Escoamento Gradualmente Variado. Figura 1 Esquema de um escoamento gradualmente variado

Transcrição

1 Escament Gradualmente Varad Um escament em regme permanente gradualmente varad em um canal prsmátc é aquele n qual a elevaçã da superfíce da água vara de frma suave e cntínua a lng d canal. Cm exempls pde-se ctar a elevaçã d nível a mntante de barragens e vertedres, e escament prduzd pr um aument súbt da nclnaçã d canal. Em um escament gradualmente varad a velcdade vara a lng d canal e cnsequentemente as nclnações d fund d canal, da superfíce da água e da lnha de energa nã terã mas mesm valr cm n escament unfrme. O tp de análse mstrada adante, nã é adequad quand se tem curvaturas acentuadas. As duas hpóteses báscas envlvdas na análse de escaments gradulamente varads sã: A dstrbuçã de pressã em qualquer seçã é assumda cm send hdrstátca. A resstênca a escament em qualquer prfunddade st é, a nclnaçã da lnha de energa, é dada pela equaçã para regme unfrme (pr exempl, equaçã de Mannng) e é dada pr: n V R 4/3 send R ra hdráulc da seçã cm prfunddade y. Cnsderand esquema da fgura 1, a aplcaçã da equaçã da cnservaçã da energa n vlume de cntrle ndcad resultará em: V (V dv) y z g g Fgura 1 Esquema de um escament gradualmente varad y dy z dz dh l cm dh l as perdas entre a seçã de entrada e saída d V.C. Expandnd term de energa cnétca d segund membr da equaçã descnsderand s terms de menr rdem, e lembrand que : dz dx cm tg e que dh l dx send a nclnaçã da lnha de energa n nterval dx, btém-se: u V d dy ( g )dx d V g Pde-se anda escrever esta equaçã em terms da energa específca. Da defnçã de energa específca tem-se: d E Cm a velcdade n canal nã é cnstante, é mas vantajs se utlzar a vazã cm parâmetr da equaçã. Assm, term de energa cnétca terá a frma:

2 d dx Cm V g d dx d A b s g A V b dx g 3 g A g A d s Fr dx 3 d A dx dx Vltand à equaçã da cnservaçã da energa : 1 Fr Classfcaçã ds perfs das superfíces Em um dad canal, quand se tem, n e fxads, pde-se calcular ds parâmetrs que serã utlzads para caracterzar canal. O prmer deste parâmetrs é a prfunddade nrmal, u seja a prfunddade que exstra n canal se escament fsse unfrme. Esta prfunddade pde ser calculada utlzand-se a fórmula de Mannng. O segund parâmetr é a prfunddade crítca, u seja, a prfunddade d escament unfrme se escament estvesse na cndçã crítca. Esta prfunddade pde ser calculada através de : Fr b 3 g A s 1 Cm esta prfunddade crítca e a fórmula de Mannng pde-se entã determnar a nclnaçã crítca d canal, que sera a nclnaçã que canal devera ter para que, cm a vazã e cefcente de rugsdade dads, escament unfrme fsse um escament crítc. Desta frma, c n Ac R /3 c e s canas pdem entã ser classfcads de acrd cm a tabela 1. Tabela 1 Classfcaçã ds canas Categra ímbl Característca Cmentárs Inclnaçã Fraca M y n > y c Escament subcrítc cm prfunddade nrmal Inclnaçã Frte y n < y c Escament supercrítc cm prfunddade nrmal Inclnaçã Crítca C y n = y c Escament crítc cm prfunddade nrmal Let Hrzntal H = 0 Nã pde exstr escament unfrme Inclnaçã Adversa A < 0 Nã pde exstr escament unfrme De acrd cm a categra d canal e a regã de escament, s perfís da superfíce da água terã frmas característcas. O aument u dmnuçã da prfunddade da água na dreçã de escament dependerá d snal, pstv u negatv, d term na equaçã da cnservaçã da energa. Os várs escaments gradualmente varads pssíves estã mstrads na fgura nde sã esquematzadas as lnhas de superfíce da água de acrd cm tp de canal (cm declvdade fraca, frte, crítca, hrzntal u adversa), d tp de escament

