Canguru Matemático sem Fronteiras 2010
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- Nathalie Bernardes Franco
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1 Cnguru Mtemático sem Fronteirs 2010 Durção: 1h30min Destintários: lunos do 9 Ano de Escolridde Nome: Turm: Não podes usr clculdor. Há pens um respost correct em cd questão. As questões estão grupds em três níveis: Problems de 3 pontos, Problems de 4 pontos e Problems de 5 pontos. Inicilmente tens 30 pontos. Por cd questão correct gnhs tntos pontos quntos os do nível d questão, no entnto, por cd questão errd és penlizdo em 1/4 dos pontos correspondentes ess questão. Não és penlizdo se não responderes um questão, ms infelizmente tmbém não dicions pontos. Problems de 3 pontos 1. Qul é o vlor de ? (A) 389 (B) 396 (C) 404 (D) 405 (E) Outr respost 2. Quntos eixos de simetri tem figur o ldo? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) Um número infinito 3. Num cix cúbic zul cbem exctmente oito cixs cúbics vermelhs de iguis dimensões. Qunts cixs vermelhs cbem no fundo d cix zul? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 4. A Leonor desenh os seis vértices de um hexágono regulr e uniu lguns dos seis pontos com linhs pr obter um figur geométric. Ess figur não é, segurmente, um (A) trpézio (C) qudrdo (E) triângulo obtusângulo (B) triângulo rectângulo (D) triângulo equilátero Orgnizção do Deprtmento de Mtemátic d Fculdde de Ciêncis e Tecnologi d Universidde de Coimbr com o poio d Sociedde Portugues de Mtemátic
2 Cnguru Mtemático sem Fronteirs O perímetro d figur o ldo é igul (A) 3+4b (B) 3+8b (C) 6+4b (D) 6+6b (E) 6+8b b 2b b 6. Se considerrmos sete números nturis consecutivos e som dos três números menores for igul 33, qul é som dos três números miores? (A) 39 (B) 37 (C) 42 (D) 48 (E) O António gurdou 72 pequenos pedços de mdeir depois deter efectudo 53 cortes emtroncos de miores dimensões. Sbendo que com cd corte se obtêm exctmente dois pedços de mdeir, quntos troncos de mdeir o António tinh no início? (A) 17 (B) 18 (C) 19 (D) 20 (E) Há sete brrs do tipo 3 1 num cix do tipo 5 5, como mostr figur. Queremos deslizr lgums brrs n cix de modo crir espço pr mis um brr do mesmo tipo. No mínimo, qunts brrs, de entre s sete que já se encontrm n cix, é preciso deslocr? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) É impossível 9. O Pedro dividiu um qudrdo em 4 qudrdos geometricmente iguis e pretende colorir os qudrdos mis pequenos brnco ou cinzento. A cd possível resultdo chmmos colorção. As colorções obtids por rotção de um outr colorção representm um mesmo pdrão. Por exemplo, s 2 colorções d figur representm o mesmo pdrão. Quntos pdrões diferentes podem ser obtidos pelo Pedro? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) A diferenç entre som dos primeiros cem números nturis pres e som dos primeiros cem números nturis ímpres é (A) 0 (B) 50 (C) 100 (D) (E) Problems de 4 pontos 11. Qul dos seguintes é o menor número com dois lgrismos que não é som de três números nturis diferentes de um lgrismo? (A) 10 (B) 15 (C) 23 (D) 25 (E) 28 Destintários: lunos do 9 Ano de Escolridde 2
3 Cnguru Mtemático sem Fronteirs A vó do Rui fez um bolo pr os seus netos que visitrão à trde. Infelizmente el não sbe se 3, 5 ou todos os 6 netos estrão presentes. El quer ter certez de que cd neto fic com mesm quntidde de bolo. Assim, pr estr preprd pr s três possibiliddes, el cort o bolo em (A) 12 ftis (B) 15 ftis (C) 18 ftis (D) 24 ftis (E) 30 ftis 13. A Cáti necessit de 18 minutos pr construir um long corrente trvés d união de três correntes mis curts. Utilizndo o mesmo processo, quntos minutos precis pr construir um corrente, unindo seis ds correntes mis curts? (A) 27 (B) 30 (C) 36 (D) 45 (E) No qudrilátero [ABCD] temos AD = BC, CÂD = 50, DĈA = 65 e AĈB = 70 (ver figur). O vlor de C BA é (A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E) impossível de determinr C 15. A Mri enrolou um pouco de cord em torno de um peç de mdeir, cuj fce d frente está representd n figur. B Se Mri rodr peç 180 no sentido d set, fce d frente pss ser representd por (A) (B) (C) (D) (E) A 50 D 16. Existem 50 tijolos de cor brnc, zul e vermelh num cix e cd tijolo só tem um cor. O número de tijolos brncos é onze vezes o número de tijolos zuis. Há menos tijolos vermelhos do que brncos, ms há mis tijolos vermelhos do que zuis. Quntos tijolos vermelhos existem menos do que tijolos brncos? (A) 2 (B) 11 (C) 19 (D) 22 (E) 30 Destintários: lunos do 9 Ano de Escolridde 3
