Universidade Federal de Santa Catarina UFSC. Centro de Ciências Físicas e Matemáticas CFM. Departamento de Matemática.

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1 Univrsidad Fdral d Sana Caarina UFSC. Cnro d Ciências Físicas Mamáicas CFM. Dparamno d Mamáica. Trabalo d Conclsão II TCC II. Problmas d ransmissão ópica gomérica Florianópolis, jlo d 9.

2 Problmas d ransmissão ópica gomérica Acadêmico: Digo Sab Flip Marícla: 337 Smsr: 9. Profssor Orinador: Fli Pdro Qisp Gomz.

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4 Agradcimnos: So grao inicialmn a mina mã q m odos os momnos do crso m incnivo a nnca dsisir a conqisar ms objivos. A Univrsidad Fdral d Sana Caarina q m d a opornidad d sdar m ma insiição graia d qalidad. Aos ms colgas d facldad do Cnro Acadêmico m spcial ao Liz Frnando Nazari a Flip Frronao Vargas q smpr sivram do m lado nss camino rilado. Aos ms msrs Féli Gómz, q no momno qando não ina para ond corrr m acol m ajdo, ao profssor Rbns Sar por sa ransparência, amor ddicação ao crso d mamáica licnciara, q rago oj comigo. 3

5 . Smário.. Inrodção Concios básicos d qaçõs difrnciais Principais qaçõs difrnciais parciais Solção d ma qação difrncial parcial linar Condiçõs d fronira Sprposição d solção A barrira d Támsis: m mplo d conrol ambinal A qação da onda: As formlas d d Almbr D. Brnoilli Cálclos ddção das proposas das d solçõs d D Alambr Brnolli A ópica Gomérica Problmas d ransmissão inrfass Prvisão conrol d rrmoos Problma invrso Simlação nmérica ondas spúras Prspcivas fras Conclsão...5.Rfrências Bibliográficas...5 4

6 . Inrodção. No séclo XVII s inicia o sdo d Eqaçõs Difrnciais Parciais com a criação do calclo difrncial ingral, a parir daí, dsnvolv-s no séclo XVIII varias ára d aplicaçõs das qaçõs difrnciais parciais, ma dlas foi moivada por d Almbr D. Brnoilli q obivram ma qação difrncial parcial q prssa a vibração m ma corda, a onda, assim sablcndo os pilars fndamnais da analis mamáica. D Brnoilli m 753 obv a solção d ma qação d ma corda vibran., C r sn L D r cos L sn L Ds modo s dram os primiros passos no sablcimno d m méodo clássico na rsolção d ma EDP: o méodo d sparação d variávis d Forir. Cab lvanar porq s méodo gana o nom d J. Forir não d D. Brnoilli, isso aconc porq J. Forir no rabalo sobr qaçõs do calor sablc complamn os passos para sa rsolção, nqano D. Brnoilli rsolv iniivamn, pois m s mpo não avia claramn as noçõs d fnçõs. Sndo assim, as aplicaçõs dscobras no séclo XVIII são ilizadas a os dias aais, mas dssas aplicaçõs é ilizada na barrira d Tamésis m Londrs q com as inndaçõs consans, consríram ma barrira conra as ágas, sndo ncssário a prvisão das mars ormnas, assim dsnvolvndo o calclo das EDP s, ainda mos o crscimno na ópica gomérica q ddz a vibração d ma onda m R, ndo como mplo m ambor ssa ddção é m comparaivo para a prvisão d rrmoos. 5

7 Lvanamos ainda ns rabalo a qsão do dsnvolvimno d simlaçõs nméricas, oj com o avanço nas áras cnológicas, obmos ma grand poência d cálclo, nramos no sgin paradoo: podmos simplsmn confiar m nosso crscn capacidad d calclo d simlaçõs nméricas? Não é fácil rspondr ssa prgna, para rspondr com clarza é ncssário ralizar ma anális mamáica rigorosa nos sqmas nméricos implanados no problma m qsão. Assim vrmos sa qsão mais a fndo no capílo d simlaçõs nméricas ainda algmas aproimaçõs. Por úlimos obsrvarmos as prspcivas fras da oria do conrol, aond sa sá sndo aplicada qal sas prspcivas, algmas das áras aplicadas são: robóica, srras spaciais, sismas nrgéico, conrol d combsão, conrol d flidos nr oros. 6

8 3.Concios Básicos Em nossos capílos sarmos sdando divrsos ipos d qaçõs difrnciais parciais (EDP), q são assim camadas pois são qaçõs q coném drivadas parciais, iso é, a variávl dpndn dv sr ma fnção d das o mais variávis indpndns, pois, caso conrário não avria drivadas parciais. Por mplo: y z 4y (3.) (3.) y ond, y, z na qação (3.) rprsnam as variávis indpndns, nqano (, y, z) a variávl dpndn. Já no caso (3.), é ma fnção d das variávis, (, y ). Toda qação difrncial parcial possi ma ordm, q é sablcida pla maior ordm da drivada da fnção dpndn. y z A qação acima, mais concida como qação d Laplac m rês variávis, é m mplo d qação d sgnda ordm. Já a qação sgin: é m mplo d qação d primira ordm. 6y y, As qaçõs difrnciais parciais além d srm classificadas por sa ordm, ambém são classificadas como não-linars linars. Uma qação difrncial parcial linar é caracrizada plo fao d q a variávl dpndn sas drivadas são no primiro gra, ambém por não ocorrr prodo nr a variávl dpndn sas drivadas parciais. ( ) y 4 y (3.3) 7

9 y (3.4) A qação (3.3) é m mplo d ma qação não-linar, já a qação (3.4) concida como qação d condção o difsão do calor é m caso d qação difrncial parcial linar. No dcorrr d nossos sdos sarmos dando ênfas a casos pariclars d qaçõs difrnciais parciais linars q rprsnam fnômnos físicos, diando d lado as qaçõs não-linars. Uma qação difrncial parcial linar pod sr classificada como omogêna nãoomogêna, o q caracriza sa qação sr omogêna é o fao d q cada rmo da qação dv conr o a variávl dpndn, o ma das sas drivadas parciais. (3.5) y A qação (3.5) cjo são consans arbirárias, rprsna ma qação linar omogêna. Enqano a qação (.6): y (, ) f y (3.6) ond f (, y ) é ma fnção dada, é ma qação linar não - omogêna. E como no caso das qaçõs difrnciais ordinárias linars omogênas, caso,, 3..., n form n solçõs d ma qação difrncial parcial linar omogêna, não ma combinação linar dsas solçõs c c c33... cn n ond os coficins c, c, c3..., c n são consans arbirárias, ambém é solção da msma qação difrncial. Camamos s rslado d princípio d sprposição. Mais adian dmonsrarmos s princípio. 3. PRINCIPAIS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Mias das qaçõs difrnciais q sarmos sdando sarão rprsnando fnômnos físicos, mosrando q as lis da física podm sr scrias m rmos d qaçõs difrnciais parciais. 8

10 Algmas dsas qaçõs são as sgins: ) c qação da onda. ) qação d condção o difsão do calor. 3) qação d Laplac. 4) qação d Hlmolz. 5) f (, y, z) qação d Poisson. 6) p qação bi-armônica da 7) qação bi-armônica. 9) qação d Klin-Gordon. onda ond ( ). 8) E V (, y, z) qação d Scrödingr. Em odas as qaçõs é oprador Laplaciano dfinido como: y y z (m das variávis y, ) m rês variávis, y, z dpndndo do númro d dimnsõs do spaço, é o oprador D Almbriano, dfinido, a variávl do mpo,, c,,, p,, E são consans f V fnçõs dadas. c Lmbrando q sa é ma pqna lisa d qaçõs difrnciais imporans na física mamáica. 3. Solção d ma qação difrncial parcial linar. Dfinimos como solção gral d ma EDP linar, ma solção da msma q conna fnçõs arbirárias, formando assim m conjno d odas as solçõs pariclars da qação. Para plicar mlor considramos o sgin mplo: Sja (, y) f ( y ) (3.7) ond f ( y ) é ma fnção arbirária d y. Difrnciando primiramn m rlação a (.9) dpois m rlação a y (.) mos: (, y) f ( y) y (3.8) (, y) f ( y) (3.9) y 9

11 somando agora (3.8) com (3.9) nconramos: (, y) (, y) f ( y).( y ) y sabndo q f ( y) y por (3.9), iramos a sgin qação difrncial parcial y.( y ) y y y y (3.) y q m como solção gral (3.8), pois dada qalqr fnção f ( y ), f ( y ) é solção dsa qação. Por mplo,. y sn(. y ) ond dfinimos. y sn(. y) como solçõs pariclars. 3.3 Condiçõs d Fronira As qaçõs difrnciais parciais dvm salmn saisfazr cras igências, como nas qaçõs difrnciais ordinárias. Dnominamos ssas igências d condiçõs d fronira. Podmos dizr q ma qação difrncial parcial m conjno d condiçõs d froniras podm rprsnar m fnômno físico, s sa ivr solção única, pois aprsnando m conjno d dados m m fnômno físico ss nos lvam à m único rslado, ambém qando dada ma pqna mdança nas condiçõs d fronira concidas como: condiçõs d conorno, rslam m apnas pqnos dsvios na solção, pois as condiçõs d fronira são obidas aravés d priências q ocasionam pqnos rros, sss rros não dvm ocasionar grands dsvios nas solçõs. y Procramos agora ma solção q saisfaça as sgins condiçõs d fronira (,) (, y) y (, y) y

12 podmos vrificar facilmn q (, y) cos. y saisfaz a qação as condiçõs d fronira. Não é fácil d s obr ipos d condiçõs d fronira q condzam as qaçõs difrnciais parciais linars à solçõs únicas sávis; s sdo é m poco difícil, mas ism rês ipos principais d condiçõs q aparcm frqünmn m sdos d fnômnos físicos: Condiçõs d Diricl, q é ilizada qando o fnômno físico aa sobr oda a rgião d m corpo, ond são concidos os valors da fnção m cada pono da fronira da rgião. Condiçõs d Nmann, q ilizada qando o fnômno físico sá aando nas froniras d ma rgião, ond são concidos os valors da drivada normal fnção na fronira. v da Condiçõs d Cacy, ns caso ma das variávis indpndns é a variávl (mpo) são concidos os valors d d para. Um mplo d EDP sjia as condiçõs d froniras sria a sgin c (,) g( ) (,) ond (, ) como podmos noar as condiçõs são do ipo d Cacy. 3.4 Sprposiçõs d solçõs Dfinimos anriormn o princípio da sprposição, q diz q s,, 3..., n são n fnçõs q saisfazm ma qação difrncial linar omogêna, não ma combinação linar dsas fnçõs c c c33... cn n ond ci,( i,,3,..., n) são consans, ambém srá ma solção da qação. Podmos vrificar s princípio facilmn, pois s, são das fnçõs d m conjno d fnçõs L m oprador q m as sgins propridads:

13 L( ) L L L( c ) c L ond c é ma consan, dnominamos L como sndo m oprador linar do msmo modo podmos mosrar q s,, 3..., n são n fnçõs d m msmo conjno L m oprador linar, não ond n L c c L c i são consans. S analisarmos agora i i i i i i L n d, vrificarmos q L é m oprador d linar sobr o conjno d odas as fnçõs d ma variávl, difrnciávl plo mnos ma vz. Dnominamos s oprador d oprador difrncial linar. O msmo aconc s L, L srá novamn m oprador difrncial linar, mas agora do conjno d odas as fnçõs d das o mais variávis indpndns, q são difrnciávis plo mnos ma vz m rlação a qalqr variávl. Enão oda qação difrncial parcial linar omogêna pod sr scria da sgin forma L ond L é m oprador linar é variávl indpndn. Um mplo sria a qação a sgir ond 4 4 L 4 é o oprador difrncial linar da qação. L Agora s,, 3..., n form solçõs d ma EDP linar omogêna não como L é m oprador linar mos L i com i,,3..., n c i ma consan, não: ci Li Lci i n c L L c i i i i i i n

14 Iso mosra q ma combinação linar arbirária d solçõs d ma EDP linar omogêna ambém é solção da qação,, s é o princípio d sprposição. Es princípio é d grand ilidad, pois caso sja possívl nconrar cro conjno d solçõs d ma qação difrncial parcial linar omogêna, alvz possamos nconrar ma combinação linar dsas solçõs q saisfaçam odas as condiçõs d froniras imposas. 3

15 4.A barrira d Támsis: m mplo d conrol ambinal Para os q vivm rabalam no lioral é imporan a capacidad d prvr os sados do mar. É rlvan sar capaciado para as prvisõs não somn para os q navgam mas ambém para aqls q abiam as cosas, com o objivo d progr d possívis d inndaçõs. Esas s prodzm aravés d complas inraçõs nr maras, ondas ormnas. Os vnos as variaçõs na prvisão amosférica dvido a ma ormna podm prodzir lvaçõs dprciaçõs d vários mros no nívl do mar m m príodo d mpo q podm ir d varias oras a dois o rês dias. Os vnos ambém gram ondas m príodos d mpo d a vin sgndos longids d a dznas d mros. Os fios combinados dos faors podm ocasionar m alo risco d dsrição inndaçõs. A amplid do dsasr dpnd frqnmn d m possívl fio d acmlação com as mars. Qando sas lvaçõs ondas são alas, o risco d inndação é vidnmn mio maior. Es problma a cga a sr considrado como ma vrdadira prioridad m mios lgars do nosso plana. Sm ir mio long, m Londrs q m consans inndaçõs rglars, algmas dlas mio rlvans, dvida a inndação insprada do nívl do Tamésis dsd a idad média. As lvaçõs das ágas pod inclsiv sprar os dois mros do nívl médio sprado. Por ora par, o nívl médio da ága na pon d Londrs s lva 75 cnímros a cada séclo, por casa do drrimno das caloas polars, ss problma s agrava cada vz mais. O procsso d como ocorrm ssas inndaçõs é o sgin: Com as baia prssão amosférica na cosa do Canadá, o mar s lva ns 3 cnímros nma zona d 6 ilomros d diâmro. Esa lvação da ága s mov aravés do alânico com ma vlocidad d 8-9 ilomros por ora a cgar ao nor da Inglarra. Ocasionalmn, os vnos do nor podm mprrar sa lvação ao longo do mar do Nor nviando milõs d onladas d ága adicional ao rio acima no Támsis. Em 953 ov ma inndação dsasrosa q afo 3 pssoas q cobri d ága 64. cars. Ns momno, o govrno briânico coloco a rabalar m comiê 4

16 dirigido por Lord Wavrly, q não manifso a ncssidad d algm ipo d mcanismo d dfsa. Mas não avia m consnso sobr qal ra a mlor solção. Finalmn m 97 s omo a dcisão d consrir ma barrira q s fca qando a prvisão indicam m grand amno do nívl médio da ága. Após 8 anos com mais d 4 pssoas rabalando inagro-s m 984 a barrira conra as ágas. A barrira sa consiída por norms barriras d acssos consrídas sobr ma srra cravada no fndo do rio doadas d maqinário q prmi o ráfico com normalidad qando a barrira sa abra, é fcada somn m caso d ncssidad. Dsd q foi consrída, a barrira foi fcada m rês ocasiõs. Obviamn, a barrira é fcada o mínimo d vzs possívl pois qando fcada inrfr diramn na navgação, casando prdas conômicas ransornos imporans, ma vz fcada, não pod sr abra nqano o nívl do mar não s igalar m ambos os lados da barrira, ss mpo dra m média 8 oras. Por oro lado, s ncssia d das oras para fcá-la, assim, sndo, não s pod sprar plo conao visal do amno do nívl das ágas, sndo não, ncssário rabalar com bas nas prvisõs. As comporas são fcadas somn qando é imprscindívl, basado nos méodos d prvisão smamn viávis. Na aalidad, as prvisõs s ralizam mdian modlos mamáicos q combinam m modlo para as mars m orno da ila Briânica m modlo d prvisão morológica. Ds modo s obém prvisõs com 3 oras d ancdência, rcbndo assim m cada ora informaçõs d ponos slcionados m orno da cosa. Es modlo é simlado m sprcompadors da Oficina Morológica Briânica os rslados s ransfrm ao oprador da barrira d Támsis. Ess dados s ransladam a oro modlo, s úlimo m maior scala, q inrvém no Mar do Nor, no sário do Tamésis na par baia do rio Tamésis q m conao com as mars. Os rslados obidos s ibm s comparam com as prvisõs médias, m visa do rslado, as aoridads das barriras são abiliadas a omar as dcisõs cabívis. Os modlos q são sados na aalidad são sismas d EDP q s rsolvm mdian méodos nméricos m difrnças finias. Dsd os anos sssna, ano os modlos como os méodos nméricos vêm volindo. Es, jno com a maior capacidad d cálclo dos compadors q s dispõ, prmiindo cálclos smamn viávis. 5

17 Apsar d a barrira rspondr as ncssidads d oj, o problma não sa rsolvidas a longo prazo. Uma vz q o nívl médio do rio sob 75 cnímros a cada séclo. Assim, com o mpo, s méodo diará d sr ficin. Por fim, mbora s fnômno não sja frqün, m-s q com o mpo as baias no nívl da ága possam ocasionar ncalamno d navios. 4. A qação da onda: As formlas d D Almbr D. Brnolli A qação da onda é sm dvida m dos mplos mais clássicos rlvans ao q s rcorr nos sdos d qaçõs m drivadas parciais (EDP). Não sndo m mplo mramn acadêmico, nm mio mnos. Os primiros sdos sobr as qaçõs aos q nos rfrimos mais adian, s ralizaram no séclo XVIII, época q savam s sablcndo os pilars fndamnais da anális mamáica, al como é nndida nos dias d oj. Os dsnvolvimnos posriors foram associados a avanços imporans na Anális d Forir, Ópica Gomérica, Analis nméricas, c. d modo q, pod-s dizr q a qação da onda m sido m dos proagonisas, mas dsacados da mamáica nos úlimos séclos. Em ma dimnsão spacial, a qação da onda é m modlo simpls para a dscrição das vibraçõs d ma corda, nqano q m varias dimnsõs spaciais dscrv vibraçõs d m ambor a propagação das ondas acúsicas. Comcmos considrando a qação da onda: (, ) (,) ( l, ) ( ), (,) ( ) l, l (4.) O sisma (4.) acima é m modlo simpls para a anális das vibraçõs d ma corda d longid l (q ocpa o inrvalo spacial m ], l[ ) ss rmos = = l. A incógnia = (,), q dpnd do spaço do mpo, dnoa a alra a q s nconra o pono da corda (no inrvalo ], l [ ), nm insan d mpo. S raa d ma qação difrncial m drivadas parciais d ordm dois, complmnada por das condiçõs d conorno q rflm q a corda sa fiada m ss rmos. 6

18 Na lima qação d (4.) s colocam as condiçõs iniciais q a solção dv saisfazr no insan. Traar-s d ma qação difrncial d sgnda ordm no mpo impomos ano a configração inicial d,, como a vlocidad inicial Noação. Uilizamos os símbolo rlação as variávis. para dnoar o oprador d drivação parcial com Es é m dos modlos mais clássico q s analisa sismaicamn m odos os os básicos d Eqaçõs m Drivadas Parciais. Em 747 D Almbr m [] [] propôs a sgin prssão para a solção gral d ma qação da onda sm condiçõs d conorno (, ) f ( ) g( ) (4.) Convêm obsrvar q a prssão da solção q (4.) proporciona não é mais q a sprposição d das ondas d ranspor: f( + ) q s dsloca sm dformas a vlocidad m na dirção ngaiva no io, nqano q g( - ) dsloca-s a diria. Não é difícil cgar a conclsão d q (4.) proporciona a prssão d ma solção gral da qação da onda. Em fio, basa obsrvar q o oprador difrncial onda s pod faorar como: nvolvido m ma qação d (4.3) Vmos não q as das ondas d ranspor s dcompõm m das solção, q são as sgins: ; (4.4) rspcivamn. Em fio, a solção da primira qação é da forma = g( ) nqano q a da sgnda é = f ( + ). Posriormn, D. Brnolli m 753 m [] obv a solção da qação d ma corda vibran da sgin forma:, Crsn Dr cos sn (4.5) l l l 7

19 Ds modo s dram os primiros passos no sablcimno do m dos méodos clássicos na rsolção d ma EDP: o méodo d sparação d variávis d Forir. Cab qsionar por q s méodo lva o nom d J. Forir s D. Brnolli não é ilizado. Iso é porq somn no rabalo d 8 d J. Forir sobr a qação do calor [9], fico complamn sablcido o programa a sgir na ora d rsolvr ma EDP aravés ds méodo q nvolv varias apas: ) Dcomposição dos dados do problma m sris d Forir. ) Obnção da volção d cada coficin d Forir m fnção da EDP dos dados. 3) Rconsrção da solção como sprposição d cada ma das componns d Forir (Séri d Forir). Qando D. Brnolli obv fivamn ma prssão do ipo (4.5), m s mpo, não savam bm claras as noçõs d fnção d rprsnação analíica d ma fnção. Somn J. Forir indico com clarza como, dada ma fnção, s pod calclar os coficins d Forir. Ds modo sablc as bass d ma das ranças mais imporans da mamáica: A anális d Forir o Anális Harmônica. Uma primira qsão imporan q s lvano d manira naral é a coincidência das prssõs do ipo (4.) (4.5). Na vrdad, na mdida m q para dados iniciais fiados (proposição vlocidad inicial d ma corda) a solção d (4.) é única, s as rprsnaçõs (4.) (4.5) são validas, ambas m d coincidir. A afirmação anrior é vrdadira. Considrando m dos rmos nvolvidos m (4.5). Por mplo cos sn. Uilizados nas formlas rigonoméricas l l abiais vmos q cos l sn l sn l sn l f f 8

20 D ond: f ( z) sn l z Traando d modo análogo os dmais rmos d (4.5) vmos q na vrdad, a fnção dsnvolvida m sris d Forir (4.5) pod sr scria na forma d (4.) como sprposiçõs d das ondas d ranspor. Esa simpls obsrvação ilsra o modo m q nm dsnvolvimno m séris d Forir pod dcar-s a vlocidad a q s propaga a fnção rprsnada por aqla séri. Efivamn, como mncionamos anriormn, como s dsprnd da fórmla d d Almbr (4.), a vlocidad d propagação no modlo (4.) é m. Iso pod obsrvar-s ambém no dsnvolvimno das sris d Forir (4.5) por m simpls fao d q a ma oscilação spacial sn l corrspond ma rsposa mporal na forma C D rsn l r cos. l Ns caso, o dado inicial é na forma: A solção corrspondn é: i (,) a (4.6) 3 3, a (4.7) i Obsrv não q as difrns componns d Forir da solção são da forma i 3 3 i f cos f ( z) i z Porano, cada componn d Forir s propaga nma vlocidad disina. 9

21 4.Cálclos ddção das proposas das solçõs d D Alambr Brnolli Vamos ilizar agora o méodo d Forir para acar a solção da qação difrncial parcial linar (4.8) mais concida como qação da onda nidimnsional, com as sgins condiçõs d froniras d Diricl (, ) ( l, ),, (,) f ( ), l, (,) g( ), l, ond f g são fnçõs dadas, l ma consan dada. Solção: Para aplicar o méodo d Forir vamos admiir ma solção q sja sparávl da forma: (, ) X ( ) T( ) ond X é ma fnção d T ma fnção somn d. Assim a qação (4.8) ficaria da sgin forma: X. T T. X vamos agora mliplicar ambos os lados por XT., com XT. não rmos o sgin: d X d T X d T d S analisarmos, vrmos q do lado sqrdo da igaldad rmos ma fnção somn d do lado dirio ma fnção q só dpnd d, não podmos afirmar q para a igaldad sr vrdadira é ncssário q X d T d d X dt ond é ma consan d sparação. Podmos noar agora q ano a primira qação como a sgnda são qaçõs difrnciais ordinárias,,

22 d X X, d (4.9) dt T, d (4.) podmos dscobrir as fnçõs X T rsolvndo cada ma dsas qaçõs difrncias ordinárias, mas não podmos sqcr q a qação (, ) X ( ) T( ) dv saisfazr as condiçõs d fronira não (, ) X () T( ),, ( l, ) X ( l) T( ),, omando T, pois caso conrário iríamos nos dparar com a solção rivial (, ), mos X () X ( l ), (4.) caso sja zro, mos como solção da qação X ( ) A B, como X () X ( l), conclímos q A B assim caímos novamn na solção rivial. Caso sja posiivo ( w ), como falamos vamos nos dparar com ma qação difrncial ordinária linar d sgnda ordm (4.9), q m o sgin polinômio caracrísico ond as raízs ds polinômio são pariclars da qação (4.9) são r. r w r w w, w q são raízs rais, não das solçõs X ( ) X ( ) w w plo princípio da sprposição mos q w w X ( ) A B, w w ambém é solção da qação (4.9), ns caso é o solção gral, pois, são linarmn indpndn, para confirmar iso basa calclar o Wronsiano vrificar q

23 l rsla m m númro difrn d zro implicando q as das fnçõs são linarmn indpndns. Wronsiano( f, g) romando mos novamn por (4.) q A B novamn nos dparamos com a solção (, ). d f f g g Caso sja ngaivo qação (4.9) é o sgin ( w ), ns caso o polinômio caracrísico da ond as raízs ds polinômio são r. r w r w wi, solçõs pariclars da qação (4.9) são X ( ) cos w X ( ) sn w wi q são raízs complas, não das rsolvndo novamn o Wronsiano das fnçõs acima, vrmos q las são linarmn indpndns não nconramos como solção gral da qação (4.9) q plas condiçõs d fronira, mos iramos q X ( ) Acos w Bsn w, X () Acos w Bsn w Acos Bsn A X ( l) Acos wl Bsn wl Acos wl Bsn wl Bsn wl Como não qrmos B, pois snão rmos novamn a solção rivial, sn wl Esa igaldad implica q w r l, r,,3... clímos o caso r, q nos dá w rslaria novamn na solção rivial. (4.)

24 Rsolvndo agora a qação (4.), com caracrísico ria das raízs complas, wci, nconramos a sgin qação gral. T ( ) C cos wc Dsn wc w, novamn o polinômio wci, fazndo os dvidos passos, ond C Dsão consans d ingração. Usando agora nossa idéia inicial q (, ) X ( ) T( ) mos (, ) sn w.( C cos wc Dsn wc ) (4.3) no q a consan arbirária B foi igalada a, para faciliar os cálclos. Mas olando novamn para (4.), noamos q w assm ma infinidad d valors, pra cada valor d w formamos ma solção pariclar q m a forma (4.3) c c w, (, ) sn.( C cos D sn ), l l l l c c w, (, ) sn.( C cos D sn ), l l l l r r r c r c wr, r (, ) sn.( Cr cos Dr sn ), l l l l (4.4) ond 3 r. C, C, C..., C,..., D, D,..., D,... são consans arbirárias. Cada ma dsas r prssõs d (, ) acima são solçõs da EDP linar (4.8), sas saisfazm a condição d fronira (, ) ( l, ),. Agora plo princípio da sprposição podmos afirmar q qalqr combinação linar dsas solçõs ambém é solção da qação da onda (3.), o sja, a sgin combinação linar ambém é solção r c r c r (, ) Crcos Dr sn sn l l l r (4.5) sa é a solção gral, saisfazndo como dio ans, apnas a sgin condição d fronira (, ) ( l, ),. Agora vamos saisfazr as condiçõs 3

25 (,) f ( ), l, (,) g( ), l, sas condiçõs como vrmos drminaram a consans arbirárias Considramos primiramn (,) f ( ), l, não mos (4.5) m r c. r c. r (,) Cr cos Dr sn sn l l l r r (,) Cr cos Dr sn sn l r r (,) Cr sn l r sbsiindo (,) f ( ) mos C D. r r f ( ) C sn r r r l (4.6) Agora ilizando a úlima condição d fronira (,) g ( ), l, para dscobrir D vamos drivar (4.5) m rlação a aplicar m. Assim rmos r r c r c r (, ) Cr cos Dr sn sn l l l r r c r c r c r c r (, ) C. -sn. D. cos. sn l l l l l r r r r c. r c r c. r c r (,) C. -sn. D. cos. sn l l l l l r r r r c r c r (, ) Cr. -sn. Dr. cos. sn l l l r r c r (,) Dr. sn l l r c r (,) Dr. r sn l l r como (,) g ( ), l, não c g( ) Dr. r sn l r r. (4.7) l 4

26 Agora os coficins C r D podm sr drminados aravés d (4.6) r (4..) rspcivamn, para isso ilizarmos ma écnica d séris d Forir (q srá comnada no próimo ópico) assim rmos, ond r,,3,.... l r Cr f ( ) sn d l l l r Dr g( ) sn d r c l (4.8) (4.9) Agora sbsiindo m (4.5) as consans C r D mos r l r r c r (, ) f ( ) sn d cos sn r l l l l l r r c r g( ) sn d sn sn r c l l l ond é a variávl d ingração dnoamos assim para não confndirmos com q é a variávl indpndn. Esa fnção é solção gral da qação da onda (4.8) com as sgins condiçõs d fronira (, ) ( l, ),, (,) f ( ), l, (,) g( ), l. S obsrva assim msmo q na qação da onda considrada is ma asência d disprsão, nndndo por disprsão o fnômno sgndo o qal os difrns componns d Forir s propagam a vlocidads disinas, al como ocorr no clássico modlo d Korwg-d Vris para o avanço das ondas o na qação d Scrodingr. Evidnmn, os fios disprsivos fazm q a forma da solção md complamn no mpo. 5

27 5.A ópica Gomérica A prssão (4.) da solção da qação da onda como sprposição d das ondas d ranspor sinaliza q no modlo (4.) a informação s propaga ao longo da crvas caracrísicas. As crvas caracrísicas são poligonais por sçõs no spaço-mpo consiídas por sgmnos pndns ± q s rflm na fronira da corda (ano no rmo = = L). (vja na fig. ) A msma filosofia é válida m várias dimnsõs spaciais. Considramos por mplo as vibraçõs d ma mmbrana o ambor q ocpa m abro d R. Ns caso, s = (,y,) rprsna a dformação da mmbrana, iso é, a alra a q s nconra o pono (,y) da mmbrana no insan, o sisma q dscrv a volção d vm dado pla qação da onda bidimnsional:, y,, y,, y,, y,, y, y, y,, (5.) Em (5.) o símbolo dnoa o oprador d Laplac y (5.) A primira qação d (5.) é a qação da onda bidimnsional. A sgnda qação d (5.) proporciona ma condição d conorno q ns caso rprsna q a mmbrana sa fiada na sa borda (como no caso d m ambor). As das úlimas condiçõs sablcm os dados iniciais q proporcionam a configração vlocidad inicial da mmbrana no insan = q prmi drminar d manira única a solção. Também no caso da qação da onda bidimnsional o inclsiv m mais d ma dimnsõs spaciais a volção sbjacn no modlo (5.) pod ndr-s aravés d ma propagação ao longo das crvas o raios caracrísicos. Embora, com o objivo d dfinir com clarza o q é m raio dvmos ilizar nas noçõs básicas da Ópica Gomérica. Um raio é ma poligonal por sçõs q no inrior da mmbrana s propaga no spaço mpo m ma dirção consan a vlocidad m. Porém, ao alcançar 6

28 a fronira o raio rfl sgndo as lis da ópica gomérica: ânglo d incidência igal ao ânglo d rflão. Figra Convêm obsrvar q sa li d propagação rflão sá bm dfinida smpr qando o raio não sja angn a fronira d m cjo caso podm das coisas aconcr. O raio não s modifica ao ocar a fronira (raios rasans) o o raio nra na fronira adapa sa forma crva a sair novamn m m pono d inflão da fronira. Ds modo mos dfinido os raios. Porém, o analis da solção do modlo (5.) ao longo dos raios sa long d sr ão simpls como m ma dimnsão spacial s manifso aravés da formla d d Almbr (4.). Na ralidad ssa anális ig dsnvolvimnos assinóicos sofisicados. Pod-s conslar [9], [] []. Mas, aé agora mos falado mais da propagação d ondas m m médio omogêno, consiído por m único marial disribído com ma dnsidad consan sobr m domínio. Como dscrvmos sgidamn, no âmbio dos médios rogênos, par do dio a agora dia d sr válido srgm novos fnômnos dvido ao comporamno das ondas nas inrfacs, iso é, nos lgars ond os mariais o sa dnsidad mdam. 7

29 5. Problmas d ransmissão inrfass Com o objivo d ilsrar ss novos fnômnos considrmos o mplo d m ambor d R consiído por dois mariais. O inrno q ocpa a rgião cnral i o rno q ocpa a coroa. m Spona q m a vlocidad d propagação das ondas sja i a i, nqano q a vlocidad é a, com a i >, a > a i a. Para dscobrir as vibraçõs ds ambor convêm inrodzir as fnçõs i i, y,, y, dfinidas m i, rspcivamn. Essas fnçõs vão rsolvr as qaçõs: i ai i,, y i, (5.3) a,, y, (5.4) Alm disso, s spormos q o ambor sa fiado m sa borda rna condiçõs d conorno dvmos impor,, y, (5.5) Mas o sisma não sará complo, pois dvmos inrodzir ambém as condiçõs d inrfas o d ransmissão na fronira comm. Com o objivo d ambas as pars do ambor prmançam nidas ao longo das vibraçõs dvmos impor as condiçõs d coninidad dos dslocamnos: i,, y, (5.6) Também dvmos r as msmas nsõs no ambor m ambos os lados. Obmos assim a condição: ai ni a n,, y, (5.7) 8

30 sndo n o vor normal niário a q apona ao rior d dnoa a drivada normal m ssa dirção, iso é,, d modo q / n n f f n (5.8) sndo o prodo scalar Eclidiano. Figra A noção d raio o d crva caracrísica dv sr modificada d acordo com as condiçõs d ransmissão (5.6) - (5.7). Considrmos por mplo m raio q sai d m pono d i m ma drminada dirção. Enqano o raio prmanc m i s raa d m sgmno rilíno q s ranslada a ma vlocidad a i. Ao fim d m cro mpo o raio alcança a inrfas. Ns momno ficam ssncialmn rês possibilidads: (a) O raio s rfl sgndo as lis da ópica gomérica m (b) O raio s rfraa passando a (c) O raio s divid m dois. Um raio rfraado q passa a oro rflido m. i Convêm rcordar q o ânglo d rfração m fnção do ânglo d incidência i vm dado por ma formla i a sn a sn (5.9) i i 9

31 Dnominada li d Snll q Frma jsifico aravés d m princípio variacional (as ondas rcorrm o camino m q o mpo invrido é mínimo possívl). A fórmla (5.9) s dsprnd m pariclar qando a a i (5.) s o raio provnin d i incid sobr a inrfac d manira qas angn d modo q sn i sja mio próimo da nidad, não a sn a a sn (5.) i i i Qando (5.) ocorr, a qação (5.9) vidnmn não admi solção. Por ano não is dirção d rfração o raio é complamn rflido m gomrias adqadas ( rnamn caprados no mio i. i i. Es fao, m convo, por mplo), pod dar lgar a raios q prmançam Iso pod sr inrprado d das maniras disinas, s bm qivalns. Como dizmos anriormn, á raios, porano vibraçõs do ambor q prmancm capradas m dsd o médio rior. i. Viso d oro modo, á vibraçõs q são invisívis o imprcpívis Es fao m consqüências vidns m mios problmas invrsos o d conrol q s colocam no marco das vibraçõs m médios rogênos. Na sgin sção dscobrirmos algmas consqüências imporans na propagação d sinais sísmicos. Convêm, condo fazr ma planação. As vibraçõs q s localizam m não i são % nla. Iso é, sas vibraçõs dão ambém lgar a ma pqna vibração da mmbrana rior. O q ocorr é q a razão nr a nrgia d vibração m a vibração m i pod fazr-s mais mais pqno a mdida q a vibração s concnra 3

32 ao longo do raio caprado m garan q á vibraçõs q diam imóvl nas q a coroa rior na mmbrana i. O ínfimo dssa razão é porano zro, o qal não ddz facilmn do Torma d nicidad d Holmgrn. Vr [].. D fao s ipo d vibraçõs (aqlas prmanc imóvl) não pod isir como s O orma d Unicidad d Holmgrn é ma consqüência do clbr Torma d Cacy-Kowalsaya. Nss orma Sonia Kowalsvsaya, na sgnda mad do séclo XIX, rmino com êio o programa d rsolção d qaçõs difrnciais ordinárias (EDO) iniciado por Cacy mdian dsnvolvimno m solção d EDO s por séris d poências. A idéia d Cacy, q dscrvmos brvmn, oj m dia para nós pod rslar mio naral s bm q no s momno significava ma aênica rvolção. Considrmos ma EDO linar ond os coficins como os dados são fnçõs analíicas rais. Iso nos prmi dsnvolv-la m séris d poências. Bsqmos não solçõs do problma d valors iniciais m sa msma class d fnçõs analíicas. Para nconrá-las basa drminar os scssivos coficins do dsnvolvimno m séris d poências da solção. Iso pod fazr-s d forma rcorrn a parir do dsnvolvimno dos coficins da qação dos dados. Porano, não é difícil convncr-s q a prssão dos coficins s complica a mdida q avançamos na rcorrência. O inrssan ds méodo é q, graças ao criério M d Wirsrass, s pod provar sm dmasiada dificldad a convrgência local da nova séri d solção. Ds modo s prodzi m avanço noávl na oria das EDOs: O problma d valors iniciais para ma qação linar com coficins analíicos admi ma única solção local analíica. O méodo proposo por Cacy proporciona assim msmo m vrdadiro méodo d cálclo fivo da solção. Era smamn naral pnsar m sndr s méodo ao marco da rsolção do problma d Cacy para EDP. Mas nssa nova nsão srgia m nova dificldad d dscrvmos a coninação. No marco das EDPs, os dados d Cacy são dados d ma iprsprfici q ambém dv d sr analíica. Porém a analiicidad da iprsprfici pod não sr sficin, pois á casos m q o méodo d Cacy parc não fncionar, pois a rgra d rcorrência ans dscria não prmi obr d manira binívoca os 3

33 coficins da solção. O lior pod s convncr facilmn disso, analisado o problma d Cacy para a qação do calor m iprsprfici =. ;, ( ); (,) ( ) A qação do calor é d ordm dois porando forncmos dados d Cacy ano para como para sa drivada parcial com rspio ao mpo. Mas o sisma rslan sa sobr drminado, pois iso q a condição d compaibilidad sgin q s driva da qação, é condição ncssária para a isência da solção: Prcisamn o problma d valors iniciais para a qação do calor é m dos mplos mais clássicos d EDP q odos os livros rcolm ond a solção pod sr obida pliciamn por convolção com o núclo d Gass, mas para isso somn s impõ ma dado inicial,. Com fio, a solção é não,, G sndo G o núclo d Gass, o G, 4 n p 4 dnoando mdian razoávl d a convolção nas variávis spaciais, é a única solção ; (,) ( ) sndo n o númro d variávis spaciais nvolvidas. Kowalvsaya plico d manira dfiniiva sa difrnça q s aprsna ao abordar as EDO as EDP mdian o méodo d Cacy. Para q o orma d Cacy sja válido no marco das EDPs é ncssário q a iprsprfici sobr a q s impõ dos dados d Cacy sja não caracrísica. As iprsprficis caracrísicas são não as rins, aqlas m q o méodo d Cacy não fnciona, como é a iprsprfici =, para a qação do calor. 3

34 O orma d Holmgrn garan q qando os coficins d ma qação são analíicos os dados são igais a zro m ma iprsprfici não caracrísica analíica, a única solção é nla. Iso pod parcr ma consqüência rivial do Torma d Cacy- Kowalvsaya, mas não é, pois q a nicidad s garan para qalqr ipo d solção (inclso as solçõs disribcionais) não somn para as analíicas. Mas pod parcr srprndn q prndamos aplicar s orma no caso m q nos abordamos ma qação d ondas com coficin consans por sçõs q aprsnam m salo ao longo d ma inrfas. Iso s pod fazr m dois mpos. Primiro s aplica no domínio rior, d modo q s spomos q a vibração dia imóvl ma par abra não vazia d dran m mpo sficinmn grand, plo orma d Holmgrn, acaba diando imóvl odo. Na inrfac s dca não a asência d dslocamno nsão. Iso prmi agora aplicar novamn o orma d Holmgrn m caracrísica) ddzir q odo i (poso q a iprsprfici inrfac vrical no spaço-mpo não é i prmanc ambém imóvl. Ds modo vmos, como anriormn, q não pod avr vibraçõs concnradas % no domínio inrior. i 5. Prvisão conrol d rrmoos Um rcn arigo aparcido m Mndo Cinifico [3] d qaro gólogos francss ilsra mio claramn a imporância das ondas localizadas q acabamos d dscobrir. O problma, q procpa a s grpo d gólogos é a grand innsidad com q s prcbm na cidad Grnobl (França) abalos sísmicos d scala d grand amplid, q na zonas não mio disan, apnas são obsrvadas. Tal como os aors do arigo plicam q s raa d m fnômno local. Em fio, a cidad sa consrída m m cnro d m val scavado plos glaciais rplo d sdimnos mio mas flívis q a rocas sbjacns al como ls indicam. O q ocorr não é q, rprodzindo liralmn par do o d [3], As ondas s propagam mais dprssa m m mio rígido q m m mio macio, o conras d vlocidad no limi nr os dois, só dia passar bm na nrgia sísmica do 33

35 rígido ao macio. A consqüência é q ma vz na bacia as ondas qas não pod scapar. S rflm não na sprfíci nas pards rocosas. Esas rflõs scssivas, condzm a fnômnos d rssonância a drminadas frqüências q s radzm na sprfíci m fors amplificaçõs dos movimnos do solo m m amno d sa dração. S comprnd facilmn q as consqüências podm sr dramáicas, qando sas frqüências amplificadas corrspondm a frqüência d rssonância dos difícios. Esa passagm ds arigo divlgado ilsra com clarza como os fnômnos d localização d ondas dscrio no rco anrior pod obsrvar-s na narza no cono das ondas sísmicas aé q pono pod sr imporans na nossa vida coidiana. O fnômno q s dscrv ns arigo q é corn com a anális da sssão anrior é o sgin. O mio macio sa rodado por o mio mais rígido i. Uma onda provnin d nra m i mas é caprado m s inrior indfinidamn pois a nrgia não s ransmi dsd a i. A mdida q amn o raio nr a vlocidad d propagação o médio rígido o médio macio s fnômno s acna. Es fio, com a noação da sssão anrior, qando mais grand é o coficin a / a, maior é o i conjno d ânglos d incidência i q dão lgar a ondas q prmancm capradas m sm rfraar-s m absolo. Iso faz possívl q a onda, ma vz m pod i i incidir na inrfac com m ânglo d 45º sm q isa ransmissão d nrgia a. Basa para isso q a / a >. i O arigo ans ciado concli sblinando a imporância dos sdos óricos nméricos q s são dsnvolvndo ns rrno. Efivamn, al como ls plicam, o dsafio na aalidad consis m prvnir s as normas posas nas mprsas d consrçõs d difícios radicionais são sficins o não para garanir a robsz dos difícios m caso d abalos sísmicos d ma magnid 5,5 q não s podm clir. A prvnção do comporamno das consrçõs manas, dran os abalos sísmicos s conrol, consim ma dos grands dsafios da ngnaria m nossos dias q a mamáica a simlação nmérica ncssariamn dsmpnam possm m 34

36 papl cnral, vr por mplo [] [7]. Tal como fico poso nsa sção o ingêno proagonisa, é ma vz mais, a qação d ma onda. 35

37 6. Problmas Invrsos Os problmas q aparcm no cono das aplicaçõs cnológicas, nvolvndo EDO s o EDP s não podm sr formladas no cono clássico dos problmas d Cacy o d conorno ond s spõm concidos os parâmros dados s raa d calclar (analiicamn o nmricamn) a solção (o provar sa isência nicidad), s raam d problmas invrsos nos q mos q idnificar os parâmros da qação aravés d informaçõs parciais o globais sobr as solçõs q é possívl mdir obsrvar d forma primnal. Mios são os problmas da vida ral nos qais nconramos problmas invrsos. Cab mncionar por mplo a prospcção prolífra, ploração do sbsolo mias aplicaçõs mdicas com a omografia compadorizada, nr oros. Do pono d visa mamáico, d manira prcisa, mos q inrodzir o spcro do Laplaciano com condiçõs d fronira d Diricl nm domínio limiado d R. S raa dos númros, camados d ao valors, para os qais a qação lípica, y (, y) (6.) admi ma solção não nla, y. Obviamn podm-s considrar oras condiçõs d conorno, m fnção do problma físico considrado. É bom lmbrar q ss problma spcral aparc d manira naral qando s dsnvolvm m séris d Forir as solçõs da qação da onda o calor. Porano a sa imporância vai alm dos problmas invrsos. A oria d dcomposição d opradors aoadjnos compacos prmi mosrar a isência, d ma sqüência d aovalors rais posiivos d mliplicidad finia j j, q s aproimam para o infinio d manira q a sqüência d aofnçõs corrspondns form ma bas orogonal m L (é o spaço d Hilbr das fnçõs qadrado ingrávis dfinidas m ). A cada domínio associamos ma sqüência não dcrscn d númros posiivos j j q ndm ao infinio. 36

38 O problma invrso consis m drminar a forma do domínio a ravs do spcro. A ora frramna imporan para sdar problmas invrsos é o Torma da fnção Invrsa (TFI). Com fio, os problmas invrsos q normalmn aparcm são d ipo não linar, iso é, a ransformação nvolvida no problma q mos d invrr é não linar. Em nosso caso a ransformação a invrr é aqla q associa a m domínio s spcro j j. Traa-s d ma ransformação não linar. Porano o TFI é ma frramna apropriada para abordar problmas invrsos, pois garan a invribilidad local d ma aplicação smpr qando sa sja rglar (difrnciávl) s difrncial possa invrsa. Assim a rsolção do problma invrso passa por m sdo dalado do problma diro, pois mos q comprovar s a ransformação a invrr, dado plo problma diro, é rglar sa nsão linarizada invrivl. Por isso a anális d m problma invrso é qas smpr prcdido plo sdo dalado do problma diro corrspondn. Dvmos lmbrar q o TFI fornc rslados d carár local rslados globais prcisam d dsnvolvimnos adicionais, pois raramn s podm aplicar diramn vrsõs globais do TFI. Para ilsrar s fao vamos a considrar dois mplos, q garanm q a aplicação não linar é globalmn invrsivl. Considramos a fnção ral d ma variávl ral f ) (. Sa drivada é f ) '( q é disina d zro m odo pono. Em cada pono a difrncial f '( ) aa como ma aplicação linar: L y f '( ), y y q é invrsívl, sndo sa invrsa L y y. Por ano s ddz a TFI q a fnção é localmn invisívl ( sablc ma bijção d m norno d cada pono m m norno d sa imagm ). Mas, obviamn, não é globalmn invrsívl pois é m númro ral posiivo para cada ral,y por ano os númros ngaivos cam fora da imagm d. Iso é dvido a invrsa da difrncial,, não sa infriormn acoada qando n a. Por oro lado a fnção g ( ) sn( ) é globalmn invrsívl porq sa difrncial g' ( ) cos( ) é invrsívl m cada pono com invrsa cos( ) niformmn acoada nr / 3. Para conclir sa sção aprsnamos m problma invrso rlacionado com a qação d ondas q nós ocpa q podmos rsolvr complamn. 37

39 (, ) ( l, ) l, (6.) sa fia m ss rmos L. Spomos q, aravés d m snsor, podmos mdir a nsão q a vibração da corda prodzam no rmo. Obviamn, a dsconcmos a longid oal da corda L dsconcmos o localização do oro rmo corda sa fia ambém m oro rmo. L. O q sabmos é q a Podmos idnificar a longid L aravés das mdiçõs q o snsor proporciona da nsão no rmo concido? A rsposa é, como vamos vr, afirmaiva. Como indicamos anriormn as solçõs d (6.) podm dsnvolvr-s m sris d Forir do sgin modo:, Crsn Dr cos sn (6.3) l l l A nsão no rmo vm dada por, Crsn Dr cos (6.4) l l l S obsrva q a nsão é smpr ma fnção priódica d príodo L. Porano, a priodicidad da nsão (L) sa rlacionada d manira nívoca ( ns caso linar) com a longid l da corda. Iso rspond afirmaivamn o problma invrso obsrvado. Mas cab obsrvar ma qsão a mais. Qanas mdiçõs mos d fazr m para drminar complamn a longid? Diamos sa qsão para o lior inrssado. Como mos mncionado na inrodção, são mios os conos q s propõm problmas invrsos. Enr ls cab dsacar a prospcção prolífra, as nmrosas aplicaçõs na mdicina ( omografia compadorizada, c) radars, c. Na ralidad, como mos viso, cada vz q a TFI s aplica samos, ssncialmn, rsolvndo m problma invrso. S rflionamos m poco sobr s aspco nos darmos cona d como abial é nfrnar-s com problmas invrsos na vida diária, condo, rsolvmos frqnmn, sm aplar a TFI. 38

40 7. Simlação nmérica ondas spúras Tal como foi mncionamos anriormn colocado m vidência no arigo sobr ondas sísmicas q mos fio rfrência na sção anrior, m mios problmas da vida ral é ncssário m anális rigorosa d fnômnos d ondas q são acompanados d simlaçõs nméricas. A grand poência d cálclo dos compadors d oj nos prmi ralizar m nosso compador pssoal o noboo cálclos mios sofisicados q á ns anos arás igia rabalar com compadors maiors. Esa poência d cálclo não vai parar d amnar nos próimos anos. Cab não fazr a sgin prgna: É ncssário coninar com ma anális mamáica rigorosa das ondas o podmos simplsmn confiar m nosso crscn capacidad d cálclo d simlação nmérica? Não é fácil rspondr ssa prgna. S rflirmos com rigor sobr a msma qsão s dará cona q, para rspondr com oal crza sa qsão é ncssário ralizar ma analis mamáica rigorosa viabilidad dos sqmas nméricos colocados no problma m qsão. Mas não, impliciamn, samos rspondndo ngaivamn a prgna proposa. Enconramos-nos pran paradoo da ncssidad d rspondr ngaivamn a qsão para podr rflir sriamn sobr a msma. A psar ds aparn paradoo são mios o q crêm q a mamáica, no snido q mos nndido nss séclo, m ss dias conados, a mnos q o cono dos problmas abordados ns rabalo, q odos cada m dos problmas podm sr rsolvidos a bas d calclar mais mais com nossos compadors q mlora m ficiência a cada dia. Nsa sção vamos mdian méodos nméricos adqados, s pod simlar a ralidad do modlo conino d manira saisfaória. Mas, o dsnvolvimno d méodos nméricos adqados ig ma anális mamáica prvia mio fina. Ao final do camino nos nconrarmos com ma rsposa ncssariamn imporan vidnmn q combinando m sdo órico rigoroso com méodos nméricos s pod avançar nossos objivos. Rornamos por ano as qaçõs da vibração d ma corda d longid L fia m ss rmos, L, 39

41 (, ) (,) ( L, ) ( ),, L, (,) ( ), L (7.) Como já avíamos indicado as solçõs d (7.) podm sr dsnvolvidas m séris d Forir: (, ) a sn b cos sn L L L (7.) com coficins a, b q vm drminados nivocamn plos dados iniciais ( ), ( o ) d modo q ( ) b sn ; ( ) asn L L L (7.3) Convêm ambém obsrvar q (7.) é m modlo pramn consrvaivo m q não s m m cona nnm fnômno d ario o dissipação. Es fao é prfiamn d manifso na li d consrvação d nrgia. jsificaiva Em fio, s m L E( ) (, ) (, ). d C (7.4) [ [ ] ] de d (7.5) Pois q de d L d 4

42 L d,, (7.6) L graças a qação da onda as condiçõs d conorno. Na ora d aproimar nmricamn as solçõs d (7.) a primira idéia q srg d manira naral é d inrodzir ma smi-discrização no spaço para aproimar (7.) mdian m sisma linar d qaçõs difrnciais ordinárias. Para isso, dado m númro naral N dcompondo o inrvalo [, L ] q ocpa a corda m rposo m N sbinrvalos igais. ond, j j, j,..., N (7.7) L N (7.8) Aproimamos a fnção, mdian N fnçõs q dpndm clsivamn do mpo ),..., N ( ). (7.9) ( Cada fnção j () proporciona ma aproimação d, no pono paricipação do inrvalo. j j da Tmos d inrodzir m sisma d EDO q drmin as fnçõs ( ) j j,..., N d manira única q proporcion ma boa aproimação d. Mdian o dsnvolvimno d Taylor obsrvamos q: ( j, ) ( j, ) ( j, ) ( j, ) ~ Parc naral sbsiir a qação da onda plas qaçõs difrnciais ( j, ) ( j ( j, ), ), j 4

43 para os ponos inriors da parição do inrvalo corrspondns aos índics j,..., N. q Por oro lado, as condiçõs d q a corda sa fia m ss rmos rfl m ( ) ( ),. N Obmos assim o sisma d qaçõs difrnciais '' A (7.) n ond o vor ) (,..., N (clímos os valors rmos N poso q ) sndo A a mariz ridiagonal N N com valor consan na diagonal N principal com valor consan - nas diagonais sprior infrior. No caso N 5 sa mariz é na forma A (7.) S raa d ma mariz ridiagonal, simérica dfinida posiiva. Os aovalors aovors d A s concm pliciamn. Rcordmos q o númro é m aovalor da mariz A s is m vor al q A. Em fio, o caso q nos ocpa, A (7.) s somn s 4 sn (7.3) L 4

44 (módlo ma consan mliplicaiva) sn L sn L... sn N L (7.4) para,, N. Convêm obsrvar q os aovors aovalors dpndm d = L (N, o ) q é o msmo, d N, poso q a mariz A êm dimnsão N N. Concndo o spcro d A s pod dar a prssão da solção gral da smi- discrização (7.). Em fio, mos, N ( ) a sn b cos (7.5) A prssão (7.5) é análoga à obida m (7.) para a solção gral da qação d onda mdian séris d Forir. Convêm obsrvar q: Em (7.5) mos ma soma finia para,, N. Porém N qando, o sja, a soma finia (7.5) s convr a ma séri da forma (7.) qando o pso da parição s afina; para cada fio, os aovalors L (7.6) qando q são aovalors q srgm na dcomposição m séris d Forir (7.) da solção do problma conino; 43

45 Os aovors não são mais q a avaliação das aovalors problma coníno dos ponos da parição. sn do L Por do isso, (7.) é, mas convincnmn, ma boa aproimação da qação d ondas (7.). Na ralidad, não é difícil comprovar q, concidos os dados iniciais, o, s rsolvmos (7.) com os dados iniciais narais, () ( ), j,..., N. j, j j () ( ), j,..., N. ' j i, j j (7.7) as solçõs d (7.) qando convrg as d (7.). Uma anális m poco mais rigorosa da aproimação nr (7.5) (7.) coloca d manira naral como d niform é a convrgência dos aovalors com rspio a. Não é difícil comprovar q a crva das raízs qadradas a os aovalors do problma discro s spara d manira imporan da crva (ra) corrspondn aos aovalors do problma coníno m qano amna. Q rprcssão m s fao? Volamos ao problma invrso analisando na sção anrior q s rabala na idnificação a longid L da corda aravés das mdiçõs da nsão d sas vibraçõs no rmo. Obivmos ma rsposa saisfaória obsrvando q as solçõs da qação d onda no inrvalo d longid L são priódicas d príodo L. cona q Calclmos agora a nsão m associada ao sisma smi-discro. Tndo a (, ) ~ (, ) (, ) (7.8) / parc naral dfinir a nsão discra do sgin modo ( ) ( ) (7.9) 44

46 Em vird d (7.5) a nsão associada a ma solção do sisma smi-discro (7.) vm dado por N ( ) asn b cos sn L (7.) Comparamos o comporamno das nsõs discras (7.) m rlação as da corda vibran ral (q, sabmos, são fnçõs priódicas d príodo L). Para fazê-lo, considrmos solçõs pariclars d (7.) as mais simpls possívis. Para isso omamos coficins b,,..., N (7.) a,,..., N ; a ; a sn N / L N n sn N / L (7.) D modo q a solção corrspondn d (7.) sja ( ) sn sn N N N / L sn sn N N N / L (7.3) a nsão discra corrspondn N N ( ) sn sn (7.4) É fácil comprovar q os coficins a N a N são d ordm d L / L / rspcivamn qando. Por ano a nrgia da solção (7.3) do problma smidiscro (7.3) é da ordm d ma nidad. Porém, o q ocorr com a nsão smi-discra () d (7.4)? Convêm obsrvar q 45

47 N sn N L sn N L sn N L cos L cos N L sn L cos L N sn L cos N L cos L N sn L sn L Por ano N N N cos L sn L sn L O N O( ) O( ) Uilizando não o dsnvolvimno d Taylor vmos q ( ) O( ) (7.5) Q qr dizr o significa (7.5)? Esa coa significa q, para dcar q a solção do problma smi-discro m ma nrgia oal d ordm m, dvmos mdir sa nsão dran m inrvalo mporal d ordm d /. Evidnmn, s fnômno não faz mais q agravar-s qando, pois as mdiçõs dvm sr fias m inrvalos mporais q ndm ao infinio. Ds modo s põ d manifso a inadqação do sqma smi-discro (7.) manira corra d s abordar o problma invrso da drminação da longid da corda aravés d nsão. E, assim mos, al como avíamos mncionado, (7.) é m sqma saisfaório na ora d obr ma boa aproimação das solçõs d (7.) para dados iniciais fios. Q sa ocorrndo não? Em m problma invrso dsconcmos absolamn a forma m q a nrgia das solçõs pod disribir-s sobr as difrns componns 46

48 d Forir. Para isso, ma convrgência ponal do spcro como m (7.7), para cada fio, é insficin prcisamos convrgências niforms com rspio a. Mas, no caso prsn, a rapidz d convrgência s driora mio rapidamn qando amna. Q podmos fazr não? Há algma forma d consrar o sqma nmérico d (7.) para garanir s bom comporamno no problma invrso? Criosamn s pod fazr-s mais a bas dsprzar par das informaçõs q o sqma nmérico proporciona. Rornmos a solção (7.5) q o sqma nmérico proporciona. A aproimidad do spcro coníno nmérico mlora qando nós limiamos a considrar aovalors corrspondns a índics N com pqno. Q conc qando rncamos a soma (7.5) para considrar com? N ( ) a sn b cos (7.6) Evidnmn, ao faz-lo, samos dsprzando par das informaçõs q o sqma nmérico proporciona. Mas samos prcisamn dsprzando aql q corrspond as alas frqüências q prodzm as paologias q acabamos d dscrvr. S pod fivamn provar q a solção filrada m m mlor comporamno q a solção compla. Em fio, por ma par, para dados iniciais fios ambém fiado, a solção rncada (7.6) do problma smi-discro convrg qando ao do problma coníno. Por oro lado, ilizando rslados clássicos d séris d Forir não armônicas (vja [6]), s pod provar q, no cono do problma invrso, as solçõs nméricas filradas (7.6) êm m bom comporamno, pois a mdição da nsão ao longo d m inrvalo mporal d ordm compla sobr a solção. ( ) L proporciona ma informação D acordo com o snido comm s obsrva q o parâmro ( ) saisfaz: ( ), ; ( ), ; 47

49 Q qr dizr isso? Q a mdida q dcrsc, a solção nmérica filrada rprodz m comporamno mais próimo da solção ral do sisma conino (7.). Nós nconramos assim an m fao aparnmn paradoal. Filrando mais mais as alas frqüências nméricas, iso é, sando cada vz mnos informaçõs d odo q o sqma nmérico proporciona, nos nconrarmos mais pro da ralidad. Talvz iso conriba para q odos rfliam m poco sobr s a crscn capacidad do cálclo q os compadors proporcionam, é m si msma ma garania d progrsso. 48