Key words: spatial model coefficients; direct effects; indirect effects.

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1 Ho to terpret the coeffcets of spatal models Adré Braz Golgher Abstract Ths paper s part of a seres that dscusses troductor cocepts of spatal ecoometrcs. The tets ere rtte Portuguese ad ted to preset ths feld of stud to studets at upper udergraduate to graduate levels Ecoom ad Regoal Sceces. Ths secod paper of the seres addresses the questo of ho to terpret the coeffcets of spatal models, such as: the spatal error model, the spatal lag model, the Kelea-Prucha model, the spatal Durb error model ad the spatal Durb model. ma emprcal studes, the spatal models coeffcets ere terpreted as partal dervatves, hat mght be correct some, but ot all cases. order to address these dffereces, dscuss each model separatel, he preset topcs such as partal dervatves, appromatos, drect, drect ad total effects, ad dfferet orders of teractos. So as to gve a broader perspectve of the applcablt of these cocepts, clude a bref dscusso of emprcal applcatos that addressed these topcs. Fall, sho some smulatos usg Matlab, he compare the dfferet tpes of spatal models regardg drect, drect ad total effects. Lastl, preset appromatos cocerg spllovers amog regos. Ke ords: spatal model coeffcets; drect effects; drect effects. Assocate Professor at the Ecoomcs Departmet at the Cedeplar/FACE/UFMG, vstg scholar at the Regoal Research sttute RR at the est Vrga Uverst VU ad vstg scholar at the Carola Populato Ceter CPC at the Uverst of North Carola UNC Chapel Hll. A large part of the refereces selected for these tets comes from the readgs assged b professor Doald Lacombe hs course ARE 69L Spatal Ecoometrcs sprg at the VU

2 terpretado os coefcetes dos modelos espacas Adré Braz Golgher Resumo Esse teto faz parte de uma sére que apreseta a ecoometra espacal em potos trodutóros. Neste segudo teto da sére se aborda a questão de como terpretar os coefcetes de algus dos modelos espacas como: o modelo de erro espacal, o modelo de lag espacal, o modelo de Kelea-Prucha, o modelo de erro espacal de Durb e o modelo espacal de Durb. Em mutos trabalhos empírcos que utlzam modelos espacas, os coefcetes são aalsados como se fossem smlares às dervadas parcas. Como veremos, os coefcetes de algus modelos espacas podem ser terpretados dessa forma, equato para outros, sso ão ocorre. Cada um dos modelos fo dscutdo em separado, ode foram apresetados cocetos como a estmação das dervadas parcas, apromações, efetos dretos, dretos e totas, e ordem da teração. Em seguda, apresetam-se algumas aplcações empírcas que dscutram esses cocetos e foram fetas smulações o Matlab aplcado dretamete os cocetos dscutdos. Procurou, assm, mostrar as dfereças etre os dversos modelos quato aos mpactos dretos e dretos em uma dscussão couta, cludo mpactos que seram verfcados devdo a choques eógeos em áreas cetras e perfércas, ode se observou como que spllovers se espalham pelas dversas áreas. Palavras chave: coefcetes dos modelos espacas; efetos dretos; efetos dretos. Professor do Cedeplar/FACE/UFMG, pesqusador vstate do Regoal Research sttute RR da est Vrga Uverst VU e pesqusador vstate do Carola Populato Ceter CPC a Uverst of North Carola UNC em Chapel Hll.

3 - trodução Esse teto faz parte de uma sére que apreseta a ecoometra espacal em potos trodutóros. No teto ateror, trodução à Ecoometra Espacal, foram dscutdos algus cocetos trodutóros sobre a ecoometra espacal, ode foram apresetados algus dos modelos espacas, cludo motvações para o uso desses modelos. Neste segudo teto da sére abordamos a questão de como terpretar os coefcetes dos modelos dscutdos este prmero teto, tema dscutdo em maores detalhes em Elhorst e LeSage e Pace 9. Segudo LeSage e Domguez são mutos os eemplos de aplcação empírca dos modelos espacas em que as estmatvas são erradamete terpretadas. Mutos autores aalsam os coefcetes de um modelo espacal como se eles pudessem ser cosderados como smlares a dervadas parcas, como é o caso quado se utlza o MQO. Como veremos, os coefcetes de algus modelos espacas podem ser terpretados dessa forma, equato para os modelos com depedêca espacal sso ão ocorre. Por eemplo, o MQO, assumem-se que as observações são depedetes uma das outras e, assm, mudaças o valor de uma varável depedete de uma observação específca mplca em mudaças apeas a varável depedete da própra observação. sso ão é verfcado quado temos depedêca espacal etre as observações, pos uma mudaça o valor de uma varável eógea de dada uma observação mplca tato em efetos as demas observações como em uma realmetação a própra observação. A dversdade de modelos espacas, cada qual com uma terpretação específca a respeto dos coefcetes, e a dfculdade erete de como terpreta-los ustfca a clusão dessa dscussão este º teto da sére. A fgura, smlar a apresetada em Elhorst, mostra a relação etre os modelos espacas que serão abordados aqu. camos a dscussão com o modelo MQO, o úco ão espacal. Esse modelo é o mas smples detre todos, e serve de padrão de comparação para os modelos espacas. Em seguda, dscutmos o - modelo de erro espacal SEM, ode os erros da regressão são espacalmete correlacoados. Como veremos, a terpretação dos coefcetes do modelo também é relatvamete smples e é, em mutos aspectos, smlar ao MQO. Depos apresetamos o - Modelo de lag espacal SAR. Nesse tercero modelo, a varável depedete Grade parte do materal ctado aqu fo selecoado da emeta do curso ARE 69L Spatal Ecoometrcs sprg mstrado por Doald Lacombe do RR da VU..

