente, plicção repetid, de cd um ds regrs nteriores, em intervlos prticiondos conduz os seguintes lgoritmos (regrs composts) e correspondentes fórmuls de mjorção dos erros: 1. Regr do rectângulo à esquerd compost (n subintervlos, h = b ): n [ b n 1 ] f (x) dx h f (x k ), (3) Se f diferenciável em [, b] : E Compost R 1 (b ) mx n f (x) (4). x [,b]. Regr do rectângulo à direit compost (n subintervlos, h = b ): n [ b n ] f (x) dx h f (x k ), (5) Se f diferenciável em [, b] :E Compost R 1 (b ) mx n f (x). (6) x [,b] k=0 k=1 4 1/Junho/003

6 3. Regr do ponto médio compost (n subintervlos, h = b n ): f (x) dx h [f (x 1 )+f (x 3 )+ + f (x n 1 )], (7) Se f é de clsse C em [, b] :E Compost M 1 4 (b ) 3 n mx f (x). x [,b] (8) Exemplo 1 Estime 1 sin xdx plicndoregrdopontomédioutilizndo 0 10 subintervlos de idêntico comprimento. Obtenh um mjornte do erro cometido. Comecemos por observr que h =1/10 e n =5.Então, 1 0 sin xdx 4 ( ) k sin 10 k= Tendo em vist estimr o erro cometido começemos por clculr mx sin x =sin x [0,1] Assim, E Compost M 1 (1 0) Regr do trpézio Ns fórmuls nteriores, s funções integrnds erm proximds, em cd subintervlo, por polinómios de gru zero. N chmd regr do trpézio, em cd subintervlo, função integrnd é proximd por um função polinomil de gru um, que interpol nos extremos dos intervlos considerdos. Tl proximção, sendo clrmente menos grosseir, deverá conduzir, comprtivmente, menores erros de integrção. Suponh-se, então, que o intervlo de integrção se encontr prticiondo num único subintervlo. Então, o procedimento descrito nteriormente conduznos, sem dificuldde, à seguinte proximção do integrl definido procurdo, f (x) dx (b ) f ()+f (b) (9) 5 1/Junho/003

7 que corresponde o seguinte mjornte do erro cometido E T, dmitindo que função integrnd é de clsse C em [, b] : E T 1 1 (b )3 mx x [,b] f (x). (10) No cso de plicrmos repetidmente regr do trpézio n idênticos subintervlos de [, b] (n subintervlos, h = b ), obtemos o seguinte lgoritmo (Regr do trpézio compost) e correspondente fórmul de n mjorçãodoerrocometido: f (x) dx h [f (x 0)+f (x 1 )+ +f (x n 1 )+f (x n )], (11) Se f édeclssec em [, b] :E Compost T 1 1 (b ) 3 n mx f (x). (1) x [,b] Tendo em vist comprr regr do ponto médio com regr do trpézio, vliemos expressão () e expressão (1) E M 1 4 (b )3 mx x [,b] f (x). E Compost T 1 (b ) 3 mx 1 n f (x), x [,b] fzendo nest últim n =(porquê?). Verificmos que n plicção d regr do trpézio o mjornte do erro é dus vezes menor! Este fcto confirm idei referid inicilmente que sugeri obtenção de erros de integrção comprtivmente menores. 4 Regr de Simpson Finlmente, n chmd regr de Simpson, em cd subintervlo [x i,x i + h, x i +h], função integrnd f é proximd por um função polinomil de gru dois que interpol f nestes nós. Concretizemos. Suponh-se que o intervlo originl de integrção se encontr prticiondo em dois subintervlos de idêntico comprimento (h = b ). Então, o procedimento descrito, conduz-nos à 6 1/Junho/003

8 seguinte proximção do integrl definido procurdo, f (x) dx b [ ( ) + b f ()+4f 6 ] + f (b) (13) = h + b [f ()+4f (m)+f (b)],m= 3. (14) que corresponde o seguinte mjornte do erro cometido E S, dmitindo que função integrnd é de clsse C 4 em [, b]: E S (b )5 880 mx f (4) (x). (15) x [,b] No cso de plicrmos repetidmente regr de Simpson n idênticos subintervlos de [, b] (n subintervlos, h = b ), obtemos o seguinte lgoritmo (Regr de Simpson compost) e correspondente fórmul de n mjorçãodoerrocometido: f (x) dx h [ ] f (x0 )+4f (x 1 )+f (x )+4f (x 3 )+, 3 +f (x n )+4f (x n 1 )+f (x n ) Se f édeclssec 4 em [, b] :E Compost S (b )5 880n 4 mx f (4) (x). x [,b] Note-se que cd dois intervlos consecutivos definem os três pontos de interpolção necessários. Exemplo Clcule 5 x dx plicndo regr dos trpézios e regr de 1 x+1 Simpson utilizndo 4 intervlos equidistntes. Estime mjorntes dos erros cometidos. Utilizndo 4 intervlos equidistntes result: x i =1+hi com i =0,...,4 e h =1.Assimpelregrdotrpézio: 5 ( ) x f 1 x +1 dx h (x0 )+f (x 4 ) + f (x 1 )+f (x )+f (x 3 ) ( 1 = ) = Pel regr de Simpson: 5 1 x x +1 dx h 3 (f (x 0 + f (x 4 )) + 4f (x 1 )+f (x )+4f (x 3 )) = 1 ( ) = /Junho/003

