3. Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente

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1 43 3. Cnduçã de Calr Undmensnal em Regme Permanente A equaçã da cnduçã de calr ns cass mas genércs f deduzda n capítul. N cas undmensnal em regme permanente, há flux de calr predmnante em uma dada dreçã, ndependente d temp. 3. Paredes Planas Cnsdere cas de uma parede plana de espessura L a lng d ex x, e nfnta em y e z, cm temperaturas especfcadas, T em x = e T L em x = L, Fgura 3.. Supnha que materal da parede seja strópc e hmgêne e que nã há geraçã nterna de energa na parede. Cm as hpóteses cnsderadas, este prlema é gvernad pel cnjunt de equações: dt dx = (3.) T = T em x = (3.) T = T L em x = L (3.3) Fgura 3. Cnduçã através de uma parede plana. Resstênca térmca. A sluçã da Eq. (3.) é tda ntegrand-se duas vezes a Eq. (3.), tend-se resultad: T = cx+ c. As cnstantes de ntegraçã pdem ser tdas usand as Eqs. (.) e (.3), cuj resultad fnal é uma varaçã lnear da temperatura cm x na frma: x = + (3.4) T T TL T L

2 44 A partr da Eq. (3.4) tém-se que gradente de temperatura a lng da parede é ndependente de x, devd à varaçã lnear da temperatura, dt / dx = T T / L, e, prtant, flux de calr através da parede pde ser calculad cm dt k q = k = ( T TL ) (3.5) dx L A taxa de calr atravessand a frntera é tda multplcand flux de calr pela área da superfíce A, assm, ka q= q A= ( T TL) (3.6) L L 3.. Resstênca Térmca O nvers de ka / L é denmnad de resstênca térmca da camada e, prtant, defne-se: L Rt = (3.7) ka Cmnad as Eqs. (3.7) e (3.6) resulta q T T R L = (3.8) t Oserve que a taxa de calr cm calculada pela Eq. (3.8) é cmpletamente análga à crrente elétrca que atravessa um crcut cm uma únca resstênca em que há uma dferença de ptencal elétrc. A resstênca térmca é lustrada na Fgura Paredes Cmpstas Se a parede fr cnsttuída de váras camadas de espessura L e cndutvdade térmca k, a resstênca térmca de cada camada será R L t, = (3.9) ka A resstênca térmca ttal será a asscaçã em sére das resstêncas ndvduas, u seja, R L t = (3.) ka

3 45 Cm exempl, cnsdere cas de uma parede cmpsta de três camadas de materas strópcs hmgênes, cm lustrad na Fgura 3.. Neste cas, a taxa de calr pde ser calculada cm T TL q = L/kA+ L/kA+ L/kA 3 3 (3.) Fgura 3. Parede cmpsta e sua resstênca térmca Cefcente Glal de Transferênca de Calr N cas de trcadres de calr, pr exempl, geralmente, a parede separa ds camps de escament, cm um flud quente em uma das faces da parede e utr flud fr na utra face; Fgura 3.3. A transferênca de calr d flud quente para a parede e da parede para flud fr pde ser estmada através d cefcente de transferênca cnvectva defnd n capítul. Supnha que d lad d flud quente a temperatura seja T h cm um cefcente h h caracterzand a trca de calr d flud para a parede, e d lad fr a temperatura seja T c cm um cefcente h c caracterzand a trca de calr da parede para flud. Neste cas, têm-se as seguntes equações: q Th T = (3.) h h L T T = L q k (3.3) q TL Tc = (3.4) h c

4 46 Fgura 3.3 parede anhada pr fluds em suas faces. Cefcente glal de trca de calr. Smand as Eqs. (3.) (3.4) tém-se L Th Tc = + + q (3.5) hh k hc Numa frma mas cmpacta a Eq. (3.5) pde ser reescrta cm q Th Tc = (3.6a) U Ou na frma q = U T T (3.6) h c Na qual cefcente glal de transferênca de calr é defnd pr L = + + (3.7) U h k h h c Exercíc 3.: A parede de um ncuadr de vs é cmpsta pr uma camada de fra de vdr de 8 cm entre duas camadas de fórmca de cm cada uma. D lad de fra a temperatura é Tc = C e cefcente de trca de calr d lad extern d ncuadr é hc = 5W / m K. D lad ntern, a temperatura é T 4 h = C e devd um ventladr frçar ar nternamente sre s vs, cefcente de trca cnvectva é hh = W / m K. Calcule flux de calr através da parede d ncuadr.