4 é parcalmete determada pelos valores dessa mesma varável dos vzhos. sso tora a terpretação dos coefcetes um pouco mas complcada, pos temos a terdepedêca edógea etre as observações. Estem dferetes cocetos de como terpretar os coefcetes de modelos espacas e algus destes serão apresetados tedo esse modelo como eemplo. Nestes dos últmos modelos, de erro espacal e de lag espacal, temos um úco termo com correlação espacal. Depos dscutmos os três modelos que corporam dos termos com correlação espacal: o - modelo de Kelea-Prucha SAC; o 5- modelo de erro espacal de Durb SDEM; e o 6 - modelo espacal de Durb SDM. Essa ordem fo estabelecda para a apresetação desses modelos devdo a smlardade etre os modelos de lag espacal e de Kelea-Prucha, e também devdo a dfculdade de terpretação dos coefcetes obtdos, ode o modelo espacal de Durb corpora característcas dos modelos de lag espacal e de erro espacal de Durb. O últmo modelo da fgura é o 7 - modelo de Mask, que corpora todos os termos dos demas modelos: a teração edógea dos efetos da varável depedete, a teração eógea das varáves depedetes e a correlação dos efetos dos erros aleatóros de dferetes udades espacas. Segudo Elhorst ão estem problemas téccos para se estmar os parâmetros do modelo, mas esses ão podem ser terpretados de forma relevate, pos efetos edógeos e eógeos ão podem ser dstgudos Mask, 99. Para que os dferetes coefcetes seam mas bem detfcados, deve-se clur alguma restrção os valores dos coefcetes, ou sea, devemos os ater aos modelos ctados aterormete. Assm, este últmo modelo ão é dscutdo o restate do teto. Esse teto fo dvddo em ove seções além dessa trodução. As ses prmeras dscutem em separado cada um dos modelos ctados. A otava seção apreseta algumas aplcações empírcas de dferetes autores e temas que dscutram os cocetos abordados aqu. Na oa é apresetada uma smulação lustratva utlzado o Matlab, que compara os dversos modelos. A últma seção coclu o teto.

5 Fgura Modelos espacas - MQO De para : clusão do termo Y De para : clusão do termo u Modelo de lag espacal SAR Modelo de erro espacal SEM De para 5: De para : clusão do termo X De para : clusão do termo Y clusão do termo u 5 - Modelo erro espacal de Durb SDEM De para 6: clusão do termo X - Modelo de Kelea-Prucha SAC 6 - Modelo espacal de Durb SDM De para 7: clusão do termo X De 5 para 7: clusão do termo Y De 6 para 7: clusão do termo u 7 - Modelo de Mask 5

6 6 - MQO A dscussão se ca pelo modelo mas smples, o MQO, que servrá de padrão de comparação para os modelos de erro espacal e de lag espacal. A dscussão de todos os modelos se ca com a equação dos mesmos e segue o mesmo procedmeto, cludo a obteção das dervadas parcas de cada um dos modelos. Para o modelo MQO temos a segute epressão: X Y,., ~ N Em seguda obtemos o valor esperado de Y dado X eógeo a partr dessa equação:. ] [ ] [ X X X E X Y E Depos, calculamos as dervadas parcas da equação com relação a uma varável eplcatva especfca. Para facltar o racocío de obteção das dervadas parcas, escrevemos um modelo com observações e varáves eplcatvas:. Dervado essa epressão com relação a uma das varáves eplcatvas, a prmera, por eemplo,, temos:. Geeralzado para um problema com observações e k varáves eplcatvas, temos as dervadas com relação uma varável qualquer :

7 . As dervadas parcas para uma varável específca têm como valor o parâmetro estmado a regressão. Elas represetam para a observação especfca a varação da varável depedete com relação a varações de uma varável depedete partcular. Como os termos fora da dagoal prcpal da matrz detdade são zero, ão este depedêca espacal etre as observações: quado o valor de uma varável depedete de uma determada observação vara, as varações a varável depedete das demas são ulas. Na dagoal prcpal, temos os valores dcado que varações a varável depedete mplcam em varações desta magtude a varável depedete da própra regão. Por eemplo, de forma lustratva, tome o problema com três observações, que aqu serão regões, e duas varáves eplcatvas. Assuma que a varável depedete é reda per capta, que a prmera varável eplcatva é ível médo regoal de captal humao, e que a seguda é um dcador de qualdade local de fraestrutura. Defmos os coefcetes como = e. Obtemos assm a matrz com as dervadas parcas com relação ao ível médo regoal de captal humao:,. Para eteder melhor o que sso sgfca, varamos o ível de captal humao a regão em um pequeo acréscmo de dez udades, equato todo o resto cotua costate, e verfcamos de forma apromada o que acotece com a reda per capta das três regões. Veamos. 7

