Construções das cônicas utilizando o desenho geométrico e instrumentos concretos

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1 Johnn Senr Moreir Construções ds cônics utilizndo o desenho geométrico e instrumentos concretos Dissertção de Mestrdo Dissertção presentd o Progrm de Pósgrdução em Mtemátic d PUC-Rio como requisito prcil pr otenção do gru de Mestre em Mtemátic. Orientdor: Prof. Crlos Frederico Plmeir Rio de Jneiro Setemro de 017

2 Johnn Senr Moreir Construções ds cônics utilizndo o desenho geométrico e instrumentos concretos Dissertção presentd como requisito prcil pr otenção do gru de Mestre pelo Progrm de Pósgrdução em Mtemátic d PUC-Rio. Aprovd pel Comissão Emindor io ssind. Prof. Crlos Frederico Plmeir Orientdor Deprtmento de Mtemátic PUC-Rio Prof. Rent Mrtins Ros Deprtmento de Mtemátic PUC-Rio Prof. Humerto José Bortolossi Deprtmento de Mtemátic Aplicd - UFF Prof. Márcio d Silveir Crvlho Coordendor Setoril do Centro Técnico Científico PUC-Rio Rio de Jneiro, de setemro de 017

3 Todos os direitos reservdos. É proiid reprodução totl ou prcil do trlho sem utorizção d universidde, do utor e do orientdor. Johnn Senr Moreir Grduou-se em Licencitur em Mtemátic pel Universidde Federl do Rio de Jneiro (UFRJ) em 007. Atulmente é professor do ensino ásico pel Secretri de Educção do Estdo do Rio de Jneiro. Moreir, Johnn Senr Fich Ctlográfic Construções ds cônics utilizndo o desenho geométrico e instrumentos concretos / Johnn Senr Moreir ; orientdor: Crlos Frederico Plmeir f. : il. color. ; 30 cm Dissertção (mestrdo) Pontifíci Universidde Ctólic do Rio de Jneiro, Deprtmento de Mtemátic, 017. Inclui iliogrfi 1. Mtemátic Teses.. Cônics. 3. Elipse. 4. Práol. 5. Hipérole. 6. Desenho geométrico. I. Plmeir, Crlos Frederico. II. Pontifíci Universidde Ctólic do Rio de Jneiro. Deprtmento de Mtemátic. III. Título. CDD: 510

4 Agrdecimentos A Deus, por tudo. A minh mãe, Zéni, por tod formção que tive n vid como profissionl qunto ciddão. Ao meu orientdor Professor Crlos Frederico Plmeir (Fred), pelo poio e dedicção n orientção dess dissertção. À Sociedde Brsileir de Mtemátic (SBM) e à PUC-Rio, pel orgnizção desse mestrdo, que contriui com um melhor qulificção dos professores de mtemátic. Aos meus colegs Ricrdo Azevedo, Luiz de Almeid e Cludio Vle, pelo incentivo. Aos professores e funcionários d PUC Rio que se envolverm n relizção d turm de PROFMAT.

5 Resumo Moreir, Johnn Senr; Plmeir, Crlos Frederico. Construções ds cônics utilizndo o desenho geométrico e instrumentos concretos. Rio de Jneiro, p. Dissertção de Mestrdo - Deprtmento de Mtemátic, Pontifíci Universidde Ctólic do Rio de Jneiro. O presente trlho tem como ojetivo fcilitr o estudo ds cônics e ind despertr o interesse do luno pr o desenho geométrico. Será presentdo que s curvs cônics estão em nosso di di, não só como elez estétic, ms tmém provocndo fenômenos físicos mplmente utilizdo pel rquitetur e engenhri civil, como cústic e refleão d luz. Utilizremos instrumentos pr desenhr curvs que despertem curiosidde dos lunos e fremos uso ds equções e lugres geométricos fim de demostrr tis recursos. Pretende-se ssim que o dquirir tis conhecimentos o luno primore seu entendimento mtemático e mplie seu horizonte culturl. Plvrs-chve Cônics; elipse; práol; hipérole; desenho geométrico.

6 Astrct Moreir, Johnn Senr; Plmeir, Crlos Frederico (Advisor). Construction of the conics using the geometric drwing nd concrete instruments. Rio de Jneiro, p. Dissertção de Mestrdo - Deprtmento de Mtemátic, Pontifíci Universidde Ctólic do Rio de Jneiro. The present reserch ims to fcilitte the stud of the conics nd lso to rouse the interest of the student for the geometric drwing. The conic curves will e presented not onl s the re in our d to d s esthetic eut ut lso s responsile for the phsicl phenomen widel used rchitecture nd civil engineering s well s coustics nd reflection of light. We will use instruments to drw curves tht rouse the curiosit of the students, mking use of the equtions nd locus in order to demonstrte such resources. It is intended tht the student cquire this knowledge, improving his mthemticl understnding nd rodening his culturl horizon. Kewords Conics; elipse; prol; hperol; geometric.

7 Sumário 1. Introdução 13. Um pouco de Históri Elipse 3.1. Elementos de um Elipse 3.. Equção reduzid d elipse Simetris em um Elipse Restelecendo o centro, eios e focos de um elipse Construções de Elipses por meio de seus pontos Trçdo de tngentes à elipse Trçndo um tngente e um norml um elipse por um ponto P d curv Trçndo dus rets tngentes elipse por um ponto P eterior curv Equipmentos pr construções de elipses Elipses trvés de cortes em um cilindro Hipérole Elementos de um Hipérole Equção reduzid d hipérole Simetris em um Hipérole Assíntots Restelecendo o centro, eios, focos e s rets focl e não focl de um hipérole Construções de Hipéroles por meio de seus pontos 57

8 4.7. Trçdo de tngentes à hipérole Trçndo tngente e norml por um ponto ddo em um hipérole Trçndo dus tngentes um hipérole por um ponto P ddo for d curv Equipmentos pr construções de hipéroles Práol Elementos d práol Equção reduzid d práol Simetri n práol Restelecendo o foco, eio focl e diretriz de um práol Construções de Práols por meio de seus pontos Tngentes à Práol Trçndo por um ponto P d práol su tngente Trçndo dus rets tngentes práol por um ponto for d curv Trçndo práols utilizndo instrumentos Compsso Perfeito Aplicções ds cônics Propriedde refletor d elipse A plicções propriedde refletor d elipse d elipse Outrs plicções d elipse Propriedde refletor d práol Aplicções d propriedde refletor d práol Outrs plicções d práol 96

9 7.7. Propriedde refletor d hipérole Um plicção que conjug s proprieddes refletor d hipérole e d práol A hipérole como somr de lguns jures Conclusão Referêncis iliográfics 10

10 List de Figurs Figur 1 - Somr de um jur produzindo um hipérole 13 Figur - Liquido em um grrf cilíndric descrevendo um elipse 13 Figur 3 - Lnçmento de um ol descrevendo um práol (desprezndo resistênci do r) 14 Figur 4 - Médi proporcionl entre e. 15 Figur 5 - Otendo o comprimento de 3 utilizndo dus práols 17 Figur 6 - Otendo o comprimento de 3 utilizndo práol e hipérole 18 Figur 7 - Cônics otids por Menecmo 18 Figur 8 - Qudrtur d Práol 19 Figur 9 - Cônics otids por Apolônio 0 Figur 10 - Heágono inscrito em um Elipse 0 Figur 11 - Os focos d elipse otidos por Dndelin 1 Figur 1 - Elipse Figur 13 - Elementos de um elipse 3 Figur 14 - Elipse de centro n origem, sendo ret focl no eio OX 4 Figur 15 - Restelecendo o centro de um elipse 6 Figur 16 - Restelecendo s rets focl e não focl de um elipse 8 Figur 17 - Restelecendo os focos d elipse 9 Figur 18 - Trçdo d elipse conhecendo seu eio focl e focos 31 Figur 19 - Trçdo de um elipse por meios de pontos utilizndo os eios 3 Figur 0 - Justifictiv d construção, utilizndo trigonometri 3 Figur 1 - Trçdo d elipse conhecendo seus focos e comprimento focl 33 Figur - Tngente um ponto d elipse 34 Figur 3 - Justifictiv d construção de um tngente um ponto d elipse 35 Figur 4 - Tngente à elipse por um ponto for d curv 36 Figur 5 - Construindo um elipse com rnte 37 Figur 6 - Construindo um elipse com tir de ppel 38

11 Figur 7 - Justifictiv d construção de um elipse com tir de ppel 38 Figur 8 - Elipsógrfo com trilhos ortogonis 39 Figur 9 - Elipsógrfo primeir construção utilizndo losngo 40 Figur 30 - Justifictiv do Elipsógrfo d primeir construção com losngo 41 Figur 31 - Elipsógrfo, segund construção utilizndo losngo 4 Figur 3 - Justifictiv de um Elipsógrfo, segund construção utilizndo losngo 43 Figur 33 - Elipse otid trvés de um grrf pet 44 Figur 34 - Desenhndo elipse otid com um grrf pet 44 Figur 35 - Pontos d elipse otid trvés de um cilindro 45 Figur 36 - Hipérole 46 Figur 37 - Equção cnônic d hipérole 48 Figur 38 - Assíntots de um hipérole 51 Figur 39 - Restelecendo o centro de um elipse 53 Figur 40 - Trçndo s rets focl e não focl de um hipérole 54 Figur 41 - Restelecendo os focos de um hipérole 56 Figur 4 - Justifictiv do método utilizdo pr encontrr os focos 56 Figur 43 - Encontrndo pontos d hipérole dds sus ssíntots 58 Figur 44 - Trçndo um hipérole ddos seus eios e focos 59 Figur 45 - Trçndo um hipérole sendo ddos os dois eios 61 Figur 46 - Hipérole ddos seus focos e o comprimento do eio focl 6 Figur 47 - Trçndo tngente e norml por um ponto ddo em um hipérole 64 Figur 48 - Trçndo dus rets tngente à hipérole 65 Figur 49 - Construção de um hipérole usndo régu e rnte 67 Figur 50 - Construção de um hipérole usndo régu e rnte 67 Figur 51 - Brnte deslizndo n régu 68 Figur 5 - Hipérole utilizndo um instrumento n form de losngo 68 Figur 53 - Justifictiv do instrumento que possui form de um losngo 69 Figur 54 - Instrumento preso os focos d hipérole 71 Figur 55 - Justifictiv d construção que utiliz Instrumento preso os focos d hipérole 71

12 Figur 56 - Práol 73 Figur 57 - Encontrndo ret focl d práol 75 Figur 58 - Encontrndo o foco e diretriz de um práol 77 Figur 59 - Encontrndo os pontos d práol, conhecendo seu foco e ret diretriz 79 Figur 60 - Encontrndo os pontos d práol, conhecendo seu foco e ret diretriz, segund construção 80 Figur 61 - Trçndo por um ponto P d práol su tngente 81 Figur 6 - Trçndo dus tngente à práol por um ponto eterior 8 Figur 63 - Trçndo um práol utilizndo régu e rnte 84 Figur 64 - Prológrfo de Cvlieri 85 Figur 65 - Construção do Prológrfo de Cvlieri 85 Figur 66 - Instrumento construído utilizndo losngo rticuldo 86 Figur 67 - Justificndo construção do Instrumento construído utilizndo losngo rticuldo 87 Figur 68 - Compsso Perfeito 88 Figur 69 - Elipse 89 Figur 70 - Hipérole 90 Figur 71 - Práol 90 Figur 7 - Refleão d luz 91 Figur 73 - Propriedde refletor d elipse 9 Figur 74 - Dispositivo odontológico 93 Figur 75 - Tetro Ncionl de São Crlos, Liso, Portugl 93 Figur 76 - Plnetário Tcho Brhe, Copenhgue, Dinmrc 94 Figur 77 - Órit dos plnets 94 Figur 78 - Propriedde Refletor d Práol 95 Figur 79 - Anten prólic 96 Figur 80 - Trjetóri de um ol descrevendo um práol 97 Figur 81 - Golden Gte Bridge 97 Figur 8 - Propriedde Refletor d Hipérole 98 Figur 83 - Telescópio refletor do tipo Cssegrin 99 Figur 84 - Somr de um Ajur 100

