SUMÁRIO INTRODUÇÃO ÀS CARACTERÍSTICAS DE ESCOAMENTOS TURBULENTOS INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO

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1 SUMÁRIO INTRODUÇÃO ÀS CARACTERÍSTICAS DE TURBULENTOS Intodução Objectivos Caacteísticas Univesais de escoamentos tubulentos Enegia cinética tubulenta Taxa de dissipação viscosa Tubilhões coeentes Lei da taxa de dissipação Cascata de enegia Tubulência paa um campo escala Licenciatua em Engenhaia Mecânica Mecânica dos Fluidos II Abil 00 INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO A esmagadoa maioia dos escoamentos de engenhaia são tubulentos (!) 3 4

2 TURBULÊNCIA (animações) OBJECTIVOS (DNS de um jacto plano) Conhece as caacteisticas Univesais de escoamentos tubulentos e os efeitos da tubulência (LES de um jacto cicula) Domina feamentas básicas: estimativas úteis em engenhaia (LES de uma esteia de cilindos) (Velocidade vs voticidade) Conhece métodos avançados de cálculo de escoamentos tubulentos (RANS/LES/DNS) 5 CARACTERISTICAS DE TURBULENTOS 6 CARACTERISTICAS DE TURBULENTOS Iegulaidade/aleatoiedade espaciotempoal intínseca: Iegulaidade/aleatoiedade espaciotempoal intínseca: - Se o númeo de Reynolds é elevado, o escoamento exibe uma natueza apaentemente caótica, aleatóia - A agitação tubulenta impime a toda a função macoscópica do campo do escoamento (velocidade, pessão, tempeatua, salinidade ) flutuações intensas, intínsecas a esse egime 7 8

3 CARACTERISTICAS DE TURBULENTOS CARACTERISTICAS DE TURBULENTOS u (x, t ) Intensidade de tubulência: Enegia cinética tubulenta - Enegia cinética associada às flutuações de velocidade u ( x, t ) = u ( x ) + u!( x, t ) u (x ) t u Iu = u u "(x, t ) = u (x, t )! u (x, t ) t T u ( x ) = " u ( x, t )dt T o u ( x, t ) = 0 k = u + v + w ( u! Baixa intensidade: I~% (tunel vento) Média: I~0% (esc. Paietal) Fote: I~0-30% (jacto) u! ) t 9 CARACTERISTICAS DE TURBULENTOS 0 CARACTERISTICAS DE TURBULENTOS Escalas caacteisticas (maioes): - Escala de velocidade U - Escala de compimento L - escala de tempo (T ~L/U) Existem outas escalas (u<u, l<l,t<t) Impevisibilidade: - escoamentos tubulentos com as mesmas condições iniciais, com apenas pequeníssimas difeenças, tonamse muito difeentes numa escala de tempo (T ~L/U) póxima da escala de tempo de inteesse do escoamento - Resultado de extema sensibilidade às condições iniciais (temo não linea das equações de Navie-Stokes) EXEMPLO: pevisão do tempo - Poblema deteminista com caacteisticas caóticas 3

4 CARACTERISTICAS DE TURBULENTOS CARACTERISTICAS DE TURBULENTOS Gande gama de escalas: - Exemplo: escoamentos na atmosfea: gandes escalas da odem dos Km, pequenas escalas da odem dos mm, i.e., ceca de 08 gaus de libedade (!) - Sobeposição de difeentes escalas (fequências) - Exemplo: sinal com duas fequências distintas Especto de enegia - distibuição de enegia pelas váias fequências do escoamento " u + v + w =! E ( f )df 0 - Maio contibuição vem das baixas fequências - Pouca enegia paa as fequências mais altas k= ( ) - Existe uma fequência máxima 3 CARACTERISTICAS DE TURBULENTOS 4 CARATERISTICAS UNIVERSAIS DE TURBULENTOS - A maio pate da enegia está associada às gandes escalas, ao passo que a maio pate da dissipação está associada às mais pequenas escalas - Taxa de dissipação de enegia cinética Elevada dissipação (viscosa) de enegia cinética e de flutuações de um escala e.g. tempeatua: - É necessáio fonece enegia aos escoamentos tubulentos paa que as fluctuações tubulentas se mantenham dk = (* ; * = )Sij Sij dt & 'u 'u j #! Sij = $ i + $% 'x j 'xi!" - Dissipação final de enegia esulta em ( micoscópicos ) aumentos locais de tempeatua (convesão de enegia cinética em intena) 5 6 4