8 8 MQO Apeas a tercera regão sofre qualquer fluêca desse acréscmo, com um aumeto de em sua reda per capta. Ou sea, mudaças as varáves depedetes de uma dada regão têm mpacto apeas a própra. A terpretação dos coefcetes e dervadas parcas é dreta: k k, e k para. Uma vez dscutdo o MQO, veamos o que acotece os modelos espacas, prmeramete com o - modelo de erro espacal. - Modelo de erro espacal O modelo de erro espacal SEM é dscutdo em seguda, pos além de ser o mas smples detre os modelos espacas dscutdos aqu, apreseta mutas smlardades com o modelo MQO. O modelo de erro espacal tem a segute equação, ode o erro estocástco apreseta correlação espacal: u, X Y, u u, ~ N Mapulado essas equações obtemos o processo de geração de dados DGP do modelo: X Y A partr dessa epressão obtemos as estmatvas de Y do modelo. Como veremos, modelos dferetes têm, em geral, DGP dsttos. Segudo os mesmos passos realzados para o MQO, obtemos o valor esperado da epressão acma: X Y E ] [

9 Note que esse valor é eatamete gual ao valor esperado para um modelo MQO. Ou sea, se o DGP for realmete essa represetada pelo modelo de erro espacal e a aálse for feta com modelos MQO, ou sea, ão corporarem correlações espacas os erros, a estmatva será ão evesada. ferêcas com o modelo MQO para amostras pequeas podem ser mal especfcadas, porque os desvos-padrões dferem: os desvos-padrões dos modelos de MQO, quado comparados com o modelo de erro espacal, apresetam um vés de serem subestmados quado a correlação espacal é postva Lacombe e Shaughess, 7. Este, assm, uma perda de efcêca a estmação. Etretato, em estudos com amostras grades, o problema é mmzado, e os dos modelos devem estmar parâmetros dêtcos. Calculamos as dervadas parcas do DGP do modelo e temos a mesma relação observada para o modelo MQO:. Note que podemos epressar a relação etre o MQO e o modelo de erro espacal da segute forma: X u u F u, ode F é uma fução qualquer da matrz de peso. Em pares de modelos que poder ser dferecados apeas pela fução F, os valores esperados E [Y ] são guas etre eles, e a terpretação dos parâmetros também é a mesma. Essa mesma relação será observada em outros pares de modelos, como veremos. - Modelo de lag espacal O prómo modelo a ser dscutdo e o de lag espacal SAR. Assm como o modelo de erro espacal, ele cotém apeas um termo com correlação espacal, que é o de depedêca espacal 9

10 da varável depedete. Etretato, as cosequêcas da clusão desse termo são muto dferetes. Esse modelo tem como equação: Y Y X,, ~ N. Mapulado essa equação obtemos o DGP do modelo: X Y X Y A epressão tem como valor esperado: ] [ ] [ ] [ X X E X E Y E Note que esse valor é dferete do observado para os modelos MQO e de erro espacal, pos temos a matrz multplcado a epressão X. Para facltar o etedmeto sobre as cosequêcas da clusão dessa matrz, escrevemos a equação com três observações e duas varáves eplcatvas: As cosequêcas da matrz depedem da matrz de peso escolhda. Defmos uma de forma fctíca a partr da fgura. A matrz de peso é defda como peso se as regões são cotguas e zero caso cotráro. Fgura Regões fctícas Regão Regão Regão

11 Obtemos assm a matrz de cotgudade, que fo posterormete ormalzada:. Em seguda, obtemos a matrz a ser vertda e a vertemos: Se, ão temos correlação espacal, e fcamos com a segute matrz:. Ou sea, obtemos o modelo MQO. A ttulo de lustração, se, fcamos com a segute matrz: Subtrado essa últma da prmera sem correlação espacal, temos:

12 Note que essa dfereça observada etre as matrzes é devdo aos spllovers. Como vmos o teto ateror: Assm, essa matrz acma decorre da segute relação:. Note que, Para o valor específco, obtemos a sere de matrzes cua soma é obtda acma: Note que, em geral, assummos que:. Além dsso, a maora das aplcações empírcas temos correlações postvas ou ulas: [,. Assm, como a fluêca das

13 matrzes de maor ordem é meor do que as de meor. O que dcam essas matrzes? A matrz de ordem é a depedêca espacal de uma observação com relação aos vzhos. A matrz de ordem é a depedêca espacal de uma observação com relação aos vzhos dos vzhos. Note que uma observação é vzha de s mesma em ª ordem. Essa breve eplcação procurou corporar algus sghts da depedêca espacal etre as observações. Em seguda, calculamos as dervadas parcas da equação para um caso geral para uma varável eplcatva especfca : Segudo osso eemplo lustratvo, se tomarmos a matrz de pesos de cotgudade ormalzada,, e obtemos as dervadas parcas com relação a ª varável depedete:. 5 Note que aqu os coefcetes do modelo de lag espacal ão represetam as dervadas parcas, como fo verfcado os dos casos aterores, mas são apeas parte da epressão que defem as dervadas. No caso desse modelo, as dervadas parcas para uma varável depedete

14 específca tem o valor do coefcete da varável,, que multplca uma matrz ão dagoal. Como os termos fora da dagoal são dferetes de zero se, este depedêca espacal: quado o valor de uma varável depedete de uma determada observação vara todas as regões são fluecadas. Tomado as dervadas da dagoal prcpal, ote que elas têm a segute propredade: Esse fato decorre do fato que os efetos a própra regão, ou respostas dretas represetadas pelas dervadas parcas a dagoal da matrz, k, cluem o spllover de realmetação. As dervadas cruzadas, ão dagoas a matrz, represetam as respostas dretas ou de spllover de uma regão para as demas, k, com LeSage e Domguez,. Como lustração, tome o mesmo problema dscutdo para o modelo MQO: a varável depedete é reda per capta, a prmera varável eplcatva é ível médo de captal humao e a seguda é qualdade do ível de fraestrutura. Também assuma que = e, e que o ível de captal humao a regão sofreu um pequeo acréscmo de dez udades, equato todo o resto cotuou costate. Ou sea, temos eatamete o mesmo problema em um modelo dferete. O que acotecerá com a reda per capta das três regões? Note que esses resultados são fluecados pela escolha da matrz de vzhaça..