9 Clculemos gor os mjorntes dos vlores bsolutos segund e qurt derivd de f (x) = x no intervlo de integrção. x+1 Comecemos por clculr os vlores bosolutos ds seguintes derivds nos referidos intervlos: d ( ) x x+1 = dx (x +1) 3, d ( ) 4 x x+1 4 = dx 4 (x +1) 5. Como qulquer dests funções é decrescente (no intervlo indicdo) o respectivo máximo ocorre em x =1. Assim, os mjorntes solicitdos, tendo em cont s expressões respectivs, serão e E Compost (5 1)3 T (1 + 1) E Compost S (5 1) (1 + 1) Fórmuls de Newton-Cotes e gru de um fórmul de qudrtur Como verificámos nteriormente, s fórmuls de integrção utilizds (tmbém chmds fórmuls de qudrtur), são crcterizds por expressões do tipo n f (x) dx A k f (x k ), em que A k,k=0,...,n, representm pesos propridos ou coeficientes de ponderção e f (x k ), k =0,...,n, o vlor d função integrnd nos correspondentes nós. Ests fórmuls de qudrtur, podem ser deduzids, sem dificulddes de mior, recorrendo o polinómio interpoldor de Lgrnge, como ilustrremos seguidmente. Consideremos o polinómio interpoldor de Lgrnge k=0 p n (x) = n L k (x) f (x k ) k=0 8 1/Junho/003

10 com L k (x) = l k (x) l k (x k ),k=0,...,n que interpol o intervlo [, b], nos n +1nós Dest form, com I = = = = x 0,x 1,...,x n = b. f (x) dx p n (x) dx n f (x k ) L k (x) dx k=0 n A k f (x k ), k=0 A k = Este fcto mostr que fórmul de qudrtur f (x) dx L k (x) dx. (16) n A k f (x k ), pr proximr o integrl definido I, ns condições indicds, present coeficientes de ponderção A k que se clculm trvés d expressão (16). Ilustremos este procedimento pr deduzir regr de Simpson. Consideremos o polinómio interpoldor de gru menor ou igul dois dos pontos de nós distintos ( + b (, f ()),,f k=0 ( + b Os correspondentes polinómios de Lgrnge são ( ) x +b (x b) L 0 (x) = ( ), +b ( b) )) e (b, f (b)). (x )(x b) L 1 (x) = ( +b )( +b b ) e L (x) = (x ) ( ) x +b (b ) ( ). b +b 9 1/Junho/003

11 Então, tendo em cont (16), deduz-se ( ) x +b (x b) A 0 = L 0 (x) dx = ( ) dx = 1 (b ), +b ( b) 6 (x )(x b) A 1 = L 1 (x) dx = ( +b )( +b b )dx = (b ) e 3 (x ) ( ) x +b A = L (x) dx = (b ) ( ) dx = 1 (b ). b +b 6 Assim, regr de Simpson ssume form isto é, f (x) dx 1 (b ) f () 6 + ( ) + b 3 (b ) f + 1 (b ) f (b), 6 f (x) dx 1 ( ) + b [f 6 (b ) ()+4f ] + f (b), como seri de esperr [bst compr expressão obtid com (13)]. Ao utilizrmos fórmuls tis como expressão (1), entre outrs, pr estimr um mjornte do erro cometido n integrção numéric relizd, verificmos que ests dependem de um cert ordem d derivd d função integrnd. Assim, se por exemplo, se plicrmos regr do trpézio pr integrr numericmente um polinómio de gru 0 ou 1, verificmos imeditmente que o erro cometido é nulo, já que segund derivd dests funções é identicmente nul. Este princípio motiv definição do conceito de gru de um fórmul de integrção como sendo o mis elevdo gru do polinómio que pode ser integrdo numéricmente, por est, com erro nulo. Mis formlmente o gru de um fórmul de integrção pode ser definido com se segue. Sej n I n (f (x)) = A k f (x k ) um fórmul de integrção. Se k=0 I n (p n (x)) = I (p n (x)) 10 1/Junho/003

12 qulquer que sej o polinómio p n (x), de gru igul ou inferior n eseexistir um polinómio q n+1, de gru superior n, tl que I n (q n+1 (x)) I (q n+1 (x)), então, fórmul de integrção I n, tem gru n. Fórmuls de qudrtur de gru não inferior n que utilizm os pontos (igulmente espçdos) x k = x 0 + kh, k = 0,...,n, são conhecids por fórmuls de Newton-Cotes. As regrs do trpézio e de Simpson, como vimos, são fórmuls de Newton-Cotes, pr n =1e n =, respectivmente. É possível mostrr que 1. s regrs dos rectângulos são de gru zero;. s regrs do ponto médio e do trpézio são de gru um; 3. regr de Simpson é de gru /Junho/003