13 1 Introdução As Cônics representm um ótimo ssunto em mtemátic, pois podemos presentr os lunos que conceitos mtemáticos e equções do segundo gru estão o nosso redor. Temos como eemplo n figur 1, somr de um jur que descreve um hipérole conforme mostrdo pelo professor Crneiro (006). Figur 1 - Somr de um jur produzindo um hipérole (Fonte: Vejmos tmém n figur, que o inclinrmos um grrf de form cilíndric curv do contto entre superfície do líquido e grrf descreverá um elipse, e ind num outro eemplo n figur 3, temos que o lnçrmos um ojeto de form oliqu (desprezndo resistênci do r), trjetóri que esse ojeto frá té chegr o solo será um práol. Figur - Liquido em um grrf cilíndric descrevendo um elipse (Fonte: Oficin Que curvs são esss chmds cônics? Bienl de Mtemátic 017)

14 14 Figur 3 - Lnçmento de um ol descrevendo um práol (desprezndo resistênci do r) (Fonte: Desde Gréci ntig o homem se utiliz ds plicções ds cônics. Vejmos o clássic lend em que o sáio Arquimedes empreg espelhos prólicos com o propósito de queimr s vels ds emrcções romns n defes de Sircus (su cidde Ntl). Temos tmém que conforme Àvil (1997), que em 167 o strônomo frncês Lurent Cssegrin, sendo-se ns proprieddes refletors d hipérole e práol, propôs pr ns construções de telescópios refletores, utilizção de um pr de espelhos, um hiperólico e um prólico, otendo ssim vntgem sore telescópio de Newton sedo em um espelho prólico e um plno. Em muitos consultórios de dentist, iluminção d áre ser trtd do pciente é feit com um luminári com espelho elíptico, que possui propriedde de concentrr os rios de luz em um ponto. Apresentremos s curvs cônics otids trvés de seus pontos, com o uso de régu e compsso, ou trvés outros instrumentos, e esss curvs desenhds serão eplicds trvés ds proprieddes de cd cônic, sej por lugr geométrico, sej pel geometri nlític. O professor do ensino médio deve estr tento o gru de conhecimento de cd luno, pois demostrr um curv por meio de equções penoss pode cusr desinteresse em lgums clsses. Neste cso é mis coerente e didático escolher um tipo de construção mis dequd. Deimos de presentr noção de ecentricidde, como tmém não fizemos coneão com geometri projetiv.

15 Um pouco de Históri Atriuí-se o grego Menecmo (cerc de 350. C.) descoert ds cônics, o desenvolver método pr resolução de um dos prolems clássicos d ntiguidde, fmos duplicção do cuo. Este prolem teve su origem n Gréci ntig, qundo o Rei Minos ordenou que tum cúic de seu filho fosse dord de tmnho em volume. Foi então construíd um nov tum, sendo que o método utilizdo foi duplicção ds rests, porém dess form construção ficou 8 vezes mior. Este prolem chegou os mtemáticos d époc e foi consttdo que tl questão envolve otenção d rest de um cuo que tenh o doro do volume de um cuo ddo, sendo que, hvi um limitção técnic pr s soluções, pois os instrumentos d époc ind erm os Euclidinos (régu não grdud e compsso). A primeir contriuição importnte foi de Hipócrtes de Chios (440.C). Possivelmente, fzendo nlogi o prolem de que ddo um retângulo de comprimentos e, devemos encontrr um qudrdo de ldo de mesm áre, este nd mis é que inserção de um médi proporcionl entre os segmentos e. Em álger mis tul seri: = =. Est equção pode ser otid geometricmente trvés d conhecid relção métric do triângulo retângulo, =, conforme figur 4. Figur 4 - Médi proporcionl entre e. O gregos ntigos tinhm o conhecimento de como encontrr um médi proporcionl ou geométric entre segmentos e. Ce tentr que pr os gregos s equções do tipo cim não erm divisões e sim rzões de mesm grndez, como segmentos, áre, volumes.

16 16 Hipócrtes então provou que o prolem er o mesmo que inserir dus médis proporcionis entre dois segmentos de comprimento e s médis proporcionis por e teremos:. Denotndo-se : :: : :: : (est e notção utilizd pelos gregos ntigos pr epressr rzões). Est contriuição de Hipocrtes não é um solução do prolem e sim um redução do mesmo, pois encontrr dus médis proporcionis usndo somente régu e compsso er um prolem de igul dificuldde. Em um termologi mis tul o prolem de inserir dus médis proporcionis entre dois segmentos e seri: = = então temos = ; = e = que veremos que fzendo = e por eliminção de teremos: é 3 3 = =. Os mtemáticos uscrm resolver então o prolem n form reduzid, que inserir dus médis proporcionis entre dois segmentos de ret ddos. Menecmo, utilizndo-se ds secções cônics deu dus soluções pr o prolem: um trçndo dus práols com vértice comum e eios perpendiculres e outr trçndo um práol e um hipérole. Em um notção tul teremos s seguintes resoluções do prolem: 3 = =, sendo rest do cuo que desejmos duplicr o volume. = trt - se de um práol = trt - se de um práol = trt - se de um hipérole. = = 1º cso: Trçdo ds dus práols com vértices comuns = De =, sustituindo ds dus equções teremos: = = =.

17 17 Logo, teremos que, tirndo riz cuic de mos os ldos = = que é o comprimento desejdo (ver figur 5). Figur 5 - Otendo o comprimento de 3 utilizndo dus práols º cso: trçndo um práol e hipérole. = = = sustituindo = teremos = De = teremos =, de = sustituindo d equção cim teremos: = = = 3. Dividindo por e tirndo riz cuic de mos os ldos teremos: = = = que é o comprimindo desejdo. O cso d segund práol = e hipérole = se resolve de modo nálogo, oserve n figur 6 que teremos o mesmo ponto P de interseção pr todos os 3 csos.

18 18 Figur 6 - Otendo o comprimento de 3 utilizndo práol e hipérole As cônics presentds por Menecmo erm otids trvés de seção de um plno perpendiculr à gertriz de tipos de cones diferentes, elipse er otid prtir de um cone cutângulo, práol de um cone retângulo e hipérole de um cone otusângulo, conforme figur 7: Figur 7 - Cônics otids por Menecmo Os estudos ds seções cônics tiverm destques o longo d históri d mtemátic. Nomes importntes n ntiguidde se destcrm como Euclides que escreveu um livro sore cônics, Arquimedes que usndo lgums proprieddes do livro de Euclides, escreveu e provou qudrtur d práol. De modo gerl encontrr qudrtur de um áre limitd por um curv é construir um qudrdo cuj áre sej igul d figur dd. O prolem soluciondo por Arquimedes foi que sej t tngente práol por um ponto P e AB

19 19 um cord d práol prlel t, então áre S d práol limitd pelo segmento AB é 4/3 d áre do tringulo PAB. Vejmos o eemplo n figur 8. Figur 8 - Qudrtur d Práol Apolônio de Perg (cerc de 6. C), que lém de ter escrito sore diversos ssuntos em mtemátic, ficou mis conhecido pelos seus livros sore secções cônics, que são o todo 8, ms o último não chegou té nosso dis. Entre sus contriuições encontrm-se que s seções cônics não erm otids somente prtir de cortes perpendiculr gertriz de um cone reto. Apolônio introduziu que s cônics podem ser otids prtir de um mesmo cone olíquo de se circulr. Se o plno cortr tods s gertrizes, cônic otid é um elipse, se o plno é prlelo um ds gertrizes, cônic é um práol e se o plno cortr os dois rmos do cone (ver figur 9), cônic otid é um hipérole. Apolônio foi tmém o primeiro usr os termos práol, hipérole e elipse pr designr s seções cônics. Oservção: Cone reto é um cone onde o eio é perpendiculr o plno d se. Cone olíquo é um cone onde o eio não é perpendiculr o plno d se.

20 0 Figur 9 - Cônics otids por Apolônio Um contriuição importnte tmém veio do mtemático Blise Pscl ( ), que os 16 nos, imprimiu um trlho Ess pour les Coniques, onde epos um teorem de Geometri Projetiv conhecido como Hegrm místico de Pscl. Em um heágono inscrito em um cônic, s rets que contiverem os ldos opostos interceptm-se em pontos colineres. Em um heágono definimos ldos opostos como sendo os ldos que estão seprdos por dois outros ldos. Definindo dest form não importrá se o heágono é conveo ou não. Um eemplo pr o cso d elipse está n figur 10, onde temos um heágono ABCDEF, ondo os pres de ldos opostos são: (AB e DE), (BC e EF) e (FA e CD). Figur 10 - Heágono inscrito em um Elipse

21 1 Philippe de L Hire, mtemático frncês nscido em 1640, escreveu três ors sore s seções cônics, presentou 61 teorems sore s três cônics prtir de um definição ifocl, (pr práol um dos focos encontr-se no infinito), sendo est somente um ds crcterizções ds cônics. Como já foi dito, os gregos s otinhm trvés de seções em cones, porém definição ifocl usd por Philipe de L Hire desvincul s cônics do cone. Su crcterizção ds cônics é que prevlece no estudo ds curvs elipse, hipérole e práol no ensino médio, pois são usds pr provr s forms ds equções. Dndelin, mtemático frncês ( ), se utiliz d propriedde ifocl e d seção cônic fzendo um elo entre s dus crcterizções. Ele fz uso de esfers inscrits em um cone e um plno que seccion este cone, que deverá ser tngente s esfers, sendo os pontos de tngênci os focos d cônic. N figur 11 temos o eemplo d elipse. Figur 11 - Os focos d elipse otidos por Dndelin (Fonte: Siqueir, 01, p. 7)

22 3 Elipse Elipse é o lugr geométrico dos pontos de um plno, tis que, ddos dois pontos fios (F1 e F) chmdos de focos, som ds distâncis de um ponto P do plno cd um dos focos é igul um constnte, sendo mior que distânci entre F1 e F, ou sej, d ( F1, F ) <. P elipse d P, F ) + d( P, F ). ( 1 = Figur 1 - Elipse N Figur 1 temos s distâncis: d ( P1, F1 ) + d( P1, F ) = d( P, F1 ) + d( P, F ) = d( P3, F1 ) + d( P3, F ) =. 3.1 Elementos de um Elipse N figur 13, temos os seguintes elementos de um elipse: Focos: são os pontos F 1 e F ; Distânci focl: é o comprimento do segmento F F = c; 1 Centro: é o ponto médio entre os focos; Ret focl: é ret que contém os focos,sendo os pontos A 1 e A interseção dest ret com elipse;

23 3 Eio focl ou eio mior: é o segmento A A 1, de comprimento; Ret não focl: é ret perpendiculr à ret focl que pss no centro, sendo os pontos B 1 e B, interseção dest ret com elipse; Eio não focl ou eio menor: é o segmento B B 1, de comprimento ; Vértices: são os pontos A 1, A, B1 e B ; Cord: segmento que une pontos d elipse; Diâmetro: são cords que pssm pelo centro. Figur 13 - Elementos de um elipse 3. Equção reduzid d elipse A equção reduzid d elipse é otid utilizndo o plno crtesino em que F1 = ( c,0) e F = ( c,0), são os focos d elipse, o eio mior é igul, ou sej, distânci entre os pontos etremos do eio mior é igul. Vej figur 14. Sej P = (, ) um ponto pertence elipse então: d( P,F ) + d( P,F ) (3.1) 1 =

24 4 Figur 14 - Elipse de centro n origem, sendo ret focl no eio OX Temos: ) ( ), ( ) ( ), ( 1 c F P d e c F P d + = + + = então pel equção (3.1) temos: c ) ( c ) ( = (isolndo um rdicl) c ) ( c ) ( + = + + ( ) ( ) c ) ( c ) ( + = c ) ( c ) (.. c ) ( = + + ( ) ( ) c c ) (. = + simplificndo os termos ) ( ) ( c c = + dividindo mos os ldos por ) ( c 1 = + ) c ( oservndo que por Pitágors temos c + =, logo (3.) 1 então,. c = + = Demostrmos que se o ponto ), ( P = stisfz equção ) ( ) ( c c = então ), ( P = tmém stisfz equção

25 5 + = 1, temos que recíproc é verddeir, pois oservndo que utilizmos vlores positivos pr e,logo teremos, em noss demonstrção, que = =, est oservção se fz importnte um vez que n demonstrção houve termos elevdos o qudrdo dus vezes. Dito isso, seguindo os pssos d demonstrção em sentido inverso prtir d equção (3.), temos que s equções (3.1) e (3.) são equivlentes, pois tods s operções feits são reversíveis. 3.3 Simetris em um Elipse Um o ferrment pr trçrmos elipses é o conhecimento de sus simetris, considerndo que um elipse é simétric em relção à ret focl, ret não focl e o seu centro. Mostrremos que se P = ( 0, 0 ) stisfz equção + = 1. stisfzem. Então os pontos P =, ), P =, ) e P =, ) tmém 1 ( 0 0 ( ( 0 0 Como P stisfz equção + = então: + = 1 ) Sustituindo o ponto P = 0, ) por = (, ) ( 0 teremos ( ) = + =. 1 P Concluímos que elipse é simétric em relção o eio não focl. 1 ) Sustituindo o ponto P = 0, ) por P =, ) teremos ( ) ( = 1 + = 1 1 ( 0 0 Concluímos que elipse é simétric em relção o eio focl.