15 Aqu a resposta depede claramete do coefcete. Se, temos um modelo MQO e á sabemos a resposta: MQO. Uma varação o captal humao a tercera regão ão mpacta as demas, pos o modelo MQO ou de erro espacal ão temos depedêca espacal. Como vmos, o aumeto da reda per capta a regão três fo de udades. Serão aalsados dos modelos de lag espacal, um com uma correlação postva de meor magtude,,, e outro com uma correlação também postva, mas de maor magtude,,8. Se,, veamos a varação da reda per capta as três regões: Lag,,,,,,8.,, Note que a varação total é maor que o caso ateror por causa dos spllovers. Subtrado esse últmo resultado do prmero, temos: Lag, MQO,,8., Uma varação o ível de captal humao a regão mplca em um spllover para a regão, aumetado, assm, a reda per capta também dessa regão. Por sua vez, este um spllover de meor magtude da regão para a regão. Além dsso, este o mpacto de volta para a regão. Por causa dos spllovers houve um acréscmo de, udades de reda per capta a regão,,8 a regão e, a regão. 5

16 Esses spllovers são pequeos, pos a correlação espacal ão é de grade magtude. Se, 8, temos uma correlação postva de maor magtude, ode as varações são bem maores: Lag,8,8,8 7,8,8,,8 7,8 Lag,8 MQO 7,8, 7,8 Segudo Elhorst, se uma varável depedete em uma observação partcular sofre alguma mudaça, ão só haverá uma mudaça a varável depedete da própra udade, como também as demas observações. A soma das varações as própras observações são os efetos dretos. Note que o osso problema os efetos dretos têm respectvamete os segutes valores para os modelos MQO, de lag espacal com, Ou sea, como temos e de lag espacal com, 8 :,, e 7,8., se a correlação aumeta, os efetos dretos também aumetam. Os efetos observados somados as demas regões são chamados de efetos dretos. Quado temos, os valores são postvos. Para os ossos modelos tíhamos respectvamete os valores de,,5 e. Note que os elemetos da dagoal prcpal da matrz com as dervadas parcas represetam os efetos dretos e os elemetos fora da dagoal prcpal represetam os efetos dretos. O efeto total de uma mudaça em qualquer das varáves depedetes cosste da soma dos efetos dretos e dretos LeSage e Pace, 9. No osso problema, que cosste de apeas três observações, apresetar todos os resultados fo de certa maera bastate prátco. Etretato, para problemas maores e mas reas, a apresetação dos resultados este formato pode ser problemátca. Por eemplo, Krb e LeSage 9 aalsaram mas de 6, observações, referetes aos setores cestáros os EUA. Aalsar vetores dessa magtude com relação a cada um dos valores pode ser pouco 6

17 7 esclarecedor. Se forem N udades de aalse e K varáves eplcatvas, obtém-se K dferetes N N matrzes de efetos dretos e dretos Elhorst,. Com o tuto de torar a terpretação mas factível para problemas com mutas observações e varáves, LeSage e Pace 9 propõem epressar a méda dos valores dos efetos dretos, ou sea, a méda dos elemetos da dagoal prcpal da matrz. Para os efetos dretos, teríamos a méda das somas dos elemetos ão dagoas em cada uma das lhas da matrz. Ou ada, o mesmo referete a colua, pos o resultado é o mesmo. Veamos com um eemplo o que sto sgfca. Prossegumos a dscussão com a matrz. A úca mudaça a matrz abao é que esta represeta qualquer uma das varáves eplcatvas, e, etão, fo trocado por k. Deomamos essa matrz como S r, dcado que essa matrz é uma fução da matrz de peso. Essa omeclatura é smlar a utlzada em LeSage e Pace 9. Fcamos com:. 6 k r S Trado a méda dos termos da dagoal prcpal, temos os efetos dretos ED: ED = k k Em seguda, obtemos os efetos dretos E: E = k k Os efetos totas ET são a soma dos dos prmeros: ET = ED + E.

18 8 Lembrado que o traço de uma matrz A é a soma dos elemetos da dagoal prcpal, a A tr, e que podemos somar todos os elemetos de uma matrz a partr da epressão, a A ', as epressões acma podem ser epressas da segute forma: ED = S tr r E = ET - ED ET = r S ' Segue um eemplo para o caso especfco com e : S r Calculado os ED, temos: S tr r. Calculado os ET: ' r S Assm, obtemos os E:. 9 9

19 9 Segudo LeSage e Domguez, como á dscutdo, são mutos os eemplos de aplcação empírca dos modelos espacas que terpretaram as estmatvas de forma equvocada. Como vmos aqu os coefcetes dos modelos espacas com depedêca espacal ão podem ser terpretados como dervadas parcas. Ou sea, ão se devem comparar os coefcetes de um modelo MQO com os mesmos coefcetes de modelos espacas com depedêca espacal. Uma comparação mas correta sera cotrastar os coefcetes do modelo MQO com o efeto dreto. Além dsso, claro, ão tem como comparar os efetos dretos do modelo espacal com o modelo MQO que ão tem esses efetos. Por fm, podemos separar a fluêca dreta e dreta por ordem de vzhaça LeSage e Pace, 9. Partmos da segute epressão: Reescrevemos a relação utlzado essa epressão: Retorado ao eemplo lustratvo, temos:. S r Temos, etão, os efetos de ordem zero, um, dos, etc. Para a ordem zero fcamos com a matrz,.

