UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA Programa de Pós-Graduação em Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Sanitária e Ambiental

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA Prgrama de Pós-Graduaçã em Engenhara Ambental Departament de Engenhara Santára e Ambental GILMAR DE OLIVEIRA GOMES MARÉS FLUVIAIS: RESULTADOS DE UMA SOLUÇÃO ANALÍTICA ADIMENSIONAL Dssertaçã apresentada à Unversdade Federal de Santa Catarna, para btençã d títul de Mestre em Engenhara Ambental. Orentadr: Prf. El Mel Flh, Ph. D FLORIANÓPOLIS SC, BRASIL Dezembr de 003

2 MARÉS FLUVIAIS: RESULTADOS DE UMA SOLUÇÃO ANALÍTICA ADIMENSIONAL GILMAR DE OLIVEIRA GOMES Dssertaçã submetda a crp dcente d Prgrama de Pós-Graduaçã em Engenhara Ambental da Unversdade de Santa Catarna cm parte ds requsts necessárs para btençã d grau de MESTRE EM ENGENHARIA AMBIENTAL Na área de Us e Prteçã de Ambentes Csters Aprvad pr: Prf. Dr. El Mel Flh (Orentadr) Prf. Dr. Alvar Tubes Prata Prf. Dr. Walter Cllschnn Prf. Dr. Davde Franc FLORIANÓPOLIS SC, BRASIL DEZEMBRO DE 003

3 OLIVEIRA GOMES, G. MARÉS FLUVIAIS: RESULTADOS DE UMA SOLUÇÃO ANALÍTICA ADIMENSIONAL Flranópls, /003 x, 65 p. 7.9cm fguras em cres, (CPGEA/UFSC, Msc., Engenhara Ambental, 003). Dssertaçã Unversdade Federal de Santa Catarna. Marés fluvas.. Canas fluvas. 3. Prpagaçã de maré. 4. Sluçã analítca de equações dferencas. I. CPGEA/UFSC II.

4 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS v LISTA DE SÍMBOLOS v RESUMO x ABSTRACT x INTRODUÇÃO 0 EQUAÇÕES DE SAINT-VENANT 04. Sstema natural de crdenadas e hpóteses báscas 04. Mdel undmensnal 06.. Cnservaçã da massa 08.. Cnservaçã da quantdade de mvment lnear 0... Cmpnente d pes na dreçã x... Frça de pressã na dreçã x...3 Frça de resstênca na dreçã x 4.3 Cas partcular 7.3. Cnservaçã da massa 7.3. Cnservaçã da quantdade de mvment lnear 8 SOLUÇÃO ANALÍTICA ADIMENSIONAL DAS EQUAÇÕES DE SAINT-VENANT PARA A MARÉ FLUVIAL. Frmulaçã d prblema. Admensnalzaçã das equações 3.3 Sluçã analítca 4.3. Sluçã de rdem zer (escament permanente unfrme) 5.3. Sluçã de prmera rdem (prpagaçã da nda de maré n nterr d r) 6.4 Relevânca da sluçã admensnal 34.5 Análse dmensnal 36 3 APLICAÇÕES Regme de nérca & regme de atrt Dstânca de penetraçã admensnal Cmprment de nda da maré fluval Dstânca de penetraçã nrmalzada 47 v

5 3.5 Velcdade de prpagaçã Curvas de remans 53 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 59 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 6 APÊNDICE 63 v

6 LISTA DE FIGURAS Fgura Vsta em crte da seçã lngtudnal d canal 05 Fgura Vlume de cntrle 06 Fgura 3 Seçã transversal d vlume de cntrle 07 Fgura 4 Vsta lateral d vlume de cntrle Fgura 5 Vsta lateral d vlume dferencal, de altura dz 3 Fgura 6 Representaçã esquemátca d prblema estudad 3 Fgura 7 Representaçã d nível de água (admensnal) n regme dmnad pela nérca em tˆ = 0 (a), tˆ = π/ (b), tˆ =π (c) e tˆ =3π/ (d). 39 Fgura 8 Representaçã da velcdade da crrente d r (admensnal) n regme dmnad pela nérca em tˆ = 0 (a), tˆ = π/ (b), tˆ =π (c) e tˆ =3π/ (d) 40 Fgura 9 Representaçã d nível de água (admensnal) n regme dmnad pel atrt em tˆ =0 (a), tˆ = π/ (b), tˆ =π (c) e tˆ =3π/ (d). Vsta em crte da seçã lngtudnal d canal 4 Fgura 0 Representaçã da velcdade da crrente d r (admensnal) n regme dmnad pel atrt em tˆ = 0 (a), tˆ = π/ (b), tˆ =π (c) e tˆ =3π/ (d) 4 Fgura Relaçã entre a dstânca de penetraçã admensnal ( = X / λ) Xˆ e a varaçã de M para F R gual a 0,075 (curva que atnge s mares valres da dstânca); 0,0; 0,5; 0,0; 0,5 e 0,3 (curva que atnge s menres valres da dstânca) 44 Fgura Representaçã da varaçã de L nr =L/L em funçã de M (0,<M<3) e F R = 0,075 (curva que atnge s mares valres de L nr ); 0,0; 0,5; 0,0; 0,5 e 0,3 (curva que atnge s menres valres de L nr ) 46 Fgura 3 Representaçã da varaçã de X/L em funçã de M (0, < M <3 ) e F R = 0,075 (curva que atnge s mares valres de X/L); 0,0; 0,5; 0,0; 0,5 e 0,3 (curva que atnge s menres valres de X/L ). 48 v

7 Fgura 4 Fgura 5 Fgura 6 Fgura 7 Fgura 8 Relaçã entre a velcdade da maré fluval e a velcdade da nda de gravdade em água rasa (C M /C grav ) em funçã de ln(m) (0,003 < M < 4, 974 ) e F R = 0,075 (curva que atnge s menres valres de C M /C grav ); 0,0; 0,5; 0,0; 0,5 e 0,3 (curva que atnge s mares valres de C M /C grav ). 50 Relaçã entre a velcdade da maré fluval e a velcdade básca d r (C M /u ) em funçã de ln(m) (0,003 < M < 4, 974 ) e F R = 0,075 (curva que atnge s menres valres de C M /u ); 0,0; 0,5; 0,0; 0,5 e 0,3 (curva que atnge s mares valres de C M /u ) 53 Relaçã entre as curvas de remans M e M (curvas mas externas) e s envelpes de nível de água para T= 0, 5h. 56 Relaçã entre as curvas de remans M e M (curvas mas externas) e s envelpes de nível de água para T=,4h 57 Relaçã entre as curvas de remans M e M (curvas mas externas) e s envelpes de nível de água para T= 48h. 58 v

8 LISTA DE SÍMBOLOS ) Símbls Latns A a B C f C cn C grav C M F R FR x FP x f f r f g G x h h k L L L nr M M Área da seçã transversal d canal Ampltude de sclaçã da maré na fz Largura d canal Cefcente de Chézy Velcdade da nda cnemátca Velcdade da nda lnga Velcdade de prpagaçã da nda de maré r acma Númer de Frude Resultante das frças de resstênca na dreçã-x Frças de pressã na dreçã-x Númer de nda admensnal Parte real de f, respnsável pela ntensdade d amrtecment da maré Parte magnára de f, cmanda a velcdade de prpagaçã da maré Aceleraçã da gravdade Frça pes na dreçã-x Altura de água em regme permanente unfrme Descreve a estrutura espacal da perturbaçã da altura de água prvcada pela maré Cefcente de prprcnaldade de Chézy Cmprment de nda da maré fluval Cmprment de nda da nda lnga Cmprment de nda da maré fluval nrmalzad Parâmetr admensnal, ndcadr d regme em que escament se prcessa Curva de remans v

9 M Curva de remans O( ) Determna a rdem de grandeza ds terms da expansã p Pressã P Perímetr mlhad Q Vazã d canal q Vazã pr undade de largura R h Re{ } s S T U r u u 0 u X Xˆ Ra hdráulc Representa a parte real da funçã cmplexa Freqüênca da maré Declvdade d canal Períd da maré Camp de velcdade Cmpnente estável da velcdade na dreçã-x (escament méd) Velcdade méda d escament em regme permanente unfrme Descreve a estrutura espacal da perturbaçã da crrente da água prvcada pela maré Dstânca de penetraçã Dstânca de penetraçã admensnal x