5 CARACTERISTICAS UNIVERSAIS DE TURBULENTOS A ORIGEM DA TURBULÊNCIA Gande difusividade/mistua: - Os escoamentos tubulentos são caacteizados po elevada capacidade de mistua (compaado com escoamentos laminaes) de momento, enegia, massa e objectos passivos (escalaes ou vectoes) e.g. calo, salinidade etc. Elevado númeo de Reynolds : - Os escoamentos tubulentos têm luga na natueza e em engenhaia onde, em geal, os númeos de Reynolds são muito elevados - As foças viscosas, que em geal atenuam e dissipam as flutuações tubulentas oiginadas po uído, vibações, ugosidade das supefícies etc. são pouco impotantes 7 Voticidade: Vótice vs tubilhão: - Po conseguinte, instabilidades iniciais são amplificadas pelos temos não lineaes de Navie-Stokes e os escoamentos tonam-se tubulentos 8 ( = $&u #w #v (x = ' #y #z #u #w (y = ' #z #x #v #u (z = ' #x #y lim lim v ($ & u ).nds = (.n = u.dl s % 0 S!S s % 0 S C! 9 #( x #( y #( z $.( = + + =0 #x #y #z " =! u.dl =! (.n ds C Pof. Calos Bettencout da Silva S 0 5

6 Rotação copo ígido: Vótice de Rankine: u (,, z ) = % # K / 'R < R u) (, ), z ) == "! K / ' > R u = u z = 0 u = u z = 0 +, (u ),u ( 0 z = (/. u )z = ) & = % *,, ' u %p =( ) % Vótice iotacional: u = K / ; u = u z = 0 # (K / 4' $ (K / 8' R 4 p& $ p ( ) = " (K / 8' > R! #0 > 0 0z = "!$ = 0 TURBILHÕES COERENTES SÃO ZONAS DE: - Concentada voticidade, baixa pessão etc. - Têm um longo tempo de vida (compaado com as escalas de tempo caacteísticas do escoamento - São convectadas com o escoamento SÃO MUITO IMPORTANTES EM TURBULENTOS PORQUE: - Govenam 80-90% do tanspote de massa, momento, tempeatua, salinidade, facção de mistua etc. - Obedecem a leis simples (invíscido) - Pemitem explica fenómenos físicos complexos Vótice vs tubilhão: <R 3 4 6

7 A CASCATA DE ENERGIA DE RICHARDSON-KOLMOGOROV Enegia cinética associada a baixas fequências (gandes tubilhões) Dissipação viscosa associada a gandes fequências (pequenos tubilhões) Existência de uma cascata de enegia onde enegia é tansfeida dos gandes paa pequenos tubilhões Gandes e pequenos tubilhões: 5 A CASCATA DE ENERGIA DE RICHARDSON-KOLMOGOROV Podução: Estutua macoscópica (activa, inviscida, anisotopica, escalas U e L: Cascata de enegia (inviscida, isotópica) Dissipação: Mico-estutua (passiva, viscosa, isotópica, escalas de Kolmogoov) 6 A CASCATA DE ENERGIA DE RICHARDSON-KOLMOGOROV Tubilhões de dimensão l: Taxa de tansfeência de enegia (=enegia cinética tansfeida/tempo): l : u (l );! (l ) = l / u (l ); u (l ) T (l0 ) = u0 (l0 ) /! (l0 ) = u03 / l0 Gandes tubilhões: dimensão l0 l0 : u0 (l ); Re = u0 (l )l0 /# >> ; u0 (l ) " u! (Reynolds elevado - tansfeência de enegia é um mecanismo inviscido) T (l ) = u (l ) /! (l ) = u 3 / l Tubulência em equilibio:! = T (l0 ) = u03 / l

8 CARÁCTER FRACTAL DA VELOCIDADE LEI DA TAXA DE DISSIPAÇÃO EM TURBULENTOS A TAXA DE DISSIPAÇÃO VISCOSA DE ENERGIA CINÉTICA É INDEPENDENTE DA VISCOSIDADE! # 3 ) *ui & $ =!Sij Sij ~ U " =! ' ' *x $ l ( j%! No limite quando a viscosidade tende paa 0,'% (ui $" tem de tende paa infinito(!) % (x " & Onde U é uma velocidade caacteística do escoamento e L um compimento associado às maioes escalas do escoamento, espectivamente. Execício: Mosta que esta ega é veificada (paa númeo de Reynolds elevado). No caso de escoamentos paietais (usando o diagama de Moody) e paa o caso do escoamento em tono de um cilindo. 9 LEI DA TAXA DE DISSIPAÇÃO 30 LEI DA TAXA DE DISSIPAÇÃO Diagama de Moody: Paa Reynolds elevado f é constante Cilindo de dimensão caecteistica L (áea fontal S) deslocando-se num fluido com velocidade U: - Foça necessáia paa mante o movimento: F = C D!SU Aasto num cilindo: Paa Reynolds elevado Cd é constante #! ' (u $ U3 * =) % i " ~ % (x " l & j# Execício: Calcula a taxa de dissipação na atmosfea e na esteia de um cilindo j - Velocidade deixa de se difeenciavel e singulaidades apaecem. - Alguns fenomenos natuais têm descições não analiticas. Factais: linhas que limitam àeas finitas mas têm compimentos infinitos. 3 S / = L - Enegia cinética dissipada/tempo=tabalho necessáio paa move o objecto à velocidade U/tempo=Potência: P= dw "Ec = = FU = C D!LU 3 dt "t 3 8

9 ENERGIA CINÉTICA DOS TURBILHÕES DE DIMENSÃO L: LEI DA TAXA DE DISSIPAÇÃO - Taxa de dissipação viscosa (=vaiação de Enegia cinética po unidade de massa de fluido): C D!LU 3 dk dw U3 U3 3 "= = /!L = = CD ~ 3 dt dt!l L L! ~ u 3 (l ) / l " > u (l ) ~ (!l )/ 3 Enegia cinética dos tubilhões de dimensão l: u (l ) ~ (!l ) / 3 33 MICRO-ESCALA DE-KOLMOGOROV 34 AS HIPÓTESES DE KOLMOGOROV Os gandes tubilhões são anisotópicos e afectados pelas condições de fonteia Na cascata pedem anisotopia Ao nível dos pequenos tubilhões existe isotopia Toda a infomação das gandes escalas pede-se duante a cascata de enegia! ~ u 3 (l ) / l " > u (l ) ~ (!l )/ 3 Paa dimensões de tubilhões muito pequenas o númeo de Reynolds tona-se baixo e efeitos viscosos tonam-se dominantes l & 0, u (l ) & 0 : % > u (l )l / $ ~ l = " = (! 3 / # )/ 4 Mico-escala de Kolmogoov l / " = (u (l )l /! ) 3 /

10 AS HIPÓTESES DE KOLMOGOROV AS HIPÓTESES DE KOLMOGOROV HIPÓTESE DE SEMELHANÇA SEMELHANÇA DAS ESCALAS DISSIPATIVAS: Em todo o escoamento tubulento a númeo de Reynolds suficientemente elevado, as estatisticas das escalas l<l_ei são Univesais e dependem apenas de " e de! (da análise dimensional) / 4 &( 3 # l* = * = $$!! %' " / 4 u* = ('( ) / &( # )* = $! %' " 37 Re = u 0 l0 $ # = Re!3 / 4 l0 u# = Re!/ 4 u0 "# = Re!/ "0 38 DESCRIÇÃO ESTATÍSTICA DA TURBULÊNCIA MICRO-ESCALA DE TAYLOR Escala de Taylo (intemédia ente l e Kolmogoov) Reynolds baseado na Mico-Escala de Taylo:! ' (u $ ) = u! / % " = 5+ u! /, & (x # u!) Re ) = + * << ) << l0 Re " = u #" /! Se Re! > 00 Escoamento tubulento (lei da taxa de dissipação válida)

11 ESCALAR PASSIVO ESCALAR PASSIVO Dissipação de um campo escala: %! + (u.# )! = "#! %t %! / + #.! / u = #.["#! ]$ " (#! ) %t ( ) [( ( )] 4 Poblemas de aplicação: 4 Poblemas de aplicação: Execício: É necessáio concebe um avião de obsevação telécomandado que vai voa a 00km/h. A dimensão caacteistica do apaelho é de L=5m. Supondo que o volume de fluido deslocado pelo avião sao l3=0.4m3 faça uma estimativa gosseia da potência do moto que é necessáio instala usando a lei da taxa de dissipação. Execício: Considee um paque eólico onde estão montadas 50 tubinas eólicas com pás de 8m de aio. Paa faze um cálculo num escoamento de camada limite atmosféica que passa modeladas como um disco de aio igual ao aio das pás e estime a taxa de dissipação na sua vizinhança é necessáio estima a taxa de dissipação povocado pelas tubinas pesentes no paque eólico. Considee que as pás de cada tubina podem se causado pelas 50 esteias das tubinas em movimento. ) d! / = %" ($! ) dt #! = " ($! ) 43 Execício: Um avião com um anemómeto de fio quente montado na ponta da asa tem de voa atavés da camada limite tubulenta da atmosfea a uma velocidade de. As flutuações de velocidade na atmosfea são da odem de u e a escala de compimento dos gandes tubilhões é de ceca de L. (a) O anemómeto tem de se concebido de foma a egista o movimento dos pequenos tubilhões. Qual a fequência mais elevada que o anemómeto pode egista? (b) Qual deve se o compimento do senso de fio quente? Execício: Numa eupção vulcânica e ciada uma pluma tubulenta na qual a escala integal L ~ 0 m e uma velocidade típica da tubulência e ceca de 0 m/s. Tomando a viscosidade do gás igual a m/s estime a taxa de dissipação no escoamento e o tamanho dos mais pequenos tubilhões na pluma. 44

12 Poblemas de aplicação: Execício: Compae as escalas de tempo caacteísticas de um pocesso de difusão de um campo escala paa escoamentos laminaes e escoamentos tubulentos. Como exemplo considee a difusão de calo numa sala (com dimensão linea caacteística L em que é instalado um aquecedo eléctico. Se não houve nenhum movimento do a na sala, o calo teá de se distibuído po difusão molecula, o qual é govenado pela equação de difusão ( theta é a tempeatua e gama é a difusividade témica, a qual se supõe constante): (a) Moste que a escala da tempo associada à difusão molecula de calo é Tm~L/gama. (b) Moste que a escala de tempo associada a um pocesso de difusão tubulenta e Tt~L/u, ou seja Tt/Tm~gama/uL. Nota: paa os gases, a condutividade de calo gama é da mesma odem de gandeza que a viscosidade cinemática niu (paa o a, ). 45