20 Daí, temos: ED = S tr r. ET =. ' r S E = Esses são os resultados dos modelos sem o lag espacal. Para a ordem um, fcamos com a matrz:. Para ordem dos, temos:. Para a ordem três, fcamos com: 8 8. Os efetos de ordem zero represetam os efetos dretos sem a realmetação devdo aos spllovers. Não temos os efetos dretos, pos os elemetos ão dagoas são ulos. Os efetos de prmera ordem represetam os efetos dos vzhos. Uma vez que os termos da dagoal prcpal são ulos ão temos os ED. Em geral em todos os demas termos temos efetos dretos e dretos Sedado et al, 9, o que ão é observado aqu por causa da matrz de pesos específca deste eemplo lustratvo.

21 Os resultados para as ordes zero, um, dos e três são mostrados a tabela abao. Os valores para as ordes superores foram obtdos pela dfereça etre o efeto total de todas as ordes e a soma dos efetos de ordem até. Tabela Efetos dretos, dretos e totas por ordem da teração Efeto Ordem Dreto dreto Total Zero Um Dos Três Quatro e mas Total Modelo de Kelea-Prucha O prmero modelo com dos termos espacas a ser dscutdo é o modelo de Kelea-Prucha SAC. Dscutmos esse modelo ates dos demas porque, com veremos, ele é de certa forma smlar ao modelo de lag espacal. Como vmos, esse modelo tem a segute equação: Y X u u u, ~ N, Mapulado a equação obtemos o DGP do modelo de Kelea-Prucha. Note que esse DGP tem como valor esperado o mesmo que o modelo de lag espacal: Y X E[ Y] X

22 Além dsso, dada que a relação etre os modelos é smlar ao observado etre os modelos MQO e de erro espacal, ou sea, clu somete uma correlação espacal o erro, a terpretação dos coefcetes é gual. Assm, toda a dscussão mostrada acma também é válda aqu, e passamos para o prómo modelo com dos termos com correlação espacal. 6 Modelo de erro espacal de Durb O modelo de erro espacal de Durb SDEM clu o termo X quado se tem como orgem o modelo de erro espacal: u X X Y, u u, ~ N Assm, temos como DGP do modelo: X X Y Para um modelo com três observações e duas varáves eógeas, temos: Dervado com relação a uma varável específca, a prmera, por eemplo, temos: Essa relação tem o segute formato de forma mas geral:

23 Note que aqu temos uma matrz ão dagoal por causa do lag espacal de X. O ED é a méda dos termos da dagoal prcpal, o caso desse modelo todos guas ao coefcete, daí, temos: ED =. Para os efetos dretos temos a segute epressão: E =.. Se a matrz de peso for ormalzada a lha, como é muto usual, temos smplesmete: E =.. Como eemplo lustratvo, retoramos ao problema com três observações: Tome o mesmo problema dscutdo aterormete com, sedo que este modelo temos mas dos coefcetes, e, referetes a depedêca espacal eógea. Assuma que elas têm os segutes valores: = e.

24 Assm como feto aterormete, o ível de captal humao a regão sofre um pequeo acréscmo de dez udades, equato todo o resto cotua costate. Substtudo esses valores, temos: SDEM 5 O aumeto da reda per capta a regão três fo de udades, assm como observado o modelo MQO ou SEM. Etretato, aqu temos um mpacto também a seguda regão. Uma varação o captal humao a tercera regão mpacta a seguda em cco udades, pos as varáves eplcatvas da tercera regão fazem parte da equação da seguda. Esse mesmo resultado é obtdo para um modelo smlar sem a correlação espacal o erro, que ão costa da fgura, cohecdo como de lag em X SLX, que tem a segute equação: Y X X, ~ N,. 7 - Modelo espacal de Durb Como vmos a fgura, além dos termos do modelo de lag espacal, o modelo espacal de Durb SDM cotém X : X X, ~ N, Esse modelo clu a teração edógea, presete o modelo de lag espacal, e a teração eógea, dscutda o modelo de erro espacal de Durb. Mapulado essa equação obtemos o DGP do modelo: Y X X Y X X

25 5 Assm como fo feto para os demas modelos, calculamos as dervadas parcas da equação com relação a uma varável eplcatva específca: Note que aqu temos uma matrz ão dagoal por causa do lag espacal em Y,, e outra também ão dagoal por causa do lag em X,. Como lustração, retoramos ao eemplo com três observações utlzado aterormete: Substtudo todos os valores á utlzados, temos:. SDM SDM