10 ) Smbls Gregs α Ângul frmad pel ex lngtudnal d canal e uma lnha de referênca hrzntal ε η η θ τ Razã entre a e h Psçã da superfíce lvre da água Perturbações de prmera rdem Dferença de fase entre nível de água e a velcdade da crrente Tensã méda em tda a seçã transversal ˆµ Númer cmplex ˆ ( xˆ ) µ Funçã cmplexa x

11 RESUMO O presente trabalh abrda uma versã admensnal das equações de Sant-Venant (-D) para estudar fenômen da Maré Fluval. A admensnalzaçã das equações de Sant-Venant é feta a partr da ntrduçã de uma escala ntrínseca d prblema, sem fazer supsções a prr sbre cmprtament da nda de maré. A sluçã analítca das equações é btda através d métd das perturbações, para uma maré de pequena ampltude mstrand-se depende de três parâmetrs admensnas: () ε ampltude de sclaçã da maré na fz, () F R númer de Frude e () M um tp de númer de Reynlds, que mede a relaçã entre frças de nérca e de atrt. Ds regmes sã pssíves para a maré fluval, dentfcads em terms d parâmetr M: um regme dmnad pelas frças de atrt (M<<) e um regme dmnad pelas frças de nérca (M>>). Send assm, é analsad cmprtament da sluçã admensnal ns ds regmes e a sua relaçã cm a dstânca de penetraçã da maré. Também sã nvestgads: cmprment de nda e a velcdade de prpagaçã da maré fluval evdencand a dependênca ds parâmetrs admensnas M e F R. Entre dverss resultads, a tera frmulada ndca que crescment da dstânca de penetraçã admensnal (relatvamente a cmprment de nda) aumenta à medda que valr de M aumenta e que a velcdade de prpagaçã da maré fluval é lmtada, n regme de nérca, pela velcdade da nda lnga e, n regme de atrt, pela velcdade da nda cnemátca. Fnalmente, é nvestgada uma aprxmaçã para as curvas de remans d tp M e M, cmprvand a sua valdade na estmaçã ds níves máxm e mínm para a altura de água. x

12 ABSTRACT A nn-dmensnal apprach t study the phenmenn f rver tde s presented. The nn-dmensnalzatn f the -D Sant-Venant Equatns s acheved thrugh the ntrductn f apprprate scales. In partcular, ths wrk makes use f an ntrnsc hrzntal lengh scale whch makes n a prr assumptn abut the rver tde wave behavur. The resultng analytcal slutn fr a small ampltude rver tde depends n three nn-dmensnal parameters: () ε tde ampltude t rver depth rat, () F R Frude number f rver flw and () M a type f Reynlds number wch measures the relatve magntude f nerta and frctn frces. Tw dfferent flw regmes fr rver tde are dentfed n terms f M: frctn-dmnated (M<<) and nerta-dmnated (M>>) regmes. The behavur f the nn-dmensnal slutn n the dfferent flw regmes s analysed and the relatnshp between the penetratn dstance, the wave length and the prpagatn speed f the rver tde and the key nn-dmensnal parameters are nvestgated. Amngst ther results, the thery ndcates that the prpagatn speed f a rver tde s lmted n the nerta regme by the classcal lng wave speed, and n the frctn regme, by the speed f a Knematc wave. Fnally, an aprxmate expressn fr backwater prfles f type M and M s nvestgated. x

13 INTRODUÇÃO Várs sã s exempls na zna ltrânea braslera, ns quas trech fnal das bacas hdrgráfcas nclu a regã de encntr d r u canal fluval cm mar. Em geral, s estuds exstentes sbre esta regã de transçã, estuár, têm cm fc s fenômens hdrdnâmcs relacnads à varaçã de densdade decrrente da mstura de água dce e salgada. É pssível encntrar, na lteratura, dverss estud relatvs à penetraçã da cunha salna n nterr d estuár. Ressalte-se que as ações que mar pde exercer sbre r nã se esgtam nesse aspect. Um camp de estud, puc explrad n país, dz respet a efet que as sclações de nível, mpstas pela maré à jusante, pdem causar na crrente e n nível d r, u seja, a Maré Fluval, tema d presente trabalh. A maré fluval pde ser entendda cm a penetraçã da nda de maré através d estuár até nterr d r, pdend acntecer em qualquer r que pssua cnexã cm mar e que atenda às cndções prpícas para tal. N Brasl, a manfestaçã mas dfundda d fenômen é a prrca, a penetraçã da nda de maré em rs da Amazôna u, segund a lteratura nglesa, tdal bre. Apesar de bastante cnhecda, a prrca é uma manfestaçã rara d fenômen. A stuaçã mas cmum, nclusve na csta braslera, é aquela na qual a maré prvca perturbações de pequena ampltude n escament. É cas, pr exempl, d r Itajaí, em Santa Catarna, que servu de mtvaçã para presente estud. Cm base nas pesqusas efetvadas, verfcu-se que, cmparada a utrs fenômens hdrdnâmcs, a maré fluval nã tem recebd muta atençã pr parte ds estudss. Nas décadas de 70 e 80, tema cmeçu a ser estudad pr pesqusadres canadenses, prvavelmente pr exstrem, n Canadá, mprtantes rs sujets a esse tp de fenômen, cm Sã Lurenç. Salenta-se cm cntrbuçã fundamental da escla canadense aquela frnecda pr Gdn (985), apresentand uma abrdagem teórca sbre assunt, em

14 que mdelu a maré fluval cm uma nda prgressva que se atenua à medda que se prpaga r acma. Embra Gdn tenha apresentad fenômen em um cntext bastante ampl, acabu pr bter uma sluçã aprxmada das equações, sb a hpótese de que a frça de atrt sera fatr relevante para cas. Em Vsta dss, nesse estud, buscarse-á trabalhar cm as equações cmpletas afm de bter resultads abrangentes. Psterrmente, Vngvsenssnja e Rjanakamthrn (989) estudaram a maré fluval n r Cha Phraya, mas mprtante da Talânda, utlzand a técnca das perturbações para reslver as equações gvernantes d fenômen, técnca smlar à empregada n presente estud. Em 999, Gdn apresentu uma revsã sbre mesm tema. O Labratór de Hdráulca Marítma da Unversdade Federal de Santa Catarna (Lahmar-UFSC-Brasl) ncu uma lnha de pesqusa sbre Maré Fluval, em 998, tend sd publcad um prmer artg acerca d fenômen n mesm an (Mel F, 998). Neste prmer trabalh, Mel F dscute, em me a utras questões, a relaçã entre as equações Sant-Venant, utlzadas n estud ds escaments em rs e canas fluvas, e as equações de águas rasas, utlzadas em estuds de hdráulca marítma. Ambas cnsderam camp de pressã hdrstátc, prém a dferença entre elas deve-se à lcalzaçã d sstema de crdenadas: Sant-Venant cnsdera ex x sbre let d canal, prtant nclnad em relaçã à hrzntal, enquant as equações de águas rasas cnsderam na hrzntal. Tend em vsta nteresse em abrdar prblema sb enfque d r, Mel F & Jrden (999) utlzaram as equações de Sant-Venant para mdelar a maré fluval. Pr esse mtv, seu trabalh dferencu-se das demas abrdagens exstentes até mment, cm pr exempl a de Gdn (985). Clcadas as bases para a abrdagem d prblema da Maré Fluval, empreendeu-se uma seqüênca de estuds sbre tema. Os trabalhs de Jrden (998) e Mel F & Jrden (999) apresentam a sluçã analítca das equações de Sant-Venant e Mel F (00, ) buscam aprfundar s resultads anterres, abrdand, na prmera parte, a mprtânca ds três parâmetrs admensnas que regulam a sluçã.