5 47 3. Cascas Clíndrcas Muts trcadres de calr sã cnsttuíds pr cascas clíndrcas, cm n cas d trcadr de calr cnhecd cm casc-tu. Nestes cass, flux de calr nã se cnserva cm crre na parede plana, vst que gradente de temperatura depende da psçã radal. Entretant, a taxa de calr que atravessa a casca deve se cnservar pela prmera le da termdnâmca. Cnsdere uma casca clíndrca de cmprment l ; de ra ntern r e cuja superfíce nterna esteja a T. O ra extern é r e a temperatura da superfíce externa é T. O flux de calr d lad ntern é q e d lad extern será q ; Fgura 3.4. Fgura 3.4 Cnduçã radal numa casca clíndrca. A taxa de calr pde ser calculada se fr determnad flux de calr d lad ntern, pr exempl. Esta taxa pde ser estmada cm q = π (3.8) rl q O flux de calr na dreçã radal pde ser td na frma: dt q = k dr = r r (3.9)

6 48 O que rga a determnaçã d camp de temperatura através da casca. A equaçã gvernante para este prlema em regme permanente, sem geraçã nterna na parede e smetra da temperatura é d dt r = (3.) rdr dr sujeta às cndções de cntrn T = T em r = r (3.) e T = T em r = r (3.) A seqüênca de sluçã é tda ntegrand duas vezes a eq. (3.): d dt r = dr dr dt r (3.3) C dr = (3.4) dt C = (3.5) dr r T = C ln r + C (3.6) A Eq. (3.6) deve satsfazer as duas cndções de cntrn (3.) e (3.), que leva as resultads: T = C ln r + C (3.7) T = C ln r + C (3.8) Após a elmnaçã de C das Eqs. (3.7) e (3.8) tém-se C T T = (3.9) ln( r / r) Fnalmente, sutrand (3.7) de (3.6) resulta r T T = C ln r e pel us de (3.9) tém-se ( ) T T T T ln r / r (3.3) ln r / r = (3.3)

7 49 O gradente de temperatura pde ser td cm dt dr T T =. Cmnand as r ln r / r equações (3.8) e (3.9) tém-se a taxa de calr na frma π kl q = T T (3.3) ln r / r Pde-se cnclur que a resstênca térmca da casca clíndrca é ln( r / r) Rt = (3.33) π kl Pela cnservaçã da taxa de calr pde-se mstrar que q = πrl q = πrl q (3.34) E, prtant, flux de calr em qualquer ra será r q = q (3.35) r N cas de uma casca cmpsta, pr exempl, de três camadas; Fgura 3.5, cujs ras das nterfaces sejam r e r respectvamente cm r > r > r > r, e as temperaturas d flud ntern seja T h cm h e d lad seja T c cm h ; a taxa de calr pde ser calculada cm Th Tc q= UA( Th Tc) = UA( Th Tc) = (3.36) R Na qual a resstênca térmca pde ser calculada cm ln( r / r ) ln( r / r ) ln( r / r ) R t t = (3.37a) ha πkl πkl πkl 3 ha Fgura 3.5 Casca clíndrca cmpsta cm transferênca cnvectva em ams s lads.

8 5 Pela cmnaçã das Eqs. (3.36) e (3.37) pde-se demnstrar que rln r/r rln r /r rln r /r r U h k k k h r = (3.37) 3 r r ln r / r r ln r / r r ln r / r U h r k k k h = (3.37c) 3 As áreas das superfíces nterna e externa da casca sã defndas pr A = π rl ; A = π rl (3.38) 3.3 Cascas Esfércas A gemetra esférca, Fgura 3.6, pde ser analsada de manera smlar, pr ntar que quand a temperatura das superfíces nterna e externa sã stérmcas ( T,T ), a temperatura dentr da casca pde varar apenas radalmente. Neste cas a equaçã que rege prlema, cm tdas as hpóteses smplfcadras cnsderadas, cm n cas d clndr, fca na frma: d dt r = r dr dr (3.39) sujeta às cndções de cntrn T = T em r = r (3.4) e T = T em r = r (3.4) Fgura 3.6 Cnduçã radal através de uma casca esférca.

9 5 Multplcand a Eq. (3.39) pr r dt C dt dr = u dr r rdr e ntegrand uma vez resulta C = (3.4) Agra, multplcand a Eq. (3.4) pr dr e ntegrand mas uma vez tém-se C T r A restrçã das cndções de cntrn levam a sstema T = + C (3.43) C = + C (3.44) r T C = + C (3.45) r A elmnaçã de C das Eqs. (3.44) de (3.45) leva a valr de C na frma ( ) rr T T C = r r Sutrand a eq. (3.44)de (3.43) e pel us de (3.46) tém-se (3.46) r r r = ( ) T T T T r r r (3.47) da qual se se tém gradente de temperatura e flux de calr q defnds respectvamente pr ( T T ) dt rr = dr r r r dt r T T q = k = k dr r r r = r r (3.48) (3.49) A taxa de calr pde ser tda multplcand flux pela área de trca, n cas de uma esfera, A = 4π r, resultand T T q= krr r r 4π (3.5) Pela servaçã da Eq. (3.5) pde-se cnclur que a resstênca térmca da casca esférca é Rt = (3.5) 4π k r r N cas de uma casca esférca cmpsta de duas camadas, pr exempl, cm cnvecçã nterna e externa, a resstênca térmca ttal será

