Condução de calor em regime transiente

Transcrição

1 5/0/06 Tranferênca de calr Cnduçã de calr em regme tranente º. emetre, 06 Cnduçã de calr em regme tranente Mut rblema de tranferênca de calr ã deendente d tem. Sã rblema nã-etacnár u tranente que urgem quand a cndçõe de cntrn de um tema ã mudada. Pr exeml, e a temeratura uerfcal de um tema fr alterada, a temeratura em cada nt dee tema também cmeçará a mudar. Ea mudança cntnuarã até que uma dtrbuçã de temeratura etacnára eja alcançada.

2 5/0/06 Cnduçã de calr em regme tranente Em um lngte de metal quente, remvd de um frn e ext a uma crrente de ar fr a energa erá tranferda r cnvecçã e radaçã de uma uerfíce ara a vznhança. Da mema frma, haverá uma tranferênca de calr r cnduçã n nterr da eça. Am haverá uma dmnuçã da temeratura em cada nt d lngte cm tem, até que uma cndçã de regme etacnár eja alcançada. Prce mlar é reframent de alment, nde rdut é ubmetd a uma crrente de ar a baxa temeratura e a temeratura d rdut dmnu gradatvamente, até atngr uma mema cndçã de regme etacnár. 3 Cnduçã de calr em regme tranente O cmrtament da temeratura deende d tem e da çã n óld e crre em mut rce ndutra de aquecment e reframent. O rblema tranente de er relvd atravé de dua anále, cnderand: A varaçã de temeratura n nterr d óld é derezível (varaçã cm a çã e mente há varaçã cm tem: T(t Prncalmente em meta cm elevada cndutvdade térmca. A varaçã da temeratura n óld cm a çã e tem: T(x,t Exeml de alcaçã: - Tratament térmc; - Lngte de metal quente remvd de um frn e ext a uma crrente de ar fr; - Prduçã de nv matera cm rredade melhrada; - Reframent e cngelament de alment. 4

3 5/0/06 Métd da caactânca glbal Um rblema mle e cmum de cnduçã tranente envlve um óld que aa r uma úbta mudança n eu ambente térmc. Cm exeml, em um rce de têmera, metal a uma temeratura ncal T é ubmetd a um rád reframent atravé da merã em um me líqud a uma temeratura T, ma baxa que T (T > T. Para t>0, a temeratura d metal dmnurá, até alcançar at. Ee métd de er utlzad quand óld areentar retênca nterna derezível. It e deve à cnvecçã na nterface óld-líqud. 5 Métd da caactânca glbal A eênca d métd da caactânca glbal é a hótee de que a temeratura d óld é unfrme n eaç, em qualquer ntante durante rce tranente, u eja, gradente de temeratura n nterr d óld ã derezíve. Pela Le de Furer, um gradente derezível mlca a extênca de uma cndutvdade térmca, k, nfnta, que é bvamente mível. N entant, ea luçã é arxmada e a retênca nterna à tranferênca de calr r cnduçã dentr d óld é mut equena cmarada à retênca externa entre a uerfíce e me (cnvecçã. Eta arxmaçã é ma exata quant mar fr a relaçã entre a área uerfcal e vlume, cm r exeml em laca fna e f. 6 3

4 5/0/06 Métd da caactânca glbal A derezar gradente de temeratura n nterr d óld, rblema nã de ma er analad d nt de vta da equaçã d calr. Cm alternatva, a reta tranente é determnada atravé de um balanç glbal de energa n óld. Ee balanç deve relacnar a taxa de erda de calr na uerfíce cm a taxa de varaçã de ua energa nterna, é: Taxa de erda de calr Taxa de varaçã da d óld energa nterna ( u & & E a E ( acum u dt( t ha (T( t T (3 dt nde A é a área uerfcal d óld, em m, ρ ua maa eecífca, em kg/m 3, V eu vlume, em m 3 e c calr eecífc, em J/kgK. Na mema eq., T rereenta a temeratura e t tem. 7 Métd da caactânca glbal Dmennalmente, a eq. (3 é: ha 4 (T( t T W m K W m K maa d óld dt( t 443 dt kg 3 J K J m W 3 m kgk Pr cnvenênca, e defne uma varaçã de temeratura cm: θ( t T( t T (3 (4 Se T fr cnderada uma cntante, dθ( t dt( t dt dt a eq. (3 fca: ha dθ( t θ dt ( t (5 8 4