4 Cnguru Mtemático sem Fronteirs N figur, [ABCD] é um rectângulo e [PQRS] é um qudrdo. A áre d região cinzento é metde d áre do rectângulo [ABCD]. Qul é o vlor de PX? (A) 1 (B) 1,5 (C) 2 (D) 2,5 (E) Qul é o menor número de rects necessáris pr dividir um plno em exctmente cinco regiões? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) Outr respost 19. Se 1 = b+2 = c 3 = d+4 = e 5, então qul dos números,b,c,d,e é o mior? (A) (B) b (C) c (D) d (E) e 20. A figur presentd é feit inteirmente de semicircunferêncis de rios 2 cm, 4 cm e 8 cm. Que frcção d figur está cinzento? (A) 1 3 (B) 1 4 (C) 1 5 (D) 3 4 (E) 2 3 Problems de 5 pontos 21. N figur existem nove regiões dentro dos círculos. Coloc todos os números de 1 9, exctmente um em cd região, de modo que som dos números dentro de cd círculo sej 11. Que número deve ser escrito n região, com o ponto de interrogção? A D P X S 6 10 Q Y R B 6 C (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) No mercdo d Troc, s mercdoris devem ser trocdsdecordocomoindicdontbel. Nomínimo, qunts glinhs terá o Sr. João de levr pr o mercdo, pr que poss levr pr cs um gnso, um peru e um glo? (A) 36 (B) 35 (C) 34 (D) 30 (E) 28 TABELA DE TROCAS 1 PERU 1 GANSO + 2 GALINHAS 4 GALINHAS 5 GALOS 3 GALOS 1 GALO Destintários: lunos do 9 Ano de Escolridde 4
5 Cnguru Mtemático sem Fronteirs Um tir de ppel foi dobrd o meio, por três vezes, e depois desdobrd completmente de tl modo que ind são visíveis s 7 dobrs. Qul ds seguintes vists lteris não pode ser obtid por quele processo? (A) (B) (C) (D) (E) 24. Em cd um de 18 crtões está escrito um número: 4 ou 5. A som de todos os números dos crtões é divisível por 17. Em quntos crtões está escrito o número 4? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) Os números nturis de 1 10 são escritos no qudro de um sl de ul. Os lunos d turm jogm o jogo seguinte: um luno pg 2 dos números e, em vez deles, escreve no qudro su som subtríd de 1; depois, outro luno elimin 2 dos números e, em vez deles, escreve no qudro su som subtríd de 1 e ssim sucessivmente. O jogo continu té que pens um número permneç no qudro. O último número é (A) menor do que 11 (B) 11 (C) 46 (D) mior do que 46 (E) outr respost 26. Num cidde há pens ciddãos honestos e mentirosos. Cd frse dit por um ciddão honesto é verddeir, e cd frse pronuncid por um ciddão mentiroso é fls. Certo di, lguns ciddãos encontrrm-se num sl e três deles fizerm s seguintes firmções. 1) O primeiro disse: Não há mis do que três ciddãos n sl. Todos nós somos mentirosos. 2)Osegundodisse: Nãohámisdoquequtrociddãosnsl. Nemtodosnóssomosmentirosos. 3) O terceiro disse: Há cinco ciddãos n sl. Três de nós são mentirosos. Qunts pessos estvm n sl e qunts dels são mentiross? (A) 3 pessos, 1 dels é mentiros (C) 4 pessos, 2 dels são mentiross (E) 5 pessos, 3 dels são mentiross (B) 4 pessos, 1 dels é mentiros (D) 5 pessos, 2 dels são mentiross Destintários: lunos do 9 Ano de Escolridde 5
6 Cnguru Mtemático sem Fronteirs Um cnguru tem um grnde colecção de pequenos cubos de dimensões Cd cubo é de um únic cor. O cnguru quer usr 27 pequenos cubos pr fzer um cubo de dimensões 3 3 3, de modo que quisquer dois cubos com pelo menos um vértice comum sejm de cores diferentes. No mínimo, qunts cores têm de ser utilizds? (A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 12 (E) O mior triângulo equilátero n figur é composto por 36 pequenos triângulos equiláteros, cd um com 1 cm 2 de áre. Qul é áre do triângulo [ABC]? (A) 11 cm 2 (B) 12 cm 2 (C) 15 cm 2 (D) 9 cm 2 (E) 10 cm O mínimo múltiplo comum entre 24 e x é menor do que o mínimo múltiplo comum entre 24 e y, onde x e y representm dois números nturis. Então y x (A) 7 8 (B) 8 7 (C) 2 3 não pode ser igul (D) N figur, mplitude do ângulo α é 7, os segmentos [OA 1 ], [A 1 A 2 ], [A 2 A 3 ],... têm todos o mesmo comprimento e os sucessivos pontos A 1, A 2, A 3,... estão cd vez mis distntes do ponto O. Qul é o mior número de segmentos que podem ser desenhdos dest form? (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 (E) Tntos qunto queirmos. A (E) 7 6 A 2 O α B A 1 A 3 C Destintários: lunos do 9 Ano de Escolridde 6
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