3 (subcrítc, crítc u supercrítc). Pr exempl, se tverms um canal cm declvdade fraca, se em determnad pnt d escament fr subcrítc cm prfunddade mar que y n, a superfíce da água terá um perfl M 1. e escament fr subcrítc, prém cm prfunddade menr que y n, ter-se-á um perfl d tp M nde escament acelera até as cndções crítcas. e escament fr supercrítc, a superfíce lvre terá a frma M 3, nde escament tende a alcançar a prfunddade crítca. Fgura Perfs das superfíces ds escaments gradualmente varads A segur sã mstradas algumas stuações típcas de alguns tps de perfs de superfíce.

4 Perfs d tp M O perfl mas cmum é perfl M 1 (fgura 3), que é uma cndçã de escament subcrítc. Pdem ser resultad de bstruções a flux causadas pr vertedres, barragens estruturas de cntrle, etc. Nrmalmente se estendem pr várs qulômetrs a mntante antes de atngr a prfunddade nrmal. Fgura 3 Perfl d tp M 1 Perfs d tp M (fgura 4), crrem em quedas súbtas n let d canal, em transções cm reduções de largura e em saída de canas para um grande reservatór. Fgura 4 Perfl d tp M uand um escament supercrítc entra em um canal cm nclnaçã fraca, crrerá perfl M 3. Um exempl deste perfl está mstrad na fgura 5, na qual se tem escament na saída de uma cmprta para um canal cm nclnaçã fraca. A curva M 3 nrmalmente é seguda pr um escament rapdamente varad e nrmalmente se tem um ressalt hdráulc a juzante. Fgura 5 Perfl d tp M 3 Perfs d tp

5 O perfl 1 (fgura 6) é prduzd quand escament em um canal cm declvdade frte termna em uma regã de estagnaçã prfunda crada pr uma bstruçã, tas cm um vertedr u uma barragem. N níc da curva escament varu entre um escament unfrme supercrítc para um escament subcrítc através de um ressalt hdráulc. Fgura 6 Perfl d tp 1 Os perfs d tp (fgura 7) crrem na regã de entrada de canas cm nclnaçã frte lgads a um reservatór. Vã aparecer também quand se tem uma varaçã na nclnaçã d canal, desde que a nclnaçã seja suave a mntante e frte a jusante. ã perfs nrmalmente de cmprment pequen. Fgura 7 Perfl d tp Curvas cm perfs 3 (fgura 8) acntecem em cmprtas cm canal de saída cm nclnaçã frte e quand a nclnaçã d fund d canal passa de um valr mas acentuad para um valr mens acentuad prém as duas nclnações sã frtes.

6 Perfs d tp C Fgura 8 Perfs d tp 3 Os perfs d tp C 1 e C 3 sã mut rars e altamente nstáves. Perfs d tp H Os perfs H e H 3 ( fgura 9) sã smlares as perfs M e M, uma vez que let hrzntal é lmte nferr de um canal cm nclnaçã fraca. A dferença básca é que perfl H tende a uma assmptta hrzntal e bvamente, nã exste um escament unfrme neste tp de canal. Perfs d tp A Fgura 9 Perfs d tp H Inclnações adversas sã raras e as curvas A e A 3 (fgura 10) sã smlares àquelas ds perfs d tp H, e estes perfs sã mut curts. eções de cntrle Fgura 10 Perfs para canas cm nclnaçã adversa Uma seçã de cntrle é defnda cm send aquela em que exste uma relaçã cnhecda entre a prfunddade e a vazã de um canal. Vertedres e cmprtas sã exempls típcs de estruturas que

7 determnam seções de cntrle. ualquer escament gradualmente varad terá n mínm uma seçã de cntrle. Alguns tps de seçã de cntrle estã mstrads na fgura 11. Deve-se ntar que escaments subcrítcs pssuem seções de cntrle a jusante enquant que ns escaments supercrítcs as seções de cntrle se encntram a mntante. (a) (f) Fgura 11 eções de cntrle em escaments gradualmente varads (b) (c) (d) (e)