10 5 R t = ha 4πk r r 4πk r r h A (3.5) 3.4 Ra Crítc de Islaçã Uma aplcaçã d cncet de resstênca térmca é determnaçã de espessura anular que deve ser aplcada sre a superfíce externa de uma parede clíndrca de temperatura cnhecda T. A funçã da camada slante clcada entre ra r e r é reduzr a taxa ttal de transferênca de calr entre crp ntern e flud amente a T e cefcente h de trca cnvectva. A Fgura 3.7, n alt à dreta, lustra a camada de slante térmc. A taxa ttal de transferênca de calr vara nversamente cm a resstênca térmca, prque q = T T / R. A resstênca térmca neste cas pde ser calculada cm t ln r / r R = t πkl + h r l (3.53) ( π ) Para h e k cnstantes, R t será uma funçã d ra extern r. E quand a resstênca térmca alcançar um mínm a taxa de calr atngrá um máxm. Dervand R t da Eq. (3.53) em relaçã a r resulta R / r = / πklr / πlhr. Para se ter pnt de mínm u t máxm faz-se R/ r= que leva a resultad d ra crítc de slament t k r,c = (3.54) h A resstênca mínma será, prtant, + ln k / hr Rt,mn = (3.55) π kl Algumas cnclusões que se pde trar d cncet de ra crtc de slaçã é que, quand, clndr fr espess, de tal frma que r k > r,c u hr < ; (3.56) a adçã de uma camada de materal slante sempre se traduz em aument de R t e, prtant reduçã de q cm desejad. N cas pst, quand, r k < r,c u hr > ; (3.57)

11 53 enrlament de uma prmera camada slante reduzrá a resstênca térmca. O efet ncal será um aument da transferênca de calr. Apenas quand materal sufcente tenha sd adcnad de md que r exceda r,c reduçã de q., a espessura de slament aumentará valr de R t e N cas de slaçã de um jet esférc de ra r, ra crtc de slaçã será estmad pela relaçã: k r,c = (3.58) h Fgura 3.7 Efet d ra extern sre a resstênca térmca glal de uma camada clíndrca slante. Exercíc 3.: Um f slad suspens n ar gera aquecment pel efet Jule à taxa de q = W / m. O f clíndrc de ra r =, 5mmestá 3 C acma da temperatura amente. É prpst encapar f cm plástc de slament elétrc, cuj ra extern será r = mm. A cndutvdade térmca d materal plástc k = 35, W / mk. O plástc slante aumentará cntat térmc entre f e amente, u prmverá efet de slament térmc? Para verfcar a respsta calcule a dferença de temperatura entre f e amente quand f estver encapad pel plástc.

12 Geraçã Interna de Calr Há cass que crre geraçã nterna de energa dentr d jet, cm pr exempl, pr efet Jule em f cndutres de eletrcdade, u pr efet de aquecment devd a camp de radaçã. Estes cass, Fgura 3.8, serã cnsderads neste tem Aquecment Unfrme à Taxa q A ncógnta aqu nã a taxa ttal de transferênca de calr, ps ela pde ser determnada multplcand a taxa de geraçã pel vlume d crp. Nte que em regme permanente td calr gerad dentr da parede deve ser remvd para reservatór flud. A questã é quã aquecd deve se trnar nterr para transferr esta taxa de calr para s lads. Desde que a ncógnta é camp de temperatura T( x ), ela pde ser tda da equaçã: dt q + = (3.59) dx k As cndções de cntrn, para a parede mersa num reservatór flud à temperatura T e cefcente h, serã d tp q = h T T em x = L/ (3.6) q h( T T ) = em x = L/ (3.6) O snal negatv é necessár n lad esquerd da Eq. (3.6) pr que (a) q é cnsderad pstv quand apntand na dreçã d ex x, e () na defnçã de h q é assumd pstv quand apntand para dentr d flud. Usand a Le de Furer para s fluxs de calr em amas as Eqs. (3.6) e (3.6), as cndções de cntrn de trnam dt k = h( T T ) em x = L/ (3.6) dx dt k = h( T T ) em x = L/ (3.63) dx A sluçã da Eq. (3.59) tem a frma geral ( ) T = q / k x / + C x+ C. Dferente d cas sem geraçã que leva a uma varaçã lnear da temperatura, neste cas perfl resultante é paraólc. As cnstantes de ntegraçã pdem ser determnadas pelas cndções de cntrn (3.6) e (3.63). O resultad da dstruçã de temperatura é da frma:

13 55 frma T x = T + + 8k L/ h ql x ql (3.64) A temperatura máxma crrerá n centr da parede, u seja, em x =, e será da 4 ql Tmax = T + 8k + B (3.65) na qual a quantdade admensnal B é denmnada de númer de Bt e é defnda cm hl B = (3.66) k As temperaturas das faces da parede serã calculadas pr ql ql/k T( ± L/ ) = T + = T + (3.67) h B Pde se ver que quand B, a temperatura das faces se aprxma da temperatura d flud, neste cas, dz que cntat térmc entre a parede sólda e flud é m. N cas em que B, cntat entre parede e flud é pre e a temperatura das faces se aprxma da temperatura d plan méd, u seja, perfl de temperatura na parede se trna achatad. Fgura 3.8 Dstruçã de temperatura em regme permanente devd à geraçã nterna unfrme em uma placa (a) em um clndr u esfera ().