13 Exercícios propostos Alguns destes exercícios form extrídos de Crpentier []. Exercício 1 Estime, plicndo regr do rectângulo à esquerd 1 0 x dx utilizndo 3 subintervlos iguis. Exercício Estime, plicndo regr do rectângulo à direit 1 0 x dx utilizndo 3 subintervlos iguis. Exercício 3 Estime, plicndo regr do ponto médio 1 0 x dx utilizndo 10 subintervlos iguis. Exercício 4 Considere o integrl 1 0 e x dx. 1. Determine o seu vlor proximdo, usndo 4 subintervlos e utilizndo respectivmente regr dos rectângulos, regr dos trpézios e regr de Simpson;.Fçumestimtivdonúmeromínimodesubintervlosquesedeveri considerr se se pretendesse clculr integrl ddo com um erro inferior 10 4,utilizndosregrsdlínenterior. Exercício 5 Sej f umpolinómiodo3 o gru, do qul lguns vlores são fornecidos n seguinte tbel x x 0 x 1 x x 3 x 4 x 5 f (x) 6 f 1 f 3 10 f 5 1. Sbendo que os pontos x i se encontrm igulmente espçdos, com psso h =1, e que f =1,determinef 1 ;. Clcule f [x 0,x 1,x ] e 3 f 0 ; 3. Clcule o integrl d função qundo [, b] =[x 0,x 4 ],usndoumfórmul numéric que sej exct pr f (x) e com o menor número de operções possíveis. Qul o gru d fórmul utilizd? Exercício 6 Considere seguinte tbel, onde x (t) represent coordend de um ponto mteril no instnte t: Suponh que x (t) = t + vt + s 0. t x (t) /Junho/003

14 1. Determine,, v e s 0, utilizndo o método de interpolção de Newton;. Utilizndo um qudrtur que sej exct pr este cso, clcule 0.5 x (t) dt. 0.3 Justifique escolh d qudrtur. Exercício 7 Sbe-se que 1 0 (x + x +1)dx = Pretende-se clculr o integrl plicndo regr dos trpézios. () Obtenh o vlor pretendido utilizndo pontos; (b) Obtenh o vlor pretendido considerndo 4 pontos; (c) Aplique fórmul de Richrdson f (x) dx 4T n T n 3 em que T k represent plicção d regr do trpézio com k pontos, os resultdos obtidos ns línes nteriores. Comente os resultdos.. Ao plicr regr de Simpson () Qul o número de pontos considerr de modo obter mior exctidão? (b) Clcule o vlor do integrl pel fórmul indicd. Exercício 8 Tendo em cont firmção π 4 prte de um círculo de rio unitário, i.e., éovlordáredqurt x dx, determine, utilizndo regr dos trpézios com 5 subintervlos, um vlor proximdo de π. Poderá estimr o erro de trunctur cometido? 4 Exercício 9 Pr poder clculr o vlor proximdo de π/3 ln (sin x) dx, π/4 determine o número mínimo de subintervlos em que será necessário subdividir o intervlo de integrção, de form ssegurr que o erro não exced, em vlor bsoluto, 10 4, qundo 1. se utiliz regr dos trpézios;. se utiliz regr de Simpson; 13 1/Junho/003

15 Exercício 10 Pretende-se clculr um vlor proximdo de I = 1 ln ( 1 x) dx. 1. Use regr de Simpson pr obter um proximção de I com erro bsoluto inferior ;. Sem determinr o vlor excto de I, será possível sber se o vlor obtido pr I é por defeito ou por excesso? Justifique. Exercício 11 Demonstre que, n regr de integrção do ponto médio, se tem x0 + h x 0 h f (x) dx = hf (x 0 )+E (f) onde E (f) = h3 f (θ) 4,comθ ] x 0 h,x 0 + h [. 14 1/Junho/003

16 Referêncis [1] Apostol, Tom M., Clculus, Editoril Reverté, [] Crpentier, M. P. J., Análise Numéric-Teori, Sebent editd pel AEIST em Fev [3] Conte, S. D. & Boor, C., Elementry Numericl Anlysis, McGrw-Hill, [4] Gerld, C. e Whetley, P., Applied Numericl Anlysis, Addison-Wesley, [5] Lindfield, G. e Penny, J., Numericl Methods Using Mtlb. Ellis Horwood, [6] Kreyszig, Erwin., Advnced Engineering Mthemtics (Cp. 17 e 18), Willey, (Livro de texto). [7] Pin, Heitor, Métodos Numéricos, McGrw-Hill, [8] Press, W., Flnnery, B. P., Teukolsky, S. A. e Vetterling, W. T., Numericl Recipes-The Art of Scientific Computing, Cmbridge University Press, [9] Sntos, F. C., Fundmentos de Análise Numéric, Edições Sílbo, /Junho/003