5 5/0/06 Métd da caactânca glbal Searand a varáve e ntegrand a eq. (5 a artr da cndçã ncal (t0 e T(0T : dθ( t ha θ dt ( t ha ( t θ θ θ dθ( t 0 t dt (6 nde θ T T (7 Efetuand a ntegraçõe na eq. (6: : Eta equaçã é uada ara determnar tem em que um óld leva ara atngr a temeratura T. θ θ dθ( t lnθ θ θ ha θ ln t θ θ θ lnθ lnθ ln ln θ ( t θ θ (8 9 Métd da caactânca glbal A eq. (8 também de er ecrta cm: θ T( t T θ T T ha ex t (9 Dea frma, ea equaçã de er uada ara calcular a temeratura d óld n tem t. Na eq. (9, term: ha ( ρ Vc τ (0 é denmnad de cntante de tem térmca, em. Am, a eq. (9 de er reecrta cm: θ T( t T ex t θ T T τ ( 0 5

6 5/0/06 Métd da caactânca glbal Analand a eq. (9: θ T( t T θ T T ha ex t (9 E r analga a um tema elétrc, de-e defnr: e Retênca à T.C. r cnvecçã R ha ( Caactânca térmca d óld C (3 Dea frma, a eq. (0 fca: ha ( τ R C (4 Métd da caactânca glbal Pela anále da eq. (4 fca evdente que qualquer aument de R u C cauará uma reta ma lenta d óld à mudança n ambente térmc e aumentará tem ara alcançar equlíbr térmc. ha ( τ R C (4 Pela bervaçã da fgura abax, nta-e que a temeratura ca exnencalmente cm tem, até alcançar T. Da mema frma, quant mar a maa d cr e/u eu calr eecífc, mar erá valr de τ e, r tant, ma tem levará ara aquecer u refrar. 6

7 5/0/06 Métd da caactânca glbal A energa ttal tranferda durante rce, Q, é dada r: Q t ha t 0 qdt 0 θdt (5 Subttund valr de θ, cnfrme a Eq. (9 nea equaçã: Q ha ha t dt Vc t θ ex( (6 0 ρ Integrand a Eq. (6: ha Q θ ex t Ver lde egunte (7 u Q E acum I é: Q é + e óld exermenta um decrécm na energa nterna u Q é e a energa nterna aumenta (óld é aquecd. (8 3 (6 Q ha t θ ex( 0 ρ a ha t dt Vc t Q haθ ex( at dt at at e e dt a ex t ha ha t ex t ex( 0 0 ha ha ha ex Q haθ ha t ha Q θ ex t (7 4 7

8 5/0/06 Valdade d métd da caactânca glbal O métd areentad anterrmente caracterza-e r ua mlcdade e cnvenênca ara a luçã de rblema tranente de aquecment u de reframent. A quetã que urge é: qua a cndçõe em que métd de er alcad cm recã atfatóra?? Para ea anále, cndere a cnduçã em regme etacnár atravé de uma laca lana cm área A. A laca lana u uma uerfíce mantda à T enquant a utra, a T, etá exta a um flud de temeratura T < T. Fazend um balanç de energa na uerfíce: ka (T L T ha(t T Rearranjand ea equaçã, reulta em: (9 T T T T L / ka R / ha R cnv hl k cnd B (0 A grandeza realtada na eq. (0 é chamad de númer de Bt e é um arâmetr admennal. hl B k ( 5 Valdade d métd da caactânca glbal O númer de Bt (B é a razã entre a retênca nterna e externa. Dá a medda d decrécm de temeratura n óld relatv à dferença de temeratura entre a uerfíce e flud. T T T T L / ka R / ha R cnv hl k cnd B ( 6 8