14 56 N cas de um crp clíndrc sóld; lad dret da Fgura 3.8, a dstruçã de temperatura pde ser tda da equaçã: d dt q r + = (3.68) rdr dr k sujeta às seguntes cndções de cntrn dt dr = em r = (3.69) dt k = h( T T ) em r = r (3.7) dr A sluçã de (3.68) cm as restrções (3.69) e (3.7) é d tp (demnstre) T r qr r qr = T + + 4k r h (3.7) N cas de um crp esférc sóld, a dstruçã de temperatura pde ser tda da equaçã: d dt q r + = r dr dr k (3.7) sujeta às seguntes cndções de cntrn dt dr = em r = (3.73) dt k = h( T T ) em r = r (3.74) dr A sluçã de (3.7) cm as restrções (3.73) e (3.74) é d tp (demnstre) T r qr r qr = T + + 6k r 3h (3.75) 3.5. Aquecment Nã Unfrme Dependente da Temperatura Supnha cas em que aquecment u taxa de geraçã nã seja unfrme e dependa da temperatura lcal. N cas de um cndutr elétrc a taxa de geraçã pde ser expressa cm q = ρej (3.76) na qual J é densdade de crrente elétrca em (amperes/m ) e ρ e é a resstvdade d materal que pde ser expressa em funçã da temperatura na frma

15 57 ( T T ) ρe ρe, + α (3.77) dρe Em (3.77) ρ e, é a resstvdade na temperatura T e α = ρ dt = e, T T é cefcente de temperatura da resstvdade. Cnsdere cas de um cndutr clíndrc cm cndutvdade térmca cnstante e perfet cntat cm amente a temperatura T de md que a temperatura da superfíce seja a própra temperatura amente. Neste cas tem-se as equações: d dt q r + = rdr dr k sujeta às seguntes cndções de cntrn (3.78) dt dr = em r = (3.79) T = T em r = r (3.8) Em vsta das equações (3.76) e (3.77) a Eq. (3.78) pde ser reescrta cm d dt r + C + CT = rdr dr na qual C e C sã duas cnstantes empírcas d cndutr (3.8) J C = ρe, T k dρe dt T= T C J d ρ e = k dt T T = (3.8) O nteresse neste tp de prlema é determnar a temperatura máxma de tal frma que cndutr nã se trne nstável termcamente. Desta frma, uma sluçã aprxmada da Eq. (3.8) pde ser sufcente para determnaçã da temperatura máxma. Um perfl de temperatura da frma r T = T + ( Tmax T) r Satsfaz as duas cndções de cntrn (3.79) e (3.8). π r Aplcand peradr rdr à Eq. (3.8) resulta (3.83) dt r r r + C + C Trdr = (3.84) dr = r r O prmer term da equaçã (3.84) pr (3.83) será ( rdt / dr) ( T T ) max r= r. A ntegral pde ser tamém avalada susttund (3.83) n tercer term de (3.84) e resultad será

16 58 r Trdr = r / T + Tmax T /. Susttund estes resultads em (3.84) e reslvend para Tmax T, tém-se se C T max T = ( C + C T ) ( 8 ) /r C (3.85) Analsand denmnadr de (3.85), pde-se ver que T max permanecerá fnta apenas < / r. Esta desgualdade deve ser satsfeta se uma dstruçã de temperatura em 8 regme permanente deve exstr. Assm uma cndçã de nstaldade térmca será evtada se / 3/ k J < (3.86) r ρ e Se fr tda uma sluçã exata da Eq. (3.8) a sluçã será em terms de funções de Bessel. Neste cas, fatr 3 / será susttuíd pr,45, valr cerca de 5% menr. 3.6 Superfíces Estenddas (Aletas - Fns) N prjet de trcadres de calr, mutas vezes se trna necessár melhrar a efcênca d prcess de trca, em cm aumentar a trca de calr. Uma das maneras de cnsegur tal jetv é aumentar a área superfcal d trcadr. Devd a lmtações de tamanh, pr exempl, uma manera de aumentar a superfíce de trca é pel us de aletas que sã superfíces estenddas a partr de uma área ase. As aletas tem as mas varadas frmas e serã analsadas neste tem. Aletas retangulares sã lustradas na Fgura 3.9. Fgura 3.9 Aument da trca de calr na área certa pr aletas.

