%, - &("$ () #&&'&( ./0/"1./223

Transcrição

1 %, - +./0/"./3!" "" "#$% #$%" "" #&&'&( &("$ () '*!"$ +

2 EGMETAÇÃO DE MERCADO E MODELO MITURA DE REGREÃO PARA VARIÁVEI ORMAI Aa Oliveira-Brochado*; Fracico Vitorio Marti** *Cetre for Urba ad Regioal ytem, DECivil-IT, Techical Uiverity of Libo Av. Rovico Pai, Libo, Portugal, abrochado@civil.it.utl.pt ** Faculty of Ecoomic, Uiverity of Porto - Rua Dr. Roberto Fria, Porto, Portugal, vmarti@fep.up.pt REUMO: Ete trabalho propõe-e apreetar uma revião do modelo mitura de regreão para variávei ormai, frequete em etudo de pequia de mercado. De facto, exemplo de aplicação dete modelo cotiuam a acumular a literatura do marketig, dada a ua vatage relativa. Adicioalmete, ete modelo ão facilmete implemetado, devido à ua icorporação em vário programa comerciai de pequia de mercado. Pretede-e apreetar a raíze hitórica que motivaram o deevolvimeto do modelo mitura de regreão (regreio, cluterwie regreio e modelo mitura fiito) e rever a formulação do modelo bae, bem como a ua exteõe pricipai ao ceário de dado em paiel e etudo de aálie cojuta. Palavra-chave: egmetação de mercado, modelo mitura de regreão, dado ormai. ABTRACT: The purpoe of thi work i to provide a overview of what i perhap the mot commo aalyi cotext i market reearch that of regreio model for ormally ditributed data. I fact, example of applicatio of thee model cotiue to accumulate i the marketig literature, give their relative advatage. Moreover, thee model are eae implemeted due to it icorporatio i may commercial package of marketig reearch. We aim at preetig the backgroud for the developmet of mixture regreio model (witchig regreio, cluterwie regreio ad fiite mixture model) ad review the formulatio of the baic model ad it mai exteio i the cotext of pael data aalyi ad cojoit tudie. Keyword: market egmetatio; mixture regreio model; ormal data.

3 ITRODUÇÃO Exemplo de aplicaçõe de modelo mitura de regreão para variávei ormai a egmetação de mercado têm acumulado a literatura do marketig (Adrew et al., 00; Dearbo e Cro, 988; Dearbo et al., 99; Hele et al., 993; Ramawamy, et al., 993; Vrie et al., 996; Wedel e Dearbo, 994,995; Dearbo et al., 00; Adrew e Currim, 003; Jedidi et al., 996; Bowma et al., 004). O preete artigo pretede (i) idetificar o pricipai cotributo para que ipiraram o deevolvimeto do modelo mitura de regreão para variávei ormai (poto ); (ii) apreetar o modelo mitura de regreão deevolvido para variávei depedete ormai (Dearbo e Cro, 988; Wedel e Dearbo, 995) e a etratégia utilizada a etimação do eu parâmetro (poto 3); (iii) itetizar a exteõe ao modelo bae para um cotexto multivaridado propota por Ramawamy et al. (993) e por Dearbo et al. (99) (poto 4). COTRIBUTO PARA O DEEVOLVIMETO DO MODELO MITURA DE REGREÃO De eguida, com bae a revião da literatura efectuada, propõe-e uma ítee do pricipai cotributo para o deevolvimeto dete modelo mitura de regreão para variávei ormai e apreetam-e a pricipai formalizaçõe divulgada a literatura do marketig. Um trabalho cetral o cotexto do modelo mitura de regreão é o artigo de Dearbo e Cro (988), que deevolveu um modelo mitura de regreão para uma variável depedete ormal. Apó uma revião da literatura da aálie claificatória e da aálie de regreão, idetificam-e trê grade cotributo para o deevolvimeto do modelo propoto por Dearbo e Cro (988), que, em termo lato, coicidem com o pricipai factore que ipiraram o deevolvimeto do modelo mitura de regreão. Refiram-e: a) A witchig regreio, aaliada o trabalho de Quadt (97), Homer (974), Quadt e Ramey (978); o modelo de Dearbo e Cro (988) é uma exteão da witchig regreio para mai de doi regime; b) A cluterwie regreio (päth, 979, 98, 98, 985); o modelo mitura de regreão efectuam a exteão do coceito de cluterwie regreio para um cotexto etocático permitido a poibilidade ão ó de partiçõe mutuamete excluiva, como também de grupo com perteça probabilítica;

4 c) O modelo mitura fiito, ou ucoditioal mixture approache (Wolfe, 965, 967, 970; Day, 969, Gaealigam e McLachla, 98; McLachla, 98; clove, 977; ymo, 98; cott e ymo, 97; Marriott, 975; Hartiga, 975; Baford e McLachla, 985).. witchig Regreio Model Wedel e Dearbo (994) coideram que o deevolvimeto do modelo mitura de regreão começou com o trabalho de Quadt (97), ao itroduzir o witchig regreio model ; ete modelo foram etedido poteriormete por Homer (974) e por Quadt e Ramey (978), que propueram ovo deevolvimeto o proceo de etimação. O problema bae edereçado ao witchig regime a aálie de regreão coite, egudo Quadt (97), a etimação de dua equaçõe de regreão para a mema amotra, cao e coclua que a obervaçõe foram gerada por doi cojuto de parâmetro, em e cohecer à partida em a cotituição, em a dimeão, de cada um do doi grupo. Ete problema pode er formulado da eguite forma: a) Tete da hipótee ula (H 0 ) de iexitêcia de alteraçõe de regime (i.e. uma equação de regreão é uficiete), cotra a hipótee alterativa (H ) de que a obervaçõe ão gerada por dua (ou poivelmete mai) regreõe ditita; b) Etimação do parâmetro que caracterizam doi (ou mai) regime, o cao da rejeição de (H 0 ). Dada obervaçõe para a variável depedete y, y =,..., e para a P variávei idepedete, a hipótee ula (H 0 ) pode er formulada atravé do modelo de regreão liear múltipla (). y=xβ + ε () 3

5 em que: y = ( ) vector de dimeão ( ) y (( x )) p X = matriz de dimeão ( ) idepedete ( p =,..., P) ( β p ) x da obervaçõe da variável depedete xp da obervaçõe (,..., ) = para a P variávei β = - vector de dimeão( Px ) do coeficiete da regreão a erem etimado ε = ( )- vector de dimeão ( ) ε ( 0, σ I ) x de termo aleatório ão obervado ditribuído como A hipótee alterativa (H ) é exprea coiderado que é poível reorgaizar a liha de y e a colua de X, de tal forma em que eta ejam dividida em doi grupo (), dado origem à formulaçõe (3) e (4). ε e y y =, y X X = X y = Xβ + ε (3) y = Xβ + ε (4) ε ditribuem-e, repectivamete, como ( 0, σ I ) e (, σ ) () 0 I. Uma formulação mai imple para a hipótee alterativa, que motivou o cohecido tete de Chow (960), coidera que a obervaçõe correpodete a (3) e (4) ão idetificada à priori, correpodedo a uma divião da amotra em doi grupo. Cofiguraçõe mai complexa ão deevolvida com bae o preupoto de decohecimeto a partir de qual do doi regime ( ou ), cada uma da obervaçõe é gerada. Quadt (97) aume que há uma probabilidade decohecida λ da atureza ecolher o regime e uma probabilidade ( λ ) de ecolher o regime a geração da obervaçõe. Preupodo que o termo aleatório o doi regime ão i.i.d. e eguem uma ditribuição 4

6 ormal, a deidade codicioal do valor da obervação, da variável depedete y (y ), codicioal o valore da P variávei idepedete (,..., p) x x é dada pela expreão (5): P λ f ( y x,..., x ) = exp y β x p p p πσ σ p= λ + exp πσ σ y P β x p p p= (5) em que β = ( βp ) e = ( βp ) o regime, repectivamete. β ão o vectore do coeficiete de regreão o regime e A fução de veroimilhaça logaritmizada (6) é obtida pelo cálculo do omatório do logaritmo de (5) para toda a obervaçõe, log L log f ( y x,..., xp) = : = P λ exp y β pxp πσ σ p= log L = log = P λ + exp y β px p πσ σ p= (6) Quadt (97) propõe a maximização da fução (6) em relação a β p, p β, ( p,..., P) =, σ, σ 0 e 0 λ, com bae o gradiete cojugado de Powell (Powell, 964) Powell cojugate gradiet algorithm. Goldfeld e Quadt (973) aumem que exite uma variável ão obervável z (,..., ) =, que pode er uada para claificar a obervaçõe o doi regime: aume-e que y foi gerada pelo regime ou, cooate z z0 ou z > z0 (o ível de corte z 0 é decohecido. De eguida apreeta-e o proceo de etimação do parâmetro de regreão e de z 0. 5

7 eja D uma matriz diagoal de dimeão ( x ), com elemeto ( ) diagoal, em que: d z, =,..., a ( ) d z 0, e z z0 =, cao cotrário Dete modo, upõe-e que a obervaçõe ão gerada por (7) y = ( I D) Xβ+ DXβ + W (7) em que W é o vector de termo aleatório ão obervávei e heteroecedático = ( ) + W I D ε Dε ; W, β e β e o elemeto de D devem er etimado. Trata-e de um problema de optimização combiatória, computacioalmete admiível ubtituido a fuçõe d( z ) em D pela aproximação cotíua (8) (Goldfeld e Quadt, 973): ( ) d z z = ξ z0 exp dξ πσ σ (8) ote-e que eta formulação itroduz doi ovo parâmetro, z 0 (etimativa para o cut-off ) e σ (medida da dicrimiação etre o doi regime). eja Ω a matriz de variâcia e covariâcia de W (9): ( ) σ σ Ω = I D + D (9) A fução de veroimilhaça logaritmizada é aim dada por (0): log L = cotate - log Ω { y ( I D) Xβ DXβ Ω Y ( I D) Xβ DXβ } (0) Quadt (97) aplica o modelo e algoritmo propoto um etudo de imulação (dado experimetai) e em dado relativo à procura e oferta o mercado imobiliário. Uma da 6

8 limitaçõe dete método é ão permitir a idetificação da obervaçõe que pertecem a cada regime (Quadt, 97). Quadt (97) propõe aida exteõe ao modelo bae, etre a quai: a) Geeralização da witchig regreio para mai de doi regime; e e aumir que o úmero de regime é, com probabilidade de erem eleccioado pela atureza λ, λ,..., λ, = λ =, e que a deidade codicioal da variável y dado o valor da P variávei explicativa para cada regime é (,..., P) deidade codicioal correpodedo a (5) erá dada por (): f y x x, etão a fução f y x,..., x f y x,..., x ( P) λ ( P) = () = a partir do qual poderá er derivada uma fução de veroimilhaça equivalete a (6). b) Combiação do método propoto por Goldfeld e Quadt (973) e do método propoto por Quadt (97). e e aumir que a probabilidade da atureza eleccioar um dado regime depede de uma variável ão obervável z, etão defiido-e d( z ) de forma equivalete a (8), a fução deidade codicioal (5) eria defiida por (): d( z ) f ( y x x ) y x P,..., P = exp βp p πσ σ p= d( z ) + exp y πσ σ P β x k p p= () c) eceidade de defiição de metodologia que permitam a idetificação da exitêcia de um ou doi regime e o tete dea hipótee; claro que uma abordagem imediata, uma formulação com apea doi grupo, e o valor de λ etiver muito próximo de 0 ou de, é provável que uma regreão eja uficiete para o ajutameto do dado. A primeira exteão propota, i.e., a geeralização da witchig regreio a mai de doi regime foi efectuada mai de uma década depoi por Dearbo e Cro (988). I fact, thi 7

9 expreio geeralize the Quadt (97), Homer (974) e Quadt e Ramey (978) tochatic regreio model to more tha two regime (Dearbo e Cro 988: 55). Em relação ao egudo deevolvimeto propoto, iterpretado-o em termo lato como um apelo ao deevolvimeto de ovo proceo de etimação, podem etão er referido o cotributo de: Goldfeld e Quadt (973, 976) e Colet e Lee (985) que propueram o hidde Markov witchig regreio model, o quai a perteça da obervaçõe um dado regime ão modelada por um proceo de Markov; Quadt e Ramey (978) que propõem uma abordagem de etimação com bae o método do mometo; o trabalho de Dearbo e Cro (988) em que a etimação do parâmetro decohecido é efectuada com recuro ao algoritmo EM - Expectatio-Maximizatio de Dempter et al. (977). o etato, em relação à terceira exteão propota (alíea c)), que refere a eceidade de metodologia para a idetificação do úmero de regime preete o dado, aida ão urgiram oluçõe atifatória que acompahaem o deevolvimeto ocorrido ao ível do modelo e proceo de etimação. A terceira exteão propota por Quadt (97) pode er reiterpretada, dete modo, como a problemática da elecção do úmero de compoete em modelo mitura de regreão, e e coiderar a exteão do modelo bae a mai de doi regime (deevolvimeto propoto a alíea a)) Hamilto (989, 990, 99) e Egel e Hamilto (990) etederam o witchig regreio model para modelo de érie temporai; ete modelo decrevem movimeto dicreto em parâmetro autoregreivo, em que a mudaça ão modelizada atravé de hidde dicrete-time erie model. Equato que iicialmete a etimação etava limitada a pequeo itema, dada a complexidade computacioal evolvida a maximização da fução de veroimilhaça (Hamilto, 989), Hamilto (990) propô um algoritmo EM (Dempter, et al. 977), que aliviou ete problema. um terceiro artigo, Hamilto (99) demotrou a vatage da abordagem Quae-Bayeiaa obre a abordagem de maximização da veroimilhaça para a etimação do parâmetro. O modelo foi aplicado a aálie de taxa de câmbio (Egel e Hamilto, 990; Hamiltom, 990). Titterigto et al. (985) apreetam algu exemplo da aplicação da witchig regreio a ecoomia. 8

10 A Tabela. apreeta uma ítee do artigo obre witchig regreio model revito. Tabela. Primeiro cotributo em modelo mitura de regreão REFERÊCIA APLICAÇÃO MÉTODO DE ETIMAÇÃO Quadt (97) Mercado imobiliário; cotrução de habitaçõe MV, R Homer (974) - - Quadt e Ramey Previão de alário (978) MD Goldfeld e Quadt Mercado imobiliário; cotrução de (973,976) habitaçõe MV, R Colett e Lee (985) Etabilidade de Cartei MV, R Hamilto (989) Crecimeto do PIB MV, R Hamilto (990) - MV, EM Hamilto (99) Taxa de juro QB, EM Egel e Hamilto (990) Taxa de juro MV, EM Legeda: MV máxima veroimilhaça; R algoritmo ewto-rapho; EM algoritmo EM Expectatio Maximizatio; MD - ditâcia míima; QB quai-baye. Cluterwie Regreio O modelo mitura de regreão propoto por Dearbo e Cro (988) propõe-e geeralizar a cluterwie regreio iicialmete deevolvida por päth (979, 98, 98, 985), para um cotexto de claificação difua. The primary goal of thi reearch i to exted the cocept of cluterwie regreio to a tochatic cotext alowig for the poibility of fuzzy cluter, a well a mutually excluive partitio (Dearbo e Cro 988: 4). A cluterwie regreio é um do primeiro método de agrupameto ão hierárquico motivado pelo etudo da relação etre uma variável depedete e um cojuto de variávei idepedete, 9

11 equadrado-e, por io, a abordage preditiva de egmetação. O autore propõem olucioar o problema combiatório de determiação de uma partição P (ão,..., P obrepota) da obervaçõe e a etimação do vectore de parâmetro ( ) β,..., βp aociado ao modelo (3): y = xβ + ε, ε ( 0, σ I ), =,..., (3) Tal é efectuado miimizado a fução E( C ) ( ) ( ˆ )( ˆ ) =, em que E( C ) é dado por: E C = y X β y X β. (4) päth (979, 98, 98, 985) deevolveu um algoritmo de troca exchage algorithm para obter uma partição de grupo e o correpodete cojuto de parâmetro. O algoritmo deevolvido é apreetado a Tabela. É itereate otar que ete método, deevolvido o cotexto da literatura etatítica, foi exportado para a problemática da egmetação de mercado e ipirou vário autore a literatura do Marketig. Por exemplo, Dearbo et. al (989) e Wedel e Kitemaker (989) etedem a cluterwie regreio para um ceário de múltipla obervaçõe por idivíduo. De acordo com päth (98), o reultado fial depede da partição iicial e da dimeão míima impota para o grupo (eceariamete uperior ao úmero de variávei idepedete). Para evitar o problema com oluçõe óptima locai, päth recomeda o eaio, para grupo, de diferete iiciaçõe. 0

12 Tabela. Cluterwie liear regreio IICIAÇÃO Derivação de uma partição iicial do dado em egmeto. Fixar : = 0 ( 0 ). ITERAÇÃO Colocar : = + e : = e >. eja P que: ( t { }) ( { }) ( t) ( ). Examiar e há grupo P t t E P + E P < E P + E P (7) em e im, eja t um ídice aociado ao grupo que permite a máxima redução a fução objectivo; ete cao, redefiir: { } { } P : = P, P t = Pt e ão, regrear ao pao. CRITÉRIO DE PARAGEM Repetir a iteração até que a fução objectivo ão poa er reduzida, i.e., até que teha ido aumetado veze em que (7) teha dimiuído. úmero de obervaçõe o egmeto da preferêcia do idivíduo o egmeto y vector de dimeão ( ) X matriz de dimeão ( P) β vector de dimeão ( ) P do peo de preferêcia o egmeto Fote: Adaptado a partir de päth (979), pág Modelo Mitura Fiito O deevolvimeto do modelo mitura urge o éculo XIX, com o trabalho de Pearo (984) e de ewcomb (886). o modelo mitura fiito ( fiite mixture model ) aumee que a obervaçõe amotrai ão extraída de doi ou mai grupo, que foram miturado em proporçõe decohecida. O eu objectivo é demiturar a amotra, i.e., idetificar o egmeto implícito (compoete da mitura), e etimar o parâmetro da fução deidade

13 (uada a decrição da probabilidade de ocorrêcia do valore para uma dada variável) itra-egmeto. Ao cotrário da abordage de egmetação, tradicioai, que forecem heurítica para a cotrução do egmeto com bae em valore amotrai, a ditribuiçõe mitura ão uma abordagem de egmetação baeada um modelo. Dete modo, permitem a etimação e tete de hipótee o quadro da teoria etatítica tradicioal. A abordagem de modelo mitura aplicado à egmetação apreeta uma clae de algoritmo de agrupameto extremamete flexívei deehado para a reolução de muito problema de Marketig. O modelo mitura ão modelo etatítico que evolvem uma forma epecífica da fução ditribuição da obervaçõe em cada população ubjacete (que é epecificada). A fução ditribuição é uada para decrever a probabilidade de ocorrêcia do valore obervado da variávei em aálie. De eguida propõe-e a apreetação do modelo geral, a decrição do algoritmo de etimação do eu parâmetro, uma dicuão da limitaçõe deta abordagem, e o papel dete modelo o deevolvimeto do modelo mitura de regreão. Apreeta-e aida uma ítee da pricipai aplicaçõe do modelo mitura fiito o cotexto da egmetação de mercado. A expoição que e egue recorre eecialmete ao texto de Wedel e Kamakura (000), ao artigo de Dillo e Kumar (994) e ao trabalho de Everitt e Had (98), McLachla e Baford (988) e Titterigto et al. (985)..3. Modelo O modelo geral preupõe que o objecto (coumidore), para o quai e dipõe do valor da variávei = ( y ) y, =,...,, k =,..., K, ão extraído de uma população cotituída k por uma mitura de egmeto, em proporçõe λ =,..., : λ = λ 0, =,...,. (5) = upodo que a obervação y k pertece ao egmeto, a fução ditribuição codicioal para o vector y é defiida por f ( y θ ), em que θ repreeta o vector de parâmetro

14 decohecido eceário para a ua caracterização. Como a perteça ao egmeto da obervaçõe é decohecida, a fução deidade mitura ( mixture deity ) de y é dada por: f ( Φ ) = λf( ) em que Φ= ( λθ, ). y y θ (6) = A fução f ( y θ ) pode aumir vária forma, o cotexto da ditribuiçõe dicreta ou cotíua (Wedel e Kamakura 000). A ua caracterização é efectuada, para cada egmeto, atravé da média, μ k, e de um parâmetro de diperão, σ. o cotexto da ditribuiçõe cotíua, a ditribuição ormal multivariada é a mai utilizada (Wedel e Kamakura, 000)..3. Etimação por máxima veroimilhaça O propóito da aálie do modelo mitura fiito é a etimação do vector de parâmetro Φ= ( λθ, ). ete cotexto, o método da máxima veroimilhaça coagrou-e como o procedimeto geral de etimação (Dillo e Kumar, 994). A obteção de etimadore coitete e aimptoticamete ormalmete ditribuído (Dillo e Kumar, 994) é apotada como a ua pricipal propriedade etatítica. Para a ditribuiçõe mitura, a fução de veroimilhaça de Φ aume a eguite forma geral: = ( ) L= f y Φ (7) O etimadore para o parâmetro ão obtido maximizado a fução de veroimilhaça (7) em relação ao vector de parâmetro Φ, ujeita à retriçõe defiida em (5). ete cotexto, ão calculada a derivada parciai, a partir da fução de veroimilhaça logaritmizada aumetada (8): log L = log λf( y θ ) w λ (8) = = = 3

15 em que w repreeta o multiplicador de Lagrage. Daqui reultam a eguite equaçõe de etacioariedade: λ = ( ) ( ) log L f = y w = 0 f y = ( ) f ( y ) log L f = y θ = 0 θ (9) (0) Titterigto et al. (985) forecem uma excelete decrição do proceo de etimação pelo método da máxima veroimilhaça em modelo mitura fiito..3.3 Algoritmo para a etimação do parâmetro evolvido o modelo o cotexto do modelo mitura ão utilizada dua abordage gerai a obteção da oluçõe de máxima veroimilhaça (Wedel e Kamakura, 000; Dillo e Kumar, 994). A primeira aplica método de optimização umérica à equaçõe (9) e (0); a rotia (de optimização) utilizada - ewto-rapho, Quai-ewto, implex, Fiher corig - ipiram-e em método baeado o gradiete. Uma itrodução a ete método pode er ecotrada o trabalho de Dei e chaabel (983), Gill et al. (989) e Everitt (987). A abordagem mai uada (Wedel e Kamakura, 000) recai a utilização do algoritmo EM - Expectatio-Maximizatio (Dempter et al., 977). O algoritmo EM deriva a ua deigação do doi pao do algoritmo. a fae E expectatio tep (Eperaça), a partir da etimativa dipoívei para todo o parâmetro do modelo, Φ, ão obtido ovo valore para a probabilidade de afectação do coumidore ao egmeto, p, =,...,, =,..., (uado o Teorema de Baye). o pao M maximizatio tep (Maximização), ão obtida ova etimativa para Φ com bae ea etimativa temporária de p. Ete doi pao ão repetido iterativamete equato for poível uma melhoria a fução de veroimilhaça (Tabela 3)..3.4 Comparaçõe de performace relativa Em termo de eficiêcia, ão é claro qual do doi método (algoritmo EM ou optimização umérica) é preferível (Wedel e Kamakura, 000). o etato, alguma cocluõe gerai obre a ua performace relativa (o cotexto da obteção de etimativa de máxima 4

16 veroimilhaça para o parâmetro da compoete do modelo mitura) podem er apotada. Comparado com o algoritmo de optimização (ewto-rapho, Quai-ewto, implex, Fiher corig), a covergêcia do algoritmo EM é coiderada baixa, (medida pelo úmero de iteraçõe eceária). Um problema potecial aociado à aplicação da dua abordage relacioa-e com a propriedade ão deejável do algoritmo termiarem um óptimo local, tedo ido propoto vário procedimeto para reduzir ete rico (Wedel e Kamakura, 000). Leich (004) acreceta mai dua limitaçõe do algoritmo EM, a referir: itabilidade umérica e uma compoete poui pouca obervaçõe uma dada iteração e problema a etimação do parâmetro (o cao da ditribuiçõe mitura ormai a fução de veroimilhaça tede a crecer em limite e σ 0 ). ão obtate, a implicidade computacioal do algoritmo EM (com apea doi tipo de iteraçõe) é apotada como a ua pricipal fote de popularidade. Para a reolução da equaçõe de veroimilhaça é eceária a epecificação de um cojuto de parâmetro iiciai. ote-e que a ecolha de má cofiguraçõe pode afectar de forma advera a performace do algoritmo, coduzido a problema de ão covergêcia. Uma aálie do quadro geral de egmetação baeado o modelo mitura permite cocluir que eta abordagem etatítica poui vária vatage em relação ao método de claificação baeado em heurítica; o etato, vário auto, como a exitêcia de óptimo locai, ou o tete para a determiação do úmero de egmeto, eceitam aida de uma reolução atifatória. Reviõe da aplicação deta abordagem a problema de egmetação de mercado podem er ecotrada o artigo de Dillo e Kumar (994) e o texto de Wedel e Kamakura (000)..3.5 Modelo mitura fiito veru modelo mitura de regreão o modelo mitura fiito ão exitem variávei exógea para explicar a média e a variâcia de cada compoete da ditribuição mitura fiita. Por exemplo, uma mitura de ditribuiçõe ormai, a média e a variâcia em cada egmeto latete (ou compoete da mitura) ão etimada directamete. eta aplicaçõe o pricipal objectivo é decritivo, i.e., formar grupo homogéeo de idivíduo/ coumidore com bae em vária caracterítica obervada. Em cotrate, o modelo mitura permitem ão ó a claificação probabilítica 5

17 da obervaçõe em egmeto latete como também a etimação de modelo de regreão explicado a média e a variâcia de cada variável depedete detro de cada egmeto. Tabela 3. Algoritmo EM () O procedimeto é iiciado ( h : = ) com a fixação do úmero de egmeto,, e com a geração de uma partição iicial um procedimeto de aálie de agrupameto covecioal). () Dado () p (aleatória ou baeada a utilização de ( h) p, obter a etimativa de λ e de θ uado o etimadore de máxima veroimilhaça: = λ = θ = = p y p λ () () (3) Tete de covergêcia: parar e a alteração em log L (6) da iteração (h-) para a iteração (h) for reidual. (4) Aumetar o ídice da iteração h: = h+ e calcular ova etimativa para p ( h+ ) uado a equação. p = λ f = ( y θ ) λ f ( y θ ) (3) (5) Repetir o pao a 4. Fote: Adaptado a partir de Wedel e Kamakura (000), pág. 85 O modelo mitura de regreão relacioam uma variável depedete, como a frequêcia de compra ou a preferêcia por marca, com variávei explicativa, como variávei do marketig mix, detro de cada clae latete. 6

18 3 MODELO MITURA DE REGREÃO PARA VARIÁVEI ORMAI 3. Modelo eta eão é apreetado o modelo mitura de regreão para variávei depedete ormai de Dearbo e Cro (988), que é um cao epecial do modelo GLIMMIX - Geeralized Liear Mixture Model (Wedel e Dearbo, 995). Dearbo e Cro (988) geeralizam pela primeira vez o tochatic witchig regreio model (Quadt, 97; Homer, 974; Quadt e Ramey, 978) para mai de doi regime. O artigo apreeta uma ova metodologia para derivação de grupo e a etimação imultâea da correpodete fuçõe regreão itra-grupo. A partir do cojuto de obervaçõe para a variável depedete y e a P variávei explicativa ( ),..., P x x, p =,..., P, ão utilizada ditribuiçõe mitura codicioai, um quadro de máxima veroimilhaça, com a utilização do algoritmo EM (Dempter et al., 977) para a etimação do parâmetro. Aume-e que a variávei aleatória y, =,..., ão extraída de uma população que é uma mitura de um úmero fiito de egmeto (populaçõe ormai), em proporçõe λ,..., λ, =,..., ; o etato, ão é cohecida à priori a população da qual a obervação y foi extraída. A probabilidade λ etão ujeita à retriçõe (4): λ =, λ 0, =,..., (4) = A ditribuição de y, dado que y é extraído do egmeto é dada por (, p) f y σ β ; ( ) ( ) f y σ, βp = πσ exp ( y Xβ) σ (5) 7

19 A variávei y ão idepedete, edo codicioai ao egmeto. Dete modo, a fução deidade de probabilidade de y pode er exprea como uma mitura de deidade ormai uivariada 3 : ( Φ ) = λ ( y θ) = λ ( σ, βp) f y f f y = = = λ( πσ ) exp = ( y Xβ) σ (6) em que o vectore de parâmetro ão (, ) Φ= λ θ, = ( βp, σ ) θ. Quado e aplicam modelo mitura de regreão, o objectivo é prever a média da obervaçõe em cada egmeto uado um cojuto de variávei explicativa. Para ee objectivo, é epecificado um previor liear μ por P ( p,..., P) P = x β, que é produzido p p p= = variávei idepedete e um vector de parâmetro = ( βp ) β para o egmeto. A etimativa para o parâmetro ( λ, βp, σ ) Φ= ão obtida maximizado a fução de veroimilhaça L (7), ou o logaritmo da fução de veroimilhaça log L (8) em relação a φ, ujeita à retriçõe (4); o etato ó é poível a obteção de etimadore coitete e for impota a codição σ > 0 (Dearbo e Cro, 988). a preeça de K medida repetida ( k =,..., K) para cada coumidor (,..., ) =, o y ão e podem k aumir como idepedete, edo apropriada uma ditribuição da família expoecial multivariada, como a ditribuição ormal multivariada. 3 o cao de K medida repetida por idivíduo obtém-e f ( yk Φ ) = λ f ( y k θ ). K = k= 8

20 ( ) λ ( θ ) L= f y Φ = f y = = = L = λ( πσ ) exp = = t ( y ) Xβ σ (7) ou ( ) λ ( θ ) log L= log f y Φ = log f y = = = log L = log λ ( πσ ) exp ( y ) Xβ = = σ. (8) 3. Algoritmo de Etimação A fução (8) pode er maximizada uado o algoritmo EM Expectatio Maximizatio (Dempter et al., 977). O ome do algoritmo reulta do eu doi pao, Expectatio e Maximizatio. Para e exemplificar o algoritmo EM, é eceária a itrodução de dado ão obervado z, idicado e a obervação y pertece ou ão ao egmeto. Aim, z = e é extraído do egmeto e z = 0, cao cotrário. Aume-e que z ão i.i.d. multiomiai (9): ( ) z f z λ = λ (9) = em que = ( z z ) z,..., '. Aume-e que o y, dado z, ão codicioalmete idepedete e pouem a deidade (30): z (, ) (, ) f y z f y β σ. (30) Φ = = 9

21 edo o valore z coiderado miig data, o logaritmo da fução de veroimilhaça ( ) para o dado completo log-likelihood fuctio for the complete data = ( x p ) (( z )) X e Z =, =,...,, p =,..., P, =,...,, pode er formada a partir da equaçõe (3) e (3). ( ) z z c = f y σ + λ = = = = L β, (3) ( σ ) log L = z log f y β, + z logλ (3) c = = = = A fução (3) é maximizada com recuro ao algoritmo EM (Dempter et al., 977). Depoi da etimativa para o parâmetro Φ terem ido obtida, a probabilidade poteriore de perteça p ão calculada o pao E. o pao M o valor eperado de log L c (3) é maximizado em relação a Φ, permitido a obteção de ova etimativa para o parâmetro. o pao E o logaritmo da fução de veroimilhaça é ubtituído pelo eu valor eperado, calculado com bae a etimativa proviória de Φ. o pao M, o valor eperado de log L c é maximizado em relação a Φ, permitido a obteção de ova etimativa para o parâmetro. O pao E e M ão alterado até que ehuma melhoria a fução de veroimilhaça eja poível. Decrevem-e, de eguida, o pao E e M de forma mai detalhada. Pao E o pao E, é calculado o valor eperado de l L c em relação à ditribuição codicioal do dado ão obervado Z, dado o valore de y e a etimativa proviória para Φ, * * * ( λ, β,σ ). Pode-e facilmete verificar que E log L c ( Φ, ) em log L c de z pelo eu valore eperado E( z y, Φ) er obtido com bae em e com bae a regra de Baye (33), y Z é obtida pela ubtituição ; ete valore eperado podem 0

22 = ( y β, σ ) f ( y β, σ ) λf E( z y, Φ ) = = p λ. (33) Dete modo, o dado ão obervado Z em log L c ão ubtituído pelo eu valore actuai p (pao E), log c, log, log = = = = ( yz) ( β σ ) E L φ = p f y + p λ (34) Pao M Para maximizar o valor eperado de log L c em relação a Φ ujeito à retriçõe (4), é formada uma fução aumetada (35): ( ) * * * * * Ψ= p log f y βp, σ + p log λ w λ = = = = = (35) em que w repreeta o multiplicador de Lagrage. A equaçõe de etacioariedade ão obtida igualado a derivada parciai de primeira ordem a zero: Ψ p = w = 0 (36) λ λ = β = ( y β σ ) Ψ log f, = p = 0 β = σ ( y β σ ) Ψ log f, = p = 0 σ (37) (38) Para etimar λ, é eceário etimar préviamete w ; tal é obtido pela multiplicação de ambo o lado da equação (36) por λ e oma de ambo o lado para :

23 * = = = ŵ p w λ = 0 = (39) De eguida, ubtituido (39) em (36) e multiplicado ambo o lado da equação por λ obtém-e: = p λ = 0 ˆ = λ = pˆ (40) ote-e que maximizar E l Lc ( Φ y, z) em ordem a β e forma idepedete cada uma da expreõe (4): = ( ) log L p log f y β, σ σ é equivalete a maximizar de = (4) Dete modo coclui-e que a optimização de (4) é equivalete ao problema de maximização de um modelo liear geeralizado para o dado completo, com a particularidade de cada obervação y cotribuir para a fução com um peo cohecido, p, obtido o pao E. A equaçõe de etacioariedade ão obtida igualado a derivada parciai de (4) de primeira ordem a zero. A etimativa para β e σ ão obtida atravé do Fiher corig Method (que é equivalete ao procedimeto de ewto-rapho para fuçõe de lik caóico) (McCullagh e elder, 989, Wedel e Dearbo, 995). umariado, o algoritmo EM propoto para o ajutameto do modelo coite o eguite pao (Wedel e Dearbo, 995), decrito a Tabela 4.

24 Tabela 4. Algorimo EM. o primeiro pao da iteração, h : = 0, iiciar o procedimeto fixado o úmero de clae,, e gerado uma partição iicial ( 0) p.. Dado p ( 0), etimativa de máxima veroimilhaça para β podem er obtida atravé do método de míimo quadrado poderado. Obteção de etimativa para λ (Pao M). 3. Tete de covergêcia: parar e pequeo. log L ( h+ ) ( h) ( Ψ ) log L Ψ ( ) 4. Calcular ova etimativa para a probabilidade poteriore, equação (4) 4 ( ) y y for uficietemete ( h ) p +, de acordo com a p = λ f = y β, σ k k λ f ( y β, σ ) k k (4) 5. Repetir o pao a 4. Fote: Adaptado a partir de Wedel e Dearbo (995), pág. 8, 9 4 GEERALIZAÇÕE DO MODELO BAE O modelo propoto por Dearbo e Cro (988), e icluído como um cao epecial do modelo mitura liear geeralizado por Wedel e Dearbo (995), foi também etedido por Ramawamy et al. (993) para um ceário de dado em paiel, por Dearbo et al. (99) para dado de aálie cojuta e por Jedidi et al. (996) para modelo de equaçõe etruturai. De eguida apreetam-e a formulaçõe de Dearbo et al. (99) e Ramawamy et al. (993), que permitem a realização imultâea de regreõe ormai multivariada e a egmetação 4 o cao de medida repetida a probabilidade de perteça do coumidor ao egmeto é dada por p K λ f = λ f ( y β, σ ) k k= K ( y β, σ ) k = k=. 3

25 de mercado. ão é decrita a formulação de Jedidi et al. (996), dado que o âmbito dete trabalho apea e pretede etudar a problemática da elecção do úmero adequado de egmeto de mercado em modelo mitura de regreão uiequacioai para variávei ormai. 4.. Modelo Mitura de Regreão para Aálie Cojuta Métrica eta eão apreeta-e o modelo para aálie cojuta métrica propoto por Dearbo et al. (99). Ete modelo, deigado por Latet Cla Metric Cojoit Aalyi, permite a etimação imultâea de um modelo de aálie cojuta e a egmetação de mercado e geeraliza o modelo propoto por Dearbo e Cro (988) para um cotexto multivariadado. A formulação propota itroduz flexibilidade a modelização de ituaçõe em que o membro de um egmeto de mercado particular exibem diferete perfi de preferêcia. Trata-e de um modelo particularmete itereate dado que um etudo de imulação comparado ove modelo de aálie cojuta métrica revelou que o modelo de clae latete apreeta o melhor deempeho em termo de recuperação de parâmetro, qualidade do ajutameto e capacidade preditiva (Vrie et al., 996). Coidere-e, a eguite otação: =,..., coumidore; j =,..., J perfi cojuto ( cojoit profile ); p =,..., P variávei idepedete a aálie cojuta (codificada como variávei dummy); =,..., egmeto; y j = ratig de repota métrico ao perfil j pelo coumidor ; X jp = valor da variável idepedete p o perfil j (por implificação, ão é efectuada a ditição etre factor e ível), (( X jp )) X = ; X j = vector liha de dimeão ( xp ) de variávei idepedete para o perfil j; β p = coeficiete de valor parcial ( cojoit part-worth ) etimado para a variável p o egmeto ; 4

26 β vector liha de dimeão ( ) = (( β p )) β = ; xp de valore parciai para o egmeto, = matriz de covariâcia de dimeão ( JxJ ) para o egmeto, ( ) =Σ Σ Σ. ',,..., Aume-e que o vector liha y de dimeão ( xj ) poui uma fução deidade de probabilidade que pode er modelizada como uma mitura fiita da eguite ditribuiçõe codicioai (43), f ( ;,, ) = λf(, ) y λβ y β (43) = em que = ( λ λ ) λ ão proporçõe mitura idepedete da mitura fiita,,..., λ ujeita à retriçõe (4). Cada f em (43) é defiido a partir de uma ditribuição multivariada codicioal (44). f J ( ) ( ) ( ' Σ = π ) Σ ( ' ) y β, exp / ' y Xβ y Xβ (44) Dado uma amotra de coumidore idepedete, é poível formar a expreão da fução de veroimilhaça (45): J ' ' L λ( π) = exp / ( j ) ( j ) ' y X β Σ y X β (45) = = ou log L= log, = = λf( y β ) (46) 5

27 Depoi da etimativa de λ, Σ e β terem ido obtida a partir de qualquer iteração do procedimeto de máxima veroimilhaça, é poível afectar cada coumidor a cada clae latete ou egmeto de mercado atravé da probabilidade à poterior etimada, aplicado a regra de Baye, reultado um agrupameto probabilítico (47), p = λ f = ( y β, Σ ) f ( y β, Σ ) λ. (47) O algoritmo EM Expectatio-Maximizatio (Dempter et al., 977) é utilizado, tal como o modelo decrito a ecção aterior, para a etimação do parâmetro. 4.. Modelo Mitura de Regreão para Dado em Paiel Ramawamy et al. (993) geeralizam a abordagem propota por Dearbo e Cro (988), para dado em paiel. Coidere-e a eguite otação adicioal: =,..., uidade eccioai t =,..., T período de tempo p =,..., P variávei explicativa X pt = valor da variável explicativa p o período t para a uidade eccioal (( X pt )) X = matriz do valore da variávei explicativa p o período t, para cada uidade eccioal = valor da variável depedete métrica para a uidade eccioal o período t y t ( y ) y = vector de obervaçõe da variável depedete y para o coumidor t Δ = matriz de variâcia e covariâcia para o paiel (egmeto) ( ) Δ= Δ,..., ' Δ ( βp ) β = vector de parâmetro para o paiel (egmeto) ( ) β= β,..., ' β 6

28 Como forma de capturar a heterogeeidade eccioal potecial ão obervada, Ramawamy et al. (993) propõem a etimação imultâea de uma etrutura de paiéi múltiplo e do coeficiete de regreão para cada paiel. Dete modo, upõem a exitêcia de paiéi latete, de tal forma que a relação etrutural detro de cada paiel é decrita por um vector de parâmetro epecífico dee paiel. Coidere-e que o vector y e ditribui de acordo com uma mitura de deidade ormai multivariada (48): f (,, ) λf(, ) y λβδ = y β Δ (48) = em que: T T (, ) = ( ) exp ( ) Δ ( ) f y β Δ π Δ y X β y X β (49) Da epecificação codicioal em (49) coclui-e que e uma uidade eccioal pertece ao paiel, etão a etrutura da relaçõe etre a variávei explicativa e a variável depedete é repreetada pelo vector de parâmetro β e a matriz de variâcia e covariâcia Δ. Tal equivale à defiição de um modelo liear geeralizado para cada paiel. A partir de uma amotra de uidade eccioai, é poível defiir a fução de veroimilhaça (50) e a fução de veroimilhaça logaritmizada (5): L λ π = Δ = = T ( ) exp ( ) y Xβ Δ ( y Xβ ) (50) ou log L= log,, = = λf ( y X β Δ ) (5) 7

29 Dado o valore de y, X e o valor de, pretede-e etimar o eguite parâmetro: ( ) proporçõe mitura, o vector de coeficiete = ( ) β β,..., β e a matriz de variâcia e covariâcia Δ = ( Δ,...,Δ ) para cada egmeto. Para o efeito é maximizada a fução (50) ou (5), ujeita à codiçõe epecificada em (4); adicioalmete, Δ deverá er uma matriz defiida poitiva, imétrica, de forma a e obterem etimativa coitete do parâmetro. A etimação do modelo mitura de regreão com dado em paiel para variávei depedete ormai é efectuada atravé da implemetação do algoritmo EM (Dempter et al., 977). A probabilidade poteriore de perteça ao paiéi (para cada uidade eccioal) podem er calculada uado a regra de Baye (codicioal a etimativa para o parâmetro obtida) como: p = λ f = ( y β, Δ ) λ f ( y β, Δ ) (5) Coidera-e o cao de uma úica obervação para cada uidade eccioal (i.e., a abordagem propota por Dearbo e Cro 988) como um cao epecial do método propoto (Ramawamy et al., 993). 5 ÍTEE COCLUIVA a egmetação de mercado, o modelo de atureza etatítica ão de grade utilidade, a medida em que a claificação probabilítica do coumidore e a etimação de regreõe itra-egmeto é efectuada de forma imultâea, permitido a idetificação de egmeto homogéeo a forma como repodem à variávei do marketig mix. O modelo geral, propoto por Wedel e Dearbo (995) e deigado por GLIMMIX, acomoda uma variedade de variávei depedete, uada para decrever feómeo divero como a preferêcia ou a atifação (ditribuição ormal), a frequêcia de compra (ditribuição Poio) ou a ecolha de marca alterativa (ditribuição biomial). É poível a idetificação de um grade úmero de publicaçõe divulgada a literatura do marketig com aplicaçõe dete 8

30 modelo a problema de egmetação de mercado. ete trabalho foi apreetada a formulação para o modelo mitura de regreão propoto por Dearbo e Cro (988) que é um cao geral do modelo de Wedel e Dearbo (995), aim como a dua exteõe para o cotexto multivariado, deevolvida por Ramawamy et al. (993) e por Dearbo et al. (99). Ete tipo de modelo ão de utilização geeralizada em etudo de egmetação de mercado, em grade parte dada a ua dipoibilidade em programa comerciai, como, por exemplo, o GLIMMIX (primeiro programa), o Latet Gold (líder actual) e o Logit. REFERÊCIA Adrew, R. e Currim, I.. (003). Retetio of Latet egmet i Regreio-Baed Marketig Model, Iteratioal Joural of Reearch i Marketig, 0 (4): Adrew, R. L., Aari, A. e Currim, I.. (00). Hierarchical Baye v. Fiite Mixture Cojoit Aalyi Model: a Compario of Fit, Predictio ad Partworth Recovery, Joural of Marketig Reearch, 39 (): Baford, K. E. e McLachla, G. J. (985). Likelihood Etimatio for ormal Mixture Model, Joural of the Royal tatitical ociety: erie C (Applied tatitic), 34 (3): Bowma, D., Heilma, C. e eetharama, PB. (004). "Determiat of Product-Ue Compliace Behavior", Joural of Marketig Reearch, 4 (3): Chow, G. (960). Tet of the Equality Betwee Two et of Coefficiet i Two Liear Regreio, Ecoometrica, 8 (3): Colett, tephe R. e Lee, Lug-Fei (985). erial Correlatio i Latet Dicrete Variable Model, Joural of Ecoometric, 7 (): Day,. E. (969). Etimatig the Compoet of a Mixture of Two ormal Ditributio, Biometrika, 56 (3):

31 Dempter, A. P., Laird,. M. e Rubi, D.B. (977). Maximum Likelihood from Icomplete Data via EM-Algorithm, Joural of the Royal tatitical ociety: erie B (tatitical Methodology), 39 (): -38. Dei, J. E. e chaabel, R. B. (983). umerical Method for Ucotraied Optimizatio ad oliear Equatio, Egelwood Cliff, J, Pretice Hall. Dearbo, W.. e Cro, William L. (988). A Maximum Likelihood Methodology for Cluterwie Liear Regreio, Joural of Claificatio, 5 (): Dearbo, W.., Jedidi, K. e iha, I. (00). Cutomer Value Aalyi i a Heterogeeou Market, trategic Maagemet Joural, (9): Dearbo, W.., Oliver, R. L. e Ramawamy, A. (989). A imulated Aealig Methodology for Cluterwie Liear Regreio, Pychometrika, 54 (4): Dearbo, W.., Wedel, M., Vrie, M. e Ramawamy, V. (99). Latet Cla Metric Cojoit Aalyi, Marketig Letter, 3 (3): Dillo, W. R. e A. Kumar (994). Latet tructure ad Other Mixture Model i Marketig: A Itegrative urvey ad Overview, i R. P. Bagozzi (Ed.), Advaced Method of Marketig Reearch, Blackwell, pp Dooho, D. L. (988). Oe-ided Iferece about Fuctioal of a Deity, Aal of tatitic, 6 (4): Du, J. C. (974). A Fuzzy Relative of the IODATA Proce ad It Ue i Detectig Compact Well-eparated Cluter, Joural of Cyberetic, 3 (3): Edward, A. L. (970). The Meauremet of Peroality Trait by cale ad Ivetorie, ew York: Holt, Riehart e Wito. Efro, B. (979). Boottrap Method: Aother Look at the Jackkife. Aal of tatitic, 7 (): -6. Efro, B. e Tibhirai, R. (993). A Itroductio to the Boottrap, Lodo: Chapma e Hall. 30

32 Egel, Charle e Hamilto, Jame D. (990). Log wig i the Dollar: Are they i the Data or Market Kow It?, The America Ecoomic Review, 80 (4): Egel, Charle e Hamilto, Jame D. (990). Log wig i the Dollar: Are they i the Data or Market Kow It?, The America Ecoomic Review, 80 (4): Everitt, B.. (987). A Itroductio to Optimizatio Method ad their Applicatio i tatitic, Lodo, ew York, Chapma e Hall. Everitt, B.. (00). Cluter Aalyi, Hodder Arold Publicatio. Everitt, B.., e Had, D. J. (98). Fiite Mixture Ditributio, Lodo: Chapma ad Hall. Everitt, B.., e Had, D. J. (98). Fiite Mixture Ditributio, Lodo: Chapma ad Hall. Fiher, R. A. (936). Ucertai iferece, Proceedig of the America Academy of Art ad ciece, 7: Fraley, C. e Raftery, A. E. (998). How may cluter? Which cluterig method? Awer via model-baed cluter aalyi, The Computer Joural, 4 (8): Frak, R. E., May, W. F., e Wid, Y. (97). Market egmetatio, Pretice-Hall. Gaealigam,. e McLachla, G. J. (98). ome Efficiecy Reult of the Etimatio of the Mixig Proportio i a Mixture of two ormal Ditributio, Biometric, 37 (): Gill, P. E., Murray, W. e Wright, M. H. (989). Practical Optimizatio, Academic Pre. Goldfeld,. M. e Quadt, R. E. (973). A Markov Model for witchig Regreio, Joural of Ecoometric, (): 3-6. Goldfeld,. M. e Quadt, R. E. (976). tudie i oliear etimatio, Cambridge, MA: Balliger. 3

33 Hamilto, J. D. (989). A ew Approach to the Ecoomic Aalyi of otatioary Time erie ad the Buie Cycle, Ecoometrica, 57 (): Hamilto, J. D. (990). Aalyi of Time erie ubject to Chage i Regime, Joural of Ecoometric, 45 (): Hamilto, Jame D. (99). A Quai-Bayeia Etimatig Parameter for Mixture of ormal Ditributio, Joural of Buie & tatitic, 9 (): Hartiga, J. A. (975). Cluterig Algorithm, Joh Wiley e o. Hele, K., Jedidi, K. e Dearbo, W.. (993). A ew Approach to Coutry egmetatio Utilizig Multiatioal Diffuio Patter, Joural of Marketig, 57 (4): Homer, D. W. (974). Maximum Likelihood Etimate of the Parameter of a Mixture of two Regreio Lie, Commuicatio i tatitic, 3 (0): Jedidi, K, Ramawamy, V., Dearbo, W.. e Wedel, M. (996). The Diaggregate Etimatio of imultaeou Equatio Model: a Applicatio to the Price-Quality Relatiohip, Joural of tructural Equatio Modellig, 3 (3): Marriott, F. H. C. (975). eparatig Mixture of ormal Ditributio, Biometric, 3 (3): McCullagh, P. e elder, J. A. (989). Geeralized Liear Model. Chapma e Hall. McLachla, G. J. (98). The Claificatio ad Mixture Maximum Likelihood Approache to Cluter Aalyi, i P. R. Krihaiah e L.. Kaal (Ed.), Hadbook of tatitic, Vol., Amterdam: orth-hollad, pp McLachla, G. J. e Baford, K. E. (988). Mixture Model. Iferece ad Applicatio to Cluterig, Marcel Dekker. ewcomb,. A (886). Geeralized Theory of the Combiatio of Obervatio o a to Obtai The Bet Reult, America Joural of Mathematic, 8:

34 Pearo, K. (894). Cotributio to the Mathematical Theory of Evolutio, Philoophical Traactio of the Royal ociety of Lodo: erie A, 85: 7-0. Powell, M. J. D. (964). A Efficiet Method for Fidig the Miimum of a Fuctio of everal Variable without Calculatig Derivative, Computer Joural, 7 (): Quadt, R. E. e Ramey, J. B. (978). Etimatig Mixture of ormal Ditributio ad witchig Regreio, Joural of the America tatitical Aociatio, 73 (364): Quadt, Richard E. (97). A ew Approach to witchig Regreio, Joural of the America tatitical Aociatio, 67 (338): Ramawamy, V., Adero, E. W. e Dearbo, W.. (993). A Diaggregate egative Biomial Regreio Procedure for Cout Data Aalyi, Maagemet ciece, 40 (3): clove,. L. (987). Applicatio of Model-electio Criteria to ome Problem i Multivariate Aalyi, Pychometrika, 5 (3): cott, A. J. e ymo, M. J. (97). Cluterig Method Baed o Likelihood Ratio Criteria, Biometric, 7 (): päth, H. (979). Algorithm 39: Cluterwie Liear Regreio, Computig, (4): path, H. (980). Cluter Aalyi ad Algorithm, Elli Horwood. path, H. (98). Correctio to Algorithm 39: Cluterwie Liear Regreio, Computig, 6 (3): 75. päth, H. (98). Algorithm 48: A Fat Algorithm for Cluterwie Liear Regreio, Computig, 9 (): päth, H. (985). Cluter Diectio ad Aalyi, Wiley: ew York. 33

35 ymo, M. J. (98). Cluterig Criteria ad Multivariate ormal Mixture. Biometric, 37 (): Titterigto, D. M., mith, A. F. M. e Makov, U. E. (985). tatitical Aalyi of Fiite Mixture Ditributio, ew York: Wiley. Vrie, M., Wedel, M. e Wilm, T. (996). Metric Cojoit egmetatio Method: A Mote Carlo Compario, Joural of Marketig Reearch, 33 (): Wedel, M. e Dearbo, W.. (994). A Review of Recet Developmet i Latet Cla Regreio Model, i Bagozzi, Richard P. (Ed.), Advaced Method of Marketig Reearch, Blackwell, pp Wedel, M. e Dearbo, W.. (995). A Mixture Likelihood Approach for Geeralized Liear Model, Joural of Claificatio, (): -55. Wedel, M. e Kamakura, W.A. (000). Market egmetatio: Coceptual ad Methodological Foudatio, Kluwer Academic Publiher Wedel, M. e Kitemaker, C. (989). Coumer Beefit egmetatio Uig Cluterwie Liear Regreio, Iteratioal Joural of Reearch i Marketig, 6 (): Wolfe, J. H. (965). A Computer Program for the Computatio of Maximum Likelihood Aalyi of Type, Reearch Memo. RM 65-. a Diego: U.. aval Peroel Reearch Activity. Wolfe, J. H. (967). ORMIX: Computatioal Method for Etimatig the Parameter of Multivariate ormal Mixture of Ditributio, Reearch Memo. RM 68-. a Diego: U.. aval Peroel Reearch Activity. Wolfe, J. H. (970). Patter Cluterig by Multivariate Mixture Aalyi, Multivariate Behavioral Reearch, 5: Wolfe, J. H. (97). A Mote Carlo tudy of amplig Ditributio of the Likelihood Ratio for Mixture of Multiormal Ditributio, Techical Bulleti TB 7-. a Diego: U.. aval Peroel ad Traiig Reearch Laboratory. 34

36 Recet FEP Workig Paper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

37 3 3$ % + $ 0 3 A ( #* +,#, &,,#, " " " '" * +! 6 - & " >,!!! 3 +,#, " " " '" & & ()* "),",./ >F F ( > #"$ & H ()* D4) #,",./ %& " )* " " *, ' "% % $)* * 4 A % " B - F #:)* #. #,",./ " % %& " " " & & "% F #:)* -9-% -",% -,'(F #:)* #. #,",./ %& E "% F,",./ E F 9 %&) 3 " " "&" " - &F 78I;9:;;7F ", ",./ A & ) - '$F :,# 5;," " "F ") "? ""9% ' " % (F #,",./ 3" 9 && #., C %% " *&F,,, 5 4 K F Editor: adra ilva (adra@fep.up.pt) Dowload available at: alo i

38