9 5/0/06 Valdade d métd da caactânca glbal Obervand a fgura abax: Se: -B<<, é razável aumr uma dtrbuçã de temeratura unfrme n óld, em qualquer tem durante rce tranente T(x,t T(t. Ou eja, e a retênca à cnduçã n nterr d óld é mut menr d que a retênca à cnvecçã atravé da camada lmte n flud. - Aumentand númer B, gradente de temeratura dentr d óld é gnfcatv T(x,t -B>>, gradente de temeratura n óld é mut mar que entre a uerfíce e flud. 7 Valdade d métd da caactânca glbal Para tetar a valdade d métd, alca-e a relaçã: hlct B < 0, k Se ea cndçã fr atfeta, err acad à utlzaçã d métd da caactânca glbal é equen. Na eq. (3, L ct é cmrment caracterítc, é, cmrment da cnduçã dentr d bjet. A energa térmca erá cnduzda ara fra d bjet atravé d camnh ma fácl, é, ma curt. Para uma laca lana de eeura L e metra na çã central, cm mtrad na fgura abax, cmrment caracterítc, L ct, erá dad r: (3 L ct L (4 8 9

10 5/0/06 Gemetra undmenna: tda cm caracterítca de metra Para utra frma gemétrca, ma cmlexa, L ct é dad ela eq. (5: L nde V é a vlume d óld e A é a área da ua uerfíce. ct V A (5 9 Gemetra undmenna: tda cm caracterítca de metra Para uma efera de ra r, ex de metra etá em r 0: 4 V πr 3 3 A 4πr πd 6 3 πd 4 3 πr 3 r L ct 4 π r 3 (6 Para um clndr de ra r e altura H ex de metra etá também em r 0: H πhd V πhr 4 A πhr πhd π (7 Hr r L ct π Hr 0 0

11 5/0/06 Númer admennal de Furer (F Revend a Eq. (9: θ T( t T θ T T ha ex t (9 term marcad em vermelh de er reecrt utlzand cncet de L ct : ha t ht ρl c ct kl kl ct ct ht ρl c ct hl k ct k ρc L t ct hl k ct αt L ct (8 hat hl k ct ct αt B F L (9 nde entã númer de Furer e dad r: F αt L ct (30 Ee númer admennal é denmnad de tem admennal u tem relatv e que, cm númer de Bt, caracterza rblema de cnduçã tranente. Na eq. α é a dfuvdade térmca d materal. Númer admennal de Furer (F Vltand nvamente na Eq. (9 e ubttund ntrduznd nea equaçã a Eq. (9: θ (3 T( t T θ T T ex ( B F

12 5/0/06 Exeml : Bla de aç cm mm de dâmetr ã temerada el aquecment a 50 K egud d reframent lent até 400 K, em um ambente cm ar a T 35 K e h 0 W/m K. Sund que a rredade d aç ejam k40w/mk, ρ 7800 kg/m 3 e c 600 J/kgK: a Etme tem neceár ara rce de reframent; b Deenhe a curva de reframent até uma temeratura róxma ma uerr a T ; c Etme a temeratura d óld na metade d tem ttal de reframent 3 Exeml : Determne cefcente de tranferênca de calr r cnvecçã, h, ara ar ecand bre uma efera à artr da bervaçã d cmrtament dnâmc da temeratura da efera. A efera tem D,7 mm e encntra-e ncalmente a 66 C ante de er nerda em uma crrente de ar a 7 C. Um termar na uerfíce externa da efera ndca 55 C aó 69 da nerçã da efera na crrente de ar. A efera e cmrta cm um bjet eacalmente térmc? Mtrar. 4

13 5/0/06 Prce cm gradente de temeratura n óld O métd da caactânca glbal f areentad anterrmente e ua valdade f demntrada ara cndçõe na qua gradente de temeratura n nterr d óld de er cnderad derezível. N entant, urgem tuaçõe na qua métd da caactânca glbal nã é adequad gradente de temeratura n nterr d me nã ã derezíve. O rblema de cnduçã de calr tranente ã decrt ela equaçã d calr, que em crdenada retangulare é dada r: (3 A luçã dea equaçã frnece a varaçã da temeratura cm tem e cm a crdenada eaca. 5 Prce cm gradente de temeratura n óld Em mut rblema, cm é ca da arede lana mtrad anterrmente, mente uma crdenada eacal é neceára ara decrever a dtrbuçã nterna da temeratura. Para ca de auênca de geraçã nterna de calr e cndutvdade térmca k cntante, a Eq. 3 fcará reduzda a: T k ρc x x T T t α t (33 T x ρc T T k t α t (34 Para relver a Eq. (34, determnand a dtrbuçã de temeratura T(x,t, é neceár eecfcar uma cndçã ncal e dua cndçõe de cntrn. Ntar que term α é chamad de dfuvdade térmca e que n SI ua undade é m / 6 3