17 Melhra da Transferênca de Calr A prpsta de melhra u aument de transferênca de calr entre uma superfíce sólda e flud que a anha é cmum em prpsções de prjets de térmcs. Para entender cm uma aleta funcna, cnsdera-se, ncalmente, uma superfíce plana d(sem aletas) de área A anhada pr um flud cm cefcente de trca h. A temperatura da superfíce é T e temperatura d flud é T. Assm a taxa de calr através da superfíce pde ser calculada pr q ha T T = (3.87) O flux de calr na superfíce sem aletas (unfnned u) supst unfrme em tda área é defnd cm q / A. A taxa de calr na superfíce aletada (fnned) é defnda pr q. O jetv é ter uma superfíce aletada de frma que q> q. Ist pder alcançad cm aletas que tenham a cndutvdade térmca, de tal frma que a temperatura da superfíce da aleta seja cmparável à temperatura da ase T. Uma manera de medr a melhra da trca de calr é através da defnçã de efetvdade glal da área prjetada da aleta cm q q ε = = q ha T T ( ) (3.88) N cas da superfíce aletada a área A será a sma das áreas sem aletas mas a prjeçã das áreas da aletas na ase. Desgnand a área sem aletas pr A,u e a área prjetada da aleta pr A,f ; entã, tem-se A = A + A (3.89),f,u A taxa de calr para a superfíce aletada será estmada cm = + (3.9) q q A,f ha,u T T na qual q é flux de calr méd através da ase de um aleta e será fc de cálcul Aletas de Seçã Transversal Cnstante O cas mas smples de aletas é de aletas de seçã transversal cnstante; Fgura 3.. Num mdel de cnduçã lngtudnal flux de calr na ase da aleta pde ser calculad cm dt q = k dx x= (3.9)

18 6 Prtant, cálcul d flux de calr requer a determnaçã da dstruçã de temperatura T( x ) na aleta. Cnsdere um element de vlume de aleta de área superfcal pδ x. Um alanç de energa neste vlume leva a equaçã qa x c q x +Δ xac pδxht T = (3.9) Fgura 3. Cnduçã lngtudnal através de uma aleta de seçã transversal cnstante. dq x O flux de calr em x +Δ x pde ser express cm q x+δx = q x + Δ x+ que dx susttuíd em (3.9) leva à equaçã dq dx xa p x h T T x Δ c Δ = (3.93) Usand a Le de Furer para expressar q x em funçã da temperatura resulta dt c ( ) ka hp T T = (3.94) dx A Eq. (3.94) expressa alanç entre calr que é cnduzd e chega à psçã x e que sa pr cnvecçã através da superfíce da aleta. A Eq. (3.94) é uma EDO de segunda rdem e requer prtant duas cndções de cntrn para sua sluçã.

19 6 Aletas Lngas. Cnsdere, prmer, cas de aleta lnga de frma que na sua pnta tem se a segunte cndçã de cntrn: T T quand x (3.95) A utra cndçã de cntrn é tda da hpótese de que sua raz está na mesma temperatura da parede ase, u seja, T = T em x = (3.96) Defnd excess de temperatura cm θ x = T x T (3.97) a Eq. (3.94) pde ser reescrta cm d θ m θ = dx (3.98) sujeta às cndções de cntrn θ = θ em x = ( θ = T T ) (3.99) θ quand x (3.) m é um parâmetr crucal d arranj aleta-flud, defnd cm / hp m = (3.) kac A sluçã Eq. (3.98) é d tp θ x = c exp mx + c exp mx (3.) O us das cndções de cntrn leva as valres das cnstantes c e c : c = c = θ (3.3) A dstruçã de temperatura a lng da aleta será, prtant, expressa cm θ ( x) θ exp ( mx) = (3.4) A temperatura deca expnencalmente da ase para a pnta. Da mesma frma flux cnvectv ht T = hθ deca expnencalmente. Uma aleta é cnsdera lnga quand a segunte restrçã é satsfeta ml (3.5) A taxa de calr na ase da aleta pde ser calculada cm c c / q = q A = θ kahp (3.6) que mstra cm s parâmetrs físcs afetam a trca de calr.

20 6 Aleta de Cmprment Fnt cm a Pnta Islada. Muts prjets nã satsfazem crtér de aleta lnga; prtant, a aleta deve ser cnsderada de cmprment fnt. Neste cas, cm a temperatura da pnta da aleta é dferente da temperatura amente, a taxa de calr na pnta da aleta será (3.7) qtp = hac T L T Um pass ntermedár antes deste cas mas geral é cnsderar a aleta cm a pnta slada, cas em que se tem dt dx = u dθ = dx em x = L (3.8) Este cas lmte é uma a aprxmaçã para cas q > q (3.9) tp A sluçã geral para este cas tem a frma: * * ( x) csenh( mx) c csh( mx) θ = + (3.) As cndções de cntrn (3.99) e (3.8) levam as valres das cnstantes * c θ * = e c θ tanh( ml) = (3.) Este cas é lustrad na Fgura 3.. A frma fnal da sluçã, após algumas manpulações, é: ( x) csh m L θ = θ (3.) csh ml Fgura 3. Aleta cm a pnta slada (lad esquerd) versus aleta cm transferênca de calr na pnta ((lad dret)