26 Como as respostas depedem de, fazemos as mesmas três smulações fetas aterormete para o lag espacal com,, e,8. No prmero caso, obtemos o modelo SLX, ctado acma, que tem a mesma terpretação do modelo de erro espacal de Durb. Na seguda smulação temos uma correlação postva de meor magtude,,. Veamos a varação da reda per capta as três regões, substtudo esse valor em 6: SDM,,6 7,9,6 Note que as varações são maores para o modelo SDM do que para o modelo de lag espacal com a mesma correlação espacal de Y, pos o prmero temos dos tpos de correlação espacal. SDM, Lag,, 5,., Uma varação o ível de captal humao a regão mplca em um spllover para as demas regões, tato va varável depedete como va varável depedete. Se, 8 temos spllovers bem maores também devdo a esses dos aspectos: SDM,8 8,89 6, 8,89 No caso do modelo espacal de Durb, os efetos dretos podem ser dvddos em duas partes: uma deomada local, devdo aos coefcetes, também presete o modelo de erro espacal de Durb; e os efetos dtos globas devdo a Elhorst,. Note que os prmeros são locas porque mpactam apeas os vzhos medatos. No caso dos efetos globas, como vmos também para o modelo de lag espacal, temos efetos em todas as regões em ordes. 6

27 7 Para obter as epressões para o efeto dreto, dreto e total, basta multplcar as matrzes abao e utlzar as mesmas epressões á ctadas. Como a multplcação é um pouco trabalhosa e pouca acresceta a dscussão dos cocetos, ele fca como eercíco para o letor. O ED e o E são dados pelas segutes epressões Elhorst, : ED = E = Note que o modelo espacal de Durb, os resultados para ED, E e ET depedem dos parâmetros e. Nos modelos de lag espacal, e cosequetemete também para o modelo de Kelea-Prucha, esses efetos depedem somete do prmero parâmetro e a razão etre o ED e E é um valor defdo pelo coefcete : E ED. Para o modelo espacal de Durb, essa lmtação ão este, pos também temos os parâmetros Elhorst,. O modelo espacal de Durb tem essa teressate propredade, que ão está presete os outros modelos apresetados. Além dessa propredade, o modelo apreseta outras característcas também ão presetes os outros modelos LeSage e Pace, 9.

28 8 Aplcações empírcas As seções aterores apresetaram algus cocetos que são utlzados a terpretação dos coefcetes dos modelos espacas. Nesta seção são cometados cco trabalhos empírcos que utlzaram cocetos guas ou muto smlares. Krb e LeSage 9 utlzaram o modelo espacal de Durb para aalsar o tempo gasto para se r ao trabalho os EUA. Os autores ustfcam o uso desse modelo especfco devdo a elevada possbldade que varáves eplcatvas mportates teham sdo omtdas ver LeSage e Pace 9 para uma dscussão sobre o assuto. Eles observaram que houve um aumeto esse tempo etre os aos de 99 e, o que ão estava em cocordâca com a perspectva de que a suburbazação sera a válvula de escape para os problemas assocados aos egarrafametos. Segudo os autores, a ecoometra espacal permtu dstgur os efetos dretos, devdo à spllovers causados, por eemplo, por egarrafametos em outras regões, dos efetos dretos, por causa das característcas da própra regão, como a qualdade das estradas. LeSage e Domguez argumetam que modelos MQO são lmtados em estudos que tratam do comportameto de goveros locas e temas correlatos dstrbução de votos em eleções e determação da magtude das taas de mpostos regoas. Os autores utlzaram um modelo espacal de Durb em aálses empírcas sobre a relação etre mgração e emgração, e o custo margal dos servços goverametas. Os resultados empírcos mostraram que tato para as áreas metropoltaas como para ão metropoltaas, que a mgração tha um efeto de reduzr custos, equato a emgração tha o efeto cotraro. Fazedo uso desse modelo espacal, os autores eamaram os efetos dretos e dretos da mgração. Segudo os autores, os efetos dretos seram de teresse prcpal da regão que é afetada pela mgração, equato os efetos dretos refletram a perspectva da socedade como um todo. Ou sea, teresses prvados de uma regão especfco dferem do públco todo um grupo de regões. Em um estudo sobre crescmeto regoal da reda per capta, LeSage e Fscher 8 também aplcaram o modelo espacal de Durb e mostraram que a reda regoal o logo prazo depede das característcas da própra regão, das característcas das regões vzhas, da estrutura espacal de coectvdade etre as regões e da magtude da depedêca espacal. Eles estmaram os efetos dretos e dretos de varações em dversas varáves eplcatvas, como 8