15 Sã eles:. ε, representa a razã entre a ampltude de maré na fz e a altura da lnha de água n r;. F R, númer de Frude; 3. M, análg a númer de Reynlds, mede a magntude das frças de nérca e de atrt n escament nduzd pela maré. Na segunda parte d trabalh, Mel F (00 ) apresentu exempls de aplcaçã ds resultads btds, tas cm a determnaçã da dstânca de penetraçã da maré fluval n nterr d r, para regme dmnad pela nérca e para regme dmnad pel atrt. Mel F verfcu, anda, a nfluênca d períd da maré fluval na ntensdade de seu amrtecment, determnand lmtes para a dstânca de penetraçã e a velcdade de prpagaçã. Segund tal lnha de pesqusa, trabalh ra desenvlvd vsa cntrbur para melhr entendment ds efets que a maré prvca n escament d r, n trech próxm à fz, cnsderand as mesmas hpóteses prpstas pr Mel F (998), tend em vsta a btençã de uma sluçã analítca admensnal. Este trabalh encntra-se estruturad em três capítuls. N capítul I, f efetuada uma revsã ds fundaments teórcs necessárs, seguda de uma deduçã detalhada das equações admensnas de Sant-Venant na frma undmensnal, através da bservânca d efet das hpóteses báscas na smplfcaçã d prblema. N capítul II, apresenta-se a sluçã analítca admensnal das equações, utlzand métd das perturbações. N capítul III, estã expsts alguns resultads que crrbram as cnclusões de Mel F (00, ) assm cm as de Gdn (985). Fnalmente sã apresentadas as cnclusões e cnsderações que recmendam estud empreendd cm subsíd teórc, devd a desenvlvment analítc e admensnal da sluçã, crand alternatvas para futuras abrdagens. Cabe regstrar anda que, para efet de asscaçã das equações cm capítul em que se nserem, ptu-se pr utlzar a numeraçã seqüencal relatva à seçã em que se lcalzam. 3

16 CAPÍTULO I EQUAÇÕES DE SAINT-VENANT N presente capítul, pretende-se apresentar uma deduçã das equações de Sant-Venant undmensnas (-D) na frma dferencal, buscand um desenvlvment mas smplfcad e dret d que utlzad pr Jrden (998), qual adtu cm pnt de partda as equações de Naver-Stkes e a equaçã da cntnudade em três dmensões, para deps bter, através de ntegraçã, a frma -D de Sant-Venant. Dessa frma, busca-se enquadrar prblema em uma abrdagem cntemprânea da Mecânca ds Fluds. Assm, as equações de Sant-Venant sã deduzdas a partr das les báscas da Mecânca ds Fluds que gvernam escaments à superfíce lvre: a cnservaçã da massa e a cnservaçã da quantdade de mvment lnear.. Sstema natural de crdenadas e hpóteses báscas Incalmente é mprtante estabelecer sentd atrbuíd n text à expressã canal fluval. O canal em questã é aquele n qual escament se dá prmrdalmente pela açã dreta da gravdade através da açã da cmpnente d pes da água, na dreçã d declve, em uma analga dreta cm que acntece ns rs. Dessa frma, escament em um canal fluval, a cntrár d que crre em um canal de maré, caracterza-se pr um únc sentd de mvment: mntante para jusante. Prtant, sstema de crdenadas mas adequad, para determnar as equações de Sant-Venant, deve ter ex x sbrepst a let d canal, send nclnad em relaçã à hrzntal, de frma que a cmpnente da velcdade de mar nteresse tenha a mesma dreçã de x. Pr utr lad, se ex x fsse clcad na 4

17 α ( x hrzntal, cm nas equações de águas rasas, surgra uma cmpnente vertcal da velcdade, causand uma dfculdade extra nas equações. Entã, sstema de crdenadas utlzad n text é cncebd cm natural pr usufru da declvdade d própr canal, uma vez que ex x (lngtudnal) segue ex d canal acmpanhand a sua macrtpgrafa e apresentand uma nclnaçã α em relaçã à hrzntal. A rgem d ex x é clcada na fz, entendda aqu, cm pnt a partr d qual nã se bserva nversã de flux, admtnd-se que sentd pstv d ex seja de mntante para jusante, e que ex z seja rtgnal a x, cm mstra a Fgura. superfíce lvre z Fgura : Vsta em crte da seçã lngtudnal d canal. Tend sd defndas as característcas báscas da gemetra d prblema, próxm pass cnsste em estabelecer as demas hpóteses necessáras à deduçã das equações de Sant-Venant, cm segue: () Escament scórc, mplcand um valr cnstante para a densdade, exclund-se desta análse escaments de fluds estratfcads; () Camp de pressã hdrstátc, uma vez que, n balanç de frças na dreçã perpendcular a mvment, as acelerações vertcas sã desprezíves em presença da cmpnente d pes, cnfrme Jansen (979); 5

18 () Escament em alt númer de Reynlds, segund French (986), caracterzand- cm turbulent; (v) Aprxmaçã de pequen declve de Mrrs (979); (v) Declvdade cnstante.. Mdel undmensnal A partr das hpóteses estabelecdas n tem anterr, é pssível deduzr as equações de Sant-Venant na sua frma undmensnal, cnfrme ndca Stker (957). Em crdenadas retangulares, cnsdera-se um vlume de cntrle, n qual escament se prcessa da seçã para a, cnfrme a Fgura lustra. x x Fgura : Vlume de cntrle. Um utr aspect mprtante que precsa ser cnsderad refere-se à área (A) de cada uma das faces d vlume de cntrle. Em cada face, a área depende da altura da lnha de água (h), defnda cm altura hdráulca, tmada perpendcularmente a ex d canal. Pr sua vez, a altura depende d temp (t) e da dstânca (x) cm se bserva na Fgura 3. O terema d transprte de Reynlds estabelece uma relaçã geral entre a taxa de varaçã de qualquer prpredade extensva arbtrára (tal cm: massa ttal u 6

19 quantdade de mvment), N, de um sstema, e as varações dessa prpredade asscadas a um vlume de cntrle, cm se demnstra a segur: dn dt SISTEMA = t VC ηρdv + SC r r ηρu da (.) Nesse cas, η crrespnde a uma prpredade ntensva equvalente a N, (u seja, η = N pr undade de massa), ρ à massa específca da água, U r a vetr velcdade, da r a vetr de magntude gual a element de área (da) da superfíce de cntrle, cuja dreçã é nrmal à superfíce, para fra d element, e dv a element de vlume. Lnha de água A h(x,t) Let d canal Fgura 3: Seçã transversal d vlume de cntrle. A equaçã. relacna a taxa de varaçã ttal de qualquer prpredade extensva arbtrára d sstema dn dt SISTEMA à taxa de varaçã da prpredade extensva arbtrára (N) cm temp, dentr d vlume de cntrle t VC ηρdv e a taxa líquda de flux da prpredade extensva (N), sand pela superfíce de cntrle r r ( ηρ U da). SC Anda que se trate de um escament turbulent, cm f determnad pela hpótese, é pssível, segund Jansen (979) e French (986), estabelecer a velcdade através da cmpsçã de uma parte estável (méda) e uma perturbaçã de caráter aleatór (turbulent). 7

20 Entretant, cnsderand um canal de fraca declvdade, cnfrme estabelece a hpótese v, é pssível desprezar a parte aleatóra, admtnd apenas a cmpnente méda da velcdade, segund Jansen (979). Cm cnseqüênca, as característcas d escament permtem uma aprxmaçã undmensnal das equações que determnam. Para tant, é pssível r r cnsderar U = u, na qual u representa uma velcdade méda na seçã transversal... Cnservaçã da massa O prncíp da cnservaçã da massa estabelece que a massa num sstema é cnstante. Assm, fazend na equaçã., N = M, send M a massa ttal d sstema, entã η = e, cnseqüentemente: r ρdv + ρu da = 0 t VC SC r (.) Cnsderand-se ρ unfrme n vlume de cntrle tem-se: t r r ( ρ dv) + ρu da = 0 VC SC (.3) Pela hpótese de escament scórc e, sabend que a ntegral de dv n vlume de cntrle é própr vlume, decrre que: V + t r r U da = 0 SC (.4) Cnsderand que fund e as paredes sã mpermeáves, que nã há aprte lateral de água, e que nã há flux na superfíce lvre, tem-se: r r U da = VC ( ua) x (.5) 8