21 63 A temperatura na pnta das aleta será ( L) θ csh ml θ = (3.3) A taxa de calr através da ase da aleta será = q Ac k dx = θ x= / ( ka hp) tanh( ml) c dt Pde-se demnstrar que cas de aleta cm a pnta slada é satsfet quand (3.4) / qtp hac = << q senh( ml) kp (3.5) Efet de Transferênca de Calr na Pnta. Neste cas, lustrad, d lad dret da Fgura 3., a cndçã de cntrn é da frma dθ kac = hacθ em x = L (3.6) dx A sluçã da Eq. (3.98) cm as cndções de cntrn (3.99) e (3.6) é da frma ( ) + ( ) + ( h / mk ) s en h( ml) csh m L x h / mk s en h m L x θ = θ csh ml (3.7) A taxa de calr na ase, neste cas, pde ser estmada da mesma frma que aleta da pnta slada, prém, crrgnd cmprment, de tal frma que = dt q Ac k dx = θ x= / ( ka hp) tanh( ml ) c c na qual, cmprment crrgd, Fgura 3., é express cm L A p (3.8) c c = L+ (3.9) Pr exempl, para uma aleta plana de espessura t e largura W, p = W + t W. Neste cas, pde-se mstrar que Ac = tw e L c t = L+ (aleta plana) (3.9) Para uma aleta de seçã clíndrca de dâmetr D cnstante tem-se D Lc = L+ (pn u aleta clíndrca) (3.9) 4

22 64 Fgura 3. Cncet de cmprment crrgd. A partr da Eq. (3.7) pde-se ter a dervada da temperatura na frma ( ) + ( ) + dθ msenh m L x h/ k csh m L x = θ dx csh ml h / mk s en h ml A taxa de calr calculada pela expressã exata d gradente em x = sera da frma q = Ac k dx = θ ( ka hp) c dt / x= + ( h / mk ) csh( ml) + ( h / mk ) sen h( ml) senh ml csh ml (3.) (3.) Efcênca da aleta versus efetvdade da aleta. O parâmetr admensnal que descreve quã em sã as funções da aleta cm uma extensã da superfíce da ase é a efcênca da aleta η ( η ) η < < : taxa real de transferenca de calr = = (3.) maxma taxa de transferenca de calr hplcθ quand tda aleta esta na temperatura da ase Usand a Eq. (3.8) tém-se a efcênca da aleta na frma tanh( mlc ) η = (3.3) ml c Algumas vezes se usa cm ascssa, n lugar de q ml c, parâmetr:

23 65 / h Lc (3.4) kt Alternatvamente, se usa a efetvdade da aleta cm uma medda de sua perfrmance. A efetvdade ε f é defnda cm ε f taxa ttal de transferenca de calr taxa de transferenca de calr que devera q ha θ = = (3.5) crrer atraves da area da ase na ausenca da aleta c Fgura 3.3 Efcênca de aletas dmensnas cm perfs retangular, trangular e paraólc. Se fr para a aleta desempenhar sua funçã de aument de transferênca de calr aprpradamente, entã, ε f deve ser mar d que. Uma a aleta tem, prtant, efetvdade mar d sua efcênca. A relaçã entre elas será ε pl area ttal de cntat cm flud f c η = A = c area da seça transversal (3.6)

24 66 A efetvdade da aleta é tamém mar d que a efetvdade glal aseada na área superfcal prjetada. A relaçã entre ε e ε f é tda pela cmnaçã de (3.88), (3.9) e (3.5): ε ε A A,f,u = f + (3.7) A A Aletas de Seçã Transversal Varável N cas da aleta plana de seçã transversal cnstante, ela é denmnada de aleta retangular, ps lhand lateralmente vê-se um retângul. Há cass em que a seçã transversal da aleta dmnu da ase para sua pnta;fgura 3.4. O alanç de energa neste cas leva à equaçã: q q pδx h T T = (3.8) x x+δx Após smplfcações resultará dq x hp ( T T ) = (3.9) dx Pel us da Le de Furer, q = ka x dt / dx chega-se a x c d dt kac hp T T = dx dx (3.3) Fgura 3.4 Cnduçã lngtudnal através de uma aleta de seçã transversal varável.

25 67 Para dadas varações de Ac ( x ) e p ( x ), jetv é determnar a taxa de transferênca de calr que passa através da ase da aleta: dt q = ka(x) c dx x= (3.3) O resultad fnal tamém pde ser quantfcad em funçã efcênca da aleta na frma: q η = (3.3) ha T T exp na qual A exp é área expsta da superfíce da aleta, st é, a área anhada pel flud. N cas de aletas trangulares e paraólcas, apenas a área da seçã transversal vara, mas nã perímetr. N cas de uma aleta na fram de dsc, Fgura 3.5, ams A c e p varam. Fgura 3.5 Efcênca de uma aleta anelar de espessura cnstante.

