por W. Freire, F. Calvi Junior e M. Nilvam definidos num espaço vetorial F de funções ao invés do espaço vetorial R n. A grosso

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1 Cálculo Vricionl por W. Freire, F. Clvi Junior e M. Nilvm. Introdução O cálculo diferencil de funções de n vriáveis trt de funções do espço R n em R, f : R n R. O cálculo vricionl trt de funcionis, especificmente queles definidos num espço vetoril F de funções o invés do espço vetoril R n. A grosso modo pode-se dizer que o cálculo vricionl é o cálculo diferencil de funcionis E : F R, onde F é um espço vetoril de funções suficientemente comportds. A finlidde dests nots é presentr o cálculo vricionl de um form simples e o mesmo tempo com um pouco de rigor mtemático, ms objetivndo su utilidde n físic. O foco principl é determinção de pontos críticos (máximos ou mínimos ou, mis gerlmente, pontos estcionários) de funcionis; estes pontos são n verdde funções que stisfzem s equções de Euler, s quis deduziremos qui de um form elegnte mtemticmente e utilizremos em problems mtemáticos e físicos. 2. Derivd Funcionl O conceito chve no cálculo diferencil de funções é o de derivd. No cso de funções com mis de um vriável surgem s derivds prciis e, mis gerlmente, s derivds direcionis (s derivds prciis são derivds direcionis prticulres). O conceito de derivd funcionl (ou vricionl) desempenh pr funcionis o mesmo ppel que o conceito de derivd direcionl desempenh pr funções de n vriáveis. Vmos presentr o conceito de derivd funcionl fzendo nlogi com derivds direcionis de funções.

2 2. - Derivds Direcionis Considere um função de n vriáveis, digmos f : R n R, que cd ponto x (x, x 2,..., x n ) do espço R n ssoci um único vlor f(x) em R. A derivd (direcionl) de f com respeito o vetor v (v, v 2,..., v n ) R n no ponto x é o número ddo por f(x + λv) f(x) v f(x) lim, () λ 0 λ no pressuposto que o limite exist. Exemplo: Vmos clculr derivd d função de dus vriáveis designd por f(x, x 2 ) x 2 x 2, pr cd x (x, x 2 ) de R 2, reltivmente o vetor v (/2, 3/2). No cso temos que x + λv (x, x 2 ) + λ ( 2, ) ( 3 2 x + λ 2, x 2 + λ 3 2 e pel definição dd, f(x + λ/2, x 2 + λ 3/2) f(x, x 2 ) v f(x, x 2 ) lim λ 0 λ (x + λ/2) 2 (x 2 + λ 3/2) x 2 lim x 2 λ 0 λ [ ] x 2 lim 3 + x x 2 + λ ( x ) 2 x λ2 3 λ v f(x, x 2 ) x2 3 + x x 2. 2 Em prticulr, derivd de f reltivmente v no ponto x (x, x 2 ) (2, 0) é v f(2, 0) 2 3. ), Observção: Pr um função de dus vriáveis f : R 2 R, que cd (x, y) R 2 ssoci z f(x, y) R, temos que s derivds direcionis no ponto (x, y) em relção i (, 0) e j (0, ) são, respectivmente, dds por i f(x, y) lim λ 0 f[(x, y) + λ(, 0)] f(x, y) λ f(x + λ, y) f(x, y) lim, λ 0 λ Poderímos considerr mis gerlmente um função f : A R n R, ms por simplicidde de presentção vmos seguir com o cso em que A R n. 2

3 j f(x, y) lim λ 0 f[(x, y) + λ(0, )] f(x, y) λ lim λ 0 f(x, y + λ) f(x, y) λ e são referids usulmente como derivds prciis de f (no ponto (x, y)) com respeito x e y e são denotds por respectivmente. f f (x, y) e (x, y), x y Um definição equivlente pr derivd direcionl, dd pel expressão () f(x + λv) f(x) v f(x) lim, λ 0 λ pode ser considerd notndo que, sendo x e v fixos, podemos designr função g(λ) f(x + λv); dest form o limite cim pode ser escrito como ou, n notção de Leibnitz, g(λ) g(0) v f(x) lim g (0) λ 0 λ v f(x) dg dλ λ0 d dλ [f(x + λv)]. λ0 Est expressão é vntjos em muitos csos, como o do nosso exemplo, no qul função f dd por f(x, x 2 ) x 2 x 2 é polinomil, portnto diferenciável, donde o uso d regr d cdei pode ser relizdo 2. Vej: Exemplo (bis): Dd função definid por f(x, x 2 ) x 2 x 2, pr todo x (x, x 2 ) R 2 e o vetor v (/2, 3/2), temos v f(x) d [f(x + λv)] dλ λ0 f d x dλ [x + λ/2] + f x 2 2x x x2 d dλ [f(x + λ/2, x 2 + 3λ/2)] λ0 d dλ [x 2 + 3λ/2] 3 2 x x 2 + x2 3, 2 2 Sobre o conceito de diferencibilidde e regr d cdei revej seu curso de cálculo. 3