21 Pr utr lad, a varaçã d vlume de cntrle é resultad de uma mdfcaçã na área das seções e dstantes x, durante nterval de temp dt, que mplca: V A = x t t (.6) Cm a área de uma seçã lcalzada em uma dada psçã x, em um nstante t, fca cmpletamente determnada pela altura da lnha de água h(x,t), tem-se A(h(x,t)). Substtund as equações.5 e.6 em.4, após manpulações algébrcas, cnstata-se que: A + t ( ua) = 0 (.7) Intrduznd a vazã em vlume (Q), através das seções e d vlume de cntrle cm ndca a Fgura, btém-se: Q = ua (.8) frma: O prncíp da cnservaçã da massa (equaçã.7) pde ser re-escrt na A Q + = 0 t (.9) A Send assm, prmer term t representa a taxa de acúmul de Q massa n vlume de cntrle, e segund term representa um balanç d flux de massa n vlume de cntrle. 9

22 .. Cnservaçã da quantdade de mvment lnear A cnservaçã da quantdade de mvment lnear na dreçã x, aplcada a terema d transprte de Reynlds (equaçã.), é feta admtnd N = P r (quantdade de mvment d escament n vlume de cntrle, na dreçã x), entã η = U r. Assm se verfca em: r dp dt SISTEMA = t VC r UρdV + r r r UρU da (.0) SC Admtnd pstulad de Cauchy, qual afrma que a taxa de varaçã da quantdade de mvment lnear em um vlume de cntrle é gual à resultante das frças que atuam n vlume de cntrle, tem-se: r r dp F = dt SISTEMA (.) camp ( ) B x Uma vez que a frça resultante, na dreçã x ( F x ), nclu as frças de F e de superfíce ( F ) S x, é pssível re-escrever a equaçã.0, na frma: F Sx + F Bx = t UρdV + UρU VC r SC r r r da (.) Já a segunda parcela d lad dret da equaçã. pde ser determnada cm segue: SC r r r UρU da = ( ρu A) x (.3) 0

23 Também a prmera parcela d lad dret da equaçã. pde ser reescrta cm segue: r UρdV = t VC t ( ρua) x (.4) Prtant, substtund as equações.3 e.4 em., resulta: F Sx + FB = ρ ( ua) x + ρ ( u A) x (.5) x t Dvdnd a equaçã.5 pr V, btém-se uma expressã para prncíp da cnservaçã da quantdade de mvment pr undade de vlume de água: V ( ) ρ Q ρ Q FS + F = + x Bx A t A A (.6) Para determnar cmpletamente a equaçã acma, resta estabelecer as cmpnentes das frças na dreçã x, atuand n vlume de cntrle. As frças de camp se resumem à cmpnente d pes n sentd d escament. As frças de superfíce sã decrrentes da resultante da frça de pressã e da frça de atrt nas paredes e n fund d canal.... Cmpnente d pes na dreçã x Dentand a cmpnente da aceleraçã da gravdade na dreçã x pr g x, e a cmpnente da frça pes nessa mesma dreçã pr G x, é pssível escrever: G x = mg x (.7)

24 Seja m a massa da água n vlume de cntrle da Fgura 4, nde ex z é perpendcular a ex x, cnfrme: m = ρv= ρa x (.8) Pela hpótese v, a declvdade é cnstante, lg: g x = gsen(α) (.9) Substtund as equações.8 e.9 em.7, resulta: G x = ρgsen(α)a x (.0) Esquematcamente, entã, fenômen pde ser representad assm: z Lnha de água FP g x g z FP Let d canal x α x Fgura 4: Vsta lateral d vlume de cntrle... Frça de pressã na dreçã x Send vlume dferencal de altura dz, cnfrme evdencad na Fgura 5, b representa sua largura.

25 Pela hpótese, camp de pressã é hdrstátc. Entã, a resultante da frça de pressã hdrstátca atuand n vlume de cntrle, apresentad na Fgura 4, pde ser calculada, cm segue: FP x h h b = ρg z ( h z) bdz x + ρg z ( h z) dz x (.) x 0 0 Send a prmera parcela d lad dret da equaçã. a frça de pressã prvenente d gradente de pressã entre as seções e, d vlume de cntrle, e a segunda parcela, a frça de pressã na dreçã x, devd à varaçã da largura b, entre as faces lateras. Lnha de água B(h) dz b(x,z) z h(x,t) Let d canal Fgura 5: Vsta lateral d vlume dferencal, de altura dz. Desenvlvend a equaçã., btém-se: FP x h h h b b = [ ρg z ( h z) ] bdz + ρg z ( h z) dz x + ρg z ( h z) dz x (.) x Prtant, smplfcand a equaçã., btém-se: FP x h = [ ρg z ( h z) ] bdz x (.3) 0 3

26 Vst que h(x,t) e ρ ndependem da varaçã de z, desprezand a varaçã de g z, a lng da dreçã z, a equaçã.3 pde ser re-escrta, cm segue: FP x h = ( ρg zh) bdz x (.4) 0 em que A = h 0 bdz. Prtant, a equaçã.4 se transfrma em: FP x h = ρg za x (.5) ser re-escrta cm: Cnfrme ndca a Fgura 4, g z = gcs(α). Assm, a equaçã.5 pde FP x h = ρgcs( α) A x (.6)...3 Frça de resstênca na dreçã x Resta calcular as frças de resstênca prvenentes d cntat da água cm fund e as paredes d canal, uma vez que a açã d vent na superfíce é desprezada. Para tant, é necessár determnar a tensã de atrt τ que se dstrbu a lng de tda a superfíce lateral d vlume de cntrle vst na Fgura 4. Expressand a tensã méda em tda a seçã pr τ, a frça de resstênca na dreçã x pde ser escrta cm: FR x = τp x (.7) send que P é perímetr mlhad. 4

27 Usand a hpótese de escament turbulent, cnclu-se que é válda a parametrzaçã de Chézy para a tensã de atrt méda, a qual é determnada em vsta da velcdade méda na seçã, cnfrme French (986). τ = ρku u (.8) Send k cefcente de prprcnaldade de acrd cm Chézy, e snal negatv, mpnd que sentd seja sempre cntrár a escament. O cefcente k (admensnal) é calculad pr: g k = (.9) C f nde g é a aceleraçã da gravdade, e C f é cefcente dmensnal de Chézy, qual trna-se funçã das característcas d fund d canal. Ns escaments puramente fluvas, mvment da água se dá sempre em um mesm sentd, de mntante para jusante, prtant é pssível re-escrever a equaçã.8, cm segue: τ = ρku (.30) Substtund a equaçã.30 na.7, resulta: FR x = ρku P x (.3) Fnalmente é pssível re-escrever a equaçã.6, substtund, n seu lad esquerd, as equações.0,.6 e.3: V ρgsen h ρ Q Q ( α) A x ρg cs( α) A x ρku P x = + A t A x A ρ (.3) 5

28 resulta: Substtund a equaçã.8 em.3, após manpulações algébrcas, ρgsen h ρkq P ρ Q Q ( α) ρgcs( α) = + A A t A A 3 ρ (.33) Invcand a hpótese v, de pequen declve, tem-se que: ( ) cs α (.34) e ( ) tan( α) S sen α = (.35) Substtund as equações.34 e.35 em.33, e multplcand pr ρ A, btém-se: h kq P Q Q gas ga = + (.36) A t A Cnsdere-se ra hdráulc (R h ), cm: A R h = (.37) P A equaçã.36 pde ser re-escrta, substtund-se a.37 : h kq Q Q gas ga = + (.38) AR h t A 6

29 Assm, a equaçã.38 representa a cnservaçã da quantdade de mvment, a qual relacna a aceleraçã lcal Q, a aceleraçã advectva t Q A massa, a frça pes pr undade de massa gas, a frça de pressã pr undade de h ga x kq e a frça de resstênca pr undade de massa. AR As equações.9 e.38 cnsttuem as equações da Sant-Venant, utlzadas para descrever escaments em canas fluvas, cnfrme Jansen (979). h.3 Cas partcular Nesta seçã será determnada uma frma partcular das equações de Sant-Venant, a qual será utlzada n restante d trabalh. Para tant, faz-se necessár admtr algumas hpóteses adcnas àquelas apresentadas n níc da seçã.: (v) Largura cnstante d canal, trnand as equações ndependentes; (v) Largura mut mar d que a altura da lâmna de água, permtnd desprezar a cntrbuçã de paredes lateras, cnsderand apenas atrt exstente n fund, para cálcul das frças de resstênca; (v) Canal retangular..3. Cnservaçã da massa Substtund a equaçã.8 na equaçã.9, cnstata-se que: A + t ( ua) = 0 (.39) 7