26 Superfíces Estenddas cm Mvment Relatv e Geraçã Interna de Calr 3.7. Equaçã Geral de Cnduçã O mdel de cnduçã undmensnal da aleta clássca tamém encntra aplcaçã n cas de crps lngs. Cnsdere cas de um crp clíndrc de seçã varável que tenha mvment relatv na dreçã x cm velcdade U e está expst a cnvecçã num reservatór flud; Fgura 3.6. Supnha que exsta geraçã nterna n crp. O alanç de energa neste cas leva à equaçã: q q pδx h T T + m m + q AΔ x= (3.33) x x+δx x x+δ x c na qual x é a entalpa especfca d sóld na psçã x. Tratand sóld cm ncmpressível, tem-se dx = cdt + dp (3.34) ρ Para pressã cnstante, dx = cdt e, prtant, dx dt m ( x x+δ x) = m Δ x= mc Δx dx dx Está mplícta nesta dervaçã que a vazã mássca é cnservada de uma seçã transversal para utra: m = ρ AU (3.35) c Fgura 3.6 Cnservaçã da energa num crp lng cm mvment sóld e geraçã nterna

27 69 A equaçã fnal de alanç de energa fca na frma: d ka dt hp T T ca U dt q A dx dx dx ρ c + = c c (3.36) 3.7. Extrusã de Plástcs e Treflaçã Nestes prcesss de farcaçã, após passar pelas matrzes, s crps se cmprtam cm superfíces estenddas em mvment relatv, Fgura 3.7. Nestes prcesss pde-se desprezar a geraçã nterna, e supnd A c e U cnstantes, resulta para excess de temperatura, a equaçã: d θ U dθ m θ = (3.37) dx α dx As cndções de cntrn para este cas sã: θ = θ em x = (3.38) θ quand x (3.39) Fgura 3.7 Dstruçã de temperatura a lng de uma fra plástca em prcess de extrusã;. A sluçã para este prlema é medata e da frma: θ x = exp l ( x) θ (3.4)

28 7 na qual l é um cmprment característc em que a temperatura d sóld se aprxma da temperatura d flud crcundante: l U α α U = + m (3.4) Ds cass lmtes sã de nteresse. N lmte de altas velcdades, U/ α >> m, cmprment de resframent é prprcnal à velcdade da fra plástca: U U U >> (3.4) αm αm N cas pst, U/ α << m, cmprment de resframent aprxma-se de uma cnstante: U l << (3.43) m αm Neste últm cas, a fra se cmprtas cm uma aleta lnga de seçã cnstante Cas Elétrcs Nestes cass pde desprezar efets varaçã de entalpa e cnsderar efet Jule cm geraçã nterna, que é amrtecd va cnduçã n suprte, Fgura 3.8. A equaçã a ser reslvda neste cas é da frma: d θ q m θ + = (3.44) dx k sujeta às restrções: θ = θ em x = (3.45) θ valr fnt quand x (3.46) A sluçã para este prlema é da frma q θ( x) = θ exp ( mx) + exp ( mx) mk (3.47) A nteraçã pr cnduçã lngtudnal cm suprte x = é sempre sentda n cmprment de fatr de escala / m. Além deste cmprment, a temperatura d ca se trna ndependente de x, st é, θ q /( m k). Ist mstra que a seçã d ca se trna cada vez mas quente quand q cresce. Se suprte será aquecd u resfrad pel ca depende de cm sgnfcatv é efet de q. Pel cálcul da taxa de transferênca de calr através da

29 7 raz d ca (sand d suprte) pde-se mstrar que suprte será aquecd pel ca q < se qa c > (3.48) hpθ Quand valr d grup grandeza da Eq. (3.48) fr untár, ca nter estará stérmc. Fgura 3.8 Dstruçã de temperatura num ca elétrc cm aquecment vlumétrc. 3.8 Determnaçã expermental d perfl de temperatura em aletas: (Prátca 3) Nesta parte d curs será realzada a segunda prátca de laratór, que trata da determnaçã de perfs de temperaturas em aletas (pns) clíndrcas e côncas, utlzand meddres de temperatura d tp termpares cnfeccnads na Prátca. A equaçã genérca da dstruçã de temperatura em uma aleta pde ser escrta na frma: h( x) ds ( x) d dt x A( x) T x T = dx dx k dx ; x x xt (3.49) na qual T ( x) = T( x) da Ax A ( x) ; A( x ) é a área da seçã transversal da aleta; element de área superfcal da aleta. Defnnd as varáves admensnas seguntes: ds x é um X x l = ; θ ( x) T x T = T T A( x) ; K( X) = ; W ( X) A = h x ds x p h dx ; * λ = λl (3.5)

30 7 cm A = uma área de referênca, h = cefcente méd de transferênca de calr cnvectva, l = cmprment de referênca, hp λ = ka p = perímetr de referênca; E saend que ds ( x )/ dx = p( x ), tém-se d dx ( X) dθ * K( X) λ W ( X) θ( X) = dx As cndções de cntrn cnsderadas sã: (3.5) ( X ) θ = em X = X (3.5a) ( X) dθ = em X = X t (3.5) dx Exstem váras técncas para se ter a sluçã das Eqs. (3.5)-(3.5). Pr exempl, uma técnca de sluçã analítca cnhecda cm Técnca de Transfrmada Integral pde ser usada para sluçã. Se fr admtda uma razã de áreas na frma: K X e A x = = X A m c = W X c n X K X resultará a equaçã genérca θ m θ d X d X * c + λ ncx θ ( X) = (3.53) dx X dx A Eq. (3.53) é um cas especal da equaçã cnhecda cm equaçã generalzada de Bessel. N cas de pns, lustrad na Fgura 3.9, a área da seçã transversal e perímetr serã:

31 73 = π = π A x r x ; A r (3.54a) π p x = r x ; p = π r (3.54) Fgura 3.9 Pn de seçã artrára. Neste cas defnnd ra admensnal e tmand l = resultara r x x R( X ) =, X r = (3.55a) Cnsequentemente, para rgem na pnta d pn (spne) e X =, X = (3.55) t * h λ = kr / (3.56a) = = K X R X, W X R X (3.56, c) A taxa de calr na ase d pn será q () T d T θ = kπ r (3.57a) dx E a máxma taxa de calr crrera se tda a superfíce da aleta estvesse na temperatura da ase

32 74 q = π r R X h T T dx (3.57) max A efcênca da aleta pde ser estmada cm η q q = = max λ * R x dx dθ ( ) dx (3.58) 3.8. Pn clíndrc N cas d pn clíndrc, Fgura 3., a seçã transversal será cnstante e, prtant, pde-se mstrar que = r u r x R X =, (3.59a, ) K( X ) =, W ( X ) = (3.59c, d) Fgura 3. Aleta u arra u pn clíndrc. Em tal cas a Eq. (3.5) fcará dêntca à equaçã da aleta retangular de seçã cnstante, cuja sluçã cm as cndções de cntrn (3.5) já f tda e é da frma θ ( X ) * ( λ X ) * ( λ ) A efcênca da aleta será csh = (3.6) csh

33 75 cm * tanh λ η = (3.6) * λ * h λ = kr / (3.56a) 3.8. Pn cônc frma N cas d espnh (spne) cônc, Fgura 3., ra da seçã transversal será da x r = u R ( X) r x Cnsequentemente, K( X) X =, W ( X) r x = = X (3.6a) r = X (3.6, c) Fgura 3. Pn (spne) cônc A Eq. (3.5) em tal cas fcará na frma * d θ X dθ X λ + θ = (3.63) dx X dx X ( X )

34 76 que quand cmparada cm a Eq. (3.53) pdems cnclur que m =, m c =, n =, c = (3.64) Em tal cas a sluçã da equaçã de Bessel (3.63) será da frma: θ ( X ) * ( λ X ) I = (3.65) X I * ( λ ) Na qual I é a funçã de Bessel mdfcada de prmer tp e rdem. N cas quand X =, pnta d pn, aparece uma ndetermnaçã d tp. Pela regra de L Hôptal pde mstrar entã que lmθ = X * ( λ ) * ( λ ) * ( λ ) di X / d X I d X / d X * * ( λ ) ( λ ) * λ = I X + I X I (3.66a) Na qual I e I sã funções de Bessel mdfcadas de prmer tp de rdem e respectvamente. I = e θ * ( λ ) I =. Prtant, * λ = (3.66) I A efcênca d pn cônc pde ser calculada na frma * ( λ ) ( ) I η = (3.67) λ λ * * I Aparat expermental para medda de temperaturas em superfíces estenddas O aparat expermental n laratór de Transferênca de Calr é cnsttuíd pr quatr arras de secçã crcular, três de alumín de cmprments e dâmetrs dferentes e uma de aç nx, além de um pn cônc de alumín. Estes dads sã mstrads na Taela 3.. Os pnts de letura de temperaturas sã ndcads na Taela 3..

35 77 Taela 3. - Característcas das aletas d La. TCM, DEM, UNESP Ilha Sltera. Barra Materal Dmensões Cndutvdade Térmca k[w/mk] L [mm] D[n] Alumín 5 5/8 37 Alumín 5/ Alumín 37 4 Aç Inx 5, Taela 3. Psções a lng da arra em que as temperaturas sã meddas Barra Dstânca [mm] X X X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X Para se calcular a transferênca de calr pr cnvecçã da arra par ar amente pde-se se usar crrelações para estmatva de h. N cas de cnvecçã natural, pde-se usar a crrelaçã de Churchll & Chu (975), que é da frma: hd, 387Ra = 6, + k / 6 D (, / Pr) 9/ 6 8/ 7 (3.68)

36 78 na qual númer de Raylegh é defnd cm 3 gβ RaD = Ts T D ; cm as prpredades αν d ar: Pr, k, α, β, ν avaladas na temperatura de flme T ( T T ) / cnvecçã pde ser estmada cm f = +. A taxa de calr pr s L ( ) q = h(x) T x T π Ddx (3.69) Para facltar s cálculs pde-se rganzar s dads, para cada psçã x, cm na Taela 3.3 a segur. Taela 3.3 Organzaçã ds dads para cálcul de h Barra Psçã - x T f (x) k ν α β Pr gβ/αν Ra D h( x ) q 3 4