8 Analsand a fgura 11 vems que ns cass (a) e (b) as seções de cntrle das curvas M 1 sã àquelas a mntante d vertedr e da cmprta. Ns cass (b) e (d), cntrle das curvas M 3 e 3 estã nas veas cntraídas. N cas (c), para escament subcrítc, apesar da vazã ser cntrlada pel nível d reservatór, a entrada d canal nã é uma seçã de cntrle, prque a prfunddade na entrada d canal será menr que a altura d reservatór devd às perdas na entrada. A verdadera seçã de cntrle estará a jusante e será a cndçã de escament crítc na queda. uand se tem uma queda brusca, devd à curvatura das lnhas de crrente, a prfunddade crítca crrerá nã na queda mas aprxmadamente a uma dstânca aprxmada de 4 y c a mntante da queda. Cm este valr nrmalmente é pequen, cstuma-se adtar que escament crítc crra na queda. Pr utr lad, para um reservatór descarregand em um canal cm nclnaçã frte, a seçã de cntrle fca na entrada d canal (cas e), e nesta seçã se terá escament crítc. Para um canal cm nclnaçã suave (cas f) descarregand em um reservatór grande cm nível varável tems quatr stuações a serem destacadas: na stuaçã 1 nível da superfíce é mar que y n e ss causa um afgament d canal prduznd uma curva d tp M 1 cm seçã de cntrle em B; na stuaçã nível é menr que y n e mar que y c e a superfíce passa a segur uma curva d tp M cm seçã de cntrle n nível d reservatór; na psçã 3 nível d reservatór é y c e cntrle cntnua send este nível; e fnalmente em 4, nível d reservatór está abax de y c e, cm a superfíce da água nã pde estar em uma prfunddade nferr a y c, cntrle será a prfunddade y c na saída d canal e crrerá uma queda hdráulca n fnal d canal. Cálcul de escaments gradualmente varads uase tdas as aplcações em engenhara hdráulca tratand de escaments cm superfíces lvres envlvem perfs gradualmente varads. Prblemas típcs sbre este assunt envlvem determnaçã d efet da clcaçã de estruturas que nterferem n escament d flud, cálcul de área de nundaçã devd à cnstruçã de barragens e vertedres, estmatva de área de alagament pel aument d nível d escament pr aument de vazã, etc. A determnaçã d perfl da superfíce lvre d escament depende da ntegraçã da equaçã da cnservaçã da energa n canal. Cm já mstrad anterrmente, esta equaçã pde ser escrta de váras frmas, send as mas cmuns as mstradas a segur. u d E 1 Fr 1 bs 3 g A A ntegraçã desta equaçã pde ser realzada pr ntegraçã dreta, pr técncas de ntegraçã numérca e pr métds gráfcs. A ntegraçã dreta nã é smples, ps se trata de uma equaçã dferencal rdnára nã lnear de prmera rdem, e pde ser realzada smente quand se cnsdera cndções bastante restrtas. Na lteratura exstem algumas sluções em frma de tabelas para canas cm gemetra retangular, trapezdal e crcular. Estas sluções entretant, nã serã apresentadas neste text. A ntegraçã gráfca f mut ppular numa épca em que s recurss cmputacnas eram bastante lmtads. Desta frma exstem um grande númer de métds, cada qual cm suas vantagens e desvantagens, prém que estã francamente em desus. As sluções numércas sã as mas utlzadas atualmente. O númer de métds de ntegraçã é bastante grande e esta equaçã pde ser reslvda utlzand a mara ds métds para a sluçã ds chamads prblemas de valr ncal. Entre s mas famss estã s dverss métds rtulads cm métds de Runge-Kutta. Alguns métds mas smples pdem ser utlzads para se bter estmatvas da frma da superfíce manualmente u através d us de planlhas eletrôncas. Vams delnear a segur um ds métds mas smples, que é métd chamad de Drect-tep Methd. Este métd é métd mas smples e é adequad para cálcul d escament em canas prsmátcs. Cnsdere a equaçã: d E Esta equaçã pde ser escrta na frma de dferenças fntas cm : E x cm valr méd da nclnaçã da lnha de energa n nterval x. Assm, a dstânca x para se ter uma varaçã na energa específca de um valr E será :