29 captal humaa e desdade populacoal, a determação de varações da reda per capta regoal. Seldado et al 9 aalsaram a qualdade de goveros de estados acoas com modelos de lag espacal e espacal de Durb, com uma matrz de pesos com os dez vzhos mas prómos. Eles observaram que a reda per capta, o grau de abertura comercal, o grau de terveção estatal a socedade, e a proporção da população que era protestate mpactavam a qualdade do govero, sedo que o prmero, tercero e quarto tham assocações postvas, quato mas, melhor, e o segudo egatvo. Quado estmaram os efetos dretos e dretos, eles verfcaram que os prmeros eram apromadamete o dobro dos segudos. Ou sea, os fatores locas eram os mas mportates a determação da qualdade dos goveros, mas que fluêca dos demas países prómos também era relevate. Kelea et al 6 aalsaram a terdepedêca os preços de bes em dferetes países emergetes. Segudo os autores, um choque macroecoómco em qualquer dos países tem um mpacto o própro e também em todos os demas, devdo à spllovers. Eles modelaram esses mpactos e verfcaram se esses podam ser relacoados com a dstâca geográfca e/ou com o comerco etre países. Os autores verfcaram emprcamete que os países emergetes cetralmete evolvdos as crses sofram um cotágo mas mpactate dos países prómos geografcamete, equato países perfércos em termos da crse eram mas afetados pelo comérco etre países. Os autores apresetam duas meddas síteses, smlares aos efetos dretos e dretos dscutdos aqu, para represetar a magtude do cotágo etre os países. O própro efeto de cotágo fo defdo como que a mudaça de um fudameto ecoómco em um país afeta o dcador de crse do própro país, depos que os efetos de realmetação do spllover são cluídos o cálculo. Além dsso, eles defem o efeto maete como o mpacto que uma mudaça em um dos fudametos ecoómcos em um país mpacta o ídce dcador de crse os demas. Em um coteto teórco bem dstto, Asel e Le Gallo 6 aalsaram como que a qualdade do ar mpactava o preço de casas a Calfóra com o uso de modelos hedócos. Com relação ao modelo espacal, eles verfcaram uma sgfcatva correlação postva os dados, mesmos depos de cotroladas váras das característcas dos móves e da vzhaça. De 9

30 forma smlar aos efetos dretos e dretos apresetados aqu, os autores estmaram a propesão margal a pagar por íves mas baos de ozóo a atmosfera. Segudo eles, os dvíduos estaram dspostos a pagar etre e 7 dólares, depededo do modelo, para uma melhora de ppb os íves de ozóo. Depos de dscutdos algus cocetos referetes à terpretação dos coefcetes de dferetes modelos espacas e apresetadas algumas aplcações empírcas sobre o tema, para complemetar a dscussão, apreseta-se a segur uma smulação bastate smples feta o Matlab. Dscussões com ível de sofstcação maor serão mostradas em tetos subsequetes. 9 Smulação lustratva Segue uma pequea smulação feta o Matlab a partr do uso dreto das epressões mostradas acma. A matrz de vzhaça fo defda a partr de 8 áreas fctícas, dspostas como mostrado o dagrama abao, com peso para regões cotíguas e zero caso cotráro. Em seguda a matrz fo ormalzada de forma que todas as lhas tvessem a soma gual a. São três os obetvos dessa smulação: mostrar um problema mas completo do que o realzado as seções aterores, que cotava com apeas três regões; comparar em couto os dversos modelos dscutdos este teto; e apresetar as cosequêcas de choques em áreas cetras e perfércas a propagação de spllovers.

31 Dagrama Regões fctícas Assm como os eemplos acma, temos uma varável depedete, reda per capta, e varações em apeas uma das varáves depedetes, que é o ível de captal humao. Para o coefcete dessa últma varável temos o mesmo valor utlzado aterormete: =. Defmos dos valores para,, e, 5, e um úco para :. De posse dessa formação, obtemos as dervadas parcas segudo as epressões descrtas as seções aterores para: um modelo MQO ou de erro espacal, pos são smlares com relação a smulação; dos modelos de lag espacal ou de Kelea-Prucha cada um com um dos valores de descrtos acma; um modelo de erro espacal de Durb ou de lag de X; e dos modelos espacas de Durb ou de Mask cada um com um dos valores de descrtos acma e com o valor de acma. Assm, temos ses modelos que são smlares do poto de vsta da smulação aos outros ses em parêteses. A tabela abao compara os efetos dretos, dretos e totas de cada um desses modelos. Para o MQO, os ED são meores, e os E são ulos, pos o modelo ão apreseta spllovers. Por sua vez, o modelo de lag espacal tem spllovers devdo ao lag a varável depedete. Note que quado a correlação espacal é de meor magtude,,, o ED e o E aumetam um pouco quado comparamos esse modelo com o MQO. Quado aumetamos a magtude dessa correlação para,5, esses efetos aumetam, como esperado. O modelo de erro espacal de

32 Durb apreseta spllovers devdo a varável eplcatva. Esse modelo quado comparado com o modelo MQO, verfca-se que os ED são guas, mas os modelos de erro espacal de Durb temos os E, estetes o MQO. Note que ão devemos comparar dretamete os modelos de lag espacal e de erro espacal de Durb porque os resultados depedem dos valores dos parâmetros, que aqu foram arbtraramete defdos. O modelo espacal de Durb tem os spllovers tato da varável depedete como da depedete. Note que os ED e E são mas acetuados este modelo, prcpalmete o modelo com depedêca espacal em Y de maor magtude. Tabela Efetos dretos, dretos e totas das smulações Efetos dretos Efetos dretos Efetos totas MQO,,, Lag,,,7,5 Lag,5,,79, Erro espacal de Durb,,, Espacal de Durb,,9,66,75 Espacal de Durb,5,,57 6, Vmos acma o que acotece com relação aos ED, E e ET os dferetes modelos espacas. Utlzado esses mesmos modelos, estmasse a varação a reda per capta se tvéssemos dos choques o ível de captal humao, ambos de udades: um em uma regão perférca, a de úmero sete; e outra em uma regão cetral, a de umero três. Aalsado o prmero desses choques, para o modelo MQO, temos um acréscmo apeas a reda per capta da própra regão. O modelo de lag espacal com, mostra que os efetos de spllover ocorrem bascamete para as regões vzhas, as de úmero 6 e 8. Quado se aumeta a correlação para, 5, temos um spllover maor para essas duas regões, mas verfcam-se valores relatvamete elevados também em outras mas dstates. O modelo de erro de Durb cotem o lag as varáves eplcatvas dos vzhos e assm o spllover ocorre apeas para estes, em um efeto local, como descrto acma. O modelo espacal de Durb, por