26 6 c) Sustituindo o ponto P = 0, ) por P =, ) ( 0 teremos ( ) ( ) = + = ( 0 0 Concluímos que elipse é simétric em relção o centro. 3.4 Restelecendo o centro, eios e focos de um elipse Dd um elipse desenhd, vmos oter o seu centro, eios e focos. Restelecendo o centro: Dd um elipse desenhd, iremos encontrr seu centro. Procedimento Psso 1: Trç-se um cord P1P e um outr qulquer prlel est, mrquemos seus pontos médios M e N respectivmente; Psso : Trcemos ret r que pss pelos pontos M e N; Psso 3: Trcemos um cord Q1Q (não prlel P1P) e um outr qulquer prlel est, mrquemos seus pontos médios S e T respectivmente; Psso 4: Por fim trcemos ret s que pss pelos pontos S e T; Chmemos de O o ponto de interseção entre s rets r e s, este ponto será o centro d Elipse. Conforme Figur 15. Figur 15 - Restelecendo o centro de um elipse

27 7 Justifictiv: Sej equção d elipse: + = 1. Sej ret = m+ k, vmos encontrr sus interseções com elipse. + = 1 = m + k Sustituindo ds dus equções teremos: + ( m + k) = m mk + k = 1 ( + m ) + mk + k = 0. Pr encontrr sciss do ponto ( ) M = 0, 0 que será o ponto médio entre os pontos P1 e P, utilizremos que, se 1 e são rízes d equção + + c = 0 então sciss do ponto médio entre s rízes é ddo por = =. Teremos então que 0 mk = ( + m ) mk = + m. 0 = m Pr encontrr ordend ponto ( ) 0, 0 mk m + + k m k m + M = teremos: m + k + k m k + + = 0 0 ( + m ) k m k Então que 0 = mk k e M,. + m = m m + + Tomndo um segund ret prlel ret = m+ k teremos equção + = m k 1, logo s coordends do ponto médio de sus interseções com elipse mk1 será, k1. 1 M = + m + m

28 8 Escrevendo equção d ret que pss pelos pontos M e M 1. Após lguns cálculos oteremos = que é ret que pss pelo ori- m gem (centro d elipse). Repetindo o processo com outro pr de rets prlels, = m 1 + k e + = m1 k 1, oteremos um outr ret que tmém pssrá pel origem. Restelecendo seus Eios Prtindo d construção cim, já identificmos posição do centro d elipse, iremos encontrr os eios d elipse. Sej o ponto O o centro d elipse. Trç-se um circunferênci C1 que interceptrá elipse em 4 pontos distintos A, B, C e D. Trcemos s rets AC e BD, temos que meditrizes ds cords AB e BC serão s rets focl e não focl d elipse ( ver figur 16). Figur 16 - Restelecendo s rets focl e não focl de um elipse Justifictiv: Sej + = 1 equção reduzid d elipse e = 0 < c < equção de um circunferênci de mesmo centro. + c, com

29 9 Ao resolvermos o sistem formdo pels equções: + + = 1, é fácil ver que se um ponto ( 0, 0 ) é solução do sistem, temos que os e pontos 0, ), ( 0, 0 ) e ( 0, 0 ) tmém são. ( 0 = c Di vemos d figur 16 que se A tem coordends, ), então os ( 0 0 outros pontos de interseção entre s dus curvs terão s coordends: B =, ), ( 0 0 C = (, 0 0 ) e D = (, ) 0 0. Temos pel simetri em relção o eio d elipse que s meditrizes ds cords AB e AD serão s rets focl e não focl d elipse. Os eios serão os segmentos pertencente ests rets compreendidos no interior d elipse. Restelecendo os Focos, conhecendo os eios d elipse Sejm os pontos A e B vértices do eio mior, os pontos C e D vértices do eio menor e o ponto O o centro d elipse. Pelo Vértice C trcemos um circunferênci de rio OA que interceptr o eio AB nos pontos F1 e F que serão os focos d elipse (ver figur 17). Figur 17 - Restelecendo os focos d elipse A justifictiv dest construção é pel própri definição de Elipse, onde inform que distânci entre o vértice do eio menor o foco é igul distânci do vértice do eio mior o centro d Elipse.

30 Construções de Elipses por meio de seus pontos Segmentos de ret e círculos são fcilmente construídos, respectivmente com régu e compsso. Cônics (e outrs curvs) tmém podem ser construíds com instrumentos não tão simples. Alguns serão presentdos neste trlho. É usul construir um cônic trvés d otenção com régu e compsso de vários pontos, e unir esses pontos. Apresentremos qui diferentes construções deste tipo. Trçdo de um elipse por meios de pontos utilizndo o eio focl e os focos Sejm os pontos A e B vértices do eio mior, e os focos F1 e F. Psso 1: Mrc-se um ponto qulquer ponto G no interior do eio AB entre os focos F1 e F inclusive; Psso : Com o centro no foco F1 trcemos dus circunferêncis de rios GA e GB e s chmremos de C1 e C respectivmente; Psso 3: Com o centro no foco F trcemos dus circunferêncis de rios GA e GB e s chmremos de C3 e C4 respectivmente; Psso 4: Chmemos de P1 e P os pontos de interseção ds circunferêncis C1 e C4 que possuem rios diferentes. Chmemos de P3 e P4 os pontos de interseção ds circunferêncis C e C3 que possuem rios diferentes; Psso 5: Os pontos P1, P, P3 e P4 são pontos desejdos, pois pertencem elipse, oservemos Figur 15, pois é stnte eplictiv; Psso 6: Cso tivéssemos escolhido o ponto médio de AB oterímos semente pontos d elipse que serim os etremos do segundo eio; Psso 7: Este processo se repete escolhendo outros pontos do eio AB, pois quntos mis pontos escolhermos mis pontos d elipse oteremos melhorndo ssim o trçdo d figur ( ver figur 18).

31 31 Figur 18 - Trçdo d elipse conhecendo seu eio focl e focos Justifictiv Temos que: F1P1 mede AG, pois é rio do círculo C1 de centro em F1 e FP1 mede BG, pois é rio do círculo C4 de centro em F. Como som dos comprimentos AG + BG = AB, temos que o ponto P1 pertence elipse cujo focos são F1 e F e eio mior AB. Trçdo de um elipse por meios de pontos utilizndo os dois eios Sejm A1A de comprimento e B1B de comprimento, os eios ortogonis d elipse de centro em O. Procedimentos: Psso 1: Pelo centro O trçm-se dus circunferêncis, C1 de rio e C de rio ; Psso : Escolhe-se um ponto Q qulquer eterior s circunferêncis e trçse o segmento OQ, este segmento interceptr circunferênci C1 no ponto E, e circunferênci C no ponto F; Psso 3: Por E trçmos um ret prlel o eio A1A e por F trçmos um ret prlel o eio B1B, o ponto P de intercessão dests rets pertencerá elipse; Psso 4: Pr determinrmos outros pontos d elipse devemos escolher outros pontos eteriores s circunferêncis e repetir o processo. Quntos mis ponto otivermos melhor será o trçdo d elipse desejd (ver figur 19).

32 3 Figur 19 - Trçdo de um elipse por meios de pontos utilizndo os eios Justifictiv: Consideremos figur 0. Sejm os pontos R e S os pés ds perpendiculres trçds do eio A1A, que pssm pelos pontos E e F respectivmente. Utilizndo trigonometri: Sejm os triângulos OFS e OER e α ângulo comum os dois triângulos pelo vértice O. OS Do triângulo OFS temos: cos α = = cos α = OF ER Do triângulo OER temos: sen α = = sen α = OE Como sen α + cos α = 1 + = 1. Figur 0 - Justifictiv d construção, utilizndo trigonometri

33 33 Trçdo de um elipse por meios de pontos conhecendo seus focos e o comprimento do eio focl Sejm os pontos F1 e F que serão os focos, A1 e A que serão os vértices d elipse, temos que distânci focl d( F F ) 1, = c e eio mior d( A A ) 1, =. Oservemos que c <. Procedimentos: Psso 1: Trcemos um circunferênci C1 de centro F1 e rio ; Psso : Mrquemos um ponto A qulquer d circunferênci e trcemos ret que pss pelos pontos A e F1 qul chmremos de r ; Psso 3: Trcemos o segmento AF; Psso 4: Sej m meditriz do segmento AF. O ponto P de interseção entre meditriz m e ret r será um ponto que pertence elipse de focos F1 e F e vértices A1 e A ; Psso 5: Pr encontrr outros pontos d elipse, devemos escolher outros pontos d circunferênci de rio e repetir o procedimento (ver figur 1). Figur 1 - Trçdo d elipse conhecendo seus focos e comprimento focl Justifictiv Como o ponto P pertence meditriz do segmento AF, então d P, A) = d( P, F ), temos tmém que d( F 1, A) = (rio) = d ( F 1, P) + d( P, A), ( mostrndo ssim que P pertence elipse de focos F1 e F e eio.

34 Trçdo de tngentes à elipse: Trçndo um tngente e um norml um elipse por um ponto P d curv Sej elipse de eio mior AB de comprimento e focos F1 e F, pertencentes o eio AB. Sej P, um ponto d elipse, que desejmos que psse ret tngente t e ret norml n. Procedimentos: AB. Psso 1: Construiremos um circunferênci com centro no foco F1 e rio Psso : Trcemos semirret F1P que interceptrá circunferênci em C e trcemos o segmento FC. Psso 3: Trcemos meditriz do segmento FC, est meditriz qul chmremos de m será ret tngente elipse no ponto P. Psso 4: Pr trçrmos norml, tomremos um ret perpendiculr ret m sore o ponto P (ver figur ). Figur - Tngente um ponto d elipse

35 35 Justifictiv. Consideremos figur 3. Pr que ret m (meditriz de C F ) sej tngente elipse no ponto P teremos que mostrr que P é o único ponto de interseção entre m e elipse. Oservemos que por construção F C = AB. Suponhmos que eist um ponto 1 = P ' diferente de P que pertenç meditriz m e elipse, então ( P',C ) = d( P',F ) e lém disso temos que d d ( F 1,P' ) + d( F,P' ) = = d( F 1,P ) + d( F,P ). Logo d( F 1, P') + d( P', C) =, surdo, pois pel desiguldde tringulr d F, P') + d( P', C) > d( F, C), então P é o único ponto de m pertencente ( 1 1 = elipse, logo m é tngente elipse. Figur 3 - Justifictiv d construção de um tngente um ponto d elipse 3.6. Trçndo dus rets tngentes elipse por um ponto P eterior curv Sej elipse de focos F1 e F, eio mior AB e P um ponto for d elipse no qul desejmos trçr s tngentes. Procedimentos: Psso 1: Construímos circunferênci C1 de centro F1 de rio AB.

36 36 Psso : Construímos circunferênci C de centro P e rio PF. Psso 3: Mrquemos os pontos C e D de interseção com s circunferênci C1 e C. Psso 4: Trcemos os segmentos F1C e F1D mrcndo os pontos T e Q respectivmente de interseção com elipse (ver figur 4). As rets PT e PQ são s tngentes desejds. Figur 4 - Tngente à elipse por um ponto for d curv Justifictiv: Inicilmente firemos n demonstrção que ret PQ qul mostrremos que é tngente elipse no ponto Q. Temos por construção que o segmento F1D mede AB = comprimento do eio mior d elipse e PF = PD, mos rio do círculo C. O ponto Q divide o segmento F1D tl que F1D = F1Q + QD = AB. Como Q pertence elipse, então F1Q + FQ = AB, logo FQ = QD. Oservndo que os triângulos PQD e PQF são congruentes por LLL, logo ret PQ é issetriz do triângulo PDF e como este triângulo é isósceles então PQ é um meditriz do ldo DF. Oservemos que estmos ns condições do item 3.6.1, pois o segmento F1D =, que é rio de um circunferênci de centro em F1, então tngente pelo ponto Q é meditriz do ldo DF do tringulo QDF. Segue de form nálog demonstrção que ret PT é tngente elipse pelo ponto T.