30 Admtnd as hpóteses v e v, entã A = Bh(x,t), nde (h) é a altura da lnha de água e (B) é a largura d canal, a qual cnsttu-se em um valr fx. Prtant: t ( Bh) + ( ubh) = 0 (.40) Cm B é um valr fx, tal equaçã pde ser transfrmada em: h B + B = t ( uh) 0 (.4) Dvdnd a equaçã.4 pr B, resulta: h + t ( uh) = 0 (.4).3. Cnservaçã da quantdade de mvment lnear A equaçã (.38) da cnservaçã da quantdade de mvment lnear na dreçã x, pde ser re-escrta, multplcand-a pr A ρ, cm segue: h ρkq ρ Q ρ Q ρgs ρg = + (.43) A R h A t A A Substtund as equações.8 e.37 em.43, resulta: h ρku P ρ ρ gs ρg = (.44) A A t A ρ ( ua) + ( u A) 8

31 Multplcand a equaçã.44 pr ρ A, advém: gas h ga ku P = (.45) t ( ua) + ( u A) Se A = A(x,t) e u = u(x,t), entã, calculand as dervadas d lad dret de.45, resulta: h u u A u A gas ga ku P = A + ua + u + ua + u (.46) t t A partr da equaçã.39, btém-se: A = t ( ua) (.47) Substtund a equaçã.47 na.46, encntra-se: h u u u A gas ga ku P = A + ua + u ( ua) + ua + u (.48) t Calculand a dervada ( ua), na equaçã.48, verfca-se: gas h u u ga ku P = A + ua (.49) t Dvdnd a equaçã.49 pr A, btém-se: h ku P u u gs g = + u (.50) A t 9

32 Substtund a equaçã.37 na.50, btém-se: gs h ku u u g = + u (.5) R t h A hpótese v, mplca R h h, entã: gs h ku u u g = + u (.5) h t Send assm, as equações.4 e.5, cnsttuem-se na versã undmensnal das equações de Sant-Venant que será utlzada n presente trabalh. 0

33 CAPÍTULO II SOLUÇÃO ANALÍTICA ADIMENSIONAL DAS EQUAÇÕES DE SAINT- VENANT PARA A MARÉ FLUVIAL Neste capítul, apresenta-se uma sluçã analítca das equações de Sant- Venant para prblema da maré fluval. Mel e Jrden (999) btveram uma sluçã para prblema da maré fluval, a partr da frma dmensnal das equações de Sant-Venant. N presente capítul, fenômen da maré fluval é estudad cm base em uma abrdagem ttalmente admensnal d prblema.. Frmulaçã d prblema A stuaçã será estudada através de um mdel smplfcad, prém sem dexar de levar em cnsderaçã s aspects físcs fundamentas d fenômen. Para tant, será necessár cnsderar utras hpóteses cm cmplement às hpóteses usadas na deduçã das equações de Sant-Venant: h + t ( hu) = 0 (.4) u u + u t = gs h ku g h (.5) Sejam as hpóteses: (x) A maré prvca perturbações em uma stuaçã de equlíbr, dada pel escament permanente unfrme subcrítc n r. Tas perturbações devem ser pequenas de frma

34 a prvcar apenas varações na velcdade da crrente sem, n entant, casnar nversã de flux em nenhum lcal d canal. Assm, uma pequena sclaçã peródca é prduzda n nível méd da água na fz, tal que: h a ( 0,t) = h + cs ( st ) (.) h send, a, s e h, respectvamente, a ampltude, a freqüênca da sclaçã e a altura da água para escament básc d r em regme permanente unfrme, de frma que: a h = ε << (.) (x) A maré é representada de frma smplfcada pr uma únca cmpnente harmônca n temp, cm períd T, capaz de se prpagar r acma sem sfrer reflexã. A vazã d r a mntante é cnsderada cnstante, u seja, lm u(x, t)h(x, t) = u x h = q (.3) send, u a velcdade méda d escament básc d r em regme permanente unfrme, e q =Q/B a vazã pr undade de largura u vazã específca. Cabe salentar que, devd à lcalzaçã ds exs crdenads, a nda de maré penetrará canal vajand em um sentd cntrár a sentd pstv d ex x.

35 O fenômen é descrt esquematcamente na Fgura 6 h u z S x Fgura 6: Representaçã esquemátca d prblema estudad.. Admensnalzaçã das equações Sb pnt de vsta da utlzaçã, sluções admensnas sã mas abrangentes d que as dmensnas, justamente pr apresentarem ndependênca de valres numércs (dmensnas), pssbltand que tas sluções sejam utlzadas em um espectr mar de stuações. Antes de reslver prpramente as Equações de Sant-Venant.4 e.5, será feta a admensnalzaçã. Em prblemas de prpagaçã de ndas, a defnçã de uma escala de cmprment λ é feta, em geral, cnsderand cmprment de nda cm, pr π gh exempl, λ =. Entretant, nã se pretende, n text, fazer supsções de s antemã sbre cmprment relatv à maré fluval. Pr utr lad, é pssível usar uma escala ntrínseca defnda em terms da velcdade básca d r (u ) e da π freqüênca da sclaçã de nível s = de períd T mpsta na fz, cm sugere T Mel F (00 ). 3

36 Seja λ defnda cm segue: u λ = (.4) s Prtant as varáves admensnas, sã calculadas cm segue: h ĥ = ; h u û = ; u xˆ = x ; tˆ = ts λ Substtund as nvas varáves nas equações.4 e.5, respectvamente, crre que: ĥ + tˆ ˆ ( ĥ û) = 0 (.5) û û + û tˆ ˆ g = S u s F R ĥ M ˆ û ĥ (.6) send s parâmetrs admensnas: u F R = númer de Frude, relatv a gh escament nã perturbad e sh ku cuj sgnfcad físc será explrad mas adante. M = parâmetr, defnd pr Mel F (00 ),.3 Sluçã analítca Uma sluçã analítca para prblema prpst será btda, utlzand a técnca das perturbações de md a supr que a sluçã cmpleta para a altura de água ĥ (xˆ, tˆ) e para a velcdade da crrente û (xˆ, tˆ ) d r seja expressa cm a superpsçã de sluções parcas. 4

37 Seja: ĥ(xˆ,tˆ) û(xˆ,tˆ) (xˆ,tˆ) + O ( ε ) = + εηˆ (.7) (xˆ,tˆ) + O ( ε ) = + εû (.8) send ˆη e ûsluções parcas e ε parâmetr de rdenament das sluções parcas, qual explcta a rdem de grandeza de cada term da expansã. Prtant ˆη e û sã sluções de rdem O () ε. Substtund as equações.7 e.8 em.4 e.5, resulta: ( û + ηˆ ) = ( ε ) ηˆ ε + O (.9) tˆ ˆ û ε tˆ û + gs = M + ε M ηˆ ( ηˆ û ) F + ( ε ) O R ˆ u s ˆ (.0) ˆ ˆ em que f utlzada a expansã bnmal ( + εη ) = εη + ( εη ) ε ηˆ <. ˆ, admtnd que.3. Sluçã de rdem zer (escament permanente unfrme) Embra a equaçã da cnservaçã da massa (.9) nã ntrduza nenhuma nfrmaçã em rdem zer, a partr da equaçã da cnservaçã da quantdade de mvment (.0), sucede que: gs M u s = 0 (.) 5