4 que é o mesmo resultdo encontrdo nteriormente Funcionis Vmos definir derivd pr o cso de um funcionl E : F R que tu num espço F de funções, por exemplo F {q : I R R q é diferenciável C k, onde I é um intervlo; um ponto (ou elemento) q de F é um função que cd t I ssoci um número q(t) R. O símbolo C k é usdo qui pr indicr que q possui derivds contínus té ordem k. Antes de flr ds derivds de funcionis vejmos lguns exemplos de tis objetos. Exemplos de Funcionis: ) Sej F {q : (+ ; ) R R q é contínu (C 0 ) e considere o funcionl E : F R, que cd q F ssoci um vlor constnte, por exemplo um vlor prticulr de q: E[q] q(t 0 ) R, t 0 fixdo em R. Este funcionl, que tu num função q como um filtro que deix escpr pens o vlor q(t 0 ), é designdo como funcionl delt e é de grnde importânci n mecânic quântic, onde é designdo em termos de um símbolo de integrl: E[q] + δ(t t 0 )q(t) q(t 0 ), t 0 R. Usulmente os funcionis de interesse ns plicções são ddos por integris. Vejmos os exemplos seguintes. b) Considere gor F {q : [; 2] R q é C e o funcionl G : F R definido por G[q] t q(t) dt. 4

5 Vmos clculr vlores deste funcionl pr lgums funções q de seu domínio. Pr q dd por q(t) t 2, t [; 2], temos G[q] t t 2 dt 4 x4 x2 4 x4 x 5 4. Agor pr q dd por q(t) t 3, t [; 2], temos G[q] t t 3 dt 5 x5 x2 5 x5 x 3 5. Note que pr este funcionl cd função q (não somente um dos vlores de q) tem como imgem um número rel G[q]. Todos os vlores de q no intervlo em considerção são levdos em cont n integrl que define o funcionl! A hipótese q é C foi qui colocd pr permitir que possmos derivr este funcionl, no sentido que vmos definir dinte: est derivd, como veremos, envolverá q dentro d integrl. EXERCÍCIO: Sej F {q : [; b] R q é de clsse C 2, e tomemos o funcionl A : F R, definido por A[q] q(t)[q (t)] 2 dt. Clcule o vlor de A[q] em cd cso: () q(t) t, (b) q(t) t +, (c) q(t) t 2. Os funcionis do exemplo (b) e do exercício cim são d form A[q] L(q(t), q (t), t) dt, I R onde L(q, q, t) é um função diferenciável ds vriáveis q, q e t. Os funcionis dest form constituem um importnte clsse de funcionis; dinâmic (clássic) de um sistem de n prtículs é descrit, como veremos, em termos de um funcionl, chmdo ção do sistem, o qul é dest form. Detlhes posteriormente. 5

6 2.3 - Derivd Direcionl de um Funcionl Inicilmente lembre que derivd de um função f : A R n R no ponto x (x,..., x n ) A e reltivmente o vetor v (v,..., v n ) de R n é definido pel equção (): v f(x) lim λ 0 f(x + λv) f(x) λ d [f(x + λv)] dλ, λ0 desde que o limite exist 3. Vejmos como fic derivd no cso de um funcionl E : F 0 F R, onde F {q : I R q é C k no intervlo I 4. Pois bem: A derivd de E no ponto q F 0 e reltivmente o vetor η F (η : I R n ) é dd por desde que o limite exist. δ η E[q] lim ɛ 0 E[q + ɛη] E[q] ɛ d dɛ {E[q + ɛη] ɛ0, (2) Vmos então plicr est definição pr clculr derivds de lguns funcionis. Exemplos: () Vmos considerr o funcionl presentdo, em exemplo nterior, ddo por G[q] t q(t) dt, definido em F {q : [; 2] R q é C. Vmos clculr derivd de G num ponto q de F reltivmente um vetor η que tmbém jz em F. Pel definição (2) temos δ η G[q] d dɛ G[q + ɛη] ɛ0 d dɛ t[q(t) + ɛη]dt ; ɛ0 note que s funções q e η, embor não especificds, são supostos pré-fixds em F. 3 Aqui A R n é um conjunto berto. 4 Aqui lguns cuiddos mtemáticos são requeridos, ms não entrremos nestes detlhes; dmitiremos que F 0 possui tributos suficientes pr que o limite ddo n equção (2) poss ter sentido, conforme ilustrmos nos cálculos relizdos nos exemplos que seguem. 6

7 Podemos designr tq(t) + ɛtη(t) f(ɛ, t), com (ɛ, t) R [; 2], de modo que δ η G[q] d dɛ f(ɛ, t)dt. ɛ0 Tendo em vist que q e η são C e, então, ɛ f tη(t) é contínu, podemos usr o teorem de Leibnitz pr derivção sob o sinl de integrção. Logo δ η G[q] f(ɛ, t) ɛ dt ɛ0 Em prticulr, se η(t) /t, t [; 2], então δ η G[q]. tη(t)dt, q F. (b) Vejmos gor o funcionl ddo por A[q] definido sobre q(t)[q (t)] 2 dt F 0 {q : [; b] R q é de clsse C 2, q() α, q(b) β fixos em R, que está contido em F {q : [; b] R q é de clsse C 2 ; ou sej, F 0 é o espço ds funções C 2 -diferenciáveis em [; b] cujo gráfico possui os mesmos extremos (, q()) (, α) e (b, q(b)) (b, β). Então δ η A[q] d dɛ A[q + ɛη] ɛ0 d dɛ {[q(t) + ɛη(t)][q (t) + ɛη (t)] 2 dt ; ɛ0 vle slientr que qui devemos ter q + ɛη F 0 pr que A[q + ɛη] fç sentido. Assim os vetores η F en relção os quis podemos derivr A devem stisfzer η() η(b) 0. Com um pouco de trblho lgébrico, temos δ η A[q] d dɛ [qq 2 + ɛ(2qq η + ηq 2 ) + ɛ 2 (qη 2 + 2ηq η ) + ɛ 3 ηη 2 ]dt donde, derivndo sob o sinl de integrção e em seguid fzendo ɛ 0, δ η A[q] [q (t)] 2 η(t)dt q(t)q (t)η (t)dt; ɛ0

8 relizndo (explicitmente) um integrção por prtes e considerndo o teorem fundmentl do cálculo, δ η A[q] q 2 η dt + 2 { q 2 2 d dt [qq ] { d dt [qq η] dt 2 { d dt [qq ] η dt η dt + [q(b)q (b)η(b) q()q ()η()]. Foi nest etp que hipótese q é C 2 tornou-se conveniente: temos presenç de d(qq )/dt dentro d integrl. Portnto, visto que η() η(b) 0, δ η A[q] { q 2 2 d dt [qq ] η dt. (c) Considere um generlizção do exemplo () descrit por um funcionl d form A[q] L(q(t))dt, definido sobre s funções que morm em F {q : [; b] R q é C ; Aqui L : R n R é um dd função diferenciável (C ) d vriável q. Vmos clculr derivd de A num ponto q de F reltivmente um vetor η que tmbém jz em F. Pel definição (2) temos δ η A[q] d dɛ A[q + ɛη] ɛ d dɛ {L(q(t) + ɛη(t))dt. ɛ0 Pondo L(ɛ, t) L(q(t) + ɛη(t)) L(Q(ɛ, t)), com Q(ɛ, t) q(t) + ɛη(t), e usndo regr d cdei (visto que L e q são C -diferenciáveis) temos δ η A[q] d L(ɛ, t)dt dɛ [L(ɛ, t)] ɛ0 ɛ dt ɛ0 { dl Q b dl dt dq ɛ ɛ0 dq η(t) dt q(t) dl δ η A[q] dq η(t) dt. q(t) Em prticulr, pr [;b][0;], n (R n R), L(q) q 2, q(t) t + e η(t) 3t, temos δ η A[q] 2(t + ) 3t dt

9 (d) Considere gor um funcionl A[q] definido sobre s funções que jzem em L(q (t))dt, F {q : [; b] R q é C 2 ; Aqui L : R n R é um dd função diferenciável C 2 d vriável q. Vmos clculr derivd de A num ponto q de F reltivmente um vetor η que tmbém jz em F. Pel definição (2) temos δ η A[q] lim ɛ 0 A[q + ɛη] A[q] ɛ lim ɛ 0 { L(q (t) + ɛη (t)) L(q (t)) ɛ { b lim [L(q (t) + ɛη (t))]dt ɛ 0 ɛ [L(q (t))]dt { lim ɛ 0 L(q (t) + ɛη (t)) L(q (t)) ɛ dt. Tendo em vist que q e η são funções supostmente dds podemos definir, pr cd t, um função H t por H t (ɛ) L(q (t)+ɛη (t)) L( Q t (ɛ)), em que Q t (ɛ) q (t)+ɛη (t). Dess form, { H t (ɛ) H t (0) δ η A[q] lim dt ɛ 0 ɛ { b n dl d Q d Q { b n t,l dt t,l dɛ ɛ0 { [ n ] d dl dt η l (t) dt q (t) dq l { dht dɛ dt ɛ0 dl η l(t) dt q (t) dq l { n d dl dt η l (t) dt. q (t) É qui que levmos em cont que q e L são de clsse C 2 : expressão d(dl/dq l )/dt, que envolve em gerl q, está presente n segund integrl. Pelo teorem fundmentl dq l do cálculo {[ n δ η A[q] ] [ dl n η l (b) q (b) dq l ] dl η l () q () dq l { n d dl dt η l (t) dt. q (t) dq l Um cso de prticulr interesse é quele em que os vetores η são tis que η() η(b) 0, o que corresponde considerr o funcionl A restringido o conjunto de 9

10 curvs de R n, q : [; b] R n, que possuem os mesmos extremos, ou sej, o conjunto F 0 {q F q() Q, q(b) Q 2, com Q e Q 2 fixos em R n F. De fto, Q q() q() + ɛη() η() 0 e Q 2 q(b) q(b) + ɛη(b) η(b) 0. Sendo este o cso, temos δ η A[q] { n d dl dt η l (t) dt. q (t) dq l (c) Vmos considerr gor um cso que generliz os dois nteriores, o qul é descrito por um funcionl A[q] L(q(t), q (t), t)dt, definido em F 0 {q F q() Q, q(b) Q 2, com Q e Q 2 fixos em R n o qul está contido em F {q : [; b] R n q é C 2 ; função L : R 2n [; b] R ds vriáveis q, q e t é supost C 2 -diferenciável. Clculemos derivd de A num ponto q de F 0 reltivmente um vetor η de F tl que η() η(b) 0. Pel definição (2) temos lim ɛ 0 ɛ δ η A[q] lim ɛ 0 A[q + ɛη] A[q] ɛ { [L(q(t) + ɛη(t), q (t) + ɛη (t), t)]dt [L(q(t), q (t), t)]dt { L(q(t) + ɛη(t), q (t) + ɛη (t), t) L(q(t), q (t), t) lim dt. ɛ 0 ɛ Tendo em vist que q e η são funções supostmente dds podemos definir, pr cd t, um função J t pondo J t (ɛ) L(q(t) + ɛη(t), q (t) + ɛη (t), t) L(Q t (ɛ), Q t (ɛ), t), onde Q t (ɛ) q(t) + ɛη(t) e Q t (ɛ) q (t) + ɛη (t). Dess form, δ η A[q] { J t (ɛ) J t (0) lim dt ɛ 0 ɛ 0 { djt dɛ dt ɛ0

11 logo { n dq t,l + Q t,l dɛ Q d Q t,l dt t,l dɛ ɛ0 { n dt η l (t) + η q l q l(t) l (q(t),q (t),t) { n [ dt d ] η l (t) q l dt δ η A[q] dt { d dt [ n ] η l (t) dt; n [ d ] η l (t). q l dt 3. Pontos Críticos. Equções de Euler Um clsse de problems importntes no estudo de funções consiste n determinção de pontos de máximo ou de mínimo. Pr este fim um resultdo relevnte é que se um função f : A R n R dmite um ponto p A de máximo ou de mínimo locl onde el possu derivd direcionl v f(p) pr todo v R n (v não nulo) então v f(p) 0 v de R n, ou sej, p é um ponto crítico ou estcionário de f. Ms nem todo ponto crítico de um função f é de máximo ou de mínimo locl pr est função, pois pode ocorrer que el possu pontos tipo sel; pr clssificr pontos críticos um teste útil em muitos csos é o teste ds derivds de segund ordem. Nosso interesse gor é determinr pontos estcionários de funcionis específicos. Precismente, ddo um funcionl A[q] definido em L(q(t), q (t), t)dt, (3) F 0 {q F q() Q, q(b) Q 2, com Q e Q 2 fixos em R n, onde F {q : [; b] R n q é C 2

12 e L : R 2n [; b] R é um dd função diferenciável C 2, determinr um ponto q F 0 tl que δ η A[q] 0, pr tod η F tl que η() η(b) (0,..., 0) 0. Um vez determindo este ponto q, pr sber se A[q] é máximo ou mínimo podese consultr o teste d segund vrição funcionl (nálogo o teste ds derivds segunds pr funções), sobre o qul não flremos qui (ver referêncis). Tendo em vist últim equção d págin 8, obtemos que um ponto crítico de A deve necessri e suficientemente stisfzer δ η A[q] dt n [ d ] η l (t) 0, (4) q l dt pr tod η F cumprindo η() η(b) 0. Ests condições de contorno não constituem grnde restrição sobre s funções η de form que escolh de um dels é bstnte rbitrári. Assim vlidde d (4), com η rbitrári, implic em d q l dt 0, l,..., n. (5) Vmos esclrecer melhor este ponto. Primeiro vej o lem bixo enuncido e provdo. Lem Fundmentl: Sej f : [; b] R contínu. Se f(t)η(t)dt 0, pr tod η : [; b] R contínu e tl que η() η(b) 0 então f é identicmente nul (f 0), isto é, f(t) 0, t [; b]. Prov: Suponh que f não é identicmente nul, ou sej, existe ζ [; b] tl que f(ζ) 0, digmos que sej f(ζ) > 0 ( prov do cso f(ζ) < 0 é semelhnte). Pel continuidde de f, existe ξ no intervlo berto (; b), ξ suficientemente próximo de ζ, tl que f(ξ) > 0. E novmente pel continuidde de f existe um intervlo [ξ δ; ξ + δ] [; b], com < ξ δ < ξ + δ < b, tl que f(t) > 0 t [ξ δ; ξ + δ]. 2

13 Por outro ldo tome um função contínu η : [; b] R tl que η(t) pr t [ξ δ/2; ξ + δ/2] e η(t) 0 pr t [; ξ δ] [ξ + δ; b], que clrmente stisfz η() η(b) 0. Segue que contrdição. f(t)η(t)dt ξ+δ/2 ξ δ/2 f(t) dt > 0, Com este lem podemos justificr clrmente pssgem dt n [ d ] η l (t) 0, η F η() η(b) 0 q l dt d q l dt 0, l,..., n. Pr isto notmos que, d rbitrriedde d η, podemos escolher, pr cd índice l,..., n, um η d form η (0, 0,..., 0, η l, 0,..., 0), com η l : [; b] R n l-ésim posição coordend stisfzendo η l () η l (b) 0; est escolh stisfz clrmente que η() η(b) 0. Assim temos [ dt d q l dt e pelo lem fundmentl, segue (5): ] η l (t) 0, η l : [; b] R η l () η l (b) 0, d q l dt 0, l,..., n. Ests equções são denominds equções de Euler do Cálculo Vricionl. Els constituem um sistem de n equções diferenciis ordináris (coplds) de segund ordem pr s funções q l : [; b] R. De fto, ests equções podem ser reescrits como n s [f ls (q, q, t)q s + g ls (q, q, t)q s] + h l (q, q, t) 0, l,..., n, onde f ls (q, q, t) 3 2 L, q s

14 2 L g ls (q, q, t), q s q l h l (q, q, t) 2 L t q l. Podemos dizer então que um ponto crítico do funcionl A : F 0 R ddo pel integrl (3) é um curv em R n, q (q,..., q n ) F 0, cujs funções coordends q l constitum um solução ds equções de Euler (5). Note que ests n equções de segund ordem devemos dicionr s 2n condições de contorno estbelecids em F 0 : q() Q e q(b) Q 2, pr que solução fique bem definid em cd problem específico. 4

15 4. Problems Clássicos do Cálculo ds Vrições - Curv Pln de Menor Comprimento entre dois Pontos b - Curv Gerdor d Superfície de Revolução de Áre Mínim c - Brquistócron 5. O Princípio de Hmilton e s Equções de Euler-Lgrnge 5