14 5/0/06 Prce cm gradente de temeratura n óld Para um rblema tíc de cnduçã tranente, cm mtrad na fgura anterr, a cndçã ncal de er dada r: ( x, T T que gnfca que n tem t0, td vlume d óld encntra-e na mema temeratura. A cndçõe de cntrn ara ee ca ã dada r: 0 (35 A eq. (36 reflete a exgênca de metra n lan central da arede. x T (36 x 0 0 A eq. (37 decreve a cndçã na uerfíce ara t>0. T k x x L h T [ ( L,t T ] (37 7 Prce cm gradente de temeratura n óld Fca evdente ela anále da equaçõe anterre que, além de erem deendente da çã (x e d tem (t, também deendem de uma ére de arâmetr fíc, cnfrme Eq. (38: ( x,t,t,t,l,k,,h T T α (38 O rblema de, entã, er relvd analtcamente u numercamente, cm erá vt terrmente. N entant, em rmer lugar erá mtrad a vantagen que dem er btda ela admennalzaçã da equaçõe que decrevem rce. I de er fet el agruament da varáve relevante em gru arrad. Pr exeml, e T é a varável deendente e θ T Tfr a dferença de temeratura, a dvd-la ela máxma temeratura ível θ T T, a frma admennal da varável deendente de er dada r: θ T T θ θ T T (39 e, cm cnequênca, θ deve etar n nterval 0 θ. 8 4

15 5/0/06 Prce cm gradente de temeratura n óld Uma crdenada eacal admennal de er defnda cm: nde L é a metade da eeura da arede lana. x x (40 L Um tem admennal de e defnd cm: t t α F L (4 nde t é equvalente a admennal númer de Furer, vt anterrmente. Subttund a eq. (39 a (4 na eq. (34, a equaçã d calr de er dada r: x θ θ F (4 9 Prce cm gradente de temeratura n óld A cndçõe de cntrn ara a eq. (4 ã entã dada cm: θ ( x θ x, 0 0 θ Bθ (,t x (43 (44 (45 nde B é númer de Bt. Na frma admennal, a deendênca funcnal de er rereentada cm: θ f ( x,f,b (46 O númer de F frnece uma medda da efetvdade relatva cm a qual um óld cnduz e armazena energa térmca. 30 5

16 5/0/06 Prce cm gradente de temeratura n óld A Eq. (46 mtra que ara uma dada gemetra, a dtrbuçã tranente de temeratura é uma funçã unveral dex,f eb. I é, a luçã nã deende de valre artculare det, T,L,k,αuh. Sluçõe analítca exata ara rblema de cnduçã tranente fram btda ara muta gemetra e cndçõe de cntrn mle. A reluçã envlve vára técnca analítca e numérca, nclund a tranfrmada de Lalace e utra, métd de earaçã de varáve, métd da dferença fnta e d element fnt. 3 Sluçõe analítca arxmada: arede lana, clndr lng e efera Ea luçõe ã válda ara F >0,. a. Ca da arede lana cm eeura L: Se a eeura fr equena quand cmarada à largura e à altura da arede, é razável ur que a cnduçã crra excluvamente na dreçã x. Temeratura ξx θ C ex( ξ F c( (47 u θ θ c( ξ x (48 nde θ rereenta a temeratura admennal n lan central (x 0: θ C ex( ξ T T F T T (49 3 6

17 5/0/06 Sluçõe analítca arxmada: arede lana, clndr lng e efera O cefcente C e ξ (em radan ã calculad r: 4enξ C ξ + en tan B ξ ξ ( ξ (50 (5 O valre de C e ξ ã tabelad ara cada gemetra em funçã de B. Pr exeml: 33 Sluçõe analítca arxmada: arede lana, clndr lng e efera 34 7