38 Entã, substtund a equaçã.3 na., resultam: h 3 q = (.) C ( ) f S e q u = (.3) h Ressalte-se que esta últma equaçã crrespnde a cas d escament permanente unfrme básc d r..3. Sluçã de prmera rdem ( prpagaçã da nda de maré n nterr d r) Nesta etapa, é pssível bservar efet da maré fluval através da resluçã d sstema abax, btd a partr das equações.9 e.0: η tˆ ( û + ηˆ ) ˆ + = ˆ 0 (.4) û û ˆ FR M tˆ η ˆ ˆ = ( û ηˆ ) 0 (.5) Cnsderand que a hpótese x requer funções peródcas n temp, é pssível admtr que a sluçã tenha a segunte frma: η ˆ = (.6) tˆ (xˆ, tˆ) ĥ(xˆ ) e tˆ (xˆ, tˆ) ˆ (xˆ ) e û = µ (.7) 6

39 send que ĥ e ˆµ descrevem, respectvamente, a estrutura espacal da sluçã de prmera rdem para nível da água e a crrente d r, prvcadas pela maré. Entã: ηˆ tˆ = ηˆ (.8) tˆ û = û (.9) Substtund a equaçã.8 na.4, resulta: ˆ ηˆ ˆ û = ˆ η (.0) Substtund as equações.9 e.0 em.5, após manpulaçã algébrca, btém-se: ηˆ ( ) ( + M ) ηˆ + ( + M ) û 0 FR = ˆ (.) (.) dá rgem a: Admtnd que ˆη seja duas vezes dervável em seu dmín, a equaçã ηˆ ˆ η û ( F ) ( + M ) + ( + M ) 0 R = ˆ ˆ ˆ (.) Substtund a equaçã.0 na., resulta: ηˆ ˆ η ( ) ( + 3M ) + ( M ) ηˆ 0 FR = ˆ ˆ (.3) 7

40 Admtnd que a equaçã.6 seja dervável em relaçã à xˆ, btém-se: ηˆ ˆ dĥ dxˆ tˆ = e (.4) xˆ, advém: Admtnd que a equaçã.4, seja nvamente dervável em relaçã à ηˆ ˆ d ĥ = dxˆ e tˆ (.5) Entã, substtund as equações.4 e.5 na equaçã.3, chega-se à equaçã rdnára de segunda rdem, lnear e hmgênea: d ĥ dxˆ dĥ B + Cĥ = 0 (.6) dxˆ A send A = F e A 0, R prtant exclu-se da análse cas d escament crítc (F R = ). B = + 3M ; C = M Um aspect mprtante a cnsderar é fat de que a equaçã.3 é cmpleta, em psçã a prmer trabalh referd, de autra de Gdn (985), qual ptu pr estmar numercamente s cefcentes da sua equaçã, smplfcand a análse. Tdava, nesta prtundade, prcura-se desenvlver uma abrdagem geral; assm as nfrmações cntdas em tas cefcentes sã ndspensáves, acredta autr, 8

41 à medda que evdencam a sua dependênca as parâmetrs admensnas F R e M, embra gerem dfculdades matemátcas ns cálculs cm númers cmplexs. O desenvlvment da equaçã.6 será fet através da determnaçã da equaçã característca, a qual pssu duas raízes cmplexas. Cabe salentar que será usada smente a pstva, crrespndend a cas de uma nda, a qual é atenuada à medda que se prpaga para mntante, cnfrme ndcad pr Mel F (00 ): f B + B 4AC = f r + f = (.7) A send f númer de nda admensnal da maré fluval, equvalente a númer de nda dmensnal k, defnd pr Mel F (00 ). Neste cas, f r determna a ntensdade d πλ amrtecment, e f determna cmprment de nda L = n nterr d r, f cnseqüentemente, determna também a velcdade de prpagaçã da maré (C M ), uma vez que: C M L π/ T s = = = (.8) T π/ L λ f Desta frma, a sluçã da equaçã.6, será: ĥ ( fr + f ) xˆ ( fr f )xˆ ( xˆ ) c e + c e = (.9) na qual, c e c representam cnstantes arbtráras. Pela hpótese x, e lembrand que se está exclund da análse cas da raz cnjugada ( f r - f ) da equaçã característca relatva à equaçã.6, tem-se: c = c = 0 9

42 Prtant, a equaçã.9 reduz-se à equaçã: ĥ ( fr + f )xˆ ( xˆ ) e = (.30) Basta substtur a equaçã.30 na.6, a fm de bter a sluçã de prmera rdem para a altura de água. Assm : fr xˆ ( ) ( f xˆ tˆ xˆ, tˆ = e e ) + ˆ η (.3) Utlzand a fórmula de Euler para númers cmplexs, sucede que: f r xˆ ( xˆ, tˆ ) = e [ cs( f xˆ + tˆ ) + sen( f xˆ + tˆ )] η ˆ (.3) Ressalte-se que nteresse, sb pnt de vsta físc, cncentra-se na parte real da sluçã dada pr.3. Lg: f r xˆ ( xˆ, tˆ ) = e [ cs( f xˆ + tˆ )] η ˆ (.33) Para efetvar a sluçã, calcula-se û ( xˆ,tˆ ). Admtnd na equaçã.7: ( xˆ ) ( f r + f )xˆ e µ ˆ = µ ˆ (.34) na qual, snal negatv evdenca sentd cntrár à velcdade da nda de maré. É pssível reescrevê-la, cm segue: û ( fr + f ) xˆ tˆ ( xˆ, tˆ ) ˆ e µ = (.35) e Dervand a equaçã.35 em relaçã à xˆ, resulta: û ˆ = ( f r + f ) û (.36) 30

43 Substtund a equaçã.36 em.0, btém-se: ηˆ + û = ˆ η (.37) ˆ ( f f ) r Dervand a equaçã.3 em relaçã à xˆ, decrre: ηˆ ˆ = ( f r + f ) η ˆ (.38) Substtund-se as equações.35 e.38 em.37, resulta: µ ˆ ( fr + f ) xˆ tˆ e ( f r + f ) = [ + ( f r + f )] η ˆ e (.39) u anda: µ ˆ ( fr + f ) xˆ tˆ e ( f r + f ) = [ + ( f r + f )] η ˆ e (.40) Fnalmente, substtund a equaçã.3 na.40, resulta: ( f r + f ) = + f r µ ˆ + (.4) f Cm equaçã.4, cm segue: µ ˆ + é um númer cmplex, é pssível re-escrever a = u r u ( u u )( f + f ) = f + ( + f ) r + (.4) r r Ou seja: ( u f u f ) + ( u f + u f ) = f + ( f ) (.43) r r r r r + 3

44 Da gualdade ds númers cmplexs, na equaçã.43, encntra-se: u f r = ( u r ) (.44) f Pr utr lad, verfca-se: u f + u f = + f (.45) r r Substtund a equaçã.44 na.45, bserva-se que: f + f u r f r f = + + f f r (.46) send f = f = f. Entã substtund r f em.46, btém-se: f u r = + (.47) f e, substtund.47 em.44, decrre que: f r u = (.48) f Entã: f f µ r ˆ = + + (.49) f f 3

45 Fnalmente, substtund a equaçã.49 na.35, chega-se à: û = (.50) f f f f r fr xˆ ( ) ( f xˆ + tˆ xˆ, tˆ + + e e ) Pr utr lad, a equaçã.50 pde ser escrta cm base na fórmula de Euler, send módul de ˆµ crrespndente a: + f D = µ ˆ = + (.5) f e argument de ˆµ equvalente a: f r θ = arctan (.5) f + f prtant tem-se: û θ fr xˆ ( ) ( f xˆ + tˆ xˆ, tˆ De e e ) = (.53) u seja: fr xˆ ( ) ( f xˆ + tˆ +θ xˆ, tˆ = De e ) û (.54) resulta que: Utlzand nvamente a fórmula de Euler para númers cmplexs, û f xˆ ( xˆ, tˆ ) = De [ cs( f + tˆ + θ) + sen( f + tˆ + θ) ] r (.55) Assm cm n cas da elevaçã d nível da água, fc de nteresse cncentra-se, sb pnt de vsta físc, na parte real da sluçã dada pr