37 Equipmentos pr construções de elipses Conhecendo o eio mior, usndo rnte, pregos ou lfinetes do tipo percevejo Figur 5 - Construindo um elipse com rnte Procedimentos pr construir elipse: Psso 1: Conforme figur 5, fimos dois percevejos em um folh de ppel poid em um ppelão grosso. (O ppelão poderá ser um cp dur de um cderno que o luno não utiliz mis). Psso : Cortmos um rnte de preferênci grosso em tmnho que sej mior que distânci entre os dois pregos fidos, em seguid, mrre s ponts do rnte em cd prego. Psso 3: Mntendo o rnte esticdo, corr com um Lápis ou cnet, de modo fechr figur, que será Elipse e seremos que o tmnho que cortmos o rnte é igul. A construção cim é simples de fzer em sl de ul, pois, lém de construir figur temos tmém ssimilção pelo luno do fto que o lugr geométrico d elipse foi consttdo, pois os pregos fidos são os focos d elipse e som ds distncis entre um ponto qulquer d Elipse os focos foi mntid o esticrmos o rnte. (Este método é trdicionlmente chmdo de método do jrdineiro).

38 38 Conhecendo seus dois eios, utilizndo stão ou ppel Sejm o eio mior AB igul e o eio menor CD igul. Trcemos esses dois eios de form perpendiculr, com intercessão nos seus pontos médios o qul chmremos de ponto O, este ponto será o centro d elipse. Cortemos um tir de ppel de tmnho, desenhmos ns etremiddes os pontos O e P e um ponto X entre O e P de tl mneir que O P =, O X = e XP =. Oservndo figur 6, temos que o ponto O deverá correr pelo eio menor DC mneir que o ponto X corr no eio mior AB, então o ponto B descreverá um elipse. Figur 6 - Construindo um elipse com tir de ppel Justifictiv: Figur 7 - Justifictiv d construção de um elipse com tir de ppel Temos n figur 7, os eios d elipse nos eios do plno crtesino, coincidindo os centro de mos, e um ponto P d elipse como coordend P = (,).

39 39 Temos os triângulos O EP e PFX semelhntes por AA. Então temos que EP sen( α ) = = PO' PF cos( α ) = = PX Pel identidde trigonométric sen ( α ) + cos ( α ) = 1 então + = 1. A mesm construção cim feit com um simples tir de ppel, é tmém se pr o mecnismo d figur 8, que é um instrumento composto por um lvnc regulável, pres el estão dois pinos em posições pré-determinds que deslizrão sore trilhos ortogonis. Ao girrmos lvnc, su pont trnscreverá um elipse. Figur 8 - Elipsógrfo com trilhos ortogonis (Fonte: Utilizndo um instrumento n form de losngo primeiro mecnismo: O do instrumento d figur 9, trt-se de um losngo ABCD rticuldo. Este losngo está preso em seu vértice A por um roldd de rio r e em seus ldos AB e AD são presos dois pontos M e N respectivmente que ficrão fios de mesm distânci de A, ms que deslizrão por um ret t.

40 40 Figur 9 - Elipsógrfo primeir construção utilizndo losngo (Fonte: Funcionmento: Consideremos s figurs 9 e 30. Ao mover o ponto A do losngo sore um circunferênci de centro em K e rio r, o losngo mudrá de form, umentndo e diminuindo o ângulo D ÂB, isto se deve o fto que como os pontos N e M deslizrão horizontlmente sore um trilho t, sendo ssim, os vértices B, C e D não frão o mesmo movimento que o vértice A, em prticulr o vértice C irá então descrever um elipse. Justifictiv: Consideremos figur 30. Sej o losngo ABCD, com AB = AC = CD = DA = l e sejm os pontos M e N nos ldos AB e AD respectivmente, de tl mneir que AM = NA = m A ret t estrá sore o eio, o centro do círculo de rio r estrá sore o eio, os pontos M e N deslizrão sore o eio. Determinemos s coordends dos pontos A = (, ) e C =(, ). Trcemos os digonis DB e AC do losngo que se cruzrão no ponto P, e mrquemos o ponto Q que será intercessão entre digonl AC com o eio.

41 41 Figur 30 - Justifictiv do Elipsógrfo d primeir construção com losngo Temos que os triângulos AMQ e ABP são semelhntes por AA: MÂQ BÂP ângulo comum AQˆ M APˆ B mos ângulos de 90 Então temos m o AM AB l l = = = AP =. AQ AP AP m Otendo s coordends do ponto Q: CQ = CP + QP = AP AQ + CP, oservndo que AP = CP devido figur ser um losngo temos: l. AP AQ + AP = AP AQ = =. Segue que: m l. CQ = m l m = m (l m) = m Fzendo l m = constnte c que dependerá do comprimento escolhido m pr o losngo ABCD e d posição dos pontos fios M e N, temos então CQ = c.

42 4 Oservndo o ponto C, temos que terá mesm sciss dos pontos A e Q, sendo ssim = e su coordend é escolhid de mneir que - CQ = c, fremos CQ =, tem-se então que = c N circunferênci de centro em K e rio r, temos K = (0,h), o ponto A d circunferênci tem coordends (,), então ess circunferênci tem equção + ( h) r, sustituindo = e = temos: c = ( + ch) + h = r + =. c r c r 1 Utilizndo um instrumento n form de losngo segundo mecnismo O mecnismo d figur 31 trt-se de um losngo rticuldo onde um dos trilhos é digonl do losngo, os pontos fios são os dois focos sendo um fzendo prte do losngo e o outro que se ligrá o losngo por um trilho de comprimento fio. Funcionmento: Ao movermos o ponto E de form circulr, distânci entre os pontos E e C modificrá, e o ponto P de interseção dos trilhos AE e BD descreverá um elipse. Figur 31 - Elipsógrfo, segund construção utilizndo losngo (Fonte: Unión - Revist Ieromericn de Educción Mtemátic - Numero 35-Septiemre de 013, págin 116)

43 43 Figur 3 - Justifictiv de um Elipsógrfo, segund construção utilizndo losngo Justifictiv: Temos por construção n figur 3, que AE tem comprimento fio e BC = CD = DE = EB sendo o qudrilátero BCDE um losngo, então BD é meditriz de CE. Sej P um ponto de intercessão entre meditriz DB e AE, então PC = PE, logo AP + PE = AE AP + PC = A. (Oserv-se que o ponto E descreverá um circunferênci de rio AE, está circunferênci é chmd de círculo diretor, pois é centrd em um dos focos e seu rio é igul o eio focl) Elipses trvés de cortes em um cilindro Método pr fzer em sl de ul conforme figurs 33 e 34: Mteriis: Grrf pet vzi, pincel tômico e tesour. Procedimentos: Psso 1: Enchemos grrf pet com águ (líquidos não trnsprentes é mis indicdo); Psso : Inclinemos grrf e mrquemos com cnet curv d superfície do liquido;

44 44 Psso 3: Esvzimos grrf e recortmos com tesour curv desenhd. Temos que curv recortd é um elipse. Pr completr podemos pedir pr o luno colocr est curv sore um ppel e desenhá-l, ssim estrá desenhndo um elipse. Figur 33 - Elipse otid trvés de um grrf pet (Fonte: Oficin Que curvs são esss chmds cônics? Bienl de Mtemátic 017) Figur 34 - Desenhndo elipse otid com um grrf pet (Fonte: Oficin Que curvs são esss chmds cônics? Bienl de Mtemátic 017)

45 45 Demonstrção: Mostrremos que secção pln em um cilindro reto por um plno oliquo o eio é um elipse. Figur 35 - Pontos d elipse otid trvés de um cilindro Consideremos o cilindro reto de rio r d figur 35. Nele estão inscrits dus esfers de centro O1 e O seprds por um distânci d. Sej o plno secnte o cilindro, sendo que deverá ser tngente s dus esfers e centro O1 e O pelos pontos F1 e F respectivmente. Sej t ret pertencente o cilindro e tngente s esfers que intercept o plno no ponto P, sendo R e S os pontos de tngêncis d ret t com s esfers de centro O1 e O respectivmente. Sej r ret que contém os pontos F1 e F. Sej α um plno perpendiculr se do cilindro que contem ret r. Sejm os pontos M e N pontos do plno α de intercessão d esfer O1 com o cilindro e M1 e N1 pontos do plno α de intercessão d esfer O com o cilindro. Temos então: RS = RP + PS. Como R e F1 pertence esfer de centro O1 então PR = PF1 e PS = PF logo, PF1+ PF = MM1 = NN1. Como A1F1 e A1M são tngentes à esfer de centro O1 então A1F1 = A1M, Anlogmente temos: AF1 = AN, A1F = A1M1 e AF = AN1 Logo, MM1 = A1M + A1M1 = A1F1 + A1F = A1F1 + AF1 = A1A Temos então PF1+ PF = A1A.

46 4 Hipérole Hipérole é o lugr geométrico dos pontos de um plno, tis que, ddos dois pontos fios F 1 e F chmdos de focos, diferenç, em vlor soluto, ds distâncis de um ponto P d hipérole cd um dos focos é igul constnte, sendo menor que distânci entre F 1 e F, ou sej, d( F 1,F ) > : P hipérole d( P,F ) d( P,F ). 1 = Figur 36 - Hipérole Como podemos oservr n figur 36 que hipérole é um curv com dois rmos, se o ponto P pertence prte direit d curv então teremos d ( P1,F1 ) d( P1,F ) = e se P pertencer prte esquerd d curv teremos: d( P1,F1 ) d( P1,F ) =.

47 Elementos de um Hipérole Oserve os pontos d hipérole n figur 36. Temos os seguintes elementos: Focos: são os pontos F 1 e F ; Distânci focl: é o comprimento do segmento F F = c; 1 Centro: é o ponto C, que é o ponto médio entre os focos ou os vértices; Ret focl: ret que contém os focos, sendo os pontos A 1 e A intercessão dest ret com hipérole; Eio focl, rel ou trnsverso: é o segmento A A 1, de comprimento ; Ret não focl: é ret perpendiculr ret focl que pss pelo centro; Eio não focl: é o segmento B B, de comprimento, sendo 1 = c e B1 e B, simétricos em relção o eio focl; Vértices focis: são os pontos A 1 e A, que são s interseções d hipérole com ret focl; Vértices não focis: são os pontos B 1 e B ; Cord: segmento que une pontos d hipérole; Diâmetro: são cords que pssm pelo centro. 4. Equção reduzid d hipérole A equção reduzid d hipérole é otid utilizndo o plno crtesino ( ver figur 37), em que F = ( c, 0) e F = (,0) são os focos d hipérole, o eio focl 1 c é igul, ou sej, distânci entre os pontos etremos do eio focl é igul. Sej P= (, ) um ponto que pertence hipérole então: d( P,F ) d( P,F ) (4-1) 1 =

48 48 Figur 37 - Equção cnônic d hipérole Temos 1 ) ( ), ( ) ( ), ( c F P d e c F P d + = + + = então pel equção (4-1): ) ( ) ( c c ± = isolndo um rdicl c ) ( c ) ( + = ± + + ( ) ( ) c ) ( c ) ( + ± = c ) ( c ) (.. c ) ( ± = + + ( ) ( ) c c ) (. = + ± simplificndo os termos ) ( ) ( c c = + Dividindo mos os ldos por ) ( c 1 = + ) c (, oservndo que por Pitágors temos, c + = logo. c + = ou sej - c =, então 1 = (4-) Demostrmos que se o ponto ), ( P = stisfz equção c ) ( c ) ( ± = então P tmém stisfz equção

49 49 = 1, fzendo s devids sustituições e s operções de mneir nálog o d elipse temos que recíproc é verddeir. 4.3 Simetris em um Hipérole A Hipérole é simétric em relção à ret focl, ret não focl e o seu centro. Mostrremos que se P = ( 0, 0) stisfz equção = 1, pontos P1 = ( 0, 0 ), P = ( 0, 0) e P3 = ( 0, 0) tmém stisfzem. então os Como P stisfz equção = então: = 1. ) Sustituindo o ponto P = 0, ) por = (, ), ( 0 teremos ( ) = = 1 1 P Concluímos que hipérole é simétric em relção o eio não focl.. ) Sustituindo o ponto P = ( 0, 0) por P (, 1 = 0 0 ), teremos 0 ( ) 0 = = 1. Concluímos que hipérole é simétric em relção o eio focl. c) Sustituindo o ponto P = 0, ) por = (, ),. ( 0 teremos ( ) ( ) = = 1 1 P Concluímos que hipérole é simétric em relção o centro..