33 apresetar spllover tato da varável depedete com da eplcatva, apreseta um acréscmo da reda per capta mas elevado as demas regões. Um aumeto o captal humao da regão, cetral o dagrama, do poto de vsta teórco, devera promover um spllover mas abragete do que o observado para a regão 7, regão perférca. O resultado smulado mostrou realmete que choques em regões cetras promovem um spllover que se dstrbu para mas regões. Etretato, deve-se ressaltar que por causa do formato da matrz de pesos, que é ormalzada a lha, a tesdade total dos spllovers tem a mesma magtude em ambas as apromações. Assm, matrzes de pesos dsttas desta podem mostrar resultados bem dferetes com relação à dstrbução e a tesdade dos spllovers. Tabela Apromações do mpacto em cada uma das regões as smulações Regão MQO Lag, Lag,5 Erro de Durb Espacal de Durb, Varação de udades a regão 7 Espacal de Durb,5,,,8,,,6,,,,,,65,,,8,,9,56,,9,89,,,79 5,,,9,,8,8 6,, 6,8 5, 7,,96 7,,,79,,8,59 8,,9 7, 5, 7,67,5 Varação de udades a regão,,88,85,,7 5,7,,96,5,,6 7,,,,65,,8 5,,,9,,, 6, 5,,86,78,, 5,55 6,,,95,,5,89 7,,,5,,5, 8,,9,55,,9 7,

34 - Coclusão Esse teto, que dscute como terpretar os coefcetes dos modelos espacas, é de certa forma uma cotuação do teto ateror da sére, trodução à Ecoometra Espacal, ode foram apresetados dferetes modelos espacas: modelo de erro espacal, modelo de lag espacal, modelo de Kelea-Prucha, modelo de erro espacal de Durb e modelo espacal de Durb. Neste segudo teto da sére, foram dscutdos como terpretar os coefcetes de cada um deles. Cada um dos modelos fo dscutdo em uma seção em separado, ode foram apresetados cocetos como a estmação das dervadas parcas, apromações, efetos dretos, dretos e totas e ordem da teração Elhorst, ; LeSage e Pace, 9. Foram descrtos eemplos umércos estas seções e procurou-se assm abarcar as dfereças etre os modelos com relação a esses tópcos em uma descrção trodutóra. Em seguda, foram descrtos algus trabalhos empírcos que apresetaram estmatvas dos efetos dretos e dretos, ou de cocetos muto smlares. Esses efetos foram estmados: em estudos sobre tempo de comutação para o trabalho Krb e LeSage, 9; em aálses sobre a relação etre mgração e emgração e o custo margal dos servços goverametas LeSage e Domguez, ; em um estudo sobre crescmeto regoal da reda per capta LeSage e Fscher, 8; em modelos que dscutram a qualdade de goveros Seldado et al, 9; em aálses sobre a terdepedêca os preços de bes em dferetes países emergetes em tempos de crse Kelea et al, 6; em modelos hedócos dscutdo como que a qualdade do ar mpactava o preço de casas a Calfóra Asel e Le Gallo, 6. Algus aspectos desses trabalhos foram apresetados, dcado as dferetes possbldades de estudo com os cocetos dscutdos aqu. Por fm, fo feta uma smulação o Matlab em uma regão fctíca com oto áreas aplcado dretamete os cocetos dscutdos aqu. Procurou, assm, mostrar as dfereças etre os dversos modelos quato aos mpactos dretos e dretos em uma dscussão couta. Em seguda, foram apresetados os mpactos que seram verfcados devdo a choques eógeos em áreas cetras e perfércas, ode se observou como que os spllovers se espalham pelas dversas áreas.

35 Referêcas Asel, L. e Le Gallo, J. 6 terpolato of Ar Qualt Measures Hedoc House Prce Models: Spatal Aspects. Spatal Ecoomc Aalss, -5. Elhorst, J. Appled spatal ecoometrcs: rasg the bar. Spatal Ecoomc Aalss 5. Kelea H., Tavlas, G. e Hodroas, G. 6 A Spatal Modellg Approach to Cotago Amog Emergg Ecoomes. Ope Ecoomes Reve 7,. Krb, D. e LeSage, J. 9 Chages commutg to ork tmes over the 99 to perod. Regoal Scece ad Urba Ecoomcs 9, 6-7. Lacombe, D. e Shaughess, T. 7 Accoutg for Spatal Error Correlato the Presdetal Popular Vote. Publc Face Reve 5, LeSage, J. e Domguez, M. The mportace of Modelg Spatal Spllovers Publc Choce Aalss. Publc Choce 5, LeSage, J. e Fscher, M. 8 Spatal Groth Regressos: Model Specfcato, Estmato ad terpretato. Spatal Ecoomc Aalss, 75-. LeSage, J e Pace, R. 9 troducto to spatal ecoometrcs. Talor & Fracs Group, Boca Rato. Mask C. 99 detfcato of edogeous socal effects: the reflecto problem. The Reve of Ecoomc Studes 6, 5 5 Seldado, H., Elhorst, P. e De Haa, J. Geograph ad goverace: Does space matter? Papers Regoal Scece 89. 5