9 E x u x x1 (E E1) 1 (1 ) Tmand cm base escament esquematzad na fgura 1, dvde-se canal em N partes nde se cnsdera cnhecdas as prfunddade e se determna a dstânca entre estas seções. Assm : Fgura 1 Esquema para aplcaçã d métd numérc E E 1 E y 1 g A 1 y g A n A 1 1 R 4/3 1 A 1 1 R 4/3 1 e x E E 1 1 x. Cm estas três equações é pssível se determnar, de manera sequencal, a partr de uma prfunddade cnhecda (pr exempl um pnt de cntrle), perfl aprxmad da superfíce da água. A cmpreensã da aplcaçã deste métd pde ser melhr acmpanhada através de um exempl de sluçã. Exempl : Cnsderand a fgura 13 que mstra perfl da superfíce da água a mntante de um vertedr de crsta espessa, determne perfl para as seguntes cndções : = 600m 3 /s, 0 = m/km, n = 0.04, canal regular cm 50m de largura, altura d vertedr p =,5 m e C d = 0,88 (cefcente de descarga d vertedr). abe-se anda que a vazã que passa pr este tp de vertedr pde ser calculada através da expressã : 1,705C d bh 3/, send h a altura da água na seçã a mntante d vertedr, acma da base d mesm. Fgura 13 Escament a mntante de um vertedr de crsta espessa O prmer pass da sluçã será se estabelecer as prfunddades nrmal e crítca para escament. A prfunddade nrmal pde ser calculada através da equaçã de Mannng. Assm : /3 1/ 5/3 1/ A R A na qual substtund s valres dads tem-se /3 n n P

10 600 5/3 1 (50 yn ) 1/ 0,00 cuja sluçã é y 0,04 /3 n = 4,443 m. (50 yn ) O cálcul da prfunddade crítca é feta através da expressã para númer de Frude cm Fr = 1. Fr b 3 g A s 1 Para um canal retangular, terems após a substtuçã de b s e A a expressã: y c b g 1/ ,81 1/3,448 m A prfunddade na seçã a mntante d vertedr será encntrada através da expressã de vazõa d mesm. Entã, 3/ 1,705Cd bh u 600 1,705 x 0,88x50x h 3/ h 4m Assm a prfunddade a mntante d vertedr será y v = 4 +,5 = 6,5 m. Assm terems que y v >y n > y c e < c que permte cnclur que a curva será d tp M 1 e y v será um pnt de cntrle d escament. Uma vez caracterzad escament pdems partr para a sluçã através d métd numérc. As equações dscretzadas serã : E E 1 E y 1 g A 1 y g A n A 1 1 R 4/3 1 A 1 1 R 4/3 1 e x 1 x E 1 E send neste cas A = 50 y e P = (50 + y ). Cnstrund uma tabela, para dverss valres de y n nterval y n > y y v, pdems encntrar s valres de x para s respectvs valres de y. Na tabela estã apresentads s resultads para este prblema. Deve-se nclur aqu algumas cnsderações mprtantes: Os cálculs devem ser realzads na dreçã d escament quand este fr supercrítc e n sentd cntrár quand fr subcrítc. Este prcedment decrre da lcalzaçã ds pnts de cntrle de cada tp de escament. Os passs de ntegraçã nã precsam ter necessaramente mesm ncrement ns valres de y. De fat é desejável se dmnur ncrement de y a medda que as curvas se aprxmam de seu valr assntótc. As expressões apresentam sngulardade n valr de prfunddade y = y n e assm deve-se parar antes de se atngr a prfunddade nrmal. Um valr razável é se parar em y (1 0,01) yn. O valr de x deve crescer na dreçã d escament A precsã da ntegraçã depende d númer de passs (N) adtads. Deve-se tmar cudad na avalaçã de E ps é uma pequena dferença entre ds valres que pdem ser grandes e arredndament pde levar a errs cnsderáves, e também n calcul de pr se tratar de númers mut pequens. Tabela Resultads para escament em estud

11 y A P R E E m - m x x 6, ,1587 6,6737 0, ,1888 0, , ,1 6, ,6 5,0319 6,4849 0, ,1-0,1877 0, , ,3 6, , 4,9035 6,97 0, ,4-0,1864 0, , , 5, ,8 4,7735 6,1108 0, ,6-0,1849 0, , ,6 5, ,4 4,6417 5,959 0, , -0,1833 0, , ,8 5, ,508 5,746 0, ,1813 0, , , 5, ,6 4,379 5,5613 0, , -0,1791 0,001 0, ,5 5, , 4,359 5,38 0, ,1765 0, , ,8 4, ,8 4,097 5,057 0, ,1734 0, , , ,4 3,956 5,033 0, ,1698 0, , , ,8136 4,864 0, Um utr métd bastante utlzad em escaments em canas é chamad tandard step methd. Neste métd a varável que é fxada é valr da dstânca x. A equaçã da cnservaçã da energa na frma dscretzada pde ser escrta na frma : E x ( ) méd na qual ( se refere a um valr méd n nterval x. O prcedment de cálcul segue s seguntes passs: ) méd 1. Assume-se um valr para a prfunddade y na seçã de cálcul. Calcula-se a energa específca crrespndente 3. Calcula-se valr de 4. Calcula-se a energa específca utlzand a equaçã dscretzada cm valr de x adtad. 5. Cmpara-se s valres da energa específca calculads ns passs e 4 6. prcess deve ser repete até que se encntre um valr de prfunddade para qual estes ds valres sejam aprxmadamente guas dentr de um crtér de cnvergênca estabelecd. 7. Os passs de 1 a 6 sã realzads para cada seçã Cm pde ser ntad pel prcedment descrt, trata-se de um prcess teratv de sluçã. O cálcul d prmer pass para prblema anterr está mstrada na tabela 3. Tabela 3 Resultad de um pass para x 150 m y A P E pass E E pass 4 x Méd 6, , , , , ,0363 6, ,6 6,4849 0, , , ,0109 6, 310 6,4 6, , , , ,034 6, ,3 6,569 6, , , Este métd pde ser também aplcad a canas naturas. Os escaments nestes tps de canas sã bastante mas cmplexs devd a várs mtvs ps as vazões sã geralmente mas varáves e dfíces de se quantfcar, valr d

12 cefcente de Mannng é mut mas dfícl de se bter e mens precs, as frmas das seções transversas varam de seçã para seçã, e também estas frmas sã cnhecdas em smente algumas psções. Cmercalmente estã dspníves várs prgramas cmputacnas baseads em dverss mdels matemátcs. Pr exempl, exste um mdel desenvlvd pel Hydraulc Research tatn da Inglaterra, que permte a calbraçã ds valres ds n de Mannng a partr de dads de vazões e prfunddades, ncrpra efet de vertedres e plares de pntes e ncluem entrada de flud lateralmente. Experment O experment a ser realzad tem pr bjetv se verfcar as dversas cnfgurações em escaments gradualmente varads em canas aberts. Para ss, deve-se estabelecer um determnad tp de escament e se efetuar as meddas de prfunddade a lng de td canal. Cm estes resultads pde-se traçar a curva da superfíce lvre, classfcá-la e fazer a cmparaçã cm a curva btda pela ntegraçã da equaçã da cnservaçã da energa. Utlzand s dads ds cass em que escament unfrme é alcançad pde-se anda estmar cefcente de Mannng para canal utlzad. Prcedment de btençã ds dads: 1) Regule a vazã n canal ) Ince cm canal na hrzntal 3) Após a establzaçã d escament, meça a prfunddade d escament em váras psções a lng d canal 4) Vare a nclnaçã d canal e repta prcedment 5) Vare a vazã e refaça s tens de a 4 Cm s dads btds pde-se entã realzar s cálculs de frma a se atngr s bjetvs d experment.