50 Assíntots Assíntots são dus rets tis que, distânci entre cd um dels e um ponto móvel d hipérole vi ficndo cd vez menor medid em que o ponto d se fst em direção o infinito. Em um equção cnônic d hipérole = 1, s ssíntots serão s rets = e =. Procedimento pr trçr ssíntots: Primeiro devemos encontrr os vértices imginários. Sej um hipérole de focos F1 e F, e vértices focis A1 e A, temos eio focl igul. Os vértices B1 e B do eio imginário podem ser otidos com o seguinte procedimento: Psso 1: Trcemos pelo centro um ret perpendiculr t o eio focl; Psso : Trcemos um circunferênci com centro em um dos vértices focis e rio igul o comprimento do centro um dos focos F1 ou F. Chmemos de B1 e B interseção dest circunferênci com ret t. Estes pontos serão os vértices do eio imginário. Tomemos o comprimento do eio imginário como. Otemos s ssíntots trçndo s digonis de um retângulo de comprimento e, com centro no centro d hipérole, com seus ldo de comprimento prlelos o eio focl, como n figur 38. Est interpretção geométric configur-se um ótim ferrment pr trçrmos um hipérole, ou sej primeiro trçmos s ssíntots depois os rmos d hipérole.

51 51 Figur 38 - Assíntots de um hipérole Justifictiv: Sej hipérole de equção = 1 e ret = m, um condição que ret intercepte hipérole é que eiste o menos um ponto P( o, 0 ) em comum Sej P( o, 0 ) um ponto de interseção entre hipérole e ret, então: 0 0 = 1 e 0 = m0. Relcionndo s dus equções temos: m = 1. Resolvendo equção: ( m ) = = ± = ±. m 0 m m Pr que rt intercepte hipérole, 0 deve ser um número rel, então: > 0. Pr e números positivos, tem-se < m <.

52 5 Sendo ssim inclinção d ret = m est contid no intervlo,. D equção 0 ±, temos que qundo m tende, o ponto de m 0 tende mis o menos infinito, isto signific que medid que um ponto percorre hipérole indo o infinito distânci entre hipérole e s rets e = tende zero. Temos que s rets origem de se e comprimento. = = e = são digonis do retângulo centrdo n 4.5 Restelecendo o centro, eios, focos e s rets focl e não focl de um hipérole Dd um hipérole desenhd, iremos oter o seu centro, eios e focos. Restelecendo o centro de um hipérole dd Dd um elipse desenhd, iremos encontrr seu centro. Procedimentos: Psso 1: Trçm-se dus cords prlels 1 e quisquer e mrquemos seus pontos médios M e N respectivmente; Psso : Trcemos um ret r que pssrá os pontos médios M e N; Psso 3: Trcemos dus outrs cords 3 e 4 prlels entre si, ms não prlels AB ou CD, mrquemos seus pontos médios P e Q respectivmente; Psso 4: Por fim trcemos um ret s que pssrá pelos pontos médios P e Q;

53 53 Psso 5: Chmemos de O o ponto de interseção entre s rets r e s, este ponto será centro d hipérole (ver figur 39). Figur 39 - Restelecendo o centro de um elipse Demonstrção: Sej equção d hipérole: = 1. (4.) Sej cord 1 dest hipérole e equção: = m + k. (4.3) Um fmíli de rets prlels est cord 1, tem o coeficiente ngulr m será o mesmo pr tods ests rets. De form nálog trtd no cso d elipse e utilizndo relção entre s equções (4.) e (4.3), temos o ponto médio é mk 0 =. m E equção d ret que pss pelos pontos médios de dus cords prlels é : = que é equção de um ret que pss pelo centro do eio crtesino, m logo pelo centro d hipérole cuj equção é (4.).

54 54 Encontrndo s rets focl e não focl de um hipérole dd Prtindo d construção cim, já identificmos posição do centro d hipérole. Sej o ponto O o centro d hipérole. Trç-se um circunferênci C1 que interceptrá elipse em 4 pontos distintos A, B, C e D. Trcemos s rets AC e BD, temos que meditrizes ds cords AB e AD serão s rets focl e não focl d hipérole (ver figur 40). Figur 40 - Trçndo s rets focl e não focl de um hipérole Justifictiv: A justifictiv seguirá de mneir nálog d elipse: Sej = 1 equção reduzid d hipérole e com 0 < c < equção de um circunferênci de mesmo centro. = + c, Ao resolvermos o sistem formdo pels equções: + = 1, é fácil ver que se um ponto ( 0, 0 ) é solução do sistem, temos que os e pontos ( 0 0, ), (, 0 0 ) e (, ) 0 0 tmém são. = c

55 55 Di vemos d figur 40 que se A tem coordends, ), então os ( 0 0 outros pontos de interseção entre s dus curvs terão s coordends: B =, ), ( 0 0 C = (, 0 0 ) e D = (, ) 0 0. Temos pel simetri em relção o eio d hipérole que s meditrizes ds cords AB e AD serão s rets focl e não focl d hipérole. O eio focl será o segmento pertencente ret focl compreendido entre os vértices focis. Encontrndo os focos de um hipérole dd. Já temos s rets focl e não focl e os vértices A1 e A. Tom-se qulquer ponto P d hipérole. Procedimentos: Psso 1: Trcemos um perpendiculr r o eio que contenh o ponto P, chmemos de C o ponto que será o pé dest perpendiculr; Psso : Pelo centro O trçmos circunferênci C1 de rio OC; Psso 3: Trcemos pelo vértice A um perpendiculr o eio n qul chmremos de s e mrquemos o ponto D que será interseção dest perpendiculr com C1; E; Psso 4: Trcemos semirret ; Psso 5: Por P trcemos um prlel que interceptrá no ponto Psso 6: Trcemos perpendiculr o eio que psse pelo ponto E, e chmemos o pé dest perpendiculr de G; Psso 7: Construímos circunferênci C com centro em O e rio OG, interseção dest circunferênci com o eio imginário serão os pontos B1 e B vértices d hipérole; Psso 8: Construímos circunferênci C3 com centro em O e rio B1A. As interseções dest circunferênci com o eio serão os focos F1 e F (ver figur 41).

56 56 Figur 41 - Restelecendo os focos de um hipérole Justifictiv. Utilizndo um sistem de coordends crtesino tl que o centro d hipérole é o ponto O = (0,0), e os vértice são os pontos (, 0 ) e (, 0 ). Sejm P = (, ) um ponto d hipérole e A = (,0) e A = (, 0 ) os vértices. N figur 4 denotremos o ponto A por A. 1 Figur 4 - Justifictiv do método utilizdo pr encontrr os focos Oservndo o triângulo OGE, temos que o cteto EG tem comprimento Pel semelhnç entre os triângulos OAD e OGE temos:

57 57 DA EG = OA OG = (elevndo o qudrdo mos os ldos) = =, temos então que: = dividindo mos os ldos por, teremos = 1. Tomndo c + =, teremos que os pontos F ( c, 0 ) = será um dos focos d hipérole. Anlogmente oteremos o outro foco. 4.6 Construções de Hipéroles por meio de seus pontos D mesm form que ocorre com Elipse pode-se oter pontos d hipérole com régu e compsso, e construir um o proimção d hipérole ligndo esses pontos. Trçndo hipérole conhecendo sus ssíntots e um ponto d curv Sejm s ssíntots r e s, que se interceptm no ponto O que é o centro d hipérole e um ponto P d hipérole, conforme figur 43. Procedimentos: Psso 1: Pelo ponto P conhecido d hipérole, trçmos um ret t que interceptrá ssíntot r em A e ssíntot s em B; Psso : Pr loclizrmos um segundo o ponto d hipérole. Trcemos por B um circunferênci de centro em B e rio PA, que cortrá ssíntot s em dois pontos, o ponto Q d hipérole será um desses dois pontos, pel construção temos que PA = QB, sendo Q escolhido de form que hipérole fique compreendid entre s dus ssíntots; Psso 3: Continumos construção trçndo outrs rets contenhm o ponto P, ou o ponto Q, e de form nálog loclizremos outros pontos.

58 58 Figur 43 - Encontrndo pontos d hipérole dds sus ssíntots Justifictiv Sej ret r de equção = m + k que cort s dus ssíntots nos pontos A e B, e hipérole nos pontos P e Q, temos: A coordend d interseção entre ret = m + k e ssíntot = k é 1 =. m A coordend d intercessão entre ret = m + k e ssíntot k = é =. + m mk Então o ponto médio entre os pontos 1 e é o ponto 0 =, e con- m + forme item (4.5), onde restelecendo o centro de um hipérole dd, est coordend coincide com coordend do ponto médio d cord d hipérole que pertence ret = m + k e pss pelo ponto P, como por construção AP = BQ, temos que Q pertence hipérole. Trçndo um hipérole conhecendo seus eios e seus focos Sejm ret focl que chmremos de r, os vértices A1 e A e os focos F1 e F de um hipérole.

59 59 Procedimentos: Psso 1: Mrquemos um ponto K qulquer em r, estndo esquerd de F1 ou direit de F, de preferênci pr começrmos escolheremos este ponto próimo à F1; Psso : Com centro no foco F1 trcemos um circunferênci C1 de rio KA1 e com centro no foco F trcemos um circunferênci C de rio KA, os pontos de interseções P1 e P dests circunferêncis serão pontos do rmo esquerdo d hipérole; Psso 3: Com centro no foco F1 trcemos um circunferênci C3 de rio KA e com centro no foco F trcemos um circunferênci C4 de rio KA1, os pontos de interseções P3 e P4 dests circunferêncis serão pontos do rmo direito d hipérole; Anlogmente o escolhermos outros pontos mis esquerd de F1 do eio determinmos outros pontos, qunto mior o número de pontos pertencente à hipérole otivermos, mis perfeit será noss construção (ver figur 44). Figur 44 - Trçndo um hipérole ddos seus eios e focos Justifictiv: Temos que: F1P1 mede KA1, pois é rio do círculo C1 de centro em F1. FP1 mede KA, pois é rio do círculo C4 de centro em F. Como o comprimento A1A = KA KA1, temos que o ponto P pertence hipérole cujo focos é F1 e F e eio focl.

60 60 Trçndo um hipérole sendo ddos os dois eios Conhecendo os eios podemos chr os focos usndo o Teorem de Pitágors e plicr construção nterior pr oter os pontos d hipérole. Segue io n figur 45 um construção que não depende que conheçmos os focos. Sej de comprimento o eio focl e de comprimento o eio imginário de um hipérole. Procedimentos: Psso 1: Trcemos ret focl; Psso : Com o centro em O e rio OB1 trcemos um circunferênci C1 que cortr o eio rel nos pontos X1 e X, firemos noss construção no ldo do ponto X; Psso 3: Escolhemos n ret do eio focl direit do vértice A, um ponto C e por este ponto trçremos um ret perpendiculr o eio rel, chmemos de r est ret; Psso 4: Construiremos um circunferênci C de rio OC e centro em O; Psso 5: Trcemos perpendiculr o eio focl pelo vértice A qul chmremos de s, mrcndo o ponto E que será interseção deste ponto com circunferênci C; Psso 6: Ligmos por um semirret os pontos OE, chmemos de u est semirret; Psso 7: Trcemos perpendiculr o eio focl pelo ponto X qul chmremos de t, mrcndo o ponto F que será intercessão deste ponto com semirret s, e por este ponto F trcemos um ret prlel o eio focl que interceptrá ret r no ponto P. Este ponto P é um ponto d hipérole desejd; Psso 8: Repetiremos este processo mrcndo outros pontos sore ret focl e nlogmente encontrremos outros pontos pertencente à hipérole (ver figur 45).