18 5/0/06 Sluçõe analítca arxmada: arede lana, clndr lng e efera A quantdade ttal de energa, Q, que dexu (u entru a arede até um dad ntante de tem t é btda atravé da alcaçã de um balanç de energa: Igualand a quantdade de energa a artr da arede, Q, cm E a e fazend E ent 0, a artr de uma cndçã ncal (t0 até qualquer tem (t>0: u E ent E a E acum [ E( t E( ] Q 0 ρc [ T( x,t T ] Q dv nde a ntegraçã é realzada n vlume da arede. Ee reultad de er admennalzad ela ntrduçã da grandeza: Q ( T ρc V T (5 (53 (54 (55 que de er nterretada cm a energa nterna ncal da arede em relaçã à temeratura d flud. Ea equaçã também rereenta a máxma tranferênca de energa que dera crrer e rce e etendee até t. 35 Sluçõe analítca arxmada: arede lana, clndr lng e efera Sund rredade cntante, a razã entre a quantdade ttal de energa tranferda a artr da arede a lng d nterval de tem t e a tranferênca máxma ível é dada r: Q [ T ( x,t T ] dv ( θ dv Q T T V V (56 Intrduznd a Eq. (48 na Eq. (56 e ntegrand: Q Q enξ θ ξ 0 Ver lde egunte!! (57 E valre dec eξ dem er btd dretamente na tabela. 36 8

19 5/0/06 Q [ T ( x,t T ] dv ( θ dv Q T T V V [ T( x,t T ] [ T( x,t T + T T ] ( T( x,t T ( T T T T T T ( T ( x,t T ( T T T T T T θ T T Subttund ee d term na rmera equaçã e cnderand nal negatv: ( θ θ 37 Sluçõe analítca arxmada: arede lana, clndr lng (nfnt e efera Da mema frma que ara arede lana nde F>0,, ara um clndr lng (nfnt, utlza-e uma dealzaçã que ermte utlzar a hótee de cnduçã undmennal na dreçã radal. Razável ara L/r>0. ( ξr θ C ex( ξ F J (58 nde J (x é a funçã de Beel (tabelada. Ea equaçã também de er ecrta cm: nde θ θ J( ξ θ C ex( ξ r T T F T T (59 (60 A energa tranferda durante rce é dada r: Q Q θ J( ξ ξ e J (x é a funçã de Beel (tabelada. Nea equaçõe: r r r (6 38 9

20 5/0/06 Sluçõe analítca arxmada: arede lana, clndr lng (nfnt e efera Smlarmente ara uma efera de ra r : θ C ex( ξ F ξ r en( ξ r (6 nde J (x é a funçã de Beel (tabelada. Ea equaçã também de er ecrta cm: nde θ θ ξ r ξ θ C ex( en( ξ r T T F T T (63 (64 A energa tranferda durante rce é dada r: e r r r Q Q 3 3θ ξ ξ [ en( ξ ξ c( ] (65 39 Sluçõe analítca arxmada: arede lana, clndr lng (nfnt e efera Areentand utra vez a Tab. 5. (Increra u Tab. 4. (Çengel: ξ ξ ξ Ob.: na tabela d Çengel, ξ λ e C A 40 0

21 5/0/06 ξ ξ ξ 4 Funçõe de Beel ( x J J ( x 4

22 5/0/06 Sóld em-nfnt Idealzaçã útl ara mut rblema rátc. Pde er uada ara determnar a reta tranente ert da uerfíce d l u a reta tranente arxmada de um óld fnt nde n ntante nca a temeratura n nterr d óld anda nã f afetada ela alteraçõe uerfca. 43 Sóld em-nfnt T x Cndçã ncal: t0 T(,tT Cndçõe de cntrn: T ( x,t α t (65 Temeratura na uerfíce cntante Flux térmc na uerfíce cntante Cnvecçã na uerfíce 44

23 5/0/06 Sluçõe analítca arxmada Ca : temeratura na uerfíce cntante. T(x,t T T T erf x αt nde erf é a funçã err de Gau, cuj valre dem er calculad u eg da tabela. 45 3