46 Lg: û f xˆ ( xˆ,tˆ ) = De cs( f xˆ + tˆ + θ) r (.56) Enfm, substtund as equações.33 e.56, respectvamente, em.7 e.8, verfca-se que û ĥ xˆ ( xˆ,tˆ ) + εe cs( f xˆ tˆ ) f r + = (.57) xˆ ( xˆ,tˆ ) = εde cs( f xˆ + tˆ + θ) f r (.58) As equações.57 e.58 cnsttuem, prtant, a versã admensnal da sluçã d prblema da maré fluval crreta até rdem O () ε..4 Relevânca da sluçã admensnal Um aspect mprtante da sluçã admensnal, refere-se à nterpretaçã físca d fenômen. Incalmente, bserva-se que s parâmetrs ε, F R devem admtr valres sufcentemente pequens, a fm de garantr a maré de pequena ampltude em regme subcrítc. Para tant, parâmetr M admensnal pde ser nterpretad fscamente cm a razã entre as frças de nérca e atrt, send utlzad cm um ndcadr da dnâmca predmnante n fenômen da maré fluval, cnfrme regstr abax: u seja: sû M = (.59) ( ku û) / h h s nérca M = (.60) ku atrt 34

47 Assm send, M pde ser nterpretad cm um equvalente a númer de Reynlds, send utlzad cm ndcadr d regme em que escament se prcessa, tend cm dvsr de águas pnt de equlíbr entre frças de nérca e atrt, u seja: M =, cm segue: M<<, ndca predmín das frças de atrt; M>>, ndca predmín das frças de nérca. Cabe verfcar, entã, em qual regme fenômen da maré fluval se enquadra. Para tant, fram utlzads valres sugerds pr Mel F (00 ), cm típcs desta stuaçã na csta catarnense. Sã eles: h = 5m, u = 0,5m/s, k= 0,004 e s = 0,0004s -. Substtund tas valres na equaçã.60, btém-se M = 0,35, ndcand que fenômen crre em um regme ntermedár, vst que 0,35 nã é um valr mut menr d que um (), entretant é negável a mprtânca das frças de atrt. O númer M pde ser re-escrt, substtund as equações. e.3 em.60, que resulta: sc q M = (.6) gs / 3 / 3 f / 3 u a equvalente: h sc gu M = f (.6) A equaçã.6 ndca que mudanças n regme da maré fluval, pdem crrer tend em vsta a varaçã de dverss fatres. Pr exempl, pde-se verfcar um aument na mprtânca das frças de nérca, na medda em que huver um aument na freqüênca (s), desde que s demas parâmetrs sejam mantds fxs. Cabe bservar que a partcpaçã das frças de nérca pdem:. dmnur, na medda em que períd de sclaçã aumentar (s dmnu);. aumentar, na medda em que a vazã específca aumentar; 3. aumentar, na medda em que dmnur a declvdade d r. 35

48 .5 Análse dmensnal Utlzand terema ds Π de Buckngham, é pssível verfcar a cmpatbldade da sluçã apresentada em.57 e.58 cm s prncíps fundamentas da análse dmensnal. Analsand prblema sb a ótca dmensnal, bserva-se que a velcdade e nível da água devem ser especfcads a partr de um grup de ses parâmetrs fundamentas ndependentes, dvdds em três grups, quas sejam:. R: q, S e C f u equvalentemente, u, h e C f ;. Maré: s e a; 3. Gravdade: g. Cnsderand um cnjunt de três dmensões prmáras (massa M, cmprment L e temp T), tal cnjunt pde representar dmensnalmente tds s parâmetrs fundamentas, cm segue: [ L ] q α, [ T] [ L] [ L] / [ L ] S α, C α f [ T], sα, [ L] [ T] a α e gα [ M] [ T ] Entã, de acrd cm terema ds Π, é pssível estabelecer 6-3 grups admensnas ndependentes que devem cntrlar a sluçã d prblema. Prtant é pssível escrever esquematcamente: ĥ û ( xˆ,tˆ ) Φ( Π, Π Π ) = (.63), ( xˆ,tˆ ) Ω( Π, Π Π ), 3 = (.64) 3 send Φ e Ω, funções que determnam a sluçã d prblema. 36

49 De fat, a sluçã admensnal encntrada, ndca s seguntes três grups admensnas cm determnantes da sluçã: a Π = ε = ; h u Π = F R = ; gh Π 3 h sc = M = gu f s quas sã btds a partr de cmbnações admensnas ds ses parâmetrs fundamentas. As funções Φ e Ω, dadas pr.63 e.64, crrespndem às equações.57 e.58, respectvamente. Cnfrma-se, dessa frma, a cmpatbldade da sluçã admensnal encntrada cm s prncíps báscs da análse dmensnal. 37

50 CAPÍTULO III APLICAÇÕES A sluçã analítca admensnal será utlzada neste capítul para nvestgar aspects que autr acredta serem relevantes n fenômen da maré fluval. 3. Regme de nérca & regme de atrt Será nvestgad, nessa parte, cmprtament da maré fluval ns regmes de nérca e de atrt. Em vsta dss, fram cnsderads s mesms valres típcs para s parâmetrs fundamentas dentr da mesma faxa daqueles usads n capítul anterr, s quas fram sugerds pr Mel F (00 ) cm representatvs para cas d r Itajaí, em Santa Catarna. Assm:. q = 4,6 m 3 /s/m;. S = /000 m/m; 3. C f = 30 m / /s, equvalentemente k = 0,009. Cm base ns valres acma, bteve-se h = 6,56 m, u = 0,7 m/s. Admtnd, também, que a ampltude da maré seja a = 0,5m, típca da csta de Santa Catarna, calcularam-se s parâmetrs admensnas ε = 0,076<< satsfazend a cndçã de maré de pequena ampltude e F R = 0,0874, ndcand que escament básc d r se prcessa em regme subcrítc cm requerd pela sluçã. A especfcaçã d regme em que escament se prcessa depende d valr d parâmetr admensnal M, qual será determnad a partr d valr a ser atrbuíd a últm parâmetr fundamental anda nã frnecd: períd da maré (T). 38

51 Cnsderand períd de sclaçã da maré na fz T = 0,5h, tem-se que, s=0,0035s -, que frnece M =,995, ndcand um regme n qual as frças de nérca predmnam (M>>). O parâmetr de escala λ, vale neste cas 00m. A sluçã admensnal para a psçã da superfíce da água h ĥ = é h mstrada na Fgura 7 para quatr fases d períd; em tˆ = 0, tˆ = π/, tˆ = π e tˆ = 3π/, lembrand que xˆ = x / λ e tˆ = ts. Fgura 7: Representa nível de água (admensnal) n regme dmnad pela nérca em tˆ = 0 (a), tˆ = π/ (b), tˆ =π (c) e tˆ =3π/ (d). A Fgura 7 mstra que a maré fluval sfre um frte amrtecment a penetrar n r, send pssível dentfcar a presença de, pel mens, duas crstas n nterr d canal. 39

52 u A sluçã admensnal para a velcdade da crrente d r û = é u mstrada na Fgura 8 para quatr fases d períd: em tˆ = 0, tˆ = π/, tˆ = π e tˆ = 3π/. Fgura 8: Representa a velcdade da crrente d r (admensnal) n regme dmnad pela nérca em tˆ = 0 (a), tˆ = π/ (b), tˆ =π (c) e tˆ =3π/ (d). Observand as Fguras 7 e 8, é pssível ntar a dferença de fase (θ), entre ĥ e û cnfrme ndca a equaçã.58. Entretant, cabe analsar que acntece n regme dmnad pel atrt, nclusve cmparand cm cas dmnad pela nérca. Cnsderand, pr utr lad, uma sclaçã cm T =,4h, u seja, períd da cmpnente lunar semdurna, tem-se s = 0,000405s - e, cnseqüentemente, M = 0,06, fat que caracterza uma stuaçã na qual as frças de atrt predmnam (M<<). O parâmetr de escala (λ), nesse cas, vale 499m. 40

53 O fenômen pde ser bservad abax, na Fgura 9. Fgura 9: Representa nível de água (admensnal) n regme dmnad pel atrt em tˆ =0 (a), tˆ = π/ (b), tˆ =π (c) e tˆ =3π/ (d). Cmparand as Fguras 7 e 9, nta-se que a maré fluval, n cas d predmín das frças de atrt (Fgura 9), atenua-se mas frtemente, uma vez que a nda quase que desaparece a uma dstânca aprxmada da metade d seu cmprment. Atente-se para fat que as sclações, cm períds na faxa de 0,5h, sã mut raras. Entã, cm sugere Mel F (00- ), cnsderand que s parâmetrs acma sã representatvs da cndçã d r Itajaí, a maré fluval de caráter astrnômc acntecera n regme de atrt nesse r. 4