61 61 Figur 45 - Trçndo um hipérole sendo ddos os dois eios Justifictiv: Oservmos que por Pitágors temos que: o segmento OF = + e o segmento AE =, então: Oservndo o triângulo OAE, temos sen = α ; Oservndo o triângulo OXF, temos. cos + = α Então: 1 = = = + = = cos sen cos sen α α α α = / + / / / = + / / / = dividindo mos os ldos por 1. =

62 6 Trçndo hipérole conhecendo seus focos e o comprimento do eio focl Sejm os pontos F1 e F que serão os focos, A1 e A que serão os vértices d Hipérole H, temos que distânci focl d( F1, F ) = c e eio focl d( A1, A ) =. Oservemos que c >. Procedimentos: Psso 1: Trcemos um circunferênci de centro F1 e rio ; Psso : Mrquemos um ponto A qulquer d circunferênci; Psso 3: Trcemos ret que pss pelos pontos A e F1 qul chmremos de r e trcemos o segmento AF. Sej m meditriz do segmento AF, o ponto P de intercessão entre meditriz m e ret r será um ponto pertencente hipérole de focos F1 e F e vértices A1 e A. Vej figur 46. Figur 46 - Hipérole ddos seus focos e o comprimento do eio focl Justifictiv: Como o ponto P pertence meditriz do segmento AF, então d A, P) = d ( P, F ), temos tmém que d( F,P ) d( A,P ) e, ( = 1 1 P d( F 1, P) = ( rio) + d( A, P), logo = d( F, P) d( F, ), mostrndo ssim que P pertence hipérole de focos F1 e F e eio.

63 63 Oservemos semelhnç dest construção com construção d elipse no item (3.5-Trçdo de um elipse por meios de pontos conhecendo seus focos e o comprimento do eio focl), em resumo temos um ponto do espço F1 e trçmos com centro em F1 um circunferênci C1 de rio, escolhemos um segundo ponto F do espço que pode estr no interior ou eterior de C1. Escolhemos um ponto A de C1 e concluímos construção. Se o ponto F for colocdo no interior de C1 figur construíd será um elipse, e se o ponto F for colocdo no eterior de C1 figur construíd será um hipérole. 4.7 Trçdo de tngentes à hipérole Trçndo tngente e norml por um ponto ddo em um hipérole Sej hipérole de eio focl AB de comprimento e focos F1 e F; Sej P, um ponto d hipérole, que desejmos que psse ret tngente t e ret norml n. Procedimentos: Psso 1: Trcemos s semirrets F1P e FP; Psso : Mrquemos um ponto Q no segmento F1P, de tl mneir que QP = FP; Psso 3: Trcemos meditriz m do triângulo QPF. Est meditriz será ret tngente hipérole pelo ponto P. Vej construção n figur 47.

64 64 Figur 47 - Trçndo tngente e norml por um ponto ddo em um hipérole Justifictiv: Pr que ret t (meditriz de QF) sej tngente hipérole no ponto P teremos que mostrr que P é o único ponto de intercessão t e hipérole. Oservemos que F1Q=, pois d( F, Q) + d( Q, P)) d( F, P), ( 1 = como por construção d ( Q, P ) = d ( F, P ), temos: ( d( F1, Q) + d( Q, P)) d( Q, P) =, logo ( d( F1, Q) = Suponhmos que eist um ponto P pertencente tmém t e hipérole, então d P', Q) = d( P', F ) e d( F1, P') d( F, P') = e por hipótese ( 1 P = d( F, P) d( F, ), logo d( F 1, P') d( P', Q) =, surdo, pois pel desiguldde tringulr d P', Q) + d( Q, F ) > d( F, '), como d ( Q, F1 ) = temos ( 1 1 P > d( F1, P') d( P', Q), logo ret t é tngente à hipérole. Notemos que como o tringulo PQF por construção é isósceles, então meditriz m coincide com issetriz do triângulo QPF.

65 Trçndo dus tngentes um hipérole por um ponto P ddo for d curv Sej hipérole de focos F1 e F, eio focl AB de comprimento, e um ponto P qulquer que não pertence hipérole. Procedimentos: Psso 1: Trcemos circunferênci C1 de centro em F1 e rio igul o eio focl AB. Psso : Trcemos circunferênci C de centro em P e rio PF. Psso 3: Mrquemos os pontos G e H de intercessão entre os dois círculos Psso 4: Ligmos os segmentos GF e HF, Psso 5: As meditrizes dos segmentos GF e HF se interceptrão no ponto P e serão s dus tngentes procurds (ver figur 48). Figur 48 - Trçndo dus rets tngente à hipérole Justifictiv: Como P é centro do circunferênci C, logo qulquer meditriz de cords dest circunferênci pssrá necessrimente por P, logo s meditrizes ds cords GF e HF, contém o ponto P.

66 66 Mostremos gor que meditriz do segmento GF qul chmremos de m é tngente à hipérole. Sej T1, ponto de intercessão entre semirret F1G e meditriz m, logo. d ( T1, G) = d( T1, F ). Temos por construção que d G, F ) =, então como: ( 1 d F, T ) = d( F, G) + d( G, ) implic d F, T ) d( G, T ) = d( F, ) ( T1 ( G d F, T ) d( F, T ), temos então que T1 pertence hipérole e meditriz ( = de GF, temos que pelo item (4.7.1), este ponto T1 é único ponto d meditriz m que intercept hipérole, logo el é tngente trçd pelo ponto P. Mostremos que meditriz do segmento HF qul chmremos de n é tngente à hipérole. Sej T, ponto de intercessão semirret HF1 e meditriz n, temos por construção que d( F 1, H ) = e d H, T ) = d( F, H ) + d( F, ) como T pertence ( 1 1 T meditriz n tem-se d F, T ) = d( H, ), então: ( T d F, T ) = d( F, T ) + d ( F, ), logo d F, T ) d( F, T ), então T ( 1 1 H ( 1 = pertence hipérole, e pelo item (4.6.1) este ponto T é único ponto d meditriz n que intercept hipérole, logo meditriz n é tngente trçd pelo ponto P. 4.8 Equipmentos pr construções de hipéroles Construir um hipérole utilizndo rnte, Régu e pregos ou lfinetes do tipo percevejo Definimos o lugr onde serão os focos A e B d hipérole Fremos um furo em um ds etremiddes d régu e n outr colremos um rnte, tnto o furo qunto fição do rnte devem estr próimo s quins d régu, conforme figur 49. Se o comprimento do rnte for cm, e o comprimento do eio mior d hipérole ser construíd for cm, então cortremos o rnte de mneir que o comprimento d régu sej igul mis o comprimento do rnte.

67 67 Figur 49 - Construção de um hipérole usndo régu e rnte Pr desenhr o rmo direito d hipérole, prenderemos régu no foco esquerdo d hipérole, de mneir que régu poss ficr girndo em torno deste ponto, mrrremos pont solt do rnte no foco direito d hipérole. Percorremos com um lápis o rnte esticdo n direção d régu,, deindo-o encostdo n mesm, conforme figur 50. Veremos que curv construíd será um hipérole.. Figur 50 - Construção de um hipérole usndo régu e rnte É importnte lemrr que distânci entre os focos = c deve ser mior que o eio focl = (distânci entre os vértices). Justifictiv: Sejm: m = Comprimento d régu; = Comprimento do eio focl; = Comprimento do rnte, temos m = +. (4.3)

68 68 Figur 51 - Brnte deslizndo n régu Oservndo figur 51. Sej P um ponto otido em um instnte qulquer d construção, temos: d( P,C ) = m d( P, A) (4.4) = d( P,B ) + d( P,C ) d( P,C ) = d( P,B ) (4.5) De (4.4) e (4.5) temos: m d( P,A) = d( P,B ) d( P,A) d( P,B ) = m, logo por (4.3) temos que d( P,A) d( P,B ) =. Construir um hipérole utilizndo um instrumento n form de losngo O instrumento d figur 5, trt-se de um losngo ABCD rticuldo, que possui em seu interior, dus hstes AQ e CQ de mesms medid. Os vértices A e C do losngo deslizrm sore um trilho r, e o vértice Q (interseção entre s hstes AQ e CQ) deslizrá sore um trilho s que está inclindo em relção o trilho r. Figur 5 - Hipérole utilizndo um instrumento n form de losngo (Fonte:

69 69 Funcionmento: Oservemos figur 53. Ao percorrer o ponto Q sore o trilho s, os pontos A e C deslizrão sore o trilho r, fzendo que os outros dois vértices do losngo B e D movimentem-se trçndo um hipérole. Figur 53 - Justifictiv do instrumento que possui form de um losngo Justifictiv: Fremos noss justifictiv oservndo o rmo direito d hipérole que será trçd pelo ponto B. N demonstrção do funcionmento do mecnismo, utilizremos coordends do plno crtesino e mostrremos que os pontos que o ponto B percorre pertencem equção de um hipérole. Findo ret r sore o eio crtesino, e o ponto de intercessão d ret r com ret inclind s n origem do plno, dest form ret s terá um equção = k, temos s coordendos dos pontos: B = (, ) e Q = (m, ) Como distâncis fis teremos os ldos do losngo ABCD, AB = BC = CD = DA = e por construção segmentos AQ = QC =, Vrindo temos o segmento MQ = m e MB = Do triângulo AMQ temos: AQ = AM + MQ AM = AQ MQ Do triângulo AMB temos: AB = AM + MB AM = AB MB Logo: AQ MQ = AB MB m = m = +

70 70 Como o ponto Q= (m, ) pertence ret s de equção = k, então neste ponto Q tem-se: = k m = k ( + ) = k + k k = k k ( ) k = k ( ) Dividindo mos os ldo por k ( ) teremos: = 1, ( ) k ( ) que trt-se de equção de um hipérole. Oserv-se ind, um ds ssíntots dess hipérole é ret = k que é ret s, pois qundo o ponto Q está n coordend (0,0) teremos que o eio imginário tem o vlor de, logo o eio focl será c =, então no cso ds hipéroles que possui seu centro n origem do plno crtesino e eio focl prlelo o eio ds cisss temos que fzendo s sustituições teremos que = é equção de um ds ssíntots, então kc = = k. c Construir um hipérole prtir de seus focos, utilizndo um instrumento rticuldo. O mecnismo d figur 54, trt-se de um instrumento que será fido em dois pontos que serão os focos d hipérole. A hste PF1, irá girr sore o foco F1; A hste PF, irá girr sore o foco F; A hste AB tem comprimento fio, sus etremiddes A e B estão press de mneir que possm girr ns hstes PF1 e PF respectivmente. As hstes PF1 e PF tmém estão ligds por um ponto P de interseção entre els, de mneir que o ponto P poss deslizr sore o trilho dests dus hstes. Ams estão ligds pels hste AB de comprimento fio e pelo ponto P que deslizrá sore intercessão dests dus hstes (PF1 e PF).

71 71 Figur 54 - Instrumento preso os focos d hipérole (Fonte: Funcionmento Qundo movimentmos o ponto A de form circulr, ele descreverá um rco circunferênci de rio AF1, origndo o ponto B fzer um movimentr de mneir descrever um rco de circunferênci de rio BF. Com estes movimentos o ponto P de intercessão entre s hstes PF1 e PF deslizrá sore ests hstes, descrevendo um prte d hipérole. Vejm s figurs 54 e 55. Figur 55 - Justifictiv d construção que utiliz Instrumento preso os focos d hipérole

72 7 Justifictiv: Por construção temos que FB = F1A = rios ds circunferêncis C1 = C que são circunferêncis equivlentes, e que o comprimento AB é igul o comprimento F1F, circunferênci C3 terá rio = F1F, (ver figur 55). Oservemos congruênci entre os triângulos BF F1 F1 BA por LLL então 1 Bˆ F = BFˆ A,logo os ângulos eternos BF ˆ 1 P e F1 B ˆA são iguis, portnto os F 1 triângulos APF e F 1 PB são é isósceles. Destes triângulos temos que PF = PB PF = PA e um constnte. 1, PF = PB + BF, então PF = PF1 + BF PF1 PF = BF que é hipérole. Como já menciondo o instrumento deve ser remontdo pr trçr tod

73 5 Práol Sej d um ret dd e F um ponto for del. A Práol de foco F e diretriz d é o lugr geométrico dos pontos do plno que são equidistntes do ponto fio F e d ret diretriz d, ou sej, se o ponto P pertence à práol, temos d ( P,F ) = d( P,r ). 5.1 Elementos d práol N figur 56, temos os elementos que compõe práol: Foco: é o ponto F; Diretriz: é ret r; Eio focl: é ret que pss pelo foco e é perpendiculr diretriz; Vértice: é o ponto V de intercessão entre práol e o eio focl; Prâmetro d práol: é o vlor p que é distânci entre o foco e diretriz. Figur 56 - Práol

