TEORIA GEOMÉTRICA DE GRUPOS. Pedro V. Silva

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1 TEORIA GEOMÉTRICA DE GRUPOS Curso de pré-doutordo, Universidde Federl d Bhi 2014 Pedro V. Silv Neste curso, fremos um digressão por lguns dos grndes desenvolvimentos que teori de grupos sofreu nos últimos 30 nos, dos utômtos de Stllings os grupos hiperólicos de Gromov e os grupos utomáticos de Epstein, Thurston et l... Veremos um nov e inesperd álger que se relcion de form surpreendente com muits outrs áres: comintóri, geometri, sistems dinâmicos, teori de utômtos e lingugens, topologi.

2 Índice 1 Grupos Grupos de permutções Noção strt de grupo Homomorfismos e quocientes Outros conceitos Exercícios Grfos e utômtos Plvrs e lingugens Grfos Autômtos Sistems de reescrit Exercícios Grupos livres Construção Proprieddes ásics Autômtos e suconjuntos rcionis Grfos de Cyley Exercícios Representção de sugrupos Construção de Stllings Aplicções A métric profinit Exercícios Bordo de um grupo livre Plvrs infinits A métric dos prefixos e o espço de Cntor Construção do ordo Exercícios Pontos fixos de endomorfismos O sugrupo dos pontos fixos Pontos fixos no ordo Exercícios Apresentções de grupos Gerdores e reltores Grupos finitmente presentáveis

3 7.3 Decidiilidde Digrms de vn Kmpen Funções isoperimétrics Exercícios Produto livre e generlizções Produto livre Generlizções Grupos de grfo Exercícios Grupos hiperólicos Grfos hiperólicos Grfos de Cyley hiperólicos Proprieddes Exercícios Grupos utomáticos Estruturs utomátics Crterizção geométric Proprieddes Exercícios Biliogrfi 96 Índice de conceitos 97 3

4 1 Grupos Começmos este curso lemrndo ftos ásicos sore grupos que já form estuddos n grdução. 1.1 Grupos de permutções Um grnde prte d Mtemátic é dedicd o estudo de funções. E dentro do estudo ds funções, merece destque o estudo ds permutções. Um permutção de um conjunto X é simplesmente um função ijetiv σ : X X. À primeir vist, o conceito prece um pouco restritivo... mior prte ds funções não são ijetivs... ms muits funções importntes, n Mtemátic e for del, são ijetivs: Álger liner: isomorfismos de um espço vetoril. Topologi: homeomorfismos de espços métricos/topológicos. Sistems dinâmicos: em gerl, s trnsformções considerds são homeomorfismos. Físic quântic: s trnsformções n mecânic quântic ssumem-se reversíveis (e ijetivs). Um ds coiss mis importntes e úteis que se podem fzer com funções é compô-ls. É clro que composição de dus permutções de um conjunto X é ind um permutção de X. E função invers de um permutção de X é ind um permutção de X. Ests dus operções (composição e inversão) são fundmentis n construção do conceito de grupo de permutções: Sej S X o conjunto de tods s permutções do conjunto X e sej 1 X permutção identidde. Dizemos que G S X é um grupo de permutções se: G é fechdo pr composição; 1 X G; permutção invers de um permutção em G está tmém em G. Eis lguns exemplos de grupos de permutções: S X (diz-se o grupo simétrico sore X); o conjunto dos utomorfismos de um espço vetoril; o conjunto dos uto-homeomorfismos de um espço métrico/topológico; 1.2 Noção strt de grupo Historicmente, o estudo dos grupos começou por ser o estudo dos grupos de permutções, e em muitos csos grupos em concretos que interessvm à Físic e váris áres d Mtemátic. N segund metde do século XIX, preceu um outr perspetiv do conceito de grupo, em mis strt, que dispensv permutções e composição. N versão strt, um grupo é um conjunto não vzio G, no qul está definid um operção inári : G G G stisfzendo s seguintes proprieddes: 4

5 (G1) Associtividde: ( c) = ( ) c pr todos,, c G. (G2) Existênci de elemento neutro: existe um elemento 1 G G tl que 1 G = 1 G = pr todo G. (G3) Existênci de inversos: pr todo G, existe um elemento G tl que = = 1 G. É fácil mostrr que o elemento neutro é único e que cd elemento tem um único inverso. Em gerl, designmos o neutro por 1 e o inverso de por 1. Se só exigirmos (G1) e (G2), estrutur é chmd de monóide. Exemplo 1.1 Sej n N e sej GL n (R) o conjunto de tods s mtrizes n n invertíveis com entrds reis. Então GL n (R), com o produto de mtrizes, constitui um grupo. É clro que todo grupo de permutções stisfz os xioms (G1) (G3), pois composição de funções é ssocitiv, identidde funcion como elemento neutro e cd permutção invers é um inverso no sentido de (G3). Veremos mis dinte que os dois conceitos de grupo (o strto e o de grupo de permutções) são essencilmente equivlentes. Ms primeiro necessitmos de relemrr lguns conceitos ásicos. Sej G um grupo (qundo flmos de um grupo strto genérico, dispensmo-nos de referir operção inári e escrevemos em vez de ). Dizemos que H G é um sugrupo de G e escrevemos H G se: 1 G H; se, H, então H; se H, então 1 H. Isto equivle dizer que H é ele próprio um grupo qundo considermos restrição H H d operção inári em G. Exemplo 1.2 Sej n N e sej SL n (R) o conjunto de tods s mtrizes n n com entrds reis e determinnte 1. Então SL n (R) constitui um sugrupo do grupo GL n (R) do Exemplo Homomorfismos e quocientes Outro conceito fundmentl é o conceito de homomorfismo. Sejm G, H grupos. Um função ϕ : G H é um homomorfismo (de grupos) se ()ϕ = (ϕ)(ϕ) pr todos, G. Se ϕ : G H é um homomorfismo, então é fácil verificr s seguintes proprieddes: 1 G ϕ = 1 H ; 1 ϕ = (ϕ) 1 pr todo G. 5

6 Um isomorfismo ijetivo é um isomorfismo. Dois grupos G e H dizem-se isomorfos (e escrevemos G = H) se existir um isomorfismo ϕ : G H. Note-se que nesse cso função invers ϕ 1 : H G é tmém um isomorfismo. Um isomorfismo de um grupo nele próprio é um utomorfismo. Anlogmente se define homomorfismo de monóides, ms exige-se tmém iguldde 1ϕ = 1, pois no cso dos monóides est não result utomticmente d iguldde ()ϕ = (ϕ)(ϕ). Podemos gor estelecer menciond equivlênci entre os conceitos de grupo (strto) e grupo de permutções (Teorem de Cyley): Teorem 1.3 (Cyley 1854, Jordn 1870) Todo grupo é isomorfo lgum grupo de permutções. Prov. Sej G um grupo e sej S G o grupo simétrico sore o conjunto G. σ g S G permutção definid por σ g = g. Sej H = {σ g g G}. Temos σ 1 = 1 G, Ddo g G, sej σ gh = σ g σ h, σ 1 g = σ g 1 pr todos g, h G, logo H é um sugrupo de S G. Finlmente, σ : G H é um isomorfismo ( injetividde result de g h 1σ g 1σ h ). Vmos gor introduzir o conceito de grupo quociente. A idei é fzer um prtição dos elementos de um grupo G em clsses de equivlênci [g] (g G) de form que o conjunto ds clsses poss constituir um grupo so operção induzid [g][h] = [gh] (g, h G). Pr que est operção estej em definid e dê efetivmente origem um grupo, é preciso que clsse N = [1] sej um sugrupo do seguinte tipo: Se G é um grupo e N G, dizemos que N é um sugrupo norml e escrevemos N G se N 1 = N pr cd G. Além do mis, verific-se que pr cumprir o nosso progrm precismos que prtição sej constituíd por clsses d form [] = N = N. Isto conduz-nos o conceito de grupo quociente: Sej G um grupo e N G. Sej G/N = {N G} com operção inári (N)(N) = N. Então G/N constitui um grupo, que se diz o grupo quociente de G por N. Exemplo 1.4 SL n (R) GL n (R) pr todo n N. De fto, se P GL n (R), então det(p 1 ) = (det(p )) 1, logo det(m) = 1 implic det(p MP 1 ) = (det(p ))(det(m))(det(p 1 )) = 1, e o sugrupo é norml. O grupo quociente consiste então em tods os conjuntos de mtrizes do tipo (SL n (R))M (M GL n (R)). Podemos encontrr um descrição mis simples? A respost é dd com jud dos teorems do homomorfismo, que relcionm homomorfismos e quocientes. É clro que se N G, então projeção cnónic π N : G G/N N 6

7 é um homomorfismo. Por outro ldo, ddo um homomorfismo de grupos ϕ : G H, o núcleo de ϕ é definido por Ker(ϕ) = 1ϕ 1. Teorem 1.5 Sej ϕ : G H um homomorfismo de grupos. Então: (i) Ker(ϕ) G; (ii) se N G e N Ker(ϕ), então existe um e um só homomorfismo de grupos Φ : G/N H tl que π N Φ = ϕ, G ϕ H π N G/N Φ ddo por (N)Φ = ϕ; (iii) se ϕ for sorejetivo e N = Ker(ϕ), então Φ é um isomorfismo. A prov é simples, e já foi estudd em cursos de álger n grdução. Agor podemos revisitr o grupo quociente do Exemplo 1.4. Sej R o grupo constituído por R \ {0}, com operção produto. Exemplo 1.6 GL n (R) / SL n (R) = R. Consideremos ϕ : GL n (R) R definid por Mϕ = det(m). Como det(mm ) = (det(m))(det(m )) pr tods mtrizes M, M GL n (R), ϕ é um homomorfismo, lém do mis sorejetivo. Finlmente, Kerϕ = SL n (R), logo otemos pelo Teorem 1.5(iii). 1.4 Outros conceitos GL n (R) / SL n (R) = GL n (R) / Ker(ϕ) = R Ddo um grupo G, dizemos que H G tem índice finito se G = Hg 1... Hg n pr lgum número finito de elementos g 1,..., g n G. Nesse cso, o menor n possível diz-se o índice de H em G e design-se por [G : H]. Ddo X G, é fácil de ver que o conjunto dos elementos d form x ε xεn n, onde n 0, x i X e ε i {1, 1} pr i = 1,..., n, constitui o menor sugrupo de G contendo X. Diz-se o sugrupo de G gerdo por X e represent-se por X. Um (su)grupo diz-se finitmente 7

8 gerdo se puder ser gerdo por um suconjunto finito. Usremos notção H f.g. G pr exprimir que H é um sugrupo finitmente gerdo de G. Nem todo grupo é finitmente gerdo: pr quem dominr rgumento de crdinlidde, é fácil ver que todo o grupo finitmente gerdo é enumerável, e existem grupos não enumeráveis (por exemplo, o grupo ditivo dos reis). Um grupo gerdo por um único elemento diz-se um grupo cíclico. A menos de isomorfismo, (Z, +) é o único grupo cíclico infinito. Ddo n 1, existe tmém um único grupo cíclico com n elementos menos de isomorfismo, e é designdo por C n. Se C n =, então C n = {, 2,..., n 1, n = 1}. Ddo um elemento de um grupo G, ordem de é crdinlidde do sugrupo. Um elemento pode ter ordem finit ou infinit. Ddos grupos G e H, podemos definir um operção em G H trvés de (g, h)(g, h ) = (gg, hh ). Com est operção, G H é um grupo que se diz o produto direto dos grupos G e H. 1.5 Exercícios (1.1) Sej G = ( R R 0 R com operção produto de mtrizes. Mostre que: ) () G é um grupo; () é um sugrupo cíclico de G. H = ( 1 Z 0 1 ) (1.2) Sejm G e H grupos. () Mostre que H pode ser visto como um sugrupo de G H. () Mostre que nesse cso (G H)/H = G. (1.3) Sej G = R R com operção (x, y)(x, y ) = (x + yx, yy ). Mostre que: () G é um grupo; 8

9 () H = R {1} é um sugrupo norml de G; () G/H = R. (1.4) Mostre que C 35 = C5 C 7. (1.5) Sej G um grupo e sejm, G tis que H, H G. Mostre que H = H 1 = 1 H. (1.6) Sej H um sugrupo de índice finito de um grupo G. Mostre que: () xhx 1 é um sugrupo de índice finito de G pr todo x G; () só existe um número finito de sugrupos d form xhx 1 (x G). 9

10 2 Grfos e utômtos O conceito de utômto é fundmentl n teori d computção, e tem-se reveldo d mior utilidde pr modern teori de grupos. Vmos presentr em seguid lguns conceitos e resultdos ásicos. 2.1 Plvrs e lingugens Neste contexto, usmos o termo lfeto pr designr um conjunto e os seus elementos são chmdos de letrs. Muito propridmente, um sequênci finit de letrs é chmd de plvr. Isto inclui plvr vzi, que convencionmos representr pelo símolo 1. As plvrs não vzis (no lfeto A) são gerlmente representds n form n com 1,..., n A. O comprimento d plvr 1... n é n, e o comprimento d plvr vzi é 0. Designmos o comprimento d plvr u por u. Ao longo deste curso, A designrá sempre um lfeto finito, pelo que não fremos mis referêncis esse fto. O conjunto de tods s plvrs em A é designdo por A, e A é identificdo com o conjunto ds plvrs de comprimento 1. Escrevemos tmém A + = A \ {1}. Podemos definir um produto em A, dito de conctenção. Pr plvrs não vzis, é definido por ( 1... n )( 1... m ) = 1... n 1... m, e plvr vzi funcion como elemento neutro. Com est operção, A é um monóide. Ms não é um monóide qulquer, pois stisfz seguinte propriedde (dit universl): Proposição 2.1 Sej ϕ : A M um função de A num monóide M qulquer. Então existe um único homomorfismo de monóides Φ : A M que estende função ϕ: A ϕ M A Φ Prov. É fácil ver que Φ tem que ser definido por ( 1... n )Φ = ( 1 ϕ)... ( n ϕ) e 1Φ = 1, e que é relmente um homomorfismo de monóides. O significdo dest propriedde é que A tem em relção A o mesmo comportmento que se de um espço vetoril V tem em relção V, qundo sustituímos homomorfismos por plicções lineres. Logo podemos pensr em A como um se de A. As diferençs são s seguintes: Nem todo monóide tem um se: menos de isomorfismo, só os monóides d form A têm um se. A é únic se de A. 10

11 Como A stisfz propriedde universl reltivmente A, diz-se o monóide livre sore A. Certs relções entre plvrs são muito importntes. Dds u, v A, dizemos que: u é um prefixo de v se v = uy pr lgum y A ; u é um sufixo de v se v = xu pr lgum x A ; u é um ftor de v se v = xuy pr lgums x, y A. Um suconjunto de plvrs em A é chmdo de A-lingugem, ou simplesmente lingugem qundo o lfeto está implícito ou é irrelevnte. A teori de lingugens é um rmo importnte d teori d computção que pretende clssificr s lingugens e explorr o potencil lgorítmico ds diverss suclsses. O trlho pioneiro de Nom Chomsky nos nos 50 está n su origem, pelo que teori de lingugens se desenvolveu inicilmente no seio d Linguístic e não d Informátic ou d Mtemátic. A teori deve importntes contriuições o informático rsileiro Imre Simon. Se L é um A-lingugem, é hitul designr por L o conjunto de tods s plvrs do tipo u 1 u 2... u n com n 0 e u i L pr todo i. Clro que se n = 0 temos plvr vzi. Isto fz de L é o sumonóide de A gerdo por L. É desgrdável que se tenh instucionlizdo o uso d notção com dois significdos diferentes (monóide livre e sumonóide gerdo por), ms felizmente não há confusão qundo escrevemos A. 2.2 Grfos Os grfos são estruturs comintóris que desempenhm um ppel muito importnte em váris áres d Mtemátic, pur ou plicd, e d Computção. Neste curso, designremos por grfo um estrutur do tipo Γ = (V, E), onde V é um conjunto não vzio (o conjunto dos vértices) e E um conjunto de pres (não ordendos) de elementos de V (rests). É hitul descrever um grfo geometricmente utlizndo pontos pr representr os vértices e linhs pr representr s rests. Eis um exemplo de um grfo com 7 vértices e 5 rests: Note-se que nenhum rest pode ligr um vértice si próprio! Um grfo com um número finito de vértices diz-se finito. Dois vértices dizem-se djcentes se estiverem ligdos por um rest. O grfo diz-se conexo se quisquer dois vértices estiverem ligdos por um sequênci de rests (isto é, se pertencerem um sequênci de vértices djcentes). Um isomorfismo de grfos estelece um ijeção entre os vértices que preserv djcênci (isto é, estrutur é mesm menos d designção dos vértices). Dois grfos são isomorfos se houver um isomorfismo entre eles. Um isomorfismo de um grfo nele próprio é um utomorfismo. Um vrinte deste conceito é noção de grfo orientdo, em que cd rest está dotd de um orientção específic. Formlmente, um grfo orientdo é um estrutur do tipo Γ = (V, E), onde V é um conjunto não vzio e E V V. É hitul descrever um grfo orientdo geometricmente 11

12 utlizndo pontos pr representr os vértices e sets pr representr s rests. Eis um exemplo de um grfo orientdo com 4 vértices e 4 rests: 2.3 Autômtos Um utômto pode ser descrito informlmente como um grfo orientdo em que s rests têm rótulos que não são mis do que letrs de um certo lfeto finito. Além disto, lguns vértices são chmdos de iniciis e outros (que podem ser ou não os mesmos!) de terminis. Tmém é hitul utilizr um representção geométric, em que os vértices iniciis (respetivmente finis) são identificdos por um set que entr (respetivmente si), sem rótulo: Exemplo 2.2 Autômto no lfeto A = {, }: Formlmente, se A é um lfeto finito, um A-utômto é um estrutur do tipo A = (Q, I, T, E), onde Q é um conjunto; E Q A Q; I, T Q. O conjunto Q é o conjunto dos vértices, I é o conjunto dos vértices iniciis, T é o conjunto dos vértices terminis e E é o conjunto ds rests. Se não designrmos vértices iniciis nem terminis, temos estrutur simplificd (Q, E), que se diz um A-grfo. O utômto A = (Q, I, T, E) diz-se finito se Q for finito. Dois utômtos A = (Q, I, T, E) e A = (Q, I, T, E ) dizem-se isomorfos se existir um ijeção ϕ : Q Q tl que Iϕ = I, T ϕ = T e (p,, q) E (pϕ,, qϕ) E pr todos p, q Q e A (isto é, têm mesm estrutur menos d designção dos vértices). A grnde utilidde de um A-utômto é que ele permite definir um A-lingugem do seguinte modo: Um cminho não trivil em A = (Q, I, T, E) é um sequênci q q1... n qn tl que (q i 1,, q i ) E pr i = 1,..., n. O seu rótulo é plvr 1... n A. Diz-se um cminho em-sucedido se q 0 I e q n T. Considermos tmém o cminho trivil q 1 q pr 12

13 cd q Q (o rótulo é plvr vzi 1), que é em-sucedido se q I T. Representmos por p q u qulquer cminho de rótulo u ligndo p q. Um cminho que começ e termin no mesmo vértice diz-se um loop. A lingugem L(A) reconhecid por A é o conjunto dos rótulos dos cminhos em-sucedidos em A. Um A-lingugem L diz-se rcionl se L = L(A) pr lgum A-utômto finito A. Exemplo 2.3 A lingugem do utômto do Exemplo 2.2 é o conjunto de tods s plvrs no lfeto A = {, } onde letr ocorre um número pr de vezes. Um A-utômto A = (Q, I, T, E) diz-se determinístico se tiver um único estdo inicil e (p,, q), (p,, r) E q = r pr todos p, q, r Q e A. A vntgem de um utômto ser determinístico é que, pr testr se um plvr u é reconhecid pelo utômto, st considerr no máximo um cminho de rótulo u prtir do estdo inicil. Por outro ldo, podemos lrgr o conceito de utômto dmitindo tmém rests com rótulo 1: são os utômtos com trnsições-1. O teorem seguinte mostr que ests 3 versões de utômto são equivlentes no que respeit lingugens: Proposição 2.4 Sej L um A-lingugem. As condições seguintes são equivlentes: (i) L é rcionl; (ii) L = L(A) pr lgum A-utômto finito determinístico A; (iii) L = L(A) pr lgum A-utômto finito com trnsições-1 A; (iv) existe um homomorfismo de monóides ϕ : A M com M finito tl que L = Lϕϕ 1. Prov. (ii) (i) (iii). Imedito. (iii) (iv). Sej A = (Q, I, T, E) um A-utômto finito com trnsições-1 tl que L = L(A). Sej M = 2 Q Q o conjunto de tods s relções ináris no conjunto Q. Dds R, S M, su composição é definid por R S = {(p, q) Q Q (p, r) R, (r, q) S pr lgum r Q}. Est operção é ssocitiv e relção identidde 1 Q funcion como elemento neutro, logo M é de fto um monóide (finito). Definimos um função ϕ : A M do seguinte modo. Pr tod plvr u A, fzemos uϕ = {(p, q) Q Q existe um cminho p u q em A}. Temos (uv)ϕ = (uϕ) (vϕ) pr tods u, v A. Em prticulr, (uϕ) (1ϕ) = (u 1)ϕ = uϕ = (1 u)ϕ = (1ϕ) (uϕ) 13

14 pr todo u A, logo M = im(ϕ) munido d operc cão de composição é um monóide finito com elemento neutro 1ϕ, e ϕ : A M é um homomorfismo sorejetivo de monóides. Clro que L Lϕϕ 1. Reciprocmente, suponhmos que uϕ = vϕ com v L. Então existe um cminho I i t v T em A. Ms então existe tmém um cminho i t, u logo u L. Assim se conclui que L = Lϕϕ 1 como pretendido. (iv) (ii). Sej A = (M, 1 M, Lϕ, E) com E = {(x,, y) M A M y = x(ϕ)}. É clro que A é um A-utômto finito determinístico. Além disso, p u q é um cminho se e só se q = p(uϕ). Logo L(A) = {u A 1 M (uϕ) Lϕ} = Lϕϕ 1 = L e prov está complet. Pr lém do determinismo, há outrs proprieddes importntes de utômtos. Dizemos que um utômto A = (Q, I, T, E) é: prdo se todo vértice ocorre nlgum cminho em-sucedido; completo se, pr todos p Q e A, existe lgum rest d form (p,, q). A seguir mostrmos que o conjunto ds A-lingugens rcionis é fechdo pr os operdores oolenos: Proposição 2.5 Sejm K, L A-lingugens rcionis. Então s lingugens K L, K L e A \ L são rcionis. Prov. Como K L = A \((A \K) (A \L)), st mostrr o resultdo pr união e complemento. Pr união, tommos união disjunt de dois utômtos reconhecendo K e L. Pr o complemento, recordmos que n prov de (iv) (ii) d Proposição 2.4 construimos um utômto finito que lém de determinístico é completo. Se trocrmos os vértices terminis pelos não-terminis num tl utômto, pssremos reconhecer o complemento d lingugem. No entnto, há um método mis construtivo de lidr com interseção: ddos A-utômtos A = (Q, I, T, E) e A = (Q, I, T, E ), definimos o produto direto A A = (Q Q, I I, T T, E ) com E = {((p, p ),, (q, q )) (p,, q) E, (p,, q ) E }. Proposição 2.6 Ddos A-utômtos A e A, L(A A ) = L(A) L(A ). Prov. Bst oservr que os cminhos em sucedidos em A A são d form (q 0, q 0) 1 (q 1, q 1) 2... (q n n, q n), com 1,..., n A, onde q q1... n qn 14

15 é um cminho em sucedido em A e é um cminho em sucedido em A. 1 q 0 q q n n A clsse ds lingugens rcionis tmém é fechd pr os operdores produto e estrel: Proposição 2.7 Sejm K, L A-lingugens rcionis. Então s lingugens KL e K são rcionis. Prov. Suponhmos que A = (Q, I, T, E) e A = (Q, I, T, E ) são A-utômtos finitos reconhecendo K e L, respetivmente. POdemos ssumir que Q Q =. Definimos um A-utômto finito com trnsições-1 B = (Q Q, I, T, E E (T {1} I )). i A t 1 i A t Os cminhos em-sucedidos em B são d form com t T, i I, u K e v L, logo I i t u i 1 v t T L(B) = {uv u K, v L} = KL. Por outro ldo, sej z / Q. Definimos um A-utômto finito com trnsições-1 B = (Q {z}, z, z, E ({z} {1} I) (T {1} {z})). i A t 1 z 1 É fácil ver que L(B ) = K. Pel Proposição 2.4, s lingugens KL e K são rcionis. Como s lingugens finits são ovimente rcionis, result ds Proposições 2.5 e 2.7 que qulquer lingugem otid prtir de lingugens finits utilizndo um número finito de vezes os operdores união, produto e estrel é necessrimente rcionl. O recíproco é tmém verddeiro: Teorem 2.8 (Kleene 1956) Sej L A. Então s condições seguintes são equivlentes: 15

16 (i) L é rcionl; (ii) L pode ser otid prtir de A-lingugens finits utilizndo um número finito de vezes os operdores união, produto e estrel. A demonstrção de (i) (ii) é propost no Exercício 2.8. Podemos tmém mostrr que s lingugens rcionis se comportm muito em reltivmente homomorfismos: Proposição 2.9 Sejm A, B lfetos finitos e ϕ : A B um homomorfismo de monóides. (i) Se K A é rcionl, então Kϕ é rcionl. (ii) Se L B é rcionl, então Lϕ 1 é rcionl. Prov. (i) Sej A um A-utômto finito reconhecendo K. Sustituindo cd rótulo em A por um rest ou sucessão de rests de rótulo ϕ, otemos um B-utômto finito (com trnsições-1 se 1 Aϕ) que reconhece Kϕ. Pel Proposição 2.4, Kϕ é rcionl. (ii) Sej L = L (A ϕ). Pels líne (i) e pel Proposição 2.5, L é rcionl. Pel Proposição 2.4, existe um homomorfismo de monóides θ : B M com M finito tl que L = L θθ 1. Sej ψ : A M o homomorfismo definido por ψ = ϕθ. Então (L ϕ 1 )ψψ 1 = L ϕ 1 ϕθθ 1 ϕ 1 = L θθ 1 ϕ 1 = L ϕ 1, logo L ϕ 1 é rcionl. Como Lϕ 1 = L ϕ 1, result que Lϕ 1 é rcionl. 2.4 Sistems de reescrit Os sistems de reescrit são um ferrment importnte n álger e n teori d computção. Vmos presentr lgums noções ásics que serão úteis pr o estudo do grupo livre. Sej A um lfeto finito. Um sistem de reescrit em A é um suconjunto R of A A (isto é, um relção inári em A!). Receem qui um nome diferente porque vmos usá-los num perspetiv diferente: vão-nos permitir sustituir ftores dentro de plvrs: Dds u, v A, escrevemos u R v (redução elementr) se existirem (r, s) R e x, y A tis que u = xry e v = xsy. Escrevemos u R v (redução) se u = v ou se existir lgum cdei x = z 0 R z 1 R... R z m = y. Sempre que não hj confusão possível, omitimos o índice R. Dizemos que R é: redutor se r > s pr todo (r, s) R; noetherino se não existir nenhum cdei infinit de reduções elementres w 0 R w 1 R w 2 R... 16

17 confluente se, sempre que u v e u w, existir lgum z A tl que v z e w z: u v w z É clro que todo sistem de reescrit redutor é necessrimente noetherino. Um plvr u A é irredutível se não existir v A tl que u v. Sej Irr(R) o conjunto de tods s plvrs irredutíveis de A com respeito R. Proposição 2.10 Sej R A A um sistem de reescrit noetherino e confluente. Pr tod plvr u A, existe um e um só v Irr(R) tl que u v. Prov. O ser noetherino grnte existênci, confluênci grnte unicidde. 2.5 Exercícios (2.1) Sej M um monóide finito não trivil. Mostre que propriedde universl não é válid pr nenhum suconjunto de M, e que portnto M não possui um se. (2.2) Quntos grfos de 4 vértices existem, menos de isomorfismo? (2.3) Quntos grfos orientdos de 2 vértices existem, menos de isomorfismo? (2.4) Sej A = {, }. Constru um A-utômto finito reconhecendo cd um ds seguintes A- lingugens: () {plvrs cndo em }; () {plvrs de comprimento pr}. (2.5) Sej A = {0, 1}. Constru um A-utômto finito reconhecendo todos os números nturis divisíveis por 3, escritos em inário. (2.6) Considere os seguintes utômtos: A B 17

18 () Determine L(A) e L(B). () Constru um utômto finito reconhecendo L(A) L(B). (2.7) Sej A = {, } e sej A o A-utômto com trnsições-1 descrito por Usndo os lgoritmos implícitos n prov d Proposição 2.4, constru um utômto finito determinístico completo que reconheç A \ L(A). (2.8) Sej A um lfeto finito e sej A = (Q, 0, T, E) um A-utômto com Q = {0,..., m}. Ddos p, q Q e k {0,..., m + 1}, sej L p,q (k) o conjunto dos rótulos dos cminhos p q em que todos os vértices intermédios são < k. () Mostre que pr todos p, q, k Q. L (k+1) p,q = L (k) p,q L (k) p,k (L(k) k,k ) L (k) k,q () Usndo recursivmente líne (), demonstre implicção (i) (ii) do Teorem 2.8. (2.9) Sej A = {, } e considere o sistem de reescrit em A definido por R= {(, 1)}. () Mostre que R é redutor e confluente. () Clcule Irr(R). 18

19 3 Grupos livres Nest secção definimos os grupos livres e estudmos lgums ds sus proprieddes ásics. 3.1 Construção Sej A um lfeto. Queremos que o grupo livre sore A sej um grupo que stisfç propriedde universl n clsse dos grupos (nlogmente à Proposição 2.1). Começmos por introduzir um conjunto A 1 de inversos formis of A (i.e. 1 define um ijeção de A com um conjunto A 1 disjunto de A). Usndo notção à = A A 1, estendemos indutivmente função 1 um trnsformção 1 : à à trvés de 1 1 = 1, ( 1 ) 1 = ( A), (u) 1 = 1 u 1 (u Ã+, Ã). Note-se que est trnsformção stisfz (u 1 ) 1 = u pr todo u Ã, pelo que é chmd de involução. Est involução será importnte pr os chmdos homomorfismos involutivos. Se G é um grupo, um homomorfismo (de monóides) ϕ : à G se diz involutivo se u 1 ϕ = (uϕ) 1 pr todo u Ã. Definimos gor um sistem de reescrit em à por É fácil provr que: R A = {( 1, 1) Ã}. Lem 3.1 O sistem de reescrit R A é redutor e confluente. Prov. É clro que o sistem é redutor. Pr confluênci, supomos que x 00 x x 0n, x 00 x x m0, são dus sequêncis de trnsições em R A. Bst mostrr confluênci loclmente, construindo 19

20 grelh x 00 x x 0n x 10 x x 1n... x m0 x m1... x mn psso psso (onde cd set pode representr um redução elementr ou iguldde mesmo). Pr completr cd qudrdo, st mostrr confluênci pr qulquer cso d form u x 1 y 1 x 2 y 2 onde u = x y 1 = x y 2 com x i, y i à e i Ã. Se s ocorrêncis de e forem disjunts, podemos reproduzir redução de tipo lterntivo em cd um ds plvrs x 1 y 1 e x 2 y 2. Cso s ocorrêncis se soreponhm, result imeditmente x 1 y 1 = x 2 y 2. Logo é válid confluênci locl, que implic confluênci no sentido gerl do termo. Sej R A = Irr(R A ). As plvrs de R A dizem-se reduzids. São precismente s plvrs em à sem ftores do tipo 1 ( Ã). Pel Proposição 2.10 e pelo Lem 3.1, otemos: Lem 3.2 Sej A um lfeto. Dd u Ã, existe um únic plvr reduzid u R A tl que u R A u. Definimos um relção de equivlênci ρ A em à por u ρ A v se u = v Designndo por uρ A clsse de equivlênci de u Ã, definimos F A = à /ρ A = {uρ A u à }. Mostrmos em seguid que F A é um grupo que stisfz propriedde universl: 20

21 Teorem 3.3 Sej A um lfeto. Então: (i) F A é um grupo pr operção inári (uρ A )(vρ A ) = (uv)ρ A. (ii) A função é injetiv. ι : A F A ρ A (iii) Sej ϕ : A G um função de A num grupo G qulquer. Então existe um único homomorfismo de grupos Φ : F A G tl que ιφ = ϕ: ι A ϕ F A Prov. (i) Primeiro há que mostrr que operção está em definid. Suponhmos que u ρ A u e v ρ A v. Será que (uv)ρ A (u v )? Efetivmente, de u = u e v = v result (pel unicidde no Lem 3.2) que uv = u v = u v = u v, logo (uv)ρ A (u v ) e operção está em definid. É imedito que operção é ssocitiv e tem elemento neutro 1ρ A. Como pr todo u à se tem uu 1 = 1, result que (uρ A )(u 1 ρ A ) = (uu 1 )ρ A = 1ρ A. Anlogmente, (u 1 ρ A )(uρ A ) = 1ρ A, logo F A é um grupo. (ii) Como tods s letrs são plvrs reduzids, injetividde result do Lem 3.2. (iii) Começmos por estender função ϕ : A G um função ϕ : à G fzendo 1 ϕ = (ϕ) 1 ( A). Pel propriedde universl (Proposição 2.1), existe um único homomorfismo de monóides Φ : à G que estende ϕ. Note-se que este homomorfismo é involutivo. Ddo u Ã, é fácil ver que uφ = uφ, logo u ρ A v implic uφ = vφ. Podemos então definir um função Φ : F A G trvés de Φ G (uρ A )Φ = uφ (u à ). É fácil verificr que Φ é n relidde um homomorfismo de grupos. Designndo por θ : à F A projeção cnónic, otemos um digrm A ϕ G ϕ Φ Φ Ã Ã que é composto de três digrms comuttivos. Logo ιφ = ϕ. Finlmente, unicidde de Φ result do fto de Aθ gerr o grupo F A, pelo que Φ vem determindo por ϕ. 21 θ F A

22 Fce o Teorem 3.3, podemos dizer que F A é o grupo livre sore A. É simples verificr que R A com operção inári (u, v) uv constitui um grupo e que F A R A uρ A u é um isomorfismo de grupos. Por isso é muito comum identificr o grupo livre com o conjunto ds plvrs reduzids. Nós tmém fremos isso qundo for conveniente. Usremos tmém notção uρ A = u pr todo u Ã. Além do mis, estendemos F A vários dos conceitos introduzidos n Susecção 2.1. Por exemplo, ddos g, h F A, temos g = g e g é prefixo de h se e só se g é prefixo de h. 3.2 Proprieddes ásics A primeir consequênci d existênci dos grupos livres é seguinte: Teorem 3.4 Todo o grupo é isomorfo lgum quociente de um grupo livre. Prov. Sej G um grupo e sej A G um suconjunto gerdor de G (poderímos té tomr o próprio G!). Pel propridde universl, inclusão A G induz um homomorfismo de grupos Φ : F A G, que é sorejetivo ddo que G = A. Logo G = F A /Ker(Φ) pelo Teorem 1.5(iii). Em seguid vmos determinr qundo dois grupos livres são isomorfos. Teorem 3.5 Sejm A e B conjuntos. Então s condições seguintes são equivlentes: (i) F A = FB ; (ii) A = B. Prov. (i) (ii). Sej ϕ : F A F B um isomorfismo. Sej C A 2 o produto direto de A cópis do grupo cíclico C 2. Suponhmos que A = { 1,..., m }. Pr i = 1,..., m, designmos por u i som dos expoentes ds ocorrêncis de / 1 n plvr u Ã. Note-se que u i = u i, logo isto permite definir g i pr todo g F A. Sej π A : F A C A 2 função definid por gπ A = ( g 1,..., g m ). É rotin verificr que π A é um homomorfismo sorejetivo de grupos. Definindo de form nálog π B : F B C B 2, temos tmém um homomorfismo sorejetivo. Suponhmos que g Ker(π A ). Então g i é pr pr i = 1,..., m. Dqui result que gϕ é pr pr todo B, logo gϕ Ker(π B ) e portnto Ker(π A ) Ker(ϕπ B ). Pelo Teorem 1.5(ii), existe um homomorfismo Φ : F A /Ker(π A ) C B 2 tl que o digrm F A ϕ F B π B F A /Ker(π A ) 22 Φ C B 2

23 comut. Note-se que Φ é sorejetivo porque ϕπ B é sorejetivo. Como F A /Ker(π A ) = C A 2 pelo Teorem 1.5(iii), result existênci de um homomorfismo sorejetivo C A 2 C B 2. Como C A 2 = 2 A e C B 2 = 2 B, segue que A B. Aplicndo o mesmo rgumento o isomorfismo ϕ 1 : F B F A, concluimos qu A = B. (ii) (i). É imedito que qulquer ijeção A B induz um isomorfismo F A F B. Um suconjunto B de um grupo G dix-se um se de G se B ger G e não existe nenhum plvr reduzid não vzi ε εn n no lfeto B que sej igul 1 em G. Isto equivle dizer que inclusão B G induz um isomorfismo F B G. Em prticulr, G tem que ser um grupo livre. É clro que A é um se de F A, ms existem muits mis (como veremos n Secção 4), o contrário do cso dos monóides livres. Podemos então concluir do Teorem 3.5 que tods s ses de um mesmo grupo livre possuem o mesmo número de elementos. Este número diz-se dimensão do grupo livre (logo dim(f A ) = A ). É comum designr por F n o grupo livre de dimensão n (que é único menos de isomorfismo). O grupo livre F 2 estrá presente em muitos exemplos e exercícios. Assumiremos genericmente A = {, } como se pr F 2. Qundo um grupo é definido como quociente (é o cso do grupo livre F A = à /ρ A ), é importnte ser resolver o prolem d plvr, isto é, ser em que condições (lgoritmicmente, isto é, queremos ser cpzes de dizer SIM ou NÃO!) dus plvrs representm o mesmo elemento. Dizemos então que o prolem d plvr é decidível. No cso dos grupos livres, é muito fácil: u, v à representm o mesmo elemento se e só se u = v. O prolem d conjugção constitui um desfio menos óvio. Aqui o ojetivo é determinr lgoritmicmente se dois elementos g, h G são ou não conjugdos, isto é, se existe lgum x G tl que g = xhx 1. É fácil ver que relção de conjugção é um relção de equivlênci. Um plvr reduzid u R A diz-se ciclicmente reduzid se não for d form u = v 1 com Ã. Lem 3.6 Sej u R A. Então existem x, v R A tis que u = xvx 1 e v é ciclicmente reduzid. Além disso, x e v são únics. Prov. A existênci é fácil. Suponhmos gor que u = xvx 1 = ywy 1 com v, w ciclicmente reduzids. Se x < y, então y = xz pr lgum z R A não vzi, logo v = zwz 1, contrdizendo v ciclicmente reduzid. Por simetri, x > y tmém está excluíd, logo x = y e otemos sucessivmente x = y e v = w. Dizemos que plvr v no enuncido nterior é o núcleo cíclico de u. Um grupo diz-se: de torsão se todos seus elementos tiverem ordem finit; livre de torsão se o elemento neutro for o único elemento de ordem finit. Corolário 3.7 F A é livre de torsão. Prov. Sej g F A \{1}. Pelo Lem 3.6, podemos escrever g = xvx 1 com x R A e v ciclicmente reduzid. Ddo n 1, temos g n = (xvx 1 ) n ρ A = (xv n x 1 )ρ A. Como g 1, tmém v 1 e logo xv n x 1 é reduzid. Logo g n = xv n x 1 1 e portnto g n tem ordem infinit. 23

24 Se u = vw for um plvr ciclicmente reduzid, então plvr wv é tmém ciclicmente reduzid. Diz-se um conjugdo cíclico de u. Note-se que u = w 1 (wv)w, logo os conjugdos cíclicos são de fto conjugdos no grupo livre. É clro que só existe um número finito de conjugdos cíclicos pr um dd plvr. É fácil ver que relção ser conjugdo cíclico de é um relção de equivlênci. Teorem 3.8 Sej A um lfeto e g, h F A. Então s condições seguintes são equivlentes: (i) g e h são conjugdos em F A ; (ii) os núcleos cíclicos de g e h são conjugdos cíclicos. Prov. (i) (ii). Como o único conjugdo de 1 é ele próprio, podemos ssumir que g 1. Sej g = xux 1 com u ciclicmente reduzido. Sej Ã. Como ser conjugdo cíclico é um relção de equivlênci, st mostrr que o núcleo cíclico v de g 1 é um conjugdo cíclico de u. Se x 1, então v = u, logo podemos ssumir que x = 1. Se u 1 for reduzid, então mis um vez u = v. Como u 1 (pois g 1), podemos ssumir que u não é reduzid (o outro cso é nálogo). Então podemos escrever u = 1 w, logo g 1 = u 1 = 1 w 1 = w 1. Como u é ciclicmente reduzid, não pode terminr em. Logo w 1 R A e g 1 = w 1. Como w não começ por (senão u = 1 w não seri reduzid), result que w 1 = v. Portnto v é um conjugdo cíclico de u. (ii) (i). No grupo livre, tod plvr é conjugd do seu núcleo cíclico, e os conjugdos cíclicos são conjugdos. Agor st recordr que relção de conjugção é um relção de equivlênci. Dqui result solução do prolem d conjugção de F A, pois os núcleos cíclicos são efetivmente computáveis, ssim como os seus conjugdos cíclicos. Exemplo () 2 é conjugdo de 1 3 em F 2, ms não de Com efeito, os núcleos cíclicos dests três plvrs são respetivmente, 2 e 2 1, donde result firmção. 3.3 Autômtos e suconjuntos rcionis Veremos em seguid lguns resultdos clássicos dos nos 60 e 70 que estelecerm s primeirs relções entre teori de grupos e teori de utômtos. Lem 3.10 R A é um lingugem rcionl. 24

25 Prov. Sej Q = à {1} e E = {(p,, ) Ã, p Q \ { 1 }}. Definimos o Ã-utômto finito A = (Q, 1, Q, E). Os cminhos em-sucedidos neste utômto são d form n n com n 0, i à e i 1 i 1. Dqui result que L(A) = R A, pelo que R A é rcionl. Exemplo 3.11 Se A = {, }, o utômto construído n prov do Lem 3.10 é Dd um lingugem L Ã, escrevemos L = {u u L}. O resultdo seguinte (Teorem de Benois) foi pioneiro ns relções entre grupos livres e utômtos, e mostrou que redução de plvrs não constituí um prolem: Teorem 3.12 (Benois 1969) Sej L um Ã-lingugem rcionl. Então L é tmém um Ã- lingugem rcionl que pode ser clculd lgoritmicmente prtir de L. Prov. Sej A = (Q, I, T, E) um Ã-utômto finito reconhecendo L. Definimos um sucessão (A n ) n de utômtos finitos com trnsições-1 do seguinte modo. Sej A 0 = A. Assumindo que A n = (Q, I, T, E n ) já está definido, considermos tods s instâncis de pres ordendos (p, q) Q Q tis que: existe um cminho p q 1 1 em A n pr lgum Ã, ms nenhum cminho p q. (1) É clro que só existe um número finito de instâncis de (1) em A n. Sej E n+1 união de E n com novs rests d form (p, 1, q), onde (p, q) Q Q é um instânci de (1) em A n, e sej 25

26 A n+1 = (Q, I, T, E n+1 ). Note que A n = A n+k pr todo k 1 cso não exist nenhum instânci de (1) em A n. Como Q é finito, sucessão (A n ) n tem que se tornr constnte, digmos prtir de A m. Vmos mostrr que L = L(A m ) R A. (2) Sej u L. Então existe um sucessão de reduções elementres u = u 0 RA u 1 RA... RA u n = u. Um indução simples mostr que u i L(A i ) pr i = 0,..., n. Logo u L(A k ) R A L(A m ) R A. Result que L L(A m ) R A. Pr inclusão opost, começmos por notr que todo cminho p q u em A i+1 dá origem um cminho p q v em A i, tl que v pode ser otido prtir de u inserindo um número finito de ftores d form 1. Logo L(A m ) = L(A m 1 ) = = L(A 0 ) = L (3) e portnto L(A m ) R A L(A m ) = L. Isto complet prov de (2). Pelos Lem 3.10 e Proposição 2.5, lingugem L é rcionl. A nturez construtiv destes dois resultdos permite construção efetiv de um utômto reconhecendo L prtir do utômto A. A noção de lingugem rcionl pode ser estendid suconjuntos de outros monóides/grupos. Sej M um monóide. Podemos definir um M-utômto ou utômto sore M como sendo um utômto em que os rótulos ds rests são elementos de M. Então L(A), o conjunto dos rótulos dos cminhos em-sucedidos, é nturlmente um suconjunto de M. Um suconjunto X M dis-se rcionl se X = L(A) pr lgum M-utômto finito A. O resultdo seguinte generliz Proposição 2.9(i): Proposição 3.13 Sej ϕ : M N um homomorfismo de monóides e sej X M rcionl. Então Xϕ é um suconjunto rcionl de N. Prov. Sej A um M-utômto tl que L(A) = X. Se sustituirmos cd rótulo m M de um rest de A por mϕ, otemos um N-utômto A tl que L(A ) = Xϕ. Logo Xϕ é rcionl. No contexto dos grupos, noção de suconjunto rcionl é um útil generlizção do conceito de sugrupo finitmente gerdo. O resultdo seguinte comprov legitimidde deste perspetiv, mesmo pr grupos ritrários: Teorem 3.14 (Anisimov e Seifert 1975) Sej H um sugrupo de um grupo G. Então s condições seguintes são equivlentes: (i) H é um suconjunto rcionl de G; (ii) H é finitmente gerdo. 26

27 Prov. (i) (ii). Sej A = (Q, I, T, E) um G-utômto tl que H = L(A). Podemos ssumir que A é prdo (cso contrário suprimimos os vértices supérfluos). Sej A G o conjunto (finito) dos rótulos ds rests de A. Escrevendo m = Q, definimos X = H ( 2m 1 k=0 (A A 1 ) k ). Como A é finito, X é um suconjunto finito de H. Vmos provr que H = X. Ddo h H, podemos escrever h = n pr lgum cminho I q q1... n qn T em A (logo 1,..., n A). Vmos mostrr que h X por indução sore n. Se n < 2m, então h X por definição de X. Logo podemos ssumir que n 2m e que hipótese é válid pr menos que n ftores. Sej u = 1... n m e v = n m+1... n. Eliminndo w ciclos desnecessários, podemos tomr um cminho q n m qn de comprimento < m (isto é, com menos de m rests). Logo uw L(A) = H e pel hipótese de indução uw X. Por outro ldo, w 1 v 2m 1 k=0 (A A 1 ) k e w 1 v = (w 1 u 1 )(uv) H, logo w 1 v X. Dqui result que h = (uw)(w 1 v) X, logo H = X é finitmente gerdo. (ii) (i). Sej H = h 1,..., h m. Definimos um G-utômto com um só vértice A = ({q}, q, q, E), onde E = {q} {h 1,..., h m, h 1 1,..., h 1 m } {q}. É imedito que H = L(A), logo H é rcionl. 3.4 Grfos de Cyley A existênci de inversos nos grupos conduz nturlmente o conceito de utômto inverso. Ddo um Ã-utômto A = (Q, I, T, E), dizemos que A é: involutivo se stisfz pr todo A; (p,, q) E (q, 1, p) E inverso se é determinístico, prdo e involutivo. Um o ilustrção destes conceitos é dd pelos grfos de Cyley de grupos. Sej G um grupo gerdo por A. O grfo de Cyley Γ A (G) é um Ã-grfo que tem os elementos de G como vértices e rests d form g g (g G, Ã). Fixndo identidde 1 como o único vértice inicil e terminl (num utômto, chmmos um tl vértice de ponto se), otemos um utômto inverso. Qul é su lingugem? Precismente o 27

28 conjunto ds plvrs u à tis que u = 1 em G. Isto é, se π : à G designr o homomorfismo involutivo que estende inclusão A G (e que é sorejetivo porque G = A ), então lingugem reconhecid pelo utômto é 1π 1, lingugem de sum importânci pr compreensão d estrutur de G! Est lingugem está intimmente ligd o prolem d plvr de G, discutido n Susecção 7.3. N representção de utômtos inversos (e grfos de Cyley) é hitul omitir representção ds rests com rótulo em A 1. Exemplo 3.15 O grupo simétrico S 3 (permutções do conjunto {1, 2, 3} é gerdo pels permutções = (123) e = (12). O respetivo grfo de Cyley é Note-se que podemos omitir designção dos vértices devido à nturez simétric dos grfos de Cyley. Como G ctu à esquerd no grfo por trnslções (isto é, cd elemento x G trnsform o vértice g G em xg e rest g g em xg xg), sempre tem um utomorfismo deste grfo levndo qulquer vértice p em qulquer vértice q. Dizemos que um tl grfo é trnsitivo nos vértices. O grfo de Cyley de F A (reltivmente à se cnónic A) é fácil de descrever. Como 1θ 1 = R A pr o homomorfismo cnónico θ : à F A, Γ A (F A ) não pode conter ciclos cujo rótulo sej um plvr reduzid. Sendo ssim, se omitirmos representção ds rests com rótulo em A 1, otemos um árvore infinit. 28

29 Exemplo 3.16 Se A = {, }, podemos descrever um porção de Γ A (F A ) por 3.5 Exercícios (3.1) Sej A um lfeto finito. Mostre que o produto direto Z A é o grupo elino livre sore A. (3.2) Mostre que { n, } é um se de F 2 pr todo n Z. (3.3) Sej H = n n n N F 2. Mostre que H não é finitmente gerdo. (3.4) Determine se os seguintes pres de plvrs representm elementos conjugdos de F 2 : () e ; () e (3.5) Sej A um lfeto finito. Mostre que lingugem ds plvrs ciclicmente reduzids de à é rcionl. (3.6) Sej A o utômto descrito por 1 1 Constru sucessão de utômtos com trnsições-1 definid n prov do Teorem

30 (3.7) Sej A um lfeto finito. Mostre que: () pr todo X F A, X é um suconjunto rcionl de F A se e só se X é um Ã-lingugem rcionl; () o conjunto dos suconjuntos rcionis de F A é fechdo pr os operdores oolenos. (3.8) Constru Γ A (G) pr: () G = C 2 C 4 e A = {(1, 0), (0, 1)}. () G = Z Z e A = {(1, 0), (0, 1), (1, 1)}. 30

31 4 Representção de sugrupos Os utômtos finitos constituem hoje form mis eficiente de representr um sugrupo finitmente gerdo H de um grupo livre F A. O lgoritmo conhecido como construção de Stllings constrói um utômto inverso S(H) que tem imenss plicções (emor no rtigo originl de Stllings ele ussse imersões de grfos, o que é mis complicdo). Váris ds ideis presentes erm já conhecids de mtemáticos como Reidemeister, Schreier, e soretudo Serre. 4.1 Construção de Stllings Um ds miores contriuições de Stllings é mesmo o lgoritmo pr construir S(H): (1) Tomndo um conjunto finito de gerdores h 1,..., h m de H em form reduzid, começmos por construir o chmdo utômto flor F(H), em que pétls rotulds pels plvrs reduzids h i (e s rests inverss, pr que sej um utômto involutivo) são colds um ponto se q 0 : h 2 h 1 (2) Num segund fse, identificmos successivmente pres de rests d form q p r té otermos um utômto determinístico (inverso, de fto!), designdo por S(H). Note-se que, como o número de rests diminui cd dorgem, cmos sempre por oter um utômto inverso, dito utômto de Stllings de H. Exemplo 4.1 Construção do utômto de Stllings de H = 2, 1 c, c : h m F(H): q 0 c c 31

32 1 dorgem:, q 0 c 2 dorgem e S(H):, q 0 Há dus questões nturis no que respeit est construção: O resultdo finl depende d ordem em que s dorgens de rests são feits? O resultdo finl depende do conjunto finito de gerdores de H escolhido? Veremos que respost é NÃO ms s questões. Pr mostrr isso, precismos de introduzir um novo conceito. Dizemos que um Ã-utômto finito A é SFG se: A é inverso; A tem um ponto se (o vértice inicil é tmém o único vértice terminl); todo vértice ocorre nlgum cminho em-sucedido de rótulo reduzido. Veremos mis dinte que estes utômtos são precismente os utômtos de Stllings de sugrupos finitmente gerdos de F A (o que explic designção SFG). c Lem 4.2 Sejm A e A Ã-utômtos SFG. Então s condições seguintes são equivlentes: (i) A = A ; (ii) L(A) R A = L(A ) R A. Prov. (i) (ii). Autômtos isomorfos têm mesm lingugem. (ii) (i). Sejm A = (Q, q 0, q 0, E) e A = (Q, q 0, q 0, E ). Definimos um função ϕ : Q Q u do seguinte modo. Sej q Q. Como A é SFG, possui um cminho q 0 q q v 0 com uv R A. Logo uv L(A ) R A e A possui um cminho q 0 u q v q 0. Definimos qϕ = q. w z Será que ϕ está em definid? Suponhmos que q 0 q q 0 é um cminho lterntivo com wz R A, e q 0 w p z q 0 é um cminho em A. Pelo menos um ds plvrs uz, uw 1 é reduzid, logo uz L(A ) ou uw 1 L(A ). Como A é determinístico, result fcilmente que ϕ está em definid. Note-se que q 0 ϕ = q 0 (considerndo u = v = 1). 32

33 u Sejm p, q Q. Tomemos cminhos q 0 q q v w z 0 e q 0 p q 0 em A com uv, wz R A. Se pϕ = qϕ = q, então existem cminhos q 0 u q v q 0 e q w 0 q z q 0 em A. Usndo um rgumento nálogo o do prágrfo nterior, otemos uw 1 L(A) ou uz L(A). Como A é determinístico, result que p = q, logo ϕ é injetiv. Suponhmos gor que (p,, q ) E. Como A é SFG, possui cminhos q 0 u p v q 0 e q 0 w q z q 0 com uv, wz R A. Logo um ds plvrs uw 1, uz, v 1 w 1, v 1 z é reduzid, e pertencerá L(A). Assumindo que é uw 1 u, otemos um cminho q 0 p q q w 1 0 em A, donde result que pϕ = p e qϕ = q. Em prticulr, ϕ é sorejetiv! Além disso, mostrámos que (pϕ,, qϕ) E implic (p,, q) E. A implicção recíproc é nálog, logo ϕ é um isomorfismo de utômtos. Teorem 4.3 (Stllings 1983) Sej H f.g. F A. Então: (i) S(H) é um utômto SFG; (ii) L(S(H)) R A = H. Prov. (i) É clro que S(H) é inverso e tem um ponto se. Por outro ldo, já é verdde que todo o vértice de F(H) ocorre nlgum cminho em-sucedido de rótulo reduzido. Est propriedde se mntém o longo do processo de dorgens, pois L(F(H)) L(S(H)). (ii) É fácil ver que L(F(H)) H. Por outro ldo, se A result do utômto involutivo A por um dorgem de rests, o rgumento usdo pr provr (3) implic que L(A ) = L(A). Dqui se conclui que L(S(H)) = L(F(H)) H e logo L(S(H)) R A L(S(H)) H. Reciprocmente, sej u H. Suponhmos que h 1,..., h m form os gerdores de H usdos n construção. Então u = h ε 1 i 1... h εn i n pr lguns n 0, i 1,..., i n {1,..., m} e ε 1,..., ε n {1, 1}. É clro que h ε 1 i 1... h εn i n L(F(H)) L(S(H)). Como um plvr d form 1 só pode ser rótulo de ciclos num utômto inverso, result que u = h ε 1 i 1... h εn i n L(S(H)) e logo H L(S(H)) R A. Podemos finlmente provr o seguinte: Corolário 4.4 (Stllings 1983) Ddo H f.g. F A, o utômto de Stllings S(H) não depende nem d ordem em que s dorgens de rests são feits, nem do conjunto finito de gerdores de H escolhido. Prov. Pelo Teorem 4.3(ii), L(S(H)) R A é independente destes dois ftores. Como S(H) é SFG pelo Teorem 4.3(i), segue do Lem 4.2 que L(S(H)) R A determin S(H) menos de isomorfismo. Oservção 4.5 Por vezes, construção de Stllings prece definid de form um pouco mis gerl, dmitindo o uso de forms não reduzids dos gerdores n construção do utômto flor F(H). Nesse cso, hveri que crescentr um terceir etp à etp ds dorgens, eliminndo sucessivmente todos os vértices diferentes do ponto se que presentem gru 1 (o gru de um vértice de um utômto é o número de rests que nele têm origem). 33

34 Exemplo 4.6 Construção do uômto de Stllings de H = 1 2, c 1 c 1 prtindo de forms não reduzids dos gerdores: O utômto flor é q 0 c c Depois de proceder tods s dorgens, otemos c q 0 Eliminndo sucessivmente todos os vértices diferentes de q 0 que presentem gru 1, otemos finlmente o utômto de Stllings q Aplicções A primeir plicção d construção de Stllings é solução simples e elegnte do chmdo prolem d plvr generlizdo. Pr um grupo G, este prolem consiste em encontrr um lgoritmo que decid, ddos g G e H f.g. G, se g H ou não. No cso prticulr H = {1}, permite decidir se g = 1 e logo se g = g pr g, g G (equivlente g 1 g = 1). Isto explic terminologi. Teorem 4.7 O prolem d plvr generlizdo é decidível pr F A. Prov. Sejm g F A e H f.g. F A. Temos L(S(H)) R A = H pelo Teorem 4.3(ii). Logo, pr determinr se g H, st construir S(H) e testr se plvr g é ceite pelo utômto. Exemplo 4.8 Podemos usr o utômto de Stllings construído no Exemplo 4.1 pr verificr que H = 2, 1 c, c ms / H. Os utômtos de Stllings tmém permitem construção de ses pr sugrupos finitmente gerdos, como veremos em seguid. Sej H f.g. F A, e sej m o número de vértices de S(H). Um árvore gerdor T de S(H) consiste em m 1 rests e sus inverss que, junts, conectm todos os vértices de S(H). Ddo um 34