54 Examne-se, pr sua vez, gráfc da velcdade da crrente n regme de atrt na Fgura 0 a segur: Fgura 0: Representa a velcdade da crrente d r (admensnal) n regme dmnad pel atrt em tˆ = 0 (a), tˆ = π/ (b), tˆ =π (c) e tˆ =3π/ (d). Observand as Fguras 9 e 0 é pssível ntar a dferença de fase (θ), entre ĥ e û, cnfrme ndca a equaçã.58, assm cm crreu n cas dmnad pelas frças de nérca. Cmparand a Fgura 0, cm a sua equvalente, n cas d regme dmnad pela frças de nérca (Fgura 8), verfca-se que a velcdade da crrente é afetada pela mar u menr partcpaçã das frças de atrt, u seja, uma dmnuçã na partcpaçã das frças de atrt causu um aument na velcdade. Esse aument é atrbuíd à ntensfcaçã d gradente de pressã na dreçã x, atuante n escament, qual decrre d aument da declvdade da superfíce da água, causada pela nda, cnfrme Mel F (00- ). 4

55 3. Dstânca de penetraçã admensnal Uma das aplcações mas útes da tera em pauta refere-se à prevsã da dstânca de penetraçã a partr da fz, até nde a maré será perceptível n r. Mel & Jrden (999) prpuseram uma frma de quantfcar a dstânca de penetraçã (X), cm send a dstânca para a qual a ampltude da sclaçã d nível de água crrespnde a % da ampltude exstente na fz. Os resultads apresentads pels autres mencnads cnsstam em um medda dmensnal que quantfcava a ntensdade d decament da maré em undade de dstânca (km). Infere-se entã que é pssível bter a sua equvalente admensnal ( Xˆ ), aplcand-se a mesma defnçã: e Xˆ f r = 0,0 (3.) Ou seja: Xˆ X = = ln( 0,0) (3.) λ f r send snal negatv necessár para trnar a dstânca de penetraçã admensnal uma medda pstva. Dessa frma, cnstata-se que a dstânca de penetraçã admensnal depende únca e exclusvamente d númer f r qual, pr sua vez, depende apenas de M e F R, cnfrme ndca a equaçã.7, d que se deduz entã: Xˆ ( F,M) = Xˆ (3.3) R Prtant, cnsderand valres de F R em uma faxa característca de escaments subcrítcs e admtnd T entre 0,5h e,4h, cbrnd assm fenômen em estud, de manera equvalente, M stuar-se-á entre 0, e 3. 43

56 Entã, pde-se verfcar que crescment da dstânca de penetraçã admensnal é dretamente prprcnal a crescment de M, cm mstra a Fgura. Fgura : Relacna a dstânca de penetraçã admensnal ( = X / λ) Xˆ cm a varaçã de M para F R gual a 0,075 (curva que atnge s mares valres da dstânca); 0,0; 0,5; 0,0; 0,5 e 0,3 (curva que atnge s menres valres da dstânca). Na Fgura, é pssível fazer uma estmaçã gráfca da dstânca de penetraçã da maré em um determnad r. Pr exempl, cnsderand r de que se faz estud neste trabalh: q = 4.6 m 3 /s/m, S = /000 m/m, C f = 30 m / /s, h = 6,56 m e u = 0,7 m/s, entã F R = 0,075, M =,995 e λ = 00m. Send assm, é pertnente estabelecer segunte prcedment: Traçar uma reta vertcal n valr de M calculad (,995); 44

57 Determnar pnt de encntr da reta traçada n pass anterr cm a curva para a qual F R f prevamente calculad (0,075); 3 Traçar uma reta hrzntal, a partr d pnt determnad n pass anterr; 4 Determnar n ex vertcal, pnt de nterseçã deste cm a reta traçada n pass anterr (aprxmadamente 70); 5 Calcular X, através da fórmula X = Xˆ. λ (34000m). Cnvém salentar que para exempl cnsderad, a dstânca de penetraçã é bastante sgnfcatva. 3.3 Cmprment de nda da maré fluval Outr aspect a ser examnad na presente tera, refere-se à determnaçã d cmprment de nda da maré fluval (L). Cnsdere-se que cmprment de nda dmensnal é determnad pr f (a parte magnára d númer de nda), cm segue: πλ L = (3.4) f Entã: L π = λ f (3.5) Verfque-se que é mas cnvenente, a nvés da admensnalzaçã d cmprment de nda (equaçã 3.5), utlzar a versã nrmalzad pel cmprment da nda lnga (L ), dad pr: π L = gh (3.6) s 45

58 Dvdnd a equaçã 3.4 pela equaçã 3.6, btém-se a expressã para cmprment de nda da maré fluval nrmalzad: L F L = R nr = (3.7) L f Prtant, L nr é funçã ds parâmetrs admensnas F R e M, u seja: L nr = L nr (F R,M) (3.8) Dessa frma, é pssível bservar a varaçã de L nr em funçã M na faxa de 0, a 3, quand F R assumr s seguntes valres: 0,075; 0,0; 0,5; 0,0; 0,5 e 0,3. Fgura : Representa a varaçã de L nr =L/L em funçã de M (0,<M<3) e F R = 0,075 (curva que atnge s mares valres de L nr ); 0,0; 0,5; 0,0; 0,5 e 0,3 (curva que atnge s menrevalres de L nr ). 46

59 A Fgura mstra que cmprment de nda da maré fluval puc dfere d cmprment de nda da nda tda cm clássca, dependend d regme de escament. De fat, L aprxma-se de L à medda que as frças de nérca dmnam escament (M>>). Faz-se necessár esclarecer que, para regme típc da maré fluval, s resultads mstram que L < L Assm cm f fet cm a dstânca de penetraçã, é pssível estmar grafcamente cmprment de nda da maré fluval, utlzand-se para ss que nfrma a Fgura. Pr exempl, cnsderand s mesms valres ds parâmetrs utlzads para a estmaçã da dstânca de penetraçã, é pssível estabelecer segunte prcedment: Traçar uma reta vertcal n valr de M calculad (,995); Determnar pnt de encntr da reta traçada n pass anterr cm a curva para a qual F R f prevamente calculad (0,075); 3 Traçar uma reta hrzntal, a partr d pnt determnad n pass anterr; 4 Determnar, n ex vertcal, pnt de nterseçã deste cm a reta traçada n pass anterr (aprxmadamente 0,88); 5 Calcular L, através da fórmula L = L nr L (670m) Os cálculs acma evdencam a presença de duas crstas n nterr d r, cnfrme era esperad. 3.4 Dstânca de penetraçã nrmalzada Nesta etapa, já é pssível determnar a dstânca de penetraçã admensnal nrmalzada pel cmprment de nda (L). Dvdnd a equaçã 3. pela equaçã 3.5, resulta: X L ( 0,0) ln π f f =. (3.9) r 47

60 E, uma vez que f e f r dependem de F R e M, cnstata-se: X X = ( FR,M) (3.0) L L A segur, a Fgura 3 mstra a funçã dada em 3.0, para mesm espectr de valres de M e F R utlzads até entã. Fgura 3: Representa a varaçã de X/L em funçã de M (0, < M <3 ) e F R = 0,075 (curva que atnge s mares valres de X/L); 0,0; 0,5; 0,0; 0,5 e 0,3 (curva que atnge s menres valres de X/L ). Analsand a Fgura 3, nfere-se que, para a faxa de valres de M, segund s quas as frças de nérca e de atrt sã da mesma rdem de grandeza, temse X/L, que ndca a maré fluval estar sfrend uma atenuaçã aprxmadamente de 00%, na dstânca de um () cmprment de nda quand M. Cnseqüentemente, cm M = representa pnt de separaçã entre regme dmnad pela nérca e regme dmnad pel atrt, verfca-se que, n regme 48