74 74 5. Equção reduzid d práol Pr mostrrmos equção reduzid d práol utilizremos o plno crtesino, colocmos o vértice V n origem, ou sej V = ( 0, 0 ) e chmremos o prâmetro de p, ou sej,, d( F,r ) = p, teremos tmém: F = ( 0, p ) como foco d práol, r como ret diretriz de equção = p e P = (, ) um ponto qulquer d práol. P práol d( P,F ) = d( P,r ) (5.1) Temos: d ( P,F ) = ( 0 ) + ( p ) e d( P,r ) = + p, então como por definição d ( P,F ) = d( P,r ). teremos + ( p) = + p, elevndo o qudrdo ( + ( p ) ) = ( + p ) + p + p = + p + p = 4p =. 4 p Pr mostrrmos que equção = é um práol. 4p Temos: = = 4 p. 4 p Como ( + p) ( p) = 4p tem-se que ( p) ( p) = +, logo + ( p) = ( + p) ( 0 ) + ( p) = ( + p ) Que é equivlente ( P,F ) d ( P,r) d =. 5.3 Simetri n práol A Práol é simétric em relção à ret focl. Demonstrção: Mostrremos que se P = ( 0, 0 ) stisfz equção, =. 4 p

75 75 Então os pontos P =, ), tmém stisfzem. Como P stisfz equção 1 ( = então: 0 =. 4p 4 p Sustituindo o ponto P = 0, ) por P =, ) teremos ( ) 0 0 = = 4 p ( p 1 ( 0 0 Concluímos que práol é simétric em relção o eio focl. 5.4 Restelecendo o foco, eio focl e diretriz de um práol Determinndo o eio focl e o vértice de um práol dd Procedimentos: Psso 1: Trçm-se dus cords AB e CD quisquer, sendo prlels entre si, mrcndo seus pontos médios M e N respectivmente; Psso : Trcemos ret r que pss pelos pontos M e N; Psso 3: Trcemos um ret s perpendiculr r de tl mneir que corte práol em pontos G e H; Psso 4: Sej O ponto médio do segmento GH; Psso 5: Pelo ponto O trcemos um ret t prlel ret r, est ret será o eio d práol; Psso 6: O ponto de intercessão d ret t com práol será o vértice V d práol. Vej figur 57 Figur 57 - Encontrndo ret focl d práol

76 76 Justifictiv: Sej um práol de vértice n origem do plno crtesino de equção =, sej um ret secnte de equção = m + k.temos que intercessão 4 p d práol e ret dd será: = = m + k 4mp 4mk = 0 que tem 4 p como rízes: 4 mp ± 16m p 4( 4mpk ) que simplificndo temos: mp ± m p + mpk, encontrndo sciss do ponto médio destes dois mp + m p + mpk + mp m p + mpk pontos: = mp. Logo pr qulquer ret prlel ret = m + k os pontos médios ds intercessões ds rets com práol pssrão pel ret = mp. Como diretriz tem equção = p, segue que ret = mp é perpendiculr diretriz, logo prlel o eio focl. prlel Pel simetri d práol em relção ret focl, temos que, o trçrmos = mp, pelo ponto O, estmos trnçndo ret focl d práol. Determinndo o foco e diretriz de um práol dd Dd um práol desenhd, vmos oter seu foco e su diretriz. foco. Conhecendo o eio d práol pelo item nterior, determinremos o seu Procedimentos: Psso 1: Mrquemos um ponto A no interior d práol pertencente o seu eio, e por este ponto trcemos um ret r perpendiculr este eio que cortrá curv nos pontos P e Q; Psso : Trcemos por V um circunferênci de rio VA e mrquemos no eio d práol o ponto B eterior práol tl que VA = VB; Psso 3: Escolhemos entre os pontos P e Q um ponto, por eemplo o P, e por este ponto trcemos um ret s que interceptrá o eio d práol no ponto B;

77 77 Psso 4: Trcemos meditriz de PB que interceptrá o eio no ponto F, temos que este ponto F será o foco d práol. (ver figur 58) Figur 58 - Encontrndo o foco e diretriz de um práol Justifictiv: 1) A distânci entre os pontos PF e QF, são iguis pel simetri d práol em relção o seu eio. ) Mostrremos que o qudrilátero FPCB é um losngo: Sejm, o ponto C, pé d perpendiculr trçd d diretriz que contém o ponto P, O, ponto de interseção d diretriz com o eio d práol. Temos: ) FP = PC (definição de práol) ) A ret que pss por PC é prlel o eio d práol, pois ms são perpendiculres à diretriz, logo por ângulos lternos internos temos F Bˆ P = CPˆ B. c) Temos FB = BC, como pelo item 5.6.1, tngente pelo ponto P coincide com meditriz do segmento FC, então qulquer ponto d meditriz equidist dos pontos F e C.

78 78 d) Os triângulos FPB e CPB são congruentes por LLL, e ds igulddes de ângulos FBC ˆ = CPˆ B, temos que FPCB é um losngo. Temos FP = BC pelo item d, AP = OC por construção, os triângulos APF e OCB são retângulos em A e O, respectivmente. Então os triângulos APF e OCB são congruentes por LAL, logo AF = OB. Pelos eposto temos iguldde entre o comprimento dos segmentos: AV = VB. Então qundo trçmos meditriz dos pontos PB estmos trçndo digonl do losngo FPCB. Pr encontrr diretriz utilizremos definição de práol que inform que distânci do foco o vértice é igul distânci do vértice à diretriz. 5.5 Construções de Práols por meio de seus pontos Trçndo um práol conhecendo seu foco e su ret diretriz Sej d ret diretriz e F o foco d práol, conforme figur 59. Procedimentos: Psso 1: Trcemos o eio d práol, que um perpendiculr ret diretriz pssndo por F, sej A o pé deste perpendiculr, temos o ponto médio entre A e F é o ponto V que será o vértice d práol; Psso : Trcemos um circunferênci C1 de centro F e rio r, sendo r mior que VF; Psso 3: Trcemos um circunferênci C de centro A e rio r e mrquemos o ponto D de intercessão de C com o eio d práol; Psso 4: Por D trcemos um ret prlel d diretriz d. Os pontos de intercessão D1 e D dest ret com circunferênci C1, serão os pontos d práol.

79 79 Justifictiv: Mostremos que os pontos D1 e D pertencem práol de Foco F e diretriz d. Por construção temos que r é rio ds circunferêncis C1 e C, logo r = d( D, A) = d ( D1, d ) = d( F, D1 ), temos por definição que D1 pertence práol de foco F e diretriz D, por nlogi teremos que D1 tmém pertence mesm práol. Repetiremos o processo escolhendo outrs medids pr o rio r. Figur 59 - Encontrndo os pontos d práol, conhecendo seu foco e ret diretriz. eio. Ddo um ponto F que será o Foco e um ret d que será diretriz d práol. Temos io n figur 60, um segundo método, sendo que sem desenhr o Procedimentos: Psso 1: Mrquemos um ponto A qulquer d ret d. Trcemos o segmento FA ligndo o foco F o ponto A; Psso : Trcemos meditriz do segmento FA e por A trcemos um ret r perpendiculr diretriz d; Psso 3: O ponto P de intercessão entre ret r e meditriz do segmento FA será um ponto d práol; Psso 4: Repetimos mesm construção pr outros pontos A1, A... d diretriz d oteremos mis pontos d práol.

80 80 Figur 60 - Encontrndo os pontos d práol, conhecendo seu foco e ret diretriz, segund construção Justifictiv: Qulquer ponto d meditriz do segmento FA é equidistnte dos pontos F e A, então se P é um ponto d meditriz temos que d ( P, A) = d( P, F), como A é o pé d perpendiculr entre ret r e diretriz d, temos que d ( P, A) = d( P, d), logo d ( P, F) = d( P, d), mostrndo ssim que o ponto P pertence práol. 5.6 Tngentes à Práol Trçndo por um ponto P d práol su tngente Sej o ponto F, foco d práol, e d ret diretriz d práol. Tomemos um ponto P d práol qul desejmos trçr tngente. Procedimentos: Psso 1: Trcemos por P circunferênci PF que cortrá diretriz no ponto A, temos que PF = PA, não eiste outro ponto de intercessão d circunferênci

81 81 trçd e ret diretriz e o segmento PA é perpendiculr ret diretriz, pois por hipótese P pertence práol. Psso : Trcemos meditriz do segmento FA, temos que est meditriz será tngente práol no ponto P. Vej figur 61. Figur 61 - Trçndo por um ponto P d práol su tngente Justifictiv: Pr que ret m (meditriz de FPA) sej tngente hipérole no ponto P teremos que mostrr que P é o único ponto de intercessão entre m e práol. Oservemos que como P pertence práol, temos FP = PA, sendo PA distânci entre o ponto P e ret diretriz, logo o segmento PA é perpendiculr ret diretriz. Suponhmos que eist um ponto P pertencente tmém m e práol, então eiste um ponto B que será o pé d perpendiculr trçd d diretriz contendo o ponto P. O Fto de P pertencer meditriz de FPA nos dá que d ( P', F) = d( P', A), pois todo ponto d meditriz de FPA equidist dos pontos F e A. O Fto de P pertencer práol no dá que d ( P', F) = d( P', B), logo d ( P', A) = d( P', B), surdo, pois como PA perpendiculr diretriz d pelo ponto A, então não pode hver um outro segmento P A, tmém perpendiculr diretriz d pelo mesmo ponto A.

82 Trçndo dus rets tngentes práol por um ponto for d curv Sej d ret diretriz, o ponto F foco d Práol e o ponto P eterior práol. Procedimentos: Psso 1: Com centro em P constru um circunferênci de rio PF, e mrque os pontos A e B de interseção dest circunferênci com ret diretriz; Psso : Trcemos os segmentos FA e FB; Psso 3: Trcemos meditriz do segmento FA e FB, ests meditrizes pssrão pelo ponto P e serão tngentes à práol. Vej n figur 6. Figur 6 - Trçndo dus tngente à práol por um ponto eterior Justifictiv: Como os pontos A e B pertencem ret diretriz então como já mostrdo em (5.6.1), temos que s meditrizes de FB e FA são tngentes práol, como estes segmentos são cords d circunferênci de centro em P e rio PF temos que s meditrizes de FB e FA pssm pelo centro P d circunferênci.

83 Trçndo práols utilizndo instrumentos Trçndo um práol utilizndo régu e Brnte Pr est construção necessitremos de um rip ou régu pr servir de se, um esqudro, um lfinete, col quente e rnte. N figur 63 temos construção Procedimentos Psso 1: Sore um folh de crtolin pregmos um prego em um ponto F que será o foco d práol; Psso : Colocmos régu ou pip sore folh um distânci p do ponto F; Psso 3: Colocmos o esqudro sore rip de form que su hipotenus fique do ldo oposto o ponto F; Psso 4: Colmos n etremidde superior do esqudro pont de um rnte; Psso 5: Amrrmos o rnte no prego (ponto F) de tl mneir que o comprimento do rnte sej o mesmo comprimento do esqudro; Psso 6: Usndo pont do lápis pr mnter o rnte esticdo e deslizndo o esqudro sore régu, pont do lápis descreverá um práol. Vej construção n figur 63.

84 84 Figur 63 - Trçndo um práol utilizndo régu e rnte Justifictiv: Se P é posição d pont do lápis então: Por construção rip encontr-se um distânci p do foco, logo encontrse n diretriz d práol, chmemos est diretriz de ret d, temos tmém que o comprimento do rnte será o comprimento do esqudro que chmremos de f, logo será do ponto A à diretriz, então: d ( P, F) f d( P, A) = d( P, d) =. Prológrfo de Cvlieri O instrumento d figur 64 é conhecido como Prológrfo de Cvlieri. Prológrfos são instrumentos utilizdos pr construir práols. Funcionmento: A rr 1 de comprimento m est pres o trilho fzendo um ângulo de 90 0, est rr correrá sore o trilho 1. O vértice V do esqudro é interseção entre os trilhos 1 e. Este vértice permnecerá imóvel, ms o trilho deslizrá sore ele, com isso os dois ldos do esqudro se movimentrão, ms sempre mntendo intercessão com o ponto V e etremidde livre d rr 1. Dest form o ponto P irá trçr um práol.

85 85 Figur 64 - Prológrfo de Cvlieri Figur 65 - Construção do Prológrfo de Cvlieri Justifictiv: Colocndo o ponto V n origem do plno crtesino e o trilho no qul se deslizrá rr no eio, sendo P um ponto do plno e r ret que contém o segmento VP, conforme figur 65. Teremos s seguintes coordends:

86 86 Pontos P = (,), V = (0,0); Q = (0,); ( Pé d perpendiculr do ponto P o eio ); A ( + m,0) (Ponto de interseção entre ret perpendiculr ret r e o eio, sendo m o comprimento do A o ponto Q) Temos que o triângulo AVP sendo su ltur, logo pel propriedde do tringulo retângulo, temos que = m, fzendo p como prâmetro d práol m então temos que m = 4 p p =, Concluindo que o ponto P pertence práol 4 m m de diretriz = p = e Foco = F = 0 4 4, e eio focl coincidido com o eio. Construção utilizndo losngo rticuldo O instrumento d figur 66, trt-se de um construção com losngo rticuldo, onde o ponto fio é o foco d Práol, o trilho io deste ponto será diretriz, e neste trilho corre o ponto A, fzendo tmém correr um segundo trilho que est preso o ponto A e é perpendiculr o primeiro. Dois pontos do losngo são presos um terceiro trilho, de form que os pontos deslizem sore este trilho, ligndo este terceiro trilho o segundo encontr-se o ponto P, e nele colocremos um lápis, pois o mover o ponto A, o ponto P contornrá um práol cujo foco será o ponto fio F e diretriz será o primeiro trilho utilizdo. Figur 66 - Instrumento construído utilizndo losngo rticuldo (Fonte:

87 87 Figur 67 - Justificndo construção do Instrumento construído utilizndo losngo rticuldo Justifictiv: Chmemos o ponto fio F de foco e ret d de diretriz d práol e A ponto pertencente diretriz, Como por construção ABFC é losngo temos que ret BC é meditriz do segmento AF, conforme figur 67. Como mostrdo em (5.6.1), temos, meditriz entre o ponto A d ret diretriz e o foco F d práol, é tngente práol em um ponto P que encontr-se n interseção entre est meditriz e ret perpendiculr d diretriz trçd por A. A necessidde do Losngo ABFC é justificd pelo fto ds digonis de um losngo se cortrem no ponto médio e serem perpendiculres.

88 6 Compsso Perfeito O instrumento d figur 68, é conhecido como Compsso Perfeito. Ele é composto por um eio r, que terá como pontos etremos A e B, sendo A fido no plno d se, e um rr girtóri s que terá como pontos etremos D e E. O eio r e rr s estão ligds por um ponto C. Chmemos de α o ângulo entre r e o plno d se e de β o ângulo entre r e s. Temos tmém um ponto F n rr girtóri s, função deste ponto é tornr fio o ângulo β. Figur 68 - Compsso Perfeito (Fonte: Funcionmento: Qundo o eio r está inclindo em relção o plno d se e rr s gir em torno do ponto C, mntendo fio o ângulo β, os comprimentos de CD e CE se modificrm, medid que CD cresce CE diminui, e nlogmente medid que CD diminui CE cresce. Assim rr s estrá descrevendo um cone oliquo que será secciondo com o plno d se. Neste cone rr s será um gertriz. Ao modificrmos um dos ângulos α e β o cone se modificrá, logo su intercessão com o plno d se tmém se modificrá.

89 89 Esoçmos este instrumento utilizndo o GeoGer. Vejm s figurs 69, 70 e 71. Construímos circunferênci C1 em um plno perpendiculr o eio r. Est circunferênci foi colocd pr mntermos fio o ângulo entre o eio r e rr girtóri s (gertriz do cone). A rr será um ret s que pssrá por um ponto C do eio r e por um ponto F qulquer de C1. Ao girrmos o ponto F sore C1 o ângulo entre eio r e rr s qul já chmmos de β permnecerá sempre o mesmo e interseção entre ret s e o plno d se descreverá um cônic. Como justifictiv, consideremos s cônics como seções plns num superfície cônic. Consideremos tmém o comprimento do eio r e d rr s tão grnde qunto necessitrmos. Se o ângulo α 90 0 e α > β, curv de interseção entre rr s e o plno d se será um elipse. Vej figur 69. Figur 69 - Elipse Se o ângulo α 90 0 e α < β, curv de interseção entre rr s e o plno d se será um hipérole. Vej figur 70.

90 90 Figur 70 - Hipérole Se o ângulo α 90 0 e α = β, curv de interseção entre rr s e o plno d se será um práol. Vej figur 71. Figur 71 - Práol No cso do o ângulo α = 90 0, o compsso se comportrá como um compsso escolr norml e s curvs otids sempre serão circunferêncis.

91 7 Aplicções ds cônics Lei d Refleão. 1) O rio incidente, o rio refletido e norml pertencem o mesmo plno, chmdo de plno de incidênci. ) Em relção norml, o ângulo do rio de incidênci é igul o ângulo do rio refletido. (ver figur 7) Figur 7 - Refleão d luz Trlhndo no plno de incidênci, temos refleão em curvs plns. Definimos que Lei d Refleão equivle dizer que qundo os rios são refletidos em um ponto de um superfície, tudo se pss como se estivessem sendo refletidos em um plno tngente à superfície nesse ponto. 7.1 Propriedde refletor d elipse Se um rio luminoso por um dos focos de um elipse, el será refletid pr outro foco. Pr demonstrção cim mostrremos que: Em um elipse de focos F1 e F, os ângulos formdos entre ret tngente elipse em um ponto P e os segmentos que ligm os focos F1 e F são iguis (ver figur 73).

92 9 Figur 73 - Propriedde refletor d elipse Demonstrção: Sejm Circunferênci centrd em F1 e rio de comprimento igul o eio AB, e C um ponto dest circunferênci, tl que o rio F1C, contém o ponto P. Pelo item (3.6.1) temos que meditriz do tringulo PCF é tngente elipse no ponto P. Sej M o ponto de intercessão d meditriz com se CF do triângulo. Mrcmos um ponto D qulquer nest meditriz de mneir que o ponto P fique entre os pontos D e M. Como o tringulo PCF é isósceles, temos que su meditriz coincide com issetriz que nos dá iguldde entre ângulos: CPM ˆ = F Pˆ M = β temos tmém que DPF ˆ MPˆ 1 = C, pois são ângulos opostos pelo vértice, logo C PM ˆ = F PM ˆ = DPˆ F1 = β, então os ângulos formdos pelos segmentos PF1 e PF com ret tngente elipse em P são iguis.

93 93 7. A plicções propriedde refletor d elipse d elipse Refletores odontológicos N figur 74 temos um eemplo d refleão d luz em um refletor odontológico. Visndo concentrr o máimo de iluminção em um foco, melhorndo ssim iluminção n região desejd e não cusndo desconforto o pciente com luz nos seus olhos. Figur 74 - Dispositivo odontológico Construções de tetros usndo um form de cilindro elíptico (Um cilindro elíptico é um cilindro, cuj se é um circunferênci.). O som emitido em um dos focos é direciondo pr o outro foco. N figur 75 temos um eemplo de um tetro construído n form de um cilindro elíptico em que um dos focos est no plco e o outro est no cmrote do rei. Figur 75 - Tetro Ncionl de São Crlos, Liso, Portugl (Fonte:

94 Outrs plicções d elipse Belez estétic A rquitetur tmém se utiliz ds forms elíptics, como elez estétic, como podemos verificr n figur 76. Figur 76 - Plnetário Tcho Brhe, Copenhgue, Dinmrc (Fonte: Orit dos plnets no sistem solr. Johnn Kepler, nscido em 1571, formulou s três leis do movimento plnetário, sendo primeir A orit de qulquer plnet é elíptic, com o sol em um dos seus focos. Vej figur 77. Figur 77 - Órit dos plnets

95 Propriedde refletor d práol Se um ret incide prlelmente o eio d práol, então el será refletid pr seu foco. Pr demonstrção cim mostrremos que: Em um práol de foco F e diretriz d, o ângulo formdo entre ret perpendiculr ret diretriz que pss pelo ponto P e ret tngente neste ponto é igul o ângulo entre ret tngente e rio que lig P o foco d práol. Figur 78 - Propriedde Refletor d Práol Demonstrção: Consideremos figur 78. Sejm F o foco d práol e Q o pé d perpendiculr à ret diretriz que pss pelo ponto P, temos pelo item (5.6.1) que meditriz d se QF do triângulo PQF é tngente à práol no ponto P. Pel propriedde d práol temos que PQ = FP, logo o triângulo QPF é isósceles, então su meditriz coincide com issetriz, que nos dá iguldde entre ângulos. Temos ind que volt tmém é verddeir, pois ret issetriz de PQ e FP, divide igulmente os ângulo do triângulo QPF pelo ponto P, sendo QPF isósceles, temos que est ret issetriz é um meditriz, logo pelo item (5.6.1) é um ret tngente à práol pelo ponto P.

96 Aplicções d propriedde refletor d práol Antens prólics Oservmos pel Lei d Refleão, qundo um rio incidente tinge superfície d práol, sendo este prlelo o eio d práol, ele será refletido o foco d práol, logo se tivermos um superfície de revolução, prólic polid e espelhd, os rios receidos prlelos o eio d práol serão refletidos em um único ponto que é o foco d práol. O princípio cim é usdo ns ntens prólics (ver figur 79), iluminção de lguns sistems de fróis de crro, telescópios refletores, ntens de rdr, rdiotelescópios. Figur 79 - Anten prólic (Fonte: Outrs plicções d práol Trjetóri de ojetos no lnçmento oliquo. No ensino médio prendemos que desprezndo o efeito do r, trjetóri de um ol lnçd horizontlmente por um ângulo inclindo, descreve práol (ver figur 80).

97 97 Figur 80 - Trjetóri de um ol descrevendo um práol (Fonte: Pontes pênsil Conforme mostrdo por Ruffino (1998). A curv do co de um ponte pênsil é um práol, se supusermos que o peso d pltform d pist está esplhdo uniformemente o longo d ponte, e que o peso do co proprimente é desprezível em relção o peso d pltform. N figur 81 temos um eemplo de ponte pênsil que é fmos ponte Golden Gte Bridge. Figur 81 - Golden Gte Bridge (Fonte:

98 Propriedde refletor d hipérole Se um rio luminoso pss por um dos focos de um hipérole, o tingi-l será, el será refletid n direção do outro foco. (ver figur 78) Pr demonstrção cim mostrremos que: Em um hipérole de focos F1 e F, o ângulo formdo entre ret tngente à hipérole em um ponto P e o segmentos que lig P o foco F1 e é igul o ângulo formdo entre ret tngente neste ponto P e o segmento que lig P o foco F. Figur 8 - Propriedde Refletor d Hipérole Demonstrção: Mrcndo um ponto Q no segmento PF1, tl que PQ = PF, temos que pelo item (4.7.1) que meditriz de QPF, é tngente hipérole pelo ponto P. Como o tringulo QPF por construção é isósceles, temos que su meditriz coincide com issetriz, o que nos dá iguldde entre ângulos: QPM ˆ = F Pˆ M = α temos tmém que α é o ângulo entre ret que pss pelo segmento FP e meditriz do tringulo PQF, pois são ângulos opostos pelo vértice.

99 99 Temos ind que volt tmém é verddeir, pois ret issetriz do triângulo F1PF coincide com issetriz do triângulo isósceles QPF, pois Q pertence o segmento F1P, então est ret issetriz é um meditriz, logo um ret tngente à hipérole pelo ponto P. 7.8 Um plicção que conjug s proprieddes refletor d hipérole e d práol Telescópios refletores do tipo Cssegrin: Em 167 o strônomo frncês Cssegrin propôs utilizção de um espelho hiperólico n construção de telescópios refletores, porém demorou cerc de um século pr que começssem sus montgens, sendo que tulmente são mplmente utilizdos. Seu funcionmento consiste que os rios de luz incidm no primeiro espelho (hiperólico ou prólico), e são refletidos pr o segundo espelho hiperólico, sendo novmente refletidos de volt, em direção um oservdor ou um câmer. Vej figur 83. Figur 83 - Telescópio refletor do tipo Cssegrin

100 A hipérole como somr de lguns jures N figur 84 temos um hipérole formd pel somr de um jur. Conforme demonstrdo por Crneiro (006), qundo um jur tem form de um tronco de cone, então prede será tl como um plno prlelo à gertriz do cone, formndo ssim somr de um hipérole. Figur 84 - Somr de